PRÓLOGO
La “Comisión de Vinculación de la Facultad de Ingeniería con la Escuela nacional Preparatoria y el Colegio de Ciencias y Humanidades”, tiene como objetivo mejorar el aprendizaje de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería, fomentando la comprensión de los conocimientos adquiridos en el nivel medio y con la intención de que su ingreso y desarrollo, dentro del nivel superior, sea exitoso. Dentro de las muchas acciones que se han realizado, la obra denominada “Álgebra, Teoría y Ejercicios” es un esfuerzo más para proporcionarle a dicha población los elementos necesarios para que su desarrollo a lo largo de los primeros semestres de ingeniería sea basado en fundamentos teóricos sólidos, que les otorguen la capacidad de adquirir, fielmente, nuevos conocimientos que permitan su firme avance ante los nuevos retos que involucran diferentes métodos y técnicas avanzadas de enseñanza.
Esta obra contiene los conceptos básicos del álgebra, resultado de un análisis entre las tres instituciones y considerando los contenidos que se imparten en el bachillerato y las necesidades de los primeros semestres de la carrera de ingeniería; logrando un mejor desenvolvimiento de los alumnos en asignaturas claves de las Ciencias Básicas, como soporte fundamental en el área de las ingenierías. El libro, por lo tanto, se presenta como una obra esencial para que los alumnos, al egresar del Bachillerato, respondan al perfil del plan de estudios establecido en la Facultad.
Por lo tanto, el ejercicio de vinculación entre las instituciones involucradas en el programa, representa fielmente el trabajo en equipo de los profesores que participaron en la elaboración de esta obra, cuyo objetivo final es formar mejores profesionistas, capaces de tomar decisiones y de ejercer el liderazgo con responsabilidad.
Continuando con la sinergia entre los responsables de las obras que se generen, los participantes en este proyecto lograrán difundir los conocimientos que el alumnado requiere para fomentar su formación y logrando se curse, con altas probabilidades de éxito, el nivel superior en el área de las ingenierías.
ING. JUAN URSUL SOLANES JEFE DE LA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, DE LA UNAM
RECOMENDACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Para obtener un mayor provecho del libro se te sugiere que lleves a cabo las siguientes recomendaciones:
Cuando inicies la lectura de cada capítulo lee los objetivos que se encuentran al inicio y atiende a las diferencias entre los que se refieren a la comprensión y a la aplicación de los temas.
Cuando revises algún problema evita consultar la respuesta que se encuentra en la página http://dcb.fi-c.unam.mx/lalgebra hasta que lo hayas resuelto por ti mismo
Antes de resolver cualquier problema que se te presenta o durante el proceso de solución del mismo toma en cuenta lo siguiente:
I. Lee con atención los problemas que se plantean, es muy importante que comprendas lo que tienes que resolver.
II. Identifica y diferencia cuales son los problemas que te parecen más difíciles de los más fáciles y trata de encontrar la razón de esto.
III. Las reglas no deben aprenderse de memoria sin haberlas comprendido. IV. Expresa en voz alta cada uno de los pasos del procedimiento de
solución. V. Utiliza Mapas Conceptuales para resumir conceptos y elaborar opciones
de solución. VI. Trata de representar gráficamente cada problema. VII. Anota el procedimiento que llevaste a cabo para resolver cada problema
así como cada uno de los pasos. VIII. Cuando leas el problema, elige la fórmula adecuada que vayas a utilizar,
luego sustituye las variables por los valores que se te den y te quedará una o varias incógnitas por despejar. Hazlo con cuidado y repasa los cálculos antes de anotar el resultado final.
IX. Cuando hayas resuelto el problema, trata de encontrar otras maneras de hacerlo y en ese caso, llevarlas a cabo observando si obtienes los mismos resultados en cada caso.
1
CCAAPPÍÍTTUULLOO 11 EEXXPPOONNEENNTTEESS YY RRAADDIICCAALLEESS
1.1 EXPONENTES .......................................................................................................................... 4 1.1.1 PROPIEDADES ........................................................................................................ 5 Ejercicios Resueltos ........................................................................................................... 6 Ejercicios Propuestos ......................................................................................................... 7
1.2 RADICALES .............................................................................................................................. 9 Ejercicios Resueltos de radicales .................................................................................... 10 Ejercicios Propuestos de radicales .................................................................................. 11
1.3 RACIONALIZACIÓN ............................................................................................................... 13 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 13 Ejercicios Propuestos de racionalización ......................................................................... 14
CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN PPOOLLIINNOOMMIIOOSS
2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ........................................................................................ 15 Regla para la suma de polinomios ................................................................................... 15 Opuesto o inverso aditivo de un polinomio ...................................................................... 16 Regla para la resta de polinomios .................................................................................... 16 2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN ........... 17 Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación ..................................... 17 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 17 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 19
2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS .................................................................................... 20 Regla para la multiplicación de monomio por monomio .................................................. 21 Regla para la multiplicación de monomio por polinomio .................................................. 25 Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio ................................................. 25 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 26
2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ................................................................................................... 28 Regla para la división de monomio entre monomio ......................................................... 28 Regla para la división de polinomio entre monomio ........................................................ 30 Algoritmo de la división .................................................................................................... 31 Regla para dividir polinomio entre polinomio ................................................................... 32
CCAAPPÍÍTTUULLOO 33 PPRROODDUUCCTTOOSS NNOOTTAABBLLEESS YY FFAACCTTOORRIIZZAACCIIÓÓNN
3.1 PRODUCTOS NOTABLES ..................................................................................................... 39 Cuadrado de la suma de dos monomios ......................................................................... 39 Cuadrado de la diferencia de dos monomios ................................................................... 40 Ejercicios del cuadrado de un binomio ............................................................................ 42 Producto de la suma por la diferencia de dos monomios ................................................ 43 Cubo de un binomio ......................................................................................................... 44 Ejercicios del cubo de un binomio .................................................................................... 46
Producto de dos binomios de la forma x a x b
.................................................. 47
Ejercicios de producto de dos binomios con un término común ...................................... 47
3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax2 .................................. 50
Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma cbxax2 ............. 51 3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS ........................ 51
2
Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 52 3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ................................................................................. 53
Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 54
CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN FFRRAACCCCIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS
4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ................................................................................................. 55 4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ........................................................................ 58 4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................. 58 4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................... 60
Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 61 4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES .................................................................................................. 62
Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 62 4.6 FRACCIONES COMPLEJAS .................................................................................................. 65
Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 66
CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 RRAAZZOONNEESS YY PPRROOPPOORRCCIIOONNEESS
5.1 RAZÓN .................................................................................................................................... 67 5.2 PROPORCIÓN ........................................................................................................................ 70
5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN ................................................................... 70 Proporción Continua ......................................................................................................... 70 Proporción Directa ............................................................................................................ 72 Proporción Inversa ........................................................................................................... 73 Variación Lineal ................................................................................................................ 76 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 79
CCAAPPÍÍTTUULLOO 66 LLOOGGAARRIITTMMOOSS
6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO.............................................................................................. 82 Ejercicios Resueltos: ........................................................................................................ 83 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 84
6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................... 84 6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN ..................................................................... 84 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 85 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 85 6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ....................................................................... 86 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 86 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 89 6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS ............................................................................ 89 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 95
6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS .............................................................................. 95 6.3.1 ANTILOGARITMO ................................................................................................... 95 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 95 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 96
6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS .................................................... 96 Cálculo del producto de dos números .............................................................................. 96 Cálculo del cociente de dos números. ............................................................................. 97 Cálculo de potencias ........................................................................................................ 97 Cálculo de raíces .............................................................................................................. 97 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 98 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 99
3
CCAAPPÍÍTTUULLOO 77 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE PPRRIIMMEERR GGRRAADDOO
7.1 NOCIONES BÁSICAS ........................................................................................................... 100 Ecuaciones ..................................................................................................................... 100 Clasificación de ecuaciones ........................................................................................... 100 Soluciones de una ecuación .......................................................................................... 101
7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................................ 101 Resolución de Ecuaciones ............................................................................................. 101
Propiedades de la igualdad ........................................................................................ 101 Ejercicios Resueltos ....................................................................................................... 102 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 109
7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO.............................................................................................. 112 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 113
7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................... 114
Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 116
CCAAPPÍÍTTUULLOO 88 SSIISSTTEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS CCOONN DDOOSS
IINNCCÓÓGGNNIITTAASS
8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS .......................................... 118 8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS ........................................................................................... 118 8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES ......................................................................................... 119 8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES ...................................................... 119 8.5 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. ............................................................................................................................. 120
8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN ..................................................................... 120 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 125 8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN .................................................................... 125 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 129 8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN ..................................................................... 130 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 131 8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS ........................................... 132 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 135
CCAAPPIITTUULLOO 99 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE SSEEGGUUNNDDOO GGRRAADDOO
9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. ............................ 136 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 141
9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN. ......................................................................................... 142 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 145
9.3 FÓRMULA GENERAL ........................................................................................................... 145 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 150
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA .................................................................................................................................................................... 151
4
CAPÍTULO 1 EXPONENTES Y RADICALES
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Comprensión
SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS
Aplicación
SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES FRACCIONARIOS
Aplicación
IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Comprensión
SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS
Aplicación
APLICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES PARA EXTRAER O INTRODUCIR FACTORES EN RADICALES
Aplicación
EXPRESARÁ UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA EN DIFERENTES FORMAS RACIONALIZANDO EL NUMERADOR O EL DENOMINADOR
Aplicación
1.1 EXPONENTES
Para iniciar el estudio de los exponentes y radicales, se partirá de algunas
definiciones.
La notación exponencial na , donde n es un natural se define como el producto
del número real “a” multiplicado “n” veces por sí mismo.
na = aaaa
“n” factores
Al natural “ n ” se le llama exponente y al número real “ a ” la base.
Para complementar esta información se citan los siguientes casos:
aa1
aaa2
aaaa3
aaaaaaa6
5
Por definición:
10a
n
n
aa
1
1.1.1 PROPIEDADES
Sean los números reales a y b y los enteros m y n, entonces:
1) nmnm aaa
2) mnnn aa )(
3) nnn baab)(
4) n
nn
b
a
b
a
5) nmn
m
aa
a
Demostración de la propiedad (1)
Si m y n son enteros positivos, entonces
nm factores de a
aaaaaaaaaa nm
m factores de a n
factores de a
6
Por lo tanto
m n m na a a
Ejercicios Resueltos
Exponentes
Simplificar las siguientes expresiones
1) 13364364 xxxxx
2) 30)6)(5(65 )( aaa
3) 4 4 4 4 4 4
4) 3 3 3
32 82
c c c
5) 33
33
3
327
327
ccc
6) 5383
8
xcxcc
xc
7
7) 3
7 7 3 4
1 1z
z z z
8) 2
2 8 2 1 8 2 6
1 1vu
v u v u vu
9) 1
5
2
4
21
54
6
9
6
9
u
y
y
u
yu
yu
5
1
2
4
2
3
y
u
y
u
7
5
2
3
y
u
Ejercicios Propuestos
Exponentes
Simplificar las siguientes expresiones:
1) 362 xaaa
2) 65)(ax
8
3)
4)
3
4a
x
5) 3
8
f
abf
6) 2
4
)2(
)3(
y
y
7) 8
5
yv
v
8) 31
44
8
16
ba
ba
9) 5
4
3
4
2
3
u
w
w
u
9
1.2 RADICALES
El símbolo
se conoce como signo de radical; la expresión dentro del radical se
denomina radicando. Una expresión algebraica que contiene un radical se
conoce como expresión radical.
El símbolo
lleva un índice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz
para obtener el radicando. Cuando el radical
no lleva índice entonces se trata
de una raíz cuadrada.
Cuando la raíz cuadrada de un número real no negativo “ a ” se eleva al cuadrado,
el resultado es ese número real positivo, es decir:
2( )a a y 2( )a a
Si “ a ” es negativo, a
no es un número real.
Propiedad de multiplicación de radicales con índice 2:
Si
y
son números no negativos ab a b
Propiedad de división de radicales con índice 2:
Si
y
son números positivos a a
b b
Para cualquier número real “a”, se tiene que 2a a
10
Generalización:
Definición: Sean m, n
; y x
;
mn mnx x
Las propiedades de la multiplicación y la división de radicales con índice 2 pueden
generalizarse como sigue:
n n na b a b
n
nn
a a
b b
Por último puede demostrarse que m n mna a
Ejercicios Resueltos de radicales
Simplificar las siguientes expresiones:
1) 2 2
5 5 1 1 1 1 1 1
40 840 8 8 2 2(2) (2) 2 2
2) 4
4 4444
32 3216 2 2
22
3) 3 34 2 3 3 3 3 23 3 3 381 9 (3 )(3 ) (3 )(3 ) 3 3 (3)(3) 3 9
4) 66 73 66 6128 128 2 2 2 2 2
5) 8 9 10 8 9 10 4 8 5 4 4 5 4 4 5a b c a b c a b bc a b bc a b c b
0n
11
6) 3 23 6 63 4 2 3 4 2 9 8 4 9 8 46 6 63 2 3 2 27 4 27 4a a b a a b a a b a a b
6 6 6 617 4 12 5 4 2 5 4108 108 108a b a a b a a b
7)
16 9 16 9 16 98 8488
12 83 2 3 2 48 ( )
x y x y x yx y
x yx y x y
8) 4 7 6 11 3 6 6 11 2 6 11 2 6 2 113 3 3 3x y x y x y y x y xy y x y xy x y y
2 6 13 2 6 12 2 2 2 46 6 6 6xy x y xy x y y xy xy y x y y
9)
56 9153 6 4 30 4515 15 159 18 9 15 3 9 315
21 275 7 9 37 915
22 3232 32 32
a ba b a ba b a b b b a b
a ba b a b
10) 82 3 3 4 3 74 4x x x x x x x x x x x x x
Ejercicios Propuestos de radicales
Simplificar las siguientes expresiones:
1) 5 5128 8
2) 3
3
3125
25
3) 7 6 2 34 243 ( )m n q
3 11673 yxyx
5 97
3 962
ba
ba
12
4) 2 175
19 115
256
2
x y
x y
5) 5 7 7 11 1040 10x y z x y z
6) 3 6 7
5 13
m n
m n
7) 2 2x x
8)
3
6 8
12
41
328
x
x
9) 2 3
33 43
(3 ) (2 )
4 (5 )
x y
x y
10) 2 7 2 83 64 128x y x y
13
1.3 RACIONALIZACIÓN
Ejercicios Resueltos
Racionalizar el denominador de:
1) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 2
1 2 2 2 3 2 2
3 2 21 2 1
2) 2 3 5 3 2 52 3 5 2 3 5 3 2 5 6 4 5 9 5 6 5 5
3 2 5 3 2 5 3 2 5 9 6 5 6 5 4 5 53 2 5 3 2 5
6 5 5 6(5) 24 5 5 24 5 5
9 4(5) 11 11 11
3) 5 2 5 25 2 5 2 5 2
5 2 5 2 5 2 5 2 5 2
2 2
2 2
5 5 2 2 5 2
5 5 2 2 5 2
5 10 10 2 7 2 10 7 2 10
5 2 3 3 3
4) 2 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
a a a aa a a a a a
a a a a a a a a a a
2 2
2 2
2 1 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1 2 2 2 1 2
a a a a a a
a a a a a a
22 1 2 2 (2 1) 2 4 1 2 4 2
2 1 2 1
a a a a a a a
a a
24 1 2 4 2a a a
14
Ejercicios Propuestos de racionalización
Racionalizar el denominador de:
1) 3 3
3 3
2) 6 2 2
1 2
3) 2 7
2 7
4) 2a b
a b
15
CAPÍTULO 2 OPERACIONES CON POLINOMIOS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ EL INVERSO ADITIVO DE UN POLINOMIO
CONOCIMIENTO
APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA SUMA Y RESTA
DE POLINOMIOS
APLICACIÓN
APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS
APLICACIÓN
APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
APLICACIÓN
2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Regla para la suma de polinomios
Para sumar polinomios se escriben en forma secuencial con sus propios signos,
se agrupan los términos semejantes y se reducen sumándolos o restándolos
según sus signos.
Ejercicio
Calcular la suma de los siguientes polinomios:
3x , 25 6 1x x , 3 24 3 4x x x
Resolución:
Escribirlos en secuencia con sus propios signos: 2 3 23 5 6 1 4 3 4x x x x x x
Agrupar los términos semejantes y reducirlos:
3 2 2 3 24 5 3 6 3 1 4 4 4 6 3x x x x x x x x x
Otra alternativa es alinear verticalmente los términos semejantes y reducirlos:
3x
25 6 1x x
3 24 3 4x x x
3 24 4 6 3x x x
16
Opuesto o inverso aditivo de un polinomio
El opuesto, simétrico o inverso aditivo de un polinomio es otro polinomio que se
obtiene cambiando el signo de cada uno de sus términos.
Regla para la resta de polinomios Para dos polinomios P1 y P2, restar P2 de P1 se calcula sumando el opuesto de P2:
P1 – P2 = P1 + (– P2)
Ejercicio
Obtener la diferencia de 4 3 22 3 9 12 7x x x x
menos 3 25 4 12 3x x x
Resolución
Sumar al polinomio minuendo 4 3 22 3 9 12 7x x x x , el opuesto del polinomio
sustraendo 3 25 4 12 3x x x :
4 3 2 3 2
4 3 2 3 2
2 3 9 12 7 5 4 12 3
2 3 9 12 7 5 4 12 3
x x x x x x x
x x x x x x x
Agrupar los términos semejantes y reducirlos:
4 3 3 2 2
4 3 2
2 3 5 9 4 12 12 7 3
2 8 13 4
x x x x x x x
x x x
También se puede ejecutar la resta alineando verticalmente los términos
semejantes:
4 3 2
3 2
2 3 9x 12 7
5 4 12 3
x x x
x x x
4 3 2
3 2
4 3 2
2 3 9 12 7
5 4 12 3
2 8 13 4
x x x x
x x x
x x x
17
2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN
Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación
Para simplificar estas expresiones se eliminan uno a uno los símbolos de
agrupación, suprimiendo cada vez el símbolo que no tiene en su interior otros
símbolos de agrupación. Después se agrupan y reducen los términos semejantes.
Un símbolo de agrupación precedido de un signo positivo se suprime sin alterar el
polinomio contenido en su interior.
Un símbolo de agrupación precedido de un signo negativo se suprime obteniendo
el opuesto del polinomio contenido en su interior.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio
Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:
3 2 5 7 2 15a a b a b
Resolución
Suprimir en primer lugar el paréntesis precedido de signo positivo:
3 2 5 7 2 15a a b a b
Eliminar el corchete precedido de signo negativo:
3 2 5 7 2 15a a b a b
Suprimir la llave precedida de signo negativo:
3 2 5 7 2 15a a b a b
Agrupar los términos semejantes y reducirlos:
3 2 5 2 7 15 6 3 8a a a b b a b
Ejercicio
Suprimir los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes de:
4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x
18
Resolución
Suprimir los dos paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que
les precede:
4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x
Eliminar el corchete precedido de signo negativo:
4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x
Suprimir la llave precedida de signo positivo:
4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x
Agrupar términos semejantes y reducirlos:
6 7 5 4 9 2 5 12 8 15 7x x x xy xy xy y y x xy y
Ejercicio Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:
2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b
Resolución
Eliminar los paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que les
precede:
2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b
Suprimir los corchetes de izquierda a derecha según el signo que les precede:
2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b
Eliminar la llave precedida de signo negativo:
2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b
Agrupar términos semejantes y reducirlos:
2 2 3 4 4 1 3 5 2 13a a a a b b b b a b
19
Ejercicio Simplificar la siguiente suma de polinomios:
2 22 2 2 22 1 1 2
3 53 2 4 3 6
ab b aa b a ab b ab
Resolución
Suprimir símbolos de agrupación según el signo que les precede:
2 22 2 2 22 1 1 2
3 53 2 4 3 6
ab b aa b a ab b ab
Agrupar términos semejantes y reducirlos:
2 2
2 2 2 21 2 1 25 3
2 6 3 4 3
a ab ba a ab ab b b
2 22 2 2 23 30 8 3 12 9 3 2
6 6 6 12 12 12 3 3 3
a ab ba a ab ab b b
2 226 7 14
6 12 3a ab b
2 213 7 14
3 12 3a ab b
Ejercicios Propuestos
Sumar los siguientes polinomios:
1) 7x
, 3 215 2 13 8x x x , 4 317 25 11 13x x x
2) 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 37 3 4 5 1 15 116
12 8 3 4 2 4 6a a b b a b a b b a b a
Restar el segundo polinomio del primero:
3) 4 222 11 3 7x x x , 4 313 18 12 3x x x
4) 3 4 2 3 21 5 9
2 4 2a b a b ab , 2 3 4 2 37 4
2 33 5
ab a b a b
20
Simplificar las siguientes expresiones:
5) 2 2 218 5 4 3 8 7 3 11a a a a a a
6) 7 8 2 5 4 9 5 12 14x xy x y xy y x xy
7) 2 4 3 8 11 5 6 15 8 13 7a b b a b a b a
2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
En la multiplicación de polinomios se distinguen tres casos:
La multiplicación de monomio por monomio.
La multiplicación de monomio por polinomio.
La multiplicación de polinomio por polinomio.
En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los
exponentes:
Para cualesquiera números reales “a” y “b” y cualesquiera números enteros
positivos “m” y “n” se cumple que: m n m na a a (Producto de potencias de igual base)
nm mna a (Potencia de potencia)
m m mab a b (Potencia de un producto)
Y la aplicación de las reglas de los signos de la multiplicación:
El producto de dos números de igual signo es positivo y el producto de dos
números de diferente signo es negativo. En general, el producto de un número par
o impar de factores positivos es positivo; el producto de un número par de factores
negativos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es
negativo.
21
Regla para la multiplicación de monomio por monomio
Para multiplicar monomios se calcula el producto de sus coeficientes numéricos
respetando las reglas de los signos y se multiplican las potencias de igual base
empleando las leyes de exponentes.
Ejercicio Calcular el siguiente producto:
2 3 2 2 37 2a bc ab c a c
Resolución
Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias
de igual base:
2 3 2 2 3 2 3 2 3 27 2 7 2 1a bc ab c a c a aa bb c c c
2 1 3 1 2 3 2 114 a b c
6 3 614a b c
Nota: Observar que si una potencia no tiene exponente y coeficiente explícitos, se
debe suponer que son uno: 11x x
Ejercicio Ejecutar el siguiente producto:
4 3 57 68 3 25
15 2 12
x y y zxy z
Resolución
Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias
de igual base:
4 3 57 6 4 3 7 5 68 3 25 8 3 25
15 2 12 15 2 12
x y y zxy z x x yy y z z
22
4 1 1 3 7 5 68 3 25
15 2 12x y z
3 2
5 11 11
2
2 3 5
3 5 2 2 3x y z
5 11 115
3x y z
Nota: Observar que es conveniente simplificar las fracciones numéricas, antes de
efectuar su producto.
Ejercicio
Simplificar: 7 23 4 23 30 3
4 3
a b c a bc
Resolución
Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias
de igual base:
7 23 4 27 2 3 4 23 30 3 1 30
3 34 3 4 3
a b c a bca a b b c c
7 2 3 1 4 230
34 3
a b c
9 4 6
2
2 3 53
2 3a b c
9 4 65
32
a b c
23
Ejercicio
Simplificar la siguiente expresión:
32 2 4 23 4 2 5 33 4 x y y x
Resolución
Ejecutar primero las potencias de potencias, después calcular el producto de los
coeficientes y multiplicar las potencias de igual base:
32 2 4 23 4 2 3 2 2 5 4 3 24 2 5 33 4 3 64x y y x x y y x
24 4 20 6192 x y y x
30 24192x y
Nota: Observar que 34 4 3 , porque 3
4 4 4 4 64
Ejercicio
Calcular la siguiente expresión:
23 22 3 32 2 2 22 1 1 45 1 1
5 36
a b a b
24
Resolución
Ejecutar primero las potencias de un producto, después las potencias de potencias
y al final calcular el producto de los coeficientes y multiplicar las potencias de igual
base:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Nota: Observar que es conveniente expresar las fracciones numéricas en
potencias de bases primas para simplificar sus productos. Y que para todo
número real “a” y cualquier número entero positivo “n” se cumple que: n na a , si “n” es par
n na a , si “n” es impar
25
Regla para la multiplicación de monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, utilizando la propiedad distributiva.
Ejercicio
Calcular el producto: 2 28 2 7 5ab a ab
Resolución
Multiplicar el monomio por cada término del polinomio:
2 2 2 2 2 28 2 7 5 8 2 8 7 8 5ab a ab ab a ab ab ab
3 2 2 3 216 56 40a b a b ab
Otra alternativa es multiplicar en forma vertical:
2
2
3 2 2 3 2
2 7 5
8
16 56 +40
a ab
ab
a b a b ab
Nota: Observar que la propiedad distributiva reduce el proceso a la suma de
multiplicaciones de monomios.
Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada uno de los términos del primer
polinomio por el segundo polinomio, utilizando la propiedad distributiva.
Ejercicio
Calcular el producto: 2 2 2 29 5 7 2 3x xy y y xy x
Resolución
26
Multiplicar cada término del primer polinomio por el segundo polinomio, con lo que se reduce el proceso a la suma de multiplicaciones de monomios por polinomios:
2 2 2 2 2 2 2 29 2 3 5 2 3 7 2 3x y xy x xy y xy x y y xy x
Ahora ejecutar en cada sumando el producto del monomio por cada término del
polinomio, con lo que se reduce el proceso a una suma de productos de
monomios: 2 2 3 4 2 2 2 3 4 3 2 218 27 9 10 15 5 14 21 7x y x y x xy x y x y y xy x y
Reducir los términos semejantes: 4 3 2 2 3 49 32 10 31 14x x y x y xy y
Otra alternativa es multiplicar en forma vertical ordenando los términos de los
polinomios en forma descendente respecto al grado de una de sus variables.
Escribiendo los polinomios en orden descendente respecto a “x”: 2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
9 5 7
3 2
9 5 7
27 15 21
18 10 14
9 32 10 31 14
x xy y
x xy y
x x y x y
x y x y xy
x y xy y
x x y x y xy y
Ejercicios Propuestos
Ejecutar las siguientes multiplicaciones:
1) 5 3 7 3 5 55 3 12a b c a c b c d
2) 4 3 2 6
3 518 4 21
35 3 16
x yz y zx y
27
3)
3 23 5 3 7 99 3 2 39 3 2
26 27
a bc a b c
4)
4 23 2 3 22 43 4 22 x y x y
5) 3 23 2 22 2 3 4 49 2 3x y xy x z y z
6)
2 32 3 4 22 2 2 26 3 4 20 3 4
24 28
a b a b
7) 5 4 3 2 2 2 312 3 4 2 7a b c a b b c c
8) 3 2 8 6 4 3 24 15 5 1 25
5 4 8 6 32x y x y x y x
9) 2 2 2 212 5 2 6 3 7a ab b b ab a
10) 3 2 2 3 3 2 2 310 5 15 1224 12
3 2 4 5x y x y xy xy x y x y
Simplificar las siguientes expresiones:
11) 3 2 2 25 2 21 7 19 3 4 6 14 8 12
3 7 2 6 4
xx x x x x x x
12) 2 27 3 2 4 8 5 2 6 8 9 3 4a b a b a a a b b a b
28
2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
En la división de polinomios se distinguen tres casos:
La división de monomio entre monomio.
La división de polinomio entre monomio.
La división de polinomio entre polinomio.
En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los
exponentes:
Para cualesquiera números reales “ 0a ” y “ 0b ” y cualesquiera números
enteros positivos “m” y “n” se cumple que:
0
1
1
mm n
n
m
n
m
n n m
am n a
a
am n a
a
am n
a a
Si
Si
Si
(Cociente de potencias de igual base)
n m
n
a a
b b
(Potencia de un cociente)
Y las reglas de los signos de la división:
El cociente de dos números de igual signo es positivo y el cociente de dos
números de diferente signo es negativo.
Regla para la división de monomio entre monomio
Para dividir monomios se calcula el cociente de sus coeficientes numéricos
respetando las reglas de los signos y se dividen las potencias de igual base
usando las leyes de exponentes.
Ejercicio
Calcular la siguiente división: 8 5 2
3 4 6
45
63
a b c
a b c
29
Resolución
Simplificar calculando el cociente de los coeficientes los coeficientes y dividiendo
las potencias de igual base:
8 5 2 8 5 2
3 4 6 3 4 6
45 45
6363
a b c a b c
a b c a b c
2
8 3 5 46 22
3 5 1
3 7a b
c
5
4
5
7
a b
c
Nota: Observar que es conveniente expresar la fracción numérica en potencias de
bases primas para simplificarla.
Y que si “a”, “b” son números reales positivos con b 0, entonces:
a a
b b y
a a a
b b b
Ejercicio
Ejecutar el siguiente cociente:
2 4 3 7
2 2 8
15
821
28
w x y z
w x y
Resolución
Simplificar calculando el cociente de los coeficientes y dividiendo las potencias de
igual base:
2 4 3 72 4 3
72 2 8
2 2 8
1515 288
21 8 2128
w x y zw x y
zw x yw x y
30
2
4 2 73 8 3
2 73 5 11
3 72x z
y
2 7
5
5
2
x z
y
Nota: Observar que para cualesquiera números reales “ 0a ”, “ 0b ”, “ 0c ” y
“ 0d ” se cumple que:
ac a c
bd b d
ac c aa c
b b b
1aa
b b, tal que “
1
b” es el recíproco de “b”
a c a d
b d b c, tal que “
d
c” es el recíproco de “
c
d”
Regla para la división de polinomio entre monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio entre el monomio, utilizando la propiedad distributiva, las reglas de los
signos y las leyes de exponentes correspondientes.
Ejercicio
Calcular el siguiente cociente: 4 2 3 3 2 4
2 2
48 36 9
12
x y x y x y
x y
Resolución
Dividir cada término del polinomio entre el monomio:
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2
48 36 9 48 36 9
12 12 12 12
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y
2 234 3
4x xy y
31
Nota: Observar que la división de un monomio entre un polinomio no es
simplificable porque la propiedad distributiva no es aplicable:
a a a aa b c d
b c d b c d
Ejercicio Verificar en la siguiente expresión numérica que no es aplicable la propiedad
distributiva:
120
20 40 30
Resolución
Simultáneamente simplificar la fracción y aplicar la “propiedad distributiva” para
mostrar que los resultados son diferentes:
120 120 120 120
20 40 30 20 40 30
1206 3 4
30
4 5
Algoritmo de la división
Un algoritmo es simplemente un procedimiento ordenado de cálculo que se
describe paso a paso.
Para la división el algoritmo establece:
dividendo residuocociente
divisor divisor, si divisor 0
El cual puede expresarse también como:
dividendo divisor cociente residuo
Que se utiliza para la comprobación de la división.
32
Si la división no es exacta, el residuo es diferente de cero porque el dividendo no
es múltiplo del divisor.
La aplicación sistemática de este algoritmo a la división de dos polinomios se
describe en seguida:
Regla para dividir polinomio entre polinomio
1. Ordenar los términos de los polinomios dividendo y divisor en potencias
decrecientes respecto al grado de una de sus variables (agregando con
coeficiente cero cualquier término de grado intermedio que falte en el
dividendo); y se colocan en el lugar que les corresponde de la galera o llave
de división.
divisor dividendo
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y
escribir el resultado como el primer término del cociente.
3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el
divisor, para obtener el residuo.
4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo.
5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor,
y escribir el resultado como el siguiente término del cociente.
6. Repetir los pasos 3, 4 y 5, hasta que el residuo sea cero o de grado inferior
al grado del divisor.
7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por
el cociente más el residuo.
Ejercicio
Dividir: 34 9 4x x
entre 3 2x
Resolución
33
1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en
orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso
necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en
el dividendo:
3 22 3 4 0 9 4x x x x
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para
obtener el primer término del cociente.
2
3 2
22 3 4 0 9 4
x x x x x
3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el
divisor, para obtener el primer residuo.
2
3 2
3 2
2
22 3 4 0 9 4
4 6
6
x x x x x
x x
x
4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo.
2
3 2
3 2
2
22 3 4 0 9 4
4 6
6 9
x x x x x
x x
x x
5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor,
para obtener el segundo término del cociente.
34 2
x x Calcular
22 2 3
x x Restar
Primer residuo
9
x Bajar
26 2
x x Restar
34
2
3 2
3 2
2
2 32 3 4 0 9 4
4 6
6 9
x x x x x x
x x
x x
6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del
cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.
2
3 2
3 2
2
2
2 32 3 4 0 9 4
4 6
6 9
6 9
0 4
x x x x x x
x x
x x
x x
x
El grado del residuo “– 4” es cero y es menor que el grado uno del divisor
“ 3 2x ”, así que el proceso de la división ha terminado.
7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el
cociente más el residuo.
2 32 3 2 3 4 4 9 4x x x x x
3 2 2 34 6 6 9 4 4 9 4x x x x x x
3 34 9 4 4 9 4x x x x
3 2 3
x x Restar
Segundo residuo
35
Ejercicio
Dividir: 221 5 3 2 5 3 8 7 5 3 4a b a b a b
Resolución
Ejecutar un cambio de variable para simplificar la división:
Sea 5 3z a b , entonces la división es: 221 2 8 7 4z z z
1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en
orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso
necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en
el dividendo:
27 4 21 2 8z z z
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para
obtener el primer término del cociente.
2
37 4 21 2 8
z z z z
3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el
divisor, para obtener el primer residuo.
2
2
3 7 4 21 2 8
21 12
14
z z z z
z z
z
221 7
z z Calcular
3 7 4
z z Restar
Primer residuo
36
4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo.
2
2
3 7 4 21 2 8
21 12
14 8
z z z z
z z
z
5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor,
para obtener el segundo término del cociente.
2
2
3 2 7 4 21 2 8
21 12
14 8
z z z z
z z
z
6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del
cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.
2
2
3 2 7 4 21 2 8
21 12
14 8
14 8
0
z z z z
z z
z
z
7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el
cociente más el residuo.
27 4 3 2 0 21 2 8z z z z
2 221 14 12 8 21 2 8z z z z z
2 221 2 8 21 2 8z z z z
8 Bajar
14 7
z z Calcular
2 7 4
z Restar
Segundo residuo
37
8. Obtener la solución de la división sustituyendo el valor de “z”:
Si 221 2 8 7 4 3 2z z z z y 5 3z a b , entonces:
221 5 3 2 5 3 8 7 5 3 4 3 5 3 2a b a b a b a b
Ejercicio
Dividir: 5 4 2 3 3 2 4 5 615 14 51 30 32 48a b a b a b a b ab b
entre 3 2 2 36 2 5b ab a b a
Resolución
Ordenar los polinomios en forma descendente respecto al grado de la variable “a”
y efectuar la división:
3 2 2 3 5 4 2 3 3 2 4 5 6
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5
3 3 2
5 2 6 15 14 51 30 32 48
15 6 3 18
20 48 12 32
20 8 4 24
40 16
a a b ab b a b a b a b a b ab b
a b a b a b a b
a b a b a b ab
a b a b a b ab
a b a
2 2 3
4 5 6
3 3 2 4 5 6
3 4 8
8 48
40 16 8 48
0
a b ab b
b ab b
a b a b ab b
Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el
cociente más el residuo.
3 2 2 3
2 2 3
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
3 3 2 4 5 6
5 4 2 3 3 2 4 5 6
5 2 6
3 4 8
15 6 3 18
20 8 4 24
40 16 8 48
15 14 51 30 32 48
a a b ab b
a b ab b
a b a b a b a b
a b a b a b ab
a b a b ab b
a b a b a b a b ab b
Se ha verificado que la solución es correcta.
38
Ejercicios Propuestos
Efectuar las siguientes divisiones:
1) 6 3 8
2 5 6
42
54
x y z
x y z
2)
5 2 6
2 4 3
35
1810
27
a b c
a b c
3)
23 32 7 5
4 52 4 3
3
28
12
35
a b c d
a b c d
4)
7 3 5 6 3 9
3 3
20 5 1
9 18 275
54
x y x y x y
x y
5) 3 3 4 4
2 2
5 3 3
2
ab a b a b
b ab a
6) 2
2 5 2 5 5 2 12
2 5 2 3
x y x y
x y
39
CAPÍTULO 3 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos: Objetivos
Nivel Taxonómico
DESARROLLARÁ EL CUADRADO Y EL CUBO DE UN BINOMIO
Aplicación
EXPRESARÁ UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES
Aplicación
IDENTIFICARÁ TRINOMIOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Aplicación
EXPRESARÁ UN TRINOMIO DE LA FORMA a
x 2
+ b
x + c
COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS
Aplicación
IDENTIFICARÁ EL PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS COMO UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Conocimiento
EXPRESARÁ
LA DIFERENCIA DE CUADRADOS COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
Aplicación
OPERARÁ CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUYA FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ES IGUAL AL PRODUCTO DE DOS O MÁS FACTORES
Aplicación
IDENTIFICARÁ TÉRMINOS SEMEJANTES PARA REDUCIR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Comprensión
ELIMINARÁ SÍMBOLOS DE AGRUPAMIENTO EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Comprensión
3.1 PRODUCTOS NOTABLES
Los Productos Notables son un conjunto de reglas cuya aplicación simplifica la
obtención de algunos productos algebraicos.
Cuadrado de la suma de dos monomios
Elevar al cuadrado a b
equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y
tendremos: 2 2 22a b a ab b
Demostración: 2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b
Regla con palabras:
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término
más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Ejercicio
2
3 5x
40
a) El cuadrado del primer término es: 23 3 9x x x
b) El doble producto de ambos términos es: 2 3 5 6 5 30x x x
c) El cuadrado del segundo término es: 5 5 25
Entonces: 2 23 5 9 30 25x x x
Cuadrado de la diferencia de dos monomios
Elevar a b
al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma,
luego:
2 2 22a b a ab b
Demostración:
2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b
Regla con palabras:
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer
término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo
término.
Ejercicio
222 7x y
a) El cuadrado del primer término es: 22 2 4x x x
b) El doble producto de ambos términos es: 2 2 22 2 7 4 7 28x y x y xy
42
Ejercicios del cuadrado de un binomio
1) 232322222322 )5()5)(9(2)9()59( babaababbaab
645342 259081 bababa
2) 2 2 2
3 2 3 3 2 25 3 5 5 3 32
6 5 6 6 5 5x xy x x xy xy
6 4 2 2 4 6 4 2 2 425 30 9 25 9
36 30 25 36 25x x y x y x x y x y
3) 2 2 23 2 3 3 2 24 4 4
28 7 8 8 7 7
a a a a a a
b b b
6 5 4 6 5 4
2 2
8 16 16
64 56 64 749 49
a a a a a a
b bb b
4) 2 222 2 2 8 4
6 6 6 125 5 5 5 10
3 4 3 3 4 4 9 24 162
8 8 8 649 9 9 72 81
a a a a aa a a a
b b b b b
12 8 4
5 10
9 16
64 3 81
a a a
b b
43
Producto de la suma por la diferencia de dos monomios
Sea el producto a b a b :
2 2a b a b a b
Demostración: 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b
Regla con palabras:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
primer término menos el cuadrado del segundo término.
Ejercicio
3 5 3 5x y x y
a) El cuadrado del primer término es: 23 3 9x x x
b) El cuadrado del segundo término es: 25 5 25y y y
Entonces: 2 23 5 3 5 9 25x y x y x y
44
Cubo de un binomio
1) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
Demostración:
3 2 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b
3 2 2 33 3a a b ab b
Regla con palabras:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el
triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del
primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo
término.
Ejercicio
3 3 2 2 32 6 2 3 2 6 3 2 6 6x y x x y x y y
a) El cubo del primer término es: 32 2 2 8x x x x
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es:
2 23 2 2 6 6 2 6 12 6 72x x y x x y x y x y
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:
23 2 6 6 6 6 6 36 6 216x y y x x y xy y xy
d) El cubo del segundo término es: 36 6 6 216y y y y
Entonces: 3 3 2 2 32 6 8 72 216 216x y x x y xy y
45
2) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
Demostración:
3 2 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b
3 2 2 33 3a a b ab b
Regla con palabras:
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos
el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del
primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo
término.
Ejercicio
3 3 2 2 37 7 3 7 3 7x y x x y x y y
a) El cubo del primer término es: 37 7 7 343x x x x
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es:
2 23 7 7 21 7 147 147x x y x x y x y x y
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:
23 7 21 21 21x y y x y y xy y xy
d) El cubo del segundo término es: 3y y y y
Entonces: 3 3 2 2 37 343 147 21x y x x y xy y
46
Ejercicios del cubo de un binomio
11)) 3 3 2 2 3 3 2 2 32 3 2 3 2 3 3 2 3 3 8 36 54 27a b a a b a b b a a b ab b
2) 3 3 2 2 34 2 3 4 4 2 3 4 2 3 2 37 5 7 3 7 5 3 7 5 5a a b a a a b a a b a b
12 10 3 8 6 6 9343 735 525 125a a b a b a b
3) 3 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 4 3 4 43 3
4 5 4 4 5 4 5 5a b a a b a b b
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 627 108 144 64 27 27 36 64
64 80 100 125 64 20 25 125
a a b a b b a a b a b b
4) 3 3 2 2 32 2 2 2
4 4 4 45 3 5 5 3 5 3 33 3
6 10 6 6 10 6 10 10
a b a b a b a bb b b b
6 3 4 6 2 9 12125 225 135 27
216 360 600 1000
a b a b a b b
6 3 4 6 2 9 12125 25 9 27
216 40 40 1000
a b a b a b b
5) 3 3 2 2 3
2 2 2 2
3 3 3 33 3
2 2 2 2
x y x x y x y y
y y y yx x x x
3 2 2 3 3 3
3 2 2 4 6 3 3 6
9 27 27 9 27 27
48 4 2 8 2
x x y xy y x y y
yy x y x y x y x x
47
Producto de dos binomios de la forma x a x b
El resultado de multiplicar x a x b es:
2x a x b x a b x ab
Regla con palabras:
El producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado
del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el
término común, más el producto de los términos no comunes.
Ejercicio
2
2 6 2 6 2 6x x x x
1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de
los binomios: 2x x x
2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de
los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a
un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término
del producto: 2 6 8x x
3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de
los binomios: 2 6 12
Entonces 22 6 8 12x x x x
Ejercicios de producto de dos binomios con un término común
1) 2 23 5 3 5 3 5 2 15x x x x x x
2) 2 22 2 2 3 4 2 3 2 2 3 4 10 6x x x x x x
3) 2
4 2 4 3 4 2 3 4 2 3xy a xy b xy a b xy a b
2 216 8 12 6x y a b xy ab
48
4) 2
16 4 16 2 16 4 2 16 4 2 16 2 16 8x x x x x x
16 8 8x x
Efectuar los siguientes productos:
1) 2 2 21 1 1 2 1 2 22 2x x x x x x x x x xa b a a b b a a b b
2) 2 2m n m n m n
3) 222 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z x y z
222222 2424 zyzyxzyzyx
Diferencia de cuadrados
Ejercicios
1) 2 2(2 )(2 ) 4y a y a y a
2) 2( 7 )( 7 ) 49x a x a x a
3) 2 2 24 4( 4 8)( 4 8) 4 64 2 64x x x x
4) 22422 49)23)(23( xbaxbaxba
Producto de dos binomios con un término común
Ejercicios
1) 152)5)(3( 2 xxxx
2) 6104)32)(22( 2 xxxx
3) 2 2 2 2(4 2 )(4 3 ) 16 (2 3 )(4 ) (2 )(3 ) 16 (8 12 ) 6xy a xy b x y a b xy a b x y a b xy ab
4) ( 25 6)( 25 4) 25 2 25 8 16 10 24x x x x x x
49
Desarrollar:
1) 96)3( 22 mmm
2) 8436243 64489)83( bbaaba
3) 422122221 )(2)( mmnnmn yyxxyx
4) 221221 2)( xxxxxx bbaaba
5) 222 9124)32( bababa
6) 102546253 81180100)910( yxyxxxyx
7) 22))(( nmnmnm
8) 442222 ))(( axaxax
9) mnnmmn yxxyyx 22 259)35)(53(
10) 222 44)2)(2( cbabacbacba
11) 22 )(4)2)(2( zyxzyxzyx
12) 32233 6128)2( xaxxaaxa
13) 86)4)(2( 2 xxxx
14) 454)9)(5( 2422 aaaa
15) 222422 2))(( mnnmmmmnnmm
16) 1803)15)(12( 3633 aaaa
17) 3613)3)(2)(3)(2( 24 aaaaaa
18) 632)9)(7( 61266 aaaa
50
3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax2
Ejercicios de factorización de trinomios de la forma cbxax2 :
1) 22
26 6 19 15 6 19 6 90 6 9 6 10
6 19 156 6 6
x x x x x xx x
3 2 3 2 3 5
2 3 3 56
x xx x
2) 22
24 4 11 20 4 11 4 80 4 16 4 5
4 11 204 4 4
x x x x x xx x
3) 22
2 22 2 3 2 2 3 2 4
2 2 3 2 3 22 2
x x x xx x x x
4) 22 2 2
2 28 8 2 8 2 8 8 8 4 8 2
8 28 8 8
x xy y x y x y x y x yx xy y
5)
24 3 2 2 2 2 2 2
4 3 2 24 4 10 4 4 10 4 16
4 10 44 4
x x y x y x xy x x yx x y x y
2 24 8 4 2 4 2 2 2
4 4
x xy x xy x x y x x y
22 2 2x x y x y
51
Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma cbxax2
1) 12112 2 xx
2) 1712 2 xx
3) 22 3108 yxyx
4) 22 532 yxyx
5) 2234 323 yxyxx
3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS
Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos
binomios iguales.
1) 2 22 210 25 2 5 5 5 5 5x x x x x x x
2) 2 22 212 36 2 6 6 6 6 6x x x x x x x
3) 2 2 224 12 9 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3x x x x x x x
4) 2 2 2225 40 16 5 2 5 4 4 5 4 5 4 5 4x x x x x x x
5) 2 2 22 24 4 2 2 2 2 2 2x xy y x x y y x y x y x y
6) 2 2 22 29 36 36 3 2 3 6 6 3 6 3 6 3 6x xy y x x y y x y x y x y
7) 2 2 22 24 32 64 2 2 2 8 8 2 8 2 8 2 8a ab b a a b b a b a b a b
52
8) 2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 29 12 4 3 2 3 2 2 3 2a a b b a a b b a b
2 2 2 23 2 3 2a b a b
9)
2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 225 10 5 2 5 5m m n n m m n n m n
2 2 2 25 5m n m n
10) 2 2 26 3 2 4 3 3 2 2 3 29 24 16 3 2 3 4 4 3 4a a b b a a b b a b
3 2 3 23 4 3 4a b a b
Ejercicios Propuestos
Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos
binomios iguales.
1) 81182 xx
2) 16164 2 xx
3) 648025 2 xx
4) 100609 2 xx
5) 22 168 yxyx
6) 22 49284 yxyx
7) 22 92416 yxyx
8) 2 2 44 20 25x xy y
9) 6336 816 yyxx
10) 4248 42436 yyxx
53
3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
Ejercicios Resueltos de factorización por agrupación:
1) 2 2 (2 ) ( 2 ) (2 ) (2 ) (2 )( )x mx y my x mx y my x m y m m x y
2) 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 )mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y
(2 )( )x y m n
3) 2 2 1a b a b a b a b a b a b a b a b
1a b a b
4) 2 22 2 2 2 2 2 24 9 6 4 9 6 4 3 2 3x a ab b x a ab b x a a b b
2 2 224 3 2 3 2 3 2 3x a b x a b x a b x a b
5) 2 2 22 2 2 225 10 1 9 5 2 5 1 1 9 5 1 9b b x b b x b x
2 25 1 3 5 1 3 5 1 3b x b x b x
54
Ejercicios Propuestos
Factorizar por agrupación las siguientes expresiones:
1) 1025 abab
2) 6262 baab
3) nmmnm2
4) 222 4416 babax
5) 2222 25704944 babayxyx
55
CAPÍTULO 4 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
REALIZARÁ OPERACIONES DE ADICIÓN Y MUTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE TENGAN DOS O TRES VARIABLES
Aplicación
CALCULARÁ EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Aplicación
REALIZARÁ ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Aplicación
EFECTUARÁ LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Aplicación
OBTENDRÁ LA DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS HASTA SU MÍNIMA EXPRESIÓN
Aplicación
IDENTIFICARÁ UNA FRACCIÓN COMPUESTA
Conocimiento
SIMPLIFICARÁ FRACCIONES COMPUESTAS
Aplicación
4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo ( . . .m c m ) de dos o más expresiones algebraicas es la
expresión algebraica de menor coeficiente entero y de menor grado que es
divisible entre cada expresión algebraica.
Para determinar el . . .m c m
de dos o más expresiones algebraicas, se multiplican
todos los factores primos constantes y literales diferentes de las expresiones
algebraicas, considerando cada factor con su máximo exponente.
Ejercicios
Obtener el . . .m c m
de:
a) 32215 zyx y 5218 yx
5
3
1
5
15
3
3
2
1
3
9
18
2 2 3 2 2 315 (3)(5)x y z x y z 2 5 2 2 518 (2)(3)x y x y
Factores primos: zyx ,,,5,3,2
2 2 5 3. . . (2)(3 )(5)m c m x y z
56
2 5 3. . . 90m c m x y z
b) 59x , 44x
5 2 59 (3 )x x 24 4 4( 1) (3 )( 1)x x x
Factores primos: 2,3, , 1x x
2 2 5. . . (2 )(3 ) ( 1)m c m x x
5. . . 36 ( 1)m c m x x
c) 420a , 23 1015 aa , 830a
4 2 420 (2 )(5)a a )23(51015 223 aaaa 8 830 (2)(3)(5)a a
Factores primos: 23,,5,3,2 aa
2 8. . . (2 )(3)(5) (3 2)m c m a a
8. . . 60 (3 2)m c m a a
d) 2316 ba , 352 2 aa , 42 816 bba
3 2 4 3 216 (2 )a b a b
)3)(12(352 2 aaaa
2 4 2 3 3 2 316 8 8 (2 ) (2 )( )(2 )a b b b a b b a b
Factores primos: 2 32, , , 2 1, 3, 2a b a a a b
57
4 3 2 2 3. . . (2 ) ( 3)(2 1)(2 )m c m a b a a a b
3 2 2 3. . . 16 ( 3)(2 1)(2 )m c m a b a a a b
58
4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1) 3 4 4
4 5 4 10
8 4 8
b a
ab b ab
2) 2 2 2
2 3 1 6 21 1 2
23 6
xy y x yy y
yxy y xy
2 2
2 2
2 3 3 12 6 2 3 9 12
6 6
xy xy x xy xy xy x
xy xy
3) 2 2
3 33 3 3 3 x y x yx y x y
x y x y x y x y x y x yx y
22 33 3 3 x xy yx xy y
x y x y x y x y
4)
2 22 2 2 22 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( )
x y x yx y x y x x y y x x y y
x y x y x y x y x y x y
4 4 4 4
4 42 2 2 2
2 2 2( )x y x y
x yx y x y
5) 2 2 2 2
4 4 4 44 4 4 16 4 16 9
4 416 16 16 16
x x xx x x x x
x xx x x x
4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1) 2 2 2 2 2 2 3 3
2 2 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1y y x y x y y y y
x y y x xy x y x y x y x y x y x x y
59
2) 2 2 3 2
3 2 5 3 2 5
1 1 1
a a
a a a aa a a a a a a a
3 2 5
1 1 1 1
a
a a a a a a a
3 1 2 1 5 3 3 2 2 5
1 1 1 1
a a a a a a
a a a a a a
6 16 6 6
1 1 1 1 1
aa
a a a a a a a a
3) 2 2
2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 24 2
x x
x x x x x x xx x x
2
2 2 4 4 4
2 2 ( 2 2 4
x x
x x x x x x x
4) 2
cx c x y cxcx c c cx c c
x x y x x y x x y x x yx xy
c x ycx cx cy cx cy cx c
x x y x x y x x y x
5)
2 2
7 1 1 37 1 7 1
2 3 2 1 2 3 15 6 3 2
a a a aa a a a
a a a a a a aa a a a
2 2 2 27 7 3 3 8 7 3 3
2 3 1 2 3 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
2 3 56 10
2 3 1 2 3 1
aa
a a a a a a
60
6) 2
2 3 3
2 1 2 1 4 42 2 4 4
11 1 1
x x x xx x
xx x x
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 1 4 4 2 2 2 4 2 4 4
1 1
x x x x x x x x x x
x x
3 3 2
2 12 2 2
1 1 1
xx
x x x
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.
Se utilizan las mismas reglas que con fracciones comunes
a c ac
b d bd
Efectuar las siguientes operaciones:
1) 2 12 1 2
1 1 1 1 1
x xx x x
x x x x x
2) 2
2
3 1 2 3
2 2 2 4
x x x x
x x x x
3) 2 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 4
a b a a ab a ab
a b a b a ab ab b a b ab
4) 2 12 1 2 1b aa b a
b a b b a b a b
5) 2 2
2 1 2 1 22 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1 1 1
x y x yx y xy x y
y y y y y y
61
6)
2 ( 2) 2
b
x a x a
7) 2 22 1 12 2 1 3 2
1 1
y y yy y y y y
y y y y y
8) 2 1 11 1
2 2 2 1 2
z z zz z z z
z z z z
9) 2 22 3 2 22 3 22 3 3 2 2
3 3
a b a b a b a ba b a b a ab a b b
a b ab ab ab
3 2 22 2a b a b ab
ab
10) 2 22 1 12 1
2 3 2 3 3 3
z z z z zz z z z z
z z z z z z
Ejercicios Propuestos
Efectuar las siguientes operaciones:
1) 22 1 4 4
2
x x x
x x
2) 2
2 1
3 1
x x
xx
3) 2 22 2
2
a ab b ab
a b a b
4) 2
2 2a b ab
a b b ab
62
5) 3 2
2 1
z z
z z
6)
2
2
2 3
11
x x x
xx
7) 2 3 1 1
1 3
x x x
x x
8) 2
xz xy y
xz y
9) 4 2ac ab a b
a b a
10) 3 6 1
1
zb b b
b b
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Se aplica la regla del emparedado. El producto de extremos entre el producto de
los medios, en otras palabras, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de
la fracción divisor.
aa db
c b cd
ó a c ad
b d bc
Ejercicios Resueltos
Efectuar las siguientes operaciones:
1)
2
2
2 2
7 13 7 1 32
27 1 2 7 13
x xx x x xx
xx x x x xx
63
2) 2 23 3 2
33 3
2 1 21 2
1 2 11 1 1 1
x x x x x x x x x x xx x x
x x xx x x x
3)
2
2
2 3 9 2 3 3 32 3 32 3
3 3 3 3 39
a a a a aa aa
a a a a aa
4)
2
22
2
22 1 2 1 1
2 221
x xx x x x x x xx
x xx x xx xx
5)
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 4 22 2 2 2
2 2 22
a ab ba b a b a b a b a ba b
a b a b a ba b a ba b
6)
3 2
2
2
2
1 2 22 1 22
4
z z zz z z z zz z z z
z z zz
7) 22 2
2
12 4 222 4 2 22
12 2 2 2 2 2 2 42
a ab b b a ab bab b a b ab a a
b b b b b b b b b b ba
8) 22 3 2
2
3
2 2 3 5 6
x x xx x x x x
x x x x x x
64
9) 3 2
2 4 32 3 2
3 33 3 1
33
x x x xx x x
xx x x xx x x
10) 2 2 2 22 3 2
2
2 2 22 2abc a b c abc c a c c aabc a b a b c ac
ab ab a b ab a b a b a bc
Ejercicios Propuestos
Efectuar las siguientes operaciones:
1) 2 21 2 1 1 4
2
x x x x x
x x
2) 2
2
2 4 3
2 2
x x x
x x
3)
2
2
ab ab
a bb b
a
4) 2 2
3
zxy xz xz
xy z
5) 3 2 1 2
2 1
x x x
x x
6) 2 4
3 2
abc ab ab
b ac
7) 2
2
3 27 3
3
x x
x x
65
8) 3 3
2 2 2
a ab b a b
a b b
9)
3 2
2 1
x x
x x
10) 2
2 1
11
x x
xx
4.6 FRACCIONES COMPLEJAS
1)
1 1 1 1 1 11
1 1 1 1 1 21 1
1 1 1 11 11 1
1
x x x x x
x x x x x xx x x
x x x x x x xx
x x
2
1 1 1
2 2
x x x
x x x x
2) 1
1
yy xx y x yx x y y x y y x yx x x xx x yx y x y x x y y
y y x y x xy x yx y x y x y x yx y
x x y y x yx x y y
x x x xx y x y x y
66
Ejercicios Propuestos
1) Obtener el mínimo común múltiplo de:
a) yx 2 , xy8 , 2316 yx
b) 320abc , ba 250 , 4260 cb
c) 15 1x , 23 1x , 25 1 2x x
2) Realizar las siguientes operaciones:
a) 2 2
3 2
4 4a a a
b) 2
3 3
3 9 33
y y
y yy y
c) 2 4
5 5x x
d) 2 2
6 8
1 2 1a a a
e) 2 2
1 3 1
1 2 2 1
x x
x x x x x
f)
1
11
1
11
xx
xx
x
x
67
CAPÍTULO 5 RAZONES Y PROPORCIONES
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ LOS CONCEPTOS DE RAZÓN Y PROPORCIÓN
Conocimiento
DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN DIRECTA
Conocimiento
DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN INVERSA
Conocimiento
DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE VARIACIÓN LINEAL
Conocimiento
EFECTUARÁ EJERCICIOS DE PROPORCIÓN DIRECTA E INVERSA
Aplicación
5.1 RAZÓN
Una razón es el cociente indicado entre dos números y se representa como una
fracción o mediante dos puntos. Por ejemplo la razón entre el par de números 3 y
7 se escribe como:
3
7 ó 3: 7
y se lee “tres es a siete”
Las razones pueden ser utilizadas para comparar dos cantidades de la misma
especie, tales como: dos estaturas, dos velocidades, dos edades, etc., y para ello
las cantidades deben expresarse en las mismas unidades.
Si a
y b son cantidades de la misma especie expresadas en la misma unidad, la
razón b
a es un número adimensional que indica qué tan grande o tan pequeña es
la cantidad a
comparada con la cantidad b .
Ejercicio
Obtener la razón entre la estatura de Javier que mide 1.40 metros y la sombra de 40 centímetros que proyecta en un momento dado.
Resolución
Se escriben las cantidades en la misma unidad, por ejemplo en centímetros:
Estatura de Javier = 140 cm.
Sombra proyectada = 40 cm.
68
Ahora se escribe el cociente y se simplifica: 140 7
40 2
Entonces la razón es
7
2
y significa que la estatura de Javier es
7
2
la medida de su
sombra proyectada en un momento dado. Con frecuencia también se expresan razones entre cantidades de diferente
especie tales como: la velocidad que es la razón de la distancia recorrida por un
objeto entre el tiempo empleado en recorrerla; la densidad que se define como la
razón de la masa de una cierta cantidad de sustancia entre su volumen; el precio
de un producto que es la razón del costo total entre el número de unidades del
producto, etc. Así entonces:
Si a
y b son cantidades de distinta especie, la razón a
b
es un número que indica
la cantidad de unidades de a correspondiente a una unidad de b .
Ejercicio
Si 300 centímetros cúbicos de aluminio tienen una masa de 810 gramos, encontrar
la densidad del aluminio en kg/m3.
Resolución
Se obtiene la masa en kilogramos, sabiendo que 1 gr = 0.001 Kg: 810 gr = 810(0.001 Kg) = 0.81 Kg
Se obtiene el volumen en metros cúbicos, sabiendo que 1 cm3 = 1
10-6 m3
300 cm3 = 300(1
10-6 m3) = 0.0003 m3
Se escribe la razón de la masa entre el volumen y se simplifica: 0.81
27000.0003
33
Kg Kg/m
m
69
Entonces la densidad del aluminio es de 2700 Kg/m3 y significa que cada metro
cúbico de aluminio tiene una masa de 2700 Kilogramos.
En general, a
b
es la razón entre el par de números a
y b tal que b
0. El número
a
se llama antecedente y el número b consecuente.
Ejercicio
Una herencia de $500 000 se reparte entre dos hermanos, de tal forma que uno de
ellos recibe 2
3
de lo que recibe el otro. ¿Cuánto recibe cada hermano?
Resolución
Se suman los términos de la razón (antecedente y consecuente): 2 3 5
Se divide la herencia entre la suma obtenida: 0001005000500
Se multiplica cada término de la razón por el cociente obtenido:
2 100 000 200 000
3 100 000 300 000
Entonces un hermano recibe $200 000 y el otro $300 000
Si se multiplican o dividen ambos términos de una razón por un mismo número
diferente de cero, se obtiene otra razón equivalente. Así entonces:
5 15
8 24 y , son razones equivalentes
porque: 5 5 3 15
8 8 3 24
70
5.2 PROPORCIÓN
Una proporción es una ecuación que expresa que dos razones son iguales:
: : 0 0a c
a b c d b db d
o con y
Las cantidades cba ,, y d son los términos de la proporción, tal que a
y d se
llaman extremos, b y c
se llaman medios.
5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN
Para los números reales cualesquiera cba ,, y d con b
0 y d
0, se cumple
que:
Si a c
b d
entonces ad bc
Proporción Continua
Una proporción es continua si sus medios son iguales o sus extremos son iguales,
entonces:
a b a c
b d b a y , son proporciones continuas.
Donde el término que se repite se llama la media proporcional, y cualquiera de
los términos no repetidos se llama la tercera proporcional.
Ejercicio
Identificar los términos de la proporción continua 4 12
12 36.
Resolución
12 es la media proporcional entre 4 y 36.
4 es la tercera proporcional entre 12 y 36.
36 es la tercera proporcional entre 12 y 4.
Si la proporción no es continua, cualquiera de sus términos es la cuarta
proporcional.
71
Ejercicio
Identificar los términos de la proporción no continua 3 15
8 40
Resolución
3 es la cuarta proporcional de 8, 15 y 40.
8 es la cuarta proporcional de 3, 15 y 40.
15 es la cuarta proporcional de 3, 8 y 40.
40 es la cuarta proporcional de 3, 8 y 15.
Ejercicio
Calcular el valor del término desconocido de la proporción 6 21
7 x
Resolución
Se aplica la propiedad de una proporción: 6 7 21x
Se despeja la incógnita: 147
624.5
x
x
Ejercicio
Calcular el valor de w de la proporción : 2.61 3.45 :w w
Resolución
Se aplica la propiedad de una proporción:
2 2.61 3.45w
Se despeja la incógnita: 2 9w
3w
3w ó 3w
72
Proporción Directa
Se establece que dos cantidades son directamente proporcionales si el aumento
de una de ellas corresponde al aumento de la otra, o la disminución de una de
ellas corresponde a la disminución de la otra.
Ejercicio
Si un albañil cobró $680 por la colocación de 8 m2 de teja, ¿cuánto deberá cobrar
por la colocación de 25 m2 de teja?
Resolución
Sea x el costo de colocar 25 m2 de teja.
La razón del cobro al área de teja colocada en el primer caso es: 640
8
y en el segundo caso es:
25
x
Como el precio por metro cuadrado de colocación es el mismo en los dos casos,
se establece la siguiente proporción directa:
640
8 25
x
Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene:
8 640 25
640 25
82000
x
x
x
Entonces el cobro por la colocación de 25 m2 de teja es de $2000.
Comprobación:
73
640 2000
8 2580 80
Ejercicio
Se estima que en la fabricación de bombillas eléctricas la posibilidad de que
salgan defectuosas está en razón de 2 a 1500. Si se detectaron 30 defectuosas,
¿cuántas bombillas fueron revisadas?
Resolución
Sea k el número de bombillas fabricadas.
Como se conoce la razón de bombillas defectuosas entre bombillas revisadas, se
establece la siguiente proporción directa:
2 :1500 30 : k
Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene:
2 1500 30
1500 30
222 500
k
k
k
Entonces fueron revisadas 22 500 bombillas eléctricas.
Comprobación: 2 30
1500 22 5001 1
750 750
Proporción Inversa
Se establece que dos cantidades son inversamente proporcionales si el aumento
de una de ellas corresponde a la disminución de la otra, o la disminución de una
de ellas corresponde al aumento de la otra.
Ejercicio
74
Si para instalar una red de cómputo en una sala internacional de prensa 50
técnicos ocupan 21 días, ¿cuántos técnicos se necesitan para que la instalación se
concluya en 7 días?
Resolución
Sea x
el número de técnicos para ejecutar la instalación en 7 días.
La razón entre los tiempos ocupados para la instalación en las situaciones
planteadas es:
21
7
y la razón entre las cantidades de técnicos para instalar la red es:
50
x
Debido a que un aumento en el número de técnicos corresponde a una
disminución en el número de días de instalación, se establece una proporción
inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:
21
7 50
x
Ahora se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita:
7 21 50
21 50
7150
x
x
x
Entonces se necesitan 150 técnicos para ejecutar la instalación en 7 días.
Ejercicio
75
Si el plano arquitectónico de una casa habitación se traza con la escala 1: 50
(1 centímetro es a 50 centímetros), ¿qué longitud en metros tiene el largo de la
estancia si se emplearon 9.5 centímetros en su trazo?
Resolución
Sea x la longitud en metros del largo de la estancia.
Como se conoce la escala empleada, se establece la siguiente proporción directa:
1: 50 9.5 : x
Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita: 1 50 9.5
475
x
x cm
Se obtiene la longitud en metros, sabiendo que 1 cm = 0.01 m: 475 0.01x
4.75x
m
Entonces la estancia tiene de largo 4.75 m
Ejercicio
Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos para
120 días. Si se desea que los viáticos duren 40 días más, ¿Cuántos obreros
deberán disminuirse de la cuadrilla?
Resolución
Sea z el número de obreros con viáticos para 120 40 160
días.
Con las cantidades de obreros enviados en las situaciones planteadas, se forma la
razón:
200
z
76
y con los tiempos que deben durar los viáticos en ambas situaciones la razón es:
120
160
Debido a que una disminución en el número de obreros corresponde a un
aumento en el tiempo de duración de los viáticos, se establece una proporción
inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:
200 160
120z
Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita:
200 120 160
160 200 120
200 120
160150
z
z
z
z
Se obtiene la diferencia del número de obreros con viáticos para 120 días y el
número de obreros con viáticos para 160 días:
200 150 50
Entonces deben disminuirse 50 obreros de la cuadrilla.
Variación Lineal
La variación de dos cantidades a
y b es lineal si la razón a
b
no cambia cuando a
varía directamente con b . Así entonces:
Si a
kb
, donde k es una constante, se cumple que kba , tal que a
varía
linealmente al variar b
y k
se llama constante de variación.
Ejercicio Suponiendo que y varía linealmente con la variación de x, y que 16y
cuando
4x , obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de y
cuando 2x .
77
Resolución:
La ecuación que define la variación es de la forma y kx
Para encontrar el valor de k , se sustituye 16y
y 4x , en la ecuación y se
despeja la constante de variación:
16 4
4
k
k
Entonces la ecuación que define la variación lineal es 4y x
Para encontrar el valor de y cuando 2x , se sustituye este valor en la ecuación:
4 2
8
y
y
Ejercicio
Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y mx n , obtener
la constante de variación sabiendo que 12y
cuando 2x
y 21y
cuando
5x .
Resolución
Se sustituyen las dos soluciones dadas en la ecuación y mx n :
2521
1212
nm
nm
Se resuelve el sistema (se emplea el método suma y resta. Ver 8.5.1)
2215
1122
nm
nm
78
Se multiplica la ecuación (1) por –1:
2215
1122
nm
nm
Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones:
2 12
5 21
3 0 9
m n
m n
m
Se despeja la incógnita m:
9
33
m
m
Se sustituye el valor de m en la ecuación (1) y se despeja la incógnita n:
6
1232
n
n
Entonces la ecuación de variación lineal es 3 6y x
que puede expresarse:
3 2y x
Como esta ecuación es de la forma a kb , donde a y , 3k
y 2b x ,
entonces la constante de variación es 3k .
Es importante observar que la constante de variación es el coeficiente m de la
ecuación enunciada y mx n
y que para 3 2y x , se tiene que
1 1
2 2
2
2
y x
y x
es una proporción si y solo si 2211 ,, yxyx y son dos soluciones de
la ecuación.
Ejercicio
La presión hidrostática en el fondo de una fosa de clavados varía en forma lineal
con la altura del agua. Si se desprecia la presión atmosférica local y se sabe que
el agua ejerce sobre el fondo una presión de 1 kg/cm2 cuando la columna de agua
es de 10 metros, obtener la ecuación que define la variación de presión y
determinar la presión en el fondo si la altura del agua es de 5.25 m.
79
Resolución:
La ecuación que define la variación de presión es de la forma P kh , donde P es
la presión, k es la constante de variación y h es la altura del agua en la fosa.
Se calcula la constante de variación sustituyendo P = 1 kg/cm2 y h = 10 m en la
ecuación de variación:
1 10
1
10
k
k
Entonces la ecuación es 1
10P h
Si h = 5.25 m, la presión hidrostática en el fondo de la fosa es:
15.25
10
0.525
P
P 2kg/cm
Ejercicios Propuestos
1. Obtener la razón de la capacidad de un tanque elevado de 600 litros al volumen
de 2.5 metros cúbicos de la cisterna que lo abastece e interpretar el resultado.
2. Si 0.8 litros de alcohol tienen una masa de 0.648 kilogramos, encontrar la
densidad del alcohol en kg/m3 e interpretar el resultado.
3. Una barra de acero de 60 centímetros de longitud se corta en dos pedazos, uno
de ellos tiene de longitud 5
7
de la longitud del otro. Hallar la longitud de cada
pieza.
4. Calcular la media proporcional entre 13 y 52.
5. Determinar la tercera proporcional entre 12 y 48.
6. Encontrar la cuarta proporcional de 8, 3 y 56.
80
7. Calcular el valor del x de la proporción 2:4:13 xx
8. Si la detonación de un arma de fuego se escucha a 567 metros en 7 segundos,
calcular a qué distancia del disparador se localiza una persona que oye el
disparo 10 segundos después de ocurrido.
9. Entre las enfermedades hereditarias, se encuentra el trastorno conocido con el
nombre de fenilcetonuria que es exteriorizada en forma de graves trastornos
mentales y se estima que aproximadamente 4 personas de cada 100 000 la
padecen. ¿Qué número de personas enfermas de este mal habrá en una
población de 105 millones de habitantes?
10. Una constructora estima que con una cuadrilla de 250 hombres se restaura un
edificio colonial en 180 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para
terminar la obra en 125 días?
11. En un dibujo a escala un edificio de 85 metros de altura mide 42.5 centímetros.
Calcular la escala empleada y determinar con cuántos centímetros debe
dibujarse sobre la azotea una antena de 15 metros de altura.
12. Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos
para 120 días. Si se incorporan 40 obreros más, ¿cuántos días les durarán los
viáticos?
13. Suponiendo que w varía linealmente con v, y que 28w
cuando 12v ,
obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de w
cuando 24v .
14. El voltaje en volts medido a través de un alambre conductor varía linealmente
con la corriente en amperes que pasa por dicho conductor. Si la constante de
variación es la resistencia del alambre conductor en ohms, expresar la
ecuación que define la variación del voltaje y determinar el valor de la
resistencia del alambre por el que circula una corriente de 5 amperes, cuando
se le aplica un voltaje de 100 volts.
81
15. Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y mx n ,
obtener la constante de variación sabiendo que 35y
cuando 7x
y
10y
cuando 2x . ¿Cuál es la ecuación de variación lineal?
82
CAPÍTULO 6 LOGARITMOS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LOGARITMO
Aplicación
ENUNCIARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Aplicación
APLICARÁ LA DEFINCIÓN Y LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS EN LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
Aplicación
OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
Aplicación
6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO
La palabra logaritmo proviene de las dos palabras griegas “logos” que significa calcular o razón y “arithmos” que significa número. El logaritmo de un número dado x , es el exponente o potencia a la que debe elevarse un número b llamado base, para obtener el número dado x .
Como 2416 , el logaritmo de 16, en base 4 es 2. Una manera de escribir esto es 216log4
Si b es un número positivo (distinto de 1) y x es un número positivo, hay exactamente un exponente y , tal que
xb y
Por lo que todo número positivo x
tiene un único logaritmo en base b .
Definición:
Para todo número positivo x
, y para todo número positivo b (con 1b ): xy blog
si y sólo si xb y
Si la base b es el número 10, x10log se expresa simplemente como xlog , es
decir, se tiene que: xxy loglog10
es equivalente a yx 10
Si la base b es el número e , existe un símbolo especial para xelog , se trata de
xln , es decir, se tiene que: xxy e lnlog
es equivalente a yex
Ejemplos: a) Como 53243 , el logaritmo de 243en base 3 , es 5 que se expresa como
5243log3
b) Como 1000103 , el logaritmo de 1000en base 10 , es 3 que se expresa como 31000log10
83
c) La expresión 125
15 3 implica que 3
125
1log5
d) 4
16
1log2
porque
16
12 4
e) 01log6
porque 160
f) Como 41010000 , el logaritmo de 10000 en base 10 es 4. Que se puede
expresar como 41000010log , o bien como 410000log
De esta manera podemos expresar una expresión en forma logarítmica, en su equivalente, en forma exponencial, como se muestra a continuación:
Proposición logarítmica Proposición exponencial log2
8 = 3 23
= 8 log5
78125 = 7 57
= 78 125
2161
4log 161
4 2
log10 0.00001 = - 5 o log 0.00001 = - 5
10-5
= 0.00001
log2
750 = 9.55 29.55 = 750 log1.08
2 = 9 1.089
= 2
Ejercicios Resueltos
1. Expresar en notación logarítmica las siguientes potencias: a) 52 = 25 b) 42 = 16 c) 103 = 1000.
d) 4 1/2 = 2 e) 10 1/2 = 3.162 f) 25 -1/2 = 1/5
Resolución: a) log5 25 = 2 b) log4 16 = 2 c) log10 1000 = 3 d) log4 2 = 1/2 e) log10 3.162 = 1/2 f) log25 1/5 = - 1/2
2. Expresar los siguientes logaritmos en forma exponencial a) log5 25 = 2 b) log3 27 = 3 c) log4 64 = 3 d) log6 36 = 2 e) log9 729 = 3 f) log7 2401 = 4
Resolución: a) 25 = 52 b) 27 = 33 c) 64 = 43
d) 36 = 62 e) 729 = 93 f) 2401 = 74
84
Ejercicios Propuestos 1. Escribir las siguientes expresiones exponenciales en la forma xy blog
a) 8134
f)
11
1121 2
1
k) 2 1/2
= 1.414
b) 62554
g) 168 3
4
l) 10 3/4
= 5.623
c) 00001.010 5
h) 33
= 27 m) 8 -2/3
= 0.25
d) 25
15 2
i) 73
= 243
e) 283
1
j) 54
= 625
2. Escribir las siguientes expresiones logarítmicas en la forma xb y
a) 4625log5
e)2
112log144
i) log2 128 = 7
b) 481log3
f) 3
4
16
1log8
j) log5 625 = 4
c) 664
1log 2
g) log6 216 = 3 k) log8 512 = 3
d) 6000001.0log
h) log 10 000 = 4 l) log3 729 = 6
6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN
Existen dos propiedades de cancelación de los logaritmos. 1) xalog x
a
2) xa xloga
Como se puede observar, la segunda se obtiene al escribir la primera en la forma exponencial.
Esto se ilustra en los siguientes ejemplos. 1. Se desea conocer a qué equivale 355log
, lo cual puede escribirse como: 355log =x
Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se tiene que:
85
355 logxlog
Por lo tanto, x=3
2. Se desea conocer a qué equivale 27 7log , lo cual puede escribirse como:
27 7log = x
Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se obtiene:
277 x
Por lo tanto: x=2
Ejercicios Resueltos
a) 655log las bases del logaritmo y del exponente son 5, por lo tanto, 655log =6 b) 1210 1210log
c) 142 142log
d) xxlog77 e) 27888 27888log
f) 77lne porque elogln , de modo que 7lne 77eloge
g) 3535log
h) xblog xb
i) 4567 4567log
j) 24 24log
k) 8108log porque log= log10, de modo que: 810log 810810log
Ejercicios Propuestos
Simplificar las siguientes expresiones:
1. 31111log 8. 8eln 2. 510log 9. 27lne 3. 1299log 10. 4110 /log
4. 31111log 11. 7mlog m
5. 434 34log 12. 78lne
6. 210log 13. 688log
7. 97171log 14. 21/eln
86
6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Dado que la expresión xy blog
es equivalente a xb y , las propiedades de los
logaritmos son similares a las propiedades de los exponentes, las cuales se muestran a continuación:
Propiedades de logaritmos
Propiedades de exponentes
yxxy bbb logloglog
nmnm bbb
yxy
xbbb logloglog
nmn
m
bb
b
xnx bn
b loglog
mnnm bb
n
m
bn m
b xx loglog
n
xm blog
n
mn m bb
yx bb loglog
si yx
nm bb
si nm
1log bb bb1
110log10
o bien 110log
10101
01logb
10b
01log10 o bien 01log
1100
Ejercicios Resueltos:
1) Desarrollar las expresiones siguientes, aplicando las propiedades de los logaritmos:
a) logb acd b) logb a5 c) logb a4 d)
2
2
3
tlog
e) 36 xylog f)
3
2x
mln g)
32 65
mnlog
Resolución: a) logb acd = logb a + logb c + logb d b) logb 5a = logb 5 + logb a c) logb a
4 = 4 logb a
d) 8288 333
23
2
3 logtloglogtlogt
log
e) 36 xylog = 3
1
6 xylog = xylog631
= ylogxlog 6631
87
f) xlnmlnlnxlnmlnx
mln 322
2 33
xlnmlnln 32 2
1
xlnmlnln 3
21
2
g) 32232 65
65
mnloglogmn
log
32222 65 nlogmlogloglog
nlogmlogloglog 2222 365
nlogmlogloglog 2222 365
2) Expresar en un sólo término:
a) logb m + logb n b) 5 logb d + 2 logb e c) zlogxlog 44
d) xlog23
e) 2
1logb 4 +
3
1logb16 f) xloghlog 77 3
21
g) yloglog 22 751
h) 3log)6( 4x i) yzw ln52ln4ln3
1
Resolución: a) logb m + logb n = logb (mn)
b) 5 logb d + 2 logb e = logb d5 + logb e
2 = logb (d5 e2)
c) z
xlogzlogxlog 444
d) 3223 xlogxlog
e) 2
1logb 4 +
3
1logb 16 = logb 4 + logb
3 16 = logb ( 4 3 16 )
f) 37
2
1
777 321
xloghlogxloghlog
377 xloghlog
37x
hlog
g) 525
1
2222 77751
751
ylogylogylogyloglog
88
h) 3log)6( 4x = 64 3log x
i) yzw ln52ln4ln3
1= 543
1
ln)2ln(ln yzw
= 543 ln)2ln(ln yzw
= 54
3
ln)2(
ln yz
w
= 54
3
)2(ln y
z
w =
4
35
)2(ln
z
wy
3) Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las
expresiones siguientes: a) log 6, b) log 20, c) log25
72
Resolución: a) log 6 = log (2)( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781 b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 x 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5
= 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010
c) log 25
72 = log
25
98
= log 2
23
5
32
= log 23 + log 32 – log 52 =
= 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990) =0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592
4) Calcular el valor de log (4.23 x 10301)
Resolución: Se toma x = 4.23 x 10301 entonces log x = log (4.23 x 10301) log x = log 4.23 + log 10301
log x = log 4.23 + 301 log 10 Utilizando una calculadora, se obtiene: log 4.23= 0.626 y log 10 = 1:
log x = 0.626 + 301 log x = 301.626
89
Ejercicios Propuestos:
1) Desarrollar las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de los logaritmos:
a) gln5 e)
m
klog
62 i)
47
17
y
xlog m) log
n
cd
b) 627 324 ylog f) xylog 73 j)
243x
xln
n) log 3 a 2
c) m
log54 g) 9wzln
k) s
rlog
2
3
4 o) log 225 x
d) 36
27x
log h) 5 2xlog l) 3
2z
xlog
3. Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes:
a) log 10, b) log 900, y c) log 3 50
2) Expresar en un sólo término las siguientes expresiones:
a) 423 555 logloglog
e) 52 7logy
i) wlogtlog 775
b) xlnln 24
f) xlogmlog 39
j) plogmlog 22 41
3
c) 86 loglog
g) xlnlnt 24
k) qloglog 321
d) blog36 h) wlogxlog 66 3
12
l) ylnxln 4321
6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Utilizando la definición de logaritmo y sus propiedades, es posible resolver ecuaciones sencillas como se muestra en los siguientes ejemplos:
90
Ejemplos:
1. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo:
a) y25log5 d) x)25(log510 g) 225logx
b) 2log9 x e) x444 log4log64log
h) 0)423log( 2 xx
c) 38logb f) 2)62(log4 x
Resolución: Se escriben las expresiones en su forma exponencial para encontrar la solución:
a) y25log5 equivale a 255y , por lo tanto 2y .
b) 2log9 x se puede escribir como x29 , por lo tanto 81x .
c) 38logb es equivalente a 83b , por lo tanto 2b .
d) x)25(log510 25log5 es el exponente que hace que 255? , de manera que
225log5
por lo que x)25(log510 equivale a x210 y la solución es: 100x
e) x444 log4log64log
Se consideran los términos del miembro izquierdo de la expresión: 64log4 es el exponente que hace que 644? , por lo que 364log4
4log4 es el exponente que hace que 44? , por lo que 14log4
Al sustituir en la expresión original se tiene x444 log4log64log
x4log13
x4log2 , que al reescribir en la forma exponencial se tiene x24 Por lo que 16x
f) 2)62(log4 x equivale a 2462x
1662x 6162x
102x
52
10x
91
g) 225logx
252x , por lo que 5x , y como las bases de un logaritmo deben ser positivas, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es 5x
h) 0)423log( 2 xx
02 10423 xx 1423 2 xx
0523 2 xx
Los valores de x que satisfacen la ecuación son: 1x y 3
5x
2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos:
a) 2)4(log3 x d) log (x + 3) + log (x) = 1 g) 0log)log1( xx
b) 2)1(log2 4 x e) 1)3log()3log( xx h) 3log)1log( xx
c) 1)25(log2
13 x f)
5
8log1log2 xx
i) 0)2log(x
Resolución:
a) 2)4(log3 x Escribiendo esta expresión en forma exponencial:
234x 94x
5x es el valor de x que satisface la ecuación dada.
b) 2)1(log2 4 x Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a:
2)1(log 24 x
Escribiendo esta expresión en forma exponencial: 22 4)1(x
16)1( 2x
16122 xx 01522 xx
Los valores de x que satisfacen 01522 xx son: 5x y 3x Al sustituirlos en la ecuación 2)1(log2 4 x , se encuentra que la solución es
5x (porque con la solución 3x se llega al logaritmo de un número negativo y esta operación no está permitida).
92
c) 1)25(log2
13 x
Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a:
1)25(log 2
1
3 x
125log3 x Escribiendo esta expresión en forma exponencial:
1325x
325x Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
22 3)25( x 925x
75x
5
7x es el valor de x que satisface la ecuación dada.
d) log (x+ 3) + log (x) = 1 log (x (x + 3)) = 1 x(x + 3) = 101
x2 + 3x = 10 x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = - 5, x = 2
Se toma sólo el valor positivo ya que no se puede obtener el logaritmo de un valor negativo, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es x = 2
e) 1)3log()3log( xx Utilizando las propiedades de los logaritmos, expresamos en un solo término la expresión anterior:
1)3log()3log( xx
13
3log
x
x
13
3log10 x
x
Escribiendo esta expresión en forma exponencial: 110
3
3
x
x
103
3
x
x
)3(103 xx 30103 xx
93
0339x
Por lo tanto, el valor de x que satisface la ecuación es: 3
11x
f) 5
8log1log2 xx dado que 2loglog2 xx
5
8log1log 2 xx
15
8loglog 2 xx
1
5
8log
2
x
x
1
5
8log
2
10
x
x
12
10
5
8x
x
10
5
8
2
x
x
5
8102 xx
5
80102 xx
16102 xx 016102 xx
Los valores de x que satisfacen 016102 xx son: 2x y 8x
Al sustituirlos en la ecuación 5
8log1log2 xx , se encuentra que ambos
valores la satisfacen.
g) 0log)log1( xx
Para que se cumpla la igualdad se debe cumplir que : 0log1 x , o bien que 0log x
311
933
x
94
Para que 0log1 x , se tiene que 1log x
1log10 x
Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene x110
Por lo que 10
1x
Por otro lado 0log x , es equivalente a 0log10 x
Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene: x010 Por lo que 1x
Los valores de x que satisfacen la ecuación 0log)log1( xx son: 10
1x y
1x
h) 3log)1log( xx Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como:
31
logx
x
31
log10 x
x Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene:
x
x 1103
x
x 11000
11000 xx 11000 xx
1999x
999
1x es el valor que satisface la ecuación dada.
i) 0)2log(x Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como:
0)2log( 1x
0)2(log 110 x Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene:
10 )2(10 x
2
1100
x
2
11
x
95
1)1)(2(x 12x
3x es el valor de x
que satisface la ecuación dada.
Ejercicios Propuestos:
1) Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo:
a) y16log2 d). 3log4 x g). 5.1log6 x j) 0)16log( 2x
b) y4log2 e). 2log7 x h) 236logb k) 10x
= 2
c) 264logx f). 5.2log4 x i)
2121logb l) 2x
= 76
2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos:
a) 2)13(log4 x e) 1)75log(2
1 2x i) 1)3log(log xx
b) 2)56(log5 x f) )2log(1)1log( xx j) )230log(1log2 xx
c) 2log2 x g) )2ln(1ln xx k) 2)1log(x
d) 2)151(log2
14 x
h) 0)log2)(log3( xx
6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS
Los logaritmos se pueden utilizar para determinar productos, cocientes, potencias de números como a continuación se expresa.
6.3.1 ANTILOGARITMO
Si el logaritmo (en una base b , dada) de un número N es L, entonces N es el antilogaritmo de L. Es decir, si
NL blog
Lb bLantiN log
En adelante se empleará el término “antilogaritmo” asumiendo que la base es 10. En caso de que se trate de otra base, ésta se especificará.
Ejercicios Resueltos: 1. Si se sabe que 38log2 . El antilogaritmo de 38log2 (se observa que la
base es 2) es: : 823log 3
2anti
2. En el caso de un logaritmo con base 10 (log), es posible utilizar la calculadora para determinar su antilogaritmo. Para ello se tiene que pulsar
96
la tecla “10x”. Generalmente esta tecla suele venir como segunda función de la tecla "log".
Si se sabe que 4572.2log x , y se quiere encontrar el antilogaritmo de 2.5472, se tiene que:
55.286104572.2log 4572.2anti
3. Determinar el antilogaritmo de 3.21 81.16211021.3log 21.3anti
Ejercicios Propuestos:
Utilizando una calculadora, encuentre los antilogaritmos de los siguientes números.
a) 5119.2log N d) 6053.2log N
b) 7825.3log N e) 42.2log N
c) 9101.1log N f) 798.1log N
6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS
Cálculo del producto de dos números
Empleando logaritmos, es posible obtener el producto M, de dos números cualesquiera.
Ejercicio Resuelto: Resolver el siguiente producto empleando logaritmos:
M=(17)(24) Resolución:
24log17loglogM
Como log 17 = 1.2304 y log 24 = 1.3802. Se tiene que: 24log17loglogM 6106.23802.12304.1
Como log M = 3.2338 entonces M = antilog 2.6106 = 407.943
97
Cálculo del cociente de dos números.
Empleando logaritmos, es posible obtener el cociente C, de dos números cualesquiera.
Ejercicio Resuelto:
Resolver el siguiente cociente empleando logaritmos: 233
842C
Resolución: 233log842loglogC
Como log 842 = 2.9253 y log 233 = 2.3674 5579.03674.29253.2233log842loglogC
Como log C = 0.5579 entonces C = antilog 0.5579= 3.6133 Cálculo de potencias
Empleando logaritmos, es posible obtener la potencia P, de un número cualquiera.
Ejercicio Resuelto: Determinar empleando logaritmos: P = 7.385
Resolución: Plog = log7.385
Plog = 5 log7.38= 5(0.8681)=4.3405
Como 3405.4logP entonces 8182.219023405.4logantiP
Cálculo de raíces
Se desea calcular el valor R que representa el resultado de obtener la raíz de un número, utilizando logaritmos.
Ejercicio Resuelto: Determinar empleando logaritmos:
R= 5 72.96 Resolución:
3971.0)9855.1(5
172.96log
5
172.96loglog 5R
Como 3971.0logR entonces 4952.23971.0logantiR
98
Ejercicios Resueltos:
1) Si se sabe que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes:
a) log 6, b) log 20, c) log 25
72
Resolución: a) log 6 = log (2 )( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781
b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 )( 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5
= 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010
c) log 25
72 = log
25
)9)(8( = log
2
23
5
)3)(2( = log 23 + log 32 – log 52 =
= 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990)
=0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592
2) Calcular el cociente 004719.0
43.36C
Resolución: log 36.43 = 1.5615 y log 0.004719 = -3.6738
log C = log 36.43 – log 0.004719 = 1.5615 – (-3.6738)
= 1.5615 – (- 3 + 0.6738) = 1.5615 – (-2.3262) = 1.5615 + 2.3262 = 3.8877
Como log C = 3.8877 entonces C = antilog 3.8877 = 7721
3) Calcular la expresión (0.45214 )( 172)
Resolución: log (0.45214 )( 172 ) = 4 log 0.4521 + 2 log 17 = 4 (-1.6552) + 2 (1.2304)
= 4(-1 + 0.6552) + 2(1.2304) = (- 4 + 2.6208) + 2.2608
= - 2.6208 + 2.2608 = ( -2 + 0.6208) + 2.2608 = -1.3792 + 2.2608
99
= 1.0816
Como log P = 1.0816 entonces P = antilog 1.0816 = 12.07
4) Calcular R= 3 0254.0
Resolución:
log R = 3
1log 0.0254 = -2.4048/3 = (-3 + 1.4048)/3 = (-1.4682)
Como log R = -1.4682 entonces R = antilog -1.4682 = 0.294
Ejercicios Propuestos:
1. Realizar las siguientes operaciones utilizando logaritmos:
M (2.408)(3.5476) 514P
)647.9)(534.6(M 43674.0P
)917.7)(4833.5(M 5R
)921.4)(76.5)(47.3(M 3 10R
5.136
9.237C
4 984.2R
6.798
56.12C )7()231( 2x
0005.1
19.76C
18.2
)1.34()16.7( 4
x
311P
100
CAPÍTULO 7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Aplicación
EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y OBTENDRÁ SU SOLUCIÓN
Aplicación
7.1 NOCIONES BÁSICAS
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la que existe al menos una variable o incógnita cuyo valor hay que averiguar. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita y se denomina raíz o solución de una ecuación, al valor o conjunto de valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad.
Por ejemplo, la igualdad 287x se llama ecuación, y solo es cierta cuando 4x . Si en lugar de 4 se sustituye otro número cualquiera, se obtendrá un número mayor o menor que 28. Así, una ecuación es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado (o valores determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional.
En la ecuación 2754 xx , el conjunto de términos que están a la izquierda del signo igual, se llama primer miembro de la ecuación, y el término que está a la derecha, se conoce como segundo miembro. En una ecuación puede haber varios términos en cada miembro, tal como en el caso xx 2312 .
Clasificación de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse de acuerdo con:
El grado: es el valor del exponente más grande que afecte a las incógnitas,
El número de incógnitas distintas que aparezcan en la ecuación.
Ejemplos: 12723 xx Es una ecuación de primer grado (porque el
mayor exponente que afecta a la x
es 1) con una incógnita (en este caso es x ).
zyx 6835
Es una ecuación de primer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x , y
o z
es 1) con tres incógnitas (en este caso son x , y y
z ).
xxx 7264 2
Es una ecuación de segundo grado (porque el mayor exponente que afecta a la x
es 2) con
101
una incógnita (en este caso es x ). xxx 7263 23
Es una ecuación de tercer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x
es 3), con
una incógnita (en este caso es x ). 967384 3243 yyxyx
Es una ecuación de cuarto grado (porque el mayor exponente que afecta a la x
o a la y
es 4), con dos incógnitas (en este caso son x
y y ).
Soluciones de una ecuación
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones.
Resolución de ecuaciones
Las ecuaciones Para ello se utilizan las propiedades de la igualdad.
7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que tienen solamente una variable y el mayor exponente de dicha variable es 1.
Ejemplos: a) 8543 xx b) 7324 yy c) 84z d) 86757 xxxx
Resolución de Ecuaciones Resolver una ecuación es determinar su solución Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Se resuelven realizando en ambos miembros operaciones matemáticas válidas, buscando aislar (despejar) la incógnita en un miembro de la igualdad.
La variable se despeja utilizando las propiedades de la igualdad que se presentan a continuación: Propiedades de la igualdad
Sean a ,b y c
números reales, en donde ba : 1. Si ba , entonces cbca
2. Si ba , entonces cbca
3. Si ba , entonces bcac , donde 0c 4. Si ba , entonces cbca // , donde 0c
A partir de las propiedades 1 y 2 se concluye que se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no va a cambiar. De la misma manera, a partir de las propiedades 3 y 4 se infiere que
102
se puede multiplicar o dividir por el mismo número (distinto de cero) ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no variará.
Sugerencias generales para resolver ecuaciones
Los pasos que se enuncian a continuación sirven de guía para resolver una ecuación. Cabe mencionar que no todas las ecuaciones requieren que se sigan todos los pasos:
Paso 1: Eliminar las fracciones. Esto se logra multiplicando ambos miembros de la ecuación por un denominador común.
Paso 2: Simplificar cada miembro por separado. Es importante simplificar cada miembro tanto como sea posible: simplificar paréntesis, reducir términos semejantes, etc.
Paso 3: Colocar en un mismo miembro los términos que contengan a la variable
y en el otro miembro los números.
Paso 4: Hacer que el coeficiente de la variable sea 1.
A veces será necesario dividir ambos miembros de la ecuación por el número que multiplica a la variable.
Paso 5: Comprobar el resultado
sustituyendo la solución obtenida en la ecuación original (no en una ecuación intermedia porque se pudieron haber cometido errores). Ejercicios Resueltos 1) Resolver 127x
Resolución: Se suma -7 en ambos miembros: 71277x
Al simplificar: 5x
El resultado es 5x ó el conjunto solución es 5 .
Comprobación: 127x
1275
12=12 satisface la ecuación
2) Resolver la ecuación: 76x Resolución: Se multiplican ambos miembros por el inverso multiplicativo de 6:
6
17
6
16x
103
Al simplificar: 67
x
Comprobación: 76x
767
6
7=7 satisface la ecuación.
3) Resolver la ecuación 347626 xxx
Resolución: Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la ecuación:
xx 41064
Se colocan en el miembro izquierdo los términos que tienen x , y en el derecho los números. Para que el término x4 se anule en el miembro derecho, se suma x4 en ambos miembros de la ecuación:
xxxx 4410464
Reordenando términos: xxxx 4410644
Al simplificar: 1068x Para que el -6 se anule en el izquierdo sumamos +6 en ambos miembros de la ecuación:
610668x Al simplificar: 168x Finalmente, buscamos que el coeficiente del término
sea 1. Dividimos ambos miembros de la ecuación por 8.
8
16
8
8x
Simplificando: 2x Comprobación: 347626 xxx
3)2(476)2(2)2(6
3876412
22
Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es 2x . El conjunto solución es 2 .
4) Resolver la ecuación )5(7)5(3)2(5 mmm
Resolución: Se simplifican los paréntesis en ambos miembros de la ecuación:
157153105 mmm Al reducir términos semejantes: 35752 mm
104
Se colocan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que tienen m, y en el miembro derecho los números. Se suma m7
en ambos miembros de la
ecuación: 35752 mm
35752 mm
35752 mm
Reordenando términos: 3577572 mmmm Al simplificar: 3555m Adicionando el -5 ambos miembros:
Al simplificar: 305m
Se dividen ambos miembros por -5: 5
30
5
5m
Simplificando: 6m
Comprobación: )5(7)5(3)2(5 mmm
)56(7)56(3)26(5
)1(7)11(3)8(5
73340
77
Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es m=-6. El conjunto solución es 6 .
5) Encontrar el valor de x
si: 11695 xx
Resolución:
Adicionando 6 en ambos miembros:
1795 xx
Al simplificar: 1714x
Se dividen ambos miembros por 14: 1417
1414x
1417
x
Comprobación: 514
17 + 9
14
17 – 6 = 11
105
14
85 +
14
153 - 6 = 11
14
238 - 6 =11
17 – 6 = 11
11 = 11 satisface la ecuación
6) Resolver la ecuación )9(10)7(8 xx
Resolución:
Al distribuir en ambos miembros por la izquierda el 8 y por la derecha el 10
9010568 xx
Adicionando -56 en ambos miembros:
34108 xx
Adicionando x10 en ambos miembros:
Se dividen ambos miembros por - 2: 2
3422x
Al simplificar: 17x
7) Resolver la ecuación )8(3)7(5 xx
Resolución:
Al eliminar paréntesis: 243355 xx
Adicionando -35 en ambos miembros:
Adicionando 3
en ambos miembros:
Al simplificar: 112x
Se dividen ambos miembros por 2: 211
22x
Al simplificar: 2
11x
342x
106
8) Encontrar el valor de x
si:
5
2
4
38
x
Resolución:
Al simplificar: 5
2
4
24x
5
26x
Al aplicar el inverso multiplicativo de 6: 6
1
5
2
6
16x
151
302
x
9) Resolver la ecuación: 4
3x + 7 =
3
5x
Resolución:
Como el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4 y 3 es 12, la ecuación se multiplica
por 12:
3
512)7(12
4
312
xx
Al simplificar: )5(484)3(3 xx
xx 20849
Adicionando -84 en ambos miembros se obtiene: 84209 xx
Adicionando -20 x en ambos miembros se obtiene: 84209 xx
Al simplificar: 8411x
Se dividen ambos miembros por -11: 1184
1111x
Al simplificar: 11
84x
10) Resolver 2
34xx
107
Resolución:
Ambos términos están escritos de la forma d
c
b
a
Al multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), bd se obtiene:
bcad
A este mismo resultado se hubiera llegado multiplicando el numerador de cada miembro por el denominador del miembro opuesto. Es decir, realizando el producto en cruz:
La ecuación es: 2
34xx
Multiplicando en cruz: x)x( 324
xx 384
834 xx Al simplificar: 8x
11) Encontrar el valor de x
si: 4
27x =
3
23x
Resolución:
Multiplicando en cruz: )23(4)27(3 xx
Al distribuir 3 y 4 se obtiene: 812621 xx
681221 xx
Al simplificar: 141221 xx
141221 xx
Al simplificar: 149x
Se dividen ambos miembros por 9: 9
1499x
x
=9
14
12) Encontrar el valor de x
si: ( x
+ 8)2 = ( x
+ 5) ( x
+ 7)
Resolución:
Al resolver los binomios: 35576416 22 xxxxx
Al simplificar: 35126416 22 xxxx
6435121622 xxxx
108
Al simplificar: 294x
Se dividen ambos miembros por 4: 429
44x
x
= -
4
29
13) Resolver la ecuación: 2
10
x
x =
4
5
x
x
Resolución:
Multiplicando en cruz: ( x
+ 10) ( x
+ 4) = ( x + 5) ( x
- 2)
Al resolver los binomios: 105240104 22 xxxxxx
Al reducir términos semejantes: 1034014 22 xxxx
401031422 xxxx
Al simplificar: 11 x
= - 50
Al despejar x : x
= - 11
50
14) Encontrar el valor de x
si: 34
253xx
Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es x6 .
Multiplicando ambos miembros por x6 : 34
25
63
6x
xx
x
34
625
63
6 xx
xx
x
Al simplificar: x81518
x81518 Al simplificar: x83
Se dividen ambos miembros por 8: 83
x
109
15) Resolver la ecuación: 544
4x
x
x
Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es 4x .
Multiplicando ambos miembros por 4x :
54
44
44
x
x)x(
x)x(
))(x(x
x)x(
x)x( 54
44
44
4
454 xx 2054 xx
Al simplificar: 2064 x x6204
246x
Al despejar x : 46
24x
Comprobación:
544
4x
x
x
54444
4 x
Al sustituir la solución se lleva a una división por cero. Se dice que 4x es una solución extraña de la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
Es importante realizar la comprobación de las soluciones. En este último ejemplo se ilustra que al multiplicar la ecuación por un mcm que contenga la incógnita, es posible introducir soluciones extrañas.
Ejercicios Propuestos
1) Resuelve las siguientes ecuaciones
a) x + 2 =6 k) 9
7
m rr) 2n +5 = n + 12
110
b) y + 9 =43 l) 11
8
y s)
3
b– 5 =9
c) x + 15 =26 ll) 7
3
t t)
5
2x+8 =6
d) x - 9 =6 m)
10
9
5
3x u) 30=
8
1a
e) x - 7 =-21 n) 30
3
2y v) 12 – 3 (x – 5 ) = 21
f) -7 + y =13 ñ) -7m – 24 =-129 w) 5r – 2 (2r +8) = 16
g) -3 + x = -9 o)
r
21=3 x)
3
1x + 2(
3
1x +5) = 1
h) 24= x + 5 p) 5(3x – 2) =35 y) 2(3x +5) + 3(2x + 5) = 1
i) 12
11
6
5m
q) 9= 3(5x – 2) z) 3 (x -6) +2 = 4 (x +2) - 21
j) -21x=-126 r) 2(3 + 4m) – 9 =45 zz)
4
1(8y +4)–17 =
2
1(4y – 8 )
2) Encontrar el valor de x
en las siguientes ecuaciones:
a) bax
g) a
x - 2 = 0
b) abx
h) a
x - 1 = 4 -
a
x
c) bax
i) a
x -
3
x - 4 = 0
d) a
x = b
j) bxeaxcxbax 53
e) x
a = b k)
2
3 cx
cax 52
f) ax
- b
1= 0
111
3) Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 3 x
= 6
i) 3
1 (6x + 24) – 20 =
4
1
(12x – 72)
b) 2 m
-1 = 3 m
– 2
j) 7
35x =
3
42x
c) 4( y
– 2) = 3( y
+ 4) – 2
k) 12
36
x
x =
1
43
x
x
d) 6 ( d – 8) = 3 ( d + 5) l)
4
34s = 7 s
– 8
e) 2
4x - =
5
2x m)
5
3p -
3
2 = 5 p
f) 8
7 x –
4
1 +
4
3x =
16
1+ x n)
3
27x =
4
109x
g) 3
5+
3
2=
12
25 +
4
5x +
4
3 o)
3
4
x
x =
1
2
x
x
h) 2
7x +
2
1x = 3x +
2
3 +
2
5x p)
5
x +
6
x = y
4) Encontrar y
en la ecuación: a
y
5
2 = 8
5) Determinar w en la siguiente ecuación: w
a =
b
3
6) Obtener t
de la ecuación: 33tta
7) Despejar el valor de y
de la ecuación: b
ay
= a
yb
8) Obtener n en la siguiente ecuación: c
ban
= cn
9) ¿Cuál es el valor de x
en la siguiente ecuación, cuando a
= 1?
xaxx
a 275
5479
4
3
112
7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO
Los modelos matemáticos son una herramienta que permiten solucionar
problemas cotidianos cuando se presentan en ellos incógnitas. Para plantear este
tipo de modelos, se traduce del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y se
representan las incógnitas con una letra o literal; así, se forma una expresión
algebraica y se hace uso de la igualdad “=” para establecer la ecuación a resolver.
Para transformar un problema de un lenguaje común a un lenguaje algebraico se
recomienda:
a) Leer detenidamente el problema con el fin de analizar la información
determinar que se desea obtener.
b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades
desconocidas), así como las relaciones entre ellos.
c) Separar cada parte del problema y a cada incógnita asignar una letra (u , w , x
, y , z ).
d) Expresar la igualdad correspondiente, es decir, el modelo matemático
requerido. En este tipo de problemas, al modelo matemático se le conoce
como ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejercicio 1. ¿Cuál es la representación algebraica del enunciado que dice: el
doble de un número más el mismo número?
Resolución:
Sea x el número desconocido.
El doble de un número se representa por 2 x
El doble de un número más el mismo número es: 2 x
+ x
La solución es: 3 x
Ejercicio 2. Determinar cuál de las siguientes opciones representa
algebraicamente el enunciado: el cuádruplo de un número disminuido en 10
unidades.
a) 4 x
+ 10 b) 4( x
+ 10) c) 4 x
+ 10 d) 4 x
– 10
113
Resolución:
Sea x
el número desconocido
El cuádruplo de un número se representa por 4 x
El cuádruple de un número disminuido en diez unidades es 4 x
– 10
Por lo tanto, el inciso (d) es el correcto.
Ejercicios Propuestos
1) En una secundaria hay x
número de estudiantes en la planta baja, mientras
que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja, y en el
segundo piso solo la mitad de los que tiene el primero. ¿Cuál es la expresión
algebraica que representa al enunciado y cuál es el total de estudiantes
existentes?
a) expresión: x
+ 2 x
+ 2
x Total: 2 x
estudiantes
b) expresión: x
+ 2 x
+ x Total: x 4 estudiantes
c) expresión: x
+ 2 x
+ x Total: 4 x
estudiantes
d) expresión: x
+ 2 x
+ 2
x Total:
2
3x estudiantes
2) El enunciado, el triple de un número más el mismo número se representa
mediante el modelo algebraico:
a) 3 x
+ 3; cuyo resultado es 6 x .
b) 3 x
+ x ; cuyo resultado es 4 x .
c) 3
x + x ; cuyo resultado es
3
2x.
d) 3
x+ 3; cuyo resultado es
3
5x
3) En un grupo de 25 estudiantes hay 8 hombres menos que el doble de
mujeres. Determine cuántos estudiantes hay de cada sexo.
4) Representa el modelo algebraico del enunciado: la suma de dos números
consecutivos es 143.
114
5) La suma de dos números es 27, si el mayor es el triple del menor menos 5
unidades, ¿Cuál es el valor de cada número?
7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
Con ayuda de las ecuaciones es posible resolver problemas de una manera sencilla, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejercicios Resueltos
1) La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan. Hace 6 años la edad de Juan
era un sexto de la edad de Pedro. Obtener las edades actuales de Pedro y de
Juan.
Resolución:
a) Al leer detenidamente el problema, se observa que se necesita calcular la edad
de Pedro y Juan.
b) Datos: La edad de Pedro es el triple de la de Juan
Hace 6 años la edad de Juan es un sexto de la edad de Pedro.
c) Incógnitas:
Nombre de las incógnitas Representación algebraica
Edad actual de Juan x
Edad actual de Pedro 3 x
Edad de Juan hace 6 años x – 6
Edad de pedro hace 6 años x3 – 6
d) Por lo tanto, la expresión correspondiente a “Hace seis años la edad de Juan
era el sexto de la de Pedro” es:
x
– 6 = 6
63x
115
Si el denominador del lado derecho se traslada multiplicando del lado izquierdo se
tiene: 6( x
– 6) = 3 x
– 6
Al realizar la operación: 6 x
– 36 = 3 x
– 6
6 x
– 3 x
= - 6 + 36
Al simplificar se obtiene: 3 x
= 30
x
= 3
30 = 10 años.
Por lo tanto, las edades actuales de Pedro y Juan son:
Edad de Juan: x
= 10 años
Edad de Pedro: 3 x = 30 años
2) Luis pensó en un número que multiplicó por 2, al resultado le sumó 5 para
después dividir entre 5, restar 1, multiplicar por 8 y finalmente sumarle 7. El
resultado que obtuvo fue el número 39. ¿Cuál es el número que pensó Luis?
Resolución:
Planteamiento del problema utilizando el lenguaje algebraico:
LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO
Luis pensó un número x
El cual multiplicó por 2 2 x
A cuyo resultado le sumo 5 2 x
+ 5
Para después dividir entre 5
5
52x
Restarle 1
5
52x - 1
Multiplicar por 8 8 1
5
52x
Para finalmente sumarle 7 8 1
5
52x + 7
Obteniendo el número 39 8 3971
5
52x
Así, la ecuación a resolver es: 8 39715
52x
116
Al resolver en el interior del paréntesis: 8 3975
552x
Trasponiendo el 7: 8 7395
2x
8 3252x
Al pasar dividiendo el 8 al otro lado de la igualdad: 832
52x
452x
2 x
= 4(5)
2 x
= 20
Al despejar la x: 102
20x
Por lo que, se concluye que Luis pensó en el número 10.
Ejercicios Propuestos
1) Un tronco de 72 m se divide en tres partes de tal manera que la parte de en
medio sea cinco metros mayor que la primera parte, y la última sea el triple de
la segunda menos 2. Determinar la longitud de cada parte.
2) Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor
A hizo un tiempo x
al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el
doble del tiempo del corredor A, menos 10 minutos. ¿Qué tiempo hizo cada
uno, si la suma de los tiempos es de 50 minutos?
3) La edad de Pedro y la de su primo Pablo suman 35 años; si Pablo tiene el
triple de la de Pedro menos 5 años ¿qué edad tiene cada uno?
4) La suma de tres números enteros consecutivos es de 246. Determinar cada
número.
117
5) A dos familias se les repartió arroz que se extrajo de un bulto de 50 Kg, si la
familia A recibió el doble de kilogramos que recibió la familia B menos 7 Kg.
¿Cuántos kilogramos recibió cada familia?
6) En una alcancía hay monedas de $10, $50 y $1, haciendo un total de
$3952.00. El número de monedas de $50 es el triple de las de un peso, y el
número de $10 es el doble del número de monedas de $50. ¿Cuántas
monedas de cada denominación hay en la alcancía?
118
CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
IDENTIFICARÁ SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Aplicación
DETERMINARÁ EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
Aplicación
EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2 x 2
Aplicación
8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Como su nombre lo indica son aquellas ecuaciones que tienen dos variables y el máximo exponente de las mismas es 1.
Por ejemplo, sea la ecuación 2 yx = 3
Para obtener las soluciones de esta ecuación, se despeja una de las incógnitas; por ejemplo, la y
y
= 3 — 2 x
A continuación, se dan valores a la x ; de tal modo que para cada valor de x , se obtiene otro correspondiente para y . Como a cada valor de x
corresponde otro de y , se dice que y
es función de x . Cada par de valores así obtenido es una solución de la ecuación. Por ejemplo:
Si x = 0, y = 3 Si x
=1, y = 1 Si x
= 2, y = — 1
De esta manera, hay un número infinito de pares de valores que satisfacen a la ecuación, por este motivo, estas ecuaciones reciben el nombre de indeterminadas. Aunque también se llaman lineales, porque su representación gráfica es una línea recta.
8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas reciben el nombre de simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de sus incógnitas.
119
Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones con dos incógnitas:
yx 5
= 8
2 x
- y
= 5
Se dice que estas ecuaciones son simultáneas, porque los valores x
= 3, 1y ,
satisfacen a ambas ecuaciones.
8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES
Son aquellas ecuaciones que se obtienen a partir de otra multiplicando o dividiendo sus términos por una constante. Por ejemplo, las ecuaciones
2 x + y3 = 3 6 x + 9 y
= 9
son equivalentes, porque la segunda se obtiene multiplicando por 3 los dos miembros de la primera.
8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
El conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas forma un sistema. De este modo, las ecuaciones
4 x + 3 y
= 9
x
- 3 y
= 1
forman un sistema de dos ecuaciones de primer grado (o lineales) con dos incógnitas.
Las ecuaciones en un sistema establecen condiciones sobre las mismas variables al mismo tiempo.
Las soluciones de un sistema son los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del mismo.
Un sistema es compatible, cuando tiene solución; y es incompatible, cuando no la tiene.
Un sistema compatible es determinado, cuando tiene una sola solución; y es indeterminado, cuando tiene infinitas soluciones.
La gráfica de un sistema dedos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene solución.
8.5 RESOLU
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A este proceso se le llama
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio derestar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
La gráfica de un sistema dedos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene solución.
8.5 RESOLU
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A este proceso se le llama
a) reducciónb) sustituciónc) igualación
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio derestar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
La gráfica de un sistema dedos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene
Si la gráfica de sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de intersección.
8.5 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DGRADO CON DOS INCÓG
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A este proceso se le llama
eliminaciónreducción
o de sumas y restassustitución; igualación.
8.5.1 ELIMINACIÓN
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio derestar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
La gráfica de un sistema de
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser
dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de intersección.
CIÓN DE UN SISTEMA DGRADO CON DOS INCÓG
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
eliminación. Existen tres métodos usuales de eliminación:sumas y restas
8.5.1 ELIMINACIÓN
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio de
multiplicaciones adecuadas, y después sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de intersección.
CIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE GRADO CON DOS INCÓG
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
. Existen tres métodos usuales de eliminación:sumas y restas;
8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o
restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de
Si la gráfica de un sistema es una línea, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
E DOS ECUACIONES DE GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
. Existen tres métodos usuales de eliminación:
POR REDUCCIÓN
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o
restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema es una línea, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
E DOS ECUACIONES DE
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
. Existen tres métodos usuales de eliminación:
POR REDUCCIÓN
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o
restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
120
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema es una línea, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
E DOS ECUACIONES DE PRIMER
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
. Existen tres métodos usuales de eliminación:
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o
restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
120
dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser
Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A
. Existen tres métodos usuales de eliminación:
Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o
121
Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción se realiza el siguiente procedimiento:
1. Se igualan los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, multiplicando las dos ecuaciones por números convenientes.
2. Si los signos de estos coeficientes son iguales, se restan ambas ecuaciones, miembro a miembro; y, si los signos son contrarios, se suman las ecuaciones.
3. Se resuelve la ecuación que resulta y tenemos así el valor de una incógnita. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, obtenemos el valor de la otra incógnita.
4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones dadas.
Ejercicio 1:
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
2 x
- 3 y
= 3
5 x
+ y
= 16
RESOLUCIÓN: Lo más sencillo en este caso es igualar los coeficientes de la y, para los cual basta multiplicar la segunda ecuación por 3. Entonces se obtiene
2 x
- 3 y
= 3
15 x
+ 3 y
= 48
Observemos ahora que los dos términos que contienen a la incógnita y son simétricos (iguales en valor absoluto y de signos contrarios); por lo que, sumando miembro a miembro las dos ecuaciones, se elimina la incógnita y. Así se tiene:
2 x
- 3 y
= 3 15 x + 3 y
= 48
17 x
= 51
Resolviendo esta ecuación, resulta x
= 3
Para encontrar el valor delas ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos
Comprobación:En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
Se concluye que del sistema de ecuaciones.
La gráfica del sistema se mue
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución del sistema de ecuaciones.
Para encontrar el valor delas ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos
Por tanto, la solución del sistema es
Comprobación:
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
Se concluye que del sistema de ecuaciones.
La gráfica del sistema se mue
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución del sistema de ecuaciones.
Para encontrar el valor de
y
las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos5 (3) +
Por tanto, la solución del sistema es
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
Se concluye que x =3, y =1, o bien del sistema de ecuaciones.
La gráfica del sistema se mue
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución del sistema de ecuaciones.
y, sustituimos el valor obtenido para
las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos5 (3) + y 15 + y
y
y
Por tanto, la solución del sistema esx = 3
y = 1
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
2 (3) –
5 (3) +
=1, o bien la pareja ordenada
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
, sustituimos el valor obtenido para
las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos = 16 = 16 = 16 - 15 = 1
Por tanto, la solución del sistema es
= 3
= 1
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
–
3 (1) = 3
5 (3) +
1 = 16 6 – 3 = 3
15 + 1 = 16 3 = 3
16 = 16
la pareja ordenada
stra a continuación:
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
, sustituimos el valor obtenido para las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
3 (1) = 3
16
3 = 3
= 16
3 = 3
= 16
la pareja ordenada
( ,x
stra a continuación:
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
, sustituimos el valor obtenido para x, en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
y, )=(3,1) es
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
122
, en cualquiera de
En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados
)=(3,1) es
la solución
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
122
, en cualquiera de
la solución
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución
Ejercicio 2:Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
RESOLUCIÓNSe multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. dependiente o
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 2:
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
RESOLUCIÓN:
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. dependiente o indeterminado
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. indeterminado
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:4 x - 3
8 x - 6
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
8 x - 6
8 x - 6
Restando las ecuaciones se tiene:
8 x - 6 8 x - 6
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. indeterminado
porque tiene infinitas soluciones.
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
3 y
= 5
6 y = 10
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
6 y
= 10
6 y = 10
6 y
= 10 6
y = 10
0 = 0
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. porque tiene infinitas soluciones.
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el
Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. porque tiene infinitas soluciones.
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el
Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene
Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es porque tiene infinitas soluciones.
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el
123
El sistema es
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el
123
El sistema es
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el
EjerciResolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
RESOLUCIÓNSe multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
La gráfica del sistema se muestra a contin
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.
Ejercicio 3: Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
RESOLUCIÓN:
Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
La gráfica del sistema se muestra a contin
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.
Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se
Restando las ecuaciones se tiene:
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
La gráfica del sistema se muestra a contin
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.
Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema: x -
4 x - 4
Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se
4 x - 4
4 x - 4
Restando las ecuaciones se tiene:
4 x - 4 4 x - 4
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
La gráfica del sistema se muestra a contin
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.
Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
y
= 7
4 y = 10
Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se
y
= 28
4 y = 10
4 y
= 28 4
y = 10
0 = 18
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe
Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se obtiene
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
uación:
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe
Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:
obtiene
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe
124
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe
124
Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta.
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe
125
Ejercicios Propuestos
Resolver por el método de reducción o de sumas y restas, los siguientes sistemas:
1.
x
+ y = 12
x
- y
= 6
6.
5 x + 2 y = 9 3 x - 2 y
= -5
2.
x
+ y
= 18 2 x
- y
= 15 7.
4 x - 3 y
= 10 2 x + 5 y
= - 8
3.
x
+ 2 y
= 8 3 x - y
= 3 8.
2 x - 4 y
= 20 3 x + 2 y
= 2
4.
4 x
- 6 y
= - 2 x + 3 y
= - 5 9.
3 x
+ 7 y
= 13 -5 x
+ 3 y
= 29
5.
3 x
+ 2 y
= 11 5 x
+ 4 y = 21 10.
- y + 4 x
= 16 3 x + y = 12
8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar en una de las ecuaciones dadas el valor de una incógnita en función de la otra incógnita y sustituir después este valor en la otra ecuación.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de sustitución:
1. Se despeja en cualquiera de las ecuaciones el valor de una de las incógnitas.
2. Este valor se sustituye en la otra ecuación, que se transforma así en una ecuación de primer grado con una incógnita.
3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una de las incógnitas. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se encuentra el valor de la otra incógnita.
4. Se comprueba la solución obtenida.
126
Ejercicio 4:
Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
2 x
- 3 y
= 5
x
+ 2 y = 6
RESOLUCIÓN: En cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo, en la segunda) despejamos el valor de una de las incógnitas
x = 6 - 2 y
Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación, tenemos 2 (6 - 2 y ) - 3 y = 5
Haciendo operaciones, resulta 12 - 4 y
- 3 y
= 5 - 7 y
= - 7 7 y
= 7 y = 1
Sustituyendo este valor de y en la ecuación x
= 6 - 2 y , tenemos
x = 6 - 2 (1) x = 4
La solución del sistema es:
x = 4
y
= 1
Comprobación:
2 (4) - 3 (1) = 5
4 + 2 (1) = 6
8 - 3 = 5
4 + 2 = 6
5 = 5
6 = 6
127
Ejercicio 5: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
2 x
+ 3 y
= 12
3 x - 4 y
= 1
RESOLUCIÓN:
Despejamos la incógnita x
en la primera ecuación
x
= 2
312 y
Sustituyendo este valor de x
en la segunda ecuación, se obtiene
32
312 y- 4 y
= 1
Resolviendo esta ecuación
2
936 y
- 4 y
= 1
36 - 9 y
- 8 y
= 2
- 17 y
= - 34
17 y
= 34
y
= 2
Ahora sustituimos el valor de y en la ecuación x = 2
312 y y tenemos
x
= 2
)2(312
x
= 2
612
x
= 3 La solución del sistema es
x
= 3
y
= 2
128
Comprobación:
2 (3) + 3 (2) = 12
3 (3) - 4 (2) = 1
6 + 6 = 12
9 - 8 = 1
12 = 12
1 = 1 Ejercicio 6: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
6 x
= 3 y
+ 4
y = 2 x - 2
RESOLUCIÓN:
En la ecuación 2 la variable y ya está despejada. Sustituimos y = 2 x
- 2 en la primera ecuación:
6 x
= 3 y
+ 4 6 x
= 3 (2 x
- 2) + 4 6 x
= 6 x
- 6 + 4 6 x
- 6 x
= - 6 + 4 0 = -2
Las variables desaparecen y se llega a una igualdad que no es correcta. Se concluye que el sistema de ecuaciones es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.
Ejercicio 7: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
2 x
+ 3 y
= 12
6 x + 9 y
= 36
129
RESOLUCIÓN:
Despejamos la incógnita x
en la primera ecuación
x
=
2
312 y
Sustituyendo este valor de x
en la segunda ecuación, se obtiene
62
312 y + 9 y
= 36
Resolviendo esta ecuación
21872 y
+ 9 y
= 36
72 - 18 y
+ 18 y
= 72
72 = 72
La variable ha desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es dependiente o indeterminado porque tiene infinitas soluciones.
Ejercicios Propuestos
Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas:
11.
x + 3 y
= 7 2 x
- y
= 7 16.
5 x - 3 y = 14 2 x + 9 y
= 26
12.
3 x
+ y
= 9 2 x + 3 y
= 13 17.
5 x + 3 y
= 2 x + 2 y
= 6
13.
2 x - y
= 1 x
+ 3 y
= 18 18.
3 x
- 4 y
= 5 2 x + y
= - 4
14.
x + 7 y
= 28 3 x - 2 y
= 15 19.
4 x - 3 y
= -7 2 x + y
= 4
15.
6 x
+ 3 y
= 3 2 x - 5 y
= 7 20.
3 x + 6 y
= - 2 5 x - 3 y = - 12
130
8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN
Este método consiste en despejar el valor de la misma incógnita en función de la otra, en las dos ecuaciones dadas, igualando después ambos valores.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación:
1. Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones dadas.
2. Se igualan estos valores obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita.
3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una incógnita. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se determina el valor de la otra incógnita.
4. Se comprueba la solución.
Ejercicio 8:
Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:
2 x + 3 y = 7
3 x
- 4 y
= 2
RESOLUCIÓN: Despejando la incógnita x
en cada una de las ecuaciones, se obtiene
x = 2
37 y
x = 3
42 y
Igualando estos valores, tenemos
3
42
2
37 yy
131
Resolviendo la ecuación
3 (7 - 3 y ) = 2 (2 + 4 y ) 21 - 9 y = 4 + 8 y
- 9 y
- 8 y
= 4 - 21
-17 y = - 17 17 y = 17 y
= 1
Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones, tenemos
x = 2
)1(37
x = 2 La solución del sistema es
x
= 2
y = 1
Comprobación:
2 (2) + 3 (1) = 7
3 (2) - 4 (1) = 2
4 + 3 = 7
6 - 4 = 2
7 = 7
2 = 2
Ejercicios Propuestos
Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas:
21.
x + 6 y
= 27 3 x
- 2 y
= 1 26.
3 x + 5 y = 14 -7 x + 2 y = 22
132
22.
5 x
+ 8 y
= 21
4 x + y
= 6
27.
2 x + 5 y
= 1
4 x - 2 y
= 14
23.
7 x
- 4 y
= 13
5 x
+ 3 y
= 21
28.
5 x
- 3 y
= 2
2 x + 4 y
= - 20
24.
3 x + y
= 23
2 x - 5 y
= - 13 29.
8 x
- 3 y
= 12
12 x + 4 y
= 1
25.
9 x
— 2 y
= 34 x
+ 7 y
= 11 30.
3 x + 5 y
= 5 6 x
— 10 y
= — 2
8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS
Ejercicio 9:
Resolver el siguiente sistema por cualquier método:
32
52
2
151
532
yx
yx
RESOLUCIÓN:
Se eliminan los denominadores multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m) de sus denominadores. Así, la primera ecuación se multiplica por 15 y la segunda por 30:
32
52
230
151
532
15
yx
yx
360
560
230
1515
515
330
yx
yx
133
201215
1310
yx
yx
Se resolverá el sistema por igualación. Para ello se despeja x
de ambas
ecuaciones, y se obtiene:
1031 y
x y 15
1220 yx
A continuación se igualan ambas expresiones:
1031 y
151220 y
Se realiza el producto en cruz: )y()y( 1220103115
yy 1202004515
- 1520045120 yy 185165y
3337
165185
y
Se sustituye este valor de y en 10
31 yx :
103337
31x
5524
330144
11033
144
1033111
3333
1033111
1x
5524
x
Comprobación:
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales:
32
53337
2
25524
151
53337
35524
2
=
134
32
53374
25524
151
53337
35548
32
53374
25524
30
151
53337
35548
15
360
3374
65524
15
1515
3337
35548
5
201174
21124
3
11137
1148
= 20
11148
1172
11111
2011
220
11
2020
11
135
Ejercicios Propuestos
Resolver por cualquier método los siguientes sistemas:
31. 1
43
3
28
252
yx
yx
32.
24
41
322
212
22
31
yx
yx
33. 5
253
23
22
yx
yx
34. 0
32
43
23
yx
yx
136
CAPITULO 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
APLICARÁ LOS MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN, COMPLETAR EL TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO Y FÓRMULA
GENERAL EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Aplicación
OPERARÁ CON POLINOMIOS
Aplicación
Una ecuación de segundo con una incógnita es una expresión de la forma
02 cbxax , con a, b, c
, 0a . Para obtener el conjunto solución de este
tipo de ecuaciones, se estudiarán tres métodos:
1) Completar el trinomio cuadrado perfecto.
2) Factorización.
3) Fórmula General.
En lo sucesivo al término 2ax se le llamará término cuadrático; al término bx se le
llamará término lineal y al término “ c ”, se le llamará término independiente.
9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Ejercicio
Resolver la ecuación 22 3 0x x
Resolución
Paso 1. Cancelar el término independiente en el miembro izquierdo de la
ecuación:
32 2 xx
Paso 2. Multiplicar en ambos miembros de la ecuación por el inverso multiplicativo
del coeficiente de 2x :
137
21 1(2 ) (3)
2 2x x
2 1 3
2 2x x
Paso 3: Completar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo de la
ecuación:
2 2 21 1 3 1( ) ( )
2 4 2 4x x
2 1 1 25
2 16 16x x
Para completar el trinomio cuadrado perfecto, el coeficiente de x
se divide entre 2
y el resultado se eleva al cuadrado.
Paso 4: El miembro izquierdo se escribe como el cuadrado de un binomio:
21 25( )
4 16x
Paso 5: Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
21 25( )
4 16x
1 5
4 4x
1 5
4 4x
o 1 5
( )4 4
x
Paso 6: Se resuelven las ecuaciones 1 5
4 4x y
1 5( )
4 4x
1 5
4 4x
1 5
( )4 4
x
138
5 1
4 4x
5 1
4 4x
6
4x
4
4x
3
2x
1x
El conjunto solución es 3
1,2
S
Ejercicio
Resolver 0253 2 xx
Resolución:
En este caso el coeficiente de 2x es negativo; se recomienda multiplicar en ambos
miembros de la ecuación por –1, para que el coeficiente de 2x sea positivo.
Posteriormente se siguen los pasos del ejemplo anterior.
23 5 2 0x x
2( 1)( 3 5 2 0) 1 0x x
23 5 2 0x x
23 5 2x x
21 1(3 5 ) (2)
3 3x x
2 5 2
3 3x x
2 2
2 5 5 2 5
3 6 3 6x x
2 5 25 49
3 36 36x x
139
2
5 49
6 36x
25 49
6 36x
5 7
6 6x
6
7
6
5x o
5 7
6 6x
5 7
6 6x
5 7
6 6x
7 5
6 6x
7 5
6 6x
2
6x
12
6x
1
3x 2x
El conjunto solución es 1
2,3
S
Ejercicio
Resolver 05 2 xx
Resolución:
El término independiente en la ecuación 05 2 xx es igual a cero, de modo que
directamente se multiplica por 5
1 en ambos miembros de la ecuación.
140
25 0x x
21 1
(5 ) (0)5 5
x x
2 1
05
x x
2 22 1 1 1
5 10 10x x
2 1 1 1
5 100 100x x
2
1 1
10 100x
2
1 1
10 100x
1 1
10 10x
1 1
10 10x
1 1
10 10x
1 1
10 10x
1 1
10 10x
0x
1
5x
El conjunto solución es 1
,05
S
Ejercicio
Resolver 0189 2x
Resolución:
141
La ecuación 0189 2x se puede escribir como 01809 2 xx .
Se considera esta última expresión y se aplica el método descrito:
29 0 18 0x x
21 ( 9 0 18) ( 1)(0)x x
29 0 18 0x x
29 0 18x x
21 1(9 0 ) (18)
9 9x x
2 0 2x x
2 2
2 0 00 2
2 2x x
2 20 0 2 0x x
2( 0) 2x
2( 0) 2x
0 2x
0 2x 0 2x
2x 2x
El conjunto solución es 2, 2S
Ejercicios Propuestos
Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las siguientes ecuaciones:
1) 22 5 12 0x x
142
2) 24 11 3 0x x
3) 23 5 4 0x x
4) 216 2 0x x
5) 24 16 0x
9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN.
Ejercicio
Resolver 25 7 6 0x x
Resolución
Paso 1. Se multiplica por el coeficiente numérico del término 25x
en ambos
miembros de la ecuación:
25(5 7 6) 5(0)x x
2 25 5(7 ) 5(6) 0x x
2(5 ) 7(5 ) 30 0x x
Nota: Observar que el término lineal 5 7x
se expresó como 7 5x .
Paso 2. Se buscan 2 números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea –30. Estos
son 10 y –3. Luego:
2(5 ) 7(5 ) 30 (5 10)(5 3)x x x x
Por lo tanto:
(5 10)(5 3) 0x x
5 10 0x
5 3 0x
5 10x 5 3x
10
5x
3
5x
2x
143
El conjunto solución es 3
2,5
S
Ejercicio
Resolver 214 31 10 0x x
Resolución:
Nuevamente se sugiere multiplicar por (–1) en ambos miembros de la ecuación.
21 14 31 10 1 0x x
214 31 10 0x x
214 14 31 10 14 0x x
214 31 14 140 0x x
14 35 14 4 0x x
14 35 0x 14 4 0x
14 35x 14 4x
35
14x
4
14x
5
2x
2
7x
El conjunto solución es 2 5
,7 2
S
144
Ejercicio
Resolver 2 8 20 0x x
Resolución
En este caso, dado que el coeficiente de 2x
es uno, simplemente se buscan los
números cuya suma es –8 y cuyo producto es –20.
Estos números son 2 y –10. Se factoriza el trinomio de 2 8 20 0x x :
2 10 0x x
2 0x 10 0x
2x 10x
El conjunto solución es 2,10S
Ejercicio
Resolver 212 27 0x x
Resolución
Como se trata de una ecuación con término independiente nulo, se factoriza el
binomio por el método del factor común y se obtienen las raíces de la ecuación: 212 27 0x x
3 4 9 0x x
3 0x
4 9 0x
0
3x 4 9x
0x
9
4x
El conjunto solución es 9
0,4
S
Nota: Toda ecuación de la forma 2 0ax bx
tiene como una de sus soluciones a
0x
145
Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones por medio de factorización.
1) 24 27 4 0x x 4
2) 2 4 60 0x x
3) 29 17 8 0x x
4) 215 0x x
5) 223 8 0x x
9.3 FÓRMULA GENERAL
Ejercicio
Obtener la fórmula general para resolver una ecuación de la forma
2 0ax bx c a, b, c
, 0a
Resolución:
Para obtener la formula general, se utiliza el método de completar un trinomio
cuadrado perfecto. 2 0ax bx c
2ax bx c
21 1ax bx c
a a
2 b cx x
a a
2 2
2
2 2
b b c bx x
a a a a
2 2
22 24 4
b b c bx x
a aa a
146
2 2
2
4
2 4
b ac bx
a a
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
2 2 4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 2
b b acx
a a
2 4
2 2
b b acx
a a
2 4
2
b b acx
a
2 4
2
b b acx
a
2± 4
2
b b acx
a Fórmula general
El conjunto solución es 2 24 4
,2 2
b b ac b b acS
a a
Ejercicio
Resolver 212 52 9 0x x
Resolución:
Aquí 12a , 52b , 9c
Aplicando la fórmula general:
147
252± (52) 4(12)( 9)
2(12)x
52± 2704 432
24x
52± 3136
24x
52±56
24x
El conjunto solución es
52 56
24x
52 56
24x
4
24x
108
24x
1
6x
9
2x
9 1,
2 6S
148
Ejercicio
Resolver 24 1 0x x
Resolución:
En este caso 4a , 1b , 1c
2( 1)± ( 1) 4(4)( 1)
2(4)x
1± 1 16
8x
1± 17
8x
1 17
8x
1 17
8x
El conjunto solución es 1 17 1 17
,8 8
S
149
Ejercicio
Resolver 27 0x x
Resolución
Ahora se tiene 7a , 1b , 0c
21± 1 4(7)(0)
2(7)x
1± 1
14x
1±1
14x
1 1
14x
1 1
14x
0x 1
7x
150
Ejercicio
Resolver 211 3 0x
Resolución:
Como 11a , 0b , 3c
20± 0 4(11)( 3)
2(11)x
0 132
22x
0 132
22x
132
22x
132
22x
4 33
22x
4 33
22x
2 33
22x
2 33
22x
33
11x
33
11x
El conjunto solución es 33 33
,11 11
S
Ejercicios Propuestos
Utilizar la fórmula general para resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
1) 23 7 26 0x x
2) 29 7 2 0x x
3) 2 17 0x x
4) 220 9 0x x
5) 22 1 0x
151
BIBLIOGRAFÍA
1. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos Fundamentales de Matemáticas
ÁLGEBRA. México, Pearson Educación, 2006.
2. De Oteyza Elena et al., ÁLGEBRA. México, Prentice Hall, 1996.
3. Fuenlabrada, Samuel, ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. México, Mc Graw Hill, 2007.
4. Gustafson, R. David et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA
7ª. Edición. México, Thomson, 2006.
5. Larson, Ronald E. et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA
2ª. Edición. México, Mc Graw Hill, 2000.
6. Baldor, Aurelio, ÁLGEBRA. México, Publicaciones Cultural, 2000.
7. Rees, Paul K, , ÁLGEBRA. México, Reverte, 1997
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