CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MATHCAD
EL TRIÁNGULO
Ricardo Villafaña Figueroa
Cálculo Simbólico y Cálculo Visual
Innovación Educativa 2
Cálculo Simbólico y Geometría con Mathcad
Ricardo Villafaña Figueroa
Contenido Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo ............................................................................... 3
Cálculo del área de un triángulo ......................................................................................................... 6
Cálculo del baricentro/ centroide de un triángulo ............................................................................ 18
Punto de intersección de las medianas ............................................................................................. 22
Cálculo del ortocentro de un triángulo ............................................................................................. 25
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Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo
Ejemplo
¿Cuánto miden los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A (2, 6), B (‐3, ‐1) y C (4, ‐5)?
Solución
Representación gráfica del problema:
Fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos dados:
my2 y1−
x2 x1−
yy:=
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Representación de los puntos y la pendiente en Mathcad:
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Cálculo del ángulo α entre los lados AB y AC:
Cálculo del ángulo β entre los lados AB y BC:
Ay1
x1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=x1 x2
By2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=x2
mB2 A2−
B1 A1−
B:=
m1B2 A2−
B1 A1−75
→:=
m3C2 A2−
C1 A1−112
−→:=
tanαm3 m1−
1 m3 m1+6967
→:=
α atan tanα( )180π
45.843=:=
m2B2 C2−
B1 C1−47
−→:=
tanβm1 m2−
1 m1 m2+697
→:=
β atan tanβ( )180π
84.207=:=
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Cálculo del tercer ángulo γ del triángulo:
Solución gráfica dada por Geogebra:
γ 180 α− β− 49.95=:=
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Cálculo del área de un triángulo
Ejemplo
Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A (‐1, 1), B (3, 4) y C (5, ‐1).
Primera solución
Dadas las coordenadas de los vértices, el área de un triángulo viene dada por la siguiente fórmula:
K12
y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅
Definir los vértices dados en términos de Mathcad:
A
1−
1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= B3
4⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= C5
1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
Su equivalente en coordenadas X, Y es el siguiente:
x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=
Definir el área en términos de Mathcad y calcular su valor:
K12
y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅:=
K 13→
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Segunda solución
La fórmula
K12
y1 y3−( ) x2⋅ x1 x3−( ) y2⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−⋅
Se puede expresar en términos de un determinante:
K12
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1
1
1
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
Donde
x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=
Obtenemos:
K 13→
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Tercera solución
Se puede obtener el área de un triángulo en función de la longitud de cada uno de sus lados utilizando la fórmula de Herón:
cK s s a−( )⋅ s b−( ) s −( )
Donde a, b y c representan cada una de las longitudes del triángulo y s viene dada por la fórmula:
s
12
a b+ c+( )
Gráficamente podemos observar el triángulo dado de la siguiente manera:
Para calcular la longitud de cada uno de los lados, definimos la siguiente fórmula (distancia entre dos puntos dados):
Longitud P Q, ( ) P1 Q1−( )2 P2 Q2−( )2+:=
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Calculamos la longitud de cada uno de los lados.
Lado BC:
a Longitud B C, ( ) 29→:= a 5.385=
Lado AC:
b Longitud A C, ( ) 2 10⋅→:= b 6.325=
Lado AB:
c Longitud A B, ( ) →:= 5
Calculamos el valor de s y de K (área del triángulo):
s
12
a b+ c+( ):=
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s 10
292
+52
+→
cK s s a−( )⋅ s b−( ) s −( ):=
K 10
292
−52
+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
10292
+52
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅ 10292
+52
+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅292
10−52
+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅→
K simplify 13→
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Solución gráfica dada por Geogebra:
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Ejemplo
Deducir la fórmula para el cálculo del área de un triángulo, dados sus tres vértices.
Solución
A
B
C
x1,y1
x2,y2
x3,y3
h
b
Área de un triángulo
K
12
b h⋅
1º Calcular la longitud de la base b (lado AC):
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b x x3−( )2 y1 y3−( )1 2+:= x1
Innovación Educativa 12
2º Calcular la altura h (distancia perpendicular del vértice B a la línea AC):
a. Hallar la ecuación de la línea AC
Fórmula general para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos:
y y1−
y1 y3−x1 x3−
x x1−( )
Que puede ser escrita así:
y y1−( ) x1 x3−( ) y1 y3−( ) x −( )= x1
Para facilitar su manejo dividiremos la ecuación en dos nuevas ecuaciones:
eq1 yy
y1−( ) x1 x3−( ):=
x1eq2 y1 y3−( ) x −( ):= y1
Las nuevas ecuaciones las igualamos a cero (restamos la ecuación eq2 de eq1) y almacenamos en el resultado en una nueva ecuación eq3:
eq3 e
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Expandimos el resultado obtenido en eq3 con la función expand:
A la ecuación encontrada la daremos la forma Ax By C 0 utilizando la función collect:
q1eq1
eq3
eq2−:=
eq3
eq3
eq3 expand x1 y⋅ x y1⋅− x y3⋅+ x3 y⋅− x1 y3⋅− x3 y1⋅+→:=
eq3 collect x, y, y3 y1−( ) x⋅ x1 x3−( ) y⋅+ x3 y1⋅+ x1 y3⋅−→:=eq3
Ordenado términos:
eq3− x y1 y3−( )⋅ y x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−→
A y
1y1 y3−( ):= B x x3−( )−:= 1x1 C x y3 x3 y1⋅−:= 1⋅x1
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b. Para calcular la altura h (distancia del vértice B al lado AC ‐ eq3), usamos la fórmula (distancia de un punto a una recta):
hA x1⋅ B y1⋅+ C+
A2 B2+
Asignamos cada una de las coordenadas a los vértices correspondientes
x1 x2x2 y1 := y2y2
A x1⋅
:=
hB y1⋅+ C+
A2 B2+
x2 y1 y3−( )⋅ y2 x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−
x1 x3−( )2 y1 y3−( )2+→:=
3º Calcular el área del triángulo:
A x1⋅
b h⋅
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Area2
factorx2 y1 y3−( )⋅ y2 x1 x3−( )⋅− x1 y3⋅+ x3 y1⋅−
→:=b h⋅
2
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Solución dada por Geometry Expressions:
A
B
C
x1,y1
x2,y2
x3,y3
⇒x2·y1-x3·y1-x1·y2+x3·y2+x1·y3-x2·y3
2
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Ejemplo
Demostrar que las áreas de los triángulos definidas por la mediana de un triángulo son iguales.
Solución
Para efecto del ejercicio, definiremos el triángulo de la siguiente manera:
A
B
CD
(0,0)
(0,b)
(a,0)
Definir las coordendas de los tres vértices:
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A
0
0⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= B0
Definir una fómula para calcular el punto medio entre dos puntos:
b⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=b
aC
0⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=a
Medio A B, ( )
A1 B1+
2
A2 B2+
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Innovación Educativa 16
Aplicando la fórmula anterior, calcular el punto medio entre de AC:
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Medio A C, ( )a2
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
→:=DD
Definir una fórmula para calcular el área de un triángulo conocidiendo tres de sus vértices:
K A B, C, ( )12
A1
B1
C1
A2
B2
C2
1
1
1
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
Calcular el área del triángulo ABD:
K A B, D, ( )
a b⋅4
−→
Calcular el área del triángulo BCD:
K B C, D, ( )
a b⋅4
−→
Las dos áreas calculadas son iguales.
Innovación Educativa 17
Solución dada por Geometry Expressions:
A
B
CD
(0,0)
(0,b)
(a,0)
⇒a·b4 ⇒
a·b4⇒
a2
,0
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Cálculo del baricentro/ centroide de un triángulo
Mediana: recta que pasa por el vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Baricentro: punto de intersección de las medianas de un triángulo.
Ejemplo
Los vértices de un triángulo son los siguientes: A (‐4, 0), B (3, 4) y C (4, ‐1). Encontrar el baricentro del triángulo.
Solución
Representación visual del problema (Geogebra):
Definir la fórmula para calcular el punto medio de un segmento:
PuntoMedio X Y, ( )
X1 Y1+
2
X2 Y2+
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
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Innovación Educativa 19
Definir los tres puntos dados:
A
4−
0⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= B3
4⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= C4
1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
Calcular los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo:
D PuntoMedio A B, ( ):= E PuntoMedio B C, ( ):= F PuntoMedio A C, ( ):=
D12
−
2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
→E
72
32
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→F
0
12
−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
→
Definir la fórmula para calcular la ecuación de las mediatrices:
f A B, x, ( )
B2 A2−
B1 A1−x A1−( )⋅ A2+:=
Calcular las ecuaciones de las mediatrices:
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l1 f A E, ,( ):=l1
x5
45
+→x x
l2
3 x⋅2
12
−→l2 f B F, x, ( ):= x
l3 f C D, , ( ):=l3
53
2 x⋅3
−→xx
Innovación Educativa 20
Calcular el punto de intersección (baricentro/ centroide) de dos de las mediatrices:
⎛ ⎞l1 y⎜ ⎟
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Baricentro/ centroide. Representación gráfica de la solución dada por Geogebra.
Nota. El punto de intersección de las medianas también se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:
l2 y⎝ ⎠solve x, y, 1 1( )→
l1 y⎛ ⎞⎜ ⎟ solve x, y, 1 1( )→⎝ ⎠l3 y
Interseccion A B, C, ( )
A13
B13
+C13
+
A2
3B2
3+
C2
3+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
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Interseccion A B, C, ( )
1
1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
→
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Innovación Educativa 22
Punto de intersección de las medianas de un triángulo
Ejemplo
Demostrar que si un triángulo tiene los vértices en el punto de
intersección de sus medianas está en .
x1 , y1
` a
, x2 , y2
` a
, x3 , y 3
` a
,
x2fffffffffff, y1 + y2 + y2
3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff gx1 + x2 +
3ffffffffffffffffffffffffff
Para este ejercicio, tome en cuenta que las medianas del triángulo concurren en un punto que está a dos tercios de la distancia de cada vértice a la mitad de su lado opuesto.
Solución
Definir los tres puntos que determinan el triángulo:
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Ay1
x1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=x1 x2
By2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=x2 x3
Cy3
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=x3
Innovación Educativa 23
Definir la fórmula para calcular el punto medio de un segmento:
PuntoMedio X Y, ( )
X1 Y1+
2
X2 Y2+
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Calcular cada uno de los puntos medios de los lados de la figura dada:
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D PuntoMedio B, ( ):= AA
D
x12
x22
+
y12
y22
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
E PuntoMedio C, ( ):= AA
E
x12
x32
+
y12
y32
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
F PuntoMedio C, ( ):= BB
F
x22
x32
+
y22
y32
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
Definir la fórmula que calcula el punto de división de un segmento en una razón dada:
PuntoRazon A B, r, ( )A1 r B1 A1−( )⋅+
A2 r B2 A2−( )⋅+
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
Innovación Educativa 24
Definir la razón:
razon
23
:=
Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de A:
PuntoRazon A F, razon, ( )
x13
x23
+x33
+
y13
y23
+y33
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de B:
PuntoRazon B E, razon, ( )
x13
x23
+x33
+
y13
y23
+y33
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
Calcular las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del vértice de C:
PuntoRazon C D, razon, ( )
x13
x23
+x33
+
y13
y23
+y33
+
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
→
Las coordenadas del punto de intersección de los segmentos AF, BE y CD son iguales.
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Cálculo del ortocentro de un triángulo
Ejemplo
Los vértices de un triángulo son los siguientes: A (‐3, 0), B (0, 2) y C (1, ‐2). Encontrar las ecuaciones de cada uno de sus lados y el ortocentro.
Solución
Altura de un triángulo: es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto.
Ortocentro: Intersección de las tres alturas del triángulo.
Representación visual del problema (Geogebra):
Definir los tres puntos dados:
A
3−
0⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= B0
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= C1
2−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
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Innovación Educativa 26
Definir la fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos:
m A B, ( )
B2 A2−
B1 A1−:=
Calcular la pendiente para cada uno de los lados del triángulo:
Lado AB:
mAB m A B, ( ):=
mAB
23
→
Lado BC:
mBC m B C, ( ):=
mBC 4−→
Lado CA:
mCA m C A, ( ):=
mCA
12
−→
Definir la fórmula punto‐pendiente para calcular cada una de las ecuaciones de las alturas:
f A m, x, ( ) m x A1−( )⋅ A2+:=
Altura que pasa por A (perpendicular a BC):
m
1−mBC
:=
eqA f A m, x, ( )y
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y
x4
34
+→:= y
Innovación Educativa 27
Altura que pasa por B (perpendicular a CA):
m
1−mCA
:=
eqB y f B m, x, ( ) y 2 x⋅ 2+→:= y
Altura que pasa por C (perpendicular a AB):
m
1−mAB
:=
eqC f C m, x, ( )y
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y
3 x⋅2
−12
−→:= y
Calcular el punto de intersección de dos de las alturas:
⎛ ⎞eqA
eqB
⎜⎝
⎟⎠
solve x, y, 57
⎛ ⎞−47
⎜ ⎟⎝ ⎠
→ 0.714− 0.571( )=
eqA
eqC⎛ ⎞⎜⎝
⎟⎠
solve x, y, 57
⎛ ⎞−47
⎜ ⎟⎝ ⎠
→ 0.714− 0.571( )=
Innovación Educativa 28
Ortocentro. Representación gráfica de la solución dada por Geogebra.
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