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Geometra: Cuerpos

Prof. Marvin Montiel A.

CUERPOS SLIDOSEl mundo bidimensional de la geometra plana no es suficiente para explicar el mundo en el que vivimos, pues esta posee tres dimensiones: largo, ancho y alto. Para explicar este mundo tridimensional se ha desarrollado el ramo de la matemtica denominado geometra del espacio o estereometra. La mayora del mundo tridimensional se basa en cinco figuras slidas familiares: cajas, pirmides, conos, balones y embases. En geometra del espacio se les conoce con los nombres respectivos: prismas, pirmide, conos, esferas y cilindros.

PRISMA

PIRAMIDE

CONO

ESFERA

CILINDRO

Podemos observar a simple vista que el prisma y la pirmide estn limitados completamente por superficies planas; la esfera est limitada por una sola superficie curva, y el cono y el cilindro estn limitados por superficies planas y curvas. Los cuerpos geomtricos que estn limitados completamente por superficies planas, se llaman poliedros. Los cuerpos geomtricos que estn limitados por superficies curvas o por superficies curvas y planas se llaman cuerpos redondos.

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1. POLIEDROS Se llama poliedro a la porcin del espacio limitada solamente por polgonos. Estos polgonos se llaman caras del poliedro. Los lados y los vrtices de estos polgonos se llaman aristas y vrtices del poliedro, respectivamente. Cada una de las superficies plana que la limitan se llama cara del poliedro. Cada dos caras se intersecan en un segmento de recta que se denomina arista del poliedro. Cada tres o ms aristas se intersecan en un punto llamado vrtice del poliedro.

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EJERCICIOS

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a. PRISMAS RECTOS Los prismas rectos son poliedros limitados por dos polgonos paralelos y congruentes llamados bases y por caras laterales que son rectngulos perpendiculares a las bases.

Dependiendo del nmero de lados del polgono de las bases, es el nombre del prisma. El siguiente cuadro, muestra algunos prismas regulares rectos: Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

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Clculo del rea del prisma recto El rea total (

El rea basal ( ) es igual a la suma de las dos reas de las bases del prisma. El rea de la base ( corresponde al rea del polgono que determina la base. = 2

) de un prisma corresponde a la suma del rea basal ( = +

)y el rea lateral (

)del prisma.

)

El rea lateral ( ) de un prisma recto es igual a la suma de las reas de los rectngulos que constituyen las caras laterales del prisma. =

Si ( ) representa el permetro de la base de un prisma recto y ( ) la medida de su altura, entonces su rea lateral se puede calcular con la siguiente frmula:

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Ejemplo: Cul es el rea total del prisma regular recto de la figura?

R/. El rea total es de 810 cm2. Ejemplo: La apotema de la base del prisma regular de la figura mide 63 cm Cul es el rea total del prisma? Solucin: a. Se calcula la medida del lado de la base ( ). Como la apotema de la base mide 63 , entonces 63 = 3 =2 = = 12 +( )

b. Se calcula el rea basal. c. Se calcula el rea lateral d. Se calcula el rea total

R/. El rea total es de aproximadamente 1828,25 cm2 Clculo del volumen del prisma recto

=

3

= 6 12 15 = 1080

= 4323 + 1080 1828,25

=2

(

)

3 = 4323

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El volumen de un cuerpo geomtrico es la medida del espacio que ocupa. El volumen calcula multiplicando la longitud de su altura, por el rea de una de sus bases ( ) Ejemplo =

de un prisma recto, se

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Ejemplo

Ejercicios 1. Calcule el rea total y el volumen de las siguientes figuras:

2. Conteste las siguientes preguntas

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3. Resuelva los siguientes ejercicios

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b. PIRMIDES RECTAS Una pirmide recta, es un cuerpo geomtrico, que tiene como base un polgono regular y como cara laterales tringulos issceles congruentes, que se unen en un punto llamado vrtice de la pirmide. Este punto pertenece al segmento que es perpendicular a la base y que contiene al centro de la base.

Dependiendo del nmero de lados del polgono de las bases, es el nombre de la pirmide. El siguiente cuadro, muestra algunas pirmides rectas: Pirmides triangular Pirmides cuadrangular Pirmides pentagonal Pirmides hexagonal

En cualquier pirmide regular recta se pueden establecer las siguientes relaciones entre sus elementos, por medio del teorema de Pitgoras:

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Ejemplo: Cul es la medida de la apotema de una pirmide regular recta, si la altura de la pirmide mide 8 cm y el lado de la base mide 6 cm? a. Se calcula la apotema de la base, si se sabe que el lado de la base mide 6, se obtiene la siguiente figura: = =3 30 60 = 3

(

) =

+

=

+(

)

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b. Se calcula la apotema de la pirmide mediante el teorema de Pitgoras, as: Respuesta: La apotema de la pirmide mide 67 cm.

Clculo del rea de una pirmide recta

Ejemplo Si la altura de una pirmide regular hexagonal recta mide 12 cm y la arista de su base 16 cm. Cul es el rea total de la pirmide? a. Se calcula la medida de la apotema de la base como el lado de la base mide 16, entonces = =8 60 30 = 83

=

+

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b. Se calcula la medida de la apotema de la pirmide c. Se calcula el rea lateral: = +

, para poder determinar el rea lateral

d. Se calcula el rea total:

Respuesta: el rea total de la pirmide es aproximadamente 1544,96 cm2

= 3843 + 19221 1544,96

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Si el rea basal de una pirmide regular recta es 642 dm2 y su altura 9 dm. Cul es el volumen de la pirmide? Solucin: Ejemplo: Respuesta: el volumen de la pirmide es 1922 dm3 Ejemplo:

Si la altura de una pirmide regular cuadrangular recta mide 9 cm y la apotema de su base, 62 cm Cul es el volumen de esa pirmide? a. Se debe determinar la medida del lado de la base, como la apotema de un cuadrado mide la mitad de su lado, podemos afirmar que su lado mide122 b. Se calcula el rea de la base: c. Se calcula el volumen de la pirmide: = = = 122 = 288

1 1 = 288 9 = 864 3 3 Respuesta: el volumen de la pirmide es 864 cm3

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Ejercicios 1. Resuelva los siguientes problemas: a. Determine el rea lateral de una pirmide regular triangular, si la apotema de la pirmide mide 10 cm y el radio de la base mide 83 cm. b. Calcule el volumen de una pirmide regular hexagonal recta, si la apotema de la pirmide mide 42 cm y la arista de la base 6 cm 2. Calcular el rea total y el volumen de cada pirmide regular recta:

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3. Complete el cuadro con las medidas solicitadas, los datos corresponden a pirmide regulares rectasBase de la pirmide Apotema de la base Apotema de la pirmide Arista lateral Arista basal Altura de la pirmide

a. triangular b. cuadrangular c. pentagonal d. hexagonal

10 8 18 23 4 10

10 6

4. Resuelva los siguientes problemas

5. Conteste las siguientes preguntas:

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c. CUBO El cubo es un prisma rectangular recto, que tiene todas sus aristas congruentes. Tambin se llama hexaedro regular. Algunos de los elementos que se identifican en el cubo son los siguientes: Arista: lados de las caras del cubo Diagonal: segmento que tiene por extremos dos vrtices opuestos del cubo

Ejemplo

Ejemplo

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Ejemplo

Ejercicio 1. Complete el siguiente cuadroCUBO MEDIDA DE LA ARISTA AREA DEL CUBO

A B C D E F

0,75 m 5m

120 m2

VOLUMEN DEL CUBO

625 m3 8 m2 33m3

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2. CUERPOS REDONDOS a. CILINDRO El cilindro circular recto es un cuerpo geomtrico que se obtiene del giro de un rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Algunos de los elementos que se identifican en un cilindro circular recto son los siguientes: Bases: son los dos crculos que son paralelos y congruentes. Altura del cilindro: es el segmento que une los centros de las bases. Es perpendicular a los radios de las bases. Radio del cilindro: es un radio de las bases del cilindro

Calculo del rea de un cilindro circular recto rea basal Es igual a la suma de las reas de las dos bases del cilindro. El rea basal AB de un cilindro recto de radio r se calcula con la siguiente frmula: =2

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rea lateral La superficie lateral de un cilindro circular recto es una superficie curva que si se extiende, forma un rectngulo como el siguiente: 2r El rea lateral es igual al producto del permetro de una de las bases (2 r) y la longitud de la altura del cilindro. El rea basal AL de un cilindro recto de radio r se calcula con la siguiente frmula: =2 h

rea Total El rea total de un cilindro se calcula sumando el rea basal y el rea lateral = 2 +2 = 2 ( + )

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Ejemplo:

Ejemplo: Si el rea lateral de un cilindro circular recto es 24 dm2 y su altura mide 6 dm. Cul es su rea total? Solucin:

Respuesta: el rea total del cilindro es 32 dm2 Clculo del volumen de un cilindro recto Se calcula multiplicando el rea de una de las bases por la medida de la altura del cilindro. El volumen V de un cilindro de radio r y altura h se calcula con la siguiente frmula: =

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Ejemplo:

Ejemplo

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Ejercicio 1. Calcule el rea total de cada cilindro circular recto. Considere que en todos los cilindros P y Q son los centros de las bases.

2. Calcule el volumen de cada cilindro circular recto.

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3. Conteste las siguientes preguntas: a. Cul es el rea lateral, en centmetros cuadrados, de un cilindro recto, si su altura mide 20 cm y el dimetro de una de sus bases 16 cm? b. Cuntos litros de agua caben en un envase con forma de cilindro circular recto, si tiene 20 cm de dimetro y 55 de altura? (1litro1000 cm3) c. Cul es la medida aproximada de la altura de un cilindro circular recto que tiene volumen de 92 cm3 y un radio de 5 cm? d. Cul es el rea lateral de un cilindro circular recto, si el rea de la base es 64 mm2 y la altura mide 8 mm? 4. Calcule el volumen de cada cilindro circular recto, segn los datos

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5. Marque escriba una equis sobre la letra correspondiente a la letra de la opcin correcta

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1. 2. 3. 4. 5.

a. 6,8 cm2 b. 27,5 dm2 c. 64 mm2 a. 1215 cm3 b.

c. 5776 cm3

a. 320 cm2 b. 5,5 l c. a. 2,4 mm3 b. 22 cm3 c. a. D b. B

d. 228 mm2

d. 280 dam3

b. CONO

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Es un cuerpo geomtrico que se obtiene del giro de un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos. En la siguiente figura se muestra el cono que se obtiene del giro del triangulo rectngulo AOB alrededor del cateto AO:

Algunos de los elementos que se identifican en un cono circular recto son los siguientes:

En cualquier cono circular recto, se pueden establecer las siguientes relaciones entre algunos de sus elementos: = + = =

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Calculo del rea de un cono circular recto rea basal Es igual al rea de la base del cono. El rea basal AB de un cono recto de radio r se calcula con la siguiente frmula: =

rea lateral La superficie lateral de un cono circular recto es una superficie curva que si se extiende forma un sector circular como el siguiente:gsuperficie lateral de un cono

2r

El rea basal AL de un cono recto de radio r se calcula con la siguiente frmula:

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rea Total El rea total de un cono se calcula sumando el rea basal y el rea lateral Ejemplo: = + = ( + )

=


Ejemplo:

Ejemplo:

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Ejemplo:

=

1 3

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Ejemplo:

Ejercicios: 1. Complete las siguientes proposiciones. Considere que g, r y h representan las medidas de una generatriz, de un radio y de la altura de un cono circular recto, respectivamente:

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2. Calcule el volumen de cada cono circular recto segn las medidas dadas. Considere que g, r y h representan las medidas de una generatriz, de un radio y de la altura de un cono circular recto, respectivamente:

3. Resuelva los siguientes ejercicios

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c. ESFERA

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Se llama esfera a un cuerpo tal que todos los puntos de su superficie estn a igual distancia de un mismo punto fijo llamado centro de la esfera. Algunas caractersticas importantes de la esfera, son: El segmento que une cualquier punto de la esfera con el centro se llama radio; la longitud de este siempre es fija. El dimetro de una esfera es el segmento que pasa por el centro de la esfera y une dos puntos de ella, su longitud es igual a la de dos radios. La interseccin de una esfera con un plano y que contiene al centro, se llama circunferencia mxima. rea de la esfera La superficie esfrica puede considerarse como una zona esfrica limitada por la circunferencia mxima y cuya altura es igual a su dimetro. Entonces el rea de una esfera, se obtendr de multiplicar la longitud de la circunferencia mxima y la longitud del dimetro. =2 2 = 4

Ejemplo:

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Volumen de la esferaEl volumen V de una esfera de radio r se puede calcular con la siguiente frmula: =

Ejemplo:

Ejercicios

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3. a) D b) C

TRABAJO EXTRA CLASE

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Resuelva tres de los ejercicios propuestos en el tema siguiente: AREA Y VOLUMEN DE OTROS CUERPOS GEOMETRICOS UNION DE CUERPOS GEOMETRICOS

Ejercicios Determinar el rea y el volumen de los siguientes cuerpos geomtricos

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