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1-1
1. CONCEPTOS DE
CONFIABILIDAD
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1-2
Objetivo: Presentar los conceptosindispensables para entender la
confiabilidadPropsitos
presentar el concepto de tiempo de vida y falla
exponer el concepto de distribucin deprobabilidad
definir confiabilidad
definir MTBF - MTTF
explicar el tiempo de misin visualizar la velocidad de falla grficamente
presentar los elementos de estadstica descriptiva
obtener una distribucin empricamente
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1-3
CONFIABILIDAD PARA QU?
Cul es la vida promedio del producto?
Cuntas fallas espera el prximo ao?
Cunto nos costar desarrollar y dar servicio a esteproducto?
Cmo podemos hacerlo ms efectivo en costo?
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1-4
TIEMPO DE VIDA Y FALLA
La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida tilde un producto. Durante este perodo el cliente obtienelas caractersticas ofrecidas intencionalmente.
Cuando cesa la capacidad del producto para entregar lacaracterstica ofrecida al cliente, se considera que hahabido unaFalla del producto. Esto representa eltrmino del tiempo de vida.
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MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Para modelar el tiempo de vida se asigna unamedida: La frecuencia relativa o laprobabilidad con que ocurrir el evento.
La regla que asigna valores de frecuenciarelativa o probabilidades a los valores de una
variable se llama Distribucin deProbabilidad
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1-6
Funcin de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t) Predice el comportamiento de cualquier situacin
probabilstica Probabilidad de t de caer en algn punto del rango t1 a t2
p t t t f t d tt
t( ) ( )1 2
1
2
t1 t2
DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD
t
f(t)
El rea total bajo lacurva siempre es 1 o
100%
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1-70 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
f(t)
0 100 200 300
0
10
20
30
OBS
1.6667
8.3333
30.0000
15.000013.3333
6.66676.66678.3333
3.33333.3333
0.00000.0000
3.3333
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD56.399 138.573 172.78 39.65556.554 132.988 45.735 9.5235.389 234.234 62.171 29.374
56.215 63.378 78.558 46.076
188.26 28.855 75.812 193.45
90.882 49.089 75.492 103.507
132.312 123.442 27.978 107.717
60.465 49.526 145.911 179.036
301.525 71.698 95.475 61.099
302.01 45.352 175.935 46.613101.978 182.344 34.899 82.272
98.37 225.349 43.461 176.949
64.026 137.758 52.311 145.45
43.881 93.901 49.619 73.873
53.358 77.471 92.019 117.592
PDF Weibull
Histograma
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DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDADSi acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta
un tiempo t1, obtenemos la Distribucin deProbabilidad Acumulada {CDF F(t)}.
F(t1) = P(t t1)
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1-9
Funcin de Distribucin Acumulada La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor
especfico, e.g., t1
Cuando la variable es tiempo de falla, esto
representa la no confiabilidad o laprobabilidad de que una unidad falle
antes del tiempo t1
1
0
1 )()0()(
t
dttfttPtF
DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
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F t P t t f t dtt
( ) ( ) ( ) 0 10
1
DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
t
f
(t)
t1
No confiabilidad, F(t)
Funcin de Densidad de Probabilidad
t
F
(t)
t1
Funcin de Distribucin Acumulada
0
1
0
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DEFINICIN DE CONFIABILIDAD
Confiabi l idades la probabilidad de que un sistemaejecute su funcin de intencin sin fallar para unintervalo especfico, bajo condiciones establecidas.
Se define como la Probabilidad de Supervivencia en undeterminado tiempo.
R(t) = 1 - F(t)
Algunos autores presentan como sinnimosSupervivencia y Confiabilidad
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t
R
(t)
DEFINICIN DE CONFIABILIDAD
R t F t f t d t f t d tt
t
( ) ( ) ( ) ( )
1 10
t1
Funcin de Densidad de Probabilidad Funcin de Confiabilidad
00
1
t
f(t)
t10
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MTBF - MTTFSi el tiempo de vida para una caracterstica de calidad
es una variable aleatoria y conocemos su distribucinde probabilidad , podemos calcular una medida delocalizacin, por ejemplo el valor de su media.
El valor medio del Tiempo de Vida se denomina TiempoPromedio entre Fallas, MTBF es el acrnimo enIngls, y se refiere a una medicin bsica deconfiabilidad para artculos que se pueden reparar.
MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto espara artculos que no pueden ser reparados.
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0 100 200 300
0
10
20
30
tiempo
1.6667
8.3333
30.0000
15.000013.3333
6.66676.66678.3333
3.33333.3333
0.00000.0000
3.3333
MTBF - MTTF
La media estimada deltiempo de vida est marcadacon la lnea punteada es de98.932, se obtuvocalculando el promedio de
los tiempos
98.932
0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
f(t)
N
t
m
N
i
i 1
La media calculada para esta
distribucin Weibull es funcinde sus parmetros h=2 y b=2
1.77245
b
h1
1MEDIA
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TIEMPO DE MISIN
Tiempo de Misin se refiere al tiempo intentado duranteel cual el producto entrega la caracterstica decalidad satisfactoriamente.
El Tiempo de Misin es una decisin de negocios ysirve para establecer una meta de logro por parte del
producto en cuanto a sus caractersticas.
Tiempo de Misin
Qu confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misin)
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VELOCIDAD DE FALLALa Velocidad de Falla Tasa de Riesgo o tambin
Tasa de Falla es la fraccin de fallas probables entrela proporcin de supervivientes al tiempo t. Cuandose conoce la Distribucin de Probabilidad de t, secalcula a partir de
h(t) = PDF / R(t)Es una medida de la mortalidad entre los artculosque quedan.
La tasa de falla representa la propensin a la falla de un
producto como una funcin de su edad o tiempo enoperacin. La tasa de falla en cualquier tiempo dado es laproporcin que caer en la siguiente unidad de tiemporespecto a aquellas unidades que han sobrevivido a estetiempo.
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TASA DE FALLA O TASA DE RIESGOPor ejemplo, 1000 motores elctricos se ponen a prueba
en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos estntrabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en lassiguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguienteshoras como lo ilustra la figura.
0 2000 2100 2200 horas tiempo
1000 400 350 300
No. de
sobrevivientes
La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:h(2000) = (nmero de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)
nmero de sobrevivientes a las 2000 horas
= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora
Similarm ente, la tasa de fal la a las 2100 ho ras es:
h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora
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CURVA DE LA BAERA
Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una poblacina travs del tiempo se observa un comportamientodescrito como la Curva de la Baera
t
h(t)
Fallas constantes
Fallas por deterioro o desgasteFallas infantiles
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0 100 200 300
0
10
20
30
OBS
1.6667
8.3333
30.0000
15.000013.3333
6.66676.66678.3333
3.33333.3333
0.00000.0000
3.3333
La Estadstica Descriptiva seorienta a proporcionar unadescripcintil, clara einformativa de una masa dedatos numricos.
Esto se hace al considerar
tpicos como:la coleccin y procesamiento dedatos originales,
presentacin tabular y grfica,
fuentes de datos,distribucin de frecuencias,
medidas de tendencia central y
medidas de dispersin.
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Un histograma es una descripcintil, clara e informativa de ladistribucin de frecuencias
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Un estadstico es cualquier funcin de las observaciones en unamuestra aleatoria, que no dependa de parmetros desconocidos
Obsrvese que como un estadstico es una funcin de los datosprovenientes de una muestra aleatoria, es a su vez una variablealeatoria.
Es decir, si se obtuvieran dos muestras aleatorias diferentesprovenientes de la misma poblacin y se calcularan las mediasmuestrales, podra esperarse que los valores obtenidos fuerandiferentes.
ESTADISTICOS
La media muestral, la varianza muestral, la desviacin estndarmuestral y los coeficientes de variacin, sesgo y curtosis son
algunos de los estadsticos ms comunes.
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Medidas
DescriptivasDescripcin POBLACION
MEDIA
VARIANZA
COEFICIENTE DEVARIACIN
COEFICIENTE DESESGO
COEFICIENTE DECURTOSIS
Estadstica Descriptiva
MUESTRA
dtttftE )()(
n
i
ixn
xm1
1Medida detendenciacentral
dttft )(22
n
i
i xxn
s1
22
1
1Medida dedispersin
la desviacin estndar es laraz cuadrada de la varianza
Medida delgrado devariabilidad
CV
2/32
3)(
3
dttft
2/32
1
3
3s
n
xxn
i
i
Medida deSimetra
Medida deAgudeza
22
4)(
4
dttft
22
1
4
4s
n
xxn
i
i
La Normal tiene un rango0.05
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Porqu son importantes losestadsticos?
Describen completamente los datos
Coeficiente de Variacin CV comnmente utilizado para describir propiedades
mecnicas de los materiales.
aproximadamente 15% para fractura
aproximadamente 7% para resistencia a la cedencia
ayudan a determinar la distribucin apropiada
la distribucin normal tiene un rango 0.05 < CV < 0.25
Exponencial CV = 1
Estadstica Descriptiva
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Porqu son importantes los estadsticos? Coeficiente de sesgo
medida de simetra
3 < 0 distribucin sesgada a la izquierda(tiene una cola a la
izquierda) 3 = 0 distribucin simtrica
Distribucin Normal 3 = 0
3 > 0 distribucin sesgada a la derecha (tiene una cola a laderecha
Coeficiente de curtosis medida de agudeza (puntiaguda)
4 < 3 distribucin menos aguda que la Normal
4 = 3 distribucin Normal
4 > 3 distribucin ms aguda que la Normal
Estadstica Descriptiva
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Porqu son importantes los estadsticos los tres ayudan a determinar los parmetros de la
distribucin CV
La Exponencial tiene un CV constante
El parmetro de forma de la distribucin Weibull es bienestimado con el coeficiente de variacin CV
coeficientes de sesgo y curtosis
la relacin entre ellos ayuda a determinar la distribucin que mejorse ajusta
Estadstica Descriptiva
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EJEMPLO DE DISTRIBUCIN
l
lh
l
l
l
l
1MEDIA
)(FALLADETASA
)(DADCONFIABILI
1)(CDF)(PDF
t
etR
etF
etf
t
t
t
Distribucin
Exponencial
Funcin de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000
Tiempo
f(t)
l= 0.003, MEDIA = 333
l= 0.002, MEDIA = 500
l= 0.001, MEDIA = 1,000
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1-26
EJEMPLO DE DISTRIBUCIN
bh
hhbh
hh
b
b
h
h
h
b
b
b
b
11MEDIA
)(FALLADETASA
)(DADCONFIABILI
1)(CDF
1
1
tt
etR
etF
et
tf
t
t
t
Distribucin
Weibull 2
parmetros
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EJEMPLO DE DISTRIBUCINAbra el archivo Distribucin.xls Seale la columna de
tiempo y pongala enorden ascendente
Veamos cmo se construyen lascurvas de distribucin usando elEXCEL
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EJEMPLO DE DISTRIBUCINAgregue unrengln inicial
con cero y unacolumna con uncontador queinicie en cero
Agregue una columnadonde estime F(t)usando la frmula deKaplan Meier*:
( F(t) = i/N)
Obtenga R(t) por la
diferencia R(t) = 1-F(t)
Note que puede estimar laConfiabilidad de 90% paraun tiempo de 35.389
* La frmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes
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EJEMPLO DE DISTRIBUCINSe estima la tasa de falla para lostiempos observados, con el inverso delnmero de supervivientes 1/(N+1-i)
Por ltimo se estimael intervalo de
confianza normal al95% para laconfiabilidad
NtFtRZtRtR
NtFtRZtRtR
LI
LS
)()()()(
)()()()(
2
2
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1-30
EJEMPLO DE DISTRIBUCINR(ti)= 1-F(ti)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
0 50 100 150 200 250 300 350
R(ti)= 1-F(ti)
F(ti)= i/N
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
0 50 100 150 200 250 300 350
F(ti)= i/N
Grficas deConfiabilidad R(t) y dela Funcin AcumuladaF(t) generadas enEXCEL
Recuerde que:R(t) = 1- F(t)
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EJEMPLO DE DISTRIBUCION
Use el archivo: distribucin.mtw
Ahora en Minitab...
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1-32
Distribution AnalysisVariable: tiempo
Censoring Information Count
Uncensored value 60
Nonparametric Estimates
Characteristics of Variable
Standard 95.0% Normal CIMean Error lower upper
98.9320 8.4776 82.3162 115.5478
Median = 75.8120
IQR = 83.4620 Q1 = 49.5260 Q3 = 132.9880
Kaplan-Meier Estimates
Number Number Survival Standard 95.0% Normal CI
Time at Risk Failed Probability Error Lower Upper
9.5200 60 1 0.9833 0.0165 0.9509 1.0000
27.9780 59 1 0.9667 0.0232 0.9212 1.0000
28.8550 58 1 0.9500 0.0281 0.8949 1.0000
29.3740 57 1 0.9333 0.0322 0.8702 0.9965
34.8990 56 1 0.9167 0.0357 0.8467 0.9866
35.3890 55 1 0.9000 0.0387 0.8241 0.9759
39.6550 54 1 0.8833 0.0414 0.8021 0.9646
43.4610 53 1 0.8667 0.0439 0.7807 0.9527
43.8810 52 1 0.8500 0.0461 0.7597 0.9403
45.3520 51 1 0.8333 0.0481 0.7390 0.9276
45.7350 50 1 0.8167 0.0500 0.7188 0.9146
46.0760 49 1 0.8000 0.0516 0.6988 0.9012
46.6130 48 1 0.7833 0.0532 0.6791 0.8876
49.0890 47 1 0.7667 0.0546 0.6596 0.8737
49.5260 46 1 0.7500 0.0559 0.6404 0.8596
49.6190 45 1 0.7333 0.0571 0.6214 0.8452
52.3110 44 1 0.7167 0.0582 0.6026 0.8307
Para un tiempo
de 35.389 la
confiabilidad es
del 90%
Clculo de R(t) para un tiempo
INTERPRETACION DE
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1-33
0 100 200 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Time to Failure
Rate
Nonparametric Hazard P lot for tiempoEmpirical Hazard Function
Complete Data
Mean
Median
IQR
98.932
75.812
83.462
0 100 200 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Time to Failure
Nonparametric Survival Plot for tiempoKaplan-Meier Method-95.0% Confidenc e Intervals
Complete Data
Mean
Median
IQR
98.932
75.812
83.462
INTERPRETACION DERESULTADOS
Observamos lasgrficas de lasdistribucionesempricas de: riesgoy confiabilidad
Las asignaciones deprobabilidades se basan sloen las frecuenciasobservadas, y no suponenningn modelo especial.
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1-34
PUNTOS CLAVE
tiempo de vida til y falla
distribucin de probabilidad
confiabilidad MTBF - MTTF
tiempo de misin
velocidad de falla estadstica descriptiva
distribucin emprica
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1-35
2. MODELOS DE
CONFIABILIDADDistribuciones de Probabilidad
Exponencial
Weibull
Lognormal
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1-36
OBJETIVO
Presentar los modelos Exponencial, Weibull yLognormal para la confiabilidad, sus caractersticasprincipales y guas para su empleo
Puntos: Modelos Paramtricos de Confiabilidad
Distribuciones de Probabilidad
Parmetros
Propiedades Situaciones para modelar
Gua para eleccin del modelo
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1-37
Modelos Paramtricos de
ConfiabilidadDistribuciones Paramtricas
Algunas Distribuciones de Probabilidad se puedenexpresar como una funcin matemtica de la variable
aleatoria. La funcin tiene adems de la variable aleatoria,
constantes que le dan comportamientos especficosa las distribuciones
Los parmetros definen:FORMA
ESCALA
LOCALIZACION
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Los Parmetros definen lo que esta detrs de cadadistribucin.
Conociendo los parmetros de una distribucin podemosinferir el comportamiento de la confiabilidad
La Forma de la distribucin
La Escala de la distribucin
La Localizacin de la distribucin
Qu hay atrs de una distribucin?
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Distribucin Normal
La Normal o Distribucin Gaussiana es la distribucinms conocida
Tiene Media = Mediana = Moda
La Media , es tambin su parmetro de localizacin La PDF normal tiene forma de una campana con
simetra sobre su media
La normal no tiene parmetro de forma. Esto significaque la PDF normal slo tiene una forma, la campana
y esta forma no cambia La desviacin estndar, es el parmetro de escala
de la PDF normal
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f tt
( ) e x p
1
2
1
2
2
Distribucin de la Funcin Normal
Funcin de Densidad de Probabilidad Normal
Distribucin Normal
= 500 = 30 = 50 = 70
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0.0080
0.0100
0.0120
0.0140
200 400 600 800 1000
Tiempo
f(t)
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41/275
1-41
R t f t d t z d z
t z t
( ) ( ) ( )
( )
Funcin de Distribucin Normaldonde z(t) = (t-/ y (z) = normal estandarizada pdfFuncin de Confiabilidad Normal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
200 400 600 800 1000
Tiempo
R(t)
= 500 = 30 = 50 = 70
Distribucin Normal
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42/275
1-42
Funciones de Distribucin Normaldonde (z) =normal estandarizada pdf
Funcin Normal de Tasa de Falla
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
200 400 600 800 1000Tiempo
h(t)
= 500 = 30 = 50 = 70
Distribucin Normal
)(
)(
)( zR
z
th
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
43/275
1-43
Distribucin Normal
Tienden a seguir una distribucin normal los ciclos de falla encomponentes mecnicos sometidos a niveles altos de estrs
Es til si el coeficiente de variacin es pequeo (
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
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1-44
El modelo exponencial, con un solo parmetro, es el ms
simple de todo los modelos de distribucin del tiempo devida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
Distribucin Exponencial
lh
l
ll
l
l l
l
l
@
)(:FALLADETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
t
m
etf
etR
etF
t
t
t
Funcin de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
f(t)
l= 0.003, MEDIA = 333
l= 0.002, MEDIA = 500
l= 0.001, MEDIA = 1,000
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
45/275
1-45
R(t) = e(-lt) (Confiabilidad)
Funcin de Confiabilidad Exponencial
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
R(t)
l= 0.003, MTBF = 333
l= 0.002, MTBF = 500
l= 0.001, MTBF = 1,000
Distribucin Exponencial
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
46/275
1-46
h(t) = lMEDIA(Velocidad de Falla)
Funcin de la Tasa de Falla Exponencial
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
h(t)
l= 0.001, MTBF = 1,000
l= 0.002, MTBF = 500
l= 0.003, MTBF = 333
Distribucin Exponencial
Note que la tasa defalla tiende a ser unaconstante l paracualquier tiempo. La
distribucin exponenciales la nica que tieneuna velocidad de fallaconstante
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
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1-47
Distribucin Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de vida til de la
curva de la baera, i.e., la tasa de falla es constante
Los sistemas complejos con muchos componentes ymltiples modos de falla tendrn tiempos de falla quetiendan a la distribucin exponencial
desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribucinms conservadora para prediccin.
Distribucin Exponencial
La forma de la exponencialsiempre es la misma
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
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1-48
Distribucin Exponencial
La Distribucin exponencial de 2 parmetros tiene las siguientes ecuaciones:
lh
l
l
g
l
g
lg
l gl
gl
gl
@
)(:FALLADETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
)(
)(
)(
t
m
etf
etR
etF
t
t
t g es el parmetro delocalizacin, si es positivo,cambia el comienzo de la
distribucin por una distancia ga la derecha del origen,significando que lasposibilidades de falla empiezana ocurrir slo despus de g
horas de operacin, y nopueden ocurrir antes.
Note que la varianza y la tasa de falla son
iguales a las de la exponencial de un parmetro
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
49/275
1-49
Distribucin Weibull La distribucin de
Weibull es un
modelo dedistribucin de vidatil muy flexible,para el caso de 2parmetros:
1
22
1
1
:FALLADETASA
11
21:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
b
b
h
b
h
h
bh
b
bh
bh
h
bh
hh
bb
b
b
t
et
tf
etR
etF
t
t
t
Donde h es unparmetro de escala (lavida caracterstica) y bse conoce como el
parmetro deforma(pendiente) y es lafuncin Gamma con(N)=(N-1)! para Nentero
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1-50
Distribucin Weibull
1
22
1
1
:FALLADETASA
11
21:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
b
b
h
gb
h
g
h
g
b
g
h
b
bh
bh
hg
bhg
h
g
h
bb
b
b
t
et
tf
etR
etF
t
t
t
Una forma ms general de3 parmetros de la Weibullincluye un parmetro detiempo de espera(localizacin desplazamiento). Lasfrmulas se obtienen
reemplazando t por (t-g).
No puede ocurrir una fallaantes de g horas, el tiempocomienza en g no en 0.
Di ib i W ib ll
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1-51
Funcin de Distribucin Weibull f tt t
( ) exp
b
h h h
b b1
Funcin de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Tiempo
f(t)
b = 0.5h = 1000
b = 1.0h = 1000
b = 3.4h = 1000
Distribucin Weibull
Di t ib i W ib ll
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
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1-52
Funciones de Distribucin WeibullR t
t( ) exp
h
b
Funcin de Confiabilidad Weibull
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Tiempo
R(t)
b = 0.5h = 1000
b = 1.0h = 1000
b = 3.4h = 1000
Distribucin Weibull
Di t ib i W ib ll
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1-53
Funciones de Distribucin Weibullh
b
h h
b
( )tt
1
Funcin Tasa de Falla Weibull
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
h(t)
b = 3.4h = 1000
b = 1.0h = 1000
b = 0.5h = 1000
Distribucin Weibull
Di t ib i W ib ll
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1-54
Distribucin Weibull mientras la funcin pdf de la distribucin exponencial
modela la caracterstica de vida de los sistemas, la Weibull
modela la caracterstica de vida de los componentes ypartes
modela fatiga y ciclos de falla de los slidos
es el traje correcto para datos de vida La funcin de distribucin Weibull pdf es una distribucin de la
confiabilidad de los elementos de una muestra muy flexible y puede tomar diferentes formas
Distribucin Weibull
Di t ib i W ib ll
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1-55
Distribucin Weibull
Tiene usted una Distribucin Weibull con b=2y h=2, Cul es la media y la varianza?
2
2 1
1
2
1varianza
11
bhbh
bhm
1
23
Archivo
Weibull.xls
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1-56
tiempo
Tiempo de vida tilFallas
tempranasDesgaste
ldecreciente
b< 1
lconstante
b= 1
lcreciente
b> 1
b < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantilb = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< b < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosin, erosinb > 4 aumenta rpidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y
envejecimiento
Las tres porciones de la curvade tina de la baera tienen
diferentes ndices de falla.Las fallas tempranas secaracterizan por un ndice defalla decreciente, la vidatilpor un ndice de fallaconstante y el desgaste se
caracteriza por un ndice defalla creciente. La distribucinde Weibull puede modelarmatemticamente estas tressituaciones.
Distribucin Weibull
La Distribucin Weibull - Interpretacin
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1-57
b < 1(Tasa de riesgo decreciente)Implica mortalidad infantil
Si esto ocurre, puede existir:-Carga, inspeccin o prueba inadecuada-Problemas de Manufactura-Problemas de reparacin
Si un componente sobrevive la mortalidadinfantil , la resistencia a fallar mejora con laedad.
b = 1 (Tasa de riesgo constante)Implica fallas aleatorias(DistribucinExponencial)
Una parte vieja es tan buena como unanueva
Si esto ocurre:-Mezcla de modos de falla-Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o erroreshumanos
-Fundido y removido antes de sudesgaste1
7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad
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1-58
Cuando b = 2.5 la Weibull se aproxima a ladistribucin Lognormal(estas distribuciones son tancercanas que se requieren tamaos de muestramayores a 50 para distinguirlas).
Cuando se modela el tiempo que se necesita para
que ocurran reacciones qumicas, se ha mostradoque la distribucin Lognormal usualmenteproporciona un mejor ajuste que la Weibull.
Cuando b = 5 la Weibull se aproxima a una Normal
puntiaguda.
Distribucin Weibull
Distribucin Weibull
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1-59
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de fallaobservadas que no pueden modelarseadecuadamente mediante la Weibull. Algunosejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el
esfuerzo requerido para la fatiga de metales.2.El tiempo de falla de componentes electrnicos.
3.El tiempo de falla para artculos que se desgastan,tales como las llantas de un automvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente msdbil del sistema(la distribucin Weibull representauna distribucin de valor extremo).
Distribucin Weibull
Distribucin Weibull
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1-60
Qu pasa en una distribucin Weibull si el tiempotiene el valor de la vida caracterstica, t = h?
Distribucin Weibull
6321.0)(1)(
3678.0exp)(
tsi
exp)(
1
hh
h
hh
h
h
b
b
tRtF
etR
ttR
Al llegar altiempo de vidaigual a la vidacaracterstica el
63.2% de loselementos habrfallado. Estehecho se usa enlas grficas paraidentificar el valorde h (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial,
recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuandob = 1.
Distribucin Lognormal
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1-61
Un tiempo de falla se distribuye segn una Lognormal si ellogaritmo del tiempo de falla est normalmente distribuido.
La Distribucin Lognormal es una distribucin sesgada hacia laderecha.
La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuyedespus.
Distribucin Lognormal
Distribucin Lognormal
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1-62
Si un tiempo t est distribuido Lognormal,
t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)
Distribucin Lognormal
2
2
1
2
1)(
yyy
y
et
tf
2
2
1
2
1)(
yyy
y
eyf
y
TttF
)ln()( 50
y
yyyF)(
2exp
2
50
y
yt T
)ln( 50Ty
2
250
1)exp(
t
t
t
yT
y
CDF
MEDIA
MEDIANA
t y = ln(t)
2
2
1lnt
t
1)exp()exp( 22250 yyT VARIANZA
(z) es la CDF de la Normal estndar
Distribucin Lognormal
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1-63
La Distribucin de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo
muy flexible que puede empricamente ajustar a muchos tipos dedatos de falla. En su forma de dos parmetros tiene losparmetros ln(t) = yparmetro de forma, y T50 = la mediana (unparmetro de escala)
Si el tiempo para la falla t, tiene una distribucin Lognormal,
entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tieneuna distribucin normal con media y = ln T50 y desviacinestndary.
Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlosas: determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de
falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datosnormales resultantes. Posteriormente, haga la conversin atiempo real y a los parmetros lognormales usando y como laforma lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parmetro deescala.
Distribucin Lognormal
Distribucin Lognormal
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1-64
Funcin de Distribucin
Lognormal
f tt
t( ) e xp
ln ( )
1
2
1
2
2
donde y son funciones de lns
Funcin de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo
f(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribucin Lognormal
Distribucin Lognormal
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1-65
R t f t d t f t d t z d zt t z t
( ) ( ) [ ln ( ) ] [ln ( ) ] ( )ln ( ) [ ln ( ) ]
Funcin de Distribucin
Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-/](z) = normal estandarizada normal pdf
Funcin de Confiabilidad Lognormal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
R(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribucin Lognormal
Distribucin Lognormal
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1-66
h( )( )
( )
tf t
R t
Funcin de Distribucin Lognormal
Funcin Tasa de Falla Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo
h(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribucin Lognormal
Distribucin Lognormal
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1-67
Distribucin Lognormal
Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t
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1-68
Distribucin Lognormal Nmero de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes
metlicas, niveles de tensin significativamente menores que suslmites
Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecnicos,especialmente en el caso de uso
La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribucinLognormal
Las variables de peso son frecuentemente bien representadas conuna distribucin Lognormal
Es una buena distribucin para cualquier variable
La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de unaproporcin o efecto multiplicativo es Lognormal
Distribucin Lognormal
Modelos Paramtricos de
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1-69
Confiabilidad Ventajas
Usados cuando la distribucin subyacente de los tiempos defalla se conoce o puede ser supuesta
Datos de prueba previos Parmetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK-217) Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla
Tiene ms poder para hacer una decisin correcta que enlas pruebas no-paramtricas Rinde informacin ms precisa que los mtodos no-
paramtricos Los intervalos de confianza son ms amplios usando no-
paramtricas
Permite extrapolar fuera del rango de los datos
Modelos Paramtricos de
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1-70
Confiabilidad Desventajas
El uso no apropiado delmodelo puede llevar aconclusiones incorrectas
Implica un conocimientoprevio del comportamientode los mecanismos de fallay su efecto en laobservacin estadstica
Si no se conoce nadasobre la falla debe tenersecuidado en unprocedimiento paraseleccionar un modeloadecuado.
Cuadro de Distribuciones
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1-71
h() ()()
t f t
Rt
f tt
( ) exp
1
2
1
2
2
Rt zdzzt
() ()()
h
( ) (
)( )
t z
R z
f tt t
( ) exp
bh h h
b b1
Modelos Comunes
de Confiabilidad
f tt
t( ) exp
ln( )
1
2
1
2
2
R t z dzz[ln(t
( ) ( ))]
R t t( ) exp
h
b
h bh h
b
()tt
1
f(t) = lexp(-lt)
R(t) = exp(-lt)
h(t) = l
Exponencial Weibull Normal Lognormal
Funcin de Densidadde Probabilidad (pdf),f(t)
Funcin deConfiabilidad, R(t)
Funcin de Tasa deFalla, h(t)
Tiempo Medio EntreFallas (MTBF)
T 1
lT h
b( )
11 mediaT
ln(t)funcionlaesT'donde
)2
1'exp( '
2TTT
Parmetros 1/l= escalasin forma
h = escala
b = forma, opendiente Weibull
media = localizacin= escala media de lns = escalade lns= forma
Aplicaciones Sistema complejovida tilelectrnica
b < 1, fallas infantilesb = 1, exponencialb > 1, desgasteb app 3.4, app. normalmuy flexiblebien para fatiga encomponentes mecnicos
z(t) = (t - )/(z) = pdf normal std.desgaste altoefectos aditivos (CLT)
z[ln(t)] = (ln(t) - )/donde = media de lns
= desv. std. de lns(z) = pdf normal std.fatiga en metalesdesgaste de partes mecnicasefectos multiplicativos
Cuadro de Distribuciones
Identificacin de Modelos
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1-72
Identificacin de Modelos
Debemos de elegircuidadosamente el modeloapropiado de distribucin de vida Cualquiera que sea el mtodo usado
para escoger el modelo, debemosverificar:
que tenga sentido - por ejemplo no usarun modelo exponencial que tiene una
tasa de falla constante para modelar unafalla de desgaste.
Pasar las pruebas estadsticas y visualespara ajuste de datos
Identificacin de Modelos
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1-73
Identificacin de Modelos Grficas, Abrir: identificacin.mtw
0 100 200 300 400 500
95% Confidence Interval f or Mu
48 58 68 78 88 98 108 118 128 138
95% Confidence Interv al for Median
Variable: T
A-Squared:P-Value:
MeanStDev
VarianceSkewnessKurtosisN
Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum
72.713
84.475
53.078
2.3390.000
101.453101.127
10226.72.008375.38151
50
0.12430.89882.077
124.588520.432
130.193
126.018
102.444
Anderson-D arling N orm alit y Test
95% Confidence Interval f or Mu
95% Confidence Interv al for Sigma
95% Confidence Interv al f or Median
Descriptive Statistics
Seguir la secuencia STAT>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics
No pasa el criteriode normalidad
=0.9966, elcoeficiente devariacin esprcticamente 1
Media y desviacin
estndar soniguales
Sesgo >0distribucin sesgadaa la derecha
Curtosis >3, tiene
ms agudeza queuna normal
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Identificacin de Modelos
Grficas
Abrir:identificacin.mtw
Identificacin de Modelos
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1-75
Identificacin de Modelos
1
5
10
20
3040506070
80
90
95
99
-100 0 100 200 300 400 500
Normal
1
5
10
20
3040506070
80
90
95
99
0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0
Lognormal
1
2
3
5
10
20
3040
60
75
9095
99
0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0
Weibull
1030
50607080
90
95
97
98
99
0 100 200 300 400 500
Exponential
Four-way Probability Plot for TNo censoring
Cul ajusta mejor...?
Id tifi i d M d l
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Identificacin de Modelos
El modelo
exponencial
Identificacin de Modelos
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Identificacin de Modelos
0 100 200 300 400 500
1510203040506070
80
90
95
99
Exponential Probability
Percent
0 100 200 300 400 500
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
0 100 200 300 400 500
0.00980
0.00985
0.00990
Hazard Function
0 100 200 300 400 500 600 700
0.000
0.005
0.010
Probability Density Function
Overview Plot for TNo censoring
Exponential
ML Estimates
Mean: 101.453
Fail. Rate: 9.86E-03
MTBF: 101.453
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1-78
Ahora Usted... Abra los datos en distribucin.mtw (los
del captulo 1) y proponga qu modelo de
distribucin los representa mejor. Analice los datos en la columna C5
Obtenga las grficas
Calcule los estadsticos descriptivos
Utilice algn procedimiento automatizado paraidentificacin de distribucin
proponga una distribucin
Ejercicio
Ej i i
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1-79
0 50 100 150 200 250 300
95% Confidence Interv al f or Mu
60 70 80 90 100 110 120
95% Conf idence Interv al f or Median
Variable: tiempo
A-Squared:P-Value:
MeanStDevVariance
SkewnessKurtosisN
Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum
81.968
55.662
61.055
2.3460.000
98.932065.66714312.17
1.303991.49195
60
9.52049.54976.642
136.566302.010
115.896
80.092
98.620
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval f or Mu
95% Confidence Interv al for Sigma
95% Conf idence Interv al f or Median
Descriptive Statistics
Ejercicio
Ej i i
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1-80
Ejercicio
1
5
10
20
3040506070
80
90
95
99
0 100 200 300
Normal
1
5
10
20
3040506070
80
90
95
99
10 100
Lognormal
1
2
3
5
10
20
3040
60
75
9095
99
10 100
Weibull
1030
506070
80
90
95
97
98
99
0 100 200 300 400
Exponential
Four-way Probability Plot for tiempoNo c ensoring
Ej i i
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Ejercicio
10 100
1
5
10
20
3040506070
80
90
95
99
Lognormal Probability
Percent
0 100 200 300 400
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
0 100 200 300 400
0.005
0.010
0.015
Hazard Function
R
ate
0 100 200 300 400 500 600
0.000
0.005
0.010
Probability Density Function
Overview Plot for tiempoNo censoring
Lognormal
ML Es timates
Location: 4.38759
Scale: 0.66066
MTBF: 100.066
MTBreporta la
media y la
desviacin
estndar
de loslogaritmos
de los
tiempos
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1-82
Puntos Clave
Los modelos paramtricos tienen muchas ventajaspara modelar situaciones de confiabilidad.
Es necesario asegurar cul es el modelo msapropiado para modelar
La decisin depende del conocimiento delmecanismo de falla y la forma en que se observa.
Las distribuciones tienen parmetros que le danciertas caractersticas: forma, escala, localizacin.
Recuerde siempre confirmar el modelo dedistribucin a usar y ver que las propiedadescorrespondan a lo conocido sobre la falla
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3. DEFINICIN DE
PROYECTOS DE
CONFIABILIDAD
Objetivo
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jPropsitos: Conocer las herramientas utilizadas en la identificacin
de proyectos de confiabilidad. Asegurar el control del impacto en el sistema bajo
estudio, en un proyecto de confiabilidad a travs del usode las herramientas para la identificacin de proyectos.
Aprender de un proyecto real la secuencia e integracinde las herramientas para la identificacin de proyectos deconfiabilidad.
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DMAIC Y Confiabilidad
Definicin Anlisis
Obj ti d t i l
Medicin
Identificar Obj ti d t i l
Mejora
O
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1-86
Objetivo: determinar las"X" vitales
Pruebas Estadsticas:Comparacin deConfiabilidad actualcontra propuesta:
Anlisis Paramtrico,Anlisis No Paramtrico.Diseo de experimentospara eliminar X's.Regresin de parmetrosObservacin de tiemposde falla o degradacin deY
Sistema de Medicin,Calibrado, Lineal,Estable, Gage RyR
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