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DISEO DE TUBERASSIMPLES
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Tipos de Problemas enHidrulica de Conductos aPresin
Se clasifican de acuerdo con la variable desconocidaenel problema. Las variables que interactan en un
problema de tuberas son:
Variables relacionadas con la Tubera en si: d, l y ks. Variables relacionadas con el Fludo: r, m.
Variables relacionadas con el Esquema del sistema: S km. Variables relacionadas con la energa impulsora del fluido: H, P
Otras variables: g, Q o V
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Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos a
Presina) COMPROBACIN DE DISEO:
La tubera ya existe (material, dimetro, accesorios) y la
potencia motora se conoce (gravedad o bomba).La incgnita es el caudal que pasa por la tubera. Este tipo de
problema es el tpico en el diseo de redes en el cual se
predimensionan los dimetros.
Variables conocidas Incgnita
d, ks, hf, Skm, Q (v)
r, m, g, l.
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b) CLCULO DE LA POTENCIA REQUERIDA:
Se conoce el caudal demandado y se tiene una tubera conocida
(material, dimetro, longitud, accesorios). Se desea calcular lapotencia necesaria (bomba o diferencia de nivel) para mover elcaudal.
Variables conocidas Incgnitad, ks, Skm, QD H (P =hrQgH)
r, m, g, l.
Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos
a Presin
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c) DISEO EN S DE LA TUBERA:
Se conoce el caudal demandado, la potencia disponible y algunas
caractersticas de la tubera (longitud, accesorios). Se desconoceel dimetro necesario. En cuanto al material de la tuberausualmente se tienen slo 2 o 3 alternativas.
Variables conocidas Incgnital, Skm, QD,, H d
r, m, g, (ks).
Tipos de Problemas en Hidrulica de Conductos a
Presin
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Ecuaciones para el Diseo de Tuberas
SimplesUtilizando la ecuacin de Colebrook-White en conjunto con la de
ecuacin Darcy-Weisbach:
g
V
d
Lfhf
2
2
fd
k
f
s
Re
51.2
7.3log2
110
(1.36)
(1.67)
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Si se plantea una ecuacin de energa entre un embalse(bomba) y un punto en la tubera se obtendr lo siguiente:
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Si el punto 2 es la salida:
;
Es claro que para el punto 1, h1
+ z1
= H, dondeHes la altura del nivel de
la superficie del tanque con respecto alDatum
. Luego:
Luego:
mf hhg
pzg
Vzh r
22
2
211
2
02 gpr
mf hhzH 2
02
2
2 gV
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De esta ltima expresin se puede obtener la siguiente ecuacin, la cual
describe las prdidas por friccin en funcin de las otras variables:
Utilizando la ecuacin de Darcy-Weisbach (Ecuacin 1.13), que tambin
predice estas prdidas, se puede despejar el factor de friccin f:
Reemplazando la ecuacin (2.2) en la ecuacin (1.67) (Colebrook-White)
se obtiene:
g
VkzHh
mf
2
2
2
2
2
2
VL
gdhf
f
VL
gdhf
f
2
gdh
VL
f f 2
1
(2.1)
(2.2)
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El nmero de Reynolds en esta ltima ecuacin puede reemplazarse
por:
Por consiguiente, se obtiene la siguiente expresin:
Finalmente, despejando la velocidad se encuentra una ecuacinexplcita para esa variable:
VdRe
(2.3)
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Esta ltima ecuacin es la base para la solucin de los tres tipos de
problemas relacionados con tuberas simples mencionadosanteriormente.
(2.3)
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a) Comprobacin de Diseo enTuberas Simples
En este caso se conocen todas las caractersticas de la tubera:
longitud, dimetro, rugosidad absoluta y los coeficientes deprdidas menores de cada uno de los accesorios. Tambin se
conocen las propiedades del fluido: la densidad y la
viscosidad dinmica. La incgnita es la velocidad y por
consiguiente el caudal que pasa por la tubera. Obviamente se
deben conocer la cabeza disponible o la potencia y la
eficiencia de la bomba.
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Diagrama de flujo 1: Comprobacinde diseo de tuberas simples
INICIO
Leer d, ks, H, Skm, r, m, z2, L,E
Suponer hf= H-z2
Calcular ks/d
Calcular Vi en la ecuacin (2.3)
Calcular hf ien la ecuacin (2.1)
?
hf ihf i-1 E
Q = Vi A
Imprima Q
PARE
NO SI
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Ejemplo
Para el sistema de riego de un cultivo de mango se tiene
disponible una tubera de 6 en PVC (ks=0.0015 mm), la cual
va a operar con una cabeza topogrfica de 35 m. Cul es el
caudal que puede pasar por la tubera, si la longitud requerida
es 1350 m y el coeficiente global de prdidas menores es de7.6? Para el agua se tienen los siguientes valores:
n=1.14x10-6 m2/s r=1000 kg/m3Siguiendo el diagrama de flujo No. 1 se llega a los siguientes
resultados.
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H (m) hf(m) v (m/s) Shm (m) Q (m3/s)
35 35 2.313 2.07 0.0422
35 32.92 2.237 1.938 0.0408
35 33.06 2.242 1.947 0.0409
35 33.05 2.242 1.946 0.0409
35 33.05 2.242 1.946 0.0409
Luego, el caudal que puede pasar por la tubera es de
40.9 L/s.
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b) Clculo de la Potencia Requerida
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En este caso todas las caractersticas de la tubera son conocidas, al
igual que las del fluido. Se conoce un caudal demandado y se preguntapor la potencia requerida, ya sea de origen gravitacional o mecnico.
Para poder resolver el problema de la potencia requerida es necesario
utilizar un mtodo numrico con el fin de poder averiguar el valor del
factor de friccin f de Darcy en la ecuacin no explcita de Colebrook-
White:
Con el fin de resolver la anterior ecuacin existen muchos mtodos
numricos. A continuacin se explican dos de ellos; el primero es muy
sencillo pero requiere muchas iteraciones. El segundo es ms complejo,
pero tiene la ventaja de que converge en dos o tres iteraciones.
fd
k
f
s
Re
51.2
7.3
log21
10(1.67)
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i) Mtodo de Newton o de Aproximaciones Sucesivas
Para que este mtodo pueda ser aplicado la funcin no explcita debe serde la siguiente forma:
x = g(x)El algoritmo se desarrolla de tal manera que el valor arrojado por lafuncin g(x) en la iteracin i se utilice como argumento x en la iteracini+1. En el caso de la ecuacin de Colebrook-White el mtodo converge en8 10 aproximaciones y es muy sensible al valor inicial de fque se
suponga (semilla). En la figura 2.5 se esquematiza el proceso deconvergencia.
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Diagrama de flujo 2a. Clculodel factor de friccin fpor elmtodo de Newton
INICIO
Leer ks/d, Re, semilla de f
f1= semilla de f
i = 1
?
fi-+1y fi
Imprima fi+1
PARE
NO
SI
2
101Re
51.2
7.3log2
fd
kf
si
fi-+1= fi
i=i+1
?Re< 2200
f = 64/Re
PARE
SI
NO
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La tabla 2.1 muestra la rapidez del proceso de convergencia. En elprimer caso (Re= 20000 ) el mtodo convergi en 10 iteraciones con
precisin a la octava cifra decimal y en el segundo caso ( Re= 200000 )convergi en 8 iteraciones con la misma precisin. Los resultados fueronf= 0.02610147 (Re= 20000) y f= 0.0164104 (Re= 200000).
f x g(x) f f x g(x) f
Re = 20 000 Re = 200 000
0.001 31.622777 4.79681741 0.043460391 0.001 31.6227766 6.74548777 0.02197725
0.04346039 4.7968174 6.40266057 0.024393777 0.02197725 6.74548725 7.9040267 0.01600675
0.02439378 6.4026601 6.16125706 0.026342764 0.01600675 7.90402707 7.79772599 0.01644614
0.02634276 6.1612575 6.19353252 0.026068927 0.01644614 7.79772668 7.80695512 0.01640728
0.02606893 6.1935322 6.18914733 0.026105881 0.01640728 7.80695552 7.80614996 0.01641067
0.02610588 6.1891475 6.18974178 0.026100867 0.01641067 7.80614913 7.80622029 0.016410370.02610087 6.1897414 6.18966123 0.026101547 0.01641037 7.80622048 7.80621406 0.0164104
0.02610155 6.1896608 6.18967216 0.026101454 0.0164104 7.80621335 7.80621469 0.01641039
0.02610145 6.1896727 6.18967055 0.026101468 0.01641039 7.80621572 7.80621448 0.0164104
0.02610147 6.1896703 6.18967088 0.026101465 0.0164104 7.80621335 7.80621469 0.01641039
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CALCULO DEL FACTOR f. METODO DE NEWTON.
f
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
f = f Re=20000 Re=200000
Figura 2.5: Esquema del proceso de convergencia del mtodo de Newton para el
clculo def. La tubera tiene una rugosidad absoluta de 0.0001 y los clculos se
hicieron para nmeros de Reynolds de 20000 y 200000.
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ii) Mtodo de Newton-Raphson
Este mtodo es una aceleracin del mtodo anterior por lo cual resulta ser ms
conveniente; por lo general se requieren solo 3 iteraciones. Sin embargo, la
funcin:
x = g(x)
debe cumplir 3 condiciones especiales para que exista convergencia.
La primera condicin es que exista un intervalo I = (a,b) tal que para
todo x perteneciente a I, la funcin g(x) est definida y pertenezca a I, lo
cual significa que g(x) se aplica a s misma.
La segunda condicin es que la funcin de iteracin g(x) sea continuaen I.
La tercera condicin de convergencia es que g(x) sea diferenciable en I
y que la pendiente de g(x) sea siempre menor que 1 y mayor que -1.
La ecuacin de Colebrook-White cumple con las tres.
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INICIO
Leer ks/d, Re, semilla de f
f1= semilla de f
i = 1
2/1
10
Re
51.2
7.3log2)(
fd
kxF s
i
Re
51.2
7.3
Re
51.2
10
2)('
is
ix
d
kLnxF
1)('
)(1
i
iiii
xF
xxFxx
?xi-+1
xi
xi-+1= xi
i=i+1 f = 1/x2i+1
FIN
NOSI
El Diagrama de Flujo No. 2-b: corresponde al mtodo de
Newton-Raphson, algunasveces conocido como elmtodo de Newtonacelerado. Como se dijoanteriormente este mtodotiene la ventaja de unamayor velocidad deconvergencia; sin embargo,
no siempre se justificadebido a que su proceso deprogramacin es mscomplejo.
?Re< 2200
NO
SI
f = 64/Re
FIN
xi = 1/f11/2
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Figura 2.6: se esquematiza el proceso de convergencia de este mtodo. En este
caso se utiliz una tubera con rugosidad relativa (ks/d) de 0.0001 y un nmero
de Reynolds de 20,000. El valor semilla para ffue 0.002. A pesar de que estevalor estaba bastante lejos del valor real (f= 0.0261) el mtodo convergi muy
rpidamente; sus ventajas sobre el mtodo anterior saltan a la vista.
CALCULO DEL FACTOR f. METODO DE
NEWTON-RAPHSON
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
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INICIO
Leer Q, d, ks, Skm, r, m, h, L
Calcular V = Q/A
Calcular Shm
Calcular Re y ks/d
Calcular f en la ecuacin 1.67utilizando algn mtodo numrico
Calcular H total
Imprima Pot
FIN
Calcular hfen la ecuacin 1.36
QgHPot rh
1
Una vez se pueda calcular el valor del factorde friccin de Darcy f en la ecuacin deColebrook-White el clculo de la potenciarequerida es bastante sencillo. En elDiagrama de Flujo No.3 se esquematizadicho procedimiento de clculo.
Diagrama de flujo 3. Clculo de la potencia en
tuberas simples
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El proceso de diseo es bastante simple porque la ecuacin (2.3) es
explcita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el
Diagrama de Flujo No. 4. Sin embargo, para que converja tiene las
siguientes restricciones:
i. El primer dimetro supuesto tiene ser menor que el dimetro que resulte
en el diseo.
ii. La suma de las prdidas menores debe ser inferior al 30% de las
prdidas por friccin:
S hm 0.3 hf
c) Diseo de Tuberas Simples
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INICIO
Leer Qd, ks, Dd, H, z2, E, L
Suponer dipequeo
Calcular v en la ecuacin 2.3
Q = vA
Calcular hfen la ecuacin 2.1
FIN
Suponer hf= Hz2
Q Qd
hf ihf i-1 E
Q Qd
Imprimir di+1
di+1 = di+Dd
Dim. comercialSiguiente dcomercial
Calcular V en laecuacin 2.3 Q = VA
Dim. comercial
di+1 = di+Dd hf= Hz2
Siguiente dcomercial
NO SINO
NO
NO
SI
NO?
?
?
?
?
Esta ltima restriccin en la prctica resulta serirrelevante ya que en la gran mayora de los sistemas detuberas esto se cumple con facilidad. Para disear un
sistema con altas prdidas, menores, como en el caso dela tubera de succin de una bomba, se debe seguir unalgoritmo diferente.
Diagrama de flujo 4: Diseo de tuberas simples
SI
SI
SI
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Ejemplo 1
La tubera de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales delmunicipio de Ubat tiene una longitud de 150 m y por ella debe pasar un
caudal mximo de 120 lts/s. La cabeza mnima de operacin es 2.2 m y en
la tubera se tienen prdidas menores por entrada (km = 0.5), por un codo
(km = 0.8), por uniones (Skm = 10 x 0.1), y por salida (km = 1.0).
Calcular el dimetro comercial en PVC requerido si la temperatura delagua es 14 C. Los datos del problema son:
l = 150 m
ks = 0.00015 m
QD = 0.12 m3/s
H = 2.2 m
Skm = 0.5 + 0.8 + 10x0.1 + 1.0 = 3.30
r (14C) = 999.3 kg/m3
m (14C)= 1.17x10-3 Pa.sn (14C) = 1.17x10-6 m2/s
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Siguiendo la metodologa de Darcy-Weisbach y la segunda ecuacin de
Colebrook-White, se tienen los siguientes resultados:
hf d v Q Q Qd hm
(m) (pulgadas) (m/s) (m3/s) (Si/No) (m)
2.2 4 3.394 0.0275 No -
2.2 6 4.388 0.0800 No -
2.2 8 5.255 1704 Si 6.05
-3.85
El ltimo hf indica que las prdidas menores son superiores a la cabezadisponible. Se "gastan" 6.05 metros de los 2.2 metros disponibles parasobrepasar los accesorios con un caudal de 164.2 L/s. Claramente lametodologa establecida en el Diagrama de Flujo No.4 no sirve para este
diseo.
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c*) Diseo de Tuberas Simplescon altas
prdidas menoresEn el Ejemplo 2 los resultados mostraron que la velocidad obtenida en la
iteracin 1 para el dimetro de 8 pulgadas implicaba unas prdidas menores
superiores a la cabeza disponible lo cual no es posible y hace que el proceso
no converja. Esto significa que de alguna forma hay que limitar la magnitud
de la velocidad que sea producida en cada iteracin.
El proceso que permite tener en cuenta sistemas con prdidas menores altas
fue desarrollado por Saldarriaga y Ferrer (1989) y modificado por Camacho
(1990). Consiste en definir una "velocidad" de prdida la cual, en esencia, es
la velocidad que hara que la sumatoria de las prdidas menores fuera igual ala cabeza disponible: Shm = H
gV
khmm 2
2
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U S OS S
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Si en alguna iteracin la vies mayor que la vp, sto quiere decir que lavelocidad vi implica unas prdidas menores mayores a la cabezadisponible, lo cual es fsicamente imposible. Si esto sucede, se debe limitarla cabeza disponible para ser perdida por friccin, dentro delprocedimiento de diseo.
El procedimiento se esquematiza en el Diagrama de Flujo No.5 el cual esms general que el Diagrama de Flujo No.4 ya que tambin sirve para el
caso de tuberas con prdidas menores bajas. Una vez se ha calculado laprimera velocidad de prdida, en las dems iteraciones esta velocidad secalcula de acuerdo con la siguiente ecuacin:
mp
k
H
g
V
2
2
mp
k
gH
V
22
mp k
gH
V
2
m
f
p k
hHgV
)(2
(2.5)
(2.6)
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Ejemplo 2 (Continuacin)
La velocidad de prdida inicial se calcula como:
H = 2.2 Skm = 4.3
Luego:
Con ayuda del Diagrama de Flujo No. 5 se obtienen los siguientes
resultados para el diseo de la tubera de descarga de la planta de
tratamiento del municipio de Ubat, cuando su longitud se reduce a 17
metros en total.
m
pk
gHV
2
smVp /3.4
2.281.92 Vp = 3.168 m/s
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7/27/2019 Conferencia 2 (Diseo de tuberas simples) Presentacin
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INICIO
Leer Qd, ks, Dd, H, z2, E, Ev,L, Dh
Suponer dipequeo
Calcular Vi en la ecuacin 2.3
Q = vA
Calcular hfen la ecuacin 2.1
FIN
Suponer hf= Hz2
Imprimir di+1
di+1 = di+DdSiguiente dcomercial
Calcular v en laecuacin 2.3
Q = vA
Dim. comercial
di+1 = di+Dd hf= Hz2
Siguiente dcomercial
NO SI
NO
NO
NO
SI
NOhf ihf i-1 E?
Q Qd?
?
Dim. comercial?
Q Qd?
Calcular Vp en la ecuacin 2.5
Vi < Vp? Procedimiento prdidas
menores altas
NOA
Diagrama de flujo 5: Diseo de tuberas simples conaltas prdidas menores
SI
SI
SI
SI
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Calcular vien la ecuacin 2.3
Q = vA
FIN
Asignar a hfun valor pequeo
Imprimir d
di+1= di+Dd
Siguiente d
comercial
NO SI
NO
Q Qd
?
Dim. comercial?
vi< vp?
Calcular vpen la ecuacin 2.6
|vi- vp| < Ev?
NO
A
hf i= hf i -1-Dh
Suponer dipequeo
hf i= hf i -1+Dh
SI
NO
SI
SI
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hf d V Q Q Qd hm Vp
(m)(pulgadas)
(m/s) (m3/s) (Si/No) (m) (m/s)
2.2 4 3.394 .0275 No 3.168
2.2 6 4.388 .0800 No 3.168
2.2 8 5.255 .1704 Si 6.05 3.168
0.5 8 2.477 .0803 No 1.344 2.785
0.5 10 2.85 .1444 Si 1.78 2.785
0.48 8 2.426 .0787 No 1.289 2.8014
0.48 10 2.791 .1414 Si 1.707 2.8014
0.49 8 2.451 .0795 No 1.317 2.7933
0.49 10 2.82 .1429 Si 1.744 2.7933
0.483 8 2.434 .0789 No 1.297 2.799
0.483 10 2.799 .1419 Si 1.718 2.799
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En la ltima iteracin se tiene lo siguiente:
vi vp
2.799 m/s 2.799 m/s
d = 10 pulgadas
hf = 0.483 metros
hm = 1.718 metros
La ltima igualdad significa que de los 2.2 metros de cabezadisponible, 0.483 metros se estn gastando por friccin y 1.718 m segastan en las prdidas menores. Es claro que en este caso esas
prdidas menores son ms importantes que las de friccin.
H = hf + h
m
H = 0.483 m + 1.718 m
H = 2.201 m 2.20 m
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