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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES

UNIDAD 4

DERIVADAS

Estoy bien, estudio bien


DERIVADAS

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante conozca y aplique los

conceptos básicos referentes a las derivadas, creando conciencia de la importancia que

en la actualidad tiene este concepto en las matemáticas y en la vida cotidiana.

OBJETIVOS – PROBLEMAS

Manejar, entender y aplicar la noción de derivada en distintos campos de la vida

cotidiana.

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

¿Cuál es el concepto de Derivada?

¿Cómo puede aportar la Derivada en la vida cotidiana?


REFERENTES TEÓRICOS

DERIVADA Y SUS APLICACIONES

En 1604, en la cumbre de su carrera científica, Galileo llegó a la conclusión de que para un

movimiento rectilíneo en el que la velocidad aumenta proporcionalmente a la distancia

recorrida, la ley del movimiento debía ser precisamente aquella que él había descubierto

en la investigación de la caída de los cuerpos. Entre 1695 y 1700.Ninguno de los números

mensuales de las actas Eruditorum de Leipzig se publicó sin artículos de Leibniz, de los

hermanos Bernoulli o del Marqués L`Hôpital que trataban, con notación ligeramente

distintas de la de hoy día en uso, problemas más variados de cálculo diferencial cálculo

integral y del cálculo de variaciones. Así en el espacio de casi precisamente un siglo el

cálculo infinitesimal o como se le suele llamar ahora en ingles “Calculus”, el instrumento

de calcular por excelencia, fue forjado; y casi tres siglos de uso constante no han agotado

este instrumento incomparable.

“NICHOLAS BOURBAKI”

Si bien el concepto de función es fundamental, que es importante el uso de los límites y la

continuidad y que el estudio de las cotas superiores es esencial, todo lo que hemos visto

hasta ahora es un preparación para las ideas brillantes que vienen en adelante y que son

el arma fundamental del cálculo infinitesimal, definiremos primero las definiciones

matemáticas precisa y discutiremos su significado en términos de problemas matemáticos

PRINCIPIO GEOMETRICO DE LA DERIVADA:


Recordemos inicialmente que:

La recta secante toca la curva en dos puntos

La recta tangente toca la curva en un punto

Euclides: En sus estudios geométricos, este sabio de la antigüedad, consideraba la

tangente como la recta que tocaba a una curva circular en un punto. El problema era que

se limitaba a círculos y no consideraba otro tipo de curvas.

La tangente a un círculo en un punto dado, se construye definiendo un punto P sobre la

curva, así se forma el segmento OP, entonces la recta perpendicular al segmento OP, se le

llama recta tangente a la curva en el punto P.

Arquímedes: Otro de los sabios de la antigüedad que se intereso por determinar .Como se

puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado? Los

intentos fueron parciales.

En la edad media con la aparición de la Geometría analítica, cuyo gestor Renato Descartes

(1.596 – 1.659) se pudo obtener la tangente de cierta curva como la parábola y la elipse,

pero dichos métodos fueron muy limitados y vagos como para poder aplicarlos en forma

general. La solución dada inicialmente se atribuye a Leibniz, quien trabajo en la

determinación de la recta tangente de una curva en un punto determinado.

El proceso que vamos a analizar se centra en determinar la pendiente de la recta tangente

en un punto dado de cualquier curva que es la grafica de la función y = f(x), la grafica

siguiente nos ilustra dicho análisis.


Como se observa en la grafica, se presenta una recta secante que pasa por los puntos P y

Q. Para hallar la recta tangente, hacemos que el punto P quede fijo y el punto Q se

desplace por la curva hasta llegar a P. Cuando P y Q coinciden, se obtiene la recta

tangente en el punto P. Para que esto ocurra, x se va reduciendo; tendiendo a cero.

Por la definición dependiente:

Según la grafica y , y , de

donde obtenemos que

, así para obtener la pendiente en el punto P, se debe

hacer que x → 0 y aplicar el límite al cociente, por lo que obtenemos que la pendiente de

la recta en un punto de una curva es:


Ejemplo:

Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31)

Solución:

Para hallar la pendiente solo se requiere calcular m, lo cual se puede hacer aplicando la

expresión dada anteriormente:

, luego como , entonces , es decir que la

pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31) es 10.

PRINCIPIO FÍSICO DE LA DERIVADA:

Desde épocas antiguas, los científicos se han preocupado por analizar la naturaleza y

específicamente el movimiento. Por ejemplo Keppler se preocupo por el movimiento de

los planetas. Galileo y Newton, se preocuparon por el movimiento de los cuerpos. Todos

ellos tuvieron que ver con el concepto de la Velocidad.

Inicialmente se trabajaba lo que se denomina la velocidad promedio, que se determina

conociendo dos puntos de la distancia y el tiempo en recorrer dicha distancia

O

Nuestra situación se centra en determinar la velocidad en un instante dado; es decir,

cuando el cambio en el tiempo sea lo más cercano posible a cero.

La grafica nos ilustra que cuando h (cambio del tiempo) se hace muy pequeño, los dos

puntos se acercan de tal manera que coinciden y así se obtiene la velocidad en un punto

determinado, lo que se conoce como la velocidad instantánea. El término h es análogo a

x en el análisis de la pendiente


Así la velocidad instantánea será:

Donde:


Ejemplo:

Un objeto cae libremente por efecto de la gravedad, la función que determina el

movimiento está dada por: ¿Cual será la velocidad a los 3 seg Del inicio de la

caída?

Solución:

, luego cuando han transcurrido 3 seg la velocidad en ese

instante es

DEFINICIÓN:

La función es derivable en a si

En este caso el límite se designa por y recibe el nombre de derivada de en a

(Decimos también que es derivable si es derivable en a para todo a en el dominio de

.

Nótese que el símbolo hace referencia a una notación funcional donde para

cualquier función designamos por como la función cuyo dominio es el conjunto de

todos los números tales que es derivable en y cuyo valor tal numero es

La funcion recibe el nombre de derivada de


De acuerdo a nuestra definición de derivada podemos decir que:

Se define la tangente a la grafica de en como la recta que pasa por y

tiene como pendiente . Esto quiere decir que la tangente en solo esta

definida si es diferenciable en .

Se define la velocidad instantanea de una particula en que se mueve a lo largo de una

curva como la derivada de la funcion s en el punto , esto es . La derivada de

en se puede denotar con cualquiera de las siguientes expresiones

DEFINICION:

La función f(x) es diferenciable en c (a, b), si f’(c) existe; además, y = f(x) es diferenciable

en el intervalo (a, b), siempre y cuando f(x) sea diferenciable en todos los puntos del

intervalo dado.

TEOREMA:

Si es diferenciable en un punto a, entonces es continua en a

DEMOSTRACION:

Esto es y por lo tanto

Observación:

El reciproco de la anterior definición NO siempre se cumple; es decir, si una función es

continua NO necesariamente es derivable.


EJEMPLO:

Verificar si la función es continúa y derivable en siendo definida de la

siguiente manera

Solución:

Recordemos que para que una función sea continua en un punto se deben cumplir las

siguientes condiciones

1. La existencia de

2.

3.

1° paso: se verifican las tres condiciones de continuidad esto es

existe debido a que es decir cumple la

condición (1) de continuidad

Entonces cumple la condición 2 de continuidad

Así que cumple la condición 3 de continuidad.


2° paso: Ahora se verifica la condición de derivada en un intervalo cercano a 2 por la

derecha y por la izquierda, si el resultado es igual por los caminos podemos decir

que la función es derivable en ese punto, de lo contrario afirmaremos que la función

no es derivable en ese punto. Esto es

Deben ser iguales

Por lo tanto

Por lo anterior, podemos concluir que la función es continua, pero no diferenciable

en el punto .


PROPIEDADES DE LA DERIVADA

En esta sección mostraremos una serie de propiedades que nos permitirán calcular la

derivada de algunas funciones sin tener que emplear la definición

NOMBRE FORMA GENERAL EJEMPLO

DERIVADA DE UNA

CONSTANTE

Si entonces ,

donde k es una constante

, entonces

DERIVADA DE UNA

POTENCIA

Si entonces

entonces

DERIVADA DE UNA

COSNTANTE POR UNA

FUNCIÓN

Sí entonces

, entonces

DERIVADA DE UNA SUMA O

UNA DIFERENCIA

Sí entonces

entonces

DERIVADAD DE UN

PRODUCTO

Sí entonces

DERIVADA DE UN COCIENTE Sí

entonces

Entonces


DERIVADA DE UNA

FUNCION COMPUESTA(

Regla de la cadena)

Sí entonces

entonces

DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES:

NOMBRE FORMA GENERAL

Derivada de la función

Si ; entonces


Si ; entonces


Si ; entonces


Si ; entonces


Si ; entonces


Si ; entonces

NOMBRE FORMA GENERAL


Si entonces


Si entonces


Si entonces



Si entonces


Si entonces


Si entonces

EJERCICIOS RESUELTOS:

1. Emplear la definición de derivada para calcular la derivada de la función:

A. B.

SOLUCIÓN:

A.

B.


2. Calcular la derivada de las siguientes funciones empleando las propiedades de la

derivada:

A. D.

B. E.

C. F.

SOLUCION:

A. Sabemos que

, por lo tanto si , entonces

B. Si , entonces

C. Si , entonces

D. Si

, entonces

E. Si , entonces

F. Si , entonces


DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLICITA:

Toda función se puede expresar de dos formas:

- Explícitamente y = f(x); es decir, la variable independiente se puede separar de la

variable dependiente.

- Implícitamente f(x, y) = k, en este caso la variable independiente NO se puede separa

fácilmente o en caso extremos no se puede separa de la variable dependiente.

Las funciones que se presentan a continuación están dadas implícitamente:

Para resolver derivadas de funciones implícitas, se propone a continuación los pasos que

se consideran pertinentes realizar:

1. Definir en la ecuación la función y la variable, para saber respecto a que variable se

debe derivar.

2. Derivar los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta todos los principios

de la derivación.

3. Agrupar los términos que contengan el diferencial

, para obtener el factor

común de dicho diferencial.

4. Despejar de la expresión obtenida

5. Finalmente se obtiene la derivada


EJEMPLOS:

1. Calcular

de la función

Solución:

Tenemos inicialmente que:

(Aplicando la regla de la cadena)

(Aplicando la regla de la cadena y la derivada de un

producto)

Así tenemos que si , entonces al derivar implícitamente

se obtiene que

, luego al despejar

obtenemos que

, por tanto

2. Calcular la derivada con respecto a la variable x de la función

Solución:


Así obtenemos al derivar implícitamente la función

que

, luego

, de donde

obtenemos

De donde finalmente tenemos que

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

- Taller de Ejercicios

- Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Computador

Acceso a internet


BIBLIOGRAFIA

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