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Page 1: Dinamica Rotacional.

Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

I.U.T “Antonio José de Sucre”

Alumno: Gustavo MendozaCurso: Física

Tutor: Marienny ArriecheJulio 2015

Dinámica Rotacional

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El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante

en las teorías físicas de la mecánica, su importancia se

debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales

de los sistemas físicos. El momento angular para un

cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es

la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de

la velocidad angular.

Momento Angular de una Partícula

L = r × m v

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Momento Angular de un Sólido Rígido

El momento angular es una cantidad vectorial y se deriva de la expresión del momento angular de una

partícula. Se define como el producto del momento de inercia por la velocidad angular, el cual es análogo al momento lineal y está sujeto a la restricción del

principio fundamental de la conservación del momento

angular si no actúan pares externos sobre el objeto.

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Teorema de SteinerDebe su nombre al geómetra suizo del siglo XIX 

Jakob Steiner.El teorema de los ejes paralelos o teorema de

Steiner es usado en la determinación del momento de inercia de un solido rígido sobre

cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través

del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. Además, se usa para

calcular el segundo momento de área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo

momento sea conocido. Jakob Steiner

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El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es IO = X i miri 2 El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es IC = X i miRi 2 Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri . La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región planaD:

donde: es el momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo; es el momento de inercia planar de D relativa a su centroide; es el área de una región plana D; es la distancia del nuevo eje z al centroide  de la región plana D

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La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.El momento angular de un sistema de partículas se define como la suma vectorial del momento angular de cada una de ellas:

Es importante destacar que para calcular la suma de los momentos de las fuerzas externas es necesario calcular el momento de cada una de las fuerzas y luego sumarlos todos vectorialmente.

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Principio de conservación del momento angularEl principio de conservación de la energía es uno de los

principios fundamentales de todas las disciplinas científicas, en variadas áreas de la ciencia habrá ecuaciones primarias

que se pueden ver exactamente como una apropiada reformulación del principio de conservación de la energía. El

momento angular de un sistema aislado permanece constante en magnitud y en dirección.

El momento angular se define como el producto del momento de inercia I, y la velocidad angular ;es una Cantidad

vectorial y la suma de vectores de los momentos angulares de las partes de un sistema aislado es constante. Esto

supone una fuerte restricción sobre los tipos de movimientos rotacionales que pueden ocurrir en un sistema aislado. Si a una parte del sistema se le da un momento angular en una

dirección determinada, entonces alguna otra parte del sistema, debe simultáneamente obtener exactamente el

mismo momento angular en dirección opuesta. La conservación del momento angular es una simetría absoluta de la naturaleza. Es decir, no tenemos constancia de ningún

fenómeno en la naturaleza que lo haya violado.

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Trabajo y Energía Rotacional Energía cinética : es la energía asociada al movimiento a través del espacio. En un objeto que rota, no se

ve un cambio de posición en el espacio, lo que provoca que no exista energía

cinética asociada el movimiento traslacional. Cada partícula que

conforma el objeto, se mueve siguiendo trayectorias circulares, por lo tanto hay una energía cinética asociada a dicho movimiento. Para obtener la energía

cinética de un cuerpo que rota, se debe sumar la energía cinética que posee

cada partícula, es necesario saber que cada una de estas partículas posee la

misma velocidad angular.

K I R = ω

• El trabajo: Si una sola fuerza se aplica en un punto, el trabajo que suministra F

al objeto a medida que el punto de aplicación da vueltas es:

dW = F sen φrdθ = τdθ

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ENERGÍA CINETICA DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN

La energía cinética de un objeto girando es análoga a la  energía puede expresarse en términos del momento de inercia y de la velocidad angular. La

energía cinética total de un objeto extenso, se puede expresar como la suma de la energía cinética de traslación de su centro de masa y la energía

cinética de rotación sobre el centro de masa.Las expresiones para la energía cinética rotacional y lineal puede desarrollarse

en paralelo desde el principio trabajo-energía. 

Etotal = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 + mgh

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GiróscopoDispositivo mecánico que sirve para medir,

mantener o cambiar la orientación en el espacio de algún aparato o vehículo. Está formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor del

eje de dicha simetría. Cuando el giróscopo se somete a un momento de fuerza  que tiende a cambiar la orientación de su eje de rotación,

tiene un comportamiento aparentemente paradójico, ya que cambia de orientación (o experimenta un momento angular en todo

caso, si está restringido) girando respecto de un tercer eje, perpendicular tanto a aquel respecto del cual se lo ha empujado a girar,

como a su eje de rotación inicial

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Sus propiedades fundamentales son :

la inercia giroscópica o "rigidez en el espacio" y la precesión, que es la inclinación del eje en

ángulo recto ante cualquier fuerza que

tienda a cambiar el plano de rotación. Estas

propiedades se manifiestan a todos los cuerpos en rotación,

incluida la Tierra.

El efecto giroscópico, puede observarse fácil y

cotidianamente en peonzas, o monedas

lanzadas a rodar

•  La causa del efecto giroscópico es el cambio

en la dirección de desplazamiento de la

masa del disco, con una componente paralela al

eje de rotación inicial, de sentido contrario en cada extremo del disco. Ésta nueva componente del

movimiento implica una reacción de sentido contrario (3a Ley de

Newton), que se manifiesta en el momento angular que experimenta

el giróscopo.

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De acuerdo con la mecánica del solido rígido , además de la rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesión y la nutación, lo cual se deduce se deduce de las ecuaciones de Euler.

Precesión: ocurre cuando se aplica un momento  a un cuerpo en rotación cuyo momento angular es  y siempre que  no sea colineal con el momento angular original , la dirección del eje de rotación del cuerpo se anima de un movimiento de rotación de velocidad angular , también llamada velocidad de precesión, está relacionada con el momento y el momento angular por la fórmula:

Nutación: es movimiento de oscilación transitorio que ocurre cuando el momento que causa la precesión cambia de valor, la velocidad de precesión también cambia de valor. Este cambio sucede cuando hay un periodo de transición durante el cual el giróscopo «cede» un poquito al momento en la misma dirección que un objeto que no gira. Después el giróscopo recobra lo que había cedido, oscilando en la dirección del momento alrededor de la trayectoria de precesión final

Para entender cuantitativamente el movimiento de un giróscopo, podemos utilizar la segunda ley de Newton para la rotación junto con las relaciones donde Ι es el momento de inercia y ω es la velocidad angular de la rueda respecto a su eje de spin.

En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el momento angular de la rueda debe darse en la dirección del momento de la fuerza que actúa sobre la rueda.

La velocidad angular de precesión puede calcularse de la siguiente manera:

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Ejercicios Propuestos 1- Una bala de 50 gr de masa viaja con una rapidez de 300 mts y choca

con una masa de 1 kgr atada a un hilo de 50 cm de largo, encuentre: a- Momento lineal de la bala. b.- El momento angular de la masa con respecto al punto donde esta

atado el hilo al momento del impacto , si la bala se incrusta en la masa.

M1= 50gr= o,005 KgM2= 1 Kg

Antes Después l= 50 cm = 0,5 m

M= m 1 + m 2= 0,005 Kg + 1 Kg = 1,o5 Kgp= M V

V1 = V2=0P0= P01 + P02

V1=V2=V

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b-P= M VMV=P0 (Conservación de la cantidad de movimiento)

V = Po MV= 15Kg.mls 1,05 KgV= 14, 286 mls => L= l . P . Sen 90º = l. MV =0,5m . 1,05 kg . 14,286 mls = 7,5

a-P0= ?P0= M1 . V01 + M2 . V02 = 0,05 Kg . 300 mtsPo= 15 Kg. mts

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•Una rueda de bicicleta rueda a razón de 30 vueltas cada segundo, encuentre el momento de está si tiene una masa de 2Kg concentrada en el aro de 50 cm de radio y se considera despreciable la masa en la parte central.

W= 30 vueltas x 2∏ rad = 60 ∏ rad ls segundo 1 vueltam=2 KgR= 50 cm= 0,05 mComo el momento de inercia para un aro delgado esI= MR2

= 2Kg.(0,05m)2

I= 5 x 10- 3Kg m2

El momento angular correspondiente es: L= I.W = 5x 10-3 Kg . M2 . 60 ∏ rad / sL= 0,9425 Kg m2/ s

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