TRABAJO DE FIN DE MÁSTER
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA QUÍMICA
DISEÑO DE EXPERIMENTOS: DISEÑO FACTORIAL
Memoria y Anexos
Autor: Sheila Fernández Bao
Director: Pablo Buenestado Caballero
Convocatòria: Julio 2020
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RESUM
AquestTreballdeFideMàsterresultad'unarevisióbibliogràficasobreeldisseny
factorial.Consisteixenunacercaespecíficad'aquestdissenyentoteslessevesformes
aixícomdelasevautilitat.
S'introdueix el disseny d'experiments i s'explica la importància de la seva
aplicacióenl'enginyeria,peraaixí,posteriorment,explicareldissenyfactorialcomuna
deleseinesmésútilsdeldissenyd'experiments.
S'explicadetalladamentenquèconsisteixeldissenyd'experiments,lesfasesque
aquest ha de seguir, així com els seus principis bàsics, els tipus que existeixen i els
programesquepotserútilsperadur-hoaterme.
Unavegadaexplicat,secentraenelqueéseldissenyd'experimentsfactorial.
Començantpeldissenyfactorialcomplet,elméssenzillderealitzarid'entendre.
Acontinuació,l'estudisecentraeneldissenyfactorialfraccionat,undelstipus
dedisseny factorialmésutilitzats en l'enginyeria.Acompanyant a aquesta explicació
ambelsexemplescorresponentsperaunamillorcomprensió.
Enelsegüentapartat,s'explicaelbloqueigdeldissenyfactorial,unaaltradeles
einesmésutilitzadesdeldissenyd'experimentsfactorial,enaquestapartats'expliquen
elstipusdeconfusionsquepothaver-hienundissenyicomexecutar-loperapoder
interpretar-les.
Alfinaldelprojecte,esrealitzentambéunpetitestudiambiental iunaanàlisi
econòmicadelqueseriarealitzaraquestprojecteperaunaempresa.
Enl'AnnexI,s'explicaràcomutilitzarelprogramaseleccionatperarealitzarels
exemples.
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RESUMEN
EsteTrabajodeFindeMáster resultadeuna revisiónbibliográficaacercadel
diseñofactorial.Consisteenunabúsquedaespecíficadeestediseñoentodassusformas
asícomodesuutilidad.
Se introduce el diseño de experimentos y se explica la importancia de su
aplicaciónen la ingeniería,paraasíposteriormente,explicareldiseñofactorialcomo
unadelasherramientasmásútilesdeldiseñodeexperimentos.
Seexplicaendetalleenqueconsisteeldiseñodeexperimentos, lasfasesque
estedebeseguir,susprincipiosbásicos,lostiposqueexistenylosprogramasquepuede
serútilesparallevarloacabo.
Unavezexplicado,secentraenloqueeseldiseñodeexperimentosfactorial.
Empezandoporeldiseñofactorialcompleto,elmássencilloderealizarydeentender.
Acontinuación,elestudiosecentraeneldiseñofactorialfraccionado,unodelos
tiposdediseñofactorialmásutilizadosenlaingeniería.Acompañandoaestaexplicación
conlosejemploscorrespondientesparaunamejorcomprensión.
Enelsiguienteapartado,seexplicaelbloqueodeldiseñofactorial,otradelas
herramientasmásutilizadasdeldiseñodeexperimentosfactorial,enesteapartadose
explicanlostiposdeconfusionesquepuedehaberenundiseñoycomoejecutarlopara
poderinterpretarlas.
Al finaldelproyecto, se realizan tambiénunpequeñoestudioambientalyun
análisiseconómicodeloqueseríarealizaresteproyectoparaunaempresa.
EnelAnexoI,seexplicarácómoutilizarelprogramaseleccionadopararealizar
losejemplos.
4
ABSTRACT
This FinalMaster's Project results froma bibliographic reviewabout factorial
design.Itconsistsofaspecificsearchforthisdesigninallitstypes.
Thedesignofexperimentsisintroducedandtheimportanceofitsapplicationin
engineeringisexplained,inordertosubsequentlyexplainfactorialdesignasoneofthe
mostusefultoolsinthedesignofexperiments.
Itexplainsindetailwhatthedesignofexperimentsconsistsof,thephasesthat
itmustfollow,aswellasitsbasicprinciples,thetypesthatexistandtheprogramsthat
maybeusefultocarryitout.
Onceexplained,itfocusesonwhatisthedesignoffactorialexperiments.Starting
withthefullfactorialdesign,theeasiesttomakeandunderstand.
Next, thestudy focuseson fractional factorialdesign,oneof themostwidely
used factorial design types in engineering. Accompanying this explanation with the
correspondingexamplesforabetterunderstanding.
In thenext section, the factorialdesignblockade isexplained,anotherof the
mostusedtoolsinthedesignoffactorialexperiments.
Attheendoftheproject,asmallenvironmentalstudyandaneconomicanalysis
ofwhatitwouldbeliketocarryoutthisprojectforacompanyarealsocarriedout.
AnnexIwillexplainhowtousetheselectedprogramtocarryouttheexamples.
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ÍNDICE
RESUM..........................................................................................................................2RESUMEN.....................................................................................................................3ABSTRACT.....................................................................................................................4
INTRODUCCIÓN................................................................................................................6
MOTIVACIÓN................................................................................................................7ALCANCE.......................................................................................................................7INTRODUCCIÓNALDISEÑODEEXPERIMENTOS..........................................................7OBJETIVO......................................................................................................................9
1.ELDISEÑODEEXPERIMENTOS....................................................................................10
1.1.FASESDELDISEÑODEEXPERIMENTOS................................................................111.2.PRINCIPIOSBÁSICOSDELDISEÑODEEXPERIMENTOS.........................................131.3.TIPOSDEDISEÑOSEXPERIMENTALES..................................................................141.4.PROGRAMASUTILIZADOSENELDISEÑODEEXPERIMENTOS..............................15
2.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIALCOMPLETO...................................................16
2.1.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO2K......................................................................192.2.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kCONCÁLCULOSMANUALES.............................242.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kUTILIZANDOMINITAB19..................................262.4.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO3k.......................................................................322.5.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL3k...........................................................................34
3.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIALFRACCIONADO.............................................37
3.1.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-1...............................................................403.2.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-p...............................................................413.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIALFRACCIONADO......................................................433.4.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO3k-p...............................................................46
4.BLOQUEODELDISEÑOFACTORIAL.............................................................................48
4.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL...................................................................504.1.1CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES...........................504.1.2.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kEN2pBLOQUES..............................52
4.2.CONFUSIÓNPARCIALDELDISEÑOFACTORIAL2k................................................534.3.EJEMPLODEDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES........................................53
ESTUDIOAMBIENTAL.....................................................................................................57
ANALISISECONÓMICO...................................................................................................59
CONCLUSIÓN..................................................................................................................64
BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................66
ANEXOI..........................................................................................................................70
6
INTRODUCCIÓN
7
MOTIVACIÓN
Después de cursar la asignatura “PLANIFICACIÓN DE EXPERIMENTOS Y
TRATAMIENTOESTADÍSTICODEDATOS”enlaEEBEmehedadocuentadeloimportante
y útil que pueden ser losmétodos estadísticos aplicados en procesos de Ingeniería
Química. Por esta razón, he decidido realizar el TFM sobre uno de los métodos
estadísticosqueutilizamosenlaasignatura,eldiseñofactorialdeexperimentos,para
asípoderprofundizarenestetema.
ALCANCE
EnesteTrabajodeFindeMástersellevaráacabounabúsquedabibliográficade
informaciónsobreeldiseñofactorialdeexperimentos,lacualseredactayejemplificaa
partirdeunsoftwareparaunamejorcomprensióndellector.
INTRODUCCIÓNALDISEÑODEEXPERIMENTOS
Hoyendíalaexperimentaciónesunapartefundamentalentodosloscamposde
lainvestigaciónydesarrollo.Elobjetivodelaexperimentaciónesobtenerinformación
decalidad,lacualpermitaeldesarrollodenuevosproductosyprocesos,comprender
mejor un sistema, tomar decisiones sobre como optimizarlo y mejorar su calidad,
comprobarhipótesiscientíficas…[1].
Estaexperimentacióndentrodelprocesocientíficodebeirasistidaportécnicas
estadísticas. Los análisis descriptivos y exploratorios de datos darán la base al
conocimientode losproblemasyelplanteamientode lahipótesis.Posteriormenteel
diseñoestadísticoyelmuestreoaportanlabaseparaplanearyrecogerlosdatos.Este
diseñotambiénvalidalainformaciónylainferenciaestadística.Además,pormediode
contrastación de hipótesis, estimaciones y conclusiones ofrecemétodos basados en
probabilidadparaobtenerinferenciasinductivasválidas.
8
Laestadísticabienaplicadaalaexperimentaciónconducearealizarlosdiseños
deexperimentosdeunaformamáseficiente,ahorrandotiempoyrecursosalavezque
seganainformación.
Losexperimentoscientíficospuedenclasificarseenabsolutosycomparativos[2].
1. Absolutos:elobjetivodeestosesdeterminarpropiedadesabsolutasde
unconjuntodeobjetos,comoladeterminacióndelnºdeespeciesdeun
determinadoanimalenunadeterminadaregión.
2. Comparativos: elobjetivodeestosesestablecer comparacionesentre
muestras que reciben diferentes tratamientos. Estos pueden ser
experimentalesuobservacionales.
§ En los experimentales es posible controlar las variables,
mantenerconstanteovariar losfactoresquetienenuna
mayor influencia en el resultado; el control de las
condicionespermitealinvestigadorestablecerrelaciones
causa-efecto, entre los factores controlados y los
resultados, a esto se le llamaexperimentos diseñados y
son reconocidos como losmétodosmás potentes en la
ciencia.
§ En los observacionales, el investigador no tiene control
sobrelosfactoresquecausancambiosenlosresultados,
selimitaaobservarlaformaenlaquesemanifiestanpara
establecer relaciones asociativas entre los factores y las
respuestas. La metodología estadística aplicada a los
experimentos diseñados puede aplicarse también a los
experimentos observacionales, aunque las conclusiones
generalmentesonmenosconvincentesydébiles.
Según Geroge Wald, citado por Wardlaw (2000) “La experimentación es el
mecanismoparahacerque laNaturalezahabledemanera intangible “.Medianteel
experimentosepreguntaa lanaturaleza,peroesnecesariodiseñar losexperimentos
9
parafacilitarlacompresióndelarespuestaomensajesimplícitosenlosdatosobtenidos.
De estemodo, el análisis estadístico de los datos está supeditado al tipo de diseño
utilizado,asíeldiseñoyelanálisisnopuedenirseparadosenunainvestigación.
Actualmenteseempleaeldiseñodeexperimentosencasi todas lasáreasdel
conocimiento.
OBJETIVO
ElobjetivodeesteTrabajodeFindeMasteresexplicardeformaclara,detallada
ycontextualizadaeldiseñofactorial,suaplicaciónylasdiferentesformasenlasqueeste
sepuedellevaracaboparaconseguirconclusionesvalidasenunexperimento,asícomo
demostrarlaimportanciadeutilizarloparaunmejorrendimientoenlosprocesos.
Tambiéndemostrarlautilidaddeldiseñodeexperimentosfactorialenprocesos
deingenieríaquímica.
ParaconseguiresteobjetivoserealizaránejemplosconelsoftwareMinitab19,
dadoqueesdelquedisponenlicencialosalumnosdelaUPC.Elusodeesteprograma
seexplicaráenelANEXOI.
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1.ELDISEÑODEEXPERIMENTOS
11
Eldiseñodeexperimentos(DOE)puededefinirsecomounprocesoqueconsiste
enplantearlospasosnecesariosquesedebenseguir,asícomoelordendeestos,para
unarecolecciónyposterioranálisisdelainformaciónquerequiereestudiarunproblema
deinvestigación.Suobjetivoeseldeobtenerelmáximodeinformaciónrequeridapor
elexperimentoconelmínimocosteylamáximaeficiencia.Unbuendiseñoesaquelque
es capaz de proporcionar exactamente el tipo de información que se busca, con
precisión, y es más eficiente cuando proporciona esta información con un número
menordedatos.Sinembargo,paraestoesnecesariosaberqueseestábuscando, lo
cualpareceobvio,peronosiempreesasí[2][3].
1.1.FASESDELDISEÑODEEXPERIMENTOS
Para realizarunbuendiseñodistintosautoreshandescrito fasesa seguir, las
cuales están enfatizadas dependiendo del propósito de cada autor, entre estas se
encuentranlasdescritasporDouglasC.Montgomery(2007)elcualsugiere[2]:
1. Reconocimiento y formulación del problema: Este es un paso obvio, sin
embargo,enlaprácticanoresultasiempresencilloderealizarymenosdeforma
clara y aceptadapor todos. Es necesario desarrollar todas las ideas sobre el
objetivodelexperimentoynormalmenteesimportantesolicitarinformacióna
todasáreas involucradasenel experimento, ingeniería, calidad,manufactura,
administración,etc.
2.Seleccióndelosfactoresyniveles:El investigadorseleccionalosfactoreso
variablesindependientesqueseránanalizadas,deacuerdoconelconocimiento
del fenómeno y la posibilidad de controlar estas. Al escoger los factores que
puedeninfluireneldesempeñodelproceso,estospuedenclasificarseen:
§ Factorespotencialesdelproceso:loscualeselexperimentadorquiere
hacervariarenelexperimento,dentrodeestospodránser:
§ Factores de diseño que se mantienen constantes:
Estos suelen ser variables con cierto efecto para la
12
respuesta, pero no son de interés para los fines del
experimento,porloquesemantendránenunnivelfijo
específico.
§ Factores de diseño que se permite variar: Estos
tendránefectosobre la respuestay seránde interés
paralosfinesdelexperimento.
§ Factoresperturbadoresdelproceso:estosfactorespuedentenerun
efectoenlarespuesta,quedebedetomarseencuenta,peronohay
interésenellosenelcontextodelexperimento.Seclasificanen:
§ Factores perturbadores controlables: Los cuales se
puedeajustaraunnivel.
§ Factoresperturbadoresnocontrolables:Loscualesno
sepuedeajustaraunnivel,peroestepuedemedirse,
porlocualelefectopuedesercompensado.
§ Factoresperturbadoresderuido:Loscualesnopueden
ajustarseaunnivelyestenivelvaríadeformanatural.
3. Selección de las variables de respuesta: Esta debe ser aquella que
proporcionelainformaciónútil,conlasoluciónalproblemadefinido.
4.Seleccióndeldiseñoexperimental:Unavezasignadoloanteriorsurgendos
preguntas:
a) ¿Cuáleseltamañoapropiadoparalamuestra?
b) ¿Qué tipo de diseño conduce al resultado óptimo en cuanto a
informaciónválida,precisayeconómica?
5.Realizacióndelexperimento:Eslaparteenlacualserealizaelexperimento
yserecogenlosdatos,debeprestarseatenciónalmecanismodealeatorización,
almanejode los instrumentosdemedida,al reconocimientode lasunidades
experimentales, y fundamentalmente al mantenimiento en la forma más
uniformeposibledelascondicionesambientalesdelexperimento.Unerroren
elprocedimientodestruiráporlogenerallavalidezdeeste.
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6.Análisisdelosdatos:Debenutilizarsemétodosestadísticosparaanalizarlos
datosrecogidos,elmétodoqueseescojadebeiracordeconeldiseñoutilizado.
7.Conclusionesyrecomendaciones:Despuésdeanalizarlosdatosseestablecen
las inferencias estadísticas, las cuales deben traducirse al lenguaje del
experimento para darle la correspondiente interpretación física y evaluar su
significaciónpráctica.
1.2.PRINCIPIOSBÁSICOSDELDISEÑODEEXPERIMENTOS
Para que un experimento pueda catalogarse comoun buen experimento, las
conclusionesdeestedebentenervalidez,precisiónyampliocubrimiento.Paracumplir
conestascondicioneselexperimentodebellevarseacaboteniendoencuentalostres
principiosbásicos:repetición,aleatorizaciónycontroldelerrorexperimental[4].
§ Repetición:Unmayornúmeroderepeticionesdaráunamayorprecisiónenlas
estimaciones,elobjetivoderealizarrepeticionesseráobtenerunamedidade
variabilidad.
§ Aleatorización:Esteesunodelosprincipiosmásdiscutidosenlaliteratura,sus
objetivossonvarios:eliminarelsesgoenlaestimacióndemedidas,darvalidez
a la estimacióndel error experimental, generar independenciade los errores
experimentales,darrobustezalanálisis.Sinembargo,debeconsiderarseque,
con los diseños aleatorizados, cuando hay una dependencia positiva entre
observacionessonmenoseficientesquelosdiseñossistemáticos.
§ Control del error experimental: Este proceso evita el efecto de los factores
conocidos sobre los resultados de un experimento, factores que pueden
interferirconelobjetodeestudiooquenopermitenobservaradecuadamente
los efectos bajo estudio. Este proceso se realizamediante la construcciónde
bloquesymodificandoelprocesodealeatorización.
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1.3.TIPOSDEDISEÑOSEXPERIMENTALES
Comosehamencionadoanteriormenteunodelospasosfundamentalesparael
diseño de experimentos es la elección de un diseño experimental, existe una gran
variedad de estos, sin embargo, los más utilizados son los que se mencionan a
continuación.
Experimentosconunsolofactor:Análisisdevarianza(ANOVA)
Elanálisisdevarianzaesutilizadoparaverificarsiexistendiferenciasestadísticas
significativasentrelamediademásdedosmuestrasogruposdemuestrasenunmismo
planteamiento. El procedimiento que utiliza estemétodo es comparar estos valores
basadosenlavarianzaglobaldelasmuestrasacomparar.Típicamenteseutilizaeste
análisisparaasociarunaprobabilidadalaconclusióndequelasmediasdedosomás
poblacionessondistintas.
Elobjetivodelanálisissebasaenladescomposicióndevariabilidadtotalendos
partes, una debida a la variabilidad entre las distintas poblaciones y otra parte a la
variabilidadintrínsecadelasobservaciones[5].
Diseñosfactoriales
Estetipodediseñoseutilizaparaexperimentoscondosomásfactores,dado
queengeneralson losmáseficientesparaello.Enestediseñose investigatodas las
combinacionesposiblesentrelosnivelesdelosfactores.
Diseñosanidados
Estediseñoseaplicaaexperimentoscondosomásfactores,enloquealguno
deelloscuentaconnivelesidénticosaotro,ocuandonoesposiblecombinartodoslos
nivelesdeunfactorcontodoslosnivelesdeotros.
Unfactorestáanidadoaotrocuandocadaniveldeesteapareceasociadoaun
úniconiveldelotro.
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Superficiesderespuesta
Estemétodoseutilizacuandoenunproblemalarespuestadeinterésrecibeuna
influenciadediversasvariables,dondeelobjetivoesoptimizarlarespuestaydeterminar
elmodelomatemáticoquemejorseajustaalosdatosobtenidos.
En estos problemas la forma de relación entre la respuesta y las variables
independientes suele ser desconocida, por lo que el primer paso es encontrar una
próximaalaverdaderarelaciónfuncionalentrelarespuestayelconjuntodevariables
independientes. Se emplea un polinomio de orden inferior en alguna región, si la
respuesta es línea se ajustará a unmodelo de primer orden,mientras que si tiene
curvaturadebeusarseunpolinomiodeordensuperior.
1.4.PROGRAMASUTILIZADOSENELDISEÑODEEXPERIMENTOS
Existendiferentesprogramasqueseutilizana lahoraderealizareldiseñode
experimentos. Los programas de análisis estadístico permiten a las organizaciones
aprovechar al máximo los datos que poseen, incluyen soluciones especializadas
diseñadasparatrabajarconlenguajesestadísticosconcretos,asícomoaplicacionesmás
generalesqueautomatizanvariasoperacionesdemanipulacióndedatos,desdeanálisis
depotenciahastavisualizacióndedatos.Algunosdelosmásutilizadossonmostrados
enlaTabla1.
Tabla1.Programasestadísticomásutilizados.Elaboraciónpropia.
ProgramasestadísticosSigmaXL SPSS
Tabla XLSTATMatlab Cerebral
Minitab RStata JMPStatisticalSoftware
16
2.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIAL
COMPLETO
17
Como se ha mencionado anteriormente los diseños factoriales son los más
utilizadosenlosexperimentoscondosomásfactores,esdecir,condosomásvariables
independientes,lascualesseránanalizadasalserconsideradasporelinvestigadorcomo
variablesqueafectanalproceso.
Los valores en los que se puede trabajar con cadaunode los factores se les
denominaniveles,esdecirlosnivelessonelvalor,puedesercuantitativoocualitativo,
quepuedetomarcadaunodelosfactoresdentrodelexperimento.
Enundiseñofactorial,cadaunodelosnivelesdecadafactorindependientese
combina con cada uno de los niveles de los demás, para así realizar todas las
combinacionesposibles.Cadaunadelascombinacionesseconvierteenunacondición
paraelexperimento.Estoproducequelosexperimentosseanmáseficientes,dadoque
sepuedeproporcionarinformacióndelosefectosdetodoslosfactoresenrelaciónalos
niveles de los otros [6]. Este efecto se define como, el cambio en la respuesta del
experimentoproducidoporuncambiodenivelenelfactor[7].
Pararealizarundiseñofactorialseseleccionaunnúmerofijodenivelesparacada
unodelosfactores,ysecorrenlosexperimentosentodaslasposiblescombinaciones.
Losfactorespuedensertantocualitativoscomocuantitativos.Ylosefectosque
estoscausanpuedenserdetrestipos,simples,principalesydeinteracción.
§ Efectossimples:Seobservanalcompararentretodoslosnivelesdeunfactora
unsoloniveldelotrofactor.
§ Efectosprincipales:Seobservanalcompararentretodoslosnivelesdeunfactor
promediadosparatodoslosnivelesdeotrofactor.
§ Efectodeinteracción:Estosmidenladiferenciaentrelosefectossimplesdeun
factoradiferentesnivelesdeotros.
Paraentenderestasdefinicionessemuestraunejemplosencillodelosefectosde
undiseñofactorialenelquehabrádosfactores,variablesaestudiar,condosniveles
cada uno, valor en el que pueden fijarse las variables, y se estudiarán todas las
18
combinaciones posibles para estos factores y niveles. Los factores serán A (Tipo de
mezcla)yB(Tipodecompactación),yaqueelexperimentadorhaconsideradoqueestas
dosvariablessonlasquemásafectanalprocesoysonmássencillasdemanipular.
Lonivelesparaestasdosvariablesserándenominadosenestecasocomonivel1y
nivel2,estosnivelesrepresentancadaunodelostiposdemezclaycompactacióncon
losquesepuedetrabajarparalosfactoresseleccionados.TeniendoasíparaelfactorA,
A1yA2,yparaelfactorB,B1yB2.
Cada una de estas variables(factores) en sus respectivas condiciones de trabajo
(niveles)proporcionanunefectodiferenteenelexperimento,estosefectossemiden
en este caso, con el coeficiente de ruptura de cadaunade las combinaciones en el
experimentoysemuestranenlasiguienteTabla2[6].Tabla2.Datosdelejemplo[6].
B1 B2
A1 68 60A2 65 97
Calculandoasí:
§ Efectos simples:Comparamos todos losnivelesdeun factor,Aeneste caso,
sobreunniveldeotrofactor,B1primeroyluegoB2.
- EfectosimpledeAsobreB1será:I1=65-68=-3
- EfectosimpledeAsobreB2será:I2=97-60=37
§ Efectosprincipales:Enprimerlugar,sepromedialosnivelesdelfactorApara
ambosnivelesdeB,posteriormentesecomparaentreambosparacalcularel
efectoprincipal.
- MediadeA1paraambosnivelesdeB:µ1=½·(68+60)=64
- MediadeA2paraambosnivelesdeB:µ2=½·(65+97)=81
- Efectoprincipal:I3=81-64=17
§ Efectos de interacción: Se calcula al comparar los efectos simples de ambos
factores.
Efectosdeinteracción:I4=I2-I1=40
19
Estosefectosseinterpretaríandelasiguienteforma:
§ I1:Lamezcladetipo1tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo2
cuandoserealizalacompactacióntipo1.
§ I2:Lamezcladetipo2tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo1
cuandoserealizalacompactacióntipo2.
Ladiferenciaentrelainterpretacióndelresultadodelosefectossimplesindicaque
losfactoresnoactúandeformaindependientesobrelarespuesta.Porloquehabrá
queseguirestudiandolainteraccióndeestosfactoresentreellos.
§ I3:Lamezcladetipo2tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo1.
§ I4:Nosindicaqueelefectodeltipodemezclasobrelarespuestadependedel
tipodecompactación.
Asílasventajasdeldiseñofactorialrespectoaotrosdiseñosseránlaeficiencia,son
más eficientes que analizar un solo factor a la vez, y la posibilidad de analizar las
interacciones entre factores, evitando llegar a conclusiones erróneas cuando los
factoresnoactúandeformaindependiente[7].
Porello,ycomosehamencionadoanteriormenteseutilizaparalosexperimentos
enlosqueintervienenmásdeunfactoralavez,paraanalizartodaslascombinaciones
posiblesdeestos.Estetipodediseñonoseríaútilenexperimentosdondesoloseanaliza
unfactor.
2.1.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO2K
Son denominados diseño factorial 2k los diseños en los cuales cada uno de los
factores cuenta con dos niveles, es decir cuando se realiza un experimento con un
númerodefactoreskenelquecadaunodeestossolopuedeadoptardosniveles.Estos
niveles podrían ser cuantitativos o cualitativos y una réplica completa de tal diseño
requierequerealizar2kcombinaciones.
20
Estediseñodescribecomorealizarlosexperimentosdelaformamásadecuadapara
conocersimultáneamentequéefectotienenkfactoressobreunarespuestaydescubrir
siinteraccionanentreellos[9].
Además,estosdiseñospresentandiferentesventajasenrelaciónaotrostiposde
diseños[8].
§ Noesnecesarioungrannúmerodeexperimentosporcadaunodelosfactores
aestudiar.
§ Lasobservacionesproducidasporlosdiseñossepuedeninterpretarutilizandoel
sentidocomún,laaritméticaelementarylosgráficosporordenador.
§ Cuando se tratade factores cuantitativos sepuededeterminar unadirección
prometedoraparaunamayorexperimentación.
§ Es posible aumentar los diseños cuando se necesita una exploración más
focalizada.
§ Esposiblerealizarlosdeformasecuencial,deformaqueunavezrealizadauna
ronda del diseño factorial se puede montar una nueva para realizar una
investigaciónmásespecífica.
Como hemos mencionado, en este diseño se realizan todas las combinaciones
posiblesentrelosefectos,paraellosecrealamatrizdediseño.Enellaseutilizanlos
signos–y+paraambosnivelesdeunfactoryserealizade lasiguienteforma:en la
primeracolumnasealternanlossignoscomenzandoporel-.Enlasegundacolumnase
alternanlossignosdedosendos,enlaterceradecuatroencuatro,enlacuartadeocho
enochoyasísucesivamente.Siemprecomenzandoconelsigno-.
21
Tabla3.Matrizdediseñoparaundiseñofactorialcompleto23.Elaboraciónpropia.
OrdenStd Ordenaleatorio FactorA FactorB FactorC
1 1 - - -2 8 + - -3 4 - + -4 3 + + -5 6 - - +6 2 + - +7 7 - + +8 5 + + +
Estosmodelospuedensersinréplicaoconellas,esdecirpuederealizarseunasola
vezcadaunadelascombinacionesobteniendosolamenteunarespuestaparacadauna
de las combinaciones o pueden realizarse el número de veces que se considere
necesarioobteniendoasímásdeunarespuestaparacadacombinación,enestecaso
habráquetenerencuentaambasrespuestas.
Elmodelomássencilloparaeldiseñofactorial2keselmodelo22,sinréplica,elcual
cuentacondosfactoresdedosnivelescadauno.Estosfactoresporejemplospodrían
ser A y B, los cuales tienen cada uno dos niveles a los que trabajar, alto y bajo
denominadosarbitrariamente.Lasunidadesexperimentalesseobtienentomandolas
cuatroposiblescombinacionesdeambosfactoresyreplicándolonveces,conn>1.
Porconvenciónelefectodeunfactorsedenotaconsuletramayúsculaylosniveles
con + y -, para alto y bajo, obtendremos las siguientes respuestas para las posibles
combinaciones:
Tabla4.Nomenclaturamásutilizadaparalasrespuestas.Elaboraciónpropia.
B(-) B(+)A(-) (1) bA(+) a ab
22
Asísepodráncalcularlosefectosprincipalesdecadaunodelosfactoresydesus
combinaciones,como:
𝐴 = #$·&
𝑎𝑏 − 𝑏 + (𝑎 − 1 ) Ecuación 1
𝐵 = #$·&
𝑎𝑏 − 𝑎 + (𝑏 − 1 ) Ecuación 2
𝐴𝐵 = #$·&
𝑎𝑏 − 𝑎 + ((1) − 𝑏) Ecuación 3
Lasconclusionesdeestosefectosdependerándequeesloquemiden,seexamina
sumagnitudysudirecciónconelfindepoderdeterminarcuálesseránlosnivelesque
causan el efectodeseadoennuestro experimento, así como si estos efectos sonde
importanciaopuedendespreciarse.
Elmodeloquesigueestediseñoserá:
𝑦012 = 𝜇 + 𝜏0 +𝛽1 + (𝜏𝛽)01 + 𝜀012 Ecuación 4
Siendo𝜇elefectopromedioglobal,𝜏0 elefectodelniveli-esímodelfactorA,𝛽1 el
nivel j-ésimodel factorB,(𝜏𝛽)01 el efectode la interacciónentre𝜏0 y 𝛽1, y𝜀012 un
componentedelerroraleatorio.Coni=1,2;j=1,2;k=1…n.
Ademásdecadafactortambiénsepuederealizarunanálisisdevarianza,paraello
secalculanloscontrastesdelosfactores,otambiénllamadoslosefectostotalesconlas
Ecuaciones 5, 6 y 7. La suma de los cuadrados de los contrastes, la cual muestra
informaciónsobrelaimportanciadelosefectosprincipalesocombinaciones,esigualal
cuadrado del contraste dividido por el número de observaciones en cada total
multiplicado por la suma de cuadrados de los coeficientes del contraste, como se
muestraenlasEcuaciones9,10y11.[7].
23
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒? = 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1) Ecuación 5
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒@ = 𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 − (1) Ecuación 6
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@ = 𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏 Ecuación 7
𝑆𝑆? =BCDBECE(#) F
G& Ecuación 8
𝑆𝑆@ =BCDCEBE(#) F
G& Ecuación 9
𝑆𝑆?@ =BCD(#)EBEC F
G& Ecuación 10
EstasEcuaciones5,6,7,8,9y10podríanaplicarseacualquiermodelo2kcomo:
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I = 𝑎 ± 1 𝑏 ± 1 … (𝑘 ± 1) Ecuación 11
𝐴𝐵…𝐾 = $$M·&
(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I) Ecuación 12
𝑆𝑆?@…I =$
$M·&(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I)$ Ecuación 13
Ademásdeloscálculosmencionadosenestetipodediseñoesmuyimportantela
interpretacióndelasgráficascorrespondientesalosefectosdelosfactores,asícomo
lasdelascombinacionesentreestos.
Paraque todosestos conceptosmencionadosqueden claros y sepuedamostrar
cómo se interpretan los resultados de estos cálculos, se realizarán dos ejemplos de
diseñofactorial2k,unoconcálculosmanualesyotroutilizandoelprogramaMinitab19.
Enellostambiénseintroducenalgunosconceptosnuevosquesevanexplicandoalo
largodelosejemplos.
24
2.2.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kCONCÁLCULOSMANUALES
Unaempresaembotelladoraderefrescosestáinteresadaenobteneralturasde
llenadomásuniformesenlasbotellasquesefabricanensuprocesodemanufactura.
Teóricamente, lamáquinade llenado llenacadabotellaa laalturaobjetivocorrecta,
pero en la práctica existe variación entorno a este objetivo, y a la embotelladora le
gustaríaentendermejorlasfuentesdeestavariabilidad,asícomoreducirla.
El ingenierodelprocesopuedecontrolar tresvariablesduranteelprocesode
llenado,esdecirlosfactores.Estosserán:elporcentajedecarbonatación(A),lapresión
deoperaciónenelllenador(B)ylarapidezdelalínea,botellasproducidasporminuto
(C).Paracadaunadeellascuentacondosvaloresalosquelaspuedeajustar,estosserán
losnivelesdelosfactorespues[7].
Tabla5.Nivelesdecadaparámetrodelejemplomanual2k.[7]
Nivel Carbonatación(A) Presión(B) Rapidez(C)
-1 10psi 25psi 200bpm+1 12psi 30psi 250bpm
El objetivode este experimentoes estudiar la variabilidaddel embotellado a
partirdeladesviacióndelaalturadellenadodeespecificación,realizandoparaelloun
experimentofactorial23,esteconllevarealizar23=8combinacionesdelostresfactores.
El ingeniero tiene los recursos en la empresa para realizar hasta 16
experimentos, por lo que realiza dos réplicas de cada uno de los experimentos de
maneraaleatoria,obteniendolossiguientesresultados:
25
Tabla6.Matrizdediseñodelejemplomanual23.[7]
Factores Respuesta
Corrida (A) (B) (C) Réplica1 Réplica2 SRéplicas
1 -1 -1 -1 -3 -1 -42 1 -1 -1 0 1 13 -1 1 -1 -1 0 -14 1 1 -1 2 3 55 -1 -1 1 -1 0 -16 1 -1 1 2 1 37 -1 1 1 1 1 28 1 1 1 6 5 11
AsíapartirdelaEcuación12,secalculanlosefectosdelosfactoresdelasiguiente
forma:
𝐴 =1
4 · 𝑛a − 1 + ab − b + ac − c + abc − bc =
181 − −4 + 5 − −1 + 3 − −1 + 11 − 2 = 3
𝐵 =1
4 · 𝑛𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 =
18
−1 + 5 + 2 + 11 − −4 − 1 − −1 − 3 = 2,25
𝐶 =1
4 · 𝑛𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 =
18
−1 + 3 + 2 + 11 − −4 − 1 − −1 − 5 = 1,75
𝐴𝐵 =1
4 · 𝑛𝑎𝑏 − 𝑎 − 𝑏 + 1 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 =
185 − 1 − −1 + −4 + 11 − 2 − 3 + (−1) = 0,75
𝐴𝐶 =1
4 · 𝑛1 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 =
18
−4 − 1 + −1 − 5 − −1 + 3 − 2 + 11 = 0,25
𝐵𝐶 =1
4 · 𝑛1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 =
18
−4 + 1 − −1 − 5 − −1 − 3 + 2 + 11 = 0,5
𝐴𝐵𝐶 =1
4 · 𝑛𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − (1) =
1811 − 2 − 3 + −1 + 1 − (−4) = 0,5
Seobservaquelosefectosmásgrandessonparalacarbonatación(A=3),lapresión
(B=2,25) y la velocidad (C=1,75) así como la interacción carbonatación-presión
(AB=0,75),sibienelefectodeestaparecetenerunmenorimpactosobreladesviación
quelosefectosprincipales.
26
LassumasdeloscuadradossecalculanapartirdelaEcuación13:
𝑆𝑆? =24 $
16= 36
𝑆𝑆@ =18 $
16= 20,25
𝑆𝑆[ =14 $
16= 12,25
𝑆𝑆?@ =6 $
16= 2,25
𝑆𝑆?[ =2 $
16= 0,25
𝑆𝑆@[ =4 $
16= 1
𝑆𝑆?@[ =4 $
16= 1
Se observa como los efectos principales SSA, SSB y SSC dominan en realidad el
proceso,tienenunvalordelasumadecuadradosmuysuperioralascombinacionesde
factores.
Por lo que se puede concluir que los efectos principales son altamente
significativosenesteproceso,yhayunaligerainteracciónentrelacarbonataciónyla
presión.
2.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kUTILIZANDOMINITAB19
Enesteejemplosellevaacaboelestudiodeunareacciónquímicadesíntesis
catalizada,yelinvestigadorquierecomprobarqueefectotienenenellalasvariablesde
tiempodereacciónytemperaturadelproceso,asícomosiesimportantelaeleccióndel
catalizador,puestoquecuentacondoscatalizadoresquepuedeutilizar.
Porello,llevaráacaboundiseñofactorialenelcuallosfactoresseránlastres
variables mencionadas anteriormente, tanto el tiempo como la temperatura son
variablesquepuedeadoptardosmedidasenlasquesepuedenajustar,porloquetodos
losfactoresdelareaccióncontaráncondosniveles[10][11][12][13].
27
LosfactoresynivelesquesevanautilizarsemuestranenlaTabla7
Tabla7Tabla7.Nivelesyfactoresdelejemplo23.Elaboraciónpropia.
Factores Nivel(-) Nivel(+)A:Tiempo 6h 8h
B:Temperatura 40ºC 80ºCC:Catalizador CA CB
Serealizaundiseñofactorial23consolounaréplica,dadoqueelinvestigadorno
tienerecursossuficientespararealizarmásréplicas.Serealizandeformaaleatorialos
experimentos,estoesmuyimportantedadoqueasíseintentaevitarqueelefectode
queun factorestéconfundidoconeldeotro factorno intencionadoyse introduzca
sesgoen losvaloresde losefectos.Para llevaracaboeldiseño factorial seutiliza la
herramientaMinitab19,estaproporcionadirectamente lasrespuestasde losefectos,
asícomodelasinteracciones,sinnecesidadderealizarloscálculosdeformamanual.En
laTabla8semuestraelresumendeestediseño.EnelAnexoIsemuestracómoutilizar
Minitab19paraconseguirestosresultados.
Tabla8.ResumendeldiseñoenMinitab19paraelejemplo2k.Elaboraciónpropia.
Factores:3 Diseñodelabase:3;8Corridas:8 Réplicas:1Bloques:1 Puntoscentrales:0
EnlaTabla9semuestralamatrizdeldiseñofactorialconlasrespuestasdadas
paracadaunade lascombinacionesde los factores,esdecirparacadaexperimento
realizado.Lasochorespuestassepuedencombinarparaobtenerinformación,elvalor
medio,tresefectosprincipales,tresefectosdeinteracciónentredosfactoresyunefecto
deinteraccióndetresfactores.EnlaTabla10semuestranlosresultadosdeestasocho
combinaciones.Elcálculodeestosefectoshasidorealizadoapartirdelasrespuestas
detodoslosexperimentos,dadoqueasísereducelaincertidumbredelvalorestimado.
28
Tabla9.Matrizdediseñodelexperimentoparaelejemplo2k.Elaboraciónpropia.
Nºaleatorio
Nºexperimento
Tiempo Temperatura Catalizador Rendimiento(%)
3 1 - - - 495 2 + - - 547 3 - + - 734 4 + + - 808 5 - - + 311 6 + - + 406 7 - + + 762 8 + + + 89
Tabla10.ResultadodelcálculodeefectosenMinitab19paraelejemplo2k.Elaboraciónpropia.
Término Efecto Coef EEdelcoef. ValorT Valorp FIVConstante 61,50 * * * Tiempo 8,50 4,250 * * * 1,00
Temperatura 36,0 18,0 * * * 1,00Catalizador -5,00 -2,50 * * * 1,00
Tiempo*Temperatura 1,50 0,75 * * * 1,00Tiempo*Catalizador 2,50 1,25 * * * 1,00
Temperatura*Catalizador 11,00 5,50 * * * 1,00Tiempo*Temperatura*Catalizador 0,50 0,25 * * * 1,00
EnlaTabla10semuestraelvalordelaConstante,61,5.Esteeselvaloralrededor
delcualhanvariadolasrespuestas,esdecir,muestraalrededordequerendimientose
encuentranlasrespuestasdelasdiferentescombinaciones.
ConlaherramientaMinitab19sepuedeobservarelefectodeestosfactores,así
comodesuscombinacionesdeunaformamásgráfica,locualhaceposibleunamejor
interpretacióndelosresultados.Paraellosepuedenutilizardiferentestiposdegráficos.
29
Gráfica1.Gráficanormaldelosefectosdelejemplo2k.
Elaboraciónpropia.
Gráfica2.DiagramadeParetodelosefectosdelejemplo2k.
Elaboraciónpropia.
Enambasgráficas seobservacomoel factorprincipalquemuestraunmayor
efectoeslaTemperatura,algoquetambiénsemostrabaconvalornuméricolaTabla10
Enlagráficanormal,losvaloressignificativosaparecenencolorrojoalejadosde
larectadeefecto-porcentaje.Perotambiénsedebentenerencuentalosvalores,quea
pesardenoestarsuficientealejadosdelarectaparaconsiderarsesignificativosyestar
en rojo, si seencuentranmásalejadosqueel resto,estosvalores tendránunefecto
importanteenlarespuestatambién.
EneldiagramadeParetoseobservanpororden,demayoramenorefecto,los
factoresocombinaciones.Losfactoresquesuperarlafranjarojasonlosdenominados
factoressignificativos,sinembargo,aligualqueenelcasoanterior,sedebendetener
encuentalosvaloresquetienenmayorefectoqueelrestoapesardenollegaraser
significativoscomotal.
Unvalordeefectoiguala36indicaquealvariarlatemperaturade40ºCa80ºC
el rendimiento aumenta en esa cantidad. El signode este valor indica si aumenta o
disminuyelarespuesta.AlobservartambiénlaGráfica3sepuedellegaresaconclusión
dado que nos muestra como el efecto significativo es la Temperatura, además de
indicarnosqueestecambioesenordencreciente,esdecirlatemperaturaaumentayel
rendimientotambién.
30
Gráfica3.Efectosprincipalesdelejemplo2k.Elaboración
propia.
Gráfica4.Diagramadecubosparalosefectos.Elaboración
propia.
Porotro lado,tambiénseobservaque,parael factorcatalizador,elefectoes
negativoporloqueelrendimientodisminuyealcambiardelcatalizadorCAalCB.Yel
tiempotieneunefectopositivo,porloquealaumentarloaumentaelrendimiento.
Paraunamejorinterpretacióndelosefectosesinteresanteutilizartambiénla
Gráfica4paraelefectodelatemperaturasedebeconsiderarlacarasuperiordelcubo
frentealainferior.
Observandoentoncessololosefectosprincipalessehallegadoalasconclusiones
dequelasmejorescondicionesseránvaloresaltosdetiempoytemperaturautilizando
el Catalizador CA. Sin embargo, para no llegar a una conclusión errónea en el
experimentoesnecesarioconsiderarlosefectosdelasinteracciones.
Losefectosdelasinteraccionesmidenlainfluenciaquetienenlascombinaciones
de los factores en la respuesta. Para observar estas interacciones de forma gráfica
Minitab19proporcionaunagráficadeinteraccionescomosemuestraenlaGráfica5
31
Gráfica5.InteraccionesdelosfactoresElaboraciónpropia.
EnlaTabla10semuestraqueelvalordelainteracciónTemperatura*Catalizador
tieneunefectoconunvaloraltoenlarespuesta,alobservarlaGráfica5estamuestra
como el mayor rendimiento se encuentra cuando se utiliza el catalizador B a una
temperaturaelevada.
Seobservacomoelefectode la temperaturadependedelCatalizadorquese
utiliceyviceversa,estoocurrecontodoslosfactoresimplicadosenelexperimento.
Elrestodeinteraccionestienenunefectoconvalormáspequeño,loquesignifica
quecausanmenosefectoenlarespuesta.
El valor de la interacción de los tres factores tiene un valor muy pequeño
comparadoconlosotrosdosfactores,comoseobservaenlaTabla10estevaloressolo
de 0,5, es habitual que sean cada vez menos importantes cuantos más factores se
consideranenlainteracción.
Enconclusión,estosexperimentoshanpermitidodescubrirqueelrendimiento
mejora al aumentar el tiempo de reacción y la temperatura, así como que el
catalizador CB proporcionamayores rendimientos, pero solo a temperaturas altas.
EstopuedeobservarsedeunaformamásvisualenlaGráfica4,dondemuestracomo
en la interacción de los tres factores el rendimientomás alto, 89%, se da con un
tiempoelevado,temperaturaelevadaycatalizadorCB.
32
2.4.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO3k
Losdiseñosfactoriales3kcuentanconunnúmerodefactoresk, loscualestienen
tresnivelescadauno.Porloqueunaréplicacompletadeestediseñotendráunnúmero
deobservaciones iguala3k.Estonosmuestraunadesventajaconrespectoaldiseño
factorial2k,serequiereunmayornúmerodeexperimentosenestenuevodiseño.
Sin embargo, en experimentos en los cuales se tienen un número pequeño de
factorespuedeserunabuenaalternativa.Estediseñopermitequelarelaciónentrela
respuestaylosfactoresdeldiseñosepuedanmodelardeformacuadrática[14].
Dosde lasventajasmás importantesquemuestraestediseñosemuestrantanto
paralosfactoresdetipocontinuoenlosqueinteresaestudiarsusefectoscuadráticos,
locualserealizacuandolarespuestanoeslineal,comoparalosfactoresdiscretosque
demaneranaturaltienentresniveles,asípuedencompararseinfluenciaparacadauna
delasdiferentescombinacionesentrelosnivelesdecadafactor[15].
Aligualqueconeldiseño2kparalosdiseños3k,el32eselejemplomássencillo.
Estecuentacondosfactores,AyB,loscualestienentresnivelescadauno,-1,0y1.Así
paraanalizarunaréplicacompletadeesteexperimentoserealizalamatrizconlasnueve
combinacionesposibles.
Tabla11.Matrizdediseñoparaunaréplicacompletaparaundiseño32.Elaboraciónpropia.
OrdenStd Ordenaleatorio FactorA FactorB1 1 -1 -12 8 0 -13 9 1 -14 3 -1 05 6 0 06 2 1 07 7 -1 18 5 0 19 4 1 1
33
Estos nueve experimentos se pueden representar de forma geométrica sobre el
cuadradoquesepresentaenlaGráfica6.
Gráfica6.Representacióndeundiseño32[14]
Siendounexperimentodenréplicasentonceselmodeloestadísticodeestediseño
quedaríadelasiguienteforma:
𝑦012 = 𝜇 + 𝜏0 +𝛽1 + (𝜏𝛽)01 + 𝜀012 Ecuación14
Siendoµelefectopromedioglobal,τ^elefectodelniveli-esímodelfactorA,β`el
nivel j-ésimo del factor B, (τβ)^` el efecto de la interacción entre τ^ y β`, y ε^`b un
componentedelerroraleatorio.Coni=1,2,3;j=1,2,3;k=1,…,n[14].
Elcálculodelosefectoscuadradosparalosefectosvendrádadoporlassiguientes
ecuaciones[15]:
𝑆𝑆? =cd..F
f&− c...F
&fFf0g# Ecuación15
𝑆𝑆@ =c.h.F
f&− c...F
&fFf1g# Ecuación16
𝑆𝑆?@ =cdh.F
&− c...F
&fFf1g#
f0g# − 𝑆𝑆? − 𝑆𝑆@ Ecuación17
𝑆𝑆ig 𝑌012$ − c...F
&fF&2g#
f1g#
f0g# Ecuación18
34
𝑆𝑆k = 𝑆𝑆i − 𝑆𝑆? − 𝑆𝑆@ − 𝑆𝑆?@ Ecuación19
Al igualqueendiseño2kademásde loscálculosmencionadosanteriormente,es
muy importante la interpretación de las gráficas que corresponden al efecto de los
factores,asícomodesuscombinaciones.
2.5.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL3k
Enesteejemplounaempresaestá investigandosobre la resistenciadelpapel
queproducenapartirdefibrademadera,enesteprocesodeproducciónelinvestigador
sabequeinfluyentresvariableslascualespuedecontrolar,estassondefibrademadera
(A),presióndeltanque(B)ytiempodecoccióndelapulpa(C).
Porelloserealizaundiseñofactorialcontresfactoresdiferentes,concentración
defibrademadera(A),presióndeltanque(B)ytiempodecoccióndelapulpa(C).El
factorA,seprobaráentresnivelesdiferentes,dadoqueesposibleajustarlavariableen
tresvaloresdiferentes,mientrasquelosfactoresByCseprobaránsoloendos.Asíen
lasiguienteTabla12semuestranlosdiferentesfactoresconsusrespectivosniveles[16].
Tabla12.Nivelesparalosfactoresdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.
Factores Nivel(1) Nivel(2) Nivel(3)A A1 A2 A3B B1 B2
C C1 C2
Siendolamatrizdediseñoparaesteexperimento,asícomolarespuestapara
cadacombinacióndelosfactoreslamostradaenlaTabla13.
35
Tabla13.Matrizdeldiseñoparaelejemplo3k.Elaboraciónpropia.
OrdenEst OrdenCorrida TipoPt Bloques A B C Repuesta2 1 1 1 1 1 2 -18 2 1 1 2 2 2 119 3 1 1 3 1 1 911 4 1 1 3 2 1 1310 5 1 1 3 1 2 165 6 1 1 2 1 1 14 7 1 1 1 2 2 26 8 1 1 2 1 2 53 9 1 1 1 2 1 -11 10 1 1 1 1 1 -47 11 1 1 2 2 1 312 12 1 1 3 2 2 21
Con la herramientaMinitab 19, como semuestra en el Anexo I, se realiza el
análisisdeldiseñofactorial,dandocomoresultadolomostradoenlaTabla14enlacual
semuestraelanálisisdevarianzadelosfactores.
Tabla14.Valordelosefectosdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.
Fuente GL SCSec. Contribución SCAjust. MCAjust. ValorF
Modelo 11 656,250 100,00% 656,250 59,659 *Lineal 4 640,333 97,57% 640,333 160,083 *A 2 505,500 77,03% 505,500 252,750 *B 1 44,083 6,72% 44,083 44,083 *C 1 90,750 13,83% 90,750 90,750 *
Interaccionesde2términos 5 13,750 2,10% 13,750 2,750 *A*B 2 1,167 0,18% 1,167 0,583 *A*C 2 10,500 1,60% 10,500 5,250 *B*C 1 2,083 0,32% 2,083 2,083 *
Interaccionesde3términos 2 2,167 0,33% 2,167 1,083 *A*B*C 2 2,167 0,33% 2,167 1,083 *Error 0 * * * * Total 11 656,250 100,00%
36
EnlaTabla14seobservacomolosfactoresA,CyBtienenunefectomuysuperior
alrestoenlarespuesta,porloqueestossonlosfactoressignificativos.
Todosellostienenunefectopositivo,porloquealtrabajarensusnivelesmás
altosseconseguiráunamayorresistencia.
Gráfica7.Interacciónesdelosfactoresdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.
En laGráfica7 seobserva tambiéncomoal aumentarelniveldeAalmismo
tiempoqueelniveldeCaumentamoslaresistenciadelpapel,estoocurretambiénal
aumentarelniveldeAyniveldeB.
Por lo que se puede concluir que es importante tener en cuenta la
concentracióndelamaderaasuvezquelapresiónyeltiempo,yaltrabajarenlos
máximosvaloresseconsigueunamayorresistencia.
37
3.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIAL
FRACCIONADO
38
Los diseños factoriales fraccionados son diseños en los que el número de
experimentos es una fracción del número de experimentos para el mismo diseño
factorialcompleto.Esdecir,eldiseñofactorialfraccionado2k-pesunafraccióndeldiseño
factorial2k.
Cuandosetieneunexperimentoconungrannúmerodefactores,elnúmerode
experimentosarealizarenunaréplicaparaundiseñofactorialcompletodeesteesmuy
elevado. Por ejemplo, en un diseño con 7 factores, se necesita realizar 27=128
combinaciones,esdecir,realizar128experimentos.
En la práctica, existen unos recursos limitados con los que cuenta el
experimentadorpararealizarelexperimento,porloquenosiempreesposiblerealizar
un número elevado de experimentos. Por ello, para poder experimentar con tantos
factores,serecurrealdiseñofactorialfraccionado.
Los diseños factoriales fraccionados, debido al exceso de información que
acumulan los diseños factoriales completos cuando hay muchos factores, permiten
sacrificar información poco importante reduciendo el número de experimentos a
realizar.
Larazónprincipalporlaqueusarestosdiseñoseslamencionadaanteriormente,
lalimitaciónderecursospararealizarungrannúmerodeexperimentos,sinembargo,
existendiversasrazonesamayoresporlasqueutilizarlos[6].
- Redundancia del diseño en ausencia de interacciones de alto orden.
Diferentes experiencias con estudios que contienenmuchos factores han
conducidoalaobservacióndequelasinteraccionesdealtoordentiendena
tenerunefectodespreciableenelexperimento.Enlapráctica, losefectos
principalestiendenasermayoresquelosefectosdeinteraccionesentredos
factores, quea su vez sonmayoresque las interaccionesentre tres, y así
sucesivamente. Por este motivo el diseño factorial completo tiene cierto
gradoderedundanciasielinvestigadorpuedeestarmásomenossegurode
quelasinteraccionesdealtoordensondespreciables.
39
- Hipótesis de diversidad de factores. El uso de diseños factoriales
fraccionados en la investigación industrial y en la biotecnología se basa
primordialmenteenlahipótesisdediversidaddefactores.(Diamond1989,
Haaland1989).Ladiversidaddefactoressuponequeunapequeñafracción
delosefectosdelosfactoresessignificativaparaunproceso,mientrasque
elrestodelosefectosesinerteparalospropósitosprácticos.
Eléxitodeestosdiseñossebasaentresideasclaves[7].
1. Elprincipiodeefectosesparcidosoescasezdeefectos.Cuandoexisten
varias variables, factores, es posible que el sistema se encuentre
dominadoprincipalmenteporlosefectosprincipalesylasinteracciones
deordeninferior.
2. Lapropiedaddeproyección.losdiseñosfactorialesfraccionadospueden
proyectarse en diseñosmás fuertes en el subconjunto de los factores
significativos.
3. Experimentación secuencial. Es posible combinar las corridas de dos
diseños factoriales fraccionados para ensamblar secuencialmente un
diseño más grande y así estimar los efectos de los factores y las
interaccionesdeinterés.
Cuandosellevanacaboestetipodediseñoexistendiferentestiposderesolucióncon
laquenospodemosencontrar.Sinembargo,lasresolucionesmásimportantessonla
resoluciónIII,IVyVenparticular[7].
§ DiseñoderesoluciónIII.Setratadediseñosenloscualesningunodelosefectos
principalesesaliasdeotroefectoprincipal,peroloefectosprincipalessisonalias
de las interacciones de dos factores y algunas de las interacciones entre dos
factoresesaliasdeotrasinteraccionesentredosfactores.Unejemplodeesta
resolucióneseldiseño23-1.
§ DiseñoderesoluciónIV.Setratadediseñosenloscualesningunodelosefectos
principales es alias de otro efecto principal ni de las interacciones de dos
40
factores,perolasinteraccionesdedosfactoressisonaliasentresí.Unejemplo
deestaresolucióneseldiseño24-1.
§ DiseñosderesoluciónV.Setratadediseñosenlosqueningunodelosefectos
principales ni de las interacciones de dos factores son alias de otro efecto
principalointeraccióndedosfactores,perolasinteraccionesdedosfactoressi
sonaliasdelasinteraccionesdetresfactores.Unejemploeseldiseño25-1.
3.1.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-1
Unodelosdiseñosmásutilizadosdentrodeldiseñofactorialfraccionadoesel
medio,esdecireldiseño2k-1,estosdiseñostienenunnúmerodefactoreskcondos
nivelescadaunoyparaunaréplicadeestosserequiereunnúmerodeexperimentos
iguala2k-1,esdecir,lamitaddeexperimentosqueparaunaréplicacompleta.
Eldiseñomássencillodentrodeldiseño2k-1eseldiseño23-1,dadoqueparaeste
diseñok>2notendríasentidorealizarundiseñofraccionadoparaunexperimentocon
solodosexperimentos.
Parallevaracaboeldiseñoesnecesariorealizarlamatrizdeeste,paraellose
realizanlascolumnasdetodoslosfactoresmenoselúltimocomosifueraunamatriz
para un diseño factorial completo, como se ha explicado en apartados anteriores.
Posteriormente,secompletarálacolumnadelúltimofactorcomolainteraccióndelos
otrosdosfactores.
Tabla15.Ejemplomatrizdeundiseño23-1
Orden Factores Interacciones
Std Aleatorio A B C AB AC BC ABC1 1 - - + + - - +2 8 + - - - - + +3 4 - + - - + - +4 3 + + + + + + +
41
Observando la Tabla 15 en la matriz del diseño hay factores que están
confundidos,esdecir,“alias”.Estosfactoressonlosquetienenlamismasecuenciade
signosensuscolumnas.
La columna de la interacción ABC es toda positiva, esto significa que es la
identidad. Esta información es útil para averiguar cuáles son los factores que están
confundidosapartirdeladefiniciónABC=I.
SesabequeAB=C,dadoqueestoesdeloquesepartealahoraderealizarlamatrizdel
diseño23-1.
Parasabercuálessonlosfactoresconfundidossepartedelaspropiedadesque
indicanqueIX=X,XX=I,siendoXcualquierfactor.Porloquesepuedeobservar:
A=A*I=A*ABC=AA*BC=I*BC=BC
B=B*I=B*ABC=BB*AC=I*AC=AC
C=C*I=C*ABC=CC*AB=I*AB=AB
Por lo que A está confundido con BC, B está confundido con AC y C está
confundidoconAB.
3.2.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-p
El diseño 2k-p contendrá un número k de factores, k>2, al igual que se ha
explicado anteriormente, pero podrá ser cualquier fracción, es decir, p puede ser
cualquiervalor.
Lamatrizparaestediseñoserealizarádelamismaformaquelamatrizdeldiseño
2k-1peroseránelnúmeropdefactoreslosqueseancombinacióndelrestodefactores.
Aestoseledenominageneradordeldiseñoyesteseráelegidoporelexperimentador.
42
Porejemplo,paraundiseñodesietefactoresconunafraccióndeuncuarto,es
decir,undiseño27-2=25,seconstruyelamatrizdeformaquelascolumnasdeloscinco
primerosfactoresseráigualquelamatrizparaundiseñocompleto25,mientrasquelos
dosúltimosfactores,FyG,seránlacombinacióndelosotrosfactores.Elgeneradormás
utilizadoparaestediseñoserá:F=ABCyG=ABD.
Acontinuación,enlaTabla16semuestranlosgeneradoresmásutilizadospara
diferentesdiseños[7].
Tabla16.Generadoresmásutilizadosenlosdiseñosfraccionadosfactoriales2k-p.Elaboraciónpropia.
Númerodefactores,k Fracción Númerodecombinaciones Generadoresdediseño3 23-1 4 C=AB 4 24-1 8 D=ABC
525-1 16 E=ABCD 25-2 8 D=AB E=AC
6
26-1 32 F=ABCDE 26-2 16 E=ABC F=BCD
26-3 8D=ABE=AC
F=BC
7
27-1 64 G=ABCDEF
27-2 32 F=ABCD G=ABDE
27-3 16E=ABCF=BCD
G=ACD
27-4 8D=ABE=AC
F=BCG=ABC
8
28-2 64 G=ABCD H=ABEF
28-3 32F=ABCG=ABD
H=BCDE
28-4 16E=BCDF=ACD
G=ABCH=ABD
9
29-2 128 H=ACDFG J=BCEFG
29-3 64G=ABCDH=ACEF
J=CDEF
29-4 32F=BCDEG=ACDE
H=ABDEJ=ABCE
29-5 16E=ABCF=BCDG=ACD
H=ABDJ=ABCD
43
3.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIALFRACCIONADO
Enunaplantadeproduccióndepiezasdeplásticopor inyecciónserealizóun
experimentoparamejorarlacalidaddelaspiezasreduciendosurugosidad.Paraellose
realizaron pruebas del material que consistían en fabricar 100 piezas y obtener el
númeromedioderugosidaddeestas.
Paraesteexperimentosedecidióestudiar lasdiferentesvariablesquepodían
afectaralprocesodirectamente,consideradasporunexperto.Estasvariablesfueron:
A:Recorridodeinyección E:1ªVelocidaddeinyección
B:Temperaturademolde F:2ºVelocidaddeinyección
C:Temperaturadefundido G:Puntodecambio
D:Aperturadelaboquilla H:Fuerzadecierredelmolde.
Estas variables serían los factores del diseño factorial, cada una de ellas era
posibleajustarlaendosvaloresdiferentes,porloqueseríaundiseñofactorialconocho
factoresydosnivelescadauno.
Sin embargo, no había recursos suficientes para realizar un diseño factorial
completocontantosfactores,porloquesellevóacaboundiseñofactorialfraccionado.
Eldiseñoutilizadofueeldiseñofactorialfraccionado28-4,talycomosemuestraenla
Tabla17.Tabla17.Resumendeldiseñoparaelejemplofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
Factores:8 Diseñodelabase:8;16 Resolución:IVCorridas:16 Réplicas:1 Fracción:1/16Bloques:1 Puntoscentrales:0
Generadoresdeldiseño:E=BCD;F=ACD;G=ABC;H=ABD
Lamatrizdediseño,asícomolosresultadosderugosidadqueseobtuvieronse
recogenenlaTabla18,estosvaloressesacaronapartirdelaherramientaMinitab19,
elusodeesteseexplicaenelAnexoI.
44
Tabla18.Matrizdediseñoparaelejemplofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
OrdenEst OrdenCorrida A B C D E F G H Respuesta4 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 32 2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 5,212 3 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 313 4 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 3,38 5 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1,915 6 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 06 7 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 45 8 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 5,310 9 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 5,83 10 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 4,314 11 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 5,816 12 1 1 1 1 1 1 1 1 011 13 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 61 14 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 6,29 15 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 6,37 16 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 0
Estos resultados seanalizaronconMinitab19,obteniendo losvaloresparael
efectodelosdistintosfactores,asícomodesuscombinaciones,talycomosemuestra
enlaTabla19.
Tabla19.Efectodelosfactoresdelejemplodeldiseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
Término Efecto Coef Término Efecto Coef
Constante 3,756 H -0,9875 -0,4937A -0,3375 -0,1688 A*B -0,2625 -0,1313B -2,963 -1,481 A*C 1,1125 0,5562C -2,438 -1,219 A*D 0,08750 0,04375D 0,03750 0,01875 A*E -0,4375 -0,2187E -0,3375 -0,1688 A*F -0,5625 -0,2813F 0,3875 0,1938 A*G -1,1625 -0,5812G 0,4375 0,2188 A*H -0,08750 -0,04375
Siseobservadeformagráficaestosvaloresseobtienenconclusionesmásclaras,
porloquesegraficóenMinitab19losvaloresdeestosefectos.
45
Gráfica8.DiagramadeParetoparalosefectosdeldiseño
factorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
Gráfica9.Gráficanormaldelosefectosparaelejemplodel
diseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
En laGráfica8y Gráfica9seobservacomo losefectosByCson losefectos
significativos, es decir, el efecto de estos factores es mayor que el del resto. Sin
embargo,H,AGyACtambiéncausanunefectoimportanteenelexperimento.
SeobservacomoByCtienenunefectonegativoenlarespuesta,loquesignifica
quealaumentarelniveldeestosdosfactoresdisminuyelarespuesta,larugosidad.Esto
mismoocurreparaelfactorH.
ParaobservarelefectodelasinteraccionesAGyACsegraficanporseparado,tal
ycomoseveenlasGráfica10.
Gráfica10.Interaccionesdelosefectosparaelejemplodeldiseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.
EnlaGráfica10seobservaqueseobtienenlasmenoresrugosidadesajustando
elfactorCenelnivelmásalto,mientrasqueelfactorAsemantienetambiénensunivel
46
másaltos.TambiénseobservaqueparaobtenerlamenorrugosidadGdebeestarenel
nivelmásaltomientrasqueAsemantieneenestetambién.
Sepuedeconcluirasí,quelascondicionesoperativasóptimas,parareducirla
rugosidaddelmaterial,seencuentrancuandosemantienelosfactoresB,C,H,GyA
ensusmayoresniveles.El restode factoreses indiferenteenelnivelenelquese
encuentren, dado que tienen un efecto muy pequeño sobre la rugosidad en
comparaciónconelresto.
3.4.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO3k-p
Estediseño3k-pcontendráunnúmerokdefactores,k>2,contresnivelescada
unoyunnúmerodeexperimentosqueseráfraccióndeldiseñofactorial3k.
En este tipo de diseño con tres niveles es aún más necesario el diseño
fraccionado, dado que es necesario más experimentos con un número de factores
menor. Sin embargo, la estructura de estos diseños, debido a los alias que crea, es
bastantecomplicada.
Para construir estediseño se realizaunaparticióndel diseño3k completoen
bloques.Seconstruyeunafraccióntalque #f
ldeldiseñoparap<k.Lospasosaseguir
serán:
• Enprimerlugar,seseleccionanpfactorescomointeraccionesyseusan
susefectospararealizarlaparticiónde3kcombinacionesposiblesen3p
bloques.Porloquecadabloqueseráundiseñofactorialfraccionado3k-p.
• Posteriormente, se construye la relación de definición I de cualquier
fracción, que constará de los p efectos elegidos inicialmente y de sus
interacciones generalizadas. El alias de cualquier efecto principal o
interacciónseobtendráapartirdelamultiplicacióndemódulo3porIe
I2.
47
Estopuedetraducirseporejemploeneldiseño34-2,elcualtienecuatrofactores
contresnivelescadaunoysufracciónserealizacomo #f
$= #
m,esdecir,unanovena
partedeldiseño34.
• Seseleccionandosfactorescomointeracciones,EyF,dadoquep=2en
estediseño,asíA,BCyDseránlosfactoresprincipales.
• Se seleccionan las interacciones E=AB2C y F=BCD, como los dos
componentes de interacción elegidas para construir el diseño. Las
interaccionesentre ambosefectos seránEF=AC2Dy EF2=ABD2,por lo
quelarelacióndedefiniciónseráI=AB2C=BCD=AC2D=ABD2.
EstodarálugaracuatroaliasIyotroscuatroaliasI2paracadaunodelosefectos
A,B,CyD.Porloquealahoradeestudiarlosresultadostieneunagrancomplejidad.
48
4.BLOQUEODELDISEÑOFACTORIAL
49
Como se ha explicado anteriormente, los diseños factoriales se utilizan
ampliamenteenmuchossectores.Sepuedeverunproductooprocesocomounacaja
negraenlaqueentranlosfactoresqueafectanalarespuestadesalida.Sinembargo,
algunos de los factores no pueden ser identificados o controlados, pero afectan
igualmente a la respuesta, lo cual hace que esta tenga una gran variabilidad. En
cualquier experimento se busca que la respuesta sea óptima con una variabilidad
mínima,poreso,enocasiones,esnecesarioutilizarherramientasqueminimicenesta
variabilidad.
Unodelosejemplosmásclarosdefactoresqueafectanaunexperimentopero
quenopueden ser controlados generalmente son las condiciones ambientales. Para
disminuir la variabilidad de los experimentos, la varianza del error experimental es
necesarioquelascondicionesdeesteseanlomáshomogéneasquepuedan,locualno
siempreesposiblesinlaayudadeherramientas.Unadelasmásutilizadasparatrabajar
encondicioneshomogéneaseselbloqueodelosfactores.
Elmétodo agrupa las unidades experimentales, los factores, en bloques para
comparar los tratamientos en medios más homogéneos, eliminando así, de forma
sistemática, el factor perturbador sobre las comparaciones estadísticas entre los
tratamientos.Paraestoesnecesariotambiénunabuenaeleccióndeloscriteriospara
bloquear, sus categorías generales son: proximidad, características físicas, tiempo y
administracióndetareasenelexperimento.[5]
El objetivo de este diseño consiste en lograr una mayor precisión en los
resultadosdelexperimento.
Estaherramientaconsisteenasignarunsubconjuntodelostratamientosacierto
nivelderuidoquequeremostratar,esdecir,seagruparanlosexperimentosrealizados
bajo condiciones iguales en diferentes bloques. Cada conjunto de condiciones no
homogéneasdefiniráunbloque.
50
Porejemplo,enunexperimentocondosfactoresyunnúmeroderéplicasigual
atrestendremosquesolosepuedenrealizarcadadíacuatroexperimentos,porloque
se han realizado cada réplica en diferentes días con unas condiciones ambientales
diferentes.Esporestoquelosconjuntosdecondicionesnohomogéneasserántres,es
decirsedividiráelexperimentoentresbloques.Estobloquesvendrándefinidosporel
día en el que se realiza el experimento y cada uno de los bloques tendrá las 22
combinacionescorrespondientes.
Con esta herramienta además de la varianza de cada uno de los efectos,
calculadascomoenlaEcuación20,obtendremoslavarianzadelosbloquescomo:
𝑆𝑆@nopqrs =@dF
$M− t…F
$M&u0g# Ecuación20
Siendomelnúmerodebloques,Bilasumadelascombinacionesdecadaunode
losbloquesey…lasumadecadaBi.
Estavarianzanosmostrarásielefectodelbloqueoesútilono.[6]
4.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL
Porotro lado, no siemprees sencillo dividir los experimentos enbloques. En
ocasioneses imposiblerealizarunaréplicacompletaenunbloque,enestoscasosse
utiliza una técnica denominada confusión. Esta técnica hace que la información de
ciertosefectosseaindistinguibledelosbloquesoestéconfundidaconlosbloques.
4.1.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES
Esteapartadoseexplicaráapartirdeuncasoparaquesucomprensiónseamás
sencilla.
51
Se supone una investigación con dos factores a dos niveles cada uno. Este
experimento requieredeunnúmerodehoraselevadoquepermite realizar solodos
combinaciones cada día, debido a los recursos limitados del laboratorio, por lo que
tendremos que decidir qué combinaciones se realizan cada día. Cada conjunto de
combinaciones por día serán los denominados bloques, habrá dos bloques en esta
investigación. Lamatriz del diseño factorial correspondiente sería lamostrada en la
Tabla20ylosbloquespodríanfijarsededosmanerascomosemuestraenlaGráfica11
Tabla20.Matrizdeundiseñofactorial22.Elaboraciónpropia.
Combinaciones A B AB
(1) - - +a + - -
b - + -
ab + + +
Gráfica11.Posiblesagrupacionesdelosfactoresenbloques.Elaboraciónpropia.
LaGráfica11semuestradeformamásdetalladaenlassiguientestablas(Tabla21yTabla22),dondesepuedenobservarlasdisposicionesposiblesparaeldiseñoenbloques.
Tabla21.Disposición1paraeldiseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.
Disposición1
Bloques Combinación A B AB
Bloque1(1) - - +ab + + +
Bloque2b - + -a + - -
Tabla22.Disposición2paraeldiseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.
Disposición2
Bloques Combinación A B AB
Bloque1a + - -
ab + + +
Bloque2b - + -
(1) - - +
EnlaDisposición1,talycomosemuestraenlaTabla21,losefectosprincipales
noestánafectadosporlaformacióndebloquesdadoquetantoAcomoBtienenuna
combinacióndeuntratamientopositivoynegativoencadaunodelosbloques.Elefecto
52
delosbloquesylainteracciónABsinembargosiestáconfundido,dadoquesemuestra
comoencadaunodelosbloquessolocuentanconunsigno.LascombinacionesdeAB
positivas se le asignan al Bloque 1 mientras que las negativas al Bloque 2. Esta
disposiciónsacrificalainformacióndelainteracción.
EnlaDisposición2,talcomosemuestraenlaTabla22,eselefectoAelquese
muestraconfundidoconelbloque.Estadisposiciónsacrificalainformacióndeunefecto
principal.
PorloquelorazonableseráescogerlaDisposición1.
Esto puede aplicarse a cualquier diseño factorial 2k dividido en dos bloques,
escogiendo siempre que las interacciones con mayor número de factores estén
confundidasconlosbloques.
Enlosdiseñosmayoresa22,larepresentacióndelascombinacionesseráncubos
ynocuadrados.Enestecasonoseseleccionanlostratamientosquecomponenlascaras,
dadoqueseestaríafundiendolosefectosprincipalesconlosbloques.
4.1.2.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kEN2pBLOQUES
Lodescritoenelapartadoanteriorpodríaextenderseacualquierdiseñofactorial
2kconfundidoen2pbloques,dondecadabloquecontenga2k-pcombinaciones.
Los cuadrados de los efectos principales se calcularán como si no hubiera
bloques,mientras que la sumade los cuadradosde los bloques será la sumade los
cuadradosdelosefectosconfundidos.
Losbloquessugeridos,asícomolasinteraccionesconfundidasparalosdiseños
factoriales2ksonlosquesemuestranenlaTabla23.
53
Tabla23.Sugerenciadebloquesmáscomún,asícomosusconfusionesparaundiseñofactorial.Elaboraciónpropia.
4.2.CONFUSIÓNPARCIALDELDISEÑOFACTORIAL2k
Enocasionesocurrequealdividirundiseñofactorialenbloquescadaunodelos
bloques tiene una interacción diferente confundida, esto se conoce como confusión
parcial. En estos diseños pueden obtenerse información de las confusiones de los
bloquesapartirdelosotrosbloquesenloscualesnosepresentaestamismaconfusión.
Paracalcularlasumadeloscuadradosdelasinteraccionesseutilizaelefectoen
losbloquesenloscualesestainteracciónnoestáconfundida.
4.3.EJEMPLODEDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES
Unproductoquímicosefabricaenunenvasepresurizado.Enunaplantapiloto
sedeseaestudiarlasvariablesquesecreequeinfluyenenelíndicedefiltracióndeeste
producto.Estasson:
54
• Temperatura(A)
• Presión(B)
• Concentracióndeformaldehido(C)
• Velocidaddeagitación(D).
Cadaunadeellaspresentadosnivelesdiferentes,esdecir,sepuedenajustaren
dosvaloresdiferentesalahoraderealizarelexperimento.Elingenieroapartirdeun
diseño factorial deseamaximizar el índice de filtración. Las condiciones actuales del
proceso producen un índice de filtración alrededor de 75 gal/h, además, la
concentracióndeformaldehidoseusaenunnivelaltoyalingenierolegustaríareducir
estaconcentraciónlomáximoposible.
Sinembargo, tieneuna limitaciónen laplantapilotoparaestediseño,noes
posiblerealizar16experimentosconunsololotedemateriaprima,soloesposiblellevar
acabo8,porloqueelingenierodeciderealizarundiseñofactorialendosbloques.Para
demostrar la utilidad del diseño en bloques le introduce un efecto a este, los
experimentosdelbloque1serealizaránconmateriaprimadepeorcalidadquelosdel
bloque2,porloquelasrespuestasdelprimerbloqueserás20unidadesmásbajasdelo
queseobtendríautilizandolamateriaprimademejorcalidad.
La matriz de este diseño, así como los resultados de filtración obtenidos se
muestranenlaTabla24yTabla25enlaquesepuedeobservarlarespuestadelbloque
1restandolas20unidadescorrespondientes.
Tabla24.Resumendeldiseñofactorialdelejemploendosbloques.Elaboraciónpropia.
Factores: 4 Diseñodelabase: 4;16 Resoluciónconbloques: VCorridas: 16 Réplicas: 1 Bloques: 2 Puntoscentrales(total): 0 Bloque:ABCD
55
Tabla25.Matrizdelejemplodediseñofactorialendosbloques.Elaboraciónpropia.
OrdenAleat OrdenCorrida PtCentral Bloques A B C D Respuesta4 1 1 1 1 -1 1 -1 406 2 1 1 1 1 -1 -1 553 3 1 1 -1 1 1 -1 608 4 1 1 -1 -1 1 1 451 5 1 1 1 -1 -1 1 805 6 1 1 -1 -1 -1 -1 252 7 1 1 1 1 1 1 767 8 1 1 -1 1 -1 1 256 1 1 2 -1 -1 -1 1 438 2 1 2 -1 1 -1 -1 482 3 1 2 1 -1 1 1 863 4 1 2 1 1 -1 1 1045 5 1 2 1 1 1 -1 651 6 1 2 -1 1 1 1 704 7 1 2 1 -1 -1 -1 717 8 1 2 -1 -1 1 -1 68
ElefectodelBloquesepuedecalcularapartirdeladiferenciapromediodelas
respuestasentrelosdosbloquesmenoselefectoquetendríalainteracciónABCD(sin
realizareldiseñodebloques).
𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 𝑦C# − 𝑦C$ − 𝐴𝐵𝐶𝐷 =4066 −
5558 − 1,375 = −20
Alrealizarelanálisisdeldiseñofactorialobtenemoslossiguientesresultados.
Gráfica12.Grafícanormaldelosefectosdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.
Gráfica13.DiagramadeParetodelosefectosdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.
56
EnlasGráfica12yGráfica13,seobservacomolosfactoresA,B,C,D,ACyAD,
sonlosfactoresconunefectosignificativo.Elfactorconmásefectoenlarespuestaes
elfactorA,elcualtieneunvalorpositivo,loquesignificaquealaumentarelnivelde
esteaumentalarespuesta,elíndicedefiltración.
ElefectoB también tienenunefectopositivo,por loqueal igualqueparael
factorA,alajustarloensunivelmásaltoaumentamoselíndicedefiltración.
LosefectosCyDtienenunefectosignificativopositivotambién,sinembargo,es
mayorelefectodesusinteraccionesconelfactorA,porloqueparapoderllegaruna
conclusiónhayqueobservardequémanerainteraccionanconA.Estopuedeobservarse
enlasiguienteGráfica14.
Gráfica14.Interaccionessignificativasdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.
SeobservacomoparaunnivelaltodeAlasmejorescondicionessonunnivel
bajodeCyunnivelaltodeD,estollevaaunmayoríndicedefiltración.
Por loquesepuedeconcluirque lascondicionesóptimasparaconseguirun
mayoríndicedefiltraciónsedarántrabajandoconlosfactoresA,ByDensusniveles
másaltosmientrasqueconCensunivelmásbajo.
Siserealizaraestediseñofactorialsinbloques,comolosochoprimerostendrían
unefectoconunamagnitudde-20,elresultadohubierasidomuydistinto.Eldiseñode
bloqueshacequeestonoocurrapudiendoasí trabajar con losdos lotesdemateria
prima.
57
ESTUDIOAMBIENTAL
58
Estetrabajoesunarevisiónbibliográfica,porloqueelúnicoimpactoambiental
que causa es de forma indirecta, provocado por el consumo eléctrico. Dado que el
procesodeestaenergíaeléctricaqueseutilizacausaunimpactoambientalenlatierra.
La producción de esta energía es una de las causas más importantes de
emisionesdegasesdeefecto invernadero.Segúnseaelorigendeestaenergía tiene
tambiénmásimpactosambientales[17].
• Productosquímicosqueseemitenenlascentralestérmicasdecarbóny
derivados de petróleo. Estos pueden provocar lluvias ácidas que es
causante de deterioro y destrucción de bosques, lagos y otros
ecosistemas.
• Residuos radiactivos provocados por las centrales nucleares, estos
suponenunagranamenazaparaelmedioambientedadoqueexisteuna
incapacidadactualdegestionarlos.
Parapoderestimarunvalordeestasemisionesdegasesdeefectoinvernadero
seaplicaunfactordeemisióndeCO2queseatribuyealsuministroeléctrico,esteserá
de181gCO2/kWh[18].
Seconsideraunvalormediodeconsumoanualporpersonade5.500kWh/año
[18].
PorloquesepuedecalcularunaemisiónanualdeCO2de:
5.500 2|}
Bño𝑥0,181 2�[�F
2|}=995,5 2�[�F
Bño
EsteseráelvalordelaemisióndeCO2causadaporelestudioquesehallevado
acabo,queproduceunmayorimpactoambiental.
59
ANÁLISISECONÓMICO
60
Altratarsedeunarevisiónbibliográficaelanálisiseconómicoserealizadeforma
sencilla,dividiendolosgastosquepuedegenerareltrabajoenmaterialutilizadoycoste
delpersonal.
Eltiemporequeridopararealizarestetrabajohasidode300horas,conunritmo
detrabajode40hsemanales,8horasy5díasalasemana,sepuedeaproximarados
mesesdecontratodetrabajoparauncálculomássencillodeloscostes.
Materialnecesario
Enestecasonoserequiereunmaterialcomplejoparallevaracaboestetrabajo
yaqueloslibrosutilizadossepuedenencontraronlineoenbibliotecasdeusopúblico,
porloquenotienencostealguno.Sinembargo,siesnecesariounordenadorconacceso
ainternetparallevaracabolasbúsquedas,asícomolalicenciadeMinitab19parallevar
acabolosejemplos.
Pararealizarelcostedelmaterialsesuponeunaoficinadeconsultoríapequeña,
50m2,con10empleadosyyaenmarcha.
Loscostesincluidosencostesdematerialson:
Ø Ordenadorportátil.Tabla 26. Factura ficticia del ordenador portátil. Elaboración propia.
Articulo Cantidad Precio TotalarticuloOrdenadorportátil 1ud 1000€/ud 1000€Baseimponible %IVA CuotaIVA Totalfactura
1000€ 21 210€ 1210€Totalfactura Vidaútil Costemensual COSTETOTAL
1210€ 5años 20,16€/mes 40,33€
61
Ø FacturaInternet.Tabla 27. Factura de Internet ficticia. Elaboración propia.
Ø LicenciaMinitab19Tabla 28. Factura de compra Licencia Minitab 19. Elaboración propia.
Ø SuministrodeAguaTabla 29.Factura de suministro de agua bimestral ficticia. Elaboración propia.
Total(baseimponible18%) 30,65IVA(18%) 5,52
Total(baseimposible8%) 5,00IVA(8%) 0,40
Conceptosnosujetosoexentodeimpuestos 1,20Totalfacturamensual 42,77€
Totalfactura 85,54€Empleados 10
COSTETOTAL 8,55€
Producto Cantidad Precio TotalproductoLicenciaMinitab19(1usuario) 1 1243,8€/ud 1243,8€
Baseimponible %IVA CuotaIVA Totalfactura[19]1243,8€ 21 261,2€ 1505€
Totalfactura Vidaútil Costemensual COSTETOTAL1505€ 1año 125,4€/mes 250,8€
Consumo Volumen(m3) Preciounitario(€/m3) Importe(€) IVACuotadeservicioconsumo
Tramohasta12m3
12
0,6215,347,43
10%10%
Suministrodeagua 22,77 Tramohasta12m3
Canóndeagua 12 0,495,925,92
10%
IVAdel10% 2,87 TOTALFACTURA 31,56
TasaMetropolitanaTratamientodeResiduosMunicipales 4,79 TOTALIMPORTEFACTURA 36,35
Empleados 10 COSTETOTAL 3,63
62
Ø SuministrodeenergíaTabla 30. Factura de suministro eléctrico ficticia. Elaboración propia.
Concepto Cálculos Importe
Facturadelconsumo 1,159kWhx0,144478€/kWh 167,45
Potencia 5,5kWx61x0,05988€/kWdia 20,09
Impto.Electricidad 187,54€*1,05113*4,864% 9,59
Subtotal 197,13
IVA(21%) 41,39
TOTALFACTURA 238,52€
Empleados 10
COSTETOTAL 23,85€
AsíloscostestotalesdematerialseránlosmostradosenlaTabla 31.
Tabla 31. Coste de material. Elaboración propia.
Material Costetotalporempleado
Ordenador 40,33€
Accesoainternet 8,55€
LicenciaMinitab19 250,8€
Agua 3,63€
Electricidad 23,85
TOTAL 327,16€
Costepersonal
EnestecasoesnecesarioelcontratodeunaIngenieraQuímica,paraquellevea
caboeltrabajo.Loqueconllevalossiguientesgastosparaunaempresa:
Ø Seguridad social de la persona contratada y sus prestaciones, es obligatorio
pagarunporcentajedelsalariobrutoporcadaunodelostrabajadoresquese
contrata.Estosueleserun31%delsalariobrutoparaoficinas.
63
Ø Salario bruto del empleado, en este caso será de 15 €/h. Y como se ha
mencionadoanteriormente,40h/semanaysuponiendouncontratode2meses.
AsíloscostesdepersonalseránlosmostradosenTabla 32.
Tabla 32.Coste del personal. Elaboración propia.
Salariobrutoempleado 5.229€
Seguridadsocialyprestaciones(31%) 1.621€
TOTAL 6.850€
Sumandoloscostesdelmaterialrequeridoyloscostesdelpersonal,seestipulan
unoscostestotalespararealizarelproyectode7.177,16€
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CONCLUSIÓN
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Con el estudio previo se puede concluir que, el método de diseño de
experimentosfactorialesdegranutilidadparacualquierprocesodeingenieríaquímica,
tantoen la fasededesarrollocomopara lamejoradelprocesoyaenmarcha.Dicho
métodoeliminalanecesidaddeunestudiodepruebayerror,permitiendolaadaptación
delosprocesosylaoptimizacióndesuscondiciones.
Esteesunaherramientaqueofrecedeformaclaraysencillasolucionesenel
diseño de experimentos, ahorrando tiempo y recursos, así como proporcionando al
experimentovalidez,precisiónyeficacia.
Cuandoestesoftwareseutilizadeformaadecuada,esdecir,cuandoseadapta
al experimento y a los recursosque tienea sualcanceel experimentador, sepuede
conseguirunresultadoóptimo,olomáscercaposibledelóptimo.Estosedebeaquese
puedenmodelarlosparámetros,enlosquesetienequemantenerelexperimento,de
unaformasencilla.
Además, con este trabajo se ha podido concluir también, que existen
experimentos en los que si solo se estudian las variables independientes se llega a
conclusioneserróneas.Porelloesmuyimportanteeldiseñodeexperimentosfactorial,
elcualnosmuestraelefectode las interaccionesytodas lascombinacionesposibles
entrelasvariables,quesínosllevaarespuestasválidas.
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67
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69
19.”MinitabStatisticalsoftware”,Minitab.com,2020,https://www.minitab.com/es-
mx/products/minitab/pricing/
70
ANEXOI
71
Minitab 19 es una herramienta muy sencilla de utilizar e intuitiva para los
ejemplosqueenesteTrabajodeFindeMástersemuestran.
Enprimerlugar,esnecesariocrearunnuevodocumento,yenesteseleccionar
enEstadísticasàDOEàFactorialàCreardiseñofactorial.
Unavezseleccionadoesto,dependiendodelejemploseseleccionaráundiseño
u otro. En Minitab 19 solo es necesario introducir el número de factores que se
estudiarán y el tipo de diseño que se requiere. Para elloMinitab 19 cuenta con las
distintasopcionesquesepuedenseleccionardeformamuysencilla,comosemuestra
enlaGráfica 15.
Gráfica 15.Crear diseño factorial. Minitab 19.
En el botón de diseños que se muestra en la Gráfica 15 se seleccionan
“Diseños..”,enladerechadelaventana,aquíaparecerándiseñoscomoelfactorialylos
bloquesquesedesean,comopuedeverseenlaGráfica 16.
Gráfica 16.Opciones de diseño. Minitab 19.
72
Unavezseseleccionatodoeldiseño,Minitab19muestralamatrizdeldiseñoen
laparteinferiordelapantalla,enestapartehayqueañadirunanuevacolumnaqueserá
dondeseescribalarespuestadelexperimentoparacadaunadelascombinacionesde
losfactores.Conestoúltimoestarácreadoeldiseño.
Unavez realizadoeldiseñoseprocedeaanalizarlo.Paraelloen laspestañas
superiores hay que seleccionar Estadísticasà DOEà Factorialà Analizar diseño
factorial.
Gráfica 17.Análisis del diseño. Minitab 19.
AlseleccionarelanálisisapareceunapestañacomolamostradaenlaGráfica 17,
hayqueseleccionarcualserálarespuestaaanalizar,elnombrequeselehayapuestoa
la respuesta, rugosidad, rendimiento, etc. Enestapestaña también se selecciona las
gráficasquesequierenanalizar,comopredeterminadasestántantolagráficanormal
comoeldiagramadeParetoquesonlasqueseutilizarán,talycomosepuedeobservar
enlaGráfica 18.
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Gráfica 18. Tipos de gráficas para el análisis del diseño.Minitab 19.
Alaceptaresteanálisis,Minitab19nosmostraráunresumendenuestrodiseño,
así como el efecto de cada una de las combinaciones en una tabla. Nos mostrará
tambiénunanálisisdevarianzaenlamayoríadecasosylaestructuradealiasdenuestro
diseño.Además,enesta selecciónMinitab19 tambiénmuestra la gráficanormalde
efectosyeldiagramadeParetodeestoscomohemosdeterminadoanteriormente.Con
esto podemos conocer de forma sencilla los efectos significativos.Que será los que
tenganunvalordeefectoconsiderablementemayoralrestopor loqueaparecenen
rojoenlagráficanormaldeefectososuperanlalíneadereferenciaeneldiagramade
Pareto.
Minitab19tambiéntienelaopciónderealizarmásgráficasademásdelasdos
mencionadasanteriormente,paraelloesnecesario seleccionarEstadísticasàDOEà
FactorialàGráficasfactorialesoGráficasdecubo…dependedelaquesenecesite.En
estapestañanosmostrarálaopcióndeelegircualesfactoresycombinacionesgraficar.
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