COLECCIÓN METODOLOGÍA DE LAS CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO
Queda totalmente prohibida, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización de los titulares de los derechos. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual
© Emilia I. de la Fuente Solana y Joan Guàrdia Olmos
Edita: Ediciones Sider S.C. 1ª Edición octubre de 2007 I.S.B.N. 978-84-96876-12-5
Los contenidos de este libro incluyen material relacionado con técnicas de análisis de datos
que proponen el uso de la filosofía Bayesiana, gracias a la subvención del Ministerio de
Educación y Cultura dentro del proyecto SEJ2006-13009.
Emilia I. de la Fuente Solana
Joan Guàrdia i Olmos
Gustavo R. Cañadas de la Fuente
Luis Manuel Lozano Fernández
Mª Eva Martín Puga
Cristina Vargas Pecino
B P
E
D
E .
U
U B
U
5
ÍNDICE
PRESENTACIÓN 7
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 11
1.1. Reglas de contar 11
1.2. Elementos del calculo de probabilidades 12
1.3. Probabilidad como frecuencia relativa 13
1.4. Probabilidad subjetiva 13
1.5. Axiomatica de kolmogorov y teoremas básicos de la probabilidad 14
1.6. Teoremas basicos de la probabilidad 15
1.7. Función de probabilidad 15
CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD CONDICIONADA 17
2.1. Sucesos condicionados y sucesos independientes 17
2.2. Teorema de la probabilidad total 17
2.3. Teorema de Bayes 18
2.4. SUCESOS INDEPENDIENTES 18
CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA 21
3.1. Variable aleatoria 21
3.2. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 21
3.3. Propiedades de la función de probabilidad 21
3.4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta 22
3.5. Propiedades de la función de distribución 22
3.6. Características de posición de una variable aleatoria discreta 22
3.7. Dispersión de una variable aleatoria discreta 23
3.8. Propiedades del valor esperado 24
3.9. Propiedades de la varianza 25
3.10. Densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua 25
3.11. Función de distribución de una variable aleatoria continua 26
3.12. Propiedades de la función de distribución de una variable Aleatoria continua 26
3.13. Parámetros de una variable aleatoria continua 26
3.14. Tipificación de una variable aleatoria 27
6
CAPÍTULO 4. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA 29
4.1. Distribución de Bernoulli 29
4.2. Distribución Binomial 30
4.3. Distribución Hipergeométrica 31
4.4. Distribución de Poisson 32
4.5. Distribución Binomial Negativa 33
4.6. Distribución Geométrica 34
CAPÍTULO 5. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA 35
5.1. Familia de Distribuciones Normales 35
5.2. Aproximación entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal 36
5.3. Distribuciones continuas que se construyen a partir de la distribución Normal 37
CAPÍTULO 6. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS 39
6.1. Tabulación de modelos probabilísticos para variables discretas 39
6.2. Gráficos de modelos probabilísticos para variables discretas 39
6.3. Tablas de las Distribuciones Binomial y Poisson 40
CAPÍTULO 7. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS 61
7.1. Tabulación de modelos probabilísticos para variables continuas 61
7.2. Gráficos de modelos probabilísticos para variables continuas 61
7.3. Tablas de las distribuciones Normal, t-Student, Ji-cuadrado y F de Fisher Snedecor 64
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 75
ANEXO. FORMULARIO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 77
7
PRESENTACIÓN
Efectivamente, este breve texto trata de probabilidades. Dicho así no parece muy prometedor,
especialmente para aquellos que ven en la probabilidad (cálculo de probabilidades, teoremas
fundamentales de la probabilidad o la algebra de probabilidades) uno de los episodios más
oscuros de sus historia escolar. Es cierto que la mayoría de estudiantes que en su etapa
preuniversitaria se acercan (casi siempre por obligación y casi nunca por devoción) a las
probabilidades, lo hacen con la misma actitud con la que afrontan la asignatura de
matemáticas. De hecho, la sola mención de la palabra probabilidad les lleva de nuevo a la
clase de matemáticas y algunos, incluso, se acuerdan de conceptos vagos como probabilidad
total o, como menos, visualizan un pasado en el que se asentaron durante muchos meses las
bolsas con bolas blancas y bolas negras.
Sin embargo la realidad es tozuda y el uso de los conceptos probabilísticos es de uso común,
no ya entre la población general – que también – sino en el trabajo cotidiano de los psicólogos
profesionales. Asistimos a la lectura de informes psicológicos en los que el diagnóstico final o
las recomendaciones que se hacen se asientan en conclusiones probabilísticas e incluso el
propio lenguaje escrito (y oral también, no crean) se refugia en la ambigüedad de los términos
8
para no dar como definitiva y contundente alguna conclusión. Tópicos como: es probable que
…., podría darse el caso …., nos parece razonable …. Son eufemismos que utilizamos para
esconder una valoración no categórica de aquello que se enjuicia. No es habitual emplear el
lenguaje matemático para este menester, no usamos la probabilidad asociada a un evento para
justificar lo seguros que estamos de nuestra aseveración. Pero es claro que en un mundo que
se supone en blanco y negro, nosotros afortunadamente nadamos en gris y con distintas
intensidades.
Por otro lado no hace falta establecer aquí ninguna justificación para el uso de las
probabilidades y de la importancia de las mismas para el desempeño estadístico.
Lamentablemente son pocas las ocasiones en las que los estudiantes de psicología disponen de
un marco de trabajo en el que puedan pensar, discutir y asimilar las diferencias entre la
definición axiomática de probabilidad (volvemos a las bolas blancas y negras) y la definición
“frecuentista” de la probabilidad que nos ofrecen las técnicas estadísticas. Aún peor, no
tenemos demasiado tiempo para que los futuros (… y actuales) psicólogos entiendan
exactamente que la administración de cualquier prueba de diagnóstico o de evaluación
psicológica se debe entender como un acontecimiento probabilístico y que desde esta
perspectiva es mucho más fácil y coherente el concepto de error de medida o el de sesgo de
medida. Dicho de otro modo, si los psicólogos profesionales tuvieran más presentes estas
cuestiones, muchos de los informes técnicos, evaluaciones, selecciones, diagnósticos y todo
aquello conectado con los instrumentos de clasificación que a veces son tan alegremente
usados y peor interpretados no sería campo de cultivo de múltiples errores y apreciaciones
incorrectas.
9
De ello somos responsables todos, puesto que la formación en nuestras Facultades de
Psicología adolece, en nuestra opinión, de un excesivo tono tecnológico en las asignaturas
instrumentales, en detrimento de los aspectos más metodológicos entendido esto como el
proceso de comprensión del método que hace posible medir en Psicología y el argumento
probabilístico de la Estadística. Algunos argumentaran y no sin razón, que muchos
profesionales de la salud o de la educación y también del ámbito social y organizacional (por
cubrir todo el espectro) utilizan herramientas de diagnóstico y análisis de datos sin conocer el
fundamento que los justifica y el método que los convierte en riguroso. Cierto, muy
probablemente el médico que analiza nuestras analíticas de lo que sea no recuerda ni usa el
concepto de intervalo de confianza y se limita a estudiar el ajuste de nuestros estadísticos con
los parámetros de normalidad. La diferencia con la Psicología estriba en que nuestros
elementos de diagnóstico no contienen una métrica plausible (en términos matemáticos) y por
tanto no es comparable directamente el resultado de una prueba estandarizada con el resultado
de una analítica en que la métrica euclidiana es incontrastable. Seguimos en busca del arca
perdida …..
Finalmente y para finalizar esta introducción, decir que las siguientes páginas
contienen lo que los clásicos llaman un breviario y los más modernos un formulario; en el que
de forma ordenada se expresan las expresiones más relevantes del ámbito de las
probabilidades, principales funciones de densidad y de distribución, así como sus
propiedades; al objeto de que lo posteriores desarrollos de la tecnología estadística y
psicométrica estén al amparo del discurso probabilístico que las hace posible. No se trata,
pues, de un texto académico de consulta, se trata de unos esquemas para que a su margen los
estudiantes señalen aquello que sea relevante para comprender holísticamente de que
hablamos y para que, en un momento dado, nadie se olvide que buena parte de la literatura
10
científica en Psicología propone modelos de estudio de los fenómenos propios de nuestra
disciplina que están basados en los modelos de probabilidad que a continuación se
esquematizan.
Granada, octubre de 2007
Introducción a la probabilidad
11
CAPÍTULO 1.INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1.1. REGLAS DE CONTAR
Son reglas que permiten la enumeración o cómputo de elementos, en aquellos casos en
que dicha tarea no resulta fácil; más concretamente, aquellas que se derivan desde la Teoría
de los números combinatorios, es decir, las ordenaciones de n elementos o permutaciones, las
variaciones o subgrupos ordenados de tamaño r de un total inicial de elementos n, y las
combinaciones o subconjuntos no ordenados de tamaño r de un total inicial de elementos n
(Amón, 1993; Cooms, Dawes y Tversky, 1970, MacLane y Birkhoff, 1971a, 1971b). El
cómputo con dichas reglas combinatorias se realiza a partir de las formulaciones que se
incluyen en el cuadro siguiente:
Permutaciones Variaciones Combinaciones
Sin repetición !nPn
)!rn(
!nV r,n
)!rn(!r
!n
r
nC
r,n
Con repetición
!t!s!r
!nPR t,s,r
n
rr,n nVR
r
rnCR rn
1,
Donde Pn son las permutaciones de n elementos; PRnr,s,t son las permutaciones de n
elementos entre los que hay r repetidos, s repetidos y t repetidos; Vn,r representa las
variaciones de n elementos tomados en grupos ordenados de tamaño r; VRn,r representa las
mismas variaciones que acabamos de citar pero en el caso en el que pueden repetirse algunos
elementos; Cn,r son las combinaciones de n elementos en grupos de tamaño r y CRn,r hace
referencia a la misma situación pero con repetición de los elementos.
Breviario de Probabilidades para Estadística
12
1.2. ELEMENTOS DEL CALCULO DE PROBABILIDADES
A partir de este momento trabajaremos con “experimentos o experiencias aleatorias”, que
contienen los elementos que aparecen relacionados seguidamente (Canavos, 1988).
Formulario 2. Elementos para establecer probabilidades
Un experimento o experiencia aleatoria es cualquier operación cuyo resultado no puede
ser pronosticado con certeza.
El conjunto E de todos los resultados posibles en una experiencia aleatoria es su
“espacio muestral”.
Un espacio muestral se dice discreto si sus resultados se pueden poner en
correspondencia con el conjunto de los números enteros positivos o un subconjunto
finito del mismo.
Un espacio muestral se dice continuo si no se puede establecer la correspondencia
anterior y contiene infinitos elementos que no son numerables.
Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral.
El suceso nulo o vacio es aquel que no contiene ningún elemento del espacio muestral,
también se denomina suceso imposible.
El suceso total es el propio E, también se denomina suceso seguro.
Los sucesos que han sido definidos previamente son elementos de un conjunto y como tales,
vamos a poder realizar con ellos determinadas operaciones, que relacionamos a continuación.
Formulario 3. Operaciones con sucesos
Dados A y B, el suceso unión de ambos, se nota AUB y está formado por todos los
elementos de A y de B.
Dados A y B, el suceso intersección de ambos se nota A B y está formado por los
elementos comunes a ambos sucesos.
Dos sucesos A y B se dicen mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos cuando
la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro. Dos sucesos incompatibles
cumplen que A B= .
Si todos los resultados de A están incluidos en B, se dice que A está contenido en B y se
nota
Introducción a la probabilidad
13
El suceso complemento, complementario o contrario de A es aquel cuyos elementos son
todos los elementos del espacio muestral E que no están en A. Lo vamos a notar de la
forma siguiente .
Todos los elementos anteriores se pueden estudiar en cualquier texto de introducción al
cálculo de probabilidades (Canavos, 1988).
1.3. PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA
El concepto de frecuencia relativa descansa en la idea de que una experiencia aleatoria se
puede repetir muchas, en realidad, un número casi indefinido de veces bajo las mismas
circunstancias. Si no se dan esas circunstancias utilizar el concepto de frecuencia relativa para
aproximar probabilidades no es aconsejable. Si se dan dichas circunstancias conforme
aumenta el número de veces que se repite la experiencia, los conceptos “probabilidad” y
“frecuencia relativa” tienden a aproximarse.
Formulario 4. Definición frecuentista de la probabilidad
Si una experiencia se repite n veces bajo las mismas condiciones y nA de los resultados
son favorables a la ocurrencia de un suceso A, se define la probabilidad de A como el
límite siguiente:
1.4. PROBABILIDAD SUBJETIVA
La repetición de una experiencia aleatoria bajo las mismas condiciones es el requisito para
poder aplicar la interpretación frecuentista de la probabilidad, pero existen multitud de
ocasiones en que esa repetición de la experiencia no es posible porque el fenómeno que se
estudia no se presta a repeticiones. Se dan situaciones en que tiene más sentido establecer la
probabilidad de un evento como el grado de creencia con respecto a su ocurrencia.
Suponga que se pregunta a dos aficionados sobre el resultado del partido Sevilla-Betis. A dice
que cree que ganará el Sevilla y está seguro en un 80% mientras que B informa de su grado de
seguridad acerca del mismo suceso, que en este caso es del 70%. La interpretación que
Breviario de Probabilidades para Estadística
14
haríamos es que A está dispuesto a apostar ocho a dos –o cantidades que respeten dicha
proporción- y B estaría dispuesto a apostar siete a tres –o similar proporción-. De esta forma
la probabilidad subjetiva de ganar el Sevilla para A sería 8/8+2 y para B sería 7/7+3 .
Formulario 5. Probabilidad Subjetiva
La probabilidad subjetiva de un evento establecida por un sujeto es c/(c+d) si dicho
sujeto considera que las apuestas a favor de la afirmación sobre la que se le pide
establecer una probabilidad son de c a d.
Existen diferentes formas de establecer probabilidades subjetivas, para consulta sobre el tema
véase DeFinetti (1970 a y b).
1.5. AXIOMATICA DE KOLMOGOROV Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA
PROBABILIDAD
La interpretación clásica de la probabilidad se debe a Kolmogorov; esta forma de
conceptualizar la probabilidad se basa en la repetición de una experiencia aleatoria un número
grande de veces y en la equiprobabilidad de los posibles resultados de dicha experiencia. Es
decir, no resulta recomendable utilizar esta aproximación si no se dan dichas exigencias.
Formulario 6. Axiomática de Kolmogorov
Suponga que en un experimento aleatorio se necesita asignar a un suceso A, del
conjunto (E), su probabilidad. Dicha probabilidad, P(A), será un número que debe
cumplir tres condiciones o axiomas (Amón, 1993; DeFinetti, 1970; Kyburg, 1970;
Kyburg y Smokler, ; Laplace, 1964; Savage, 1954; Tucker, 1973; Von Mises, 1957). La
primera se refiere a que dicha probabilidad siempre ha de ser positiva, la segunda indica
que si el citado suceso ocurrirá con certeza, su probabilidad vale 1, y la tercera indica
que la probabilidad que calculemos de la unión de sucesos disjuntos se puede obtener
como la suma de las probabilidades individuales de los sucesos.
Axioma 1. Para cualquier suceso A (E), P(A) 0
Axioma 2. P(E)=1
Axioma 3. Dada una sucesión infinita de sucesos incompatibles dos a
dos, se verifica
Introducción a la probabilidad
15
1.6. TEOREMAS BASICOS DE LA PROBABILIDAD
Formulario 7. Consecuencias de los axiomas de Kolmogorov
1. La probabilidad de un suceso cualquiera A, es un número menor que 1
2. La probabilidad del suceso complementario de un suceso dado, es igual a
APAP 1
3. La probabilidad del suceso imposible es cero
4. Si un suceso A está incluido en otro B, entonces BPAP
5. La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento
aleatorio vale 1
6. Si A y B son dos sucesos compatibles, BAPBPAPBAP
7. Si A, B y C son tres sucesos compatibles,
CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
8. Dados i=1,…,n sucesos incompatibles dos a dos, se
verifica
9. Desigualdad de Boole:
1.7. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
El establecimiento de funciones de probabilidad varía según el tipo de espacio muestral que se
maneje. En el caso de espacios muestrales finitos tenemos el planteamiento siguiente.
Formulario 8. Función de probabilidad
Si se tiene un espacio muestral finito establecemos una función de probabilidad que
cumple los axiomas de Kolmogorov y de forma que se asignan probabilidades pi a cada
uno de los sucesos elementales de la forma siguiente:
1. 0 pi 1
2.
Según lo anterior, la probabilidad de un suceso se obtendrá como la suma de las
probabilidades de los sucesos elementales que lo forman.
Si el espacio muestral es finito con n resultados posibles y equiprobable, cada pi=1/n
luego si un suceso A contiene k resultados elementales, su probabilidad vale
Breviario de Probabilidades para Estadística
16
P(A)=k/n, que se conoce como definición clásica de Laplace.
En el caso de espacios muestrales infinitos o no numerables, la probabilidad de un
suceso se establece a partir de las dos condiciones anteriores de forma que su valor
es el cociente entre la medida del suceso dividido por la medida del espacio
muestral.
Probabilidad condicionada
17
CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD CONDICIONADA
2.1. SUCESOS CONDICIONADOS Y SUCESOS INDEPENDIENTES
Dado un espacio de probabilidad y un suceso no nulo B, se establece la probabilidad de otro
suceso A condicionado a B, de la forma siguiente:
Formulario 9. Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos A y B, se define la probabilidad de A condicionada por B como:
)B(P
)BA(P)B/A(P
A partir de la definición anterior se pueden calcular las probabilidades de intersecciones de
sucesos condicionados.
Formulario 10. Teorema de la multiplicación de probabilidades
Dado un espacio de probabilidad y un conjunto finito de sucesos {A1,…, An}
1. P(Ai Aj)=P(Ai)P(Aj/Ai)
2.
2.2. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Consideremos un espacio de probabilidad y una partición del espacio muestral dada por los
sucesos {Ai, i=1,...,k} , es decir, dichos sucesos cumplen las dos propiedades siguientes:
1.
2.
Breviario de Probabilidades para Estadística
18
Formulario 11. Teorema de la Probabilidad Total
Bajo las hipótesis enunciadas anteriormente, la probabilidad de cualquier suceso B
viene dada por:
k
i
ii ABPAPBP1
/
Para consulta véase Cramer (1955), Feller (1957), Lindley (1980) y Savage (1954)
2.3. TEOREMA DE BAYES
Considere un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado S. Sea Ai (i=1,...,k)
una partición del espacio muestral de forma que las probabilidades P(Ai) son valores
conocidos. Sea B un suceso cualquiera del espacio muestral, del que conocemos las
probabilidades P(B/Ai).
El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades P(Ai/B), del modo siguiente:
Formulario 12. Teorema de Bayes
i ii
iii
ABPAP
ABPAPBAP
)/()·()/()·(
)/(
Las probabilidades P(Ai) se denominan usualmente probabilidades iniciales, y P(Ai/B)
probabilidades finales, que se calcularán conocida la información P(B/Ai), también llamadas
verosimilitudes. Para consulta véase Cramer (1955), Feller (1957), Lindley (1980) y Savage
(1954).
2.4. SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos sucesos se dicen independientes si la ocurrencia de uno no afecta para nada a la
ocurrencia del otro.
Probabilidad condicionada
19
Formulario 13. Independencia de Sucesos
Dos sucesos A y B se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de
cualquiera de ellos no cambia por el hecho de que haya ocurrido el otro. Es decir:
A y B son independientes si y sólo si P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B)
Lo que equivale a establecer que:
A y B son independientes si y sólo si )()·()( BPAPBAP
Para consulta y realizar prácticas, ver Amón (1993), Cramer (1955), Feller (1957), Lindley
(1980), Quesada, Isidoro y López (1984) y Savage (1954).
Variable aleatoria
21
CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA
3.1. VARIABLE ALEATORIA
Una variable aleatoria es una función que asigna a cada uno de los resultados elementales de
una experiencia aleatoria, un número real con una serie de condiciones.
Formulario 14. Clasificación de las variables aleatorias
En función de su recorrido las variables aleatorias se clasifican en dos tipos:
1. Discretas si su recorrido es finito o infinito numerable (espacio muestral finito o
infinito numerable).
2. Continuas si su recorrido –espacio muestral- continuo.
Ver Amón (1993) y Feller (1957)
3.2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Formulario 15. Función de probabilidad de una variable discreta
Dada una variable aleatoria discreta X, su función de probabilidad es una función f
que para cualquier número real x cumple:
f(x)=P(X=x) para cualquier x que es un valor posible de X
f(x)=0 para cualquier x que no es valor posible de X
Ver Amón (1993) y Feller (1957)
3.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Formulario 16. Propiedades de la función de probabilidad
1. Si X toma valores x1, x2, ... , xn, entonces ni
1ii 1)x(f
2. Si a<b<c, entonces P(a X c)=P(a X b)+P(b X c)
Breviario de Probabilidades para Estadística
22
3.4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Formulario 17. Función de distribución de una variable discreta
La función de distribución F de una variable aleatoria X es una función definida para
cada número real x, del modo siguiente:
F(x) = P(X x) para - x
Para consultas ver Amón (1993) y Feller (1957)
3.5. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Formulario 18. Propiedades de la función de distribución
1. F(x) es no decreciente a medida que x crece, es decir, x1<x2 F(x1) F(x2)
2. limx - F(x)=0 y limx + F(x)=1
3. F(x) siempre es continua por la derecha, es decir, F(x)=F(x+) en todo punto x
4. P(a<x b)=F(b) – F(a)
5. P(X>x)=1-F(x)
6. P(X b)=P(X a)+P(a<X b)
3.6. CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La posición de una variable aleatoria es la ubicación de la misma en el eje real, de modo que
su estudio se realiza habitualmente a partir de dos conceptos diferentes el de “centro” de la
distribución de la variable y el de posicionamiento propiamente dicho de la misma. Los
indicadores teóricos que nos permiten hablar del centro o del posicionamiento de la variable
aleatoria considerada se encuentran en el formulario siguiente:
Formulario 19. Parámetros en una variable aleatoria discreta
La media, esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta
viene definida por:
E[X]= ipi·xi
Variable aleatoria
23
Los cuantiles de una variable aleatoria discreta son valores de la variable que dejan por
debajo una probabilidad determinada. Los más utilizados son los siguientes:
La mediana de una variable aleatoria discreta será el valor x en el que se cumple que
F(x)=0.5
Los cuartiles son tres y dividen en cuatro partes iguales la distribución de frecuencias.
Son los valores “x” de la variable en los que se cumple F(x)=0,25 F(x)=0,5 y F(x)=0,75
Los deciles son nueve y divididen en diez partes iguales la distribución de frecuencias,
estableciéndose para ellos ecuaciones del tipo F(x)=0,10 …… F(x)=0,90
Los percentiles o centiles son noventa y nueve y dividen en cien partes iguales la
distribución de frecuencias. En este caso se posiciona la variable desde el valor x que
cumple F(x)=0,01 hasta el valor x que cumple F(x)=0,99.
La moda en dicha variable será el valor de x en el que la función de probabilidad de la
misma alcanza un máximo absoluto o relativo
3.7. DISPERSIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La dispersión de una variable aleatoria es el grado de separación de sus datos. Existen
diferentes indicadores para valorar el grado de variabilidad de una variable aleatoria, algunos
de los cuales se incluyen en el formulario siguiente:
Formulario 20. Índices de Dispersión de una variable aleatoria discreta
La desviación absoluta media de una variable aleatoria discreta es:
XEXAD ..
Breviario de Probabilidades para Estadística
24
La varianza de una variable aleatoria discreta es:
V(X)=E{(X- )2}
La desviación típica de una variable aleatoria discreta es la raíz cuadrada de su
varianza. Se tiene:
XVX
El coeficiente de variación de una variable aleatoria discreta es:
100..XE
XXVC
El recorrido de una variable es el rango de definición de la misma, es decir, los valores
que puede tomar. Se pueden establecer diferentes tipos de recorridos, entre cuartiles,
entre deciles, entre percentiles, etc.
3.8. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO
Formulario 21. Propiedades del valor esperado
1. E[aX]=aE[X]
2. E[X+a]=E[X]+a
3.E[X±Y]=E[X]±E[Y]
Variable aleatoria
25
3.9. PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Formulario 22. Propiedades de la varianza
1. V(X)=0 si X es una constante
2. V(X)=E[X2]-{E[X]}2
3. V(aX+b)=a2V(X)
3.10. DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Formulario 23. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua
El cociente entre la masa de probabilidad de un intervalo dado y su amplitud, se llama
densidad de probabilidad. La función de densidad de una variable aleatoria X, es aquella
función f que se obtiene como límite de la densidad de probabilidad, cuando el intervalo
en que se define tiende a cero (Amón, 1993; Feller, 1957). La función de densidad así
definida, tiene dos propiedades:
1. f(x) es una función no negativa.
2. 1dx)x(f
La función de densidad permite el cálculo de probabilidades en un intervalo de valores
de la variable, así, P(a X b) = b
a
dx)x(f
Obsérvese que en el caso de variables continuas, se da la condición siguiente:
3. xxXP 0
Breviario de Probabilidades para Estadística
26
3.11. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Formulario 24. Función de distribución de una variable aleatoria continua
La función de distribución de una variable aleatoria continua X es la función F que
asigna a cada x X la probabilidad de que la variable tome valores por debajo de x.
x
dx)x(f)xX(P)x(F
Ver Amón (1993) y Feller (1957)
3.12. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
Formulario 25. Propiedades de la Función de distribución
La función de distribución tiene las siguientes propiedades:
1. F(x) es una función monótona no decreciente
2. Limx - F(x) = 0
3. Limx F(x) = 1
4. )()()()()( aFbFaXPbXPbXaP
5. RxxFxXP 1
6. babXaPaXPbXP
3.13. PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Formulario 26. Parámetros de una variable aleatoria continua
1. La media, esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria
continua se define como:
E[X]= dx)x(xf
2. La varianza de una variable aleatoria continua X, se define como:
Variable aleatoria
27
dx)x(f)XEx()X(V 2
3.14.TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Formulario 27. Tipificación de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria con media µ y desviación típica . La variable aleatoria
tipificada Z es aquella que se consigue del modo siguiente:
XZ
10 ZVarZE
Variables aleatorias discretas: modelos probabilísticos
29
CAPÍTULO 4. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
4.1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Formulario 28. Familia de distribuciones de Bernoulli
Suponga un experimento en el que sólo hay dos posibles resultados, como cara o cruz,
éxito o fracaso, presencia o ausencia, defectuoso o no defectuoso, que se pueden
designar como 0 o 1.
Una variable aleatoria X que toma los valores 1 y 0, con probabilidades p y q (1-p=q),
que representan cada uno de los dos posibles resultados del experimento aleatorio citado
anteriormente, se dice que tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p.
X B(p)
Así, el lanzamiento de una moneda al aire es una prueba de Bernoulli, donde los dos
resultados posibles son “salir cara” y “salir cruz”, y cuyas probabilidades de ocurrencia
son p=1/2=q.
La función de probabilidad de una variable de Bernoulli, tiene la forma siguiente:
f(x)=px·q1-x
La función de distribución de la variable X, tiene la forma siguiente:
F(x)=P(X x)= xpx·q1-x
Los parámetros esperanza matemática y varianza de X toman los valores siguientes:
E[X]=p Var(X)=p·q
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Breviario de Probabilidades para Estadística
30
4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Formulario 29. Distribución Binomial
Suponga que se realizan n pruebas independientes de Bernoulli en las que la
probabilidad de éxito, p, se mantiene constante. Es decir, considere la variable X
definida como el número de éxitos en las n pruebas de Bernoulli, X=X1+...+Xn. La
variable así definida sigue una distribución binomial de parámetros n y p.
X B(n,p)
La función de probabilidad de una variable binomial, tiene la forma siguiente:
f(x)=Cn,xpx·qn-x
La función de distribución de una variable binomial, se calcula a partir de la función
de probabilidad, como sigue:
F(k)=P(X k)= x kCn,xpx·qn-x
Los parámetros valor esperado y varianza de la variable X, tienen los valores
siguientes:
E[X]=n·p V(X)=n·p·q
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Variables aleatorias discretas: modelos probabilísticos
31
4.3. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Formulario 30. Distribución Hipergeométrica
Suponga una urna con A bolas rojas y B bolas azules, y el experimento aleatorio que
consiste en realizar n extracciones sin reemplazamiento de la urna. La variable X,
número de bolas rojas que se obtienen, sigue una distribución hipergeométrica con
parámetros A, B y n.
)n,B,A(HX
La función de probabilidad de una distribución hipergeométrica tiene la forma
siguiente:
BAn
Bxn
Ax)xX(P)x(f
La función de distribución de una variable hipergeométrica X, se obtiene acumulando
en la función de probabilidad, del modo siguiente:
kxBA
n
Bxn
Ax)kX(P)k(F
Los valores de los parámetros valor esperado y varianza para la variable X
hipergeométrica, son:
BA
nAXE
1BA
nBA
)BA(
nAB)X(V
2
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Breviario de Probabilidades para Estadística
32
4.4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Formulario 31. Familia de distribuciones de Poisson
Una variable aleatoria X, que tiene una distribución binomial con parámetros n y p, en
la que n y p 0, es decir, en la que n es muy grande y p muy pequeña, se dice que
tiene una distribución de Poisson de parámetro =np.
X P( )
La función de probabilidad de una variable que sigue una ley de Poisson de parámetro
, tiene la forma siguiente:
!)(
x
exf
x
La función de distribución de una variable de Poisson, se obtiene como se indica
seguidamente:
kx
x
x
ekF
!)(
Los parámetros esperanza matemática y varianza para la variable X, son los
siguientes:
E[X]= V(X)=
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Variables aleatorias discretas: modelos probabilísticos
33
4.5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Formulario 32. Familia de distribuciones Binomial Negativa
Suponga una sucesión de pruebas independientes con dos posibles resultados, éxito y
fracaso, con probabilidades p y q respectivamente (q=1-p). La variable X: número de
fracasos que ocurren antes de que se obtengan r éxitos, sigue una distribución binomial
negativa de parámetros r y p.
BN(r, p)
La función de probabilidad de la variable X, que sigue una ley Binomial negativa,
tiene la forma siguiente:
xrxrx qpxf ·)( 1
para x=0,1, 2, ...... y cero en otro caso.
La función de distribución de la variable X, se obtiene calculando la correspondiente
probabilidad acumulada.
kx
xrxr
x qpkF ·)( 1
Los valores para la esperanza matemática y la varianza de X, serían:
p
qrXE
·2
·p
qrXV
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Breviario de Probabilidades para Estadística
34
4.6. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA O DISTRIBUCIÓN DE PASCAL
Formulario 33. Familia de distribuciones Geométricas
La variable aleatoria X tiene una distribución geométrica con parámetro p, si sigue una
distribución binomial negativa con r =1.
G(p)=BN(1, p)
La función de probabilidad de X vale:
xqpxf ·)(
para x=0, 1, 2, ..... y cero en otro caso.
La función de distribución de una variable X que sigue una distribución geométrica,
tiene la forma siguiente:
kx
xqpkF ·)(
Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza, en este caso son los
siguientes:
p
qXE
2p
qXV
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Variables aleatorias continuas: modelos probabilísticos
35
CAPÍTULO 5. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
5.1. FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES
5.1.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL
La distribución más importante en Estadística, debido a las propiedades matemáticas que
tiene, es la distribución Normal; si se selecciona una muestra de una distribución Normal,
estaremos en las condiciones de aplicación de casi todas las técnicas de Inferencia Estadística.
Formulario 34. Familia de distribuciones Normales
Una variable continua X sigue una distribución ),(N 2 , una distribución Normal con
media y varianza 2, si su función de densidad de probabilidad es la siguiente:
xparaexf
x2
2
1
2
1)(
Propiedades:
- La distribución Normal es simétrica respecto al punto x=
- Alcanza su máximo en x=
- Tiene dos puntos de inflexión en x= + y x= -
- Tiene forma de campana
- Si una variable aleatoria X tiene una distribución Normal, cualquier combinación de
X tiene una distribución Normal
- Si las variables aleatorias X1, ..., Xk son independientes y cada Xi ),(N 2ii la
suma X1+...+Xk sigue una distribución Normal con media 1+ 2+...+ k y varianza
12+ 2
2+...+ k2
Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b
Breviario de Probabilidades para Estadística
36
5.1.2. DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA
Formulario 35. La distribución Normal tipificada
S X ),(N 2 y se realiza una tipificación de la variable, la variable X
Z sigue
una distribución tipificada, es decir, Z N(0,1)
5.2. APROXIMACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON Y
NORMAL
En ocasiones no se dispone de la tabulación completa de los modelos de probabilidad
expuestos hasta el momento o, sencillamente, se trabaja de forma más cómoda con unos
modelos que con otros. Para determinados valores de sus parámetros, las distribuciones
Binomial y Poisson se pueden aproximar una por otra, o por la distribución Normal. Los
casos de aproximación más usuales son los siguientes:
Formulario 36. Aproximación entre distribuciones de probabilidad
APROXIMACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON Y
NORMAL
( ) (a) n.p= n 20 p 0,01
(a)
B(n,p) (c) (b) n.p>5
(b) ),(N 2 (c) >10 = 2 =
Variables aleatorias continuas: modelos probabilísticos
37
5.3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS QUE SE CONSTRUYEN A PARTIR DE LA
NORMAL
A continuación se introducen tres familias de distribuciones que cumplen con todas las
condiciones que se reflejaron al inicio de este apartado, son modelos para variables aleatorias
continuas. No obstante, las vamos a presentar como modelos algo distintos a los anteriores. Se
trata de distribuciones derivadas de la Normal, es decir, son variables que resultan de realizar
ciertas operaciones efectuadas entre variables Normales (Evans, Hasting y Peacock, 1993 y
Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b).
5.3.1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
Formulario 37. Distribución Chi-cuadrado
Una variable continua X sigue una distribución Chi-cuadrado con n grados de libertad,
y se nota 2n si se obtiene del modo siguiente:
2nX si )1,0(NZ.q.tZ...ZZX i
2n
22
21
Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza son:
nXE y nXV ·2
5.3.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
Formulario 38. Distribución t-Student
Una variable continua X sigue una distribución t con n grados de libertad, y se nota tn, si
se obtiene del modo siguiente:
X tn si )1,0(NZyW.q.t
n
W
ZX 2
n
Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza para este caso son:
E[tn]=0 y2n
ntV n
Breviario de Probabilidades para Estadística
38
5.3.3. DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR
Formulario 39. Distribución F de Fisher-Snedecor
Una variable continua X sigue una distribución F, con n1 y n2 grados de libertad, y se
nota21 n,nF , si se obtiene del modo siguiente:
X21 n,nF si 2
ni
2
2
1
1
iW.q.t
nW
nW
X
Sus parámetros son:
2n
nXE
2
2 y2
221
2122
)2n)(4n(n
)2nn(n2XV
Distribuciones Binomial y Poisson
39
CAPÍTULO 6. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS
DISCRETOS
6.1. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES
DISCRETAS
En este capítulo se incluyen las tablas de probabilidades de los modelos Binomial y
Poisson, incluidos previamente en el Capítulo 4, en los formularios 29 y 31, respectivamente.
En la Tabla 1 se incluyen los valores de la función de probabilidad Binomial para valores de n
inferiores o iguales a 25, siendo la Tabla 2 la que contiene los valores de la función de
distribución Binomial. En la Tabla 3 se recogen los valores de la función de probabilidad de
una distribución de Poisson y en la Tabla 4 se incluyen los valores de su función de
distribución.
6.2. GRÁFICOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES DISCRETAS
En el gráfico siguiente se muestra la distribución Binomial para p=0,5 y valores de n
iguales a 10, 20, 50 y 100.
Prob. de Even0,5,100,5,200,5,500,5,100
Binomial Distribución
x
pro
babili
da
d
0 20 40 60 80 100
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Breviario de Probabilidades para Estadística
40
En el gráfico siguiente se muestra la distribución de Poisson para valores del
parámetro que oscilan entre =1 y =20.
En los dos gráficos se puede observar que la distribución se va asemejando más a la
campana de Gauss conforme aumenta el tamaño muestral, como consecuencia del teorema
central del límite, lo que también se puede comprobar en los valores de probabilidad que
aparecen en las tablas que se incluyen a continuación (Evans, Hastings y Peacock, 1993.
6.3. TABLAS DE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON
Se incluyen seguidamente las tablas de los valores de las funciones de probabilidad y
de distribución, de las familias Binomial y de Poisson, correspondientes a las probabilidades
puntuales y acumuladas de los valores de la variable para valores de los parámetros en que
dichos modelos no pueden ser aproximados por otros modelos probabilísticos.
Media151020
Poisson Distribución
x
pro
babili
da
d
0 10 20 30 40 50
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Tabla 1. Distribución Binomial P(X=k)
41
TABLA 1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL P(X=k)
xnx ppx
nxfpnBX 1,
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
k
0 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05
1 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95
0 0.9025 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.25 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 0.0025
1 0.095 0.1800 0.3200 0.4200 0.4800 0.5 0.4800 0.4200 0.3200 0.1800 0.0950
2 0.0025 0.0100 0.0400 0.09 0.1600 0.25 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100 0.9025
0 0.8574 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010 0.0001
1 0.1354 0.2430 0.3840 0.4410 0.4320 0.3750 0.2880 0.1890 0.0960 0.0270 0.0071
2 0.0071 0.0270 0.0960 0.1890 0.2880 0.3750 0.4320 0.4410 0.3840 0.2430 0.1354
3 0.0001 0.0010 0.0080 0.0270 0.0640 0.1250 0.2160 0.3430 0.5120 0.7290 0.8574
0 0.8145 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.0016 0.0001 0.0000
1 0.1715 0.2916 0.4096 0.4116 0.3456 0.2500 0.1536 0.0756 0.0256 0.0036 0.0005
2 0.0135 0.0486 0.1536 0.2646 0.3456 0.3750 0.3456 0.2646 0.1536 0.0486 0.0135
3 0.0005 0.0036 0.0256 0.0756 0.1536 0.2500 0.3456 0.4116 0.4096 0.2916 0.1715
4 0.0000 0.0001 0.0016 0.0081 0.0256 0.0625 0.1296 0.2401 0.4096 0.6561 0.8145
0 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0777 0.0312 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 0.0000
1 0.2036 0.3280 0.4096 0.3601 0.2592 0.1562 0.0768 0.0283 0.0064 0.0004 0.0001
2 0.0214 0.0729 0.2048 0.3087 0.3456 0.3125 0.2304 0.1323 0.0512 0.0081 0.0011
3 0.0011 0.0081 0.0512 0.1323 0.2304 0.3125 0.3456 0.3087 0.2048 0.0729 0.0214
4 0.0000 0.0004 0.0064 0.0283 0.0768 0.1562 0.2592 0.3601 0.4096 0.3280 0.2036
5 0.0000 0.0000 0.0003 0.0024 0.0102 0.0312 0.0778 0.1681 0.3277 0.5905 0.7738
0 0.7351 0.5314 0.2621 0.1176 0.0466 0.0156 0.0041 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.2321 0.3543 0.3932 0.3025 0.1866 0.0937 0.0369 0.0102 0.0015 0.0000 0.0000
2 0.0305 0.0984 0.2458 0.3241 0.3110 0.2344 0.1382 0.0595 0.0153 0.0012 0.0001
3 0.0021 0.0146 0.0819 0.1852 0.2765 0.3125 0.2765 0.1852 0.0819 0.0146 0.0021
4 0.0000 0.0012 0.0154 0.0595 0.1382 0.2344 0.3110 0.3241 0.2457 0.0984 0.0305
5 0.0000 0.0000 0.0015 0.0102 0.0369 0.0937 0.1866 0.3025 0.3932 0.3543 0.2321
6 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0041 0.0156 0.0466 0.1176 0.2621 0.5314 0.7351
0 0.6983 0.4783 0.2097 0.0823 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.2573 0.3720 0.3670 0.2471 0.1306 0.0547 0.0172 0.0036 0.0003 0.0000 0.0000
2 0.0406 0.1240 0.2752 0.3176 0.2613 0.1641 0.0774 0.0250 0.0043 0.0002 0.0000
3 0.0036 0.0230 0.1147 0.2269 0.2903 0.2734 0.1935 0.0972 0.0287 0.0025 0.0002
4 0.0002 0.0025 0.0287 0.0972 0.1935 0.2734 0.2903 0.2269 0.1147 0.0230 0.0036
5 0.0000 0.0002 0.0043 0.0250 0.0774 0.1641 0.2613 0.3176 0.2752 0.1240 0.0406
6 0.0000 0.0000 0.0003 0.0036 0.0172 0.0547 0.1306 0.2471 0.3670 0.3720 0.2573
7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0016 0.0078 0.0280 0.0823 0.2097 0.4783 0.6983
Breviario de Probabilidades para Estadística
42
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=8
n=9
n=10
n=11
k
0 0.6634 0.4304 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0006 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.2793 0.3826 0.3355 0.1976 0.0896 0.0312 0.0079 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000
2 0.0514 0.1488 0.2936 0.2965 0.2090 0.1094 0.0413 0.0100 0.0011 0.0000 0.0000
3 0.0054 0.0331 0.1468 0.2541 0.2787 0.2187 0.1239 0.0467 0.0092 0.0004 0.0000
4 0.0003 0.0046 0.0459 0.1361 0.2322 0.2734 0.2322 0.1361 0.0459 0.0046 0.0003
5 0.0000 0.0004 0.0092 0.0467 0.1239 0.2187 0.2787 0.2541 0.1468 0.0331 0.0054
6 0.0000 0.0000 0.0011 0.0100 0.0413 0.1094 0.2090 0.2965 0.2936 0.1488 0.0514
7 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0079 0.0312 0.0896 0.1976 0.3355 0.3826 0.2793
8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0039 0.0168 0.0576 0.1678 0.4305 0.6634
0 0.6302 0.3874 0.1342 0.0403 0.0101 0.0019 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.2985 0.3874 0.3020 0.1556 0.0605 0.0176 0.0035 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0628 0.1722 0.3020 0.2668 0.1612 0.0703 0.0212 0.0038 0.0003 0.0000 0.0000
3 0.0077 0.0446 0.1762 0.2668 0.2508 0.1641 0.0743 0.0210 0.0027 0.0001 0.0000
4 0.0006 0.0074 0.0661 0.1715 0.2508 0.2461 0.1672 0.0735 0.0165 0.0008 0.0000
5 0.0000 0.0008 0.0165 0.0735 0.1672 0.2461 0.2508 0.1715 0.0661 0.0074 0.0006
6 0.0000 0.0001 0.0027 0.0210 0.0743 0.1641 0.2508 0.2668 0.1762 0.0446 0.0077
7 0.0000 0.0000 0.0003 0.0038 0.0212 0.0703 0.1612 0.2668 0.3020 0.1722 0.0628
8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0035 0.0176 0.0605 0.1556 0.3020 0.3874 0.2985
9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0019 0.0101 0.0403 0.1342 0.3874 0.6302
0 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3151 0.3874 0.2684 0.1211 0.0403 0.0098 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0746 0.1937 0.3020 0.2335 0.1209 0.0439 0.0106 0.0014 0.0001 0.0000 0.0000
3 0.0105 0.0574 0.2013 0.2668 0.2150 0.1172 0.0425 0.0090 0.0008 0.0000 0.0000
4 0.0010 0.0112 0.0881 0.2001 0.2508 0.2051 0.1115 0.0367 0.0055 0.0001 0.0000
5 0.0001 0.0015 0.0264 0.1029 0.2006 0.2461 0.2006 0.1029 0.0264 0.0015 0.0001
6 0.0000 0.0001 0.0055 0.0367 0.1115 0.2051 0.2508 0.2001 0.0881 0.0112 0.0010
7 0.0000 0.0000 0.0008 0.0090 0.0425 0.1172 0.2150 0.2668 0.2013 0.0574 0.0105
8 0.0000 0.0000 0.0001 0.0014 0.0106 0.0439 0.1209 0.2335 0.3020 0.1937 0.0746
9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0098 0.0403 0.1211 0.2684 0.3874 0.3151
10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0060 0.0282 0.1074 0.3487 0.5987
0 0.5688 0.3138 0.0859 0.0198 0.0036 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3293 0.3835 0.2362 0.0932 0.0266 0.0054 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0866 0.2131 0.2953 0.1997 0.0887 0.0268 0.0052 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0137 0.0710 0.2214 0.2568 0.1774 0.0806 0.0233 0.0037 0.0002 0.0000 0.0000
4 0.0014 0.0158 0.1107 0.2201 0.2365 0.1611 0.0701 0.0173 0.0017 0.0000 0.0000
5 0.0001 0.0024 0.0387 0.1321 0.2207 0.2256 0.1471 0.0566 0.0097 0.0003 0.0000
6 0.0000 0.0002 0.0097 0.0566 0.1471 0.2256 0.2207 0.1321 0.0387 0.0024 0.0001
7 0.0000 0.0000 0.0017 0.0173 0.0701 0.1611 0.2365 0.2201 0.1107 0.0158 0.0014
8 0.0000 0.0000 0.0002 0.0037 0.0233 0.0806 0.1774 0.2568 0.2214 0.0710 0.0137
9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0052 0.0268 0.0887 0.1997 0.2953 0.2131 0.0866
10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0053 0.0266 0.0932 0.2362 0.3835 0.3293
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0036 0.0198 0.0859 0.3138 0.5688
Tabla 1. Distribución Binomial P(X=k)
43
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=12
n=13
n=14
k
0 0.5404 0.2824 0.0687 0.0138 0.0022 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3413 0.3766 0.2061 0.0712 0.0174 0.0029 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0988 0.2301 0.2835 0.1678 0.0638 0.0161 0.0025 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0173 0.0852 0.2362 0.2397 0.1419 0.0537 0.0124 0.0015 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0020 0.0213 0.1329 0.2311 0.2128 0.1208 0.0420 0.0078 0.0005 0.0000 0.0000
5 0.0002 0.0038 0.0531 0.1585 0.2270 0.1933 0.1009 0.0291 0.0033 0.0000 0.0000
6 0.0000 0.0005 0.0155 0.0792 0.1766 0.2256 0.1766 0.0792 0.0155 0.0005 0.0000
7 0.0000 0.0001 0.0033 0.0291 0.1009 0.1933 0.2270 0.1585 0.0531 0.0038 0.0002
8 0.0000 0.0000 0.0005 0.0078 0.0420 0.1208 0.2128 0.2311 0.1329 0.0213 0.0020
9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0124 0.0537 0.1419 0.2397 0.2362 0.0852 0.0173
10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0025 0.0161 0.0638 0.1678 0.2835 0.2301 0.0988
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0029 0.0174 0.0712 0.2061 0.3766 0.3413
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0022 0.0138 0.0687 0.2824 0.5404
0 0.5133 0.2542 0.0550 0.0097 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3512 0.3671 0.1787 0.0540 0.0113 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1109 0.2448 0.2680 0.1388 0.0453 0.0095 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0214 0.0997 0.2457 0.2181 0.1107 0.0349 0.0065 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0028 0.0277 0.1535 0.2337 0.1845 0.0873 0.0243 0.0034 0.0001 0.0000 0.0000
5 0.0003 0.0055 0.0691 0.1803 0.2213 0.1571 0.0656 0.0142 0.0011 0.0000 0.0000
6 0.0000 0.0008 0.0230 0.1030 0.1967 0.2095 0.1312 0.0441 0.0057 0.0001 0.0000
7 0.0000 0.0001 0.0057 0.0441 0.1312 0.2095 0.1967 0.1030 0.0230 0.0008 0.0000
8 0.0000 0.0000 0.0011 0.0142 0.0656 0.1571 0.2213 0.1803 0.0691 0.0055 0.0003
9 0.0000 0.0000 0.0001 0.0034 0.0243 0.0873 0.1845 0.2337 0.1535 0.0277 0.0028
10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0065 0.0349 0.1107 0.2181 0.2457 0.0997 0.0214
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0095 0.0453 0.1388 0.2680 0.2448 0.1109
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0113 0.0540 0.1787 0.3671 0.3512
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0013 0.0097 0.0550 0.2542 0.5133
0 0.4877 0.2288 0.0440 0.0068 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3593 0.3559 0.1539 0.0407 0.0073 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1229 0.2570 0.2501 0.1133 0.0317 0.0055 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0259 0.1142 0.2501 0.1943 0.0845 0.0222 0.0033 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0037 0.0349 0.1720 0.2290 0.1549 0.0611 0.0136 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0004 0.0077 0.0860 0.1963 0.2066 0.1222 0.0408 0.0066 0.0033 0.0000 0.0000
6 0.0000 0.0013 0.0322 0.1262 0.2066 0.1833 0.0918 0.0232 0.0020 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0002 0.0092 0.0618 0.1574 0.2095 0.1574 0.0618 0.0092 0.0002 0.0000
8 0.0000 0.0000 0.0020 0.0232 0.0918 0.1833 0.2066 0.1262 0.0322 0.0013 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0003 0.0066 0.0408 0.1222 0.2066 0.1963 0.0860 0.0077 0.0004
10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0136 0.0611 0.1549 0.2290 0.1720 0.0349 0.0037
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0033 0.0222 0.0845 0.1943 0.2501 0.1142 0.0259
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0055 0.0317 0.1134 0.2501 0.2570 0.1229
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0073 0.0407 0.1539 0.3559 0.3594
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0068 0.0440 0.2288 0.4877
Breviario de Probabilidades para Estadística
44
P 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=15
n=16
n=17
k
0 0.4633 0.2059 0.0351 0.0047 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3657 0.3431 0.1319 0.0305 0.0047 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1347 0.2669 0.2309 0.0916 0.0219 0.0032 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0307 0.1285 0.2501 0.1700 0.0634 0.0139 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0048 0.0428 0.1876 0.2186 0.1268 0.0416 0.0074 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0006 0.0105 0.1032 0.2061 0.1859 0.0916 0.0245 0.0030 0.0001 0.0000 0.0000
6 0.0000 0.0019 0.0430 0.1472 0.2066 0.1527 0.0612 0.0116 0.0007 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0003 0.0138 0.0811 0.1771 0.1964 0.1180 0.0348 0.0034 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0000 0.0034 0.0348 0.1180 0.1964 0.1771 0.0811 0.0138 0.0003 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0007 0.0116 0.0612 0.1527 0.2066 0.1472 0.0430 0.0019 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0001 0.0030 0.0245 0.0916 0.1860 0.2061 0.1032 0.0105 0.0006
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0074 0.0416 0.1268 0.2186 0.1876 0.0428 0.0048
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0139 0.0634 0.1700 0.2501 0.1285 0.0307
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0032 0.0220 0.0916 0.2309 0.2669 0.1347
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0047 0.0305 0.1319 0.3431 0.3657
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0047 0.0352 0.2059 0.4633
0 0.4401 0.1853 0.0281 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3706 0.3294 0.1126 0.0228 0.0030 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1463 0.2745 0.2111 0.0732 0.0150 0.0018 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0359 0.1423 0.2463 0.1465 0.0468 0.0085 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0061 0.0514 0.2001 0.2040 0.1014 0.0278 0.0039 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0008 0.0137 0.1201 0.2099 0.1623 0.0666 0.0142 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0001 0.0028 0.0550 0.1649 0.1983 0.1222 0.0392 0.0056 0.0002 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0004 0.0196 0.1010 0.1889 0.1746 0.0839 0.0185 0.0012 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0000 0.0055 0.0487 0.1417 0.1964 0.1417 0.0487 0.0055 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0012 0.0185 0.0839 0.1746 0.1889 0.1010 0.0196 0.0004 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0002 0.0056 0.0392 0.1222 0.1983 0.1649 0.0550 0.0028 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0142 0.0666 0.1623 0.2099 0.1201 0.0137 0.0008
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0039 0.0278 0.1014 0.2040 0.2001 0.0514 0.0061
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0085 0.0468 0.1465 0.2463 0.1423 0.0359
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0018 0.0150 0.0732 0.2111 0.2745 0.1463
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0030 0.0228 0.1126 0.3294 0.3706
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0033 0.0281 0.1853 0.4401
0 0.4181 0.1668 0.0225 0.0023 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3741 0.3150 0.0957 0.0169 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1575 0.2800 0.1914 0.0581 0.0102 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0414 0.1556 0.2392 0.1245 0.0341 0.0052 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0076 0.0605 0.2093 0.1868 0.0796 0.0181 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0010 0.0175 0.1361 0.2081 0.1379 0.0472 0.0081 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0001 0.0039 0.0680 0.1784 0.1839 0.0944 0.0242 0.0026 0.0001 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0007 0.0267 0.1201 0.1927 0.1484 0.0571 0.0094 0.0004 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0001 0.0083 0.0644 0.1605 0.1855 0.1070 0.0276 0.0021 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0021 0.0276 0.1070 0.1855 0.1605 0.0644 0.0083 0.0001 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0004 0.0094 0.0571 0.1484 0.1926 0.1201 0.0267 0.0007 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0001 0.0026 0.0242 0.0944 0.1839 0.1784 0.0680 0.0039 0.0001
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0081 0.0472 0.1379 0.2081 0.1361 0.0175 0.0010
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0021 0.0181 0.0796 0.1868 0.2093 0.0605 0.0076
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0052 0.0341 0.1245 0.2392 0.1556 0.0414
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0102 0.0581 0.1914 0.2800 0.1575
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0019 0.0169 0.0957 0.3150 0.3741
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0023 0.0225 0.1668 0.4181
Tabla 1. Distribución Binomial P(X=k)
45
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=18
n=19
k
0 0.3972 0.1501 0.0180 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3763 0.3002 0.0811 0.0126 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1683 0.2835 0.1723 0.0458 0.0069 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0472 0.1680 0.2297 0.1046 0.0245 0.0031 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0093 0.0700 0.2153 0.1681 0.0614 0.0117 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0013 0.0218 0.1507 0.2017 0.1146 0.0327 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0001 0.0052 0.0816 0.1873 0.1655 0.0708 0.0145 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0010 0.0350 0.1376 0.1892 0.1214 0.0374 0.0046 0.0001 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0001 0.0120 0.0811 0.1734 0.1669 0.0771 0.0149 0.0007 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0033 0.0386 0.1284 0.1855 0.1284 0.0386 0.0033 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0007 0.0149 0.0771 0.1669 0.1734 0.0811 0.0120 0.0001 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0001 0.0046 0.0374 0.1214 0.1892 0.1376 0.0350 0.0010 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0012 0.0145 0.0708 0.1655 0.1873 0.0816 0.0052 0.0001
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0045 0.0327 0.1146 0.2017 0.1507 0.0218 0.0014
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0117 0.0614 0.1681 0.2153 0.0700 0.0093
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0031 0.0245 0.1046 0.2296 0.1680 0.0472
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0069 0.0458 0.1723 0.2835 0.1683
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0126 0.0811 0.3002 0.3763
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0180 0.1501 0.3972
0 0.3773 0.1351 0.0144 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3773 0.2852 0.0684 0.0093 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1787 0.2852 0.1540 0.0358 0.0046 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0533 0.1795 0.2182 0.0869 0.0175 0.0018 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0112 0.0798 0.2182 0.1490 0.0466 0.0074 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0018 0.0266 0.1636 0.1916 0.0933 0.0222 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0002 0.0069 0.0955 0.1916 0.1451 0.0517 0.0085 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0014 0.0443 0.1525 0.1797 0.0961 0.0237 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0002 0.0166 0.0980 0.1797 0.1442 0.0532 0.0077 0.0002 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0051 0.0514 0.1464 0.1762 0.0976 0.0220 0.0013 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0013 0.0220 0.0976 0.1762 0.1464 0.0517 0.0051 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0002 0.0077 0.0532 0.1442 0.1797 0.0980 0.0166 0.0002 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 0.0237 0.0961 0.1797 0.1525 0.0443 0.0014 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0085 0.0517 0.1451 0.1916 0.0955 0.0069 0.0002
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0024 0.0222 0.0933 0.1916 0.1636 0.0266 0.0018
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0074 0.0466 0.1490 0.2182 0.0798 0.0112
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0018 0.0175 0.0869 0.2182 0.1795 0.0533
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0046 0.0358 0.1540 0.2852 0.1787
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0093 0.0684 0.2852 0.3773
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0144 0.1351 0.3773
Breviario de Probabilidades para Estadística
46
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=20
n=21
k
0 0.3585 0.1216 0.0115 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3773 0.2702 0.0576 0.0068 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1887 0.2852 0.1369 0.0278 0.0031 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0596 0.1901 0.2054 0.0716 0.0123 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0133 0.0898 0.2182 0.1304 0.0350 0.0046 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0022 0.0319 0.1745 0.1789 0.0746 0.0148 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0003 0.0089 0.1091 0.1916 0.1244 0.0370 0.0048 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0020 0.0545 0.1643 0.1659 0.0739 0.0146 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0003 0.0222 0.1144 0.1797 0.1201 0.0355 0.0038 0.0001 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0074 0.0654 0.1597 0.1602 0.0790 0.0120 0.0005 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0020 0.0308 0.1171 0.1762 0.1171 0.0308 0.0020 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0005 0.0120 0.0710 0.1602 0.1597 0.0654 0.0074 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0001 0.0038 0.0355 0.1201 0.1797 0.1144 0.0222 0.0003 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0146 0.0739 0.1659 0.1643 0.0545 0.0020 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0048 0.0370 0.1244 0.1916 0.1091 0.0089 0.0003
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0148 0.0746 0.1789 0.1745 0.0319 0.0022
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0046 0.0350 0.1304 0.2182 0.0898 0.0133
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0123 0.0716 0.2054 0.1901 0.0596
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0031 0.0278 0.1369 0.2852 0.1887
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0068 0.0576 0.2702 0.3773
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0115 0.1216 0.3585
0 0.3406 0.1094 0.0092 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3764 0.2553 0.0484 0.0050 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.1981 0.2837 0.1210 0.0215 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0660 0.1996 0.1917 0.0585 0.0086 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0156 0.0998 0.2156 0.1128 0.0259 0.0028 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0028 0.0377 0.1833 0.1643 0.0588 0.0097 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0004 0.0112 0.1222 0.1878 0.1045 0.0259 0.0027 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0000 0.0027 0.0654 0.1725 0.1493 0.0554 0.0087 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0005 0.0286 0.1293 0.1742 0.0970 0.0229 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0000 0.0103 0.0801 0.1677 0.1401 0.0497 0.0063 0.0002 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0031 0.0412 0.1342 0.1682 0.0894 0.0176 0.0008 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0008 0.0176 0.0894 0.1682 0.1342 0.0412 0.0031 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0001 0.0063 0.0497 0.1401 0.1677 0.0801 0.0103 0.0001 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0019 0.0229 0.0970 0.1742 0.1293 0.0286 0.0005 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0087 0.0554 0.1493 0.1725 0.0654 0.0027 0.0000
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0027 0.0259 0.1045 0.1878 0.1222 0.0112 0.0004
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0097 0.0588 0.1643 0.1833 0.0377 0.0028
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0028 0.0259 0.1128 0.2156 0.0998 0.0156
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0086 0.0585 0.1917 0.1996 0.0660
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0020 0.0215 0.1210 0.2837 0.1981
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0050 0.0484 0.2553 0.3764
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0092 0.1094 0.3406
Tabla 1. Distribución Binomial P(X=k)
47
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=22
n=23
k
0 0.3235 0.0985 0.0073 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3746 0.2407 0.0406 0.0037 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.2070 0.2808 0.1065 0.0166 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0726 0.2080 0.1775 0.0474 0.0060 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0182 0.1098 0.2108 0.0965 0.0190 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0034 0.0439 0.1897 0.1489 0.0456 0.0063 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0005 0.0138 0.1344 0.1808 0.0862 0.0178 0.0015 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0001 0.0035 0.0768 0.1771 0.1314 0.0407 0.0051 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0007 0.0360 0.1423 0.1642 0.0762 0.0144 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0001 0.0140 0.0949 0.1703 0.1186 0.0336 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0045 0.0528 0.1476 0.1542 0.0656 0.0097 0.0003 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0012 0.0247 0.1073 0.1682 0.1073 0.0247 0.0012 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0003 0.0097 0.0656 0.1542 0.1476 0.0528 0.0045 0.0000 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 0.0336 0.1186 0.1703 0.0949 0.0140 0.0001 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0144 0.0762 0.1642 0.1423 0.0360 0.0007 0.0000
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0051 0.0407 0.1314 0.1771 0.0768 0.0035 0.0001
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0178 0.0862 0.1808 0.1344 0.0138 0.0005
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0063 0.0456 0.1489 0.1897 0.0439 0.0034
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0017 0.0190 0.0965 0.2108 0.1098 0.0182
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0060 0.0474 0.1775 0.2080 0.0726
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0166 0.1065 0.2808 0.2070
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0037 0.0406 0.2407 0.3746
22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0074 0.0985 0.3235
0 0.3073 0.0886 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3721 0.2265 0.0339 0.0027 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.2154 0.2768 0.0933 0.0127 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0793 0.2153 0.1633 0.0381 0.0041 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0209 0.1196 0.2042 0.0817 0.0138 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0042 0.0505 0.1940 0.1331 0.0350 0.0040 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0006 0.0168 0.1455 0.1712 0.0700 0.0120 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0001 0.0045 0.0883 0.1782 0.1133 0.0292 0.0029 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0010 0.0442 0.1527 0.1511 0.0584 0.0088 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0002 0.0184 0.1091 0.1679 0.0974 0.0221 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0064 0.0654 0.1567 0.1364 0.0464 0.0051 0.0001 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0019 0.0331 0.1234 0.1612 0.0823 0.0142 0.0005 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0005 0.0142 0.0823 0.1612 0.1234 0.0331 0.0019 0.0000 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0001 0.0051 0.0464 0.1364 0.1567 0.0654 0.0064 0.0000 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0221 0.0974 0.1679 0.1091 0.0184 0.0002 0.0000
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0088 0.0584 0.1511 0.1527 0.0442 0.0010 0.0000
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0029 0.0292 0.1133 0.1782 0.0883 0.0045 0.0001
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0120 0.0700 0.1712 0.1455 0.0168 0.0006
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0040 0.0350 0.1331 0.1940 0.0505 0.0042
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0138 0.0817 0.2042 0.1196 0.0209
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0041 0.0381 0.1633 0.2153 0.0793
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0127 0.0933 0.2768 0.2155
22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0027 0.0339 0.2265 0.3721
23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0059 0.0886 0.3073
Breviario de Probabilidades para Estadística
48
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=24
n=25
k
0 0.2920 0.0798 0.0047 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3688 0.2127 0.0283 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.2232 0.2718 0.0815 0.0097 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0862 0.2215 0.1493 0.0305 0.0028 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0238 0.1292 0.1960 0.0687 0.0099 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0050 0.0574 0.1960 0.1177 0.0265 0.0025 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0008 0.0202 0.1552 0.1598 0.0560 0.0080 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0001 0.0058 0.0997 0.1761 0.0960 0.0206 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0014 0.0530 0.1604 0.1360 0.0438 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0003 0.0235 0.1222 0.1611 0.0779 0.0141 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0000 0.0088 0.0785 0.1611 0.1169 0.0318 0.0026 0.0000 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0028 0.0428 0.1367 0.1487 0.0608 0.0079 0.0002 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0008 0.0199 0.0987 0.1612 0.0987 0.0199 0.0008 0.0000 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0002 0.0079 0.0608 0.1488 0.1367 0.0428 0.0028 0.0000 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0026 0.0318 0.1169 0.1611 0.0785 0.0088 0.0000 0.0000
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0141 0.0779 0.1611 0.1222 0.0235 0.0002 0.0000
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0053 0.0438 0.1360 0.1604 0.0530 0.0014 0.0000
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0017 0.0206 0.0960 0.1761 0.0997 0.0058 0.0001
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0080 0.0560 0.1598 0.1552 0.0202 0.0008
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0025 0.0265 0.1177 0.1960 0.0574 0.0050
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0099 0.0687 0.1960 0.1292 0.0238
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0028 0.0305 0.1493 0.2215 0.0862
22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0097 0.0815 0.2718 0.2232
23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0020 0.0283 0.2127 0.3688
24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0047 0.0798 0.2920
0 0.2774 0.0718 0.0038 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.3650 0.1994 0.0236 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.2305 0.2659 0.0708 0.0074 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.0930 0.2265 0.1358 0.0243 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.0269 0.1384 0.1867 0.0572 0.0071 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.0059 0.0646 0.1960 0.1030 0.0199 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.0010 0.0239 0.1633 0.1472 0.0442 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 0.0001 0.0072 0.1108 0.1712 0.0800 0.0143 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
8 0.0000 0.0018 0.0623 0.1651 0.1200 0.0322 0.0031 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
9 0.0000 0.0004 0.0294 0.1336 0.1511 0.0609 0.0088 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.0000 0.0001 0.0118 0.0916 0.1611 0.0974 0.0212 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000
11 0.0000 0.0000 0.0040 0.0535 0.1465 0.1328 0.0434 0.0042 0.0001 0.0000 0.0000
12 0.0000 0.0000 0.0012 0.0268 0.1139 0.1550 0.0759 0.0115 0.0003 0.0000 0.0000
13 0.0000 0.0000 0.0003 0.0115 0.0760 0.1550 0.1139 0.0268 0.0012 0.0000 0.0000
14 0.0000 0.0000 0.0001 0.0042 0.0434 0.1328 0.1465 0.0535 0.0040 0.0000 0.0000
15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0212 0.0974 0.1611 0.0916 0.0118 0.0001 0.0000
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0088 0.0609 0.1511 0.1336 0.0294 0.0004 0.0000
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0031 0.0322 0.1200 0.1651 0.0623 0.0018 0.0000
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0143 0.0800 0.1712 0.1108 0.0072 0.0000
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0053 0.0442 0.1472 0.1633 0.0239 0.0010
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0199 0.1030 0.1960 0.0646 0.0059
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0071 0.0572 0.1867 0.1384 0.0269
22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0019 0.0243 0.1358 0.2265 0.0930
23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0074 0.0708 0.2659 0.2305
24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0236 0.1994 0.3650
25 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0038 0.0718 0.2774
Tabla 2. Distribución Binomial P(X k)
49
TABLA 2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL P(X k)
xnxkx
x
ppx
nkFpnBX 1,
1
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
k
0 0.9500 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0500
1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.9025 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.2500 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 0.0025
1 0.9975 0.9900 0.9600 0.9100 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.1900 0.0975
2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.8574 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010 0.0001
1 0.9927 0.9720 0.8960 0.7840 0.6480 0.5000 0.3520 0.2160 0.1040 0.0280 0.0072
2 0.9999 0.9990 0.9920 0.9730 0.9360 0.8750 0.7840 0.6570 0.4880 0.2710 0.1426
3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.8145 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.0016 0.0001 0.0000
1 0.9860 0.9477 0.8192 0.6517 0.4752 0.3125 0.1792 0.0837 0.0272 0.0037 0.0005
2 0.9995 0.9963 0.9728 0.9163 0.8208 0.6875 0.5248 0.3483 0.1808 0.0523 0.0140
3 1.0000 0.9999 0.9984 0.9919 0.9744 0.9375 0.8704 0.7599 0.5904 0.3439 0.1855
4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0777 0.0312 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 0.0000
1 0.9774 0.9185 0.7373 0.5282 0.3369 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0004 0.0000
2 0.9988 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0085 0.0011
3 1.0000 0.9995 0.9933 0.9692 0.9130 0.8125 0.6630 0.4718 0.2627 0.0814 0.0226
4 1.0000 1.0000 0.9997 0.9976 0.9898 0.9687 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095 0.2262
5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.7351 0.5314 0.2621 0.1176 0.0466 0.0156 0.0041 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000
1 0.9672 0.8857 0.6554 0.4202 0.2333 0.1094 0.0410 0.0109 0.0016 0.0000 0.0000
2 0.9978 0.9841 0.9011 0.7443 0.5443 0.3437 0.1792 0.0705 0.0169 0.0013 0.0001
3 0.9999 0.9987 0.9830 0.9295 0.8208 0.6562 0.4557 0.2557 0.0989 0.0158 0.0022
4 1.0000 0.9999 0.9984 0.9891 0.9590 0.8906 0.7667 0.5798 0.3446 0.1143 0.0328
5 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9959 0.9844 0.9533 0.8823 0.7378 0.4685 0.2649
6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.6983 0.4783 0.2097 0.0823 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.9556 0.8503 0.5767 0.3294 0.1586 0.0625 0.0188 0.0038 0.0004 0.0000 0.0000
2 0.9962 0.9743 0.8520 0.6471 0.4199 0.2266 0.0962 0.0288 0.0047 0.0002 0.0000
3 0.9998 0.9973 0.9666 0.8740 0.7102 0.5000 0.2898 0.1260 0.0333 0.0027 0.0002
4 1.0000 0.9998 0.9953 0.9712 0.9037 0.7734 0.5801 0.3529 0.1480 0.0257 0.0037
5 1.0000 1.0000 0.9996 0.9962 0.9811 0.9375 0.8414 0.6706 0.4233 0.1497 0.0444
6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9922 0.9720 0.9176 0.7903 0.5217 0.3017
7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
50
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=8
n=9
n=10
n=11
k
0 0.6634 0.4305 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0006 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.9427 0.8131 0.5033 0.2553 0.1064 0.0351 0.0085 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000
2 0.9942 0.9619 0.7969 0.5518 0.3154 0.1445 0.0498 0.0113 0.0012 0.0000 0.0000
3 0.9996 0.9950 0.9437 0.8059 0.5941 0.3633 0.1737 0.0580 0.0104 0.0004 0.0000
4 1.0000 0.9996 0.9896 0.9420 0.8263 0.6367 0.4059 0.1941 0.0563 0.0050 0.0004
5 1.0000 1.0000 0.9988 0.9887 0.9502 0.8555 0.6846 0.4482 0.2031 0.0381 0.0058
6 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9915 0.9648 0.8936 0.7447 0.4967 0.1869 0.0572
7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9961 0.9832 0.9423 0.8322 0.5695 0.3366
8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.6302 0.3874 0.1342 0.0403 0.0101 0.0019 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.9288 0.7748 0.4362 0.1960 0.0705 0.0195 0.0038 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9916 0.9470 0.7382 0.4628 0.2318 0.0898 0.0250 0.0043 0.0003 0.0000 0.0000
3 0.9993 0.9917 0.9143 0.7296 0.4826 0.2539 0.0993 0.0253 0.0031 0.0001 0.0000
4 1.0000 0.9991 0.9804 0.9012 0.7334 0.5000 0.2666 0.0988 0.0196 0.0009 0.0000
5 1.0000 0.9999 0.9969 0.9747 0.9006 0.7461 0.5174 0.2703 0.0856 0.0083 0.0006
6 1.0000 1.0000 0.9997 0.9957 0.9750 0.9101 0.7682 0.5372 0.2618 0.0530 0.0084
7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9962 0.9805 0.9294 0.8040 0.5638 0.2251 0.0712
8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9980 0.9899 0.9596 0.8658 0.6126 0.3697
9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.9139 0.7361 0.3758 0.1493 0.0463 0.0107 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9885 0.9298 0.6778 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000
3 0.9990 0.9872 0.8791 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 0.0000 0.0000
4 0.9999 0.9984 0.9672 0.4973 0.6331 0.3769 0.1662 0.0473 0.0064 0.0001 0.0000
5 1.0000 0.9998 0.9936 0.9526 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 0.0016 0.0001
6 1.0000 1.0000 0.9991 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0128 0.0010
7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0702 0.0115
8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9983 0.9892 0.9536 0.8507 0.6242 0.2639 0.0861
9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9939 0.9717 0.8926 0.6513 0.4013
10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.5688 0.3138 0.0859 0.0198 0.0036 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8981 0.6973 0.3221 0.1130 0.0302 0.0058 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9848 0.9104 0.6174 0.3127 0.1189 0.0327 0.0059 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9984 0.9815 0.8389 0.5696 0.2963 0.1133 0.0293 0.0043 0.0002 0.0000 0.0000
4 0.9999 0.9972 0.9496 0.7897 0.5328 0.2744 0.0993 0.0216 0.0020 0.0000 0.0000
5 1.0000 0.9997 0.9883 0.9218 0.7535 0.5000 0.2465 0.0782 0.0116 0.0003 0.0000
6 1.0000 1.0000 0.9980 0.9784 0.9006 0.7256 0.4672 0.2103 0.0504 0.0027 0.0001
7 1.0000 1.0000 0.9998 0.9957 0.9707 0.8867 0.7037 0.4304 0.1611 0.0185 0.0015
8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9941 0.9673 0.8811 0.6872 0.3826 0.0896 0.0152
9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9941 0.9698 0.8870 0.6779 0.3026 0.1019
10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9964 0.9802 0.9141 0.6862 0.4312
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Tabla 2. Distribución Binomial P(X k)
51
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=12
n=13
n=14
k
0 0.5404 0.2824 0.0687 0.0138 0.0022 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8816 0.6590 0.2749 0.0850 0.0196 0.0032 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9804 0.8891 0.5583 0.2528 0.0834 0.0193 0.0028 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9978 0.9744 0.7946 0.4925 0.2253 0.0730 0.0153 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000
4 0.9992 0.9957 0.9274 0.7236 0.4382 0.1938 0.0573 0.0095 0.0006 0.0000 0.0000
5 1.0000 0.9994 0.9806 0.8821 0.6652 0.3872 0.1582 0.0386 0.0039 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9999 0.9961 0.9614 0.8418 0.6128 0.3348 0.1178 0.0194 0.0005 0.0000
7 1.0000 1.0000 0.9994 0.9905 0.9427 0.8061 0.5618 0.2763 0.0725 0.0043 0.0002
8 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9847 0.9270 0.7747 0.5075 0.2054 0.0256 0.0022
9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9972 0.9807 0.9165 0.7472 0.4416 0.1109 0.0196
10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9968 0.9804 0.9150 0.7251 0.3410 0.1183
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9978 0.9861 0.9313 0.7176 0.4596
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.5133 0.2542 0.0550 0.0097 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8646 0.6213 0.2336 0.0637 0.0126 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9755 0.8661 0.5016 0.2025 0.0579 0.0112 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9969 0.9658 0.7473 0.4206 0.1686 0.0461 0.0078 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9997 0.9935 0.9009 0.6543 0.3530 0.1332 0.0321 0.0040 0.0002 0.0000 0.0000
5 1.0000 0.9991 0.9700 0.8346 0.5744 0.2905 0.0977 0.0182 0.0012 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9999 0.9930 0.9376 0.7711 0.5000 0.2288 0.0624 0.0070 0.0001 0.0000
7 1.0000 1.0000 0.9987 0.9818 0.9023 0.7095 0.4256 0.1654 0.0300 0.0009 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9998 0.9960 0.9679 0.8666 0.6469 0.3457 0.0991 0.0065 0.0003
9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9922 0.9538 0.8314 0.5794 0.2527 0.0342 0.0031
10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9888 0.9421 0.7975 0.4983 0.1339 0.0245
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9874 0.9363 0.7663 0.3786 0.1354
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9903 0.9450 0.7458 0.4866
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.4877 0.2288 0.0440 0.0068 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8470 0.5846 0.1979 0.0475 0.0081 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9699 0.8416 0.4480 0.1608 0.0398 0.0065 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9958 0.9559 0.6982 0.3552 0.1243 0.0287 0.0039 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9996 0.9908 0.8702 0.5842 0.2792 0.0898 0.0175 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000
5 1.0000 0.9985 0.9561 0.7805 0.4858 0.2120 0.0583 0.0083 0.0004 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9998 0.9884 0.9067 0.6924 0.3953 0.1501 0.0315 0.0024 0.0000 0.0000
7 1.0000 1.0000 0.9976 0.9685 0.8498 0.6047 0.3075 0.0933 0.0116 0.0002 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9996 0.9917 0.9417 0.7880 0.5141 0.2195 0.0438 0.0015 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9825 0.9102 0.7207 0.4158 0.1298 0.0092 0.0004
10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9961 0.9713 0.8757 0.6448 0.3018 0.0441 0.0042
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9935 0.9602 0.8392 0.5519 0.1583 0.0300
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9919 0.9525 0.8021 0.4154 0.1530
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9992 0.9932 0.9560 0.7712 0.5123
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
52
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=15
n=16
n=17
k
0 0.4633 0.2059 0.0352 0.0047 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8290 0.5490 0.1671 0.0353 0.0052 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9638 0.8159 0.3980 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9945 0.9444 0.6482 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9994 0.9873 0.8358 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9999 0.9977 0.9389 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0036 0.0001 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9997 0.9819 0.8688 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 0.0000 0.0000
7 1.0000 1.0000 0.9958 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 0.0000 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9992 0.9847 0.9049 0.6964 0.3902 0.1311 0.0180 0.0003 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0610 0.0022 0.0000
10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9906 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127 0.0006
11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0555 0.0055
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9963 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841 0.0362
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4509 0.1709
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9952 0.9648 0.7941 0.5367
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.4401 0.1853 0.0281 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.8107 0.5147 0.1407 0.0261 0.0033 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9571 0.7892 0.3518 0.0993 0.0183 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9930 0.9316 0.5981 0.2458 0.0651 0.0106 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9991 0.9830 0.7982 0.4499 0.1666 0.0384 0.0049 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9999 0.9967 0.9183 0.6598 0.3288 0.1050 0.0191 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9995 0.9733 0.8247 0.5272 0.2272 0.0583 0.0071 0.0002 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9999 0.9930 0.9256 0.7161 0.4018 0.1423 0.0257 0.0015 0.0000 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9985 0.9743 0.8577 0.5982 0.2839 0.0743 0.0070 0.0001 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9997 0.9929 0.9417 0.7727 0.4728 0.1753 0.0266 0.0005 0.0000
10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9984 0.9808 0.8949 0.6711 0.3402 0.0817 0.0033 0.0001
11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9951 0.9616 0.8334 0.5501 0.2017 0.0170 0.0008
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9991 0.9894 0.9348 0.7541 0.4019 0.0684 0.0070
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9979 0.9817 0.9006 0.6481 0.2107 0.0429
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9967 0.9739 0.8593 0.4853 0.1892
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9967 0.9718 0.8147 0.5599
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.4181 0.1668 0.0225 0.0023 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.7922 0.4818 0.1182 0.0193 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9497 0.7618 0.3096 0.0774 0.0123 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9912 0.9173 0.5489 0.2019 0.0464 0.0064 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9988 0.9778 0.7582 0.3887 0.1260 0.0245 0.0025 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9999 0.9953 0.8943 0.5968 0.2639 0.0717 0.0106 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9992 0.9623 0.7752 0.4478 0.1661 0.0348 0.0032 0.0001 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9999 0.9891 0.8953 0.6405 0.3145 0.0919 0.0127 0.0005 0.0000 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9974 0.9597 0.8011 0.5000 0.1989 0.0403 0.0026 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9995 0.9873 0.9081 0.6855 0.3595 0.1046 0.0109 0.0001 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9999 0.9968 0.9652 0.8338 0.5521 0.2248 0.0377 0.0008 0.0000
11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9894 0.9283 0.7361 0.4032 0.1057 0.0047 0.0001
12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9975 0.9755 0.8740 0.6113 0.2418 0.0221 0.0012
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9936 0.9536 0.7981 0.4511 0.0826 0.0088
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9988 0.9877 0.9226 0.6904 0.2382 0.0502
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9979 0.9807 0.8818 0.5182 0.2078
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9977 0.9775 0.8332 0.5819
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Tabla 2. Distribución Binomial P(X k)
53
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=18
n=19
k
0 0.3972 0.1501 0.0180 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.7735 0.4503 0.0991 0.0142 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9419 0.7338 0.2713 0.0599 0.0082 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9891 0.9018 0.5010 0.1645 0.0328 0.0038 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9984 0.9718 0.7163 0.3326 0.0942 0.0154 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9998 0.9936 0.8671 0.5344 0.2087 0.0481 0.0057 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9988 0.9487 0.7217 0.3743 0.1189 0.0203 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9998 0.9837 0.8593 0.5634 0.2403 0.0576 0.0061 0.0001 0.0000 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9957 0.9404 0.7368 0.4073 0.1347 0.0210 0.0009 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9991 0.9790 0.8653 0.5927 0.2631 0.0596 0.0042 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9998 0.9939 0.9423 0.7596 0.4365 0.1407 0.0163 0.0002 0.0000
11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9986 0.9797 0.8810 0.6257 0.2783 0.0513 0.0012 0.0000
12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9942 0.9519 0.7912 0.4656 0.1329 0.0064 0.0002
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9845 0.9058 0.6673 0.2836 0.0282 0.0015
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9962 0.9672 0.8354 0.4990 0.0982 0.0109
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9918 0.9400 0.7286 0.2662 0.0581
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9858 0.9009 0.5497 0.2265
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9820 0.8499 0.6028
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.3773 0.1351 0.0144 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.7547 0.4203 0.0829 0.0104 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9334 0.7054 0.2369 0.0462 0.0055 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9868 0.8850 0.4551 0.1332 0.0229 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9980 0.9648 0.6733 0.2822 0.0696 0.0096 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9997 0.9914 0.8369 0.4739 0.1629 0.0318 0.0031 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9983 0.9324 0.6655 0.3081 0.0835 0.0116 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9997 0.9767 0.8180 0.4878 0.1796 0.0352 0.0028 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 1.0000 0.9933 0.9161 0.6675 0.3238 0.0885 0.0105 0.0003 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9984 0.9674 0.8139 0.5000 0.1861 0.0325 0.0016 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9997 0.9894 0.9115 0.6762 0.3325 0.0839 0.0066 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9972 0.9648 0.8203 0.5122 0.1820 0.0233 0.0003 0.0000
12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9884 0.9165 0.6919 0.3345 0.0676 0.0017 0.0000
13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9969 0.9682 0.8371 0.5261 0.1631 0.0086 0.0002
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9904 0.9304 0.7178 0.3267 0.0352 0.0020
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9770 0.8668 0.5449 0.1150 0.0132
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9945 0.9538 0.7631 0.2945 0.0665
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9896 0.9171 0.5797 0.2453
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9989 0.9856 0.8649 0.6226
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
54
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=20
n=21
k
0 0.3585 0.1216 0.0115 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.7358 0.3917 0.0692 0.0076 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9245 0.6769 0.2061 0.0355 0.0036 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9841 0.8670 0.4114 0.1071 0.0160 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9974 0.9568 0.6296 0.2375 0.0509 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9997 0.9887 0.8042 0.4164 0.1256 0.0207 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 1.0000 0.9976 0.9133 0.6080 0.2500 0.0576 0.0065 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9996 0.9678 0.7723 0.4159 0.1316 0.0210 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9999 0.9900 0.8867 0.5956 0.2517 0.0565 0.0051 0.0001 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9974 0.9520 0.7553 0.4119 0.1275 0.0171 0.0006 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9994 0.9828 0.8725 0.5881 0.2447 0.0480 0.0026 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9949 0.9435 0.7483 0.4044 0.1133 0.0100 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9790 0.8684 0.5841 0.2277 0.0321 0.0004 0.0000
13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9935 0.9423 0.7500 0.3920 0.0867 0.0024 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9793 0.8744 0.5836 0.1958 0.0112 0.0003
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9941 0.9490 0.7625 0.3703 0.0432 0.0026
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9840 0.8929 0.5885 0.1329 0.0159
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9964 0.9645 0.7939 0.3231 0.0755
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9924 0.9308 0.6082 0.2642
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9885 0.8784 0.6415
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.3406 0.1094 0.0092 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.7170 0.3647 0.0576 0.0056 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9151 0.6484 0.1787 0.0271 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9811 0.8480 0.3704 0.0856 0.0110 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9967 0.9478 0.5860 0.1984 0.0369 0.0036 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9995 0.9855 0.7693 0.3627 0.0957 0.0133 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.9999 0.9967 0.8915 0.5505 0.2002 0.0392 0.0035 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9994 0.9569 0.7230 0.3495 0.0946 0.0123 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9999 0.9856 0.8523 0.5237 0.1916 0.0352 0.0024 0.0000 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9959 0.9324 0.6914 0.3318 0.0849 0.0087 0.0002 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9990 0.9736 0.8256 0.5000 0.1744 0.0264 0.0010 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9998 0.9912 0.9151 0.6682 0.3085 0.0676 0.0041 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9976 0.9648 0.8083 0.4763 0.1476 0.0144 0.0001 0.0000
13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9877 0.9054 0.6504 0.2770 0.0430 0.0006 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9964 0.9608 0.7997 0.4495 0.1085 0.0033 0.0000
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9867 0.9042 0.6373 0.2307 0.0144 0.0004
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9964 0.9630 0.8016 0.4140 0.0521 0.0032
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9890 0.9144 0.6296 0.1520 0.0189
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9976 0.9729 0.8213 0.3516 0.0849
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9944 0.9423 0.6353 0.2830
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9908 0.8906 0.6594
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Tabla 2. Distribución Binomial P(X k)
55
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=22
n=23
k
0 0.3235 0.0985 0.0074 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6981 0.3392 0.0480 0.0041 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.9052 0.6200 0.1545 0.0207 0.0015̀ 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9778 0.8281 0.3320 0.0681 0.0076 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9960 0.9379 0.5429 0.1645 0.0266 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9994 0.9818 0.7326 0.3134 0.0722 0.0084 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.9999 0.9956 0.8670 0.4942 0.1584 0.0262 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9991 0.9438 0.6712 0.2898 0.0669 0.0070 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9998 0.9798 0.8135 0.4540 0.1431 0.0215 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9938 0.9084 0.6243 0.2617 0.0551 0.0043 0.0001 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9984 0.9612 0.7719 0.4159 0.1207 0.0140 0.0003 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9996 0.9860 0.8793 0.5841 0.2280 0.0387 0.0016 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9957 0.9449 0.7383 0.3756 0.0916 0.0061 0.0000 0.0000
13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9989 0.9785 0.8569 0.5459 0.1864 0.0201 0.0001 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9929 0.9331 0.7102 0.3287 0.0561 0.0009 0.0000
15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0.9738 0.8415 0.5058 0.1329 0.0044 0.0001
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9915 0.9278 0.6866 0.2674 0.0182 0.0006
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9734 0.8354 0.4571 0.0621 0.0040
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9924 0.9319 0.6679 0.1719 0.0222
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9793 0.8455 0.3799 0.0948
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9959 0.9520 0.6608 0.3018
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9926 0.9015 0.6765
22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.3073 0.0886 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6794 0.3151 0.0398 0.0030 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.8948 0.5919 0.1332 0.0157 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9742 0.8073 0.2965 0.0538 0.0052 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9951 0.9269 0.5007 0.1356 0.0190 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9992 0.9774 0.6947 0.2687 0.0540 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.9999 0.9942 0.8402 0.4399 0.1239 0.0173 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9988 0.9285 0.6181 0.2373 0.0466 0.0040 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9998 0.9726 0.7708 0.3883 0.1050 0.0128 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000
9 1.0000 1.0000 0.9910 0.8799 0.5562 0.2024 0.0349 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9975 0.9454 0.7129 0.3388 0.0813 0.0072 0.0001 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9994 0.9785 0.8363 0.5000 0.1636 0.0214 0.0006 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9928 0.9186 0.6612 0.2871 0.0546 0.0025 0.0000 0.0000
13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9979 0.9651 0.7976 0.4438 0.1200 0.0089 0.0000 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9872 0.8950 0.6116 0.2291 0.0273 0.0002 0.0000
15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9960 0.9534 0.7627 0.3819 0.0715 0.0012 0.0000
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9826 0.8760 0.5600 0.1598 0.0058 0.0001
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9947 0.9460 0.7312 0.3053 0.0226 0.0007
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9810 0.8644 0.4993 0.0731 0.0049
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9948 0.9461 0.7035 0.1927 0.0258
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9843 0.8668 0.4080 0.1052
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9970 0.9601 0.6849 0.3206
22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9941 0.9114 0.6926
23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
56
p
0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n=24
n=25
k
0 0.2920 0.0798 0.0047 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6608 0.2925 0.0330 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.8840 0.5643 0.1145 0.0119 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9702 0.7857 0.2639 0.0424 0.0035 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9940 0.9149 0.4599 0.1111 0.0134 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9990 0.9723 0.6559 0.2288 0.0400 0.0033 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.9999 0.9925 0.8111 0.3886 0.0960 0.0113 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9983 0.9108 0.5647 0.1919 0.0319 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9997 0.9638 0.7250 0.3279 0.0758 0.0075 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
9 1.0000 0.9999 0.9874 0.8472 0.4891 0.1537 0.0216 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9962 0.9258 0.6502 0.2706 0.0535 0.0036 0.0000 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9990 0.9686 0.7870 0.4194 0.1143 0.0115 0.0002 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 0.9998 0.9885 0.8857 0.5806 0.2130 0.0314 0.0010 0.0000 0.0000
13 1.0000 1.0000 0.9999 0.9964 0.9465 0.7294 0.3498 0.0742 0.0038 0.0000 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9783 0.8463 0.5109 0.1528 0.0126 0.0000 0.0000
15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9925 0.9242 0.6721 0.2750 0.0362 0.0003 0.0000
16 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9680 0.8080 0.4353 0.0892 0.0017 0.0000
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9887 0.9040 0.6114 0.1889 0.0074 0.0001
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9967 0.9600 0.7712 0.3441 0.0276 0.0010
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9865 0.8889 0.5401 0.0851 0.0060
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9965 0.9576 0.7361 0.2143 0.0298
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9881 0.8855 0.4357 0.1159
22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9669 0.7075 0.3392
23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9953 0.9202 0.7080
24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0 0.2774 0.0718 0.0037 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6424 0.2712 0.0274 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.8729 0.5371 0.0982 0.0090 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 0.9659 0.7636 0.2340 0.0332 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4 0.9928 0.9020 0.4207 0.0905 0.0095 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.9988 0.9666 0.6167 0.1935 0.0294 0.0020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
6 0.9998 0.9905 0.7800 0.3406 0.0736 0.0073 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
7 1.0000 0.9977 0.8909 0.5118 0.1535 0.0216 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
8 1.0000 0.9995 0.9532 0.6769 0.2735 0.0539 0.0043 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
9 1.0000 0.9999 0.9827 0.8106 0.4246 0.1148 0.0132 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
10 1.0000 1.0000 0.9944 0.9022 0.5858 0.2122 0.0344 0.0018 0.0000 0.0000 0.0000
11 1.0000 1.0000 0.9984 0.9557 0.7323 0.3450 0.0778 0.0060 0.0001 0.0000 0.0000
12 1.0000 1.0000 0.9996 0.9825 0.8462 0.5000 0.1538 0.0175 0.0004 0.0000 0.0000
13 1.0000 1.0000 0.9999 0.9940 0.9222 0.6550 0.2677 0.0442 0.0015 0.0000 0.0000
14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9982 0.9656 0.7878 0.4142 0.0978 0.0055 0.0000 0.0000
15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9868 0.8852 0.5754 0.1894 0.0173 0.0001 0.0000
16 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9957 0.9461 0.7265 0.3231 0.0468 0.0004 0.0000
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9988 0.9783 0.8464 0.4881 0.1091 0.0023 0.0000
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9927 0.9264 0.6593 0.2200 0.0095 0.0002
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9980 0.9706 0.8065 0.3833 0.0334 0.0012
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9905 0.9095 0.5793 0.0980 0.0072
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9976 0.9667 0.7660 0.2364 0.0341
22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9910 0.9018 0.4629 0.1271
23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9726 0.7288 0.3576
24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9962 0.9282 0.7226
25 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Tabla 3. Distribución de Poisson P(X=k)
57
TABLA 3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON P(X=k)
ex
xfPXx
!
K 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679
1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679
2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1216 0.1438 0.1647 0.1839
3 0.0001 0.0011 0.0033 0.0071 0.0126 0.0197 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613
4 0.0000 0.0000 0.0002 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153
5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031
6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005
7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001
k 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353
1 0.3661 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707
2 0.2014 0.2168 0.2303 0.2417 0.2510 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707
3 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 0.1804
4 0.0203 0.0260 .03243 0.0395 0.0471 0.0551 0.0636 0.0723 0.0812 0.0902
5 0.0045 0.0062 0.0084 0.0110 0.0141 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 0.0361
6 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 0.0120
7 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0011 0.0015 0.0020 0.0026 0.0034
8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008
9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002
k 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00
0 0.1224 0.1108 0.1002 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498
1 0.2571 0.2437 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1814 0.1703 0.1596 0.1494
2 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240
3 0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2176 0.2205 0.2225 0.2237 0.2240
4 0.0992 0.1081 0.1169 0.1254 0.1336 0.1414 0.1488 0.1557 0.1621 0.1680
5 0.0417 0.0476 0.0538 0.0602 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 0.1008
6 0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0454 0.0504
7 0.0044 0.0055 0.0068 0.0082 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 0.0216
8 0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 0.0081
9 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 0.0027
10 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0008
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002
12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
58
k 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00
0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183
1 0.1396 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733
2 0.2165 0.2087 0.2008 0.1929 0.1849 0.1770 0.1692 0.1615 0.1539 0.1465
3 0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 0.1954
4 0.1733 0.1781 0.1822 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1943 0.1951 0.1954
5 0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 0.1563
6 0.0555 0.0608 0.0661 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0935 0.0989 0.1042
7 0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 0.0595
8 0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 0.0298
9 0.0033 0.0039 0.0047 0.0056 0.0065 0.0076 0.0088 0.0102 0.0116 0.0132
10 0.0010 0.0013 0.0015 0.0019 0.0023 0.0027 0.0033 0.0039 0.0045 0.0053
11 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019
12 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002
14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
k 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00
0 0.0111 0.0067 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001
1 0.0500 0.0337 0.0225 0.0149 0.0098 0.0064 0.0041 0.0027 0.0017 0.0011
2 0.1125 0.0842 0.0618 0.0446 0.0318 0.0223 0.0155 0.0107 0.0073 0.0050
3 0.1687 0.1404 0.1133 0.0892 0.0688 0.0521 0.0389 0.0286 0.0208 0.0150
4 0.1898 0.1755 0.1558 0.1338 0.1118 0.0912 0.0729 0.0572 0.0442 0.0337
5 0.1708 0.1755 0.1714 0.1606 0.1454 0.1277 0.1094 0.0916 0.0752 0.0607
6 0.1281 0.1462 0.1571 0.1606 0.1575 0.1490 0.1367 0.1221 0.1066 0.0911
7 0.0824 0.1044 0.1234 0.1377 0.1462 0.1490 0.1465 0.1396 0.1294 0.1171
8 0.0463 0.0653 0.0849 0.1032 0.1188 0.1304 0.1373 0.1396 0.1375 0.1317
9 0.0232 0.0363 0.0519 0.0688 0.0858 0.1014 0.1144 0.1241 0.1299 0.1317
10 0.0104 0.0181 0.0285 0.0413 0.0558 0.0710 008583 0.0993 0.1104 0.1186
11 0.0043 0.0082 0.0143 0.0225 0.0329 0.0452 0.0585 0.0722 0.0853 0.0970
12 0.0016 0.0034 0.0065 0.0113 0.0178 0.0263 0.0366 0.0481 0.0604 0.0728
13 0.0005 0.0013 0.0028 0.0052 0.0089 0.0142 0.0211 0.0296 0.0395 0.0504
14 0.0002 0.0005 0.0011 0.0022 0.0041 0.0071 0.0113 0.0169 0.0240 0.0324
15 0.0000 0.0001 0.0004 0.0009 0.0018 0.0033 0.0056 0.0090 0.0136 0.0194
16 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0014 0.0026 0.0045 0.0072 0.0109
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0006 0.0012 0.0021 0.0036 0.0058
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0009 0.0017 0.0029
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0008 0.0014
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003
22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001
Tabla 4. Distribución de Poisson P(X k)
59
TABLA 4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON P(X k)
ex
kFPXk
x
x
1 !
k 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679
1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725 0.7357
2 0.9998 0.9988 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9658 0.9526 0.9371 0.9197
3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865 0.9810
4 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9976 0.9963
5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9994
6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999
7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
k 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353
1 0.6990 0.6626 0.6268 0.5918 0.5578 0.5249 0.4932 0.4628 0.4337 0.4060
2 0.9004 0.8795 0.8571 0.8335 0.8088 0.7833 0.7572 0.7306 0.7037 0.6767
3 0.9742 0.9662 0.9569 0.9427 0.9343 0.9212 0.9068 0.8913 0.8747 0.8571
4 0.9946 0.9922 0.9893 0.9857 0.9814 0.9763 0.9704 0.9636 0.9559 0.9473
5 0.9990 0.9985 0.9978 0.9968 0.9955 0.9939 0.9920 0.9896 0.9868 0.9834
6 0.9998 0.9997 0.9996 0.9994 0.9991 0.9987 0.9981 0.9974 0.9965 0.9955
7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9998 0.9997 0.9996 0.9994 0.9992 0.9989
8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998
9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999
k 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00
0 0.1224 0.1108 0.1002 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498
1 0.3796 0.3546 0.3308 0.3084 0.2873 0.2674 0.2487 0.2311 0.2146 0.1991
2 0.6496 0.6227 0.5960 0.5697 0.5438 0.5184 0.4936 0.4694 0.4460 0.4232
3 0.8386 0.8193 0.7993 0.7787 0.7576 0.7360 0.7141 0.6919 0.6696 0.6472
4 0.9379 0.9275 0.9162 0.9041 0.8912 0.8774 0.8629 0.8477 0.8318 0.8153
5 0.9795 0.9751 0.9700 0.9643 0.9580 0.9510 0.9433 0.9349 0.9258 0.9161
6 0.9941 0.9925 0.9906 0.9884 0.9858 0.9828 0.9794 0.9756 0.9713 0.9665
7 0.9985 0.9980 0.9974 0.9967 0.9957 0.9947 0.9934 0.9919 0.9901 0.9881
8 0.9997 0.9995 0.9993 0.9991 0.9988 0.9985 0.9981 0.9976 0.9969 0.9962
9 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997 0.9996 0.9995 0.9993 0.9991 0.9989
10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Breviario de Probabilidades para Estadística
60
k 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00
0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183
1 0.1847 0.1712 0.1586 0.1468 0.1359 0.1257 0.1162 0.1074 0.0992 0.0916
2 0.4012 0.3799 0.3594 0.3397 0.3208 0.3027 0.2854 0.2689 0.2531 0.2381
3 0.6248 0.6025 0.5803 0.5583 0.5366 0.5152 0.4941 0.4735 0.4532 0.4335
4 0.7982 0.7806 0.7626 0.7442 0.7254 0.7064 0.6872 0.6678 0.6484 0.6288
5 0.9057 0.8946 0.8829 0.8705 0.8576 0.8441 0.8301 0.8155 0.8056 0.7851
6 0.9612 0.9554 0.9490 0.9421 0.9347 0.9267 0.9182 0.9091 0.8995 0.8893
7 0.9858 0.9832 0.9802 0.9769 0.9733 0.9692 0.9647 0.9599 0.9546 0.9489
8 0.9953 0.9943 0.9931 0.9917 0.9901 0.9883 0.9863 0.9840 0.9815 0.9786
9 0.9986 0.9982 0.9978 0.9973 0.9967 0.9960 0.9951 0.9942 0.9931 0.9919
10 0.9996 0.9995 0.9994 0.9992 0.9990 0.9987 0.9984 0.9981 0.9976 0.9972
11 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997 0.9996 0.9995 0.9994 0.9993 0.9991
12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
k 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00
0 0.0111 0.0067 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001
1 0.0611 0.0404 0.0266 0.0173 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012
2 0.1736 0.1246 0.0884 0.0620 0.0430 0.0296 0.0202 0.0137 0.0093 0.0062
3 0.3423 0.2650 0.2017 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212
4 0.5321 0.4405 0.3575 0.2850 0.2237 0.1730 0.1321 0.0996 0.0744 0.0550
5 0.7029 0.6160 0.5289 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0.1912 0.1496 0.1157
6 0.8310 0.7622 0.6860 0.6063 0.5265 0.4497 0.3781 0.3134 0.2562 0.2068
7 0.9134 0.8666 0.8095 0.7440 0.6727 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0.3239
8 0.9597 0.9319 0.8943 0.8472 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0.4556
9 0.9829 0.9682 0.9462 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0.6530 0.5874
10 0.9933 0.9863 0.9747 0.9574 0.9332 0.9015 0.8622 0.8159 0.7634 0.7060
11 0.9976 0.9945 0.9890 0.9799 0.9661 0.9466 0.9207 0.8881 0.8487 0.8030
12 0.9992 0.9980 0.9955 0.9912 0.9840 0.9730 0.9573 0.9362 0.9091 0.8758
13 0.9997 0.9993 0.9983 0.9964 0.9929 0.9872 0.9784 0.9658 0.9486 0.9261
14 0.9999 0.9998 0.9994 0.9986 0.9970 0.9943 0.9897 0.9827 0.9726 0.9585
15 1.0000 0.9999 0.9998 0.9995 0.9988 0.9976 0.9954 0.9918 0.9862 0.9780
16 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9990 0.9980 0.9963 0.9934 0.9889
17 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9984 0.9970 0.9947
18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9993 0.9987 0.9976
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9995 0.9989
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998
22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999
Distribuciones Normal, Chi-cuadrado, Poisson y F de Fisher-Snedecor
61
CAPÍTULO 7. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS
7.1. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES
CONTINUAS
En este capítulo se incluyen las tablas de probabilidades de los modelos Normal, Chi-
cuadrado, t de Student y F de Fisher-Snedecor, incluidos previamente en el capítulo 5, en los
formularios 37, 38, 39, respectivamente. En la tabla 5 se incluyen los valores de la función de
distribución Normal. En la tablas 6, 7 y 8 se recogen, respectivamente, los valores de las
funciones de distribución Chi-cuadrado, t de Student y F de Fisher-Snedecor (Evans, Hastings
y Peacock, 1993; Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).
7.2. GRÁFICOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES CONTINUAS
El siguiente gráfico corresponde a la curva Normal.
La distribución Chi-cuadrado aparece representada en el gráfico siguiente:
Media,Desv. T0,1-2,0,0,52,2
Normal Distribución
x
de
nsid
ad
-8 -4 0 4 8 12
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Breviario de Probabilidades para Estadística
62
En el gráfico siguiente se incluye la distribución t-Student.
En los dos gráficos que se incluyen a continuación, aparecen representadas diferentes curvas
de la familia de la distribución F de Fisher-Snedecor.
Grad. de libert1001
t de Student Distribución
x
de
nsid
ad
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Grad. de libert5102050
Chi-Cuadrado Distribución
x
de
nsid
ad
0 20 40 60 80 100
0
0,04
0,08
0,12
0,16
Distribuciones Normal, Chi-cuadrado, Poisson y F de Fisher-Snedecor
63
El gráfico anterior incluye distribuciones F en las que varía el valor de los grados de libertad
del denominador. En el gráfico siguiente, se presentan curvas F en las que varía el valor de los
grados de libertad del numerador.
También en este caso se puede observar que los gráficos de los diferentes modelos
probabilísticos se aproximan al de la distribución Normal, como indica el Teorema Central
Numerador g.l10,110,1010,1002,10
F (índice de varianza) Distribución
x
de
nsid
ad
0 1 2 3 4 5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Numerador g.l10,10100,100500,500
F (índice de varianza) Distribución
x
de
nsid
ad
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
Breviario de Probabilidades para Estadística
64
del Límite, aunque las condiciones de convergencia cambian de unos modelos a otros (Evans,
Hastings y Peacock, 1993; Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).
7.3. TABLAS DE LAS DISTRIBUCIONES NORMAL, CHI-CUADRADO, t-STUDENT Y
F DE FISHER-SNEDECOR
Se incluyen seguidamente los valores de las funciones de distribución de las distribuciones
Normal, Chi-cuadrado, t-Student y F de Fisher-Snedecor (Evans, Hastings y Peacock, 1993;
Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).
Tabla 5. Distribución Normal P(Z z)
65
TABLA 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL P(Z z)
1,0NZ
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
- 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002
- 3.3 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003
- 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005
- 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007
- 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
- 2.9 0.0019 0.0018 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
- 2.8 0.0025 0.0025 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019
- 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
- 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
- 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
- 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0066 0.0064
- 2.2 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0086 0.0084
- 2.2 0.0139 0.0135 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
- 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
- 2.0 0.0227 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
- 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0238 0.0233
- 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0321 0.0314 0.0307 0.0300 0.0294
- 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0400 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
- 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0515 0.0505 0.0495 0.0484 0.0474 0.0465 0.0455
- 1.5 0.0668 0.0655 0.0642 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0570 0.0559
- 1.4 0.0807 0.0793 0.0778 0.0763 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
- 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0917 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
- 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
- 1.1 0.1357 0.1335 0.1313 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
- 1.0 0.1586 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1468 0.1446 0.1423 0.1401 0.1378
- 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1710 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
- 0.8 0.2118 0.2090 0.2061 0.2033 0.2004 0.1977 0.1949 0.1921 0.1894 0.1867
- 0.7 0.2420 0.2388 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
- 0.6 0.2742 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2482 0.2451
- 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2980 0.2946 0.2911 0.2877 0.2843 0.2809 0.2776
- 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3263 0.3227 0.3192 0.3156 0.3121
- 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
- 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
- 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4246
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
Breviario de Probabilidades para Estadística
66
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5358
0.1 0.5398 0.5438 0.5477 0.5517 0.5557 0.5596 0.5635 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5792 0.5832 0.5871 0.5909 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6627 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7356 0.7389 0.7421 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8364 0.8389
1.0 0.8413 0.8437 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8728 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8906 0.8925 0.8943 0.8962 0.8979 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9065 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9146 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9357 0.9370 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9685 0.9692 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9874 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9895 0.9898 0.9901 0.9903 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9928 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9944 0.9946 0.9948 0.9949 0.9950 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9958 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9985 0.9985 0.9985 0.9986
3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
Tabla 6. Distribución 2 P(X 2)
67
TABLA 6. DISTRIBUCIÓN 2 P(X 2p,n)
2X
n 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995
123456789
101112131415161718192021222324252627282930
0.00000.01000.07170.20700.41170.67570.98921.34441.73492.15582.60323.07383.56504.07474.60095.14225.69726.26486.84407.43388.03368.64279.26049.886210.52011.16011.80812.46113.12113.787
0.00010.02010.11480.29710.55430.87211.23901.64652.08792.55823.05353.57064.10694.66045.22935.81226.40787.01497.63278.26048.89729.542510.19610.85611.52412.19812.87813.56514.25614.953
0.00100.05060.21580.48440.83121.23731.68992.17972.70043.24703.81574.40375.00875.62876.26216.90777.56428.23078.90659.590810.28310.98211.68812.40113.12013.84414.57315.30816.04716.791
0.00390.10260.35180.71071.14551.63542.16732.73263.32513.94034.57485.22605.89196.57067.26097.96168.67189.390410.11710.85111.59112.33813.09013.84814.61115.37916.15116.92817.70818.493
0.01580.21070.58441.06361.61032.20412.83313.48954.16814.86525.57786.30387.04157.78958.54679.312210.08510.86511.65112.44311.59114.04114.84815.65916.47317.29218.11418.93919.76820.599
3.84145.99157.81479.48779.236310.64512.01713.36114.68415.98717.27518.54919.81221.06422.30723.54224.76925.98927.20328.41229.61530.81332.00733.19634.38135.56336.74137.91639.08740.256
3.84145.99157.81479.487711.07012.59114.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.29627.58728.86930.14331.41032.67033.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.773
5.02397.37779.348411.14312.83214.44916.01317.53419.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.84530.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.72246.979
6.63499.210311.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.00033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.892
7.879410.59712.83814.86016.75018.54720.27821.95523.58925.18826.75728.29929.82031.31932.80134.26735.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55846.92848.29049.64550.99352.33653.672
Tabla 7. Distribución t P(X t)
69
TABLA 7. DISTRIBUCIÓN t P(T T p,n)
tX
n 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 0.999
12345678910111213141516171819202122232425262728293040506080
100120200500
3.077681.885621.637751.533211.475891.439761.414931.396821.383031.372191.363431.356221.350171.345031.340611.336761.333381.330391.327731.325341.323191.321241.319461.317841.316351.314971.313711.312531.311441.310421.303081.298721.295821.292231.290081.288651.285801.28325
6.313752.919992.353382.131852.015051.943191.894581.859551.833121.812471.795891.782291.770941.761311.753051.745891.739611.734071.729141.724721.720751.717151.713881.710891.708141.705621.703291.701131.699131.697261.683851.675911.670651.664131.660241.657651.652511.64791
12.70624.302653.182452.776452.570592.446922.364632.306012.262162.228142.200992.178822.160372.144792.131452.119912.109822.100932.093032.085972.079622.073882.068662.063902.059542.055532.051832.048412.045232.042282.021082.008562.000301.990071.983981.979931.971901.96472
31.82056.964564.540703.746953.364943.142682.997962.896472.821442.763782.718092.681002.650312.624502.602492.583492.566942.552392.539492.527982.517652.508332.499872.492162.485112.478632.472662.467152.462032.457272.423262.403282.390122.373872.364222.357832.345142.33383
63.65679.924845.840914.604104.032163.707443.499493.355403.249843.169283.105813.054553.012282.976852.946722.920792.898242.878452.860942.845352.831372.818762.807342.796952.787442.778722.770692.763272.756392.750002.704462.677802.660292.638702.625902.617432.600642.58570
318.30922.327110.21457.173185.893435.207634.785314.500814.296824.143714.024713.929643.851993.787403.732843.686163.645783. 61049 3.579413.551823.527163.505003.484973.466783.450203.435003.421043.408163.396253.385193.306883.261423.231723.195263.173753.159543.131493.10662
Tabla 8. Distribución F de Fisher-Snedecor
71
TABLA 8. DISTRIBUCIÓN F de Fisher-Snedecor D
istr
ibuc
ión
F. P
(Fn1
.n2f
0.95
. n1.
n2)
n1
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
12
15
20
24
30
40
60
12
0
n2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60
161.
4 18
.51
10.1
3 7.
709
6.60
8 5.
987
5.59
1 5.
318
5.11
7 4.
965
4.84
4 4.
747
4.66
7 4.
600
4.54
3 4.
494
4.45
1 4.
414
4.38
1 4.
351
4.32
5 4.
301
4.27
9 4.
260
4.24
2 4.
225
4.21
0 4.
196
4.18
3 4.
171
4.08
5 4.
001
199.
5 19
.00
9.55
2 6.
944
5.78
6 5.
143
4.73
7 4.
459
4.25
6 4.
103
3.98
2 3.
885
3.80
5 3.
739
3.68
2 3.
634
3.59
1 3.
554
3.52
2 3.
493
3.46
7 3.
443
3.42
2 3.
403
3.38
5 3.
369
3.35
4 3.
340
3.32
8 3.
316
3.23
2 3.
150
215.
7 19
.16
9.27
7 6.
591
5.40
9 4.
757
4.34
7 4.
066
3.86
2 3.
708
3.58
7 3.
490
3.41
0 3.
344
3.28
7 3.
239
3.19
7 3.
160
3.12
7 3.
098
3.07
2 3.
049
3.02
8 3.
009
2.99
1 2.
975
2.96
0 2.
947
2.93
4 2.
922
2.83
9 2.
525
224.
6 19
.25
9.11
7 6.
388
5.19
2 4.
534
4.12
0 3.
838
3.63
3 3.
478
3.35
7 3.
259
3.17
9 3.
112
3.05
5 3.
007
2.96
5 2.
928
2.89
5 2.
866
2.84
0 2.
817
2.79
5 2.
776
2.75
9 2.
742
2.72
8 2.
714
2.70
1 2.
690
2.60
6 2.
525
230.
2 19
.30
9.01
3 6.
256
5.05
0 4.
387
3.97
1 3.
687
3.48
2 3.
326
3.20
4 3.
106
3.02
5 2.
958
2.90
1 2.
852
2.81
0 2.
773
2.74
0 2.
711
2.68
5 2.
661
2.64
0 2.
621
2.60
3 2.
587
2.57
2 2.
558
2.54
5 2.
533
2.44
9 2.
368
234.
0 19
.33
8.94
1 6.
163
4.95
0 4.
284
3.86
6 3.
580
3.37
3 3.
217
3.09
5 2.
996
2.91
5 2.
847
2.79
0 2.
741
2.69
9 2.
661
2.62
8 2.
599
2.57
3 2.
549
2.52
8 2.
508
2.49
0 2.
474
2.45
9 2.
445
2.43
2 2.
420
2.33
6 2.
254
236.
8 19
.35
8.88
7 6.
094
4.87
6 4.
207
3.78
7 3.
500
3.29
3 3.
135
3.01
2 2.
913
2.83
2 2.
764
2.70
7 2.
657
2.61
4 2.
577
2.54
3 2.
514
2.48
7 2.
464
2.44
2 2.
423
2.40
5 2.
388
2.37
3 2.
359
2.34
6 2.
334
2.24
9 2.
166
238.
9 19
.37
8.84
5 6.
041
4.81
8 4.
147
3.72
6 3.
438
3.22
9 3.
072
2.94
8 2.
848
2.76
7 2.
699
2.64
1 2.
591
2.54
8 2.
510
2.47
7 2.
447
2.42
0 2.
396
2.37
5 2.
355
2.33
7 2.
320
2.30
5 2.
291
2.27
8 2.
266
2.18
0 2.
097
240.
5 19
.38
8.81
2 5.
999
4.77
2 4.
099
3.67
7 3.
388
3.17
9 3.
020
2.89
6 2.
796
2.71
4 2.
646
2.58
8 2.
538
2.49
4 2.
456
2.42
3 2.
393
2.36
6 2.
342
2.32
0 2.
300
2.28
2 2.
265
2.25
0 2.
236
2.22
3 2.
211
2.12
4 2.
040
241.
9 19
.39
8.78
5 5.
964
4.73
5 4.
060
3.63
6 3.
347
3.13
7 2.
978
2.85
4 2.
753
2.67
1 2.
602
2.54
4 2.
493
2.45
0 2.
412
2.37
8 2.
348
2.32
1 2.
297
2.27
5 2.
255
2.23
6 2.
220
2.20
4 2.
190
2.17
7 2.
164
2.07
7 1.
992
243.
9 19
.41
8.74
5 5.
912
4.67
8 4.
000
3.57
5 3.
284
3.07
3 2.
913
2.78
7 2.
687
2.60
4 2.
534
2.47
5 2.
425
2.38
1 2.
342
2.30
8 2.
277
2.25
0 2.
226
2.20
4 2.
183
2.16
5 2.
148
2.13
2 2.
118
2.10
4 2.
092
2.00
3 1.
917
245.
9 19
.43
8.70
3 5.
858
4.61
9 3.
938
3.51
1 3.
218
3.00
6 2.
845
2.71
9 2.
617
2.53
3 2.
463
2.40
3 2.
352
2.30
8 2.
269
2.23
4 2.
203
2.17
6 2.
151
2.12
8 2.
108
2.08
9 2.
072
2.05
6 2.
041
2.02
7 2.
015
1.92
4 1.
836
248.
0 19
.44
8.66
0 5.
802
4.55
8 3.
874
3.44
4 3.
150
2.93
6 2.
774
2.64
6 2.
543
2.45
8 2.
388
2.32
7 2.
275
2.23
0 2.
191
2.15
5 2.
124
2.09
6 2.
071
2.04
8 2.
027
2.00
7 1.
990
1.97
3 1.
958
1.94
5 1.
932
1.83
9 1.
748
249.
0 19
.45
8.63
8 5.
774
4.52
7 3.
841
3.41
0 3.
115
2.90
0 2.
737
2.60
9 2.
505
2.42
0 2.
349
2.28
8 2.
235
2.19
0 2.
150
2.11
4 2.
082
2.05
4 2.
028
2.00
5 1.
984
1.96
4 1.
946
1.93
0 1.
915
1.90
0 1.
887
1.79
3 1.
700
250.
1 19
.46
8.61
6 5.
746
4.49
6 3.
808
3.37
6 3.
079
2.86
4 2.
699
2.57
0 2.
466
2.38
0 2.
308
2.24
7 2.
194
2.14
8 2.
107
2.07
1 2.
039
2.01
0 1.
984
1.96
0 1.
939
1.91
9 1.
901
1.88
4 1.
869
1.85
4 1.
841
1.74
4 1.
649
251.
1 19
.47
8.59
4 5.
717
4.46
4 3.
774
3.34
0 3.
043
2.82
6 2.
661
2.53
1 2.
426
2.33
9 2.
266
2.20
4 2.
151
2.10
4 2.
063
2.02
6 1.
994
1.96
4 1.
938
1.91
4 1.
892
1.87
2 1.
853
1.83
6 1.
820
1.80
5 1.
792
1.69
3 1.
594
252.
2 19
.48
8.57
2 5.
688
4.43
1 3.
740
3.30
4 3.
005
2.78
7 2.
621
2.49
0 2.
384
2.29
6 2.
223
2.16
0 2.
106
2.05
8 2.
017
1.97
9 1.
946
1.91
6 1.
889
1.86
5 1.
842
1.82
2 1.
803
1.78
5 1.
769
1.75
4 1.
739
1.63
7 1.
534
253.
2 19
.49
8.54
9 5.
658
4.39
8 3.
705
3.26
7 2.
967
2.74
7 2.
580
2.44
8 2.
341
2.25
2 2.
178
2.11
4 2.
059
2.01
1 1.
968
1.93
0 1.
896
1.86
6 1.
838
1.81
3 1.
790
1.76
8 1.
749
1.73
1 1.
714
1.69
8 1.
683
1.57
7 1.
467
Breviario de Probabilidades para Estadística
72
Dis
trib
ució
n F
. P(F
n1.n
2f
0.97
5. n
1. n
2)
n
1
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
12
15
20
24
30
40
60
12
0
n2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60
647.
8
38.5
1
17.4
4
12.2
2
10.0
1
8.81
3
8.07
3
7.57
1
7.20
9
6.93
7
6.72
4
6.55
4
6.41
4
6.29
8
6.19
9
6.11
5
6.04
2
5.97
8
5.92
2
5.87
1
5.82
7
5.78
6
5.75
0
5.71
7
5.68
6
5.65
9
5.63
3
5.60
9
5.58
8
5.56
7
5.42
4
5.28
6
799.
5 39
.00
16.0
4 10
.65
8.43
4 7.
260
6.54
1 6.
059
5.71
5 5.
456
5.25
6 5.
096
4.96
5 4.
857
4.76
5 4.
687
4.61
9 4.
560
4.50
7 4.
461
4.42
0 4.
383
4.34
9 4.
319
4.29
1 4.
265
4.24
2 4.
220
4.20
0 4.
182
4.05
1 3.
925
864.
2 39
.16
15.4
4 9.
979
7.76
3 6.
599
5.89
0 5.
416
5.07
8 4.
826
4.63
0 4.
474
4.34
7 4.
242
4.15
3 4.
077
4.01
1 3.
954
3.90
3 3.
859
3.81
9 3.
783
3.75
0 3.
721
3.69
4 3.
670
3.64
7 3.
626
3.60
7 3.
589
3.46
3 3.
342
899.
6 39
.25
15.1
0 9.
604
7.38
8 6.
227
5.52
2 5.
053
4.71
8 4.
468
4.27
5 4.
121
3.99
6 3.
892
3.80
4 3.
729
3.66
5 3.
608
3.55
9 3.
515
3.47
5 3.
440
3.40
8 3.
379
3.35
3 3.
329
3.30
7 3.
286
3.26
7 3.
250
3.12
6 3.
008
921.
8 39
.30
14.8
8 9.
364
7.14
6 5.
987
5.28
5 4.
817
4.48
4 4.
236
4.04
4 3.
891
3.76
7 3.
663
3.57
6 3.
502
3.43
8 3.
382
3.33
3 3.
289
3.25
0 3.
215
3.18
3 3.
155
3.12
9 3.
105
3.08
3 3.
062
3.04
4 3.
026
2.90
4 2.
786
937.
1 39
.33
14.7
3 9.
197
6.97
8 5.
820
5.11
8 4.
652
4.32
0 4.
072
3.88
1 3.
728
3.60
4 3.
501
3.41
5 3.
341
3.27
7 3.
221
3.17
2 3.
128
3.08
9 3.
055
3.02
3 2.
994
2.96
8 2.
945
2.92
3 2.
903
2.88
4 2.
867
2.74
4 2.
627
948.
2 39
.35
14.6
2 9.
074
6.85
3 5.
695
4.99
5 4.
528
4.19
7 3.
950
3.75
9 3.
606
3.48
3 3.
380
3.29
3 3.
219
3.15
5 3.
100
3.05
1 3.
007
2.96
9 2.
934
2.90
2 2.
874
2.84
8 2.
824
2.80
2 2.
782
2.76
3 2.
746
2.62
4 2.
507
956.
6 39
.37
14.5
4 8.
979
6.75
7 5.
600
4.89
9 4.
433
4.10
2 3.
855
3.66
4 3.
512
3.38
8 3.
285
3.19
9 3.
125
3.06
1 3.
005
2.95
6 2.
913
2.87
3 2.
839
2.80
8 2.
779
2.75
3 2.
729
2.70
7 2.
687
2.66
8 2.
651
2.52
9 2.
412
963.
3 39
.39
14.4
7 8.
905
6.68
1 5.
523
4.82
3 4.
357
4.02
6 3.
779
3.58
8 3.
436
3.31
2 3.
209
3.12
3 3.
049
2.98
5 2.
929
2.88
0 2.
836
2.79
8 2.
763
2.73
1 2.
703
2.67
7 2.
653
2.63
1 2.
611
2.59
2 2.
575
2.45
2 2.
334
968.
6 39
.40
14.4
2 8.
844
6.61
9 5.
461
4.76
1 4.
295
3.96
4 3.
717
3.52
6 3.
373
3.25
0 3.
147
3.06
0 2.
986
2.92
2 2.
866
2.81
7 2.
774
2.73
5 2.
700
2.66
8 2.
639
2.61
3 2.
589
2.56
7 2.
547
2.52
8 2.
511
2.38
8 2.
270
976.
7 39
.41
14.3
4 8.
751
6.52
4 5.
366
4.66
6 4.
200
3.86
8 3.
621
3.43
0 3.
277
3.15
3 3.
050
2.96
3 2.
889
2.82
5 2.
769
2.71
9 2.
676
2.63
7 2.
602
2.57
0 2.
541
2.51
5 2.
491
2.46
9 2.
448
2.42
9 2.
412
2.28
8 2.
169
984.
9 39
.43
14.2
5 8.
656
6.42
8 5.
269
4.56
8 4.
101
3.76
9 3.
522
3.33
0 3.
177
3.05
3 2.
949
2.86
2 2.
787
2.72
3 2.
667
2.61
7 2.
573
2.53
4 2.
498
2.46
6 2.
437
2.41
1 2.
387
2.36
4 2.
344
2.32
5 2.
307
2.18
2 2.
061
993.
1 39
.45
14.1
7 8.
560
6.32
8 5.
168
4.46
7 3.
999
3.66
7 3.
418
3.22
6 3.
073
2.94
8 2.
844
2.75
6 2.
681
2.61
6 2.
559
2.50
9 2.
464
2.42
5 2.
389
2.35
7 2.
327
2.30
0 2.
276
2.25
3 2.
232
2.21
3 2.
195
2.06
8 1.
944
997.
2 39
.46
14.1
2 8.
511
6.27
8 5.
117
4.41
5 3.
947
3.61
4 3.
365
3.17
2 3.
019
2.89
3 2.
789
2.70
1 2.
625
2.56
0 2.
503
2.45
2 2.
407
2.36
7 2.
331
2.29
9 2.
269
2.24
2 2.
217
2.19
4 2.
173
2.15
4 2.
136
2.00
7 1.
882
1001
.4
39.4
6 14
.08
8.46
1 6.
227
5.06
5 4.
362
3.89
4 3.
560
3.31
1 3.
118
2.96
3 2.
837
2.73
2 2.
644
2.56
8 2.
502
2.44
4 2.
394
2.34
9 2.
308
2.27
2 2.
239
2.20
9 2.
182
2.15
6 2.
133
2.11
2 2.
092
2.07
4 1.
943
1.81
5
1005
39
.47
14.0
4 8.
411
6.17
5 5.
012
4.30
9 3.
840
3.50
5 3.
255
3.06
1 2.
906
2.78
0 2.
674
2.58
5 2.
508
2.44
2 2.
384
2.33
3 2.
287
2.24
6 2.
210
2.17
6 2.
146
2.11
8 2.
093
2.06
9 2.
048
2.02
7 2.
009
1.87
5 1.
744
1009
39
.48
13.9
9 8.
360
6.12
2 4.
959
4.25
4 3.
784
3.44
9 3.
198
3.00
3 2.
848
2.72
0 2.
614
2.52
4 2.
447
2.38
0 2.
321
2.26
9 2.
223
2.18
2 2.
144
2.11
1 2.
080
2.05
2 2.
026
2.00
2 1.
980
1.95
9 1.
940
1.80
3 1.
667
1014
39
.49
13.9
5 8.
309
6.06
9 4.
904
4.19
9 3.
728
3.39
2 3.
140
2.94
4 2.
787
2.65
9 2.
552
2.46
1 2.
383
2.31
5 2.
256
2.20
3 2.
156
2.11
4 2.
076
2.04
1 2.
010
1.98
1 1.
954
1.93
0 1.
907
1.88
6 1.
866
1.72
4 1.
581
Tabla 8. Distribución F de Fisher-Snedecor
73
Dis
trib
ució
n F
. P(F
n1.n
2f
0.99
0. n
1. n
2)
n
1
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
12
15
20
24
30
40
60
12
0
n2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60
4052
98
.50
34.1
2 21
.20
16.2
6 13
.74
12.2
5 11
.26
10.5
6 10
.04
9.64
6 9.
330
9.07
4 8.
861
8.68
3 8.
531
8.40
0 8.
285
8.18
5 8.
096
8.01
6 7.
945
7.88
1 7.
823
7.77
0 7.
721
7.67
7 7.
636
7.59
8 7.
562
7.31
4 7.
077
4999
99
.00
30.8
2 18
.00
13.2
7 10
.92
9.54
6 8.
649
8.02
1 7.
559
7.20
6 6.
927
6.70
1 6.
515
6.35
9 6.
226
6.11
2 6.
013
5.92
6 5.
849
5.78
0 5.
719
5.66
4 5.
613
5.56
8 5.
526
5.48
8 5.
453
5.42
0 5.
390
5.17
8 4.
977
5403
99
.17
29.4
6 16
.69
12.0
6 9.
779
8.45
1 7.
591
6.99
2 6.
552
6.21
7 5.
952
5.73
9 5.
564
5.41
7 5.
292
5.18
5 5.
092
5.01
0 4.
938
4.87
4 4.
817
4.76
5 4.
718
4.67
5 4.
636
4.60
1 4.
568
4.53
8 4.
510
4.31
2 4.
126
5624
99
.25
28.7
1 15
.98
11.3
9 9.
148
7.84
7 7.
006
6.42
2 5.
994
5.66
8 5.
412
5.20
5 5.
035
4.89
3 4.
772
4.66
9 4.
579
4.50
0 4.
431
4.36
9 4.
313
4.26
3 4.
218
4.17
7 4.
140
4.10
6 4.
074
4.04
4 4.
018
3.82
8 3.
649
5763
99
.30
28.2
4 15
.52
10.9
7 8.
746
7.46
0 6.
632
6.05
7 5.
636
5.31
6 5.
064
4.86
2 4.
695
4.55
6 4.
437
4.33
6 4.
248
4.17
1 4.
103
4.04
2 3.
988
3.93
9 3.
895
3.85
5 3.
818
3.78
5 3.
754
3.72
5 3.
699
3.51
4 3.
339
5859
99
.33
27.9
1 15
.21
10.6
7 8.
466
7.19
1 6.
371
5.80
2 5.
386
5.06
9 4.
820
4.62
0 4.
456
4.31
8 4.
202
4.10
1 4.
015
3.93
8 3.
871
3.81
2 3.
758
3.71
0 3.
667
3.62
7 3.
591
3.55
8 3.
527
3.49
9 3.
473
3.29
1 3.
119
5928
99
.36
27.6
7 14
.97
10.4
5 8.
260
6.99
3 6.
178
5.61
3 5.
200
4.88
6 4.
639
4.44
1 4.
278
4.14
1 4.
026
3.92
7 3.
841
3.76
5 3.
699
3.63
9 3.
587
3.53
9 3.
496
3.45
7 3.
421
3.38
8 3.
358
3.33
0 3.
304
3.12
4 2.
953
5981
99
.37
27.4
9 14
.80
10.2
9 8.
102
6.84
0 6.
029
5.46
7 5.
057
4.74
4 4.
499
4.30
2 4.
140
4.00
4 3.
889
3.79
1 3.
705
3.63
0 3.
564
3.50
6 3.
453
3.40
6 3.
363
3.32
4 3.
288
3.25
6 3.
226
3.19
8 3.
173
2.99
3 2.
823
6022
99
.39
27.3
4 14
.66
10.1
6 7.
976
6.71
9 5.
911
5.35
1 4.
942
4.63
1 4.
387
4.19
1 4.
030
3.89
5 3.
780
3.68
2 3.
597
3.52
2 3.
457
3.39
8 3.
346
3.29
9 3.
256
3.21
7 3.
182
3.14
9 3.
119
3.09
2 3.
066
2.88
7 2.
718
6055
99
.40
27.2
3 14
.54
10.0
5 7.
874
6.62
0 5.
814
5.25
6 4.
849
4.53
9 4.
296
4.10
0 3.
939
3.80
5 3.
691
3.59
3 3.
508
3.43
4 3.
368
3.31
0 3.
258
3.21
0 3.
168
3.12
9 3.
094
3.06
2 3.
032
3.00
4 2.
979
2.80
0 2.
632
6106
99
.41
27.0
5 14
.37
9.88
8 7.
718
6.46
9 5.
667
5.11
1 4.
706
4.39
7 4.
155
3.96
0 3.
800
3.66
6 3.
553
3.45
5 3.
371
3.29
6 3.
231
3.17
3 3.
121
3.07
4 3.
032
2.99
3 2.
958
2.92
5 2.
896
2.86
8 2.
843
2.66
5 2.
496
6157
99
.43
26.8
7 14
.20
9.72
2 7.
559
6.31
4 5.
515
4.96
2 4.
558
4.25
1 4.
010
3.81
5 3.
656
3.52
2 3.
409
3.31
2 3.
227
3.15
3 3.
088
3.03
0 2.
978
2.93
1 2.
889
2.85
0 2.
815
2.78
3 2.
753
2.72
5 2.
700
2.52
2 2.
352
6208
99
.45
26.6
9 14
.02
9.55
3 7.
396
6.15
5 5.
359
4.80
8 4.
405
4.09
9 3.
858
3.66
5 3.
505
3.37
2 3.
259
3.16
1 3.
077
3.00
3 2.
938
2.87
9 2.
827
2.78
0 2.
738
2.69
9 2.
664
2.63
1 2.
602
2.57
4 2.
549
2.36
9 2.
198
6235
99
.46
26.6
0 13
.93
9.46
6 7.
313
6.07
4 5.
279
4.72
9 4.
327
4.02
1 3.
78
3.58
7 3.
427
3.29
4 3.
181
3.08
3 2.
999
2.92
5 2.
859
2.80
1 2.
749
2.70
2 2.
659
2.62
0 2.
585
2.55
2 2.
522
2.49
4 2.
469
2.28
8 2.
115
6261
99
.46
26.5
0 13
.84
9.37
9 7.
228
5.99
2 5.
198
4.64
8 4.
247
3.94
1 3.
701
3.50
7 3.
347
3.21
4 3.
101
3.00
3 2.
918
2.84
4 2.
778
2.72
0 2.
667
2.62
0 2.
577
2.53
8 2.
503
2.47
0 2.
440
2.41
2 2.
386
2.20
3 2.
028
6287
99
.47
26.4
1 13
.74
9.29
1 7.
143
5.90
8 5.
116
4.56
7 4.
165
3.85
9 3.
619
3.42
5 3.
266
3.13
2 3.
018
2.92
0 2.
835
2.76
1 2.
695
2.63
6 2.
583
2.53
5 2.
492
2.45
3 2.
417
2.38
4 2.
353
2.32
5 2.
299
2.11
4 1.
936
6313
99
.48
26.3
2 13
.65
9.20
2 7.
057
5.82
3 5.
032
4.48
3 4.
082
3.77
6 3.
535
3.34
1 3.
181
3.04
7 2.
933
2.83
5 2.
749
2.67
4 2.
608
2.54
8 2.
495
2.44
7 2.
403
2.36
4 2.
327
2.29
4 2.
263
2.23
4 2.
208
2.01
9 1.
836
6339
99
.49
26.2
2 13
.56
9.11
2 6.
969
5.73
7 4.
946
4.39
8 3.
996
3.69
0 3.
449
3.25
5 3.
094
2.95
9 2.
845
2.74
6 2.
660
2.58
4 2.
517
2.45
7 2.
403
2.35
4 2.
310
2.26
9 2.
232
2.19
8 2.
167
2.13
8 2.
111
1.91
7 1.
726
Breviario de Probabilidades para Estadística
74
Dis
trib
ució
n F
. P(F
n1.n
2f
0.99
5. n
1. n
2)
n
1
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
12
15
20
24
30
40
60
12
0
n2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60
1621
119
8.5
55.5
531
.33
22.7
818
.63
16.2
314
.69
13.6
112
.83
12.2
311
.75
11.3
711
.06
10.8
010
.57
10.3
810
.22
10.0
79.
944
9.82
99.
727
9.63
59.
551
9.47
59.
406
9.34
29.
284
9.23
09.
180
8.82
88.
495
1999
919
9.0
49.8
026
.28
18.3
114
.54
12.4
011
.04
10.1
19.
427
8.91
28.
510
8.18
67.
922
7.70
17.
514
7.35
47.
215
7.09
36.
986
6.89
16.
806
6.73
06.
661
6.59
86.
541
6.48
86.
440
6.39
66.
355
6.06
65.
795
2161
519
9.2
47.4
724
.26
16.5
312
.92
10.8
89.
596
8.71
78.
081
7.60
07.
226
6.92
66.
680
6.47
66.
303
6.15
66.
028
5.91
65.
818
5.73
05.
652
5.58
25.
519
5.46
15.
409
5.36
15.
317
5.27
65.
239
4.97
64.
729
2249
919
9.2
46.1
923
.15
15.5
612
.03
10.0
58.
805
7.95
67.
343
6.88
16.
521
6.23
35.
998
5.80
35.
638
5.49
75.
375
5.26
85.
174
5.09
15.
017
4.95
04.
890
4.83
54.
785
4.74
04.
698
4.65
94.
623
4.37
44.
140
2305
619
9.3
45.3
922
.46
14.9
411
.46
9.52
28.
302
7.47
16.
872
6.42
26.
071
5.79
15.
562
5.37
25.
212
5.07
44.
956
4.85
34.
761
4.68
14.
609
4.54
44.
486
4.43
34.
384
4.34
04.
299
4.26
24.
227
3.98
63.
760
2343
719
9.3
44.8
421
.97
14.5
111
.07
9.15
57.
952
7.13
46.
545
6.10
15.
757
5.48
25.
257
5.07
04.
913
4.77
94.
663
4.56
14.
472
4.39
34.
322
4.25
94.
202
4.15
04.
103
4.05
94.
020
3.98
33.
949
3.71
33.
492
2371
419
9.3
44.4
321
.62
14.2
010
.78
8.88
57.
694
6.88
56.
302
5.86
55.
524
5.25
35.
031
4.84
74.
692
4.55
94.
445
4.34
54.
257
4.17
94.
109
4.04
73.
990
3.93
93.
893
3.85
03.
811
3.77
53.
741
3.50
93.
291
2392
519
9.4
44.1
221
.35
13.9
610
.56
8.67
87.
496
6.69
36.
116
5.68
25.
345
5.07
64.
857
4.67
44.
521
4.38
94.
276
4.17
74.
090
4.01
33.
944
3.88
23.
826
3.77
63.
730
3.68
73.
649
3.61
33.
580
3.35
03.
134
2409
119
9.4
43.8
821
.14
13.7
710
.39
8.51
47.
338
6.54
15.
967
5.53
75.
202
4.93
54.
717
4.53
64.
384
4.25
34.
141
4.04
33.
956
3.88
03.
811
3.75
03.
695
3.64
53.
599
3.55
73.
519
3.48
33.
450
3.22
23.
008
2422
419
9.4
43.6
820
.97
13.6
210
.25
8.38
07.
211
6.41
75.
847
5.41
85.
085
4.82
04.
603
4.42
34.
272
4.14
24.
030
3.93
33.
847
3.77
13.
703
3.64
23.
587
3.53
73.
491
3.45
03.
412
3.37
63.
344
3.11
72.
904
2442
619
9.4
43.3
920
.70
13.3
810
.03
8.17
67.
015
6.22
75.
661
5.23
64.
906
4.64
34.
428
4.25
04.
099
3.97
13.
860
3.76
33.
678
3.60
23.
535
3.47
43.
420
3.37
03.
325
3.28
43.
246
3.21
13.
179
2.95
32.
742
2463
019
9.4
43.0
820
.44
13.1
59.
814
7.96
86.
814
6.03
25.
471
5.04
94.
721
4.46
04.
247
4.07
03.
920
3.79
33.
683
3.58
63.
502
3.42
73.
360
3.30
03.
245
3.19
63.
151
3.11
03.
073
3.03
83.
006
2.78
12.
570
2483
619
9.4
42.7
820
.17
12.9
09.
589
7.75
46.
608
5.83
25.
274
4.85
54.
530
4.27
04.
058
3.88
23.
734
3.60
73.
498
3.40
23.
318
3.24
33.
176
3.11
63.
062
3.01
32.
968
2.92
72.
890
2.85
52.
823
2.59
82.
387
2493
919
9.4
42.6
220
.03
12.7
89.
474
7.64
56.
503
5.72
95.
173
4.75
64.
431
4.17
23.
961
3.78
63.
638
3.51
13.
402
3.30
63.
222
3.14
73.
081
3.02
12.
967
2.91
82.
873
2.83
22.
794
2.75
92.
727
2.50
22.
290
2504
419
9.5
42.4
619
.89
12.6
59.
358
7.53
46.
396
5.62
55.
070
4.65
44.
331
4.07
33.
862
3.68
73.
539
3.41
23.
303
3.20
73.
123
3.04
92.
982
2.92
22.
868
2.81
92.
774
2.73
32.
695
2.66
02.
628
2.40
12.
187
2514
819
9.5
42.3
119
.75
12.5
39.
241
7.42
26.
287
5.51
84.
966
4.55
14.
228
3.97
03.
760
3.58
53.
437
3.31
13.
201
3.10
63.
021
2.94
72.
880
2.82
02.
765
2.71
62.
671
2.62
92.
591
2.55
62.
524
2.29
62.
079
2525
319
9.5
42.1
519
.61
12.4
09.
122
7.30
96.
177
5.41
04.
859
4.44
54.
123
3.86
53.
655
3.48
03.
332
3.20
63.
096
3.00
02.
916
2.84
12.
774
2.71
32.
658
2.60
92.
563
2.52
22.
483
2.44
82.
415
2.18
41.
962
2535
819
9.5
41.9
919
.47
12.2
79.
001
7.19
36.
065
5.30
04.
750
4.33
74.
015
3.75
83.
547
3.37
23.
224
3.09
72.
987
2.89
12.
806
2.73
02.
662
2.60
12.
546
2.49
62.
450
2.40
82.
369
2.33
32.
300
2.06
31.
834
Referencias Bibliográficas
75
RE ERENCIAS BIBLIO RÁ ICAS
Amón, J. (1993). Estadística para psicólogos. Volumen 1. Madrid: Pirámide.
Amón, J. (1993). Estadística para Psicólogos. Volumen 2. Madrid: Pirámide.
Botella, J., León, O. y San Martín, R. (1993). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: Pirámide.
Canavos, G.C. (1988). Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México: McGraw Hill.
Cooms, C.H., Dawes, R.M. y Tversky, A. (1970). Introducción a la Psicología Matemática. Madrid: Alianza
Universidad Textos.
Cramer, H. (1955). Introduction to Probability Theory. New York: Wiley.
DeFinetti, B. (1995). Theory of Probability. Volume I. New York: Wiley.
DeFinetti, B. (1995). Theory of Probability. Volume II. New York: Wiley.
Evans, M., Hasting, N. y Peacock, B. (1993). Statistical Distribution. New York: Wiley.
Feller, W. (1957). An Introduction to Probability Theory and its Applications. New York: Wiley.
Johnson, J., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distribution. Volume I. New York:
Wiley.
Johnson, J., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distribution. Volume II. New York:
Wiley.
Kyburg, H.E. (1970). Probability and Inductive Logia. London: McMillan Company.
Kyburg, H.E. y Smokler H. (1964). Studies in Subjective Probability. New York: Wiley.
Laplace, P.S. (1985). Ensayo Filosófico sobre las Probabilidades. Madrid: Alianza Editorial.
Lindley, D.V. (1980). Introduction to Probability and Statistics. Cambridge: Cambridge University Press.
MacLane, S. y Birkhoff, G. (1971a). AlgebreI: Structures Fondamentales. París: Gauthier-Villars.
MacLane, S. y Birkhoff, G. (1971b). AlgebreII: Les Grandes Théorems. París: Gauthier-Villars.
Pardo, A. y San Martín, R. (1998). Análisis de Datos en Psicología II. Madrid: Pirámide.
Quesada, V., Isidoro, A. y López, L.J. (1984). Curso y ejercicios de estadística. Alhambra Universidad.
Savage, L.J. (1954). Foundations of Statistics. New York: Wiley.
Tucker, H.G. (1973). Introducción a la Teoría Matemática de las Probabilidades y la Estadística. Barcelona:
Vicens-Vives.
Von Mises, R.E. (1957). Probability, Statistics and Truth. New York: McMillan
Anexo. Formulario de Estadística Descriptiva
77
ANEXO. FORMULARIO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Formulario 40. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN
NOMBRE DATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS
DATOS AGRUPADOS EN TABLAS
MEDIAARITMÉTICA n
X i=Xn
Xn=X ii
MEDIANAa
n
N-n+L=M i
i
1-i
id2
1
PERCENTIL ka
n
N-n/100k+L=P i
i
1-iik 1
Formulario 41. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN
NOMBRE DATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS
DATOS AGRUPADOS EN TABLAS
DESVIACION MEDIA
n
|X-X|=XMD i)(.
n
|X-X|n=XMD Ii)(.
VARIANZA
n
XX=S
i2x
2
n
XXn=S
ii2x
2
DESVIACIÓN TÍPICA
n
XX=S
ix
2
n
XXn=S
iix
2
COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV X =
S
X.100
x( )
DESVIACION MEDIANA
MAD M X Md i d
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CUARTÍLICO
CV =P P
P PC75 25
75 25
RANGO O AMPLITUD TOTAL
ATotal= Xn – X1 + 1
AMPLITUD INTER CUARTILICA
AQ= Q3 – Q1
AMPLITUD SEMIINTER
CUARTÍLICA
Amp =Q - Q
23 1
Breviario de Probabilidades para Estadística
78
Formulario 42. TIPOS DE PUNTUACIONES
PUNTUACIONES DIRECTAS iX
PUNTUACIONES DIFERENCIALES XXx ii
PUNTUACIONES TÍPICAS X
ii
S
XXZ
ESCALAS DERIVADAS T aZ bi
Formulario 43. TRANSFORMACIONES LINEALES 1
MEDIA ARITMÉTICA
bXaY
baXY
VARIANZA 222xy SaS
baXY
DESVIACIÓN TÍPICA xy SaS
baXY
Anexo. Formulario de Estadística Descriptiva
79
Formulario 44. ESTADÍSTICOS DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES
COVARIANZA DATOS NO
AGRUPADOS EN TABLAS
n
YYXX
S
ni
i
ii
xy1
YXn
YX
S
ni
i
ii
xy1
COVARIANZA DATOS AGRUPADOS
EN TABLAS n
YYXX
S
ki
i
pj
j
ji
xy
1 1
YXn
YX
S
ki
i
pj
j
ji
xy
1 1
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE
PEARSON DATOS NO AGRUPADOS EN
TABLAS
yx
xy
xySS
Sr
ni
i
ni
i
ii
ni
i
ni
i
ii
ni
i
ni
i
ii
ni
i
ii
xy
YYnXXn
YXYXn
r
1
2
1
2
1
2
1
2
1 11
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON DATOS AGRUPADOS EN
TABLAS
yx
xy
xySS
Sr
pj
j
pj
j
jj
ki
i
ki
i
ii
ki
i
pj
j
ji
ki
i
pj
j
ji
xy
YYnXXn
YXYXn
r
1
2
1
2
1
2
1
2
1 11 1
Breviario de Probabilidades para Estadística
80
Formulario 45. TRANSFORMACIONES LINEALES 2
COVARIANZA
xyvw ScaS
dcYWbaXV
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE
PEARSON
xyvw rcar
dcYWbaXV
FORMULARIO 46. RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE XDATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS
RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE XDATOS AGRUPADOS EN TABLAS
Recta de Y sobre X: bXaY 'Estimación de los parámetros:
ni
i
ni
i
ii
ni
i
ni
i
ii
ni
i
ii
x
xy
x
y
xy
XXn
YXYXn
s
s
s
srb
1
2
1
2
1 112
XbYa
Error de predicción:ni
i
YY1
2'
Recta de Y sobre X: bXaY
Estimación de los parámetros:
ki
i
ki
i
ii
ki
i
pj
j
ki
i
pj
j
jiji
x
xy
x
y
xy
XXn
YXYXn
s
s
s
srb
1
2
1
2
1 1 1 12
XbYa
Error de predicción: ni
i
YY1
2'
Top Related