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  • ASIGNATURA MINERALOGA

    Mdulo 1: Cristalografa

    Dra. Amancay N. Martinez

    2010

  • TABLA DE CONTENIDOS GENERALIDADES ..........................................................................................................2 Introduccin.......................................................................................................................2 Definicin de mineral.........................................................................................................2 Anlisis de la definicin.....................................................................................................2 Historia de la mineraloga ..................................................................................................3 Nombre de los minerales....................................................................................................4 CRISTALOGRAFA .........................................................................................................6 Introduccin.......................................................................................................................6 Proceso de cristalizacin ....................................................................................................6 Orden interno en los cristales .............................................................................................7 Elementos geomtricos de un cristal...................................................................................7 Diagramas ordenados y sus propiedades.............................................................................7 Morfologa cristalina..........................................................................................................9 Medicin de los ngulos cristalinos....................................................................................9 Simetra cristalina ............................................................................................................10 Reglas de simetra ............................................................................................................12 Elementos cristalogrficos ...............................................................................................13 Clases de simetra y sistemas cristalogrficos...................................................................15 Grupo Isomtrico .............................................................................................................15 Grupo Dimtrico ..............................................................................................................15 Grupo Trimtrico .............................................................................................................16 Holoedra y meroedra .....................................................................................................17 Notacin y simbologa .....................................................................................................17 Parmetros .......................................................................................................................18 ndices de Miller ..............................................................................................................19 Forma ..............................................................................................................................20 Formas abiertas................................................................................................................21 Formas cerradas ...............................................................................................................21 Formas simples y combinadas..........................................................................................21 Tipos de formas ...............................................................................................................22 Tipos de caras ..................................................................................................................24 Zonas ...............................................................................................................................25 Hbito cristalino...............................................................................................................25 Proyecciones cristalinas ...................................................................................................25 Proyeccin esfrica ..........................................................................................................25 Proyeccin estereogrfica ................................................................................................27 Plantillas estereogrficas - red de Wulff ...........................................................................29 Orientacin de los cristales...............................................................................................30 El dominio fundamental y las siete formas derivadas .......................................................30 Procedimiento en la proyeccin de cristales .....................................................................32 Las 32 clases cristalinas ...................................................................................................33 Maclas .............................................................................................................................44 Origen de las maclas ........................................................................................................46 Ley de maclas ..................................................................................................................47 Polimorfismo ...................................................................................................................50 Politipismo.......................................................................................................................54 Pseudomorfismo ..............................................................................................................54

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    GENERALIDADES

    Introduccin

    La mineraloga es la ciencia que estudia las sustancias cristalinas de la naturaleza, o sea, los minerales, su estructura interna, su forma y su clasificacin, con la finalidad de ampliar su conocimiento. Se divide en cristalografa, mineraloga determinativa y mineraloga ptica.

    Definicin de mineral

    Mineral: slido natural homogneo con una composicin qumica definida aunque no fija y una distribucin atmica ordenada. Ese ordenamiento interno de los tomos o iones integrantes se ve reflejado en la expresin exterior de los cristales, en sus caras planas. Se forma mediante un proceso inorgnico.

    Cristal: es un cuerpo slido, limitado naturalmente por superficies planas que constituyen la expresin exterior de un ordenamiento interno de los tomos o iones integrantes. En la naturaleza los cristales pueden no ser perfectos y no todas las caras tener el mismo desarrollo.

    Anlisis de la definicin

    Al decir Slido natural estamos distinguiendo entre sustancias formadas por procesos naturales y sustancias sintetizadas en el laboratorio.

    Al decir Slido homogneo estamos pensando en una sustancia slida que no puede ser subdividida fsicamente en simples componentes qumicos. Se excluyen los gases y los lquidos, por lo tanto el H2O en forma de hielo es un mineral pero el H2O lquida no lo es. Por lo tanto el mercurio lquido tampoco lo es.

    Al decir Composicin qumica definida implica que puede expresarse mediante una frmula qumica especfica. Por ejemplo:

    Cuarzo = SiO2

    Pero la mayora de los minerales no tienen una composicin definida con exactitud. Para el caso de la dolomita CaMg(CO3)2 no es siempre un carbonato puro de Ca y Mg, ya que puede contener cantidades de Fe y Mn reemplazando al Mg. Como estas cantidades varan se dice que su composicin no es fija. Por lo tanto la expresin de su composicin qumica se puede expresar as, manteniendo la misma proporcin:

    CaMg(CO3)2 = Ca:Mg:CO3 = 1:1:2 = Ca(Mg, Mn, Fe)(CO3)2

    Al decir Disposicin atmica ordenada se indica la existencia estructural de un entramado de tomos ordenados segn un modelo geomtrico regular, que le confiere el carcter cristalino a los minerales. Los slidos como el vidrio, que carecen de una disposicin atmica ordenada reciben el nombre de amorfos. Tanto estos como el agua lquida y el mercurio, sin un orden interno reciben el nombre de mineraloide.

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    De acuerdo con la definicin tradicional, un mineral se forma mediante procesos inorgnicos, pero existen compuestos orgnicos que pueden acoplarse a la definicin de mineral. Por ejemplo, el carbonato de calcio de las conchillas de los moluscos, dado que la concha de una ostra y su perla estn en su mayor parte constituida por aragonito que es idntico al formado por un proceso inorgnico. Otro ejemplo son el azufre y el hierro precipitado a partir de bacterias, sin embargo, el petrleo y el carbn estn excluidos de la definicin, ya que no tienen composicin qumica definida ni distribucin atmica ordenada.

    Historia de la mineraloga

    El surgir de la mineraloga como ciencia es relativamente reciente pero no la prctica en las artes mineralgicas. En las pinturas rupestres realizadas por hombres primitivos se utilizaron pigmentos naturales hechos de hematita roja y xidos de manganeso negro y las herramientas de pedernal eran posesiones importantes durante la Edad de Piedra.

    Las pinturas funerarias del valle del Nilo realizadas hace casi 5000 aos fueron efectuadas usando malaquita, metales preciosos, lapislzuli y esmeraldas. Cuando se dio paso a las Edades de Bronce y de Hierro se ampliaron las posibilidades de aprovechamiento de los minerales.

    Durante la poca del Imperio Romano fueron de capital importancia los centros mineros de oro, hierro y cobre de Hispania. Despus se aseguraron los suministros de estao con los yacimientos de casiterita de Cornualles en Britania.

    El filsofo griego Theophrastus (372-287 a.C.), discpulo de Aristteles, fue el primero en realizar el primer trabajo escrito sobre mineraloga. Siglos ms tarde, el escritor romano Cayo Plinio Segundo (23-79 d.C.) public su obra Historia Natural, sentando las bases de estudio de la mineraloga.

    El nacimiento de la mineraloga como ciencia ocurre en el ao 1556 con la publicacin del libro De Re Metallica escrito por el mdico alemn Georgius Agricola. Este libro incluye la primera recopilacin de minerales.

    Steno en 1669 contribuy al desarrollo de la cristalografa con su estudio de los cristales de cuarzo. Observ que a pesar de la procedencia, tamao o constitucin, los ngulos entre las caracas correspondientes eran constantes.

    En 1780 Carangeot invent el gonimetro de contacto para la medida de los ngulos interfaciales de un cristal. Aos ms tarde, Rom de ILsle realiz medidas de los ngulos faciales que confirmaron el trabajo de Steno y formul la ley correspondiente. Ren Hay en 1784 demostr que los cristales estaban constituidos por acumulacin de pequeos bloques idnticos que denomin molculas integrales, hoy conocidas como clulas unitarias. Ms tarde en 1801, Hay desarroll la teora de los ndices racionales para las caras de un cristal.

    Wollaston en 1809 invent el gonimetro de reflexin que permiti una alta exactitud y medidas precisas de las posiciones de las caras de un cristal. El gonimetro de contacto sirvi para suministrar datos necesarios para el estudio de la simetra cristalina, convirtiendo as a la cristalografa en una ciencia exacta.

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    En 1850 von Groth, es el primero que adopta sistemas qumicos de clasificacin, agrupando los minerales en diez clases. Estas clasificacin se han ido modificando hasta llegar a la ms utilizada hoy: la de Strunz, que divide los minerales en nueve clases atendiendo a criterios cristaloqumicos y estructurales.

    1. elementos nativos 2. sulfuros 3. halogenuros 4. xidos e hidrxidos 5. nitratos, carbonatos y boratos 6. sulfatos, cromatos, molibdatos y wolframatos 7. fosfatos, arseniatos y vanadatos 8. silicatos 9. sustancias orgnicas

    El naturalista francs Cordier en 1815 desarroll el mtodo de inmersin al observar por primera vez fragmentos de minerales triturados a travs de su microscopio. La utilidad del microscopio en el estudio de los minerales se acrecent gracias a la invencin de una dispositivo de polarizacin que permiti el estudio del comportamiento de la luz en las sustancias cristalinas. Dicho dispositivo fue creado por el escocs William Nicol, quien provoc que el microscopio de luz polarizada se convirtiera un instrumento fundamental en los estudios mineralgicos.

    El descubrimiento de mayor repercusin del siglo veinte debe ser atribuido a Max von Laue y colaboradores, quienes demostraron que los cristales podan difractar los rayos X, por lo que la difraccin de rayos X se convirti en un mtodo imprescindible. En 1914 se publicaron por W. H. Bragg y W. L. Braga en Inglaterra las primeras determinaciones de la estructura de un cristal. Los equipos modernos conectados a una computadora, permiten realizar una determinacin rpida de la estructura compleja de un cristal.

    La microsonda electrnica desarrollada durante la primera dcada de 1960 permiti el estudio qumico de los minerales a nivel de micro-escala, constituyendo otro instrumento importante a la hora de efectuar ensayos rutinarios.

    Nombre de los minerales

    Los minerales se clasifican en funcin de un principal componente qumico, anin o complejo aninico, presente en el mineral. Estos pueden ser un xido, sulfuro, silicato, carbonato, fosfato, etc. Esto es til porque la mayora de los minerales contienen un solo anin principal.

    La determinacin detallada y la identificacin de los minerales requiere tcnicas especializadas como ser anlisis qumicos, medida de las proporciones fsicas, como la densidad, propiedades pticas y los parmetros de rayos X que estn relacionados con la estructura cristalina del mineral.

    Sin embargo la nomenclatura mineral no sigue una regla fija. Los minerales fueron nombrndose en funcin de alguna propiedad fsica, qumica, teniendo en cuenta el lugar donde fue encontrado, un personaje famoso, un mineralogista, o cualquier otra consideracin particular. Por ejemplo:

    Albita (NaAlSi3O8) del latn albus: blanco en alusin a su color.

    Rhodonita (MnSiO3) del griego rhonon: una rosa en alusin a su color rosa propio.

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    Chromita (FeCr2O4) por la cantidad de cromo presente en este mineral.

    Magnetita (Fe2O3) por sus propiedades magnticas.

    Franklinita (ZnFe2O4) por la localidad Franklin en New Jersey donde es abundante el Zn.

    Sillimanita (Al2O3) en honor al profesor Benjamn Silliman (1779-1864) de la Universidad de Yale.

    * * *

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    CRISTALOGRAFA

    Introduccin

    La cristalografa es la ciencia que estudia los cristales en su estructura interna, su forma y su clasificacin. Los cristales son los minerales que poseen caras cristalinas, planas y pulidas y desarrollan formas geomtricas. Sin embargo, son cristales de todas formas, tenga o no caras cristalinas, ya que poseen estructura interna ordenada. Por lo que un slido homogneo que posee un orden interno tridimensional puede considerarse un cristal.

    La cristalografa comenz como una rama de la mineraloga, hoy en da es una ciencia aparte. En esta materia se vern las nociones bsicas donde sentar las bases para la segunda parte de la materia mineraloga.

    De acuerdo al mayor o menor desarrollo de las caras cristalinas podemos hacer una primera clasificacin de los cristales en:

    Euhedrales: cuando presentan todas sus caras desarrolladas.

    Subhedrales: cuando algunas de sus caras estn bien desarrolladas.

    Anhedrales: cuando no presentan desarrollo en sus caras.

    Hay sustancias microcristalinas donde su naturaleza cristalina se reconocer a partir del uso del microscopio y otras son criptocristalinas, donde su patrn regular se observa a partir de la difraccin de rayos X. Las sustancias amorfas son cristalinas pero carecen de estructura interna ordenada, por lo que se denominan mineraloides.

    La cristalografa puede dividirse en:

    Estructural: analiza la estructura de los motivos (tomos, molculas, etc.) Geomtrica: estudia el ordenamiento de los motivos, se ocupa de la forma externa. Fsica: trata las propiedades fsicas.

    Proceso de cristalizacin

    Los cristales se forman a partir de disoluciones, fundidos y vapores. Los tomos en estos estados desordenados tienen una disposicin al azar, pero al cambiar la temperatura, presin y concentracin pueden agruparse en una disposicin ordenada caracterstica del estado cristalino.

    Los cristales pueden formarse de una disolucin por descenso de la temperatura o de la presin. Tambin se puede formar a partir de una masa fundida de igual forma que las disoluciones. Por otro lado, aunque la cristalizacin a partir de un vapor es menos corriente, los principios bsicos son muy parecidos. A medida que el vapor se enfra, los tomos y molculas separadas se van aproximando entre s, hasta formar un slido cristalino. Un ejemplo es la formacin de copos de nieve a partir de aire saturado de vapor de agua.

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    Orden interno en los cristales

    El orden interno tridimensional de un cristal es la repeticin de un motivo (una unidad del diagrama) de tal motivo que los alrededores de cada motivo son idnticos, con una coma como motivo. En los cristales los motivos pueden ser molculas (H2O), aniones (SiO4) o iones (Ca2+) o combinaciones.

    Elementos geomtricos de un cristal

    Al observar un cristal diferenciamos:

    Caras: son los planos que determinan la forma y que constituyen la repeticin indefinida de su estructura interna.

    Aristas: son el resultado de la interseccin de dos caras.

    Vrtice: corresponden a la interseccin de dos o ms aristas.

    El teorema de EULER dice que el nmero de caras ms el nmero de vrtices es igual al nmero de aristas ms dos.

    C + V = A + 2

    Diagramas ordenados y sus propiedades

    Los diagramas ordenados constituyen un estado energtico menor que el estado aleatorio. Cualquier movimiento que sita el motivo original en coincidencia con el mismo motivo original en coincidencia con el mismo motivo es cualquier regin del diagrama se considera como una operacin. Por lo tanto, un diagrama homogneo puede engendrarse a partir de un simple motivo mediante una serie de operaciones geomtricas (homogneo significa que cada motivo unidad posee una relacin semejante con el resto del diagrama).

    Los tipos de operaciones geomtricas mediante las cuales pueden engendrarse diagramas homogneos son: traslacin, rotacin y una combinacin de ambas.

    La traslacin en una sola dimensin produce un diagrama lineal a intervalos iguales a la distancia de traslacin t como se ilustra en la Figura 1a.

    La rotacin por si sola, a travs de un ngulo alrededor de un eje imaginario, engendra una secuencia del motivos a lo largo de un crculo. La orientacin de las sucesivas unidades difiere en el ngulo , como se observa en la Figura 1b.

    La traslacin y la rotacin conjuntas generan un diagrama regular siempre que el eje de rotacin sea paralelo a la direccin de traslacin. Esto da lugar a un movimiento de tornillo (Figura 1c).

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    Figura 1: generacin de diagrama por a) traslacin, b) rotacin y c) combinacin de traslacin y rotacin.

    Los tipos anteriores de operaciones dan lugar a diagramas en los cuales el motivo original y los engendrados a partir del mismo son idnticos en orientacin mutua. As se engendran diagramas congruentes. Las operaciones adicionales, como ser un espejo plano o un centro de simetra, producen diagramas en los cuales el motivo original est relacionado con el nuevo engendrado por una imagen especular o una inversin. La relacin entre los motivos de tales diagramas se denomina enantiomorfa, significando que los motivos estn relacionados por un espejo o una inversin y que no pueden superponerse entre s.

    Figura 2: a) motivos derecho e izquierdo relacionado con la reflexin en un espejo, b) motivos relacionados por inversin a travs de un centro.

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    La rotacin alrededor de un eje, la reflexin mediante un espejo y la inversin alrededor de un punto se denominan operaciones de simetra. Los elementos de simetra de los cristales son direcciones particulares, que cumplen condiciones de simetra, determinados por la disposicin de los tomos dentro de la estructura cristalina.

    Morfologa cristalina

    Ya que los cristales se forman por la repeticin de una unidad estructural en tres dimensiones, las superficies limitantes dependen en parte de la forma de la unidad. Tambin dependen del medio externo en el cual se desarrolla el cristal. Medio externo incluye a todas las influencias externas, tales como temperatura, presin, naturaleza de la disolucin y la probabilidad de un espacio abierto para su crecimiento.

    Puesto que la estructura interna de cualquier sustancia cristalina es constante y puesto que las caras cristalinas tienen una relacin definida con esa estructura, se deduce que las caras tienen una relacin definida una con otras. Este hecho fue observado por Nicols Steno en 1669, quien dijo que: los ngulos entre las caras equivalentes de los cristales de la misma sustancia medidos a la misma temperatura son constantes. Por esta razn, la morfologa cristalina es importante ya que permite identificar a las especies cristalinas a partir de su estudio.

    Medicin de los ngulos cristalinos

    Los ngulos que se me miden entre las normales a las caras cristalinas caracterizan un cristal y deben medirse cuidadosamente. Con esos datos se determina la simetra del cristal y su clase cristalina. Los ngulos se miden con un gonimetro que puede ser de reflexin cuando es ms moderno y donde se hace incidir un rayo de luz sobre las caras cristalinas (Figura 3).

    Figura 3: gonimetro de reflexin de dos crculos con montaje de cristal a la derecha, telescopio en la parte superior izquierda y fuente luminosa en la parte inferior izquierda.

    Un instrumento ms sencillo es el gonimetro de contacto utilizado en cristales de mayor tamao y es menester que el plano determinado por los dos brazos del gonimetro est exactamente en ngulo recto con la arista entre las caras a medir. Debe saberse que es

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    el ngulo interno el que se registra. En el caso de la Figura 4, el ngulo necesario es el de 40 grados.

    Figura 4: gonimetro de contacto para la medicin del ngulo .

    Simetra cristalina

    La forma externa del cristal bien formado refleja la presencia o ausencia de los elementos de simetra, tales como, ejes de rotacin, ejes de giro inversin, centros de simetra y planos de simetra. En los cristales imperfectos o pobremente desarrollados la simetra no es evidente, pero puede deducirse a partir de una medida de la relacin angular de sus caras. Los elementos de simetra que pueden reconocerse en un cristal son:

    Eje de simetra: direccin alrededor de la cual un cristal puede girar 360 n veces, por posiciones anlogas puede ser de 1, 2,3,4 y 6, con ngulos de rotacin de 180, 120, 90 y 60 respectivamente. Estos ejes se denominan correlativamente: EJE DE ORDEN UNO (n=360), DIGIRA (n=180), TETRAGIRA (n=90), TRIGIRA (n=120), HEXAGIRA (n=60). Eje de simetra EQUIVALENTES son aquellos que pueden sustituirse entre s, sin que el aspecto del cristal se modifique. Por ejemplo los ejes tetragonales del cubo (Figura 5).

    Figura 5: ejemplos de rotaciones que hacen coincidir el motivo con una unidad idntica para ejes de rotacin de orden 1, 2, 3, 4 y 6.

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    Planos de simetra: es el plano (m) que divide al cristal en dos partes iguales de tal forma que una se comporta con respecto a la otra como un cuerpo y su imagen en el espejo. Puede no existir o presentarse 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, planos de simetra. Los planos perpendiculares a un eje de simetra ternario, cuaternario, senario se denominan "planos principales", los que no cumplen esta condicin se denominan "planos secundarios".

    Centro de simetra: se dice que un cristal posee centro de simetra (i), cuando al hacer pasar una lnea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie a travs del centro, se halla sobre dicha lnea y a una distancia igual, ms all del centro, otro punto similar al primero. Caras paralelas y similares en los lados opuestos del cristal indican un centro de simetra.

    Existen ejes de giro inversin al combinar rotacin con inversin (Figura 6) y se dice -1 y se escribe 1 con una barra por encima (1). El motivo original gira 360 de modo que vuelve a su posicin original y es invertido entonces respecto a un centro. Produce el mismo efecto que un centro de simetra. Existen ejes de rotoinversin 1, 2, 3,4 y6.

    Figura 6: operaciones de giro inversin en motivos unitarios, donde se efecta la rotacin y la inversin a travs del centro de simetra.

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    Tambin hay ejes de giro reflexin al combinar rotacin con reflexin. El motivo original gira 360 de modo que vuelve a su posicin original y es invertido segn un plano especular (m).

    La combinacin de todas estas operaciones de simetra permite obtener idnticas configuraciones a partir de un mismo elemento geomtrico inicial. Por lo tanto se logran las siguientes equivalencias:

    1 ~ S2 ~ i 2 ~ S1 ~ m 3 ~ S6 ~ 3 + i 4 ~ S4 6 ~ S3 ~ 3/m ~ 1S3 + m perpendicular

    Reglas de simetra

    1) Un centro de simetra, un plano de simetra y una gira de orden par normal al plano, son elementos tales que la presencia de dos de ellos condiciona la existencia del tercero.

    2) Un centro de simetra, un plano de simetra y una gira de orden impar normal, son elementos tales que la presencia de dos de ellos excluye la presencia del tercero.

    3) N planos de simetra vinculados por una recta comn formaran entre si ngulos diedros de valor 180/n, la recta de interseccin ser un eje de simetra de orden n.

    4) N digiras coplanares formaran entre si ngulos iguales de valor 180/n, perpendicular al plano que las contiene, existir un eje de simetra de orden n.

    De la aplicacin de estas cuatro leyes fundamentales es posible deducir que:

    a) en los cristales es posible hallar solamente un eje senario, uno o tres cuaternarios, uno o cuatro ternarios, o uno, dos, tres, cuatro o seis ejes binarios.

    b) se pueden determinar 31 formas correctas de asociar elementos de simetra y establecer 32 clases de simetra, una de las cuales implica la carencia total de elementos de simetra (Tablas 1 y 2).

    Tabla 1: las 32 clases de simetras cristalinas.

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    Tabla 2: las 32 clases de simetras cristalinas y el contenido de la simetra.

    Elementos cristalogrficos

    Ejes cristalogrficos: Se ha encontrado conveniente al describir los cristales suponer que ciertas lneas imaginarias, los ejes cristalogrficos, se toman paralelos a las aristas que corresponden a la interseccin de las caras cristalinas principales. Adems, las posiciones de los ejes cristalogrficos vienen ms o menos fijadas por la simetra de los cristales, pues en la mayor parte de los cristales son ejes de simetra o normales a los planos de simetra. Se considera una terna de ejes cristalogrficos, designados como: a,

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    b, c. Aqu los tres ejes de longitudes diferentes son mutuamente perpendiculares entre s y cuando se colocan en la orientacin normal son como sigue:

    - El eje a es horizontal y est en posicin delante-atrs. - El eje b es horizontal y est en posicin derecha-izquierda. - El eje c es vertical.

    Los extremos de cada eje se designan con el signo ms o menos (+ o -). El extremo frontal de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c son positivos, mientras que los opuestos son negativos.

    Los ngulos que forman los ejes entre s se denominan (Figura 7):

    - Alfa: entre b y c - Beta: entre a y c - Gama: entre a y b

    Figura 7: ejes cristalogrficos del sistema rmbico.

    Estos conforman la cruz axial, salvo para los sistemas trigonales y hexagonales.

    Los seis sistemas cristalinos estn referidos a las siguientes direcciones axiales y ngulos axiales:

    Triclnico: tres ejes desiguales que se cortan todos segn ngulos oblicuos.

    Monoclnico: tres ejes desiguales, dos de los cuales forman entre si un ngulo agudo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos.

    Rmbico: tres ejes mutuamente perpendiculares, todos ellos de diferente longitud.

    Tetragonal: tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de los cuales (los ejes horizontales) son de igual longitud, pero el eje vertical es ms corto o ms largo que los otros dos.

    Hexagonal: cuatro ejes cristalogrficos, tres ejes horizontales iguales que se cortan bajo ngulos de 120, el cuarto vertical es de longitud diferente y perpendicular al plano de los otros tres.

    Cbico o isomtrico: tres ejes mutuamente perpendiculares de longitudes iguales.

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    Clases de simetra y sistemas cristalogrficos

    Las clases de simetra a la que pertenece un cristal, estn dada por el conjunto de sus elementos de simetra (Figura 8). Mediante la combinacin de ejes y planos se han determinado 32 clases de simetra que se agrupan en siete sistemas cristalogrficos y estos a su vez en tres grupos, de acuerdo a las relaciones de longitud y angularidad de sus ejes. Estos son sistema rmbico, tetragonal, hexagonal, trigonal, cbico, monoclnico, triclnico.

    Figura 8: elementos de simetra expresados en funcin de la simetra cristalina. De izquierda a derecha: eje 6 (E6), eje 2 (E2), centro de simetra (c) y plano (m).

    Grupo Isomtrico

    - SISTEMA CBICO: Los tres ejes cristalogrficos tienen la misma longitud y son perpendiculares entre s. Los elementos de simetra caractersticos de este sistema son 4 trigiras.

    a = b = c = = = 90

    Ejemplos de minerales cbico: Halita NaCl, Pirita FeS2, Galena PbS, las cuales forman entre otros cubos. Diamante de forma octadrica, Magnetita Fe3O4 forma entre otros octaedros. Granate, p. ej. Almandina Fe3Al2(SiO2)4 de forma rombododecadrica, de forma icositetradrica.

    Grupo Dimtrico

    Presenta dos ejes iguales y un tercero desigual.

    - SISTEMA TETRAGONAL: Dos ejes iguales (horizontal) y un tercero (vertical) de longitud diferente, todos perpendiculares entre s. Tienen como elemento de simetra caracterstico una tetragira coincidiendo con el eje "c".

    a = b c = = = 90

    Ejemplos de minerales tetragonales: Zircn (ZrSiO2), Casiterita SnO2.

    - SISTEMA HEXAGONAL: En este sistema intervienen cuatro ejes cristalogrficos en lugar de tres. Los tres horizontales son iguales entre s y se cortan a 120. El vertical es mayor o menor que los anteriores. Entre los extremos positivos, como los tres ejes

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    horizontales son intercambiables entre s, normalmente se les designa con a1, a2, a3. El eje a1 se orienta desde atrs derecha (-) hasta adelante izquierda (+), el eje a2 de izquierda (-) a derecha (+) y el eje a3 desde adelante derecha (-) hacia atrs izquierda (+). El elemento de simetra caracterstico es una hexagira coincidente con el eje "c" o una trigira con un plano normal (1S3+m perpendicular = 6).

    a1 = a2 = a3 c = = = 90, = 120

    Ejemplos de minerales hexagonales: Apatito Ca5(F, OH, Cl)(PO4)3 y grafito C pertenecen al sistema hexagonal.

    - SISTEMA TRIGONAL: Presenta las mismas relaciones axiales que el sistema anterior pero el elemento de simetra caracterstico es una trigira coincidiendo con el eje "c".

    a1 = a2 = a3 c = = = 90, = 120

    Ejemplos de minerales trigonales: Calcita CaCO3 y Dolomita CaMg(CO3)2 pertenecen al sistema trigonal y forman a menudo romboedros.

    Grupo Trimtrico

    Los tres ejes son de diferente longitud.

    - SISTEMA RMBICO: Posee tres ejes perpendiculares, todos de distinta longitud. Los elementos de simetra caractersticos de este sistema son tres digiras (3S2) o una digira y dos planos perpendiculares entre s (1S2+2m perpendicular), que pasan por l.

    a b c = = = 90

    Ejemplos de minerales rmbicos: Olivino (Mg,Fe)2(SiO4).

    - SISTEMA MONOCLNICO: Los cristales se refieren a tres ejes desiguales, dos de los cuales se cortan segn un ngulo oblicuo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos. Los ngulos y son iguales mayor de 90. Sus elementos de simetra caractersticos son una digira, un plano o la combinacin de ambos (1S2+M perpendicular).

    a b c = = 90 > 90

    Ejemplos de minerales monoclnicos: muscovita, yeso, talco y ortosa.

    - SISTEMA TRICLNICO: Tres ejes desiguales y tres ngulos desiguales entre s y diferente de 90. Se distingue porque carece de elementos de simetra o posee centro en las formas holodricas.

    a b c 90

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    Ejemplos de minerales triclnicos: Albita: NaAlSi308 y Cianita: Al2SiO4

    Holoedra y meroedra

    La holoedra o clase holodrica corresponde a cada uno de los siete sistemas cristalinos que tiene una clase con el mximo nmero de elementos de simetra que pueda presentarse. A esta clase se la denomina holodrica. Las restantes clases son las merodricas o clases merodricas. Las que presentan la mitad de las caras equivalentes a la forma Holodrica correspondiente reciben el nombre de hemidricas.

    Notacin y simbologa

    Entre las notaciones de simetra propuestas, las de Hermann-Maugin es la ms aceptada y mediante la cual es posible expresar la simetra externa de los cristales. Segn la mencionada simbologa, los elementos de simetra se expresan de la siguiente manera:

    1. los ejes de simetra se indican con los nmeros 1, 2, 3, 4 y 6. 2. los ejes de giro inversin se indican con barras encima 1, 2,3,4 y 6. 3. los planos de simetra se indican con la letra m. 4. un eje con un plano de simetra normal a l se indica 2/m, 3/m, 4/m y 6/m.

    Estos smbolos pueden contener 1, 2 o hasta 3 trminos segn el caso y cada uno de ellos representa la simetra a lo largo de una direccin cristalogrfica ideada conforme las necesidades de cada uno de los sistemas.

    En el sistema cbico, el primer nmero esta asociado con la simetra asociada a cada uno de los ejes cristalogrficos a, b y c, el segundo se refiere a las direcciones diagonales no contenidas en los planos axiales y el tercero corresponde a las direcciones axiales contenidas en dichos planos. Si se considera que el smbolo de la clase hexaquis-octadrica es 4/m -3 2/m, se puede deducir la totalidad de los elementos de simetra: 3E4 que coinciden con a, b y c, 4E3, 9 planos de simetra y centro de simetra (Figura 9).

    En los sistemas hexagonales y trigonales el smbolo consta de tres trminos: el primero especifica la simetra asociada con el eje c, el segundo a los ejes a1, a2 y a3 y el tercero a las direcciones bisectoras de a1, a2 y a3. Si todas las clases de simetra del sistema hexagonal estn caracterizadas por la presencia de un E6 coincidente con el eje cristalogrfico principal, necesariamente en el primer trmino del smbolo para cada una de ellas deber figurar un 6 o 6 De la misma manera y tendiendo en cuenta que a las

    Figura 9: localizacin de los ejes de simetra en 432 respecto a un esquema cbico.

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    clases del sistema trigonal las caracteriza la presencia de un S3, el primer termino para cada una de ellas deber tener un 3 o 3

    Para el sistema tetragonal, el smbolo consta de tres trminos, el primero de ellos especifica la simetra a lo largo del eje cristalogrfico c, el segundo la de los laterales a y b y el tercero la de las bisectrices a a y b. todos los smbolos de las clases de este sistema tienen en primer termino un 4 o 4que evidencia la presencia de un S4 o S4coincidiendo con la direccin del eje cristalogrfico principal.

    En el sistema rmbico, a cada eje cristalogrfico le corresponde un termino del smbolo, al eje a el primero, b el segundo y c el tercero. A cada una de las clases del sistema monoclnico les corresponde un smbolo de solo un trmino, este indica simetra binaria y deber coincidir con el eje cristalogrfico b.

    En el sistema triclnico, la simetra es nfima y el smbolo consta solo de un trmino que indica la presencia o ausencia de centro de simetra, -1 equivale a -i. los cristales que pertenecen a la clase triclnica pedial de smbolo 1, carecen de elementos de simetra.

    Parmetros o ndices de Weiss

    Las caras cristalinas se definen mediante su interseccin con los ejes cristalogrficos y determinar su relacin con ellos, si los corta o si es paralela a los mismos o si corta a los tres. Tambin hay que terminar a qu distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes. En la Figura 10 se ve un cristal de azufre del sistema rmbico y su distribucin de caras y ejes. Cuando los parmetros se asignan a las caras de un cristal sin conocimiento de las dimensiones de la celda unitaria, una cara que corta a los tres ejes reciben la asignacin arbitraria de los parmetros unitarios 1a, 1b, 1c. Esta cara llamada cara unitaria, es generalmente la mayor en el caso en que haya diversas caras que cortan los tres ejes.

    La Figura 11 muestra un cristal rmbico con caras que todas ellas cortan a los tres ejes. La cara mayor y sombreada y que corta a los tres ejes cristalogrficos en sus extremos positivos se toma como la cara unitaria y sus parmetros unitarios son 1a, 1b, 1c. La interseccin de la cara ms pequea por encima de sta puede estimarse prolongando las aristas de esta cara en la direccin de los ejes a y b. Los parmetros de la cara superior se convierten en 2a, 2b, 2/3c respecto a la cara unitaria. Estas intersecciones pueden dividirse por el factor comn 2, resultando 1a, 1b, 1/3c. Este ejemplo ilustra cmo los parmetros expresan valores relativos y no medidas reales de corte.

    Figura 10: interseccin de algunas caras cristalinas en la parte superior de un cristal rmbico.

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    Figura 11: interseccin relativa de las caras sobre un cristal rmbico, todas ellas cortan los tres ejes cristalogrficos.

    ndices de Miller

    Se utilizaron muchos mtodos de notacin para explicar la interseccin de las caras cristalinas con los ejes cristalogrficos. El mas utilizado son los ndices de Miller, que tiene mas ventajas que los parmetros antes discutidos. Los ndices de Miller de una cara consisten en una serie de nmeros enteros que fueron deducidos de sus parmetros por la inversin. Los ndices de una cara estn dados de forma que los tres nmeros se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente y por consiguiente, las letras que definen a los ejes se omiten. Los ndices expresan una relacin, pero al objeto de simplificar se omiten tambin (Figura 12).

    Figura 12: intersecciones e ndices de Miller de algunas caras modificando los vrtices de un cubo.

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    Para las dos caras de la Figura 11 los parmetros son: 1a, 1b, 1c y 2a, 2b, 2/3c. Invirtiendo resulta: 1/1, 1/1, 1/1 y 1/2, 1/2, 3/2, respectivamente. Para la cara unitaria el ndice de Miller resulta (111) y (113) luego de multiplicar por 2. El ndice se lee uno uno uno y no se utilizan las comas, salvo que aparezcan nmeros de dos dgitos, por ejemplo: (1,14,3). En las caras que cortan los extremos negativos de los ejes cristalogrficos, se sita una lnea sobre el nmero apropiado, como se ilustra en la figura 13. Por ejemplo: (111) se lee: uno menos uno uno y se escriben entre parntesis.

    Figura 13: ndices de Miller respecto a los extremos positivos y negativos de los ejes cristalogrficos.

    Cuando se desconocen las intersecciones exactas se puede utilizar el smbolo general (hkl), donde cada letra h, k, l representa un nmero entero sencillo y son los recprocos de intersecciones racionales pero no definidas a lo largo de los ejes a, b y c. el smbolo tambin indica que una cara corta a los tres ejes cristalogrficos. Si una cara es paralela a uno de los ejes cristalogrficos y corta a los otros dos, el smbolo resulta:

    (0kl) cara paralela al eje a (h0l) cara paralela al eje b (hk0) cara paralela al eje c

    Una cara paralela a dos de los ejes se considera que corta al tercero en la unidad y los ndices son:

    (100) cara corta al eje a (010) cara corta al eje b (001) cara corta al eje c

    Forma

    De manera vulgar el vocablo forma se usa para dar idea del aspecto externo, sin embargo, en cristalografa, la forma externa se designa con la palabra hbito, mientras que forma constituye un grupo de caras cristalinas, las cuales tienen todas la misma relacin con los elementos de simetra y exhiben las mismas propiedades fsicas y

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    qumicas, pues todas tienen debajo los mismos tomos en el mismo orden geomtrico. El nmero de caras que pertenecen a una forma viene determinado por la simetra de la clase cristalina.

    Aunque las caras de una forma pueden tener diferentes tamaos y conformaciones debido a la mala formacin del cristal, la semejanza es evidenciada por estras naturales, corrosiones o crecimientos (Figura 14). Estas diferencias pueden verse luego de aplicar cido sobre el cristal.

    Figura 14: apariencia de distintas formas: a) cuarzo hexagonal, divisin rombodrica, b) apofilita tetragonal, c) pirita cbica.

    Las formas se denominan encerrando a los ndices de Miller entre llaves tal como {hkl}, {010}, etc. A la hora de determinar los ndices para determinar una zona conviene utilizar los positivos. Por lo tanto, (111) se refiere a una cara especifica, mientras que {111} abarca a las ocho caras.

    En cada clase cristalina existe una forma, cuyas caras cortan a los tres ejes a diferente distancia que se conoce como forma general {hkl}. Todas las dems pueden presentarse como formas especiales.

    Formas abiertas

    Las formas abiertas son caras o conjuntos de caras equivalentes que conforman planos infinitos y que por s solas no cierran el espacio. Su existencia solo es concebible en asociacin con otras formas que las puedan cerrar. Son formas abiertas: pedin, pinacoide, domo, esfenoide, prismas y pirmides (Figura 15).

    Formas cerradas

    Un grupo de caras equivalentes constituyen una forma cerrada si en conjunto cierran el espacio y aunque pueden combinarse con otras, por si solas, pueden constituir un cristal. Son formas cerradas: bipirmides, biesfenoides, romboedro, trapezoedro, escalenoedros y todas las presentes en el sistema cbico (Figura 15).

    Formas simples y combinadas

    Una forma es simple cuando constituye por si misma un cristal y deber ser una forma cerrada. Si en cambio se asocian dos o ms formas, cerradas o abiertas, con idntica simetra, stas se consideran como combinadas. Algunas combinaciones son

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    caractersticas para ciertos cristales, como ser el cuarzo que presenta una asociacin de romboedro, trapezoedro diagonal y prisma hexagonal (Figura 15).

    Tipos de formas

    Pedin: forma que corresponde a una sola cara.

    Pinacoide: figura formada por dos caras paralelas.

    Domo: dos caras no paralelas, simtricas con relacin a un plano de simetra.

    Esfenoide: dos caras no paralelas, simtricas con relacin a un eje de rotacin binario.

    Biesfenoide: forma cerrada de cuatro caras, en la que las dos caras del esfenoide superior alternan con las dos caras del esfenoide inferior.

    Prisma: es una forma abierta compuesta de 3, 4, 6, 8 o 12 caras, todas ellas paralelas al mismo eje.

    Pirmide: es una forma abierta compuesta de 3, 4, 6, 8 o 12 caras no paralelas entre si que se cortan en un punto.

    Escalenoedro: forma cerrada de 8 caras el tetragonal o 12 caras el hexagonal, con las caras agrupadas en pares simtricos. En las formas de 8 caras aparecen dos pares de caras arriba y dos pares de caras abajo relacionadas entre si por un eje de giro inversin cuaternario. Las 12 caras del escalenoedro hexagonal presentan tres pares de caras arriba y tres pares de caras abajo en posicin alternada relacionadas entre si por un eje de giro inversin ternario.

    Trapezoedro: forma cerrada de 6, 8, 12 o 24 caras con 3, 4 o 6 caras superiores giradas con respecto de las 3, 4 o 6 caras inferiores. Estas formas son el resultado de un eje ternario, cuaternario o senario combinado con ejes binarios perpendiculares. Adems existe un trapezoedro isomtrico de 24 caras.

    Bipirmide: forma cerrada de 6, 8, 12, 16 o 24 caras. Las bipirmides pueden considerarse como formadas por reflexin de una pirmide mediante un plano de simetra horizontal.

    Romboedro: seis caras que constituyen una forma cerrada. Tres de ellas en la parte superior alternan con las otras tres de la parte inferior giradas entre si 60.

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    Figura 15: formas generales y algunos elementos de simetra.

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    Figura 15 (cont.): formas generales y algunos elementos de simetra.

    Tipos de caras

    Tipos de caras: en relacin con los ejes cristalogrficos las caras de los cristales pueden tener las siguientes posiciones generales:

    - Cara Pinacoidal: cuando corta a un eje y es paralela a los otros dos. - Cara Prismtica: cuando corta a dos ejes y es paralela al tercero. - Cara Piramidal: cuando corta a los tres ejes.

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    Zonas

    En muchos cristales existe una clara disposicin de un grupo de caras de modo que sus aristas de interseccin sean mutuamente paralelas. Consideradas en conjunto, estas caras forman lo que se conoce como zona. La lnea a travs de centro del cristal que sea paralela a aquella arista, se conoce con el nombre de eje de zona. Una zona puede simbolizarse con los ndices de Miller y se denota entre corchetes.

    En la Figura 16 puede observarse el eje de zona paralelo al eje c, por lo que la zona se denota [001] y est integrada por las caras que no cortan al eje c, como ser: (100), (010), (100) y (010).

    Figura 16: eje de zona paralelo al eje c.

    Hbito cristalino

    El trmino hbito se usa para designar las formas generales de los cristales como cbica, octadrica, prismtica. El hbito cristalino vara con el medio ambiente y es rara vez los cristales muestran una forma geomtrica ideal. Pero aun en cristales mal formados o defectuosos, la evidencia de la simetra est presente en el aspecto fsico de las caras y en la disposicin simtrica de los ngulos interfaciales.

    Proyecciones cristalinas

    La proyeccin de un cristal es un medio de representar un medio de representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional. Por ejemplo, la proyeccin clinogrfica es una manera de ilustrar a un cristal con una perspectiva tal que parece una fotografa de dos dimensiones del mismo. Tambin existe la proyeccin esfrica y la estereogrfica.

    Proyeccin esfrica

    Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideracin de su forma o tamao, podemos usar la proyeccin esfrica. Si bien esta proyeccin es tridimensional, es la base para la estereogrfica en dos dimensiones. Para entender como se genera la proyeccin esfrica imaginemos un modelo hueco de un cristal que contenga en su interior un punto brillante de luz. Situemos ahora el cristal dentro de una

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    esfera hueca de material traslcido y hagamos que el punto luminoso ocupe su centro. Si hacemos un orificio en cada cara del cristal de tal manera que el rayo de luz que emerge por el orificio sea perpendicular a la cara, estos rayos de luz incidirn en la superficie interna de la esfera y harn una mancha brillante. Si marcamos en la esfera la posicin de cada mancha de luz y eliminamos el cristal, tendremos un registro permanente de las caras del cristal. Cada una de estas caras est representada en la esfera por un punto denominado polo de la cara. sta es la proyeccin esfrica (Figura 18).

    La posicin de cada polo y por lo tanto, sus relaciones angulares con los dems pueden fijarse mediante sus coordenadas angulares en la esfera. Esto es similar a las coordenadas de latitud-longitud en la superficie terrestre. Por ejemplo, las coordenadas 74 00 Longitud Oeste y 40 45 Latitud Norte sita el punto de ubicacin de la ciudad de New York. Esto significa que el ngulo medido en el centro de la Tierra, entre el plano del Ecuador y una lnea trazada desde el centro de la Tierra a aquel punto en New York es exactamente 40 45 y el ngulo entre el meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto citado, medido hacia el Oeste en el plano del Ecuador, es exactamente 74 00 (Figura 17).

    En la Tierra la latitud se mide en grados Norte o Sur desde el Ecuador, mientras que el ngulo que se emplea en la proyeccin esfrica es la colatitud o ngulo polar (), que se mide en grados desde el polo Norte. El polo Norte de una proyeccin cristalina tiene por tanto una colatitud de 0 y en el Ecuador 90. Son positivos los valores correspondientes al hemisferio superior y negativos los del hemisferio inferior. La ciudad de New York tendra un valor de de 49 15.

    Figura 17: latitud y longitud de la ciudad de New York.

    La longitud cristalina del polo de una cara en proyeccin esfrica se mide en grados hasta 180, en sentido de las agujas del reloj o en sentido inverso desde el meridiano origen anlogo al meridiano de Greenwich. Para situar este meridiano de referencia, el cristal se orienta de manera convencional con la cara (010) a la derecha del cristal. El

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    meridiano que pase por el polo de esta cara se toma como origen. As para determinar cualquier la longitud cristalina de cualquier cara del cristal, se hace pasar un meridiano por el polo de esta cara y el ngulo entre ste y el meridiano cero se mide en el plano del Ecuador. Este ngulo se designa con la letra . Son positivos los valores correspondientes al hemisferio superior y negativos los del hemisferio inferior. La ciudad de New York tendra un valor de de 74 00.

    Si la esfera se corta por un plano, la interseccin ser un crculo. Los crculos de dimetro mximo son los formados por planos que pasan por el centro y tienen por dimetro el de la esfera. Estos son los crculos mximos. Todos los dems crculos formados por otros planos que corten la esfera son crculos menores. El crculo mximo que pase por el polo Norte y Sur de la proyeccin se denomina crculo mximo vertical.

    Figura 18: proyeccin esfrica de algunas formas isomtricas.

    Proyeccin estereogrfica

    Es importante al reducir la proyeccin esfrica de un cristal a una superficie plana, que se preserve la relacin angular de las caras de modo que revelen la verdadera simetra, lo que se logra mediante la proyeccin estereogrfica.

    La proyeccin estereogrfica es una representacin en un plano de la mitad de la proyeccin esfrica, usualmente el hemisferio Norte. El plano de la proyeccin es el plano ecuatorial de la esfera y el crculo primitivo que limita a la proyeccin es el mismo Ecuador. Si se fuera a mirar los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio Norte de la proyeccin esfrica con el ojo puesto en el polo Sur, las intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial seran las que indicaran los polos correspondientes en la proyeccin estereogrfica. As se construye una proyeccin estereogrfica trazando lneas desde el polo Sur a los polos de las caras del hemisferio Norte. Los polos

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    correspondientes en la proyeccin estereogrfica se sitan donde estas lneas cortan al plano ecuatorial (Figura 19).

    Puesto que en la prctica se sitan los polos directamente en la proyeccin estereogrfica, es necesario determinar las distancias estereogrficas en relacin con los ngulos de la proyeccin esfrica. La Figura 19 representa una seccin vertical a travs de la proyeccin esfrica de un cristal en el plano meridiano cero esto es, el plano que contiene el polo de (010). N y S son el polo Norte y el polo Sur de la esfera de proyeccin, respectivamente y O es el centro del cristal proyectado. Consideremos la cara (011). OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de esta cara en la proyeccin esfrica. La lnea desde el polo Sur, SD, corta la lnea del plano del Ecuador FG en el punto D que es el polo estereogrfico de (011). El ngulo del tringulo NOD es el doble que el ngulo de DOS, o sea, =/2. Para diferenciar los polos del hemisferio superior de los del hemisferio inferior se marcan los primeros con cruces o puntos negros y los segundos con crculos.

    Figura 19: relacin entre la proyeccin esfrica y la estereogrfica (dibujo superior) y seccin de la esfera de proyeccin mostrando la relacin entre los polos esfricos y los estereogrficos (dibujo inferior).

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    Cuando los polos de las caras del cristal se sitan estereogrficamente como se acaba de explicar, se hace patente la simetra de la distribucin (Figura 20) y tambin la distribucin quedan plasmadas todas las caras que pertenecen a una determinada zona.

    Figura 20: proyeccin estereogrfica de algunas caras del sistema isomtrico.

    Plantillas estereogrficas - red de Wulff

    En la proyeccin estereogrfica se facilita mucho la medicin y trazado de ngulos mediante una plantilla. En la Figura 21 se representa una de 5 cm de radio, conocida como red de Wulff en honor a un cristalgrafo ruso, G. V. Wulff. Tanto los crculos mximos como los menores estn dibujados en la plantilla a intervalos de 2 grados. Sobre ella pueden situarse el conjunto de polos correspondientes a la proyeccin de un cristal y luego leer correctamente los ngulos entre dos caras cualesquiera.

    Para ubicar el polo relacionado a una cara cuyos valores de coordenadas polares se conocen, se procede de la siguiente manera:

    1) se seala con una marca sobre un papel transparente el valor de sobre el crculo mximo ecuatorial.

    2) se gira el papel transparente hasta hacer coincidir la marca anterior con un crculo vertical NS-EO.

    3) se marca el valor correspondiente a teniendo en cuenta que el valor 0 coincide con el centro de la red, este punto es el polo de la cara cuyas coordenadas polares son y .

    El valor angular entre dos caras cualesquiera, pueden obtenerse haciendo coincidir los puntos de sus respectivos polos con uno de los crculos mximos de la red y contando sobre el mismo la cantidad de grados entre ambos.

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    Figura 21: plantillas estereogrficas - red de Wulff.

    Orientacin de los cristales

    Los ejes cristalogrficos pueden ser usados como un sistema de referencia para determinar la orientacin de los cristales sobre el plano de proyeccin, la red de Wulff.

    En los sistemas cbico, tetragonal y rmbico, el eje c coincide con la red perpendicular al centro del plano de proyeccin, los restantes a y b, se ubican segn los dimetros NS y EO de la red, respectivamente.

    En los sistemas hexagonal y trigonal el eje c es normal al centro de la red, los dems yacen sobre el plano de proyeccin a 120 unos de otros, a2 debera ubicarse segn el dimetro EO.

    En el sistema monoclnico el eje c es vertical y emerge desde el centro de la red, el eje b yace segn el dimetro EO y el eje a se ubica sobre el plano vertical que tambin contiene al eje c. debido a que estos dos ltimos no son ortogonales, se deber conocer el valor angular de para establecer el punto de emergencia del eje a positivo.

    En el sistema triclnico, el eje c es vertical al plano estereogrfico, tanto los ejes a y b debern ubicarse a partir de la medida de los ngulos interfaciales.

    Para ubicar un cristal en la superficie de proyeccin tomando como referencia sus elementos de simetra, deber tenerse en cuenta la relacin que guardan estos con los ejes cristalogrficos y tener en cuenta lo antes explicado.

    El dominio fundamental y las siete formas derivadas

    El dominio fundamental es una porcin del espacio de la esfera de proyeccin que, por accin de las operaciones de los elementos de simetra de la clase correspondiente, llena todo el espacio sin dejar huecos ni superponerse a otros dominios.

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    En la Figura 22 se representan los dominios fundamentales de todos los sistemas cristalogrficos, conformados por tringulos esfricos, los que normalmente estn delimitados por los planos de simetra correspondiente a la holoedra. En los sistemas monoclnicos y triclnicos los dominios quedan definidos por los crculos de zonas de los ejes cristalogrficos.

    El polo de una cara puede tener siete posiciones dentro del dominio. Las restantes caras equivalentes del cristal se repiten en el espacio mediante las operaciones de simetra correspondientes a los elementos de simetra de cada una de las clases.

    El polo 1 se dispone en el interior del dominio y corresponde a una cara que corta a todos los ejes a diferente distancia, por proyecciones se obtiene la forma general {hkl}, que le da nombre a la clase de simetra correspondiente. La forma general es siempre la que tiene el mayor nmero de caras dentro de las siete de su clase.

    Los polos 2, 3 y 4 se ubican en los lados del tringulo esfrico y pueden ocupar cualquier posicin a lo largo de ellos. En los vrtices del tringulo se ubican los polos 5, 6 y 7 y sus posiciones son invariables. Cualquiera de las seis formas generadas a partir de la proyeccin de cada uno de ellos se denomina forma especial.

    Figura 22: dominios fundamentales de los sistemas cristalinos.

    En la Figura 23 se distinguen los campos positivos-negativos, derechos-izquierdos y superiores-inferiores.

    Figura 23: posiciones relativas de las formas en los sistemas cristalinos.

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    Procedimiento en la proyeccin de cristales

    Resulta til seguir la siguiente metodologa:

    1) esquematizar el cristal en estudio (proyeccin clinogrfica) 2) determinar todos sus elementos de simetra 3) reconocer el sistema cristalogrfico y la clase de simetra 4) orientar el cristal en la red de Wulff 5) efectuar la proyeccin de los elementos de simetra 6) determinar la cantidad de formas presentes 7) delimitar sobre la red de Wulff los dominios correspondientes al sistema que

    pertenece el cristal, sobre la base lograda marcar los polos de las caras que caigan sobre el dominio fundamental, teniendo en cuenta que: a) primero marcar, si los hubiera, los polos de las caras sobre los vrtices del tringulo esfrico, o sea, los polos 5, 6 y 7. b) luego marcar los polos restantes sobre los lados e interior del tringulo.

    8) multiplicar los polos marcados en el punto anterior por medio de las operaciones vinculadas a los elementos de simetra presentes.

    9) sealar los nombres y notacin de todas las formas presentes en el cristal. Debe controlarse que estn todas las sealadas en el punto 7 y revisar que todas las caras del cristal hayan sido proyectadas.

    A continuacin un ejercicio a modo de ejemplo:

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    Las 32 clases cristalinas

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    Maclas

    En general los minerales carecen de caras cristalinas bien formadas, pero su origen cristalino y su orden interno, se pone de manifiesto en sus caractersticas fsicas, pticas y a partir tambin de la difraccin de rayos X. Bajo ciertas condiciones dos o ms granos minerales o cristales crecen conjuntamente de forma racional y simtrica. Tales crecimientos conjuntos controlados cristalogrficamente, se denominan maclas o cristales gemelos. Las direcciones reticulares de una unidad en una macla poseen una relacin cristalogrfica definida con las direcciones reticulares de la otra. Las operaciones que pueden relacionar un cristal con su contrapartida en la macla son las siguientes:

    1. reflexin por un plano especular (plano de macla) 2. rotacin alrededor de una direccin cristalina comn a ambas (eje de macla) 3. inversin respecto de un punto (centro de macla)

    Las maclas se definen por su ley de macla, la cual indica si hay un centro, un eje o un plano de macla y da la orientacin cristalogrfica de dichos ejes o planos.

    La superficie segn la cual los dos cristales individuales estn unidos en macla se conoce como superficie de composicin de macla. Si esta superficie es un plano, se la conoce como plano de composicin, que puede ser el plano de macla. Si la ley de macla puede ser definida solo por un plano de macla, ste es siempre paralelo a una cara posible de un cristal, pero nunca lo es a un plano de simetra. El eje de macla es un eje zona o una direccin perpendicular a un posible plano reticular, pero nunca puede ser un eje de simetra par (2, 4 o 6) si la rotacin considerada es de 180. En algunos cristales una rotacin de 90 alrededor de un eje binario puede ser considerada como una operacin de macla.

    Los cristales maclados se designan generalmente con el nombre de maclas de contacto o maclas de penetracin. Las maclas de contacto tienen una superficie de unin definida, que separa los dos cristales, y la macla viene definida por un plano de macla tal como el {111} en la Figura 24. Las maclas de penetracin estn formadas por distintos cristales interpenetrados que tienen una superficie de unin irregular y la ley de macla queda definida por un eje de macla (Figura 25).

    Figura 24: a) octaedro con un plano de macla posible b-b. b) octaedro maclado sobre {111} en espinelo.

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    Figura 25: maclas de penetracin. a) dos cubos de fluorita interpenetrados maclados segn [111] como eje de macla. b) dos cristales de piritoedro en la pirita formando la cruz de hierro con eje de

    macla [001]. c) ortosa mostrando la ley de macla de Carlsbad en la cual los cristales se interpenetran maclados por una rotacin de 180 alrededor del eje c.

    Maclas repetidas o mltiples se forman por tres o mas partes macladas segn la misma ley. Si todas las superficies de composicin sucesivas son paralelas, el grupo resultante es una macla polisinttica (Figura 26).

    Figura 26: a) albita maclada segn {010}. b) el mismo maclado polisinttico bajo un microscopio de polarizacin, donde la relacin de lminas claras y oscuras estn relacionadas con una

    reflexin sobre {010}.

    Si los planos de composicin sucesivos no son paralelos, resulta la macla cclica (Figura 27). Cuando un gran nmero de cristales en una macla polisinttica estn estrechamente agrupados, las caras cristalinas o las exfoliaciones que cruzan los planos de composicin muestran estras, debido a las posiciones invertidas de los cristales adyacentes.

    b

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    Figura 27: maclado cclico en a) rutilo, b) crisoberilo.

    Origen de las maclas

    Las maclas de crecimiento son el resultado de un emplazamiento de tomos o iones sobre la parte exterior de un cristal en crecimiento de tal forma que la distribucin regular de la estructura del cristal original y por lo tanto de su red, se ve interrumpida. La nueva estructura formada constituir una macla. Este tipo de maclas constituyen accidentes que tienen lugar durante el crecimiento libre o ser errores de nucleacin y puede considerarse como macla primaria. Se reconoce por la presencia de un lmite con frecuencia irregular entre las unidades de la macla o por la interpenetracin de ambas.

    Las maclas de transformacin se presentan en los cristales luego de su formacin y representan un maclado secundario. Pueden tener lugar cuando una sustancia cristalina formada a una temperatura relativamente alta se enfra, con lo cual adopta una estructura de simetra distinta a la estable a temperaturas superiores.

    Por ejemplo, podra ser la transformacin presente para el KAlSi3O8 donde pasa desde sanidina a microclino, pasando por ortoclasa u ortosa. El microclino presenta la forma maclada que se ilustra en la Figura 28, conocida con el nombre de maclas de microclino, tartn o arpillera. El diagrama entramado se ve bajo el microscopio, entre polarizadores cruzados y corresponde a dos tipos de maclas que responden a las leyes de la albita y del periclino. Esta combinacin de maclas es una caracterstica clave en el cambio de simetra, desde el sistema monoclnico de la ortosa al sistema triclnico del microclino. En esta transicin desde una temperatura ms elevada se pierden el plano de simetra y el eje de rotacin binaria, dando lugar a una nucleacin de dominios triclnicos que estn relacionados por maclas.

    Figura 28: microfotografa de un maclado de transformacin en el microclino en un microscopio de polarizacin. La seccin de la fotografa es paralela a (001) y las leyes de macla son albita y periclino.

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    Las maclas de deslizamiento (o deformacin) tienen lugar cuando una sustancia cristalina se deforma por aplicacin de una tensin mecnica. Es otro tipo de macla secundaria. Si la tensin produce deslizamiento de los tomos a escala pequea, se producen cristales maclados Si el deslizamiento es grande puede ocurrir la ruptura del cristal sin formacin de maclas. La macla de deformacin es muy corriente en los metales y en las calizas deformadas, como se observa en cristales de calcitas maclados polisintticamente. De manera semejante, las plagioclasas sometidas a metamorfismo pueden presentar maclas de deformacin.

    Ley de maclas

    Sistema triclnico

    Los feldespatos son los mejores ejemplos de maclas en el sistema triclnico. Estn casi siempre maclados segn la ley de albita, con el segundo pinacoide {010} como plano de macla (Figura 26).

    Otro importante tipo de macla en los feldespatos triclnicos es la ley de periclino, con el eje de macla {010}. Cuando como ocurre con el microclino, las maclas de albita y periclino estn ntimamente mezcladas y solo por medio de un microscopio puede verse el diagrama tpico de entramado (Figura 28).

    Sistema monoclnico

    En el sistema monoclnico, las maclas segn un pinacoide {100} y {001} son las ms corrientes. La Figura 29 representa una macla de yeso con el primer pinacoide {100} como plano de macla. En la Figura 30a se observa una macla de Manebach de la ortosa, en la cual el pinacoide bsico {001} es el plano de macla. La ortosa forma tambin una macla de penetracin de acuerdo con la ley de Carlsbad, en la cual el eje cristalogrfico c es el eje de macla y los integrantes se unen por una superficie irregular, aproximadamente paralela a {010} (Figura 25c). La macla de Baveno se encuentra tambin en la ortosa, donde el plano de macla es paralelo a una cara del prisma de primera especie (Figura 30b).

    Figura 29: cristal de yeso con plano de macla {100}.

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    Figura 30: maclas de a) Manebach y b) Baveno en el feldespato.

    Sistema rmbico

    En el sistema rmbico, el plano de macla es frecuentemente paralelo a una cara del prisma. La macla de contacto del aragonito (Figura 31a), la macla cclica del mismo mineral, en seccin transversal (Figura 31b) y la macla cclica de la cerusita (Figura 31c) estn todas macladas en {110}.

    Figura 31: a - b) macla de contacto en aragonito sobre {110}, c) malca ciclica de la cerusita sobre {110}.

    El mineral estaurolita, que es monoclnico con un ngulo de 90, es pseudormbico y morfolgicamente aparece como un mineral rmbico. Presenta dos tipos de maclas de penetracin. En una con {031} como plano de macla se produce una cruz en ngulo recto (Figura 32). En la otra con el plano de macla {231} resulta una cruz con ngulo de 60.

    Figura 32: macla de estaurolita, a) plano de macla {031}, b) plano de macla {231}.

    (c)

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    Sistema tetragonal

    El tipo de macla ms comn en el sistema tetragonal tiene {011} como plano de macla. Cristales de casiterita y rutilo, maclados segn est ley, se muestran en la Figura 33.

    Figura 33: maclas de casiterita y rutilo sobre {011}, a) casiterita, b) rutilo.

    Sistemas hexagonal y trigonal

    En la divisin hexagonal de este sistema, las maclas son raras y poco importantes, en cambio, en la divisin rombodrica, especialmente la calcita, sirven como ilustracin de tres leyes de macla. El plano de macla puede ser {0001}, con el eje c como eje de macla (Figura 34a) o puede ser el romboedro positivo {1011}. Pero el maclado en el romboedro negativo {01-12}, es ms corriente y puede originar maclas de contacto (Figura 34b) o maclas polisintticas como resultado de las presin.

    Figura 34: maclas de calcita, a) maclado sobre {0001}, b) maclado sobre {0112}.

    En la clase trapezodrica trigonal, el cuarzo nos muestra diversos tipos de maclas. En la Figura 35a se representa la ley de Brasil, cuyo plano de macla es perpendicular al eje cristalogrfico a. Aqu los integrantes, uno derecho y otro izquierdo, han formado una macla de penetracin. En la Figura 35b se muestra una macla de Delfinado del tipo de penetracin, con el eje c como eje de macla y estn compuestas por dos individuos derechos o izquierdos. En la Figura 35c se ilustra la ley de Japn con el plano de macla {1122}.

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    Figura 35: maclas de cuarzo, a) maclado de Brasil, b) macla de Delfinado, c) macla japonesa.

    Sistema cbico

    En la clase hexaquisoctadrica del sistema cbico, el eje de macla es un eje ternario y el plano de macla es as paralelo a la cara del octaedro. La Figura 24 nos muestra un octaedro con el plano bb como posible plano de macla y un octaedro maclado segn est ley, formado una macla de contacto. Este tipo de macla es comn en el espinelo y de aqu su nombre de macla de espinelo. La Figura 25a representa dos cubos, formando una macla de penetracin con el eje ternario de giro inversin como eje de macla.

    Polimorfismo

    La habilidad de una sustancia qumica especfica para cristalizar en ms de un tipo de estructura se denomina polimorfismo. Las diversas estructuras de tal elemento qumico o compuesto se llaman formas polimorfas o polimorfos. Ejemplos de algunos minerales polimorfos se dan en la Tabla 3. En el cambio de una forma polimorfa de una sustancia en otra se distinguen tres tipos principales de mecanismos: desplazamiento, reconstructivo y orden-desorden.

    Tabla 3: ejemplos de minerales polimorfos.

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    En una reaccin polimorfa por desplazamiento el ajuste interno al pasar de una forma a otras es muy pequeo y requiere poca energa. La estructura por lo general, queda totalmente intacta y los enlaces entre los iones no deben romperse, solo es necesario un ligero desplazamiento de los tomos (o iones) y un reajuste de los ngulos de enlace entre los iones. Este tipo de transformacin es instantneo y reversible. Por ejemplo, el pasaje de la forma del cuarzo bajo al alto, por encima de los 573 C. Como la forma de alta temperatura del cuarzo tiene mayor simetra que la forma de baja temperatura, puede resultar una macla como consecuencia de la transformacin (macla de transformacin), como ser la macla del Delfinado, representacin macroscpica de este fenmeno.

    En una reaccin polimorfa reconstructiva el reajuste interno de ir de una forma a otra es externo. Lleva consigo la ruptura de enlaces atmicos y una reunin de las unidades estructurales en una distribucin diferente. Este tipo de transformacin requiere gran cantidad de energa, es muy lenta y no reversible. Un ejemplo es el cambio de tridimita o cristobalita a cuarzo bajo. La cristobalita y la tridimita se forman a altas temperaturas y presiones bajas y es necesaria una gran cantidad de energa para reconstruir la red de SiO2 de la cristobalita y tridimita. Ambos minerales son meta-estables, sin embargo, estn presentes en flujos volcnicos muy antiguos, lo que refleja el importante reajuste de la estructura, como ocurre entre el grafito y el diamante o entre la calcita y el aragonito.

    En la Figura 36 puede observarse las estructuras del polimorfo del carbono, el diamante y el grafito. El diamante tiene una estructura excepcionalmente ligada y con fuertes enlaces, en la cual cada tomo de carbono esta ligado por enlaces poderosos y altamente direccionales a cuatro carbonos vecinos dispuestos en los vrtices de un tetraedro regular. La presencia de hojas de tomos de carbono bastante espaciadas en la estructura, paralelas a los planos {111} explica la exfoliacin prominente del diamante.

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    Figura 36: a) representacin parcial de la estructura del diamante, b) la estructura del grafito en lminas paralelas a {0001}. Las lneas verticales representan los enlaces atmicos entre capas

    sucesivas.

    La estructura del grafito representada en la Figura 36b consta de hojas de anillos hexagonales de seis tomos, en los cuales cada tomo de carbono puede ser considerado como ligado por fuertes enlaces covalentes a sus tres vecinos ms prximo en el plano de la hoja. El cuarto queda libre para vagar por la superficie de la hoja, creando una carga elctrica dispersa que presta al grafito una conductibilidad elctrica relativamente elevada. En contraste con esto y debido a su estructura, el diamante es uno de los mejores aislantes elctricos conocidos.

    Las hojas que componen el cristal de grafito estn apiladas de tal maneras que alternativamente estn en idntica posicin y las hojas intermedias estn desplazadas. Las fuerzas perpendiculares a las hojas son muy dbiles, lo que le produce la perfecta exfoliacin basal y el fcil deslizamiento paralelo a las hojas.

    Existe otro tipo de polimorfismo llamado transformacin orden-desorden. Generalmente se presenta en las aleaciones, pero tambin ocurre en los minerales. Una aleacin de composicin AB con 50% de A y 50% de B puede existir en varios estados de desorden, de los cuales hay dos condiciones extremas, uno completamente desordenado y otro perfectamente ordenado. En un estado perfectamente ordenado, los tomos de A estn distribuidos en una perfecta y regular repeticin respecto de los tomos B (Figura 37a). El tomo A est siempre en una posicin estructural 1 y el tomo B en una posicin estructural 2.

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    Figura 37: Ilustracin esquemtica del polimorfismo orden-desorden en la aleacin A-B.

    En la Figura 37b puede verse un estado algo desordenado respecto a la distribucin atmica de dicha aleacin. Aqu la distribucin no est perfectamente ordenada, pero no llega a ser aleatoria. De cada cuatro posiciones nmero 1, tres estn ocupadas por A (en valor medio) y una est ocupada por B (un valor medio). Lo opuesto ocurre con las posiciones nmero 2. En otras palabras, en la Figura 37b la relacin de probabilidades de ocupacin de la posicin 1 por los tomos A y B es 3:1. En la Figura 37c se muestra de manera esquemtica un estado de desorden total para la aleacin AB. El desorden total, a escala atmica implica igual posibilidad de encontrar tomos A o B en un lugar especfico de la estructura. Dicho de otro modo, la probabilidad de que una posicin atmica determinada sea ocupada por un tipo de tomo en lugar de otro es igual a 1. Esto significa que en una representacin grafica como la de la Figura 37c, cada posicin atmica puede ser representada igualmente por la ocupacin de A o de B (en sentido estadstico).

    Un ejemplo de polimorfismo orden-desorden en un mineral es el presentado por el feldespato potsico (KAlSi3O8), en el cual el Al ocupa una posicin estructural idntica al Si, a quien reemplaza en el mineral. La forma de alta temperatura, la sanidina, muestra una distribucin desordenada de Al en la red de SiO2. El feldespato de baja temperatura, el microclino, en cambio muestra una distribucin ordenada de Al en la red de SiO2. Existen tambin estadios intermedios entre la sanidina y el microclino.

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    Politipismo

    El politipismo es una variedad de polimorfismo, cuando tiene lugar dos polimorfos solo difieren por en el apilamiento de lminas o capas idnticas en dos dimensiones. Las dimensiones perpendiculares a las lminas o capas de apilamiento no sern idnticas sino mltiplos de ellas. Como ocurre con el ZnS, donde la nica diferencia entre la esfalerita y la wurtzita es el empaquetamiento. Tambin ocurre lo mismo con las micas.

    Pseudomorfismo

    La existencia de un mineral con la forma cristalina externa de otra especie mineral se denomina pseudomorfismo. Si un mineral se altera de forma que la estructura interna cambie, pero la forma externa prevalezca, se dice que se ha formado una pseudomorfosis o falsa forma. Por ejemplo, la pirita Fe2S puede convertirse en limonita FeO OH nH2O pero conserva su aspecto externo.

    La pseudomorfosis se denomina de acuerdo con la manera segn la cual se form:

    1) sustitucin: en este tipo existe una renovacin gradual del material primario con un simultneo reemplazo del mismo por otro, sin reaccin qumica entre ambos. Un ejemplo es la sustitucin por slice de las fibras de la madera hasta formar una madera petrificada.

    2) incrustacin: se deposita una capa de un mineral sobre los cristales de otro. Por ejemplo, cuarzo formado sobre cristales de fluorita. Luego la fluorita puede desaparecer por disolucin y su presencia anterior queda indicada por el molde que dej en el cuarzo.

    3) alteracin: se forma a partir de una adicin parcial de material nuevo o por una renovacin parcial del material primario. La transformacin de anhidrita CaSO4 a yeso CaSO4 2H2O o el cambio de galena PbS a anglesita PbSO4. Puede encontrarse ncleos del mineral primario sin alterar.