7/23/2019 Cualquier Magnitud
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ET31RT4
CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE
CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE
CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS CUADRANTALES Analicemos los ángulos en un Sistema de Coordenadas
Rectangulares.
Ahora aprenderemos a memorizar los valores completando
el siguiente cuadro, donde tú analizas cada ángulo:
Cuadrantes IC IIC IIIC IVC
Ángulos
. !."# $"# %&"# '("# )*"#
SenoCoseno!angenteCotangenteSecanteCosecante
Preguntas:
%. +l valor máimo - mnimo del seno - coseno es: /% -
0%.
'. +l seno es creciente en el: 1111111111111111111
). +l coseno es creciente en el: 1111111111111111111
%. Calcular:
+ 2 3 Sen $"# / 4 Cos %&"# 0 ) Sen '("#
'. Calcular:
V 2°−°
°+°
"Cos''("Sen4
)*"Cos)$"Sen'
). 5allar el valor de +:
+ 2 6a' / 7'8 . Cos 6'("# 0 8 0 6a / 78' . Cos 6489
si 2 $"#.
4. 5allar:+ 2
°
°°+
°°°
°°°
)"Sen
$"Sen.*"Sec'
43Cos.%&"Cos."Cos
43Sen.*"Cos.)"Sen
Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en
esta7lecer una euivalencia entre las razones
trigonom;tricas de un ángulo de cualuier magnitud - las
razones trigonom;tricas de un ángulo agudo. Ca7e resaltar
ue dicha euivalencia es posi7le de7ido al carácter
peri<dico de las =unciones trigonom;tricas, es decir, ue
estas van repitiendo sus valores con=orme vara el
cuadrante, alterando simplemente su signo.
Con este =in, es menester esta7lecer los siguientes casos
de reducci<n al primer cuadrante:
- >ara ángulos positivos menores de una vuelta.
- >ara ángulos positivos ma-ores de una vuelta.
- >ara ángulos negativos.
Antes de empezar con el desarrollo de cada caso, es
necesario recordar el siguiente cuadro:
Av. Universitaria 187 ! "#e$%& Li$re 'Frente a %a U. Cat(%i)a* + ,-1 87/0
$"#
%&"#
'("#
"#, )*"#
IIC6Segundo
Cuadrante8
IC6>rimer
Cuadrante8
IIIC6!ercer
Cuadrante8
IVC6Cuarto
Cuadrante8
?
@
SenoCosecante
II C.
III C.!angente
Cotangente
IV C.Coseno
Secante
6/8
6/86/8
6/8!odas
I C.
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Preguntas :
a8 +n u; cuadrante o cuadrantes el seno es 6/8B
78 +n u; cuadrante o cuadrantes la tangente -cotangente tienen el mismo signoB
c8 +n u; cuadrante se cumple ue: Seno ", mientras
Coseno D "B
I. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS "OSITIOS
MENORES DE UNA UELTA>ara reducir este tipo de ángulos, es necesario
epresar dichos ángulos en t;rminos del ángulo cuadrantal
más cercano. Veamos:
A8 Para ángulos de la forma (180° x) ó (360° x)
=.t. 6%&"# ± 8 2 ± =.t.68
=.t. 6)*"# ± 8 2 ± =.t.68
Observacón: +l signo depende de la raz<n
trigonom;trica inicial, - del cuadrante al cual pertenece el
ángulo antes de reducir.
>or eEemplo:
a8 Reducir: Sen )""#
78 Reducir: Sec '%"#
Ejemplos:
%. Calcular: !g %3"# , !g %)3# / !g %'"#
'. Si α, β - θ son ángulos de un triángulo, indicar
verdadero 6V8 o =also 68, según corresponda a las
siguientes proposiciones:
I. Sen6β / θ8 2 Sen α
II. Cos α 2 0Cos6β/ θ8
III. !g α 2 0!g6β / θ8
). Si A - F son ángulos suplementarios, reducir:
G 28F) A'6Cos
8F' A6Cos.8)"F A6Sen
+
+°++
F8 Para ángulos de la forma (!0° x) ó ("#0° x)
=.t. 6$"# ± 8 2 ± CH 0 =.t.68
=.t. 6'("# ± 82 ± CH 0 =.t.68
Observacón: +l signo depende de la raz<n
trigonom;trica inicial, - del cuadrante al cual pertenece el
ángulo antes de reducirlo.
>or eEemplo:
a8 Reducir: Sen %3"#
78 Reducir: Sec ''3#
Ejemplos:
%. Reducir:°
°
'4"Ctg
%3"Cos.%3"Sen
'. +n un cuadrilátero los ángulos internos miden α, β,
'α, 'β. 5allar Sen 6α / β8
). Según el grá=ico mostrado, calcular:
A 28)46!g8'6Cos
8'6Sen
β+αβ+α
β+α
NOTA
as euivalencias anteriores, presentadas inicialmente
para ángulos medidos en el sistema seagesimal,
tam7i;n se pueden utilizar para ángulos medidos en el
sistema radial. >or eEemplo:
=. t. 6%&"# ± 8 2 ± =. t. 68
< tam7i;n
=. t. 6π ± 8 2 ± =. t. 68 ............ 6π <> %&"#8
- 2 -
%&"# )*"#
@
?
$"#
'("#
@
?
αα β
β
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Además, en =orma más general, el ángulo JK utilizado
no necesariamente de7e ser agudo, porue aún en el
caso ue ;ste no lo sea, pero procediendo como si;ste lo =uese la igualdad se mantendra.
>or eEemplo:
Sen6%&"# / 8 2 0Sen 6Licha igualdad se mantiene a
pesar de no conocer la
magnitud de JK8
II. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS MA2ORES
DE UNA UELTA>ara este caso 7astará con dividir la varia7le angular
entre )*"#, para =inalmente tomar la misma =unci<n
trigonom;trica al residuo. Si el residuo no pertenece alprimer cuadrante, se de7erá proceder como en el caso
anterior.
=. t. 6α8 2 =. t. 6)*"#M / β8 2 =. t. 6β8, M ∈Ζ
>or eEemplo:
a8 Reducir: Sen %&*"#
78 Reducir: !g '"""#
Ejemplos:
%. Reducir:87a6
'"%"Sen7%)3"Sena ''
+
°+°, con a /
7 ≠ "
'. Calcular JK, si: !g '"4"# 0 !g '4*"# 2 '!g , con JK
agudo.
Observación +l proceso de dividir entre )*"#, tam7i;n lo
podemos pensar as: J+presar el ángulo como la suma de
un número entero de vueltas mas un ángulo menor de una
vuelta, - uedándonos con ;ste últimoK 6es decir seJelimina las vueltasK8.
). Reducir: !g643"# / 8 . Ctg634"# 0 8
NOTA
Le la misma =orma como epresamos un ángulo en
grados seagesimales como un número entero de
vueltas mas un ángulo de menor de una vuelta,
tam7i;n lo podemos realizar con un ángulo ue está
en radianes.
>or eEemplo:
Sen
π
)
'3 ⇒ Sen
π+
π
))
'4
⇒ Sen
π+π)
& ,
luego: Sen
π
)
'32 Sen
)
π 2
'
)
III. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS
NEGATIOS+n este último caso pasaremos del cálculo de =. t. de
ángulos negativos al cálculo de =. t. de ángulos positivos.
>ara esto, tendremos en cuenta lo siguiente:
Sen 608 2 0Sen
Cos 608 2 Cos
!g 608 2 0!g
Ctg 608 2 0Cot
Sec 608 2 Sec
Csc 608 2 0Csc
>or eEemplo:
a8 Reducir: Sen 60)""#8
78 Reducir: Cos 60'"""#8
Ejemplos:
%. Calcular:
Sen6043#8 Cos60%'"#8 Csc60'%"#8
'. Simpli= icar:
N 28a6Ctg
8a6Csc8a$"6!g8a6Sen
−
−+°−
). Reducir:
Cos
−+π 7a') / Sen 6%'π 0 a / 78
%. Simpli= icar:
A 2 3 cos $"# / ) sen $"# 0 3 cos "# / * cos )*"#
A8 % F8 ' C8 ) L8 4 +8 O.A.
'. Simpli= icar:
- 3 -
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P 2
°+°−°+° °+°+°−° %&"sen*$"cos'$"sen)"cos3
)*"cos4'("sen%&"cos'$"sen)
A8 " F8 ' C8 ) L8 & +8 O.A.
). Reducir: + 2 / I
Siendo: 2 ) tan %&"# 0 ) cos %&"# 0 sen '("#
I 2 ' sen $"# / 4 ctg '("# 0 sec %&"#
A8 4 F8 3 C8 * L8 ( +8 &
4. Simpli= icar:
R 2 6a / 78' . cos "# / a' . sen "# / 7' . cos '("#
/ 6a 0 78' . sen '("#
A8 a / 7 C8 a7 +8 O.A.F8 a 0 7 L8 aQ7
3. Siendo:
+ 2 a' . sen'$"# / 7' . cos "# 0 'a7 . sen '("#
2 a' . sen'$"# / 'a7 . cos %&"# / 7 ' . cos))*"#
Calcular: C 2 + 0
A8 'a7 C8 )a7 +8 O.A.
F8 4a7 L8 *a7
*. Si V 2 sen 4&"# / cos 4&"#
+ 2 tg 3&3# . cot 3&3#
5allar el valor de: 6V / +8'
A8 6' 0 ) 8 Q ' C8 ) Q ' +8 )
F8 6' / ) 8 Q ' L8 0 ) Q '
(. 5allar Jtg θK si: θ 2 ''3Q( sen )$(# / cos 60)(#8
A8 % F8 0% C8 ' Q ' L8 )Q4 +8
)
&. Calcular:
+ 2
°°°°
°°°°
))"cot.))(cos.)%3csc.)""cos
%3(cos.'4"tg.''3sec.'%"sen
A8 % F8 0% C8 ' L8 0' +8 %Q'
$. Calcular el valor de:
+ 2 cos %"# / cos )"# / cos 3"# / ...... / cos %("#
A8 " F8 % C8 0% L8 ' +8 0'
%". Calcular: V 2 tg%'
π / tg
%'
3π / tg
%'
(π / tg
%'%%π
A8 0' F8 0% C8 ' L8 % +8 "
%%. Simpli=icar:
+ 2 sen6)*"# / θ8 / cos θ . cos 6$"# 0 θ8/ sen 6$"# 0 θ8 . sen 6)*"# 0 θ8
A8 0sen θ C8 cos θ +8 %
F8 sen θ L8 0cos θ
%'. Simpli=icar:
V 2
86csc
8'("6sec
8$"6tg
8%&"6cot
8$"6sen
86cos
θ−
θ+°+
θ−°
θ+°+
θ+°
θ−
A8 ' F8 % C8 0% L8 0' +8 0)
%). Reducir: G 286csc
8'6sen86tg
α+π
α−π+α−π
A8α
α
cos
sen'
6% / cos α8 L8 sec α 6% 0 cos α8
F8 tg α 6% / sen α8 +8α
α
cos
sen'
6% 0 cos α8
C8 sen' α 6% / cos α8
%4. Calcular:
C 284Q6tg
sen8'Q6csc
π− π−π−
A8 " F8 0% C8 % L8 0' +8 '
%3. Si: sen %'# 2 9 hallar cot 60%$$'#8
A8 0 ',%− Q C8 %Q +8 '
F8 ',%− Q L8 ,
%*. Si: cos )3"# 2'N%
%
+9 hallar: cot '*"#
A8 %QN F8 0N C8 N L8 0%QN +8 %
%(. Si: α 2 ('# 9 β 2 %3#
5allar: V 2
8'%"6tg
8436tg
8))6cos
8)'6sen
β+α
β+α+
β+α
β+α
A8 ' F8 4 C8 ) L8 % +8 "
%&. Si: sen 3"# 2 c, tg '&# 2 a 9 ctg )$# 2 7. Calcular:
V 2
°°°−
°+°−°−°
'%$ctg.%3'tg.83"6sen
'4'ctg84"6Rcos.8'"&tg%)"sen6
- 4 -
7/23/2019 Cualquier Magnitud
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A8
a7c
8ca6 '+L8
c7
7c
'
''+
F8a7c
ac '' −+8
'
''
7c
7a +
C8a7c
aa7c ''' −+
%$. Reducir:
6tg.8c%*'"cos6
6sen.8a43"cot6
8a)*"cos6.87'("6ctg
87%&"6tg.8a'("6sen
+°
−°+
+°−°
−°−°
A8 0% F8 " C8 % L8 ' +8 )
'". Sea: 68 2 64 0 cos8 64 / cos8
T68 2 6sen 04
%8 6sen /
4
%8
5allar: ma × Tmin
A8 % F8 0% C8 " L8 %* +8 O.A.
'%. Calcular el euivalente a:
+
π−
+
π,
'
)cos,
'sen
A8 sen / cos L8 0sen 0 cos F8 sen 0 cos +8 "
C8 cos 0 sen
''. Simpli=icar:
8,$"6sen
,cos
,cot
8,$"6tg
8,6sen
8,%&"6sen
+°+
+°−
−
−°
A8 " F8 % C8 0% L8 ) +8 0)
'). Reducir: φ 2
8,)*"6cos
8,)*"6sen
8,%&"6cos
8,%&"6sen
+°
−°+
−°
+°
A8 " C8 0'tan +8 0'sec
F8 'tan L8 'cot
'4. / - / z 2 %&"#. 5allar:
S 2,cos
8z-6cos
zsen
8-,6sen ++
+
A8 % F8 ' C8 0' L8 0% +8 "
'3. +n un triángulo AFC hallar:
P 2 Acos
8CF6cos
Ctan
8F A6tan ++
+
A8 " F8 0% C8 0' L8 % +8 '
'*. Si / - / z 2 π
sen / sen - cos z 2 "
Calcular: U 2 ' tan - / tan z A8 % F8 ' C8 ) L8 0% +8 "
'(. Si: sen α 2)
'a − α ∈ IIC
5allar la etensi<n de JaK
A8 ⟨%, '⟩ C8 ⟨), 3⟩ +8 O.A.
F8 ⟨', )⟩ L8 ⟨', 3⟩
'&. Calcular: sen %# . sen '# . sen )#
A8 " F8 % C8 0% L8 ' +8 ±%
'$. Si: cos θ 2*
3a − θ ∈ IVC
5allar la etensi<n de JaK
A8 ⟨", 3⟩ C8 ⟨", %"⟩ +8 ⟨3, %%⟩
F8 ⟨", &⟩ L8 ⟨", %%⟩
)". 5allar el máimo - el mnimo valor de: - 2 cos'
A8 % - " C8 % - % +8 O.A.
F8 % - 0% L8 " - '
)%. Indicar el cuadrante donde el coseno - la tangente
tienen igual signo.
A8 I - II C8 I - IV +8 II - IV
F8 I - III L8 II - III
)'. Ladas las condiciones:
A 2 tan 4""# / cos &%"#
F 2 cot (*"# . sen 43"#
C 2 tan %%'3# . sec ('"#
Calcular el valor de A.F.C
A8 4 F8 ) C8 ' L8 % +8 "
)). Reducir: G 2,tg
8,6tg −
A8 0% F8 % C8 " L8 ∉ +8 .L.
)4. 5allar: A 28,%&"6cos
8,$"6sen
−°
+°
A8 % F8 ' C8 0% L8 0' +8 "
)3. Calcular: + 2 tg 60%'""#8
A8 ) C8 '
)
+8 O.A.
- 5 -
7/23/2019 Cualquier Magnitud
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F8 0 ) L8 0'
)
)*. H7tener: R 2 sen 4())#
A8 4Q3 F8 )Q3 C8 )Q4 L8 %Q' +8 O.A.
)(. Siendo: / - 2 %&"#, seWale V o en:
I. sen 2 sen -
II. cos 2 cos -
III. tg 2 0tg -
A8 VVV F8 VV C8 V L8 V +8
)&. 5allar los lmites de JmK si:
sen α 23
)m' −
A8 ⟨ 0%, 4⟩ C8 0%, 4⟩ +8 0%, %
F8 ⟨ 0%, 4 L8 0%, 4
)$. >ara u; valores de JaK se veri=ica la igualdad:
sen 2 'a 0 )
A8 a ≤ ) C8 0% ≤ a ≤ % +8 O.A.
F8 % ≤ a ≤ ' L8 " ≤ a ≤ '
4". Indicar verdadero 6V8 o =also 68 las siguientes
proposiciones:
I. sen6π/8 2 sen
II. cos6πQ'/8 2 0sen
III. tg6)πQ'08 2 cot
A8 V F8 V C8 VV L8 V +8 VV
- 6 -
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