UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJAUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de LojaLa Universidad Católica de Loja

IntegranteIntegrantes:s:

Christopher OrtegaChristopher Ortega Alex Gonzaga Alex GonzagaDaniel SócolaDaniel Sócola Jorge Naranjo Jorge Naranjo José Miguel Maldonado José Miguel Maldonado

Ecuaciones Diferenciales

TEMA: Ecuaciones Lineales

Ecuación Diferencial Lineal de Ecuación Diferencial Lineal de Primer OrdenPrimer Orden

Definición de ecuación diferencial:Definición de ecuación diferencial:

Una ecuación diferencial de primer orden, de la Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:forma:

es una ecuación lineales una ecuación lineal

Cuando Cuando g(x)=0, g(x)=0, la ecuación lineal es la ecuación lineal es homogénea, en cualquier otro caso, es no homogénea, en cualquier otro caso, es no homogénea.homogénea.

)()()( 01 xgyxadx

dyxa

Forma Estándar:Forma Estándar:

(a)(a) Propiedad:Propiedad:

es una solución de la ecuación homogénea es una solución de la ecuación homogénea asociadaasociada

(b)(b)

es una solución particular de (a) no es una solución particular de (a) no homogéneahomogénea

pc yyy

)()( xfyxPdx

dy

cy

0)( yxPdx

dy

py

ProcedimientoProcedimiento

Definir una solución particular para la ecuación Definir una solución particular para la ecuación siguiendo el procedimiento llamado siguiendo el procedimiento llamado variación de variación de parámetrosparámetros

Ecuación Ecuación

Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x)Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x) Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x)Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x)

)()( xfyxPdx

dy

Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:

obtenemos:obtenemos:

)()( xfyxPdx

dy

)(

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1

111

11

11

xfdx

duy

xfdx

duyyxP

dx

dyu

xfuyxPdx

duy

dx

dyu

xfuyxPuydx

d

Separamos variables, integramos y llegamos a:Separamos variables, integramos y llegamos a:

De acuerdo con la definición de y1 tenemos:De acuerdo con la definición de y1 tenemos:

dxxy

xfu

dxxy

xfdu

1

1

)(

)(

)(

dxxfeeuyypdxxP

dxxp )()(

)(

1

dxxfeeceyyydxxPdxxPdxxP

pc )()()()(

Método de SoluciónMétodo de SoluciónPasos para la solución de una ecuación lineal de primer Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer

orden:orden: 1.-Se convierte a la 1.-Se convierte a la forma Estándarforma Estándar de una ecuación de una ecuación

lineallineal

2.-Hay que identificar P(x) y definir el 2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrantefactor integrante

3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor 3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor integranteintegrante

4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida

)()( xfyxPdx

dy

dxxPe

)(

Solución de una Ecuación Diferencial Solución de una Ecuación Diferencial LinealLineal

xxP

exyxdx

dy

exydx

dyx

x

x

4)(

4

4

5

6

dxxPe

)(

4ln||ln4/4 4

xeee xxxdx

Entonces el factor integrante es Entonces el factor integrante es

cexeyx

xeyxdx

d

xeyxdx

dyx

xx

x

x

4

4

54 4

Factor IntegranteFactor Integrante

El factor integrante es una función de una El factor integrante es una función de una ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza para hallar una solución exacta de una para hallar una solución exacta de una ecuación diferencial lineal y esta dado por la ecuación diferencial lineal y esta dado por la formula:formula:

Donde a P(x) se la obtiene de la forma Donde a P(x) se la obtiene de la forma estándar de una ecuación lineal.estándar de una ecuación lineal.

dxxPe

)(

EJEMPLOEJEMPLO

La ecuación es claramente lineal. Podemos La ecuación es claramente lineal. Podemos transformarla en una ecuación exacta utilizando transformarla en una ecuación exacta utilizando el siguiente factor integrante:el siguiente factor integrante:

xeydx

dy 3

xdxeeu

Constante de IntegraciónConstante de Integración Podemos mencionar que tanto en la descripción general Podemos mencionar que tanto en la descripción general

como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una constante de integración para evaluar la integral indefinida constante de integración para evaluar la integral indefinida en el exponente:en el exponente:

En este caso la constante de integración estaría dada por la En este caso la constante de integración estaría dada por la constante (c), utilizando esta constante en el factor constante (c), utilizando esta constante en el factor integrante quedaría:integrante quedaría:

Es muy importante mencionar que no es necesario escribir Es muy importante mencionar que no es necesario escribir el factor integrante con la constante de integración ya que el el factor integrante con la constante de integración ya que el factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación diferencial y el utilizar una constante de integración no diferencial y el utilizar una constante de integración no cambia en nada la solución de la ecuación.cambia en nada la solución de la ecuación.

dxxPe

)(

dxxPe

)(

Solución de una ecuación lineal de Solución de una ecuación lineal de primer ordenprimer orden

i.i. Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma estándar de la ecuación (2).estándar de la ecuación (2).

ii.ii. A partir de la forma estándar, identificar a A partir de la forma estándar, identificar a P(x)P(x) y a y a continuación determinar el factor integrantecontinuación determinar el factor integrante

iii.iii. Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es,variable dependiente, y; esto es,

vii.vii. Se integran ambos lados de esta ecuaciónSe integran ambos lados de esta ecuación

)()()(

xfeyedx

d dxxPdxxP

Solución GeneralSolución General

Es aquella solución de la ecuación que está en Es aquella solución de la ecuación que está en la forma estándar; la cual, está definida en un la forma estándar; la cual, está definida en un intervalo I llegando a ser de esta manera intervalo I llegando a ser de esta manera miembro de la familia de soluciones.miembro de la familia de soluciones.

La solución general está conformada por las La solución general está conformada por las constantes paramétricas, dependiendo del constantes paramétricas, dependiendo del orden de la ecuación el número de éstas.orden de la ecuación el número de éstas.