Download - Diseño de Experimentos - … · Supuestos y comparaciones múltiples Diseño de Experimentos Diseño de Experimentos - Ing. Ricardo Fernando Otero - Maestría Ingeniería Industrial

Supuestos y comparaciones múltiples

Diseño de Experimentos

Diseño de Experimentos - Ing. Ricardo Fernando Otero - Maestría Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Pruebas estadísticas

Pruebas de bondad de ajuste

Prueba de hipótesis para probar si un conjunto de datos se puede asumir bajo una distribución de probabilidad en particular.

Gráfico asociado: histograma con curva de probabilidad

Anderson Darling, Chi cuadrado, Kolmogorov-Smirnov

Pruebas de aleatoriedad

Pruebas de hipótesis para probar si una secuencia de números puede aleatoria.

Correlogramas, rachas.

Gráfico asociado: Nube de puntos Orden vs. variable.


Pasos para analizar los datos

Estadística descriptiva

Promedio y varianza de toda la muestra.

Promedio y varianza de cada tratamiento.

Efectos de cada tratamiento.

Histograma y diagrama de cajas por tratamiento.

Prueba de supuestos.

ANOVA.

P-value.

Grafico de medias.

Comparaciones por pares.


Prueba de Supuestos (1)

Independencia ¿Por qué?

Para evitar posibles efectos de factores no controlables.

Puede agregar errores sistemáticos.

Variable a probar Valores muestrales.

Residuos.

Gráficos Nube de puntos Orden de Recolección vs. Valores recolectados.

Nube de puntos Orden de Recolección vs. Residuos.

Nube de puntos Predichos vs. Residuos.

Correlograma de los residuos.

Prueba de Hipótesis Rachas centrada en 0.

Convertir la secuencia de residuos a +−++−−− y contar el número de rachas para compararlo con las tablas existentes o realizar aproximación a la distribución normal.


Tabla de Rachas


Prueba de Supuestos (2) Normalidad

¿Por qué? Teorema Central del Límite.

ANOVA es robusto ante desviaciones moderadas del supuesto.

Variable a probar Valores muestrales recolectados según el orden.

Residuos.

Gráficos PP o QQ plots.

Histograma junto con la gráfica de densidad normal. Ordenar Residuos de menor a mayor.

Obtener frecuencia relativa acumulada muestral 𝑃(𝑋 ≤ 𝑒𝑖𝑗). Es la probabilidad de encontrar en la muestra un número menor o igual a cada residuo. De ser necesario aplicar corrección de Yates (-0.5).

Obtener frecuencia relativa acumulada esperada 𝑃(𝑁 ≤ 𝑒𝑖𝑗). Es la probabilidad de que una variable normal con (𝜇 = 0, 𝜎2 ) sea menor o igual a cada residuo.

Graficar las dos frecuencias.

Prueba de Hipótesis Kolmogorov Smirnov: Máxima diferencia entre frecuencia esperada y observada.

Obtener la diferencia en valor absoluto y seleccionar el máximo para compararlo con tablas.

Si hay datos repetidos sólo debe tomarse la última observación.

Chi Cuadrado: Suma de los errores del histograma de frecuencia absoluta vs. el histograma esperado según la distribución de probabilidad.


Tabla Kolmogorov Smirnov


Prueba de Supuestos (3) Homogeneidad de varianzas

¿Por qué? ANOVA compara variabilidad entre los promedios vs. variabilidad dentro de los

grupos.

ANOVA es robusto ante pequeñas desviaciones de este supuesto.

Variable a probar Valores muestrales recolectados según cada tratamiento.

Residuos.

Gráficos Diagrama de cajas o puntos de los valores muestrales para cada tratamiento.

Nube de puntos Predichos vs. Residuos.

Prueba de Hipótesis Prueba de Barlett: Es sensible al supuesto de normalidad.

Prueba de Levene: Es robusta ante el supuesto de normalidad. Obtener las diferencias entre 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖. para todos los valores obtenidos. Cada valor

representa la variabilidad dentro de cada grupo respecto a su media. El estadístico de Levene será entonces el mismo Fp de una prueba ANOVA.

Es necesario que existan al menos 3 réplicas por tratamiento para poder realizar la prueba, sino, todos los 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖. serán iguales para cada tratamiento por lo que SCE=0.

Si el número de réplicas es menor a 3 debe usarse únicamente los gráficos.


Análisis de resultados

Bajo Ho

𝑦𝑖𝑗~𝑁 𝜇 = 𝑦 .., 𝜎 = 𝐶𝑀𝐸

𝑦 𝑖.~𝑁 𝜇 = 𝑦 .., 𝜎 =𝐶𝑀𝐸

𝑛

𝑒𝑖𝑗~𝑁 𝜇 = 0, 𝜎 = 𝑘

Recordar

𝜎 2 = 𝐶𝑀𝐸 = 𝑆𝑝2


Comparaciones múltiples

Intervalos de confianza Corrección de Bonferroni.

Contrastes – Preplaneados Hipótesis que se plantearon antes de recolectar y observar

los datos.

Necesarios cuando se tiene un grupo de control.

Pruebas Post-Hoc Realiza todas las comparaciones por pares.

La realización conjunta de pruebas de hipótesis inflan el error tipo 1.

Los métodos varían dependiendo de qué tan conservadores son al inflar el erro tipo 1.


Contrastes Pre-Planeados ¿Qué son?

Comparaciones que el investigador desea realizar antes de obtener los datos.

Son usadas cuando se tiene un grupo de control del experimento. Funcionan igual que una prueba t de comparación de medias,

asumiendo varianzas poblacionales iguales al CME.

Expresión

𝑐𝑖𝜇𝑖𝑖=𝑎𝑖=1

Combinación lineal de las medias poblacionales.

𝐶 = 𝑐𝑖𝑦 𝑖.𝑖=𝑎𝑖=1 𝑉𝑎𝑟 𝐶 = 𝜎2

𝑐𝑖2

𝑛𝑖

𝑖=𝑎𝑖=1

Se expresan con el promedio de los tratamientos.

𝑐𝑖 = 0𝑖=𝑎𝑖=1

Hipótesis nula de igualdad de las medias poblacionales.

𝑐𝑖𝑓𝑖 = 0𝑖=𝑎𝑖=1

Ortogonalidad entre 2 contrastes para poder separar sus sumas de cuadrados.


Contrastes Pre-Planeados (2)

Ejemplo contraste : Se desea probar el grupo de control 1

Características: Al contrario del resultado del ANOVA prueban hipótesis específicas de los tratamientos.

Se realizan para comparaciones de medias de grupos poblacionales.

Permiten obtener información de grupos de control.

Son conjeturas del experimento que se tienen antes de observar los datos.

Uso: Diseñar las pruebas de hipótesis según las intenciones del experimentador y conocedor del

proceso.

Evaluar las pruebas de hipótesis y obtener: Valor del contraste, estadístico de prueba, intervalo de confianza y valor p.

Se pueden generar sólo 𝑔𝑙𝑇𝑟 − 1 contrastes que deben ser pre-planeados y ortogonales.


Prueba de hipótesis del contraste

Contraste canónico:

Reordenamiento del contraste para que sea igual a 0

Estadístico de prueba:

Estadístico t-student.

Intervalo de confianza

Del valor del contraste

𝐻𝑜 → 3𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇4 = 0

t𝑔𝑙𝑠𝑐𝑒 ≈𝜇 𝑐−𝜇𝑐|𝐻𝑜

𝜎 𝑐

𝑃 𝜇 𝑐 ± t𝛼/2,𝑔𝑙𝑠𝑐𝑒𝜎 𝑐 = 1 − 𝛼


Suma de cuadrados Si el contraste se eleva al cuadrado debe usarse una F con 1, Gle grados de

libertad. 𝑡𝑣2 = 𝐹1,𝑣.

La suma de cuadrados del contraste será: 𝑆𝐶𝐶𝑜𝑛 =𝜇 𝑐

2

𝑐𝑖2

𝑛𝑖

𝑖=𝑎𝑖=1

Note que SCCon/CME sigue una distribución F con 1, Gle.

Condiciones de los Contrastes

Toda pareja de contrastes pertenecientes a la matriz A son ortogonales si:

Ortogonalidad: Garantiza que cada uno de los

contrastes sea linealmente independiente del otro

Permite separar la suma de cuadrados.

Máximo 𝑔𝑙𝑇𝑟 − 1: Contrastes

Incrementar el número de contrastes altera el error tipo 1.

Los contrastes deben ser pre-planeados

Asegura cumplir con el valor del error tipo 1, de lo contrario serían comparaciones forzadas producto de ver los datos.


Notación de Yates para factores de dos niveles Concepto

Es una representación de los tratamientos en un experimento.

Si existe un factor de dos niveles, (+, -) indica el tratamiento utilizado.

En un tratamiento, un factor en un nivel alto será representado por una letra en minúscula.

En un tratamiento, un factor con nivel bajo será representado por la ausencia de la letra que lo representa.

Su construcción se logra al agregar cada letra minúscula y combinarla con todas las listadas anteriormente (Yates).

Los números representan los coeficientes de los contrastes canónicos ortogonales.


Matriz de diseño 2 factores con 2 niveles

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴 = − 1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏

0 = − 𝐴−𝐵− + 𝐴+𝐵− − 𝐴−𝐵+ + 𝐴+𝐵+

𝐻𝑜: 𝜇𝐴−𝐵− + 𝜇𝐴−𝐵+ = 𝜇𝐴+𝐵−+𝜇𝐴+𝐵+

𝐻𝑜: 𝜇𝐴−𝐵− + 𝜇𝐴+𝐵− = 𝜇𝐴−𝐵++𝜇𝐴+𝐵+

Matriz de diseño 1 factor con 2 niveles 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴 = − 1 + 𝑎

0 = − 𝐴− + 𝐴+

𝐻𝑜: 𝜇𝐴+ − 𝜇𝐴− =0

Cálculo de contrastes en SPSS

Anova un factor:

Analizar Comparar medias Anova una vía Añadir variable dependiente y

factores

Contrastes

Los contrastes polinómicos ayudan a evaluar el efecto no lineal de los factores.

Ingresar coeficientes de los contrastes

Aceptar



Anova multifactorial:

Analizar Diseño lineal general Univariado Añadir variable dependiente y

factores

Contrastes

Los diferentes tipos de contrastes comparan las medias de las poblaciones en diferente forma.

Los contrastes polinómicos prueban los efectos no lineales de los factores

Es posible agregar contrastes especializados a través de sintaxis con la función “contrast” ó “Lmatrix”.

Elegir el tipo de contraste Cambiar Aceptar


Pruebas Post Hoc

Características Son pruebas de comparación de medias que penalizan el hecho de

analizar antes los resultados del ANOVA, para que no se altere significativamente el error tipo 1 de la prueba.

A diferencia del ANOVA se realizan sólo comparaciones por pares, por lo que es posible que el resultado del ANOVA sea significativo, pero ninguna de las comparaciones por pares lo sea.

Permiten realizar comparaciones múltiples para identificar los factores significativamente diferentes y así obtener una conclusión sobre qué tratamiento es el adecuado.

Las diferencias entre las familias de pruebas Post-Hoc dependen de qué tan grande es la penalización

Existe una gran cantidad de pruebas Post-Hoc, algunas más conservadoras como Bonferroni, Scheffé y otras un tanto menos como Tukey y DMS.

Cada una de las pruebas consiste en estimaciones diferentes de las comparaciones de medias.


Pruebas Post Hoc

Consideraciones Consiste en un gran error forzar el uso de masivas técnicas Post-Hoc

para encontrar las conclusiones deseadas ya que se incrementaría el error tipo 1 de la prueba.

Bonferroni penaliza únicamente según el tamaño del total de comparaciones dependiendo del número de medias a comparar.

Dunnet penaliza según el tamaño del total de comparaciones posibles, por lo que no se recomienda cuando se utiliza en comparaciones con grupos “pequeños”

SPSS brinda para las pruebas de Duncan, Tukey y Dunnet conjuntos homogéneos que agilizan el análisis de los resultados de las pruebas.

Si existe interacción es necesario hacer análisis separados de las pruebas Post-Hoc a diferentes niveles del factor con interacción.

Las pruebas más comúnmente utilizadas son Bonferroni, Tukey y Dunnet.



Analizar Diseño lineal general Univariado Añadir variable dependiente y

factores

Post-Hoc

Los resultados de las pruebas indican para cada comparación el valor p de la hipótesis nula de que las medias son iguales.

Los grupos homogéneos indican las medias que se consideran significativamente diferentes.

Es posible realizar pruebas Post-Hoc divididas según el valor de un factor (interacción) acudiendo a sintaxis con: /EMMEANS=TABLES(x*y) COMPARE(x) ADJ(BONFERRONI)

Elegir el tipo de prueba Agregar

variables Aceptar

Anova multifactorial


Prueba DMS

Características

No es tan conservadora en la penalización del error tipo 1.

Consiste en realizar una prueba de diferencia de medias.

La estimación de Sp viene del CME.


Tamaño de Muestra Se utilizan las curvas de operación característica

Las OC son gráficas del error tipo 2 contra otros elementos del experimento.

Mínimo diferencia detectable Se obtiene n para garantizar una probabilidad del k% de rechazar

la hipótesis nula si es que se presenta una diferencia D entre los promedios poblacionales.

Mínimo incremento de la desviación estándar Se obtiene n para garantizar una probabilidad del k% de rechazar

la hipótesis nula cuando los tratamientos incrementan un valor d la desviación estándar.

Intervalo de confianza de un contraste Utilizando la idea de un contraste previo sobre la diferencia de

medias de dos tratamientos (Igual a LSD). Determinar n para asegurar cierta amplitud L del intervalo de confianza.


Curva de Operación característica

𝑣1 = 𝐺𝑙𝑇𝑟

𝑣2 = 𝐺𝑙𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

Tomado de: Montgomery 2012, Diseño de Experimentos.


Mínimo diferencia detectable

La prueba detectará con un k% diferencias entre los promedios de los tratamientos de más de D.

Valores

Φ → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑂𝐶.

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟é𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜.

𝐷 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

𝑎 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠.

Relación

Φ2 =𝑛𝐷2

2𝑎𝜎2


Mínimo incremento de la desviación estándar

La prueba detectará con un k% si la variabilidad de un tratamiento se incrementa en una cantidad p.

Recordar que:

𝐸 𝑆𝐶𝑇𝑟 = 𝜎2 +𝑛 𝜏𝑖

2∀𝑖

𝑎−1

Valores

Φ → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑂𝐶.


𝑝 = 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜.

Relación

Φ2 = 1 − 𝑝 2 − 1 ∗ 𝑛


Intervalo de confianza de un contraste

Valores

𝐴 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜


𝐶𝑀𝐸 = 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎.

𝑎 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠.

𝑁 = 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Relación

𝐴 = 2 ∗ 𝑡𝛼2,𝑁−𝑎 ∗

2𝐶𝑀𝐸

𝑛
