UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERA CIVIL
CURSO: FISICA III
CONDENSADORES DIELECTRICOS Y
POLARIZACIN
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vsquez Garca
HUARAZ - PER
2010
I. INTRODUCCIN En este captulo se presenta el primer elemento de circuitos. Los circuitos elctricos son el fundamento de la gran mayora
de dispositivos que utilizamos en la actualidad. Siendo uno
de los componentes los capacitores o condensadores.
Los capacitores son dispositivos utilizados para almacenarenerga en el campo elctrico entre sus placas
2
II. CAPACITANCIA_1 Consideremos un conductor descargado
como se ve en la figura. Su potencial en
este caso es nulo
Carguemos al conductor con una carga+Q. Ahora su potencial es
El potencial en este caso es proporcionala la carga y tambin depende de la
distancia en donde se evala.
Si ahora dos conductores diferentes secargan con la misma carga, en general
sus potenciales sern diferentes . Es decir
TIENEN DIFERENTES CAPACIDADES.3
0
14
r dAr
A
V
DEFINICIN DE CAPACITANCIA
La capacitancia elctrica (C)es una propiedad fsica de un
conductor que expresa la
habilidad de un conductor para
adquirir carga sin un cambio
sustancial en su potencial.
Matemticamente se expresacomo el cociente entre la
carga y el potencial. Esto es
Para el caso de una esferapor ejemplo, la capacidad es
Las unidades de capacidadson :
el faradio = 1 F =1coul/1coul
Este tiene submltiplos
1F=10 exp(-6)1nF =10exp(-9)
1pF =10exp(-12)
4
qCV
00
44
q qC RV q R
III. CAPACITOR O CONDENSADOR. El capacitor es un dispositivoformado esencialmente por dos
conductores llamadas placas
del condensador aisladas y
separadas por el medio vaco o
por un dielctrico.
Sobre las placas se distribuyencargas iguales y opuestas +q y
q tal como se muestra en lafigura
La capacitancia de un capacitorest dada por
5
0 .
.
AB
A
E ndAqCV E ds
r r
r r
3.1. Aplicaciones de los capacitores Sirven para almacenar carga en sus
placas(armaduras).
Sirven para almacenar energa elctricadentro de su campo elctrico entre placas
Para producir configuraciones de campoelctrico
Como rectificadores de corriente,amplificadores de voltaje.
En aplicaciones elctricas y electrnicasde radio y televisin, sistemas de ignicin
de automviles, desfibriladores, y en
unidades electrnicas de flashes.6
3.1 Aplicaciones de los capacitores
Algunos keyboards usancapacitores en la base de los
keys.
Cuando el key espresionado, el espaciamiento
del capacitor disminuye y la
capacitancia se incrementa.
El key es reconocidomediante el cambio de dicha
capacitancia.
7
3.1. Aplicaciones de los capacitores:
Un desfibrilador usa la
energa elctrica almacenada
en un capacitor para liberar
una corriente elctrica
controlada, la misma que
puede restituir el
funcionamiento normal del
corazn de una persona
vctima de un paro cardiaco.
8
3.2 CARACTERSTICAS DE LA CAPACITANCIA DE UN CONDENSADOR
LA CAPACITANCIA:
Es independiente del campo, la cargay de la diferencia de potencial.
Depende de la geometra delcapacitor: (a) forma y tamao delcapacitor; (b) posicin y orientacin
relativa entre conductores
Depende del medio que hay entre lasplacas
No depende del material del cual esthecho las placas
9
3.3. Tipos de condensadores La mica es un mineral transparente. Tiene alta rigidez dielctrica Qumicamente es inerte
Por ello se fabrica capacitores conespesores muy delgados.
Se fabrica en diversas formas(redondas, rectangulares, etc.).
La pila construida se envuelve enplstico
Se puede construir capacitores decapacidades que van de 1pF a 01,pF 10
DE MICA
Capacitores de cermica Comercialmente existen dos tipos: (a)
de baja constante dielctrica y (b) de
alto K.
Los primeros se usan en circuitos dealta frecuencia mientras que los otros
en circuitos de baja frecuencia.
Su capacidad varia mucho con latemperatura. Voltaje y frecuencia.
Las capacidades de alto K van de 100pF a 0,1 pF.
Se fabrican en forma de disco conmetal ambos lados.
Requieren de una polaridad 11
Capacitores de papel Son los mas usados Tienen bajo costo Sus capacidades van de
500pF a 50pF
Se disean para resistirvoltejes muy altos.
Se usan cdigo decolores paraespecificarlos .
12
Capacitores de pelcula plstica
Se construyen de formaanloga a los de papel
Emplean como dielctricohojas muy delgadas deplstico (mylar, tefln,polietileno).
Su costo es mayor a los depapel
Sus capacidades van de 500pF a 1 F
.
13
Capacitores electrolticos
Se fabrican de aluminio otantalio
Su estructura es dos hojasde metal una de las cualesse cubre con una capa dexido, entre las hojas secoloca un electrolito quemoja al papel.
Tienen polaridad definiday solo se debe instalarcorrectamente evitando laperforacin del capacitor
Sus capacidades van de 1F a 500000 14
Condensadores variables El capacitor variable de airese anloga a las resistencias
variable.
Se fabrican uniendo placasmetlicas como se muestra
La separacin entre placasdebe ser importante
15
3.4 Seguridad en el uso de capacitores Un capacitor almacena energa Si el capacitor tiene capacidad
grande y est cargado a alto
voltaje la energa almacenada
es grande
Durante la descarga la energase libera mediante el flujo de
corriente que fluye a travs de
la conexin
Si la descarga ocurre en formaaccidental a travs del cuerpo
humano el choque elctrico es
muy doloroso e incluso mortal
Debido a que un condensadordescargado no se distingue de
uno cargado representa un
peligro oculto para la
seguridad. Esto significa que si
un capacitor se carga durante
su uso, se debe descargar
antes de manipularlo o
volverlo a guardar en su lugar.
Por ello se recomienda quesiempre se debe descargar
este elemento debe ser
conectado con una resistencia
16
3.5 Calculo de capacidades: capacitor plano_1 Un capacitor plano est
formado por dos placasparalelas conductoras derea A separadas por unadistancia muy pequea dcomparada con las demsdimensiones y que llevancargas +Q y Q en lasuperficie como se muestraen la figura superior.
Debemos observar que ladel campo elctrico es de laforma mostrada en la figurainferior 17
Calculo de capacidades: capacitor plano_2
Se usa una superficiegaussiana en forma de cuboy se aplica la ley de Gauss.
El campo elctrico entreplacas es
La diferencia de potencialentre placas es
Debido a que el potencial enla placa positiva es mayor queen la negativa entonces
La capacidad ser18
Calculo de capacidades: capacitor cilindrico_1Otra configuracin de importancia es la mostrada en la figura a, la
que constituye un capacitor cilndrico el cual consta de un cilndrico
slido de radio a sobre la que se distribuido uniformemente una
carga +q con una densidad de carga +, rodeado por una cscaracilndrica de radio interno b la cual lleva una carga uniformemente
distribuido q con una densidad de carga por unidad de longitud . Ambos cilindros tienen una longitud L
19
25-3. Calculo de la capacidad de un Capacitor Cilndrico
0
0 0
0
0
0
0
22
2
ln2
2
ln ln2
f b
i a
qE dA
q qE rL ErL
q drV E ds E drrL r
q bVL a
Lq qCq b bVL a a
02
lnC
L ba
Calculo de capacidades: capacitor esfrico_1Un capacitor esfrico el que consta de dos cascaronesesfricos conductores concntricos de radios ra y rb sobre
los que se ha distribuido cargas +Q y Q en sussuperficies con una densidad de carga .
21
Calculo de capacidades: capacitor esfrico_2
Aplicando la ley de Gauss
La diferencia de potencial
La capacidad delcondensador esfricoes
22
0
.
enc
A
qE ndA r r 2 22 2
0 0
44 a a r
r rE r E er
r r2
20
2
0
.
1 1
b ba
a a
a
b a
r drV V E dsr
rV V Vr r
r r
2
0
2
2
0
0
1 1
4
1 1
4
a
b b
a
a
b b
b a
b a
q qCV r
r r
rC
r
r r
r rC
r r
Ejemplo de aplicacin
Dos esferas de radios a y b cuyos centros estnseparados una distancia d Muestre que la capacitancia
del sistema es
Donde d es mucho mayor que los radios.
23
Solucin
24
3.6 CAPACITORES EN CIRCUITOS ELCTRICOS. Un capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga en
sus placas y como tal almacenar energa en su campo elctrico
Esta energa almacenada puede ser utilizada posteriormente para hacerfuncionar otros dispositivos elctricos y electrnicos.
Para lograr este objetivo es necesario proceder a cargar el condensador,para ello se conecta las placas del capacitor a las terminales de una
batera tal como se muestra en la figura.
Es la batera la encargada de mantener la diferencia de potencial . Al hacer la conexin habr un reparto de carga entre las terminales y las
placas. Por ejemplo, la placa que es conectada a la terminal positiva de
la batera adquiere alguna carga positiva mientras que la placa
conectada a la terminal negativa adquiere alguna carga negativa, la
cantidad de carga acumulada en las placas depende de la capacidad del
capacitor.25
3.7 CAPACITORES EN CIRCUITOS ELCTRICOS_ continuacin
El reparto de carga ocasionauna disminucin momentneade cargas en las terminales dela batera y como tal unadisminucin en el voltaje enlas terminales.
Para mantenerse dichadiferencia de potencial ocurrenreacciones qumicas en elinterior de la batera con lafinalidad de compensar laprdida de carga 26
3.8CAPACITORES EN SERIE Supongamos que tenemos tres capacitores
inicialmente descargados C1, C2 y C3 los mismosque se conectan en serie, como se muestra en lafigura.
27
CAPACITORES EN SERIE_2 La diferencia de potencial en
cada uno de loscondensadores ser
La diferencia de potencialentre los extremos es
Remplazando la ecuacinanterior da
Simplificando
La generalizacin a N condensadores
28
1 2 31 2 3
; ; y Q Q QV V VC C C
1 2 3V V V V
1 2 3e
Q Q Q QC C C C
1 2 3
1 1 1 1eC C C C
1 2 3
1 1 1 1 1 1....... .....
e i NC C C C C C
1
1 1N
ie iC C
3.9 Capacitores en paralelo En la figura se muestra la conexin de tres condensadores cuyas
capacidades son C1, C2 y C3 conectados en paralelo, es decir las placasizquierdas de todos los condensadores son conectadas a la terminalpositiva, entones estarn al mismo potencial que la terminal positivaV+, mientras que sus placas derechas a la terminal negativa de labatera por lo tanto estarn al mismo potencial que la terminalnegativa V-
29
CAPACITORES EN PARALELO_2 Las diferencias de
potenciales sern iguales,es decir
La capacidad de cada unode los condensadores ser
La carga total positiva delsistema es
Al remplazar la segundaecuacin en la terceraresulta
De donde se obtiene lacapacidad equivalente
Generalizando30
1 2 3V V V V 31 2
1 2 3; ; y QQ QC C C
V V V
1 2 3eQ Q Q Q
1 2 3 1 2 3Q C V C V C V C C C V
1 2 3eQC C C CV
1 2 3 .... .....e i NC C C C C C
CONEXIN MIXTA En la figura, se muestra un circuito capacitivo con varios
capacitores conectados a una fuente de tensin que le
proporciona una diferencia de potencial. Es nuestro objetivo,
determinar la capacitancia equivalente del circuito
31
EJEMPLO DE APLICACIN 01En el circuito capacitivo mostrado en la figura. Determine: (a)
La capacidad equivalente, (b) la carga almacenada por cada
uno de los capacitores y (c) La diferencia de potencial entre
las terminales de cada capacitor
32
EJEMPLO DE APLICACIN 02Cuatro capacitores estn conectados como se muestra en la
figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los
puntos a y b. (b) calcule la carga de cada uno de los
capacitores si Vab = 15 V.
33
EJEMPLO DE APLICACIN 03En el circuito mostrado en la figura C1 = 3 F; C2 = 5 F, C3 =
6 F. Si entre los bornes a y b se aplica una diferencia de
potencial Vab = +24 V. Determine: (a) La carga en cada uno
de los capacitores, (b) la diferencia de potencial en cada uno
de los capacitores y (c) la diferencia de potencial entre los
puntos a y d
34
Ejemplo de aplicacin 04 Considerando el circuito mostrado, donde C1 = 6.00 F y
C2 = 3.00 F con V = 20.0V. Primero se carga elcapacitor C1 cerrando interruptor S1. Despus este
interruptor S1 se abre para conectar el capacitor cargado
con el capacitor C2 descargado al cerrar S2. Calcular la
carga inicial adquirida por C1 y la carga final de cada uno
de ellos.
35
Ejemplo de aplicacin 05En el circuito capacitivo mostrado en la figura se tiene queV = 12 V; C1=C5=C6=6 F y C2=C3=C4=4 F. Determine:(a) La carga neta almacenada por los capacitores y (b) Lacarga en el capacitor C4.
36
Ejemplo de aplicacin 06 Tres condensadores se
conectan tal como se muestra
en la figura. Se cierra el
interruptor S1 y el condensador
C3 se carga a una diferencia
de potencial de 330 V. Luego
se abre S1 y se cierra S2. (a)
Cul es la diferencia de
potencial en cada uno de los
condensadores? (b) Cul es la
carga en cada uno de los
condensadores?.
37
Ejemplo de aplicacin 07Determinar la capacidad equivalente entre los puntos a y b
para el grupo de capacitores conectados como se muestra
en la figura. Utilice los valores C1 = 5 F, C2 = 10 F y C3 = 2F. Si entre los extremos a y b se establece un a diferenciade potencial de 50 V, Cul ser la carga en los capacitores
cercanos a la terminal b?.
38
Ejemplo de aplicacin 08Halle la diferencia de potencial VA VB entre los puntos A yB del circuito mostrado.
39
Ejemplo de aplicacin 09Para el sistema de condensadores que se muestra en la
figura. Halle: (a) La diferencia de potencial entre a y b cuando
el interruptor S se encuentra abierto. (b) El potencial elctrico
del punto b cuando el interruptor S est cerrado. (c) la carga
en cada condensador cuando S est cerrado. (d) la energa
total almacenada cuando S est cerrado
40
Ejemplo de aplicacin 10Un capacitor de 10 F tiene sus placas en el vaco. Cada unade ellas tiene una carga de 1000 C. De la placa positiva sedispara hacia la placa negativa una partcula cargada con un
carga qo = -3,00 C y de masa 2.10exp-16 kg, con unavelocidad inicial de 2.10exp6 m/s. Lograr esta partcula
llegar hasta la placa negativa?. De ser as determine su
velocidad de impacto. De lo contrario cul es el espacio
entre las placas que recorre?.
41
solucin
42
Ejemplo de aplicacin 11 Cuatro placas paralelas P1, P2, P3 y P4, cada una de rea A = 7,50 cm2,
estn separadas sucesivamente por una distancia d = 1,19 mm, como se
muestra en la figura. La placa P1 es conectada a la terminal negativa de
una batera, y P2 a la terminal positiva. La batera mantiene una
diferencia de potencial de 12 V. ( a) Si P3 es conectada a la terminal
negativa, cul es la capacitancia del sistema de tres placas P1P2P3?. (b)
cual es la carga sobre P2?. (c) Si P4 es ahora conectada a la terminal
positiva de la batera, cul es la capacitancia del sistema de cuatro
placas P1P2P3?- Cul es la carga sobre P4?.
43
solucin
44
Ejemplo de aplicacin 12 Determine la capacidad equivalente en el circuito capacitivo
mostrado en la figura. Si entre los extremos a y b se aplica una
diferencia de potencial de 100 V. Cul es la carga en cada
capacitor?
45
Ejemplo de aplicacin 13
Determine la capacidad equivalente en el circuito capacitivomostrado en la figura
46
Ejemplo 14 En el circuito capacitivo mostrado en la figura todos los
capacitores tienen igual capacidad C. Determine lacapacidad equivalente entre los puntos: (a) X-Y; (b) V-Z y
X-Z
47
Ejemplo 15 Hallar la capacidad equivalente entre los bornes X e Y del
circuito capacitivo mostrado en la figura si todos los
capacitores tienen igual capacidad.
48
Ejemplo 16 En el circuito mostrado en la figura, las capacitancias de
los tres capacitores son C1 = 1F, C2 = 2F y C3 = 3F.Determine la carga en cada uno de los capacitores.
49
Ejemplo 17Cuatro placas metlicas iguales se encuentran en el aire a
distancias iguales d una de la otra. El rea A de lasplacas extremas estn unidas entre s y las del centro
conectadas a una batera de f.e.m . La distancia entreplacas es pequea en comparacin con sus dimensiones
de stas. Determine la carga en cada placa
50
Ejemplo 18 En el circuito capacitivo mostrado en la figura halle la
energa almacenada por el sistema si C = 19 F
51
Ejemplo 19 En el circuito determine: (a) la capacidad equivalente del
sistema, (b) La energa total almacenada y (d) la diferencia
de potencial en todos los capacitores
52
Ejemplo 20Un capacitor de 10 F est cargado a 15 V. A continuacinse le conecta en serie con un capacitor de 5 F sin carga.Esta combinacin en serie se conecta a una batera de 50
V, segn el diagrama de la figura. Determine las diferencias
de potencial que se presentan en las terminales de los
capacitores de 5 F y 10 F.
53
SolucinLa carga en el capacitor de 10 F es
Una carga q adicional es proporcionada por la fuente,
proporcionndole al capacitor de 5 F una carga q y al de10 F una carga q+150F. Entonces tenemos
Es decir las diferencias de potencial sern
54
Ejemplo 21En el circuito capacitivo encuentre la capacidad equivalente
entre los bornes X e Y
55
Solucin
56
Ejemplo 22
Un capacitor de capacidad C1 = 1,2 F seconecta en paralelo con una fuente de tensinque posee una diferencia de potencial V0 = 30V. Despus de la carga se desconecta C1 de lafuente de voltaje y se conecta en paralelo aotro condensador completamente descargadocuya capacidad es C2 = 2,4 F. (a) Determinela nueva diferencia de potencial V1, (b) Cuntaenerga se perdi al realizar la conexin?.
57
Ejemplo 23
Suponiendo que todos los capacitores queaparecen en la figura son idnticos (C1 = C2 = C3= C4 = C5 = 2 F). Determine: (a) la capacidadequivalente, (b) la diferencia de potencial entre lasarmaduras del capacitor C4 y (c) las cargas en loscapacitores C1 y C3.
58
Ejemplo 24 La figura muestra una batera de 50 V y cuatro
capacitores de capacitancias C1 = 1 F, C2 = 2 F,C3 = 3 F, C4 = 4 F y C5 = 5 F. Encuentre: (a) lacarga en cada uno de los capacitores si slo secierra la llave S1 y (b) la carga en cada uno de loscapacitores despus de cerrar tambin la llave S2.
59
Ejemplo 25 Los capacitores de la figura estn inicialmente sin carga y
conectados, como se indica en el diagrama, con elinterruptor S abierto.. La diferencia de potencial aplicada esVab = +210 V. (a) Cul es la diferencia de potencial entrec y d?. (b) cual es la diferencia de potencial entre losbornes de cada capacitor despus de cerrar el interruptorS?.
60
Ejemplo 26 En la figura, cada capacitancia C1 es de 6,9 F y cada
capacitancia C2 es de 4,6 F. (a) Calcular la capacidadequivalente de la red entre los puntos a y b. (b) Calcule lacarga en cada uno de los capacitores ms cercanos a lospuntos a y b cuando Vab = 420 V. (c) Con 4200 V a travsde a y b determine Vcd.
61
Ejemplo 27 Un capacitor de 4,00 F y otro de 6 F se
conectan en serie a travs de una toma decorriente de 660V. (a) halle la carga de cadacapacitor y el voltaje entre sus bornes, (b) loscapacitores cargados se desconectan de latoma de corriente y uno del otro y se conectande nuevo con los bornes del mismo signojuntos. Halle la carga final y el voltaje entre losbornes de cada uno
62
3.11 Red en Puente En la figura se muestra un
sistema de condensadores
en red en puente. En esta
conexin los capacitores no
estn conectados ni en
serie ni en paralelo y para
determinar la capacitancia
equivalente entre los puntos
a y d se utiliza la
transformacin tringulo-
estrella.
63
Red en Puente
64
1 2 5
1 2 1 5 2 5
1 2 5
1 11
1 1 1x
C C CC C C C C C C
C C C
1 5 2
1 2 1 5 2 5
1 2 5
1 11
1 1 1y
C C CC C C C C C C
C C C
2 5 1
1 2 1 5 2 5
1 2 5
1 11
1 1 1z
C C CC C C C C C C
C C C
Ejemplo de aplicacinEjemplo
En el circuito capacitivo
mostrado. Encuentre la
capacidad equivalente entre A
y B
Ejemplo
En el circuito mostrado
encuentre la capacidad
equivalente entre los
puntos A y B
65
Ejemplo de aplicacin Halle la capacidad equivalente Ce entre los puntos a y b de
la batera de capacitores de igual capacidad C = 1 Finstalados en el circuito mostrado en la figura
66
3.12 ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_1 Cuando un capacitor est cargndose mediante una batera
el trabajo es realizado por la batera para mover la carga
desde una placa del capacitor a la otra placa. Debido a que
el capacitor est siendo cargado, decimos que el capacitor
se encuentra almacenando energa en forma de energa
potencial electrosttica, energa que posteriormente puede
ser liberada cuando se descarga el capacitor.
67
3.12 ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_1 El capacitor al ser conectado a una batera mediante el cierre
del interruptor esta ltima transfiere energa de una placa ala otra hasta que la diferencia de potencial en el capacitorsea igual a la producida por la fuente aunque de polaridadesopuestas. Cuando se alcanza la etapa mostrada en la figura cse detiene el flujo de carga. En este instante se dice que elcapacitor se ha cargado completamente a una diferencia depotencial y sus placas acumulan una carga Q.
(a) (b) (c)68
3.12. ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_2
En etapas intermedias como la mostrada en lafigura b la placa superior del capacitor tendr unacarga +q y la otra una carga q, siendo ladiferencia de potencial en este instante
Para mover una cantidad de carga adicional dqdesde una placa a la otra en un intervalo detiempo dt, la batera debe hacer una cantidad detrabajo dW, dado por
69
qVC
.
( )dW dq V
3.12. ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_3 Este trabajo corresponde a un cambio en la energa potencial
elctrica que es igual a dUe. En consecuencia en el tiempo dt la
energa potencial del capacitor a aumentado en la cantidad
La diferencia de potencial entre las placas es variable de maneraque la cantidad de trabajo realizado por la batera no solamente
depende de dq sino tambin de la diferencia de potencial entre las
placas , que cambia a medida que se acumula carga en el
capacitor. La cantidad de energa ser
70
EqdU Vdq dqC
2
0
12
QE
QU qdqC C
2 21 1 12 2 2E QU Q V C VC
Energia almacenada en un capacitor
3.13. Densidad de energa del campo elctrico Se ha determinado que los condensadores almacenan energa.
Pues bien dicha energa es almacenada en el campo elctrico
entre las placas del condensador mismo. Para el caso de un
capacitor de placas planas paralelas, cuya capacidad es
C=0A/d y siendo su diferencia de potencial V=Ed, laenerga potencial elctrica puede expresarse
72
2
20
20
121212
E
E
U C V
A Edd
U E Ad
3.13. Densidad de energa del campo elctrico Se ha determinado que los condensadores almacenan energa.
Pues bien dicha energa es almacenada en el campo elctrico
entre las placas del condensador mismo. Para el caso de un
capacitor de placas planas paralelas, cuya capacidad es
C=0A/d y siendo su diferencia de potencial V=Ed, laenerga potencial elctrica puede expresarse
Debido a que la cantidad Ad, representa el volumen entrelas placas, podemos definir a la densidad de energa Ecomo la energa por unidad de volumen, es decir
73
2 2 20 01 1 12 2 2E AU C V Ed E Add 2012E
E
E AdUEnergaVolumen V Ad
2012E E
3.13 Densidad de energa del campo elctrico _2 Ahora consideremos un
condensador infinitesimal en el
espacio comprendido entre las
placas como se ve en la figura
Para encontrar la densidad deenerga observe que el volumen
del pequeo cubo es dV, el rea de
su seccin transversal dA y su
espesor ds. Debido a que ds es
paralelo al campo elctrico entre
las placas, todo el flujo que sale del
rea dA de una superficie termina
sobre el rea correspondiente de la
superficie opuesta.
La energa almacenada en estecondensador infinitesimal ficticio
es prcticamente la energa que
se requiere para situar las cargas
superficiales sobre el rea dA de
los dos conductores. Podemos en
este caso hacer A tiende a dA y d
tiende a ds,
74 2 20 01 1( )2 2EdU E dA ds E dV 2012EE dU EdV
Ejemplo
Un capacitor de placas paralelas tiene una carga Q yplacas de rea A. Demostrar que la fuerza ejercida encada placa por la otra es F = Q2/2oA. es de atraccin ode repulsin? cae dentro del sentido comn estaecuacin?
W U F dx 2 2
02 2dU d Q d Q xFdx dx C dx A
F = Q2/2oA
Ejemplo Una esfera conductora de radio R en el vacio tiene una
carga +Q. (a) Determine la energa potencialelectrosttica total almacenada en el espacio circundante.(b) Cul es el radio R0 de la superficie esfrica tal quedentro de ella quede almacenada la mitad de la energa?.
76
Ejemplo
Un condensador cilndrico tiene radios a y b, como semuestra en la figura . Demuestre que la mitad de la energa
potencial elctrica almacenada est dentro de un cilindro
cuyo radio es
77
R ab
Ejemplo
78
IV. DIELECTRICOSUn dielctrico o aislante es caracterizadopor presentar un volumen sin cargas libres.
En estos materiales los electronespermanecen ligados a los tomos omolculas a los cuales ellos pertenecen.
Podemos considerar dentro de estos materialesal vacio, al vidrio, la mica, ciertos plsticos, etc.
Sus enlaces qumicos mantienen todos loselectrones ligados a sus tomos.
79
4.1 Aplicaciones de los dielctricos en capacitores
El uso de los dielctricos es muy amplio, en elcaso de los capacitores dichos materiales sonutilizados por ejemplo para mantener laseparacin fsica de las placas.
Por otro lado, debido a que la ruptura dielctricade mucho de ellos es mucho mayor que la delaire, permiten reducir al mnimo la fuga de carga,especialmente cuando se le aplica altos voltajes.Permitiendo de este modo una mayoracumulacin de carga en las placas del capacitor80
4.2 CAPACITORES CON UN DIELCTRICO Al introducir un dielctrico (vidrio, plstico, etc) entre las placas de
un capacitor, la capacitancia de este nuevo condensador vara.
FARADAY, utilizando un equipo sencillo, descubri que lacapacidad de un capacitor aumenta en un factor K (a esta
constante se le denomina constante dielctrica. La presencia de
un dielctrico cumple con las siguientes funciones:
1. Permite mantener una distancia muy pequea entre lasplacas sin que exista contacto fsico,
2. Permite aumentar la diferencia de potencial entre las placasdel capacitor, aumentando de este modo la capacidad dealmacenar cargas y energa.
3. Permite aumentar la capacitancia de un capacitor es decir uncapacitor tiene una capacitancia mayor que aquel sindielctrico
81
EXPERIMENTO DE FARADAY IEl efecto (3) se demuestra usando un electrmetro quien permite medir
la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. La figura a
muestra un electrmetro conectado a las placas de un capacitor
previamente cargado con cargas a una diferencia de potencial V0. Al
insertar un dielctrico entre las placas (figura b) se observa que la
diferencia de potencial disminuye a un valor V . Si ahora se retira el
dielctrico nuevamente se recupera el valor original V0, este hecho
muestra que las cargas originales no han variado.
82
EXPERIMENTO DE FARADAY I
Al insertar el dielctrico el potencial pasa de Vo a V = Vo/.Entonces la capacitancia se escribe
83
EXPERIMENTO DE FARADAY I
84
Experimento de Faraday II
85
EXPERIMENTO DE FARADAY II Si ahora se introduce el dielctrico sin desconectar de la
fuerte como se muestra en la figura.
En este caso la capacitancia se expresa en la forma
Entonces la carga antes de insertar el dielctrico con lacarga despus de insertar el dielctrico estn relacionadaspor
86
CAPACITORES CON UN DIELCTRICO La capacitancia original C0 est dado por Co = Qo/V0 y la capacidad
con dielctrico ser C = Q/V. Debido a que la carga Q es la misma yla diferencia de potencial V es menor que V0. Esta experienciamuestra que la capacitancia C de un capacitor se incrementa cuando
el espacio entre los conductores es llenado con un dielctrico. Es decir,
cuando un material dielctrico es insertado completamente hasta llenar
el espacio entre las placas, la capacidad se incrementa en
Cuando la carga es constante, Q = Q0 , entonces , CV= CoVo. Eneste caso tenemos
87
0eC K C0
e
VV 0eEE
Capacitancia de un capacitor de placas paralelas con dielctricos
Capacidad sin dielctrico Capacidad con dielctrico
88
0 00
0
Q ACV d
00 AC C d
Constantes Dielctricas y Resistencias Dielctricas de Varios Materiales a Temperatura Ambiente
Pictures from Serway & Beichner
Material Constante Dielctrica Resistencia Dielctrica (V/m)Aire (seco) 1.00059 3 x 106Baquelita 4.9 24 x 106
Cuarzo Fundido 3.78 8 x 106
Goma de Neopreno 6.7 12 x 106
Nylon 3.4 14 x 106
Papel 3.7 16 x 106
Poliestireno 2.56 24 x 106
Cloruro de Polivinilo 3.4 40 x 106
Porcelana 6 12 x 106
Vidrio Pyrex 5.6 14 x 106
Aceite de Silicio 2.5 15 x 106
Titanato de estroncio 233 8 x 106
Tefln 2.1 60 x 106
Vaco 1.00000 -Agua 80 -
4.3 BASES FISICAS DE Consideremos un capacitor sin dielctrico como se muestra en la figura
El campo elctrico se obtiene a partir de la ley de Gauss
El potencial ser900
0
dV Ed
4.3 BASES FISICAS DE
La capacidad ser0
0
0
AQ AC dV d
4.3 BASES FISICAS DE Introduzcamos ahora una placa metlica entre las armaduras del
capacitor
La d.d.p ser 0
od dV
0 0
0 0
0
0
//
o
C Q VC Q V
dV d
d dV d d
BASES FISICAS DE ---Continuacin Si en lugar de insertar un metal se coloca un dielctrico
93
0 0
0
0
. libre ligadanetaSG
i
q qqE ndA EA
q qEA
BASES FISICAS DE ---Continuacin
94
0
0
iE 0
0
iV Ed d 000
0
ii
QQ QCV d
d
0
0 0
00 0
0
i
i
QdC
QCd
4.4 DIELECTRICOS POLARES Tienen momentos dipolares elctricos
permanentes
El centro de la carga negativa no coincidecon la de la carga positiva
Ejemplos: HCl, CO, HN, agua, Se encuentran orientadas al azar Se alinean con la aplicacin de campos
95
4.4 DIELECTRICOS POLARES
96
4.5 DIELECTRICOS NO POLARES No tienen momentos dipolares permanentes. Ejemplos el Hidrgeno, oxigeno, nitrgeno,
dixido de carbono
Cuando se le aplica un campo elctrico externo sepolarizan.
El grado de polarizacin depende de latemperatura.
97
4.5 DIELECTRICOS NO POLARES
Al aplicar un campo externo E0, aparece un campo depolarizacin EP debido a las cargas en las caras izquierda y
derecha, siendo el campo neto.
980 'E E E
4.5 DIELECTRICOS NO POLARES
99
MOLECULAS POLARES Y NO POLARES
100
DEFINCIN DE POLARIZACIN
101
TIPOS DE POLARIZACIN
102
Qu tipo de polarizacin tendr el
agua y el cido fluorhdrico?
TIPOS DE POLARIZACIN
103
TIPOS DE POLARIZACIN
104
TIPOS DE POLARIZACIN
105
V. VECTOR POLARIZACIN (P) Se ha demostrado que los dielctricos estn formados
por dipolos permanentes o no permanentes
Al aplicar un campo externo, los dipolos se orientan Producto de la orientacin aparecen cargas de diferente
signo en las caras opuestas del dielctrico (Cargasligadas o inducidas)
Estas cargas producen un campo de polarizacin
106
Vector polarizacin_2 Con el objeto de definir el vector polarizacin consideremos
un dielctrico formado por N molculas sobre las que actaun campo externo E. Cada una de las molculas polaresadquiere un pequeo momento dipolar pi . Por tanto, unelemento macroscpico de volumen V que contiene mdipolos de esta clase tendr un momento dipolar medio
107
1
m
ii
p p r r1m
ii
p p r rEl vector polarizacin P macroscpicose define como el momento dipolarmedio por unidad de volumen
1
1 mi
iP p
Volumen r r
Vector polarizacin_3 El vector polarizacin en un punto se expresa en la forma
La existencia de una polarizacin implica la presencia de unnuevo campo elctrico dentro del dielctrico el mismo quecancela parcialmente al campo original.
108
0lim
v
p dpPv dv
r rr
Para determinar elcampo originado por lapolarizacin,consideremos un materialdielctrico el cual esuniforme en todas partes
Vector polarizacin_4 Si la carga positiva se desplaza una distancia vectorial con
relacin a la carga negativa, entonces la polarizacin ser
De la figura se observa que el volumen es A , entonces lamagnitud del vector polarizacin es
En el caso de que la polarizacin P no sea perpendicular ala superficie la densidad de carga superficial ligada seexpresa
109
iqPV r rr
i ii
q qPA A
. cosi P n P r r i P
Vector polarizacin_5La ecuacin anterior podra interpretarse diciendo que elvector polarizacin empuja una carga a travs de un reaunitaria de superficie dielctrica original no polarizada. Enotras palabras si el rea se considera en el interior deldielctrico, la cantidad de carga positiva empujada a travsde sta rea, cuando se polariza el dielctrico es
110
iQ P Q P AA
fueraQ Q P A
cosfueraS S
Q P dA P dA .dentro
S
Q P ndA r r
VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS
En el captulo III se estudila ley de Gauss y sus
aplicaciones en el caso de
que las cargas se
encontraban en el medio
vaco. Ahora apliquemos
dicha ley en el caso de la
presencia de dielctricos
para esto, consideremos
un capacitor de placas
paralelas con un dielctrico
en su interior tal como se
muestra en la figura111
0 0 0
.
ligadaenc libre
SG
qQ qE ndA r r
112
VI. Ley de Gauss para dielctricos
0 0 0
.
ligadaenc libre
SG
qQ qE ndA r rAntes de mostrar la ley de Gauss es necesario ver elcomportamiento del campo elctrico dentro de un dielctrico
VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS Para mostrar la aplicacin de la ley de Gauss consideremos el
capacitor con dielctrico mostrado en la figura
Es decir la ley de Gauss se escribe
1130 0
1. .
libreqE ndA P ndA r rr r 0 0 0
.
ligadaenc libre
SG
qQ qE ndA r r
VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS
0 ,. neta libreE P ndA q r r r0 eP E r r 0 1 .e libreE ndA q r r
0 1 e
0
1 e
. libreE ndA q r r0 . libreE ndA q r r
VII.Desplazamiento Elctrico Cuando se tiene un dielctrico en el interior de un
capacitor de placas paralelas y se aplica la ley de Gauss auna superficie gaussiana, se tiene
115
0
0 0 0
.
enc i
SG
Q q qE ndA r r 00 0iA AEA
VII.Desplazamiento Elctrico
116
0 0 0iE E P 0D E P
0D E P r r r 0 000
1e
e
D E E
D E
D E E
r r r
r r
r r r
. libreSG
D ndA q r r
Ejemplo 01 Un capacitor de placas paralelas de 3,54 mm y
rea 2 m2 est inicialmente cargado a unadiferencia de potencial de 1000 V. Si ahora sedesconecta la batera y se inserta una lmina dedielctrico de constante = 2 hasta que llenecompletamente el espacio entre las placas delcapacitor. Determine: (a) la capacitancia, (b) ladiferencia de potencial entre las placas delcapacitor, (c) la densidad de carga superficial, (d)el campo elctrico y (e ) el vector desplazamientoelctrico, antes y despus de la insercin deldielctrico
117
Ejemplo 02 Un capacitor en el aire tiene una separacin entre sus placas
paralelas de 1,5 cm y un rea de placa de 25 cm2, las placas
estn conectadas a una batera la que le cargada a una
diferencia de potencial de 250 V. Si ahora el capacitor es
desconectado de la fuente de energa y en seguida se
sumerge en agua destilada = 80. Determine : (a) la cargaantes y despus de la inmersin, (b) la capacitancia despus
de la inmersin y ( c) el cambio en la energa del capacitor
118
SOLUCIN
Ejemplo 03
(a) Cunta carga se le puede suministrar a un capacitorcon aire entre las placas antes que se rompa el
dielctrico, si el rea de cada una de sus placas es de
5 cm2?. Considere que (Emax)aire = 3.10ex6 V/m; (b) Qu
pasara si? Determine la carga mxima en el caso de que
se utilice poliestireno de constate = 2,56 entre susplacas?. Para el poliestireno Emax = 24.10ex6 V/m
120
Solucin
Ejemplo 04 Un capacitor de placas paralelas de 2 nF est conectado a
una batera cuya diferencia de potencial es V1 = 100 V yluego se le aisla. El material dielctrico entre las placas es
mica cuya constante dielctrica es = 5. (a) Cuntotrabajo debe realizarse para retirar la hoja de mica?. (b)
Cul ser la diferencia de potencial en el capacitor una
vez retirada la hoja de mica?.
122
Solucin
123
Ejemplo 05 Un capacitor de placas paralelas se elabora
utilizando un material dielctrico cuyaconstante es = 3,00 y cuya resistenciadielctrica es 2.10ex6 V/m. La capacitanciadeseada es 0,25 F y el capacitor debe resistiruna diferencia de potencial V = 4 kV.Determine el rea mnima de las placas delcapacitor
124
Solucin
125
Ejemplo 06 Los capacitores C1 = 6 F y C2= 2 F son
cargados en paralelo mediante una batera de250 V. Los capacitores se desconectan de labatera y entre s. A continuacin se conectanla placa positiva con la placa negativa deambos y la placa negativa del otro a la placapositiva del otro. Determine la carga resultanteen el capacitor
126
EJEMPLO 07 Dos capacitores idnticos, de placas planas y paralelas y
capacidad C = 4 F cada uno se conectan en serie atravs de una batera de 24 V. (a) Cul es la carga decada uno de los capacitores?. (b) Cul es la energa totalalmacenada por los capacitores?.
Un dielctrico de constante e = 4,2 se inserta entre lasplacas de uno de los capacitores mientras la bateratodava est conectada. Una vez insertado el dielctrico(c) Cul es la carga sobre cada capacitor?. (d) Cul es ladiferencia de potencial a travs de cada capacitor?. (e)Cul es la energa total almacenada en los capacitores.
EJEMPLO 08 Un capacitor de laminas plano paralelas cuya superficie es A = 100
cm2 y cuya separacin entre placas es d = 6 mm se carga hasta unpotencial V0 = 200 V. Sin desconectarlo de la batera se introducen enl tres lminas planas de dielctrico de igual espesor que ocupan todoel volumen entre las armaduras. Si la constante dielctrica de la lminacentral es 2 = 5 y las de las laterales es 1 = 3 = 2,5. Determinar:(a) la capacidad C0 del condensador sin dielctrico, as como la cargaQ0 y la densidad de carga superficial. (b) la capacidad Cd del capacitorcuando lleva las lminas de dielctrico indicadas en su interior. (c) ladensidad de carga en las placas una vez estn dentro los dielctricos.(d) El campo elctrico en cada lmina de dielctrico y (e) la cada depotencial en cada lmina
EJEMPLO 09 Una cscara dielctrica cilndrica tiene radio interno a y radio externo b
como se muestra en la figura. El material tiene una constantedielctrica e = 10. En el centro de la corteza hay alambre muydelgado de radio ro colineal al eje de la corteza cilndrica con una cargalibre por unidad de longitud = 200 nC/m. (a) Encuentre los vectoresdesplazamiento elctrico D, campo elctrico E y polarizacin P para r b. (b) la diferencia de potencial entre la superficiedel alambre y la superficie exterior de la corteza dielctrica. (c) lacarga inducida por unidad de longitud en la superficie interna de lacorteza as como en la superficie externa.
Ejemplo10 Una lamina no conductora de espesor t, rea A y constante
dielctrica e es insertada entre el espacio de las placas deun capacitor plano con espaciamiento d, carga +Q y rea A,
como se muestra en la figura. La lmina no necesariamente
est en el medio entre las placas del capacitor. Determine
la capacitancia del sistema.
130
Ejemplo 11 En un condensador de placas lanas paralelas se
insertan dos dielctricos cuyas constantesdielctricas son 1 y 2 como se muestra en lafigura. Determine la capacidad del capacitor.
131
Ejemplo 12
En capacitor de armaduras planas paralelas drea A y separadas una distancia d se colocandos dielctricos de constantes dielctricas k1 y k2como se muestra en la figura. Determine lacapacidad del capacitor.
132
Ejemplo 13 El espacio entre dos esferas metlicas concntricas muy
finas est lleno de un dielctrico cuya constante es e. Losradios de las esferas son iguales a r1 y r2. La cargas de losconductores interior y exterior son iguales a +Q y Q,respectivamente. Determine: (a) la diferencia depotencial, (b) la densidad de cargas de polarizacin y (c)la capacidad del condensador esfrico con dielctrico.
133
Ejemplo 14 Considere un condensador esfrico formado por dos
conductores de radios a y c. Entre las dos superficiesconductoras se llena dos materiales dielctricos tal que eldielctrico de constante 1 est entre a y b, y el dielctricode constante 2 entre b y c como se muestra en la figura.Determine: (a) El desplazamiento elctrico en cada uno delos dielctricos, (b) el campo elctrico en cada uno de losmateriales dielctricos y (c) la capacitancia de estesistema.
134
Ejemplo 14 Un capacitor cilndrico de longitud L est compuesto por
una cscara de radio a con una carga +Q y de otracscara de radio b con una carga Q, separadas por undielctrico de constante e tal como se muestra en lafigura. Determine: (a) El desplazamiento elctrico, (b) elcampo elctrico en el dielctrico, (c) la diferencia depotencial entre las placas del capacitor y (d) lacapacitancia del capacitor.
135
Ejemplo 23 A una fuente de f.e.m. se le conectaron dos
capacitores de placas panas paralelas de aire, cada unode los cuales tiene una capacidad C. Luego uno de stosse lleno completamente con un dielctrico homogneo,cuya constante dielctrica es . Cuntas vecesdisminuy la intensidad de campo elctrico en stecondensador?. Qu carga circula a travs de la fuente?.
136
Ejemplo 24 El espacio entre las placas de un capacitor plano se llena
con un dielctrico istropo, cuya constante dielctrica vara en direccin perpendicular a las placas segn una leylineal desde 1 hasta 2, siendo 1 > 2. El rea de lasplacas es A, mientras que la distancia de separacin entrelas placas es d. Determine: (a) La capacitancia delcapacitor y (b) La densidad volumtrica de las cargasligadas en funcin de , si la carga en el capacitor es Q y elcampo elctrico en l se orienta e el sentido deacrecentamiento de .
137
Ejemplo 25 Un condensador de placas paralelas rectangulares de
longitud a y ancho b con cargas +Q y Q, posee undielctrico de igual anchura insertado parcialmente unadistancia x entre las placas como se indica en la figura.(a) Determine la capacidad en funcin de x, despreciandolos efectos de borde. (b) Comprobar que la respuestaofrece los resultados esperados para x = 0 y x = a. (c)Determine la energa almacenada en funcin de x. (d)determine la fuerza que acta sobre el bloque dedielctrico.
138
Ejemplo 26 Calcular la capacidad de un capacitor esfrico el cual posee sus
armaduras de radios a y b > a, que se llena con un dielctrico
istropo, cuya constante dielctrica vara segn la ley = /r,donde es una constante y r es la distancia medida desde elcentro.
solucin
En la figura se muestra el capacito y la superficie gaussiana
usada para hallar E
139
solucin Aplicando la ley de Gauss
El campo elctrico ser
La diferencia de potencial
Remplazando el valor =/r,
Integrando
La capacitancia del capacitorser
140
2
2
. (4 )
4
libreS
r
D ndA q D r Q
QD er
0 2
0 04r
D QD E E er
2
04b
a
V b b
V a a
QdrdV Edrr
20 04 ( / ) 4
b b
a ba a
Qdr QdrV V Vr r r
0
ln( / )4
QV b a
0
ln( / )4
Q QC QV b a 04
ln( / )C b a
Ejemplo 27 Partiendo de dos placas cuadradas de lado l y con una separacin
d se fabrica un capacitor. En dicho capacitor se inserta en su
interior un dielctrico de constante K, a cierta distancia como se
muestra en la figura. Suponga que d es mucho menor que x.
Determine: (a) la capacidad equivalente del dispositivo, (b) la
energa almacenada en el capacitor cuando las placas se conectan
a una ddp V; (c) la magnitud y la direccin de la fuerza elctricaejercida sobre el dielctrico
141
SolucinParte (a) la capacidad del capacitor ser
Parte (b) la energa almacenada por el capacitor ser
Parte (c) La fuerza ser
Parte (d). Remplazando valores se obtiene
142
Ejemplo
Considere dos alambres paralelos y de cargasopuestas de radios d y una separacin D entresus centros. Suponiendo que la carga estdistribuido uniformemente en la superficie decada uno de los alambres, demuestre que lacapacidad por unidad de longitud de este par deconductores es
143
Solucin
144
problema 01 En la figura, la batera tiene una diferencia de potencial deV = 10 V y cada uno de los cinco capacitores tiene una
capacitancia de 10 F. Cual es carga y la diferencia depotencial en cada capacitor C1 y C2
145
Problema 02 Considere las configuraciones mostradas en las figuras.
Encuentre la capacidad equivalente, asumiendo que todoslos capacitores tienen la misma capacidad C
146
Ejemplo 03 La figura muestra una batera de 12 V y cuatro
condensadores descargados cuyas capacitancias son c1 =
1,00F, C2 = 2,00F; C3 = 3,00F y C3 = 2,00F. (a) sisolamente el interruptor 1 es cerrado cules so las cargas
sobre cada uno de los capacitores. (b) si ambos interruptores
se cierran cual son las cargas en cada uno de los
capacitores?.
147
Ejemplo 04 Cada uno de los capacitores mostrados en la
figura tienen una capacitancia de 25 F. Unadiferencia de potencial de 4200 V esestablecida cuando el interruptor es cerrado.Determine la cantidad de carga pasa a travsdel medidor A
148
Ejemplo 05 En la disposicin mostrada en la figura, una diferencia de
potencial V es aplicada, y C1 es ajustado hasta que elvoltmetro marca cero. Este balance ocurre cuandoC1 = 4 F, Si C3 = 9 F y C4 = 12 . Determine C2
149
Ejemplo 06 En la figura, cada capacitancia C1 es de 9,3 F y cada
capacitancia C2 es de 6,2 F. (a) Calcular la capacidadequivalente de la red entre los puntos a y b. (b) Calcule lacarga en cada uno de los capacitores ms cercanos a lospuntos a y b cuando Vab = 840 V. Con 840 V a travs de ay b determine Vcd.
150
Ejemplo 07 Considere un capacitor de placas paralelas llenadas
con aire con una placa conectada a un resorte deconstante elstica k, y la otra placa se mantiene fija.El sistema se mantiene fijo sobre una mesa como seve en la figura. Si sobre las placas a y b existe unacarga +Q y Q. Determine la deformacin delresorte.
151
Ejemplo 08 El circuito mostrado en la figura est formado por dos placas
metlicas paralelas idnticas conectadas mediante resortes
metlicos idnticos a una batera de 100 V. Cuando el interruptor
est abierto, las placas no tienen carga y se encuentran separadas
una distancia d = 8 mm, con una capacitancia C = 2 F. Si se cierrael interruptor S, la distancia entre las placas disminuye en un factor
de 0,5. (a) Cunta carga se acumula en cada una de las placas?.
(b) Cul es la constante de resorte en cada uno de ellos?.
152
Solucin
153
Ejemplo 13
Cada capacitor de la combinacin que se muestra enla figura tiene un voltaje de ruptura de 15 V. Cul es
el voltaje de la combinacin?
154
Solucin
155
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