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Page 1: Descomposición de series:

Descomposición de series:

•Sobre una serie temporal Yt podemos identificar una serie de componentes básicos que se denominan respectivamente como:

•TENDENCIA: Tt Movimientos de larga duración que se mantienen durante todo el periodo de observación.

•CICLO: Ct Oscilaciones alrededor de la tendencia producidos por períodos alternativos de prosperidad y depresión.

•ESTACIONALIDAD: St Movimiento que se produce, dentro de un periodo anual, por motivos no estrictamente económicos (climáticos, sociales,ect.)

•IRREGULARIDAD: It Movimientos erráticos generados por causas ajenas al fenómeno económico y no repetidos en el tiempo

Predicción por descomposición de series

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Descomposición de series:

•Podemos plantear diferentes esquemas alternativos de descomposición de una serie temporal:

•ADITIVO:

•MULTIPLICATIVO:

•MIXTO:

ttttt ISCTY

ttttt ISCTY ***

ttttt ISCTY )1(*)1(*

Predicción por descomposición de series

Page 3: Descomposición de series:

Descomposición de series:

• Generalmente, el proceso de descomposición de una serie se realiza, en el enfoque clásico, mediante un proceso secuencial de identificación y separación de componentes.

• Por regla general el orden en el que se van identificando los sucesivos componentes es el siguiente (para estructura aditiva):

1.Estacionalidad

2.Tendencia

3.Ciclo

4.Componente irregular

ttt SYY ˆ1 ttt TYY ˆ12

ttt CYI ˆ2

)(ˆtt YfS )(ˆ 1

tt YfT

)(ˆ 2tt YfC

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Page 4: Descomposición de series:

Desestacionalización:

• Proceso de eliminación del componente estacional de una serie.

Es frecuente antes de aplicar un proceso de desestacionalización realizar un análisis de LABORALIDAD y efecto PASCUA (Semana Santa)

• LABORALIDAD: Corrección de los datos originales en función del número de días laborables de cada mes.

• Efecto PASCUA: Corrección que se aplica a los meses de Abril o Marzo en función de las fechas de Semana Santa.

A las series de las que se han eliminado estos efectos se les denomina SERIES CORREGUIDAS DE CALENDARIO.

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Desestacionalización:

• Métodos alternativos:

• Diferencias sobre la media móvil

• Ratios sobre la media móvil

• X-11 /X-11 ARIMA / X-12

• Métodos basados en el Proceso Generador de Datos y Análisis en el dominio de las frecuencias (TRAMO/SEATS)

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Desestacionalización:

Media móvil: Transformación de la serie original en la que las nuevas observaciones para cada periodo son un promedio de las observaciones originales. El orden de la media móvil indica el número de observaciones a promediar.

MensualesOrden 12

TrimestralesOrden 4

Sin centrar

Centrada

11

0

12

121

rrtt YYMM

3

0

4

41

rrtt YYMM

6

6

12

121

rrtt YYMMc

2

2

4

41

rrtt YYMMc

Con =0,5 para r=-6 y +6 y =1 resto

Con =0,5 para r=-2 y +2 y =1 resto

Predicción por descomposición de series

Page 7: Descomposición de series:

Desestacionalización:

DIFERENCIAS SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Aditivo)

6

6

12

121

rrttt YYMMcW

2

2

4

41

rrttt YYMMcW

Paso 1: Calcular la media móvil centrada de orden 12 para series mensuales y 4 para series trimestrales.

Paso 2: Calcular las diferencias de la serie original y la media móvil

ttt WYd Paso 3: Calcular los índices de estacionalidad para cada periodo m (1 a 12 en mensual y 1 a 4 en trimestres) por promedio de la serie de diferencias.

mN

ttm mtdi

/

1 4,...,2,1

12,...,2,1

Predicción por descomposición de series

Page 8: Descomposición de series:

Desestacionalización:

• DIFERENCIAS SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Aditivo)

Paso 4: Reponderar los índices de estacionalidad para que sumen 0.

Paso 4: Calcular la serie desestacionalizada Y1t por diferencias

entre la serie original y los índices de estacionalidad.

mt sS ˆttt SYY ˆ1

)412(1

1

MóMiM

iconiisM

mmmm

Predicción por descomposición de series

Page 9: Descomposición de series:

Desestacionalización:

RATIO SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Multiplicativo)

6

6

12

121

rrttt YYMMcW

2

2

4

41

rrttt YYMMcW

Paso 1: Calcular la media móvil centrada de orden 12 para series mensuales y 4 para series trimestrales.

Paso 2: Calcular el ratio entre la serie original y la media móvil

t

tt WY

r

Predicción por descomposición de series

Page 10: Descomposición de series:

Desestacionalización:

• RATIO SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Multiplicativo)

Paso 4: Reponderar los índices de estacionalidad para que su producto sea unitario.

Paso 4: Calcular la serie desestacionalizada Y1t por cociente entre

la serie original y los índices de estacionalidad.

mt sS ˆttt SYY ˆ/1

Paso 3: Calcular los índices de estacionalidad para cada periodo m (1 a 12 en mensual y 1 a 4 en trimestres) por promedio de la serie de diferencias.

mN

ttm mtri

/

1 4,...,2,1

12,...,2,1

44321

121221

***

***

iiiii

iiii

sm

m

m

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Page 11: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

En general es difícil diferenciar entre el componente tendencial y el cíclico y, habitualmente, se obtienen de forma conjunta eliminando de la serie desestacionalizada el componente irregular, obteniéndose una nueva serie denominada de CICLO-TENDENCIA.

Una forma sencilla de eliminar el componente irregular consiste en calcular una media móvil centrada de orden bajo (p.e. 3) sobre la serie previamente desestacionalizada.

1

1

113

31

ssttt YYMMCT

El componente irregular se obtendría por diferencia (en un esquema aditivo) entre la serie desestacionalizada y la de Ciclo-Tendencia

ttt CTYI 1

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Page 12: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

Otras alternativas más complejas para extraer los componentes tendenciales y cíclicos:

ALISADO EXPONENCIAL DE LA SERIE

AJUSTE DE FUNCIONES DE TIEMPO

FILTRADO DE SERIES: HODRICK-PRESCOTT

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Page 13: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

ALISADO EXPONENCIAL:

Se obtiene la nueva serie de componente tendencial aplicando una media móvil ponderada sin centrar, donde oscila entre 0 (menos alisada) y 1 (más alisada)

Se pueden plantear especificaciones más complejas:

Incluyendo más términos:

Alisado Doble-exponencial:

1212 ˆ*1*ˆ tttt YYYT

22

221

12 ˆ*1ˆ*1*ˆ tt YYYY

tt

1

1

21

2

*1*

ˆ*1*ˆ

ttt

ttt

WYW

YWY

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Page 14: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

Ajuste de tendencia:

Se obtiene la nueva serie de componente tendencial ajustando los datos observados a una especificación en función del tiempo, calculándose los parámetros de la función de tiempo forma que se minimicen las diferencias cuadráticas entre la serie original y la estimada.

Se pueden plantear distintas especificaciones de la función:

2212 )ˆ(/,*ˆˆ)(ˆtttt YYMinbatbatfYT

tbYa *ˆˆ 1 2

11

2

111

**ˆ

n

t

n

t

n

t

n

tt

n

ti

ttn

tYtYn

b

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Page 15: Descomposición de series:

Lineal

Parábola

Exponencial

Potencial

2** tctbaYt

tdcYLn

baY

t

tt

*

*

tLndcYLn

taY

t

bt

*

*

tbaYt *

Lineal

0102030405060

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20

Parábola

0

50

100

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 1415 1617 18 1920

Exponencial

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 1415 16 1718 1920

Potencial

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1516 1718 1920

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Page 16: Descomposición de series:

Ajuste de funciones de tiempo:

Modelos de difusión o procesos acotados

Difusión interna: )(* ttt YYY

Paso 1: Calcular la serie normalizada en porcentaje sobre el techo de referencia.

t

t

YZ

Paso 2: Calcular la serie normalizada en diferencias 1 ttt ZZZ

Paso 3: Calcular el producto de la serie normalizada y la diferencia hasta 1: ttt ZZX 1*

Paso 4: Ajustar mediante regresión el modelo: tt XZ *

Para obtener la predicción debemos aplicar la formulación:

ˆ*2

*ˆ*4ˆ1)ˆ1(2

1t

t

ZZ

Predicción por descomposición de series

Page 17: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

FILTRADO DE SERIES :HODRICK-PRESCOTT

Se obtiene la nueva serie de componente tendencial que sea “lo mas suave posible” (penalizándose con el parámetro la volatilidad de la nueva serie) y que minimize las diferencias cuadráticas frente a la serie original.

Los propios autores proponen unos valores de para cada tipo de series: Anual: 100

Trimestral: 1600

Mensual:14400

N

t

N

ttt tttttt

YYYYYYMinYT2

22222

1

2212

11ˆˆˆˆˆ/ˆ

Predicción por descomposición de series

Page 18: Descomposición de series:

Extracción de Tendencia:

FILTRADO DE SERIES :HODRICK-PRESCOTT

En términos matriciales podemos expresar el problema de minimización como:

Donde:

Igualando a cero la primera derivada y despejando la serie Y2t

obtenemos:

)ˆ()ˆ()ˆ()'ˆ( 2222tttttt YAYAYYYYMin

2

23

22

21

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

*

12100000

00012100

00001210

00000121

ˆ

n

t

Y

Y

Y

Y

YA

112 )(ˆtt YAAIY

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Extracción del Ciclo:

Por diferencia entre la serie desestacionalizada y la serie de tendencia calculada, podemos obtener una estimación de la serie con componente cíclico e irregular:

Y aplicando una media móvil de orden bajo (p.e. 3) obtendríamos la serie libre de componente irregular, es decir , el componente cíclico.

Igualmente podríamos obtener el componente cíclico realizando un ajuste de tendencia sobre la serie de Ciclo-Tendencia, para separar ambos componentes:

ttttttt TSYYYYCI 213 ˆˆˆ

1

1

333 ˆ31ˆs

sttt YYMMC

Predicción por descomposición de series

Page 20: Descomposición de series:

Ajuste y predicción del Ciclo:

Una opción alternativa para extraer y predecir el componente cíclico sería la utilización del ajuste de funciones periódicas.

Una función periódica es aquella que repite sus valores en el tiempo cada p periodos y puede venir expresada como:

N

pAYt

2cos*

donde:•A, amplitud de la oscilación.•p, período.•, desfase.•N número total de observaciones.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

A

T

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

DESFASE = PI/2

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Page 21: Descomposición de series:

Ajuste y predicción del Ciclo:

A efectos de ajustar y predecir series cíclicas podemos utilizar la expresión alternativa:

)**(*)**cos(* 00 tpsentpYt 0 es lo que se denomina frecuencia básica y es igual a 2*/N

Paso 1: Identificar el número de máximos (mínimos) cíclicos p y construir las series:

COSPt= COS(2*3.1416/N*p*t) y SENPt=SENO(2*3.1416/N*p*t)

Paso 2: Ajustar mediante regresión el modelo:

SENPCOSPYt ** 21 Paso 3: Calcular los errores (residuos) y si tienen comportamiento cíclico repetir el proceso añadiendo nuevos términos al modelo.

Predicción por descomposición de series