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Analysis

Aplicaciones de las Derivadas

OpenUepc.com 1.1.4.6.2 Ver 01:08/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.2 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.6.2 APLICACIONES DERIVADA

COPYRIGHT

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

26/01/2010

http://www.opencontent.org/openpub/).

mailto:[email protected]

+

| 1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2

Aplicaciones ...................................................................................................................... 2

Objetivos Mínimos ............................................................................................................ 2

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN .............................................. 4

Definición: Función creciente ............................................................................................ 4

Definición: Función decreciente ........................................................................................ 4

Máximos y mínimos de una función .................................................................................. 6

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD ..................................................................................... 8

Teorema de Rolle ............................................................................................................ 11

Teorema del Valor Medio ................................................................................................ 12

Teorema del valor medio generalizado............................................................................. 12

Regla de L'Hopital ........................................................................................................... 13

Resolución de indeterminaciones ................................................................................. 16

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ............................................................................. 21

OPTIMIZACION ................................................................................................................ 21

APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL ............................................ 26

+

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN

Aplicaciones

Objetivos Mínimos

+

| INTRODUCCIÓN 3

+

| CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 4

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Definición: Función creciente

Acabamos de estudiar el concepto de derivada 0 00

0

( ) ( )' limh

f x h f xf xh

Por otro lado, cuando estudiamos el concepto de función real y sus características definimos funciones monótonas, tanto crecientes como decrecientes y tanto en forma local como global. Recordamos aquí ambas definiciones.

Una función : , / ( )f a b y f x es monótona creciente en un intervalo (a,b) si y

solo si para cualquier par de valores x1 y x2 se tiene que 1 2 1 2, ( ) ( )x x a b f x f x

Una función : , / ( )f a b y f x es creciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la función es creciente lo que equivale a decir que

f creciente en x0 ⇔ 0 0 0 0 0 0x h x x h f x h f x f x h ⇔

0 00 00 0 0

f x h f xh f x h f x

h

, tanto por la izquierda como por la

derecha.

Definición: Función decreciente

Una función : , / ( )f a b y f x es decreciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la función es creciente lo que equivale a decir que

f decreciente en x0 ⇔ 0 0 0 0 0 0x h x x h f x h f x f x h ⇔

0 00 00 0 0

f x h f xh f x h f x

h

, tanto por la izquierda como por la

derecha.

Otra definición rápida de definir rigurosamente una función f decreciente, sin haber repetido todo el razonamiento, sería haber dicho simplemente:

f decreciente en x0 ⇔ -f es creciente en x0

+


Vamos a concluir con una proposición que resuma lo expuesto

Proposición 1: Monotonía

Sea : , / ( )f a b y f x una función derivable y sea x0(a, b), entonces :

f '(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0.

f '(x0) < 0 ⇒ es decreciente en x0.

Crecimiento Convexo

Crecimiento Cóncavo

Decrecimiento convexo

Decrecimiento Cóncavo

f(x) = x2 ( )f x x ( )f x x f(x) = - x2

f ‘ (x) > 0 f ‘‘ (x) > 0

f ‘ (x) > 0 f ‘‘ (x) < 0

f ‘ (x) < 0 f ‘‘ (x) > 0

f ‘ (x) < 0 f ‘‘ (x) < 0

Proposición 2

Sea : , / ( )f a b y f x una función derivable en x0(a,b) y creciente (decreciente). Entonces f '(x0) 0 ( f'(x0) 0 ).

Los resultados anteriores llevan el signo ⇒ no el de equivalencia ⇔; lo que equivale a decir que la condición no es suficiente, es decir puede ocurrir que una derivada valga 0 y la función f no sea creciente o decreciente.

Ejemplo

La derivada de la función f(x) = x3 es f ‘(x) = 3x2 y en el punto x0 = 0 vale 0, y sin embargo la función f es creciente en 0.

Si en las anteriores fórmulas cambiamos el signo ≥ (ó ≤ ) por el signo > (ó < ) obtenemos la definición de estríctamente creciente y decreciente.

f estrictamente creciente en x0 ⇔ f’(x0) > 0 f estrictamente decreciente en x0 ⇔ f’(x0) < 0

En este caso sí se verifica la suficiencia, es decir, si la derivada es positiva ( o negativa) seguro que f es estríctamente creciente (decreciente).

+


En resumen :

f creciente en x0 ⇒ f’’(x0) ≥ 0 f decreciente en x0 ⇒ f’’(x0) ≤ 0 f’’(x0) > 0 ⇔ f estríctamente creciente f’’(x0) < 0 ⇔ f estríctamente decreciente f’’(x0) = 0 No se sabe

En el caso que la derivada sea cero el proceso que seguiremos será dar valores próximos al punto x0 y observar el comportamiento de la función.

Máximos y mínimos de una función

Definición: Máximo relativo

Se dice que una función : , / ( )f a b y f x tiene un máximo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifíca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x) f(x0). Dicho en lenguaje matemático:

f tiene un máximo en x0 ⇔ [ ∃h>0/xE(x0, h) ⇒ f(x) f(x0) ]

Definición: Mínimo relativo

Análogamente, se dice que una función : , / ( )f a b y f x tiene un mínimo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifíca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x) ≥ f(x0). Dicho en lenguaje matemático:

f tiene un mínimo en x0 ⇔ [ ∃h>0/xE(x0, h) ⇒ f(x) ≥ f(x0) ]

Proposición 1

Sea : , / ( )f a b y f x una función continua y sea x0(a,b) de forma que f es derivable en un entorno de x0 (x0-,x0+) contenido en I salvo quizás x0

Si f presenta un máximo (o un mínimo) en x0 entonces f '(x0) = 0.

Demostración

Es inmediata, pues si f ’(x0) ≠ 0 entonces la función sería estrictamente creciente o decreciente en ese punto.

Proposición 2

Sea : , / ( )f a b y f x una función continua y sea x0(a,b) de forma que f es derivable en un entorno de x0 tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0) 0. Entonce si:

f ''(x0)>0 ⇒ x0 es mínimo relativo. f ''(x0)<0 ⇒ x0 es máximo relativo.

+


Proposición 3

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0). En estas condiciones :

"La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0 ) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

En el caso del máximo si a la izquierda es creciente ( derivada primera positiva ) y a la derecha decreciente ( derivada primera negativa ) entonces :

0 0 0 00 0 0 0

'( ) '( ) '( ) 0 '( )''( ) lim lim limh h h

f x h f x f x h f x hf xh h h

Por la izquierda h<0 y f '(x0-h) >0 luego f ''(x0)<0

Por la derecha h>0 y f '(x0+h) <0 luego f ''(x0)<0

Por lo tanto cuando hay un máximo f ''(x0)<0

Si hacemos lo mismo para el mínimo obtendremos que la f ''(x0)>0

En resumen :

f extremo en x0 ⇒ f’’(x0) = 0 f ’’(x0) > 0 ⇔ f mínimo en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f máximo en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe

Si f ''(x0) = 0 entonces puede que sea máximo , mínimo o ninguno de las dos. Debemos de dar valores a la derecha y a la izquierda del punto y ver el comportamiento de la función y su derivada.

+

| CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 8

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Definición: Concavidad

Primera forma

Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

Segunda forma

Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

Tercera forma

Se dice que una función ese cóncava en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

f cóncava en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) ≤ f '(x0) ≤ f '(x0+h) ]

Definición: Convexidad

Primera forma

Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Segunda forma

Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

Tercera forma

Se dice que una función es convexa en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

f convexa en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) ≥ f '(x0) ≥ f '(x0+h) ]

Proposición 1

a) Si una función f es tal que x (a,b) f''(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

b) Si una función f es tal que x (a,b) f''(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Demostración

a)

+


f cóncava en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) ≤ f '(x0) ≤ f '(x0+h) ]

Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda

que 0 0'( ) '( ) 0f x h f xh

Por lo tanto si la función es cóncava la derivada segunda es mayor o igual que cero .

Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

b)

f convexa en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) ≥ f '(x0) ≥ f '(x0+h) ]

Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda

que 0 0'( ) '( ) 0f x h f xh

Por lo tanto si la función es convexa la derivada segunda es menor o igual que cero

Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

En resumen:

f ’’(x0) > 0 ⇔ f cóncava en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f convexa en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe

Si la derivada segunda es 0 debemos de estudiar en los alrededores del punto a ver que es lo que hace la derivada primera .

+


Definición: Punto de inflexión

Se dice que una función : , / ( )f a b y f x tiene un punto de inflexión en un punto x0 cuando la función pasa de ser cóncava hasta ese punto a ser convexa a partir de él o al revés.

Si (x0, f(x0)) es un punto de inflexión entonces la recta tangente en ese punto atraviesa la gráfica.

Proposición 1

Si x0 es punto de inflexión entonces f''(x0)=0

Demostración

Es inmediato, porque en otro caso la función sería cóncava o convexa

Proposición 2

Sea x0 / f ''(x0) = 0, entonces si además f '''(x0) 0 x0 es punto de inflexión.

Demostración

Supongamos que por la izquierda es cóncava y por la derecha es convexa , entonces :

0 0 0 00 0 0 0

''( ) ''( ) ''( ) 0 ''( )'''( ) lim lim limh h h

f x h f x f x h f x hf xh h h

Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) > 0 luego f '''(x0) < 0 Por la derecha h > 0 y f ''(x0+h) < 0 luego f '''(x0) < 0

Por lo tanto f '''(x0) < 0

Si por la izquierda es convexa y por la derecha cóncava :

Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) <0 luego f '''(x0)>0 Por la derecha h > 0 y f ''(x0+h) >0 luego f '''(x0)>0

Por lo tanto f '''(x0) > 0

En consecuencia si f '''(x0) 0 hay un punto de inflexión ya que pasará de cóncava a convexa o al revés .

En resumen :

f ’’’(x0) 0 ⇔ f tiene punto de inflexión en x0 f ’’’(x0) = 0 No se sabe

Si f '''(x0) = 0 para averiguarlo debemos ver como varía la derivada segunda en los alrededores del punto.

+


También pudiera ocurrir que se anulasen las n primeras derivadas en un punto y nosotros quisiesemos saber si se trata de un mínimo, un máximo ó un punto de inflexión. Ene ste caso tenemos que seguir derivando hasta encontrar la primera derivada f n)no nula y, si el orden n resultase impar sería punto de inflexión y en caso n par un máximo o un mínimo según la siguiente tabla resumen:

f ’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0.... No se sabe f n) (x0) 0 , n par f n) (x0) < 0 x0 Máximo f n) (x0) > 0 x0 Mínimo f n) (x0) 0 , n impar x0 Punto de Inflexión

Teorema de Rolle

Sea la función continua : , / ( )f a b y f x y derivable en (a,b), con f(a) = f(b).

Entonces ∃ c∊(a,b) / f ’(c) = 0.

Demostración

Si f es continua en [a,b] por el teorema de Weirerstrass alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo [a,b]

Se pueden distinguir tres casos

Caso 1

El máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo f(a) y f(b) f es constante en [a,b] f ’(c) = 0 ∀c∊[a,b]

Caso 2

La función alcanza un máximo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la función es derivable entonces f ’(c) = 0

Caso 3

La función alcanza un mínimo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la función es derivable entonces f ’(c) = 0

Caso 1 Caso 2 Caso 3

+


Teorema del Valor Medio

Sea la función continua : , / ( )f a b y f x y derivable en (a,b).

Entonces ∃ c∊(a,b) / ( ) ( )'( ) f b f af c

b a

Demostración

Consideramos los puntos de la función que pasan por los extremos del intervalo (a,f(a)) y (b,f(b)). La ecuación punto-pendiente de la recta que une estos dos puntos es

( ) ( ) ( ) ( ): ( ) ( )f b f a f b f ar y f a x a y x a f ab a b a

Consideramos la función ( ) ( ): , / ( ) ( ) ( )f b f ag a b g x f x x a f ab a

que

mide la distancia entre la gráfica de la función f y la recta r que acabamos de definir.

Esta función g resulta continua en [a,b] y derivable en (a,b) verificándose, además, que g(a) = g(b) = 0 por lo que, aplicando el teorema de Rolle , obtenemos que ∃ c∊(a,b) / g ’(c) = 0

Pero la derivada de g(x) es ( ) ( ) ( ) ( )'( ) '( ) 0 '( )f b f a f b f ag x f x f c

b a b a c.q.d.

Teorema del valor medio generalizado (Teorema de Cauchy)

Vamos a generalizar el resultado anterior de forma que podríamos considerarlo un corolario de éste que vamos a demostrar ahora en el caso que g sea la función identidad g(x) = x.

Sean dos funciones continuas , : ,f g a b verificando que:

i. f, g son derivables en (a,b) ii. g(a) g(b)

+


Entonces existe algún punto c(a,b) /

'( ) ( ) ( ), /'( ) ( ) ( )

f c f b f ac a bg c g b g a

Demostración

Definimos la función

: ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h a b

x h x f x g b g a g x f b f a

Veamos que esta función verifica las condiciones del teorema de Rolle

h es una función continua en [a,b] ya que lo son f y g. h es una función derivable en (a,b) ya que lo son f y g. h(a) = h(b) pues:

h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] – g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) – f(b)g(a) h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] – g(b)[f(b) - f(a)] = - f(b)g(a) + f(a)g(b)

Por tanto, aplicando el Teorema de Rolle, ∃ c∊(a,b) / h ’(c) = 0.

Pero

'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ...'( ) ( ) ( )... '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0'( ) ( ) ( )

h x f x g b g a g x f b f af c f b f ah c f c g b g a g c f b f ag c g b g a

c.q.d.

Regla de L'Hopital

Sean dos funciones , : ,f g a b verificando que:

i. f, g son derivables en (x0-h, x0+h)

ii. 0 0

lim ( ) lim ( ) 0x x x x

f x g x

iii. g'(x) 0 ∀x(a,b)

iv. Existe 0

'( )lim'( )x x

f xg x

Entonces existe 0 0

( ) '( )lim lim( ) '( )x x x x

f x f xg x g x

Demostración

Primera demostración L'Hopital 1661-1704

Agustín Cauchy 1789-1857

+


El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes.

Dado que 0 0

0 0lim ( ) lim ( ) 0 ( ) ( ) 0x x x x

f x g x f x g x

entonces para a < x < b se puede

escribir:

0

0 0

00

0

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f xf x f x x xf x

g x g xg x g x g xx x

. Y como f y g son derivables en el entorno de

x0 se tiene que

0

0 0

0

0

0 0

0 0

0

( ) ( )lim'( )( ) '( )lim lim( ) ( )( ) '( ) '( )lim

x x

x x x x

x x

f x f xx x f xf x f x

g x g xg x g x g xx x

Segunda demostración

Por hipótesis existe f '(x) y g '(x) en un E(x0,h)

A f(x0) y g(x0) les adjudicamos el valor 0 en x0 porque si fuesen discontinuas en x0 sería una discontinuidad evitable, luego f(x0) = g(x0) = 0

Supongo 0

0 0'( ) '( )lim ( , ) ( , ) / ( , ) ( , )'( ) '( )x x

f x f xb E b E x x E x E bg x g x

Sea 0( , )x E x

f y g son continuas en [x,x0] y derivables en (x,x0) => por el teorema del valor medio

generalizado existe c(x,x0) /

0

0

( ) ( ) '( )( ) ( ) '( )

f x f x f cg x g x g c

0 0

0'( ) ( ) ( ) '( )( , ) , , lim lim'( ) ( ) ( ) '( )x x x x

f c f c f x f xc E x E b E b bg c g c g x g x

c.q.d

Demostración Rigurosa (REVISARLA. No está bien. Fuente : Funciones de variable real. USC Pag 120. Problemas con las notaciones)

Consideremos los números reales m,n,p,q∊ℝ y sea 0

'( )lim'( )x x

f xLg x

entonces.....

0 0 0'( )( , ) / ( , )'( )

f xc x x h p x x cg x

Si x < y < c, aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

+


( ) ( ) '( ')' ( , ) /( ) ( ) '( ')

f x f y f xx x y pg x g y g x

(1)

Como además

0 00

( )lim ( ) lim ( ) 0 ( , )( )x x x x

f yf x g x p q y x cg y

(2)

Por un razonamiento análogo obtenemos que

0 1( ) ( , )( )

f y n m y x cg y

(3)

De (2) y (3) se tiene que

0 0( ) , ( , )( )

f xm q p q p L q x x x hg x

Con lo cual 0

( )lim( )x x

f x Lg x

Consideremos ahora el caso cuando 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x

Tomamos y tal que 0 1( ) ( , )( )

f y n m y x cg y

entonces

( ) ( ) ( )' ( , ) / 0 ( ) ( ) ( ) ( , ')( ) ( ) ( )

f x f y g yc a y g x g x g y p p si x a cg x g x g x

Calculando en (1) 0

( ) ( )lim '' ( , ') / ( , '')( ) ( )x x

f x f xc a c x a c qg x g x

De modo análogo demostramos que 2( ) ( , )( )

f xm x a cg x

y de ambas deducimos que

0

'( )lim'( )x x

f x Lg x

Corolario

La regla de L’Hopital es válida para x0 un número real pero también para x0 = + y para x0 = -.

+


Resolución de indeterminaciones

Con el Regla de L’Hopital se resuelven los siete casos de inderteminación del calculo de limites: 0/0 , / , - , 0 * , 1 , 0 y 00. El proceso consiste en transformar cualquier indeterminación a una de la forma 0/0. Veamos un ejemplo de cada caso:

Ejemplo 1

0

sin 0lim0x

xx

Solución

Este límite ya ha sido comentado en límites de funciones y allí se resolvió citando la regla de L’Hopital, sin haberla demostrado. Ahora el resultado es inmediato:

0 0

'

0sin cos 1lim lim 10 1 1x x

L Hopital

x xx

Ejemplo 2

2

31

2 1 0lim1 0x

x xx

Solución

Hasta ahora, este límite lo resolvimos mediante la descomposición factorial de ambos polinomios y simplificando después de la siguiente forma

22

3 2 2 21 1 1

1 1 1 12 1 0lim lim lim 01 31 1 1 1 1 1x x x

x xx xx x x x x x

Mediante la Regla de L’Hopital podemos hacerlo más cómodamente:

'22

'3 2 21 1 13

'

2 102 1 2 2 2 1 2 0lim lim lim 001 3 3 1 31x x x

L Hopital

x xx x xx xx

Ejemplo 3

0

2 0limsin 0

x x

x

e e xx x

Solución

La regla de l´’hopital la podemos aplicar sucesivamente mientras las funciones sean continuas y derivables, así

+


0 0 0 0

' ' '

0 0 02 2 2lim lim lim lim 20 0 0sin 1 cos sin cos 1

x x x x x x x x

x x x x

L Hopital L Hopital L Hopital

e e x e e e e e ex x x x x

Ejemplo 4

3

lnlimx

xx x

Solución

3 2 3

'

ln 1/ 1lim lim lim 03 1 3x x x

L Hopital

x xx x x x x

Ejemplo 5

1

lim 1 ln 1 0x

x x

Solución

1 1 1 1

2'

1ln 1 1lim 1 ln 1 lim lim lim 1 01 1

1 1x x x x

L Hopital

x xx x x

x x

Ejemplo 6

0

1 1limsinx x x

Solución

0 0 0 0

' '

0 01 1 sin cos 1 sin 0lim lim lim lim 00 0sin sin sin cos 2cos sin 2x x x x

L Hopital L Hopital

x x x xx x x x x x x x x x

Ejemplo 7

2limx

x x x

Solución

+


2 2 2

2

2lim lim limx x x

x x x x x x xx x x

x x x

2x 2

2

2 2

2'

...

1 2 2 1... lim lim lim2 2 22 1 2 2 11

2

x x x

L Hopital

x

x x x

x x xxx x x x x xx x

Ejemplo 8

sin

0lim 0x

xx

Solución

2

sin

0 0 0 0 0

2' '

0

10ln sinln lim limsin ln lim lim lim ...1 cos 0cos

sin sin2sin cos 0... lim 0

cos sin 1 0

x

x x x x x

L Hopital L Hopital

x

x xxx x x x x xx x

x xx x x

Y ahora, por las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial:

sin sin 0

0 0ln lim 0 lim 1x x

x xx x e

Ejemplo 9

0

lim cos 1x

xx

Solución

En lugar de calcular el límite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese límite

0 0 0 0

'

sin0ln cos sin 0cosln lim cos lim lim lim 00 1 cos 1

x

x x x x

L Hopital

xx xxx

x x

Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial: 0

0 0ln lim cos 0 lim cos 1x x

x xx x e

Ejemplo 10

2 0lim 1x

xx

Solución


+


22

2

'

ln 1 2ln lim 1 lim lim 01

x

x x x

L Hopital

x xxx x

Y aplicando las propiedades de los logaritmos calculamos el límite inicial: 2 2 0

0 0ln lim 1 0 lim 1 1x x

x xx x e

Ejemplo 11

2

20

sin 3 0lim3 0x

xx

Solución

También se puede aplicar sucesivamente la regla de L’Hopital si se vuelven a dar las hipótesis

2

20 0'

sin 3 2lim lim3x x

L Hopital

xx

sin 3 cos3 3x x

6 2 2

0'

3cos 3 3sin 3 3 0lim 31 1x

L Hopital

x xx

Ejemplo 12

0

lim sin cos 1x

xx x

Solución


0 0 0 0

'

cos sin0ln sin cos cos sin 1sin cosln lim sin cos lim lim lim 10 1 sin cos 1

x

x x x x

L Hopital

x xx x x xx xx xx x x

Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial:

1

0 0ln lim sin cos 0 lim sin cosx x

x xx x x x e e

Ejemplo 13

2 13lim 1 1

x

x x

Solución

Este límite hemos aprendido a hacerlo sin L’Hopital cuando estudiamos el número e mediante una laboriosa serie de artificios. Veamos ahora otra forma de hacerlo aplicando la regla de L’Hopital. Calculamos el neperiano del límite pedido:

+


2 1

'

2 22

2

2

3ln 03 3ln lim 1 lim 2 1 ln 1 lim ...1 02 1

( 3)3 2 1 12 12 33... lim lim lim 121 3 3

2 1

x

x x x

L Hopital

x x x

xxx

x xx

x x xx x xx x

x x x xx

Y calculamos ahora el límite original: 2 1 2 1

123 3ln lim 1 12 lim 1x x

x xe

x x

+

| REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 21

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Con los resultados en esta unidad temática, obtenemos un conjunto de herramientas de grandísima utilidad para representar funciones y obtener puntos y comportamientos de los que no disponíamos cuando contemplamos la misma materia al estudiar funciones elementales.

Ramas infinitas y Asíntotas

En el caso de que la función se comporte de forma indeterminada algunos puntos, podemos aplicar la regla de L’Hopital para resolver las indeterminaciones

Monotonía:

f creciente en x0 ⇒ f’’(x0) ≥ 0 f decreciente en x0 ⇒ f’’(x0) ≤ 0 f’’(x0) > 0 ⇔ f estríctamente creciente f’’(x0) < 0 ⇔ f estríctamente decreciente f’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Extremos relativos

f extremo en x0 ⇒ f’’(x0) = 0 f ’’(x0) > 0 ⇔ f mínimo en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f máximo en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Curvatura: Concavidad y convexidad

f ’’(x0) > 0 ⇔ f cóncava en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f convexa en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Puntos de inflexión

f ’’’(x0) 0 ⇔ f tiene punto de inflexión en x0 f ’’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Casos dudosos de primeras derivadas nulas

f ’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0.... No se sabe f n) (x0) 0 , n par f n) (x0) < 0 x0 Máximo f n) (x0) > 0 x0 Mínimo f n) (x0) 0 , n impar x0 Punto de Inflexión

+

| OPTIMIZACION 22

OPTIMIZACION

Optimizar una función equivale a conseguir que una de las magnitudes que están involucradas en ella se haga lo más grande o lo más pequeña posible sujeta a unas determinadas condiciones prefijadas.

Según sea un problema de optimizar la cantidad más grande será un problema de encontrar el máximo de la función y si se trata de optimizar mediante la cantidad más pequeña será un problema de encontrar el mínimo de la función.

Vamos a exponer una colección de problemas de optimización que nos den una visión general.

Ejemplo 1

Se han adquirido 1200 metros de valla compuesta de alambre de espino para cercar un terreno rectangular donde queremos que paste el ganado. Si por uno de sus lados el terreno tiene un rio que no es necesario vallar, ¿qué dimensiones debe tener el rectángulo para que el área de pasto sea máxima?

Solución

Se trata de encontrar un máximo para la función área del rectángulo en función de su base x y su altura y. Dicha función área es f (x,y)= xy , pero sabemos que el perímetro, sin uno de sus lados, 2x + y, totalizará 1200 metros que es el total de valla que disponemos. Sustituyendo en la función área resulta f(x) = x (1200 - 2x).

Calculamos la derivada y comprobamos donde se anula:

2 1200( ) 1200 2 '( ) 1200 4 1200 4 0 cuando 3004

f x x x f x x x x

Como la derivada segunda es f ’’(x) = -4 < 0 el valor x = 300 es un máximo

Entonces las dimensiones del rectángulo de área máxima resultan las de un cuadrado de 300 metros de la lado.

Ejemplo 2

Supongamos que el consumo de cafés en la cafetería de un museo viene dado, en

función del tiempo x transcurrido desde la apertura, por la función 3

300( )2xf x

x

¿Podrías calcular la hora de mayor consumo?

Solución

Se trata de encontrar un máximo para la función f(x), por lo que calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

+

| OPTIMIZACION 23

3 2

3 2 3 323

3

300 2 300 3'( ) 0 300 2 300 3 0 2 3 ...

2

... 1 1

x x xf x x x x x x

x

x x

Por otra parte, la segunda derivada es

' '3 2 3

2 23 3

22 3 3 2 3

43

300 2 300 3 600 600''( ) ...2 2

1800 2 2 2 3 600 600...

2

x x x xf xx x

x x x x x

x

Y para el punto x = 1 se tiene que

2 2

4 4

1800 3 2 3 3 600 600 1800 3''(1) 0

3 3f

Es decir, x = 1 es un máximo por lo que al cabo de una hora de su apertura.

Ejemplo 3

El consumo de gasóleo en litros de un barco que navega a una velocidad de x nudos

viene dado por la función 2 400( )

40xf x

x . Calcula la velocidad idónea para

minimizar el consumo.

Solución

Se trata ahora de encontrar el mínimo de la función f(x), por lo que: '2

3 32 2

400 400 400'( ) 0 8000 8000 2040 20 20x x xf x x x

x x x

Veamos si x = 20 corresponde a un mínimo, para ello calculamos la 2ª derivada y miramos si su valor en x = 20 es mayor que 0.

'

2 3 3

400 1 400 1 400''( ) ''(20) 020 20 20 20xf x f

x x

Por lo que podemos concluir que a una velocidad de 20 nudos el consumo del barco se hará mínimo y valdrá concretamente f(20) = 30 litros

Ejemplo 4

Se desean fabricar latas de tomate frito en conserva de forma cilíndricas con una capacidad de 300 cm3 de manera que el coste de la chapa empleada sea mínimo. Calcula las dimensiones de la chapa.

Solución

La superficie lateral de un cilindro de radio de base x y altura y viene dada por: 2( , ) 2 2S x y x xy

+

| OPTIMIZACION 24

Como puedes ver se trata de una función con dos variables, pero tenemos un dato adicional que es que la capacidad de la lata debe ser de 300 cm3. El volumen del cilindro viene dado por la función

22

300( , ) 300V x y x y yx

Sustituimos en la ecuación de la superficie y ya tenemos una sola variable: 2 2

2

300 600( ) 2 2 2S x x x xx x

Derivamos esta función y buscamos cuando es cero la derivada primera:

3 32 2

600 600 150 150'( ) 4 0 4 3.6278S x x x x xx x

Calculamos la 2ª derivada en 3.6278 para comprobar si corresponde o no a un mínimo:

'

2 3

600 600''( ) 4 4 ''(3.6278) 0S x x Sx x

Luego es un mínimo y por tanto este x = 3.6278 es el radio de la base necesario para minimizar la superficie de lata y con ello el coste de fabricación de la misma.

Ejemplo 5

Como sabes, la relación 3,4,5 en los lados de un triángulo rectángulo es conocida desde tiempos egipcios muchísimo antes que Pitágoras dedujese su famoso teorema. ¿Podrías calcular si éste triángulo es o no es el de área máxima entre todos los que tienen hipotenusa 5?

Solución

El área de un triángulo en función de su base x y su altura y es

( , )2xyS x y

Pero aunque los egipcios no conociesen el teorema de Pitágoras, nosotros sí lo conocemos y gracias a él podemos relacionar x con y de la manera siguiente:

2 2 25 25x y y x , y sustituyendo, derivando e igualando a 0: 2 2 4 3

3

2

25 25 25 2 5 5 2( ) '( ) 0 25 2 02 2 222 25

x x x x x xS x S x x x xx

tenemos dos soluciones, aunque la negativa no tiene sentido en nuestro problema, pues una longitud no puede ser negativa. Vamos a comprobar si la solución positiva corresponde a máximo o a mínimo con la segunda derivada:

'2 2 3

'3 2

22

225 6 25 25 2

25 2 1 2 25''( )2 252 25

xx x x x

x x xS xxx

+

| OPTIMIZACION 25

Se da la circunstancia que para 5 22

x la función 5 2'' 02

S

por lo que no

podríamos decidir si es mínimo o máximo su valor. Vamos a estudiar, entonces, el comportamiento de la función S(x) en un entorno del

punto 5 22

x =3.5355, por ejemplo, tomamos los puntos 3 y 4 resultando que:

S ’(3) = 2.625 y S’(4) = -4.667 lo que nos confirma que en 3 la función es creciente y en 4 decreciente por lo que cabe concluir que en nuestro punto x = 3.5355 la función hace un máximo. Así pues, el triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y área máxima tiene base x = 3.5355 y altura y = 3.5255.

+

| APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL 26

APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL

Consiste en aproximar una función en un entorno de un punto x0, mediante la recta tangente a la función en ese punto. Es decir, que en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la fórmula de la función las sustituimos en la ecuación de la recta tangente, obteniendo una aproximación del buscado.

0 0 0

0 0 00 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) '( )

tan '( ) '( )

f x f x x f xf x x f x f x xdff x df f x x

x

O también

0 0( ) ( ) '( )f x f x f x x

Teorema de aproximación lineal

Si una función f es derivable en el punto x0, entonces la diferencial es una buena aproximación del incremento. Es decir ∆f ≈ df

Demostración

0 0 0

'( )lim lim lim '( ) '( ) '( ) 0x x x

f df f f x x f f x f x f xx x x

c.q.d.

A partir de ahora, podemos denotar por dx en lugar de ∆x, de ahí que en la definición de

derivada se use ( ) ' '( ) dyy f x y f xdx

Ejemplo

Calcular 3 1.02

Solución

+

| APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL 27

Dada 3( )f x x , su derivada es 3 2

1'( )3

f xx

.

Como 0 0( ) ( ) '( )f x f x f x x , si tomamos como punto de aproximación x0 = 1, resulta

33 2

1 1(1.02) (1) '(1) 1 0.02 1 0.02 1.006633 1

f f f x

Ejemplo 2

Calcular arctan(1.1)

Solución

Dada la función f(x) = arctan x, su derivada es 2

1'( )1

f xx

y como

0 0( ) ( ) '( )f x f x f x dx , si tomamos como punto de aproximación x0 = 1, resulta

2

1 1(1.1) (1) '(1) arctan1 0.1 0.1 0.78 0.05 0.831 1 4 2

f f f dx

+

| INFINITESIMOS EQUIVALENTES 28

INFINITESIMOS EQUIVALENTES

Definición: Infinitésimo

Una función f se dice que es un infinitésimo en un punto x0 si su límite en dicho punto es cero

f infinitésimo en x0 ⇔ 0

lim ( ) 0x x

f x

Definición: Infinitésimos equivalentes

Dos infinitésimos f y g en un mismo punto x0 se dicen equivalentes, y lo denotaremos por f ∼ g, cuando el límite de su cociente en ese punto es la unidad

f ∼ g en x0 ⇔ 0

( )lim 1( )x x

f xg x

Hay que observar que, en principio, si f y g son dos infinitésimos, 0

0

0

lim ( )( ) 0lim( ) lim ( ) 0

x x

x xx x

f xf xg x g x

,

luego tendremos que resolver esta indeterminación de alguna manera para concluir que el límite es 1.

Teorema

Cuando en una operación de límites encontramos un infinitésimo multiplicando o dividiendo, se puede sustituir por otro equivalente.

Demostración

Si f ∼ g ⇔ 0

( )lim 1( )x x

f xg x

. Ahora supongamos una expresión de límites con la función f

multiplicada a otra función h. Tendríamos

0 0 0 0 0

( ) ( )lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x

f x f xf x h x g x h x g x h x g x h xg x g x

Proposición

Cuando en una operación de límites encontramos un infinitésimo sumando o restando, en general no se puede sustituir por otro equivalente.

Demostración

Buscar contraejemplo

Proposición

+

| INFINITESIMOS EQUIVALENTES 29

La suma de infinitésimos de distinto orden puede reducirse a otro infinitésimo del menor orden de los infinitésimos dados. Por ejemplo:

2 3 5 7 2

0 0lim limx x

x x x x x

Tabla de infinitésimos más frecuentes

Se tienen los siguientes infinitésimos en x0 = 0 (hay que aplicar la regla de L’Hopital en todas las indeterminaciones marcadas):

sin x ∼ x 0 0

sin 0 coslim lim 10 1x x

x xx

tan x ∼ x 0 0 0

tan sin 0 cos 1lim lim lim 1cos 0 cos sin 1 0x x x

x x xx x x x x x

arcsin x ∼ x 20 0

arcsin 0 1 1lim lim 10 1 01x x

xx x

arctan x∼ x 20 0

arctan 0 1 1lim lim 10 1 1 0x x

xx x

2

1 cos2xx 20 0

1 cos 0 sinlim lim 10

2x x

x xx x

ln 1x x 0 0

ln 1 0 1lim lim 10 1x x

xx x

1xe x 0 0

1 0 1lim lim 10 1 1

x x

x x

e ex

1 lnxa x a 0

0 0 0

1 0 lnlim lim lim 1ln 0 ln

x xx

x x x

a a a a ax a a

1 1rx rx 0 0

1 1 0lim lim0

r

x x

x rrx

11 rxr

1

0lim 1 1r

xx

1 1n xxn

0 0

1

1 1 0lim lim0

n

x x

nxxn

111

nn x

n

10

1lim 11 nx n x

+

| PROBLEMAS PROPUESTOS 30

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problemas de optimización

Fuente IES príncipe de Asturias. [email protected]

1. Sean a y b números positivos, y f(x) = ax bx

.

a) Demostrar que el mínimo valor de f en (0, ) es 2 ab .

b) Deducir que ab a b

2

.

c) Dibujar la gráfica de f en el caso a = 2, b = 8, y sus asíntotas.

2. Calculad la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de leche condensada La Llet cuya

área total (incluyendo dos tapas) es de 150 cm2, para que su volumen sea máximo. ( V =

r g A r r gT2 22 2 ). Sol: r 5

, g

10

.

3. Estudiar el crecimiento de f x e x xx( ) cos sen y determinar los máximos y mínimos para x

0 2, . Sol: f crece en [ , ) ( ,02

32

2 y decrece en

232

,

. Máximo en

22,e

y mínimo en

32

3 2 ,

e .

4. Considérese la función f(x)= ae2x + bx2. Determine el valor de las constantes a y b sabiendo que f(x)

tiene un punto de inflexión en x = 0, que la tangente a la gráfica de f(x) en ese punto de inflexión tiene

pendiente positiva y que el ángulo entre esta tangente y el eje de las x es de 45 grados. Sol: a = 1/2, b

= -1.

5. Diga cuál es el área máxima que puede tener un sector circular de 8 m. de perímetro (recuerde que el

sector circular es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios que

pasan por los extremos de dicho arco). Sol: 4 m2.

6. Determine los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 24

sen x x

en el intervalo [0, 2

. Busque los puntos de inflexión de f(x) en este intervalo. ¿Hay algún punto entre 0 y 2 en el que

la gráfica de f(x) corte al eje de las X?. Dibuje la gráfica de f(x) en el intervalo [0, 2 . Sol: Máximo

2 2

1,

, mínimo , 1 , puntos de inflexión 34

34

74

74

, , ,

.

7. Calcular el punto de la curva y = (1 + x2)-1 en que la pendiente de la recta tangente es máxima. Sol: x1

= - 3

3.

8. Dada la funcón y = ax4 +3bx3 -3x2 - ax, calcular los valores de a y b sabiendo que la función presenta

dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro en x = 1/2. Sol: a = -1, b = 1.

9. Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de

vértices (0, 0), (a, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un rectángulo de área

mailto:[email protected]

+


máxima. Halla los puntos (a, b) para lo que corresponde un rectángulo de área mínima. Sol: Para área

máxima (a, b) = (2, 4). Para área mínima (a, b) = (0, 8) ó (a, b) = (4, 0).

10. De la función f(x) = ax3 + bx sabemos que tiene una gráfica que pasa por (1, 1) y en este punto tiene

tangente paralela a 3x + y = 0. Se pide:

a) Hallar a y b. Sol: a = -2 y b = 3.

b) Hallar sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de inflexión. Sol:

f decrece en

, ,2

22

2. f crece en

22

22

, . Máximo en 2

22,

. Mínimo en

22

2, . Punto de inflexión en (0, 3).

11. Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (1, 1) y que f ‘ (1) = 2. Se conoce también

que su derivada segunda es la función g(x) = 2. Calcular razonadamente la función f. Sol: f(x) = x2.

12. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 11

xx

. Sol: Crece en (0, 1)

1, . Decrece en , ,1 10 .

13. Estudiar el crecimiento de f(x) = (3x - 2x2)e-x. Obtener los máximos y mínimos relativos. Sol: Crece en

, ,12 3 . Decrece en (1/2, 3). Máximo en x1 = 1/2, mínimo en x2=3.

14. Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1

una inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45º con el eje OX. Sol: a = -3 y b =

4.

15. Sea f la función definida por f(x) = x4 - 7x3 + 13x2 + x + 1. Calcular razonadamente los puntos de su

gráfica en los que la recta tangente forma un ángulo de 4 con el eje de abscisas. Sol: (0, 1), (2, 15),

(13/4, 3285/256).

16. Determinar el polinomio P(x) de grado menor posible que tiene en (-1, 15) un máximo relativo y en (2, -

12) un mínimo relativo. Sol: P(x) = 2x3 -3x2 - 12x + 8.

17. Calcular las constantes a y b para que las gráficas de las funciones f(x) = ln xx

y g(x) = alnx + b

se corten en el punto (e2, 2/e2) y tengan en él la misma recta tangente. Sol: a = -1/e2, b = 4/e2.

18. Siendo f(x) = e-x(x2 + 4x + 3) calcula los intervalos en los que f es cóncava y los intervalos en los que f

es convexa. Sol: Cóncava en , ,3 3 . Convexa en 3 3, .

19. La curva y = x3 +ax2 +bx +c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9).

Hallar a, b y c. Sol: a = -2, b = -262/63 y c = 73/21.

20. Halla dos números que sumen 24 y que el producto de uno por el cuadrado del otro se máximo. Sol: 8, 16.

21. Entre todos los rectángulos de perímetro 36 m, halla el que tenga área máxima. Sol: Cuadrado de

lado 9 m.

+


22. Tenemos un cartón de 16 dm. de lado. Halla el lado del cuadrado que hay que cortar en sus cuatro

esquinas para poder formar una caja abierta de volumen máximo. Sol: 8/3 dm.

+

| 33

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂i26∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×