Marco Polo Villanueva
Conductividad de Calor
Ecuaciones de Conductividad
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La Conduccin de Calor
La conduccin es la transferencia de energa de las partculas ms energticas de una sustancia hacia las adyacentes menos
energticas, como resultado de interacciones entre esas partculas
La conduccin puede tener lugar en los slidos, lquidos o gases
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La Conduccin de Calor
En los gases y lquidos la conduccin se debe a las colisiones y a la difusin de las molculas durante su movimiento aleatorio. En los
slidos se debe a la combinacin de las vibraciones de las
molculas en una retcula y al transporte de energa por parte de los
electrones libres
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La Conduccin de Calor
La rapidez o razn de la conduccin de calor a travs de un medio depende de la configuracin geomtrica de ste, su espesor y el
material de que est hecho, as como de la diferencia de
temperatura a travs de l.
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La Conduccin de Calor
Si consideramos una conduccin de estado estacionario de calor a travs de una pared plana
grande de espesor x = L y rea A.
La diferencia de temperatura de uno a otro lado de la pared es: T=T2T1
Los experimentos han demostrado que la razn de la transferencia de calor Q a travs de la pared se
duplica cuando se duplica la diferencia de
temperatura T de uno al otro lado de ella, o cuando se duplica el rea A perpendicular a la direccin
de la transferencia de calor; pero se reduce a la
mitad cuando se duplica el espesor L de la pared.
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La Conduccin de Calor Por tanto, se concluye que la razn de la conduccin de calor a travs de
una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a travs
de sta y al rea de transferencia de calor, pero es inversamente
proporcional al espesor de esa capa; es decir:
Donde K (constante de proporcionalidad) es la conductividad trmica del material que es la capacidad de un material para conducir calor
En el caso lmite de x 0, la ecuacin que acaba de darse se reduce a la forma diferencial
Denominado Ley de Fourier
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La Conduccin de Calor
dT/dx es el gradiente de temperatura, el cual es la pendiente de la curva de temperatura si se tiene un
diagrama T-x. La relacin dada indica que la razn de
conduccin del calor en una direccin es proporcional
al gradiente de temperatura en esa direccin.
El calor es conducido en la direccin de la temperatura decreciente y el gradiente de
temperatura se vuelve negativo cuando esta ltima
decrece al crecer x.
El signo negativo en la ecuacin garantiza que la transferencia de calor en la direccin x positiva sea
una cantidad positiva.
El rea A de transferencia de calor siempre es normal (o perpendicular) a la direccin de esa transferencia.
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La Conduccin de Calor
Ejemplo
El techo de una casa calentada elctricamente tiene 6 m de largo, 8 m de ancho y 0.25 m de espesor y est hecha de una capa plana
de concreto cuya conductividad trmica es k= 0.8 W/mC. Las temperaturas de las superficies interior y exterior son 15C y 4C, respectivamente; durante un periodo de 10 horas. Determine:
a) la razn de la prdida de calor a travs del techo esa noche
b) el costo de esa prdida de calor para el propietario de la
casa, si el costo de la electricidad es de 0.25 Soles/kWh.
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La Conduccin de Calor La transferencia de calor a travs del techo es por conduccin y el
rea de ste es A = 6 m x 8 m = 48 2.
La razn de la transferencia de calor en estado estacionario a travs del techo se determina por:
La cantidad de prdida de calor a travs del techo durante un periodo de 10h y su costo se determinan a partir de:
= = 1.69 10 = 16.9
=
= 16.9 0.25
= 4.225
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La Conduccin de Calor
Las superficies interior y exterior de un muro de ladrillos de 4 m por 7 m, con espesor de 30 cm y conductividad trmica de 0.69 W/mK, se mantienen a las temperaturas de 20C y 5C, respectivamente. Determine la razn de la transferencia de calor a travs del muro,
en W.
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Conductividad Trmica
Los diferentes materiales almacenan calor en forma diferente y se ha definido la propiedad de calor especfico Cp como una medida
de la capacidad de un material para almacenar energa trmica.
Por ejemplo, a la temperatura ambiente se tiene, Cp = 4.18 kJ/kgC, para el agua, y Cp = 0.45 kJ/kgC, para el hierro; indica que el agua puede almacenar casi 10 veces ms energa que el hierro por
unidad de masa.
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Conductividad Trmica
Del mismo modo, la conductividad trmica k es una medida de la
capacidad de un material para conducir
calor.
Por ejemplo, k = 0.607 W/mC, para el agua, y k = 80.2 W/mC, para el hierro, a la temperatura ambiente; esto nos
indica que el hierro conduce el calor
ms de 100 veces ms rpido que el
agua. Por tanto, se dice que el agua es
mala conductora del calor en relacin
con el hierro, aun cuando el agua es un
medio excelente para almacenar
energa trmica.
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Conductividad Trmica La conductividad trmica de un material es una medida de la capacidad
del material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad
trmica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor
bajo indica que es un mal conductor o que es un aislante.
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Conductividad Trmica En un lquido o gas, la energa cintica de las molculas se debe a su movimiento
aleatorio de traslacin, as como a sus movimientos de vibracin y rotacin.
Cuando chocan dos molculas que poseen energas cinticas diferentes, parte de la energa cintica de la molcula de mayor energa (temperatura) se transfiere a
la menos energa, de manera muy semejante a cuando chocan dos bolas
elsticas de la misma masa a diferentes velocidades. parte de la energa
cintica de la bola ms rpida se transfiere a la ms lenta
Entre ms alta es la temperatura, ms rpido se mueven las molculas, mayor es el nmero de las colisiones y mejor es la transferencia de calor.
La teora cintica de los gases predice que la conductividad trmica de los gases es proporcional a la raz cuadrada de la temperatura termodinmica T e
inversamente proporcional a la raz cuadrada de la masa molar M.
Por lo tanto, la conductividad trmica de un gas crece al aumentar la temperatura y al disminuir la masa molar.
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Conductividad Trmica
Rango de la conductividad trmica de diversos materiales a la temperatura ambiente
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Conductividad Trmica
Variacin de la conductividad trmica
de diversos slidos,
lquidos y gases con la
temperatura
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Capacidad Calorfica
El producto Cp, que se encuentra con frecuencia en el anlisis de la transferencia de calor, se llama capacidad calorfica de un
material. Tanto el calor especfico Cp como la capacidad calorfica
Cp representan la capacidad de almacenamiento de calor de un material. Pero Cp la expresa por unidad de masa, en tanto que Cp la expresa por unidad de volumen, como se puede advertir a partir
de sus unidades J/kgC y J/m^3C, respectivamente.
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Difusividad Trmica
Otra propiedad de los materiales que aparece en el anlisis de la conduccin del calor en rgimen transitorio es la difusividad
trmica, la cual representa qu tan rpido se difunde el calor por un
material y se define como:
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Conduccin La ubicacin temperatura interna de un cuerpo se puede determinar en
funcin a la forma de esta y a las coordenas que facilitan su ubicacin.
El uso de un sistema de coordenadas idnea facilitarn los clculos.
La notacin T(x, y, z, t) implica que la temperatura vara con las variables espaciales x, y y z, as como con el tiempo. Por otra parte, la
notacin T(x) indica que la temperatura vara slo en la direccin x y no
se tiene variacin con las otras dos coordenadas espaciales o con el
tiempo.
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Ecuacin diferencial de Conduccin
El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la direccin de la
temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie isotrmica
en el punto P, la razn de la conduccin de calor en ese punto se
puede expresar por la ley de Fourier como:
En coordenadas rectangulares el vector de conduccin del calor se puede expresar en trminos de sus componentes como:
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Ecuacin diferencial de Conduccin
La conduccin trmica est determinada por la ley de Fourier, que establece que el flujo de transferencia de calor por conduccin en un
medio istropo (propiedades fsicas iguales en todas direcciones) es
proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa
direccin. De forma vectorial:
q : Es el vector de flujo de calor por unidad de superficie (W m-2)
k: Conductividad trmica (W m-1 K-1)
T: Gradiente del campo de temperatura en el interior del material ( K m-1)
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De forma integral, el calor que atraviesa una superficie S por unidad de tiempo viene dado por la expresin:
El caso ms general de la ecuacin de conduccin, expresada en forma diferencial que refleja el balance entre el flujo neto de calor, el calor
generado y el calor almacenado en el material es:
Ecuacin diferencial de Conduccin
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Ecuacin diferencial de Conduccin
En coordenadas cilndricas: T=T(r, f ,z,t)
En coordenadas esfricas: T=T(r, q , f ,t)
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Conduccin a travs de paredes
planas en serie En estado estacionario el flujo de
calor a travs de todas las secciones
debe ser el mismo.
Sin embargo, los gradientes son distintos
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Conduccin a travs de paredes
planas en serie Teniendo la siguiente relacin:
Sustituyendo se tiene:
Finalmente la ecuacin nos queda:
Para un conjunto de n paredes en perfecto contacto trmico, el flujo
de calor es
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Analoga elctrica de la
Conduccin Utiliza los conceptos desarrollados en la teora de los circuitos
elctricos y con frecuencia se llama analoga entre el flujo de calor y
la electricidad.
La combinacin L/kA equivale a una resistencia y la diferencia de temperatura T es anloga a una diferencia de potencial trmico.
La ecuacin puede escribirse de forma semejante a la ley de Ohm de la teora de los circuitos elctricos
El recproco de la resistencia trmica se denomina conductancia trmica:
=
=
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Analoga elctrica de la
Conduccin Para tres secciones en serie se tiene:
Donde:
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Analoga elctrica de la
Conduccin Tambin:
Teniendo a la resistencia trmica equivalente: =
+
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Materiales dispuestos en paralelo para flujo en una direccin (unidimensional)
Entonces:
Por ltimo:
= 1 + 2
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Flujo de calor en un cilindro hueco
La distribucin de temperaturas es
funcin nicamente
de r T=T( r )
El denominador de esta ecuacin
corresponde a la
resistencia trmica
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Flujo de calor en una esfera hueca
Se considera flujo estable en la direccin r y la ecuacin quedara expresada como:
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