II semestre 2012
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DINÁMICA APLICADA
Elementos físicos de un sistema mecánico dinámico
Oscar Díaz (8-855-700), Juan Montero (4-754-1074) .Panamá 24 de Septiembre de 2012. Dinámica
Aplicada. Universidad Tecnológica de Panamá, Facultad de Ingeniería Mecánica. Grupo 1IM-131 A.
Abstracto:
El siguiente informe tiene como objetivo
principal determinar los parametros de un
sistema de pendulo simple bajo vibracion
libre no amortiguada, aparte de desarrollar y
analizar el modelo matematico, comparando
resultados teoricos y experimentales.
Marco Teorico:En este informe se basa
principalmente en la segunda ley de Newton
la cual dice que el cambio de movimiento es
proporcional a la fuerza motriz impresa y
ocurre según la línea recta a lo largo de la
cual aquella fuerza se imprime.[1]
Procedimiento:
a) Seleccione los parametros (longitud
y masa) de un pendulo simple. Para
cada una de las tres experiencias a
realizar.
b) Especifique las condiciones iniciales
indicadas en el pnto 2.4 de los
objetivos especificos.
c) Mida el periodo natural de oscilacion
para tres ciclos de movimiento.
Calcule el periodo promedio de la
oscilacion. Calcule la frecuencia
natural y la frecuencia natural
circular.
d) Obtenga la ecuacion diferencial de
movimiento en funcion de θ .
Obtener la posicion, velocidad y
aceleracion para:
Θ(0) = X0 y �̇�(0)=0. Graficar
utilizando: Excel, Matlab o
Scilab y Simulink o Xsico.
e) Determine analiticamente el
periodo, la frecuencia natural y la
frecuencia natural de movimiento.
Resultados:
Modelo matemático por Energía Cinética y
Potencial:
𝐸 = 𝑇 + 𝑈
𝐸 =1
2𝑚(𝑙𝜃)̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃)
𝑑𝐸
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡(1
2𝑚(𝑙𝜃)̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃))
𝑚(𝑙�̇�)𝑙�̈� + 𝑚𝑔𝑙(sin 𝜃)�̇� = 0
(𝑙�̈� + 𝑔 sin 𝜃)𝑚𝑙�̇� = 0
(𝑙�̈� + 𝑔 sin 𝜃) = 0
La solución es la siguiente:
𝜃 = 𝐶𝑒𝑠𝑡
�̈� = 𝐶𝑒𝑠𝑡𝑠2
(𝑚𝑠2 + 𝑘)𝐶𝑒𝑠𝑡𝑠2 = 0
II semestre 2012
(𝑚𝑠2 + 𝑘) = 0
𝑠12 = ±√𝑘/𝑚
𝑤𝑛 = √𝑘/𝑚
Remplazamos esta solución en la función de
posición:
𝜃(𝑡) = 𝐶1 sin 𝑤𝑛 𝑡 + 𝐶2 cos 𝑤𝑛 𝑡
= 𝐶1 sin √𝑘
𝑚 𝑡
+ 𝐶2 cos √𝑘
𝑚 𝑡
Derivando la función de posición para
encontrar la función de velocidad:
�̇�(𝑡) = 𝐶1𝑤𝑛 cos 𝑤𝑛 𝑡 − 𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡
= 𝐶1√𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
− 𝐶2√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
Derivando la función de velocidad para
encontrar la función de aceleración:
�̈�(𝑡) = −𝐶1(𝑤𝑛)2 sin 𝑤𝑛 𝑡
− 𝐶2(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡
= −𝐶1
𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
− 𝐶2
𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
Con las condiciones iniciales de 𝜃(0) = 𝑋𝜃0
y �̇�(0) = 0 remplazamos en las ecuaciones
de posición y velocidad para encontrar las
constantes 𝐶1 y 𝐶2
𝜃(0) = 𝐶1 sin 𝑤𝑛 0 + 𝐶2 cos 𝑤𝑛 0
= 𝐶1 sin √𝑘
𝑚 0
+ 𝐶2 cos √𝑘
𝑚 0
𝑋𝜃0 = 𝐶1 sin 0 + 𝐶2 cos 0 = 0 + 𝐶2
𝐶2 = 𝑋𝜃0
�̇�(0) = 𝐶1𝑤𝑛 cos 𝑤𝑛 0 − 𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 0
= 𝐶1√𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚0
− 𝐶2√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 0
0 = 𝐶1√𝑘
𝑚cos 0 − 𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚sin 0
= 𝐶1√𝑘
𝑚+ 0
𝐶1 = 0
Finalmente remplazamos las constantes 𝐶1 y
𝐶2 en las ecuaciones de posición, velocidad y
aceleración:
𝜃(𝑡) = 𝐶2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = 𝑋0 cos 𝑤𝑛 𝑡
= 𝑋𝜃0 cos √𝑘
𝑚 𝑡
�̇�(𝑡) = −𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋0𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
�̈�(𝑡) = −𝐶2(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋0(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0
𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
La Amplitud X esta dada por:
𝑋 = √𝐶12 + 𝐶2
2 = √𝐶22 = 𝐶2
Para L1= 0.20 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.20 m) = 1.0192=K1
t1=2.51, t2=2.59, t3=2.57 , Tprom=2.55.
ƒn=1/τn= 1/ 2.55=0.39 ωn=2π ƒn= 2.46
Para L2= 0.40 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.40 m) = 2.0384=K2
t1=3.51, t2=3.53, t3=3.50 , Tprom=3.51.
ƒn=1/τn= 1/ 3.51=0.28 ωn=2π ƒn= 1.79
Para L3= 0.60 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.60 m) = 3.0576=K3
t1=4.38, t2=4.18, t3=4.34 , Tprom=4.30.
ƒn=1/τn= 1/ 4.30=0.23 ωn=2π ƒn= 1.46
II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘
𝑚sin √
𝑘
𝑚 𝑡
II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘
𝑚cos √
𝑘
𝑚 𝑡
Top Related