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Potencia de una matriz cuadrada

Potencia de una matriz de orden 3UtilizacinIntroduce los coeficientes de la matriz. Coloca el valor del exponente de la potencia en n. Potencia de una matriz(3x3)

Principio del formularioA=

exponente n=

Final del formulario Principio del formularioMatriz An

Final del formulario

Practica

Matriz traspuesta, propiedades. Matriz simtrica y antisimtrica

Calcular el rango de una matriz por el mtodo de Gauss

Clculo del rango de una matriz usando determinantes Matriz inversa

Ejemplos de aplicacin de la matriz inversa

Rango de una matriz

Aplicaciones de la matriz inversa para resolver ecuaciones matriciales

Problemas que se resuelven utilizando matrices

Otros ejercicios de matriz inversaCalcular por el mtodo de Gauss la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el mtodo Gauss para transformar la mitad izquierda, A,en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A - 1 .

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

Calcular por el mtodo de Gauss la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el mtodo Gauss para transformar la mitad izquierda, A,en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A - 1 .

Hallar por determinantes la matriz inversa de:

Para qu valores de x la matriz matriz inversa?

no admite

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A - 1

Para qu valores de x la matriz matriz inversa?

no admite

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

RESUELTOS

1. Calcula los productos posibles entre las matrices 2. Para las matrices , realiza las siguientes operaciones:

a) A + B e) BC f) CD k) DDt

b) 3 - 4B

c) AB

d)

AD

g) AtC

h) DtAt

i) BtA

j)

DtD

3. Descomposicin en suma de una matriz simtrica y otra antismtrica las matrices siguientes: a) b) c)

4. Para la matriz , calcula A50 y A97. Encuentra los valores de a y b para que

la matriz A conmute con la matriz .

5. Obtn las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales: a) b) c)

d)

e)

6. Calcula An, para n N, siendo A las siguientes matrices: a) b) c) d) e) f)

7. Calcula el rango de las siguientes matrices: a) b) c) d)

8. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices: a) b) c) d) e) f)

9. Resuelve la ecuacin AX B + C = 0, siendo:

10. Resuelve la ecuacin matricial B(2A+ 1) = AXA + B, siendo y .

11. Resuelve la ecuacin matricial en X: XA 2B + 3C = D, siendo: , , y

SOLUCIONES

1.

B3x1A3x3. No es posible. A3x3C2x3. No es posible.

B3x1C2x3 No es posible.

2. a)

b) c) A2x3B2x3. No es posible.

d)

e) f) C3x4D3x1. No es posible. g)

A53x2C3x4. No es posible. h)

Tambin: i)

j) k)

5. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

7. a)

b) c)

d)

8. a)

Comprobacin:

b)

c)

d)

9. AX B + C = 0

AX = B C A1 A X = A-1 (B C) IX = A-1 (B C)

X = A-1 (B C)

Clculo de A-1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcula el adjunto del elemento a23 en:

2. Dadas las matrices:

A= a) Hallar la matriz traspuesta de A. b) Tiene la matriz C un nombre especial? c) Calcular X, sabiendo que A X + 2B - C = 0

3. Hallar la matriz inversa de:

A=

4. Dadas las matrices:

A= Hallar sus inversas, si existen.

5. Define la matriz inversa de una matriz regular y determina por uno de los procedimientos la matriz inversa de la matriz A:

A=

6. Demuestra que toda matriz cuadrada A es la suma de una matriz simtrica S y otra antisimtrica T. Apl-calo a la matriz:

A=

7. Dadas las matrices:

A= a) Efecta, cuando ello sea posible, los productos AB, AC y CA. b) Obtn las traspuestas y las inversas de A, B y C. c) Calcula ABC y ACB.

8. Dada la matriz:

A=

determina todas las matrices B, 2 x 2, tales que AB = , obteniendo el valor de para que exista solucin.

9. Sea A una matriz idempotente (A2 = A). Demuestra que si B = 2A - I, es B2 = I.

10. Obtn todas las matrices cuadradas de segundo orden, A, tales que A2=I.

11. Calcula las potencias sucesivas de la matriz

a)

A=

b)

B=

12. Dada la matriz:

A= comprueba que puede verificar una relacin de la forma A2 + A + I = 0, determinando los valores de y .

13. Resolver la ecuacin X A = B + C, siendo:

A=

14. Hallar todas las matrices que conmutan con:

A=

15. Dada la matriz:

A= hallar x e y, reales, para que se verifique A2 = x A + yI, siendo I la matriz unidad de orden 2.

16. Hallar A tales que:

17. Calcular An con n N, siendo:

A=

18. Hallar las inversas de:

A=

19. Hallar todas las matrices que conmuten con: