Cálculo Incertidumbre de las Estimaciones de las Correcciones en
Aceleradores de Altas Energías
Gabriel Enrique Gutiérrez Parra
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Física
Bogotá, Colombia
2018
Cálculo Incertidumbre de las Estimaciones de las Correcciones en
Aceleradores de Altas Energías
Gabriel Enrique Gutiérrez Parra
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Física
Director (a):
Ph.D. Javier Fernando Cardona
Línea de Investigación:
Física de Aceleradores
Grupo de Investigación:
Física de Aceleradores
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Sede Bogotá
Bogotá, Colombia
2018
Resumen y Abstract V
Resumen
Un acelerador de altas energías es una máquina muy compleja con cientos de miles de
componentes y con muchos problemas técnicos. Uno de los principales problemas tiene
que ver con el control de la trayectoria del haz de partículas. El haz de partículas se
desvía de su trayectoria diseñada principalmente por presencia de errores magnéticos,
los cuales no pueden ser solucionados desmontando los imanes o la electrónica
instalada para realizar las correcciones ya que implica detener la operación del
acelerador, dejar de hacer experimentos y por consiguiente desaprovechar el recurso.
Una alternativa más práctica consiste en cambiar la intensidad de la corriente de uno o
varios imanes con el fin de corregir la trayectoria de las partículas. Para esto es
necesario conocer la intensidad y ubicación del error existente a través de una técnica
como la del método Salto de Acción y Fase el cual se basa en datos experimentales que
reportan los instrumentos electrónicos instalados en el acelerador. Es importante saber la
incertidumbre asociada a estas estimaciones de los errores para determinar qué tan
precisos son. El presente trabajo muestra cómo hallar estas incertidumbres a través del
método de propagación de errores y su implementación en el lenguaje de programación
Python. Al aplicar este método, se logra reducir el tiempo de cómputo calculando la
incertidumbre principalmente para tres variables con un error relativo entre 6% y 17%, los
cuales son comprobados bajo varias pruebas estadísticas.
Palabras clave: propagación de errores, acción y fase, errores magnéticos, Python,
LHC.
VI Título de la tesis o trabajo de investigación
Abstract
A high-energy accelerator is a very complex machine with hundreds of kilometers of
components and many technical problems. One of the main problems has to do with the
control of the path of the particle beam. The particle beam deviates from its trajectory
designed mainly by the presence of magnetic errors, which cannot be solved by
disassembling the magnets or the installed electronics to make the corrections since it
involves stopping the operation of the accelerator, stop doing experiments and
consequently missing the resource. A more practical alternative is to change the intensity
of the current of one or several magnets in order to correct the trajectory of the particles.
For this, it is necessary to know the intensity and location of the existing error through a
technique such as the Jump Action and Phase method, which is based on experimental
data reported by the electronic instruments installed in the accelerator. It is important to
know the uncertainty associated with the estimation of these errors to determine how
accurate they are. The present work shows how to find these uncertainties through the
method of propagation of errors and its implementation in the Python programming
language. By applying this method, it is possible to reduce the computation time by
calculating the uncertainty for mainly three variables with a relative error from 6% to 17%,
which were verified under several statistical tests.
Keywords: error propagation, action and phase, magnetic errors, Python, LHC
Contenido VII
Contenido
1. Introducción ............................................................................................................. 1
2. Marco teórico ............................................................................................................ 4 2.1 Sistema de coordenadas .................................................................................... 4 2.2 Componentes de un acelerador circular ............................................................. 5 2.3 Errores magnéticos ............................................................................................ 7
3. Estado actual del tema ............................................................................................. 9 3.1 Método salto de acción y fase .......................................................................... 11 3.2 Propagación de errores .................................................................................... 16
4. Objetivos ................................................................................................................. 19 4.1 Objetivo general ............................................................................................... 19 4.2 Objetivos específicos ....................................................................................... 19
5. Resultados y análisis ............................................................................................. 21 5.1 Incertidumbres analíticas .................................................................................. 21 5.2 Incertidumbres de datos de simulación ............................................................ 28 5.3 Incertidumbres de datos reales ........................................................................ 30 5.4 Funciones de Python ........................................................................................ 32
6. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 39 6.1 Conclusiones .................................................................................................... 39 6.2 Recomendaciones ............................................................................................ 40
VIII Tabla de abreviaciones
Abreviaturas
DMV Data Multivuelta BPM Beam Position Monitor LHC Large Hadron Collider CERN Consejo Europeo para la Investigación Nuclear KeV Kilo Electrón-Voltio GeV Giga Electrón-Voltio TeV Tera Electrón-Voltio SAF Salto de Acción y Fase PAC Particle Accelerator Conference JACOW Joint Accelerator Conferences Website ORM Orbit Response Matrix SVD Singular Value Decomposition
1. Introducción
Los aceleradores de partículas son aparatos electromagnéticos que imprimen gran
velocidad a partículas elementales con el propósito de desintegrar el núcleo de los
átomos que bombardea, como por ejemplo protones o iones. Inicialmente los
aceleradores eran pequeños, de pocos centímetros o pocos metros. Actualmente son
importantes debido a que se hacen innumerables investigaciones y gracias a ellas dan
como resultado aplicaciones como por ejemplo en centros médicos para técnicas de
radioterapia, en la industria para seguridad portuaria, micromaquinado, esterilazión de
comida, en la transformación de desechos nucleares o en la exploración de gas natural
y/o petróleo [1]. Los aceleradores de partículas pueden clasificarse como lineales o
circulares, los cuales operan a altas energías, del orden de los Tera electrón voltios
(TeV), y pueden ser usados, por ejemplo, para el estudio de las propiedades de nuevas
partículas subatómicas producidas por la colisión de dos haces que viajan en sentido
contrario y para tratar de entender o explicar algunos misterios que el modelo estándar1
de partículas aún no ha podido aclarar. Los aceleradores de partículas también permiten
simular bajo condiciones controladas los ambientes donde se presentan algunos
fenómenos tales como la acción de los rayos cósmicos sobre la atmósfera terrestre. De
esta manera se puede analizar más cómodamente qué nuevas partículas se han
generado durante el proceso [2].
El desarrollo de los aceleradores empezó en 1911 cuando el físico Neo Zelandés Ernest
Rutherford investigaba la estructura del núcleo de átomo bombardeando con partículas
alfa una lámina de aluminio [3]. Luego en la década de 1920 se inventó el primer
acelerador electrostático usado para demostrar la desintegración del núcleo de Litio
1 Teoría que trata de explicar la estructura fundamental de la materia de partículas subatómicas.
2 Introducción
cuando se bombardeaba con protones que alcanzaban apenas una energía del orden de
los KeV. Posteriormente, los aceleradores evolucionaron y manejaron una energía del
orden de los GeV pasando hoy en día a energías del orden de los TeV. Esta evolución ha
estado acompañada de desarrollos en diferentes ramas de la ciencia los cuales incluye el
electromagnetismo, propiedades de estado sólido de materiales, física atómica,
superconductividad, física de plasma y física cuántica [4]. Los esfuerzos que se han
hecho para que los aceleradores de altas energías puedan manejar una energía cada
vez más alta son innumerables y presentan retos interesantes que los físicos e
ingenieros deben enfrentar. Uno de los principales retos es hacer que el haz de
partículas sea lo suficientemente fino (del orden de 10-16m) para que cuando llegue a la
región de interacción2 haya la mayor cantidad de choques de partículas, es decir que se
presente una alta luminosidad. En el recorrido del haz se pueden presentar algunos
errores magnéticos bien sea por una inapropiada corriente en las bobinas de los núcleos
de hierros o porque los imanes tienen una posición física desalineada. Los principales
imanes que se emplean en la orientación del haz son los dipolos y los cuadrupolos, los
cuales se encuentran a lo largo del tubo del acelerador. Los cuadrupolos y dipolos son
muy difíciles de calibrar para lograr que las partículas se mueven exactamente por la
órbita diseñada, es decir que cada uno de estos cuadrupolos tiene un error magnético
asociado. Eliminar la presencia de estos errores es prácticamente imposible y costoso
para la operación del acelerador, por eso es necesario realizar correcciones manipulando
la corriente que maneja cada uno de los imanes. La información necesaria para el cálculo
de las correcciones viene de los datos experimentales que el mismo acelerador provee a
través de los Monitores de Posición de Haz (BPM, por sus siglas en inglés). Es claro
pensar entonces que estos cálculos tienen incertidumbres asociadas y sería ideal poder
calcularlas para determinar qué tan exactas son estas mediciones.
Existen algunas técnicas que permiten calcular las correcciones apropiadas para que el
haz corrija su trayectoria justo antes de llegar al punto de interacción. Una de las técnicas
existentes fue desarrollada por J. Cardona [5] y que se conoce como método Salto de
Acción y Fase (SAF). Con este método se puede identificar la coordenada longitudinal
donde se presenta el error y la magnitud del mismo. El método se emplea principalmente
2 Lugar donde se produce la colisión de dos haces.
Introducción 3
para las regiones de interacción, porque es allí donde es más importante corregir
cualquier desviación del haz o de los haces antes de colisionar, y se basa en los datos
reportados por los BPM’s, coordenadas (𝑥, 𝑦) del plano transversal por donde pasa el
haz de partículas y los valores de las funciones de red 𝛽 y 𝜓, que dependen solamente
de la coordenada longitudinal y que son propias de cada acelerador.
La muestra de datos es tomada de un conjunto de varias vueltas, que se conocen como
una data multivuelta (DMV). Para el caso del Gran Colisionador de Hadrones (LHC, por
sus siglas en inglés) una DMV equivale a 6600 vueltas que dan las partículas aceleradas.
Hasta este momento, la forma estadística para determinar las incertidumbres de las
correcciones se realiza por lo menos con información de diez DMV. Sin embargo, en este
trabajo se muestra cómo se pueden calcular estas mismas incertidumbres sólo con una
DMV, siempre y cuando se conozcan las incertidumbres de las variables iniciales para
luego realizar la propagación de errores.
2. Marco teórico
En este capítulo se hace un recuento de los principales conceptos a tener en cuenta para
poder entender el desarrollo y objetivos del presente trabajo.
2.1 Sistema de coordenadas
El sistema de coordenadas que se emplea para caracterizar el movimiento de las
partículas en un acelerador circular está dado por una coordenada 𝑥, que va
perpendicular a la trayectoria diseñada y que aumenta radialmente hacia la parte externa
del acelerador, una coordenada 𝑦, que también va perpendicular a la trayectoria
diseñada, perpendicular al eje 𝑥 y que aumenta hacia la parte superior del acelerador, y
una coordenada 𝑠, que va perpendicular tanto al eje 𝑥 como al eje 𝑦 y que aumenta a lo
largo de la circunferencia del acelerador, tal como se aprecia en la Figura 2-1.
Figura 2-1. Sistema de coordenadas empleadas en el LHC. Por convención la coordenada 𝑧 se
nombra como coordenada 𝑠, en su lugar.
Introducción 5
2.2 Componentes de un acelerador circular
Un acelerador de partículas tiene miles de componentes para su funcionamiento, pero
cuando se trata de controlar la trayectoria de los haces de partículas tenemos
principalmente dos componentes, los dipolos y los cuadrupolos. Los dipolos son imanes,
aproximadamente de 15 m en el caso del LHC, que forman un campo magnético
perpendicular a la trayectoria de las partículas con el fin de alterar la dirección del haz
(ver Figura 2-2). De esta forma el haz estará moviéndose todo el tiempo en forma
circular. En el caso del LHC, por ejemplo, se requieren miles de estos dipolos a lo largo
del recorrido de las partículas con el fin de controlar su trayectoria.
Figura 2-2. Corte transversal de un dipolo. Un dipolo puede tener una longitud de 15 metros. Imagen tomada de [46].
Otros elementos que ayudan a mantener el haz de partículas sobre la trayectoria
diseñada son los cuadrupolos. Estos son imanes que tienen cuatro núcleos colocados
como lo muestra la Figura 2-3. Los cuadrupolos se colocan paralelos al plano transversal
(perpendicular a la trayectoria) y forman un campo magnético tal que si el haz de
partículas, que sale del plano de este documento, está a la derecha o a la izquierda del
eje 𝑦 (ver Figura 2-3) entonces este haz sentirá una fuerza hacia el centro, pero si el haz
de partículas está en la parte superior o inferior del eje 𝑥 entonces el haz sentirá una
fuerza que lo aleja del centro. Para corregir esta última situación, lo que se hace es
colocar otro imán cuadrupolar rotado 90 grados respecto al primer cuadrupolo sobre el
mismo eje longitudinal. De esta forma el haz que se aleja del centro con el primer
cuadrupolo se acerca al centro con el segundo cuadrupolo (ver Figura 2-4).
6 Introducción
Figura 2-3. Esquema de un cuadrupolo. Un cuadrupolo se usa para centrar el haz de partículas. Imagen tomada de [47].
La función principal de los cuadrupolos es hacer que el haz sea lo más fino posible antes
de que colisione con otro haz en sentido contrario y así producir la mayor cantidad de
colisiones entre partículas. La densidad de cuadrupolos aumenta a media que el haz de
partículas se acerca al punto donde se produce la colisión (región de interacción).
Figura 2-4. Esquema de dos cuadrupolos sobre el mismo eje longitudinal. Siempre se manejan al menos dos cuadrupolos seguidos. Imagen tomada de [48]
Otros elementos importantes del acelerador son los BPM’s (Beam Position Monitor) los
cuales son dispositivos electrónicos que registran la posición del haz cuando pasa a
través de un plano transversal ubicado a lo largo del eje longitudinal. Con estas
posiciones registradas, coordenadas (𝑥, 𝑦), se puede saber qué tan alejado está el haz de
la trayectoria diseñada para posteriormente hacer las correcciones necesarias.
Introducción 7
Además de estas coordenadas también se conocen las funciones de red 𝛽(𝑠) y 𝜓(𝑠) que
son propias de cada acelerador y que dependen sólo de la coordenada longitudinal,
usualmente llamada 𝑠. En el caso del LHC, esta coordenada va desde 0 hasta 26658
metros.
2.3 Errores magnéticos
Los errores magnéticos son producidos, por ejemplo, por cambios de intensidad del
campo magnético que forman los imanes que sirven para orientar el haz de partículas.
Estos errores se conocen con el nombre de errores de intensidad y pueden afectar la
dirección del haz a tal punto que este se puede perder al chocar contra las paredes del
tubo por donde circula, ocasionando un accidente grave en la estructura del acelerador.
Otros errores se producen por una posición incorrecta de los imanes. Normalmente esto
ocurre porque el imán queda levemente rotado sobre el eje longitudinal produciendo un
acoplamiento entre los movimientos de las componentes en los ejes 𝑥 y 𝑦, lo que al final
también ocasiona un error de intensidad. Matemáticamente, se puede decir que un error
magnético es una variación del campo magnético representado como [54]
𝐵𝑥 = 𝐵𝑥′ + Δ𝐵𝑥
(1)
𝐵𝑦 = 𝐵𝑦′ + Δ𝐵𝑦
donde 𝐵𝑥 y 𝐵𝑦 representan el campo magnético, en la dirección 𝑥 y 𝑦, respectivamente,
luego de ser afectado el campo magnético ideal 𝐵𝑥′ y 𝐵𝑦
′ por Δ𝐵𝑥 y Δ𝐵𝑦, llamadas también
perturbaciones. Cuando un error se presenta en un cuadrupolo del acelerador, la
deflexión de la trayectoria, debida a dicho error, está dada por [43]
θ𝑥´ = −Δ𝐵𝑦𝑙
𝐵𝜌
(2)
θ𝑦´ =Δ𝐵𝑥𝑙
𝐵𝜌
donde 𝑙 representa la longitud del imán, Δ𝐵𝑥 y Δ𝐵𝑦 representan la variación del campo
magnético en el eje horizontal y el eje vertical, respectivamente, y 𝐵𝜌 representa la rigidez
8 Introducción
magnética3. Si tenemos el cuadrupolo rotado un ángulo 𝜙, el campo magnético se puede
ver afectado acoplando los movimientos en 𝑥 y en 𝑦 dando lugar a la siguiente expresión
para el nuevo campo magnético.
𝐵𝑥 = 𝐵′(𝑦 cos(2𝜙) − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (2𝜙))
(3)
𝐵𝑦 = 𝐵′(𝑥 cos (2𝜙) + 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝜙))
donde B' es el gradiente del cuadrupolo.
Teniendo en cuenta la situación donde a este error de rotación se le suma un error de
intensidad, la ecuación (2) toma la siguiente forma
𝜃𝑥′ =𝐵′𝑙
𝐵𝜌
(1 − cos (2𝜙))𝑥 −Δ𝐵′𝑙
𝐵𝜌cos(2𝜙) 𝑥 −
𝐵′𝑙
𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑦 −
Δ𝐵′𝑙
𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑦
(4)
𝜃𝑦′ = −𝐵′𝑙
𝐵𝜌
(1 − cos(2𝜙))𝑦 +Δ𝐵′𝑙
𝐵𝜌cos(2𝜙) 𝑦 −
𝐵′𝑙
𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑥 −
Δ𝐵′𝑙
𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑥
Haciendo la aproximación para ángulos pequeños (𝑠𝑒𝑛(2𝜙) ≈ 0 ; cos (2𝜙) ≈ 2𝜙), la
ecuación (4) se transforma en la expresión
𝜃𝑥′ = −𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦
(5)
𝜃𝑦′ = 𝐵1𝑦 + 𝐴1𝑥
donde 𝐴1 = −2𝜙𝐵´𝑙
𝐵𝜌 y B1 =
𝛥𝐵´𝑙
𝐵𝜌 .
Por lo tanto, si conocemos 𝜃𝑥′ y 𝜃𝑦′ se puede hallar el error skew o de rotación y el error
de gradiente.
3 Cantidad de movimiento por unidad de carga de una partícula que se mueve perpendicularmente a un campo magnético y que es proporcional al producto de la inducción magnética por el radio de curvatura del acelerador.
3. Estado actual del tema
Los métodos para la corrección de órbitas en aceleradores de partículas han
evolucionado junto con los tipos de aceleradores. Una división concisa de los tipos de
aceleradores diseñados a la fecha de acuerdo al método de direccionamiento del haz de
las partículas, es la siguiente [55]:
Direccionamiento por Campo Eléctrico
Electrostáticos: Tubos de rayos catódicos (1897 - ), Van der Graaf (1929 -
1[MeV]),
Cockcroft-Walton (1932 - 700[KeV]), Tandem (-24.5[MeV])
Resonante: aceleradores lineales (1928 - 50[KeV])
Direccionamiento por Campo Magnético
Enfocamiento débil: betatrón (1940 - 300[MeV]), ciclotrón (1931 - 80[KeV]), sincro-
ciclotrón (1946 - 380[MeV]), ciclotrón-isócrono, sincrotrón (1952 - 3[GeV])
Enfocamiento fuerte: sincrotrón (1968 - 33[GeV]), anillos colisionadores y de
almacenamiento (1968 - 30[GeV]).
Donde se señalan entre paréntesis, la fecha aproximada de su comisionamiento y la
energía máxima del primer modelo construido, tomadas de CAS [7].
Con el aumento de la energía máxima alcanzada por un acelerador, se observa el
cambio de eléctrico a magnético en los métodos de enfocamiento en el transcurso del
tiempo, de tal forma que, para los aceleradores de altas energías, se utilizan los campos
eléctricos para acelerar el haz y los campos magnéticos para direccionarlo e incluso
10 Estado actual del tema
enfocarlo hacia puntos específicos donde se desea surjan las interacciones objeto de
estudio.
Esto hizo que las diferentes líneas de estudio de la trayectoria de las partículas en un
acelerador se pudieran dividir, dando origen a los métodos para la corrección de orbitas
(Orbit Correction Methods), particularmente centrados en la modificación de los
elementos magnéticos que componen el acelerador con el fin de modificar las
características de haz.
La evolución inicial de estos métodos fue independiente para cada laboratorio que
invirtiera en esta tecnología, y la necesidad de herramientas para realizar estos análisis
aumentó junto con la energía y complejidad de la red de elementos.
Surgen entonces las primeras publicaciones referentes al tema, publicadas en las
Conferencias de Aceleradores de Partículas (PAC, Particle Accelerator Conference), al
igual que en Asia (APAC), Europa (EPAC), y eventos internacionales (IPAC). A pesar de
no ser una lista rigurosa, en el Portal Conjunto de Conferencias sobre Aceleradores (Joint
Accelerator Conferences Website JACOW, http://www.jacow.org) se resaltan entre los
diversos métodos los siguientes:
Orbit Response Matrix (ORM): Publicaciones [8-21]
Singular Value Decomposition (SVD): Publicaciones [22-35]
Segment by segment: Publicaciones [35]
Action and Phase Jump (Salto de Acción y Fase): Publicaciones [36-43]
En este trabajo se hará énfasis especialmente en el método Salto de Acción y Fase
(SAF), ya que es un método que el grupo de investigación de Física de Aceleradores de
la Universidad Nacional de Colombia ha desarrollado desde hace varios años bajo la
dirección del profesor Javier Cardona. Con este método se pueden determinar tanto la
magnitud del error como la posición del mismo [44]. Se empieza por usar el método
cuando existe un único error y luego se extiende para varios errores, situación en la cual
se puede considerar como si solo hubiera un único error en una posición arbitraria.
El método SAF se desarrolló como alternativa para el análisis global y local de los errores
magnéticos en un acelerador. Se considera un método teórico diferente, que permite la
Marco teórico 11
detección de errores lineales (dipolos y cuadrupolos) y no lineales (séxtupolos en
adelante), en especial para las regiones de interacción, que es donde están ubicados los
experimentos, es decir el lugar donde los haces de partículas colisionan, generando un
subproducto de otras partículas.
Una de las principales aplicaciones del método SAF fue determinar las correcciones que
se deben aplicar para eliminar el error [45]. Actualmente, el cálculo de la incertidumbre de
estas correcciones se hace a partir de varios resultados, cada uno de una DMV diferente,
y posteriormente calculando la desviación estándar de estas correcciones. Se desea
encontrar un método alternativo que a través de sola una DMV se logre el mismo
resultado.
3.1 Método salto de acción y fase
En sus inicios el método SAF permitía determinar si había un error (la magnitud y la
posición del mismo) a lo largo del recorrido de las partículas dentro de un acelerador
circular de altas energías. Según [5], la ecuación de movimiento de las partículas a lo
largo de su trayectoria está dado por la expresión
𝑧(𝑠) = √2𝐽𝑧𝛽𝑧(𝑠) 𝑠𝑖𝑛[𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧] (6)
Como la ecuación (6) se cumple tanto para la coordenada 𝑥 como para la coordenada 𝑦
entonces por notación se usa 𝑧, en su lugar. Es decir que 𝑧(𝑠) representa la coordenada
𝑥 (en metros) o la coordenada 𝑦 (en metros) en la posición longitudinal 𝑠 (en metros), 𝐽𝑧
representa la acción (en metros) para el eje 𝑥 o el eje 𝑦, 𝛽𝑧(𝑠) representa el valor de la
función de red (en metros) 𝛽𝑥 o 𝛽𝑦 para la posición longitudinal 𝑠, 𝜓𝑧(𝑠) representa la
función de red (en radianes) 𝜓𝑥 o 𝜓𝑦 en la posición longitudinal 𝑠 y 𝛿𝑧 representa la fase
(en radianes) para el eje 𝑥 o para el eje 𝑦.
Con los datos que se obtienen de los BPM’s se puede formar un conjunto de ecuaciones
para poder hallar la acción y la fase en una determina coordenada 𝑠. Tomando dos
puntos contiguos (𝑥 o 𝑦) y usando (6) y dos BPM’s, se deducen las ecuaciones, según
[43], para hallar la acción y la fase de ellos, tal como se presentan en las ecuaciones (7)
y (8), respectivamente.
12 Estado actual del tema
𝐽𝑧𝑖+1=
(𝑧𝑖
√𝛽𝑧𝑖
)
2
+(𝑧𝑖+1
√𝛽𝑧𝑖+1
)
2
2 𝑠𝑖𝑛2(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖
)−
𝑧𝑖 𝑧𝑖+1 cos(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖)
√𝛽𝑧𝑖𝛽𝑧𝑖+1
𝑠𝑖𝑛2(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖
) (7)
𝑡𝑎𝑛 (𝛿)𝑧𝑖+1=
(𝑧𝑖
√𝛽𝑧𝑖
) 𝑠𝑖𝑛(𝜓𝑧𝑖+1)−(
𝑧𝑖+1
√𝛽𝑧𝑖+1
)𝑠𝑖𝑛 (𝜓𝑧𝑖)
(𝑧𝑖
√𝛽𝑧𝑖
) 𝑐𝑜𝑠(𝜓𝑧𝑖+1)−(
𝑧𝑖+1
√𝛽𝑧𝑖+1
)𝑐𝑜𝑠 (𝜓𝑧𝑖)
(8)
Si no existen errores magnéticos la acción y la fase deben ser constantes a lo largo de la
coordenada 𝑠, pero si existe un error magnético se presentará un salto o cambio para el
valor de la acción y para el valor de la fase en la posición donde existe el error
(coordenada 𝑠𝜃), como se muestra en la Figura 3-1.
Figura 3-1. Salto de Acción y Fase. Este método se basa en estas discontinuidades para determinar dónde hay errores y cuál es su magnitud. Imagen tomada de [43]
Se puede demostrar, según [45], que la ecuación de movimiento después de que la
partícula ha pasado a través de un error magnético puede ser descrita por la expresión
𝑧(𝑠) = √2𝐽𝑧0𝛽𝑧(𝑠) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧0
) + 𝜃𝑧√𝛽𝑧(𝑠)𝛽𝑧(𝑠𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝜓𝑧(𝑠𝜃)) (9)
= √2𝐽𝑧1𝛽𝑧
(𝑠) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧1
) (10)
Marco teórico 13
donde 𝐽𝑧0 y 𝛿𝑧0
representan la acción y fase, respectivamente, antes del error, 𝐽𝑧1 y 𝛿𝑧1
representan la acción y la fase, respectivamente, después del error, y 𝛽𝑧, 𝜓𝑧 son las
funciones de red. El cambio de pendiente de la dirección del haz, kick del error 𝜃𝑧, puede
ser de cualquier orden: dipolar, cuadrupolar, sextupolar, etc. y puede ser estimado, según
[43], por procedimientos matemáticos a través de la expresión
𝜃𝑧 = √2𝐽𝑧0
+ 2𝐽𝑧1− 4√𝐽𝑧0
𝐽𝑧1 𝑐𝑜𝑠(𝛿𝑧0
− 𝛿𝑧1)
𝛽𝑧(𝑠𝜃) (11)
De acuerdo a [50], los componentes multipolares del error magnético, 𝐴𝑛 y 𝐵𝑛, pueden
ser estimados con
𝜃𝑥 = 𝐵0 − 𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦 + 2𝐴2𝑥𝑦 + 𝐵2(𝑦2 − 𝑥2) + ⋯, (12)
𝜃𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 2𝐵2𝑥𝑦 + 𝐴2(𝑥2 − 𝑦2) + ⋯, (13)
donde 𝑥 y 𝑦 son evaluados en 𝑠 = 𝑠𝜃. De las ecuaciones (12) y (13) se observan los
componentes dipolares, 𝐴𝑜 y 𝐵𝑜, las componentes cuadrupolares, 𝐴1 y 𝐵1, las
componentes sextupolares, 𝐴2 y 𝐵2, y así sucesivamente.
Las ecuaciones (12) y (13) se reducen a
𝜃𝑥 = −𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦 (14)
𝜃𝑦 = 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 (15)
si se considera solo los términos lineales y asumiendo que los términos cuadráticos son
despreciables. Las constantes dipolares 𝐴0 y 𝐵0 no se consideran ya que restando la
órbita cerrada su efecto se elimina.
14 Estado actual del tema
En un acelerador de partículas, la sección más interesante es la región de interacción, ya
que allí es donde se efectúan los experimentos y además porqué cualquier alteración
significativa del campo magnético en esta región se reflejará en todo el acelerador. Es
por esto que la región de interacción cuenta con seis imanes cuadrupolares, tres a cada
lado del punto de colisión de los haces (punto de interacción), con el fin de lograr que los
haces estén lo más perfectamente alineados y así aprovechar la mayor cantidad de
colisiones. A estos tres imanes que existen a lado y lado del punto de interacción se les
conocen con el nombre de tripletes.
De acuerdo a [45], en un caso más general, la región de interacción puede tener
múltiples errores magnéticos distribuidos a lo largo de los imanes. En tal caso, el kick
equivalente, tanto para el eje horizontal como para el eje vertical, de los múltiples errores
magnéticos, está dado por
𝜃𝑥,𝑒 = −𝐵1𝑥,𝑒 𝑥𝑒 + 𝐴1,𝑒 𝑦𝑒 (16)
𝜃𝑦,𝑒 = 𝐵1𝑦,𝑒 𝑦𝑒 + 𝐴1,𝑒 𝑥𝑒 (17)
donde las componentes cuadrupolares integradas se definen como
𝐴1,𝑒 =∑ 𝐴1𝑖√𝛽𝑥(𝑠𝑖)𝛽𝑦(𝑠𝑖)6
𝑖=1
√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒) (18)
𝐵1𝑥,𝑒 =1
𝛽𝑥(𝑠𝑒)∑ 𝐵1𝑖
6
𝑖=1
𝛽𝑥(𝑠𝑖) (19)
𝐵1𝑦,𝑒 =1
𝛽𝑦(𝑠𝑒)∑ 𝐵1𝑖
6
𝑖=1
𝛽𝑦(𝑠𝑖) (20)
para cada imán 𝑖 de los tripletes. Si se tiene en cuenta que el error magnético se distribuye homogéneamente a lo largo
del imán con una componente skew 𝐾1𝑠 y una componente normal 𝐾1, entonces las
componentes cuadrupolares integradas se pueden relacionar como
𝐴1𝑖 = 𝐾1𝑠,𝑖 𝐿𝑖 (21)
𝐵1𝑖 = ∆𝐾1𝑖 𝐿𝑖 (22)
Donde 𝐿𝑖 es el largo del 𝑖-ésimo imán.
Marco teórico 15
Usando las ecuaciones (21) y (22), las ecuaciones (18), (19) y (20) se pueden reescribir
como
𝐵1𝑥,𝑒 =1
𝛽𝑥(𝑠𝑒) ∑ ∆𝐾1𝑖 𝐼𝑥,𝑖
6
𝑖=1
(23)
𝐵1𝑦,𝑒 =1
𝛽𝑦(𝑠𝑒) ∑ ∆𝐾1𝑖 𝐼𝑦,𝑖
6
𝑖=1
(24)
𝐴1,𝑒 =∑ 𝐾1𝑠,𝑖 𝐼𝑥𝑦,𝑖
6𝑖=1
√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒) (25)
donde
𝐼𝑥,𝑖 = ∫ 𝛽𝑥(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖
𝑠𝑙𝑖
(26)
𝐼𝑦,𝑖 = ∫ 𝛽𝑦(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖
𝑠𝑙𝑖
(27)
𝐼𝑥𝑦,𝑖 = ∫ √𝛽𝑥(𝑠′)𝛽𝑦(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖
𝑠𝑙𝑖
(28)
Los límites 𝑠𝑙𝑖 y 𝑠𝑟𝑖 de las integrales hacen referencia a la coordenada longitudinal 𝑠 del
comienzo y del final, respectivamente, del imán 𝑖-esimo.
La región de interacción presenta tres imanes normales antes del punto de colisión y tres
imanes normales después del punto de colisión. Para hallar las correcciones que hay que
hacer sobre estos imanes, primero se hallan las componentes cuadrupolares del kick
equivalente. Para esto se escogen dos trayectorias que cumplen ciertas condiciones [45],
y con ellas se obtiene la siguiente posible solución
𝐵1𝑥,𝑒 =𝑦𝑒1𝜃𝑥2,𝑒 − 𝑦𝑒2𝜃𝑥1,𝑒
𝑥𝑒1𝑦𝑒2 − 𝑥𝑒2𝑦𝑒1 (29)
16 Estado actual del tema
𝐵1𝑦,𝑒 =𝑥𝑒1𝜃𝑦2,𝑒 − 𝑥𝑒2𝜃𝑦1,𝑒
𝑥𝑒1𝑦𝑒2 − 𝑥𝑒2𝑦𝑒1 (30)
𝐴1𝑥,𝑒 =𝑥𝑒1𝜃𝑥2,𝑒 − 𝑥𝑒2𝜃𝑥1,𝑒
𝑥𝑒1𝑦𝑒2 − 𝑥𝑒2𝑦𝑒1 (31)
o
𝐴1𝑦,𝑒 =𝑦𝑒2𝜃𝑦1,𝑒 − 𝑦𝑒1𝜃𝑦2,𝑒
𝑥𝑒1𝑦𝑒2 − 𝑥𝑒2𝑦𝑒1 (32)
Donde el subíndice 1 hace referencia a la trayectoria 1 y el subíndice 2 hace referencia a
la trayectoria 2.
Teniendo en cuenta las ecuaciones (18), (19) y (20), y siguiendo el procedimiento de la
sección VI de [45], se pueden determinar las correcciones de los imanes normales y
skew, que eliminan el error equivalente, mediante
∆𝐾1𝑎 =𝐵1𝑦,𝑒𝛽𝑦(𝑠𝑒)𝐼𝑥,𝑏 − 𝐵1𝑥,𝑒𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝐼𝑦,𝑏
𝐼𝑥.𝑎𝐼𝑦,𝑏 − 𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 (33)
∆𝐾1𝑏 =𝐵1𝑥,𝑒𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝐼𝑦,𝑎 − 𝐵1𝑦,𝑒𝛽𝑦(𝑠𝑒)𝐼𝑥,𝑎
𝐼𝑥.𝑎𝐼𝑦,𝑏 − 𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 (34)
𝐾1𝑠(𝑐)
= −√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒)
𝐼𝑥𝑦 𝐴1,𝑒 (35)
donde 𝐴1,𝑒 =𝐴1𝑥,𝑒+𝐴1𝑦,2
2.
Los subíndices 𝑎 y 𝑏 sirven para distinguir un imán normal de otro imán normal, mientras
que el subíndice 𝑠 sirve para identificar el imán skew o imán rotado.
3.2 Propagación de errores
En estadística, la propagación de errores tiene que ver con el efecto que producen varias
variables, cada una con cierta incertidumbre, sobre la incertidumbre de una función
basada en ellas. Cuando las variables son mediciones de datos experimentales estas
Marco teórico 17
llevan implícitamente una incertidumbre asociada, dada principalmente por la calidad del
instrumento empleado para hacer la medición [51].
Si, por ejemplo, la función 𝑓 está dada por las variables 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, entonces la
incertidumbre Δ𝑓 asociada a esta función se define como
Δ𝑓 = √(𝜕𝑓
𝜕𝑥1Δ𝑥1)
2
+ (𝜕𝑓
𝜕𝑥2Δ𝑥2)
2
+ (𝜕𝑓
𝜕𝑥3Δ𝑥3)
2
+. . . + (𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛Δ𝑥𝑛)
2
(36)
donde Δ𝑥1, Δ𝑥2, Δ𝑥3, …, Δ𝑥𝑛 representan la incertidumbre asociada a las variables
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, respectivamente.
Esta definición supone que la variable 𝑓 es derivable y continua para los rangos de
valores que maneja cada variable.
Si las variables 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 están relacionadas entre sí, entonces la expresión para la
incertidumbre es [52]
Δ𝑓 = √∑ ∑𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑗𝑐𝑜𝑣(𝑖, 𝑗)
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
(37)
donde 𝑐𝑜𝑣(𝑖, 𝑗) es un factor que representa la covarianza entre las variables 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗.
Para dos variables 𝑥, 𝑦 la covarianza está definida como
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖 − 𝑦)𝑖
𝑁 − 1 (38)
y es un índice estadístico que pondera la relación cuantitativa entre las variables. En la
medida en que dicha relación sea fuerte, de modo que 𝑥 aumente o disminuya a medida
que 𝑦 también cambie, 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) será positiva y tendrá una magnitud mayor, cuanto
18 Estado actual del tema
mayor sea el grado de correspondencia entre las variables; si, por el contrario, la
asociación es fuerte, pero una variable aumenta, mientras la otra disminuye, entonces
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) será negativa, pero su magnitud será también proporcional al grado de
correspondencia entre 𝑥 y 𝑦; y, si la relación es nula o despreciable, 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) debe estar
cercana a cero.
4. Objetivos
Para el presente trabajo se definió un objetivo general y cuatro objetivos específicos, a
saber:
4.1 Objetivo general
Modificar o Implementar un software en el lenguaje de programación Python que permita
calcular la incertidumbre de las estimaciones de las correcciones de errores magnéticos
cuadrupolares en aceleradores de altas energías con información obtenida de una sola
DMV.
4.2 Objetivos específicos
Para dar cumplimiento al objetivo general se procede a desarrollar los siguientes
objetivos específicos:
1. Crear simulaciones con errores en una DMV para reproducir las condiciones y
la información necesaria para el cálculo de las incertidumbres.
2. Determinar los cálculos analíticos de las incertidumbres de las correcciones
para las diferentes fórmulas que se emplean en este caso.
3. Realizar cambios al código existente en el lenguaje de programación Python
para incluir los cálculos de incertidumbres.
4. Verificar que los resultados sobre una órbita real sean satisfactorios.
5. Resultados y análisis
En este capítulo se mostrará inicialmente cómo se determinaron las incertidumbres de
los datos simulados, su comprobación y finalmente cómo aplicar estos resultados a los
datos experimentales.
5.1 Incertidumbres analíticas
A continuación se muestran las diferentes operaciones que se hacen con los datos de las
posiciones (𝑥, 𝑦) del centroide del haz de partículas que recorre el tubo del acelerador y
la forma cómo se calcula su incertidumbre a lo largo de estas operaciones. Teniendo en
cuenta lo mencionado en la sección 3.1, se usará la letra 𝑧 para hacer referencia a la
coordenada 𝑥 o a la coordenada 𝑦, debido a que las ecuaciones aplican para cualquier
eje. En todos los cálculos se aplicará la definición general de propagación de errores
dada en la ecuación (36).
Los cálculos empiezan a partir de los datos reportados por los BPM’s del LHC en un
archivo llamado trackone.sdds.new, similar al que se muestra en la Tabla 5-1. Estos
datos representan las coordenadas (𝑥, 𝑦) para 6600 vueltas a lo largo del eje longitudinal
𝑠. Por convención se toma 𝑓 como un BPM o fila y 𝑐 como una trayectoria o columna de
la Tabla 5-1, donde solo se observan datos de coordenadas 𝑥.
Para determinar las correcciones a los errores magnéticos, se realizan varios cálculos a
lo largo de la ejecución de rutinas o programas de Python. Si se asume que inicialmente
22 Resultados y análisis
las coordenadas (𝑥, 𝑦) de las partículas están afectadas por un ruido4 Gaussiano,
entonces se puede determinar la incertidumbre que produce este a medida que se
realizan varios cálculos con estas coordenadas.
De acuerdo a la sección V de [45], la técnica de promediar cierto número 𝑘 de
trayectorias seleccionadas sirve para reducir el ruido, lo cual se emplea dentro de los
programas de Python. Existen cuatro tipos de promedios de trayectorias, a saber:
avermaxmax, avermaxmin, averminmax y averminmin. Por ejemplo, avermaxmax es un
conjunto de trayectorias que cumplen la condición de que la amplitud para la coordenada
𝑥 es máxima en un punto arbitrario cuya coordenada longitudinal es 𝑠 = 𝑠𝜃 y que también
la amplitud es máxima en el mismo punto para la coordenada 𝑦. Análogamente para los
otros tres tipos de trayectorias.
Tabla 5-1. Muestra de datos de coordenadas 𝑥 para 6600 vueltas. Las coordenadas (𝑥, 𝑦) son reportadas por todos los BPM que están ubicados a lo largo del acelerador.
Un primer cálculo que se hace para cada BPM o fila es el promedio de los datos de las
trayectorias, el cual estará dado por
𝑧�̅� =𝑧𝑓1 + 𝑧𝑓2 + 𝑧𝑓3 + ⋯ + 𝑧𝑓𝑛
𝑛 (39)
4 El ruido Gaussiano son valores estadísticos que se comportan baja la función de densidad igual a la distribución normal.
Resultados y análisis 23
donde 𝑧�̅� es el promedio y 𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, 𝑧𝑓3,…, 𝑧𝑓𝑛 representan los valores de cada una de las
𝑛 trayectorias o columnas, según la Tabla 5-1. Para este trabajo usualmente 𝑛 es 6600.
Dependiendo del conjunto de promedios de trayectorias que se desee trabajar, se
seleccionarán las trayectorias que cumplan con las condiciones respectivas y luego se le
resta a cada trayectoria el promedio dado en la ecuación (39). Si se asume que 𝑃𝑓 es el
resultado final de esta operación para cada fila 𝑓, entonces para 𝑘 trayectorias
seleccionadas se tiene que
𝑃𝑓 =1
𝑘(𝑧𝑓𝑐1
− 𝑧�̅� + 𝑧𝑓𝑐2− 𝑧�̅� + 𝑧𝑓𝑐1
− 𝑧�̅� + ⋯ + 𝑧𝑓𝑐𝑘− 𝑧�̅�) (40)
Reorganizando los términos y teniendo en cuenta la ecuación 39 se obtiene que
𝑃𝑓 =1
𝑘(𝑧𝑓𝑐1
+ 𝑧𝑓𝑐2+ 𝑧𝑓𝑐1
+ ⋯ + 𝑧𝑓𝑐𝑘) −
1
𝑛(𝑧𝑓1 + 𝑧𝑓2 + 𝑧𝑓3 + ⋯ + 𝑧𝑓𝑛) (41)
donde 𝑧𝑓𝑐1, 𝑧𝑓𝑐2
, 𝑧𝑓𝑐1, … 𝑧𝑓𝑐𝑘
representan las 𝑘 diferentes trayectorias o columnas
de la Tabla 5-1 que cumplen las condiciones para estar dentro de las trayectorias
avermaxmax, avermaxmin, averminmax o averminmin.
A partir de la ecuación (41), se puede determinar la incertidumbre de este nuevo
resultado, por lo tanto se cumple que
∆𝑃𝑓2 = (
𝜕𝑃𝑓
𝜕𝑧𝑓1∆𝑧𝑓1)
2
+ (𝜕𝑃𝑓
𝜕𝑧𝑓2∆𝑧𝑓2)
2
+ (𝜕𝑃𝑓
𝜕𝑧𝑓3∆𝑧𝑓3)
2
+ ⋯ + (𝜕𝑃𝑓
𝜕𝑧𝑓𝑛∆𝑧𝑓𝑛)
2
(42)
donde ∆𝑧𝑓1, ∆𝑧𝑓2, ∆𝑧𝑓3, … ∆𝑧𝑓𝑛 representa la incertidumbre de las variables
𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, … , ∆𝑧𝑓𝑛, respectivamente.
Haciendo los cálculos correspondientes, se llega a que
24 Resultados y análisis
∆𝑃𝑓 = ∆𝑧√1
𝑘−
1
𝑛 (43)
donde ∆𝑧 representa el ruido Gaussiano o incertidumbre, la cual se asume como la
misma, para cada variable 𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, … , ∆𝑧𝑓𝑛. Como 𝑘, 𝑛 y Δ𝑧 son constantes entonces
Δ𝑃𝑓 también lo será, de aquí en adelante se denotará simplemente como Δ𝑃.
Posteriormente del cálculo del promedio de las trayectorias seleccionadas, se hace un
cambio de escala y se calcula la posición reducida, denotada como 𝑧𝑓′ , simplemente
dividiendo por el valor de la función beta correspondiente al BPM 𝑓, como lo indica la
ecuación (44).
𝑧𝑓′ =
0.001
√𝛽𝑓
𝑃𝑓 (44)
La incertidumbre asociada a este nuevo cálculo, que se denotará como ∆𝑧𝑓′ , está dada
por la ecuación (45).
∆𝑧𝑓′ =
0.001
√𝛽𝑓
Δ𝑃 (45)
donde 𝛽𝑓 es el valor de la función de red del BPM 𝑓.
Con este vector columna, ecuación (45), se calcula la Acción y la Fase, usando las
ecuaciones (7) y (8), respectivamente.
Para dos valores de filas consecutivas 𝑧𝑓𝑖 y 𝑧𝑓𝑖+1
, de la ecuación (44), se tiene que la
incertidumbre de la Acción en la fila 𝑓𝑖, según la ecuación (7), está dada por
∆𝐽𝑓𝑖=
0.001 ∆𝑃
𝑠𝑒𝑛2(𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖
)√
[𝑧𝑓𝑖
′ − 𝑧𝑓𝑖+1
′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖
)]2
𝛽𝑓𝑖
+[𝑧𝑓𝑖+1
′ − 𝑧𝑓𝑖
′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖)]
2
𝛽𝑓𝑖+1
(46)
donde 𝜓𝑓 es la fase correspondiente a la fila 𝑓.
Resultados y análisis 25
Para estos mismos dos valores de filas consecutivas 𝑧𝑓𝑖
′ y 𝑧𝑓𝑖+1
′ , se tiene que la
incertidumbre de la Fase en la fila 𝑓𝑖, según la ecuación (8), está dada por
Δ𝛿𝑓𝑖= |
𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖
)
𝑧𝑓𝑖
′2 + 𝑧𝑓𝑖+1
′2 − 2𝑧𝑓𝑖
′ 𝑧𝑓𝑖+1
′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖
)√𝑧𝑓𝑖
′2(Δ𝑧𝑓𝑖+1
′ )2 + 𝑧𝑓𝑖+1
′2 (Δ𝑧𝑓𝑖
′ )2| (47)
Para cada BPM, fila 𝑓, se calcula la Acción y la Fase, y con el promedio de los valores de
las Acciones y de las Fases, antes del error, se determinan las variables 𝐽0 y 𝛿0,
respectivamente. Con el promedio de los valores de las Acciones y de las Fases,
después del error, se determinan las variables 𝐽1 y 𝛿1, respectivamente. Los valores de
las Acciones son cercanos entre sí, pero no son iguales, debido al ruido, por eso se toma
el promedio, los mismo pasa con los valores de las Fases. Al graficar los valores y si hay
un error magnético, debe aparece algo similar a como se aprecia en la Figura 5-1. El
salto o kick de los promedios es debido al error magnético el cual puede ser determinado
a través de la ecuación (11).
Figura 5-1. Saltos de Acción y Fase. A diferencia de la Figura 3-1, en un ambiente real, la gráfica presenta algunas alteraciones. Imagen tomada de [45]
La incertidumbre, la cual se calcula con la fórmula general de propagación de errores,
(sección 3.2), está dada según la ecuación (48). La incertidumbre para las variables 𝐽0,
𝐽1, 𝛿0 y 𝛿1 se toman como la desviación estándar de los diferentes valores promediados.
26 Resultados y análisis
∆𝜃 =1
𝜃𝛽√[𝐷1]2(∆𝐽0)2 + [𝐷1]2(∆𝐽1)2 + 4𝐽0𝐽1𝑠𝑒𝑛2(𝛿1 − 𝛿0)[(∆𝛿0)2 + (∆𝛿1)2] (48)
Donde 𝐷1 = 1 − √𝐽0
𝐽1 cos (𝛿1 − 𝛿2) y 𝐷2 = 1 − √
𝐽1
𝐽0 cos (𝛿1 − 𝛿2) .
Otro de los cálculos, que se hace dentro del código de Python, es buscar una posición
estimada, la cual está determinada por la ecuación (49).
𝑧(𝑠0) = √𝛽𝑧(𝑠0)
𝛽𝑧(𝑠𝑖) 𝑧(𝑠𝑖)
𝑠𝑒𝑛(𝜓(𝑠0) − 𝜙)
𝑠𝑒𝑛(𝜓(𝑠𝑖) − 𝜙) (49)
La incertidumbre correspondiente a 𝑧(𝑠0) está dada por la ecuación (50)
Δ𝑧(𝑠0) = |√𝛽𝑧(𝑠0)
𝛽𝑧(𝑠𝑖) √𝐴 (Δ𝑧(𝑠𝑖))2 + (𝑧(𝑠𝑖))2 𝐵 (Δ𝜙)2| (50)
Donde 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠0)−𝜙]
𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠𝑖)−𝜙] y 𝐵 =
𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠0)−𝜓(𝑠𝑖)]
𝑠𝑒𝑛4[𝜓(𝑠𝑖)−𝜙] .
Aparte de las anteriores transformaciones, los datos también pasan por las ecuaciones
que se muestran en el artículo que se tomó de referencia para este trabajo (ver [45]).
Una de ellas es la ecuación (29), cuya incertidumbre correspondiente será:
Δ𝐵1𝑥,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑥1,𝑒)2 + 𝐷2
2(Δ𝜃𝑥2,𝑒)2 (51)
donde 𝐷1 = −𝑦2
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =
𝑦1
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .
siendo Δ𝜃𝑥1,𝑒 y Δ𝜃𝑥2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑥1,𝑒 y 𝜃𝑥2,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (30), la incertidumbre correspondiente será:
Δ𝐵1𝑦,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑦1,𝑒)2 + 𝐷2
2(Δ𝜃𝑦2,𝑒)2 (52)
Resultados y análisis 27
donde 𝐷1 = −𝑥2
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =
𝑥1
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .
siendo Δ𝜃𝑦1,𝑒 y Δ𝜃𝑦2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑦1,𝑒 y 𝜃𝑦2,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (31), la incertidumbre correspondiente será:
Δ𝐴1𝑥,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑥1,𝑒)
2+ 𝐷2
2(Δ𝜃𝑥2,𝑒)2 (53)
donde 𝐷1 = −𝑥2
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =
𝑥1
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .
siendo Δ𝜃𝑥1,𝑒 y Δ𝜃𝑥2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑥1,𝑒 y 𝜃𝑥2,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (32), la incertidumbre correspondiente será:
Δ𝐴1𝑦,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑦1,𝑒)2 + 𝐷2
2(Δ𝜃𝑦2,𝑒)2 (54)
donde 𝐷1 =𝑦2
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 = −
𝑦1
𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .
siendo Δ𝜃𝑦1,𝑒 y Δ𝜃𝑦2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑦1,𝑒 y 𝜃𝑦2,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (33), primera ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente
será:
Δ(∆𝐾1𝑎) = √𝐷12(∆𝐵1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2
2(∆𝐵1𝑦,𝑒)2 (55)
donde 𝐷1 = −𝛽𝑥𝐼𝑦,𝑏
𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 y 𝐷2 =
𝛽𝑦𝐼𝑥,𝑏
𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 .
siendo Δ𝐵1𝑥,𝑒 y Δ𝐵1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐵1𝑥,𝑒 y 𝐵1𝑦,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (34), segunda ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente
será:
28 Resultados y análisis
Δ(∆𝐾1𝑏) = √𝐷12(Δ𝐵1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2
2(Δ𝐵1𝑦,𝑒)2 (56)
donde 𝐷1 =𝛽𝑥𝐼𝑦,𝑎
𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 y 𝐷2 = −
𝛽𝑦𝐼𝑥,𝑎
𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 .
siendo Δ𝐵1𝑥,𝑒 y Δ𝐵1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐵1𝑥,𝑒 y 𝐵1𝑦,𝑒, respectivamente.
Para la ecuación (35), tercera ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente
será:
Δ(𝐾1𝑠(𝑐)
) = √𝐷12(Δ𝐴1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2
2(Δ𝐴1𝑦,𝑒)2 (57)
donde 𝐷1 = −√𝛽𝑥𝛽𝑦
2𝐼𝑥𝑦 y 𝐷2 = −
√𝛽𝑥𝛽𝑦
2𝐼𝑥𝑦 .
siendo Δ𝐴1𝑥,𝑒 y Δ𝐴1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐴1𝑥,𝑒 y 𝐴1𝑦,𝑒, respectivamente.
En el desarrollo de este trabajo se asume que las variables no tienen relación alguna
entre sí, para simplificar el modelo.
Todas estas ecuaciones, correspondientes al cálculo de incertidumbres, se
implementaron en el lenguaje de programación Python por medio de funciones que son
llamadas de los programas originales con los que el proyecto inicio.
5.2 Incertidumbres de datos de simulación
Los datos de una DMV son procesados de diferentes maneras para llegar al resultado
final. Estos procesos son básicamente las fórmulas presentadas en la sección anterior.
Luego de determinar la incertidumbre para la primera fórmula, está se usa como
incertidumbre de una de las variables de la segunda fórmula que a su vez también se le
calcula su incertidumbre para pasar a la siguiente fórmula, y así sucesivamente hasta la
última fórmula empleada. Este procedimiento se refleja en el código de Python que
actualmente se usa para hallar las correcciones. Para elaborar pruebas de simulación, se
Resultados y análisis 29
empleó el software MAD-X [53], desarrollado por el Concejo Europeo para la
Investigación Nuclear (CERN, por sus siglas en francés), el cual es de libre distribución y
que se ejecuta bajo los sistemas operativos Windows y Linux. Para el desarrollo de este
trabajo se empleó el sistema operativo Linux-Ubuntu versión 14.04, instalado en un
equipo de cómputo del grupo de investigación.
Al ejecutar los programas de Python para simular una partícula dentro de un acelerador,
con características similares al LHC, con condiciones iniciales 𝑥 = 0.0001 y 𝑦 = 0.0001,
que hace un recorrido de 6600 vueltas, o sea una DMV, con errores colocados
intencionalmente de magnitud -8.0E-6 m-2 en el cuadrupolo 𝑄𝑎, -1.1E-5 m-2 en el
cuadrupolo 𝑄𝑏, y 2.0E-4 m-2 en el cuadrupolo skew, y con un ruido Gaussiano, que afecta
las trayectorias, de 0.02 mm, se obtiene el resultado de la Tabla 5-2. En ella se observa
cada corrección con la incertidumbre calculada analíticamente e implementada ya en los
programas de Python.
Tabla 5-2. Correcciones y su incertidumbre respectiva calculadas con propagación de errores y con un ruido de 0.02 mm.
Finalmente, con el fin de comprobar la anterior incertidumbre de las correcciones, se
realizaron trescientas simulaciones, se tomó el promedio de ellas para obtener la
corrección y la desviación estándar para hallar la incertidumbre. Los datos que se
obtuvieron se muestran en la Tabla 5-3.
Tabla 5-3. Correcciones y su incertidumbre respectiva calculadas con 300 simulaciones y con un ruido de 0.02 mm.
30 Resultados y análisis
Tomando como cierto el dato obtenido por la desviación estándar de los 300 datos, se
puede determinar el error relativo de la incertidumbre asociada a cada corrección. Los
resultados se muestran en la Tabla 5-4.
Tabla 5-4. Error relativo de la incertidumbre de cada corrección.
5.3 Incertidumbres de datos reales
Luego de hacer el análisis de incertidumbres de los datos de prueba se llega a la
conclusión que un parámetro inicial importante es el ruido que tienen los datos,
coordenadas (𝑥, 𝑦) de una determinada DMV. Por lo tanto, hay que saber este dato antes
de ejecutar los programas de Python para poder determinar las incertidumbres buscadas.
Como en cualquier cálculo de incertidumbre por propagación de errores, es
indispensable saber la incertidumbre (ruido) de las mediciones iniciales. Se encontró una
relación entre la desviación estándar de los datos de la Acción y el ruido suministrado
inicialmente a los datos simulados, como se aprecia en la Figura 5-1. Se pretende aplicar
esta misma relación a los datos experimentales partiendo de la desviación estándar de
los datos de la Acción para llegar al ruido asociado.
La incertidumbre o desviación estándar de los datos de la Acción se calcula sólo sobre el
arco o segmento del acelerador que se encuentra justo antes del error. En este caso se
ha tomado el segmento que va desde 20727 m hasta 23497 m.
Sin importar la magnitud del error magnético en un punto arbitrario, la gráfica que se
obtiene es muy similar a la mostrada en la Figura 5-1. Para comprobar esto, se crearon 6
diferentes casos, cada uno con una magnitud de error magnético diferente, y luego se
determinó la desviación estándar de los datos de la Acción en el tramo del acelerador ya
indicado. La gráfica de estos resultados se aprecia en la Figura 5-2.
Resultados y análisis 31
Figura 5-1. Relación Ruido vs Incertidumbre de la Acción justo antes del punto de interacción. Estos datos dependen de la amplitud con que inicia el haz de partículas que para este caso fue 𝑥 = 0.0001 y 𝑦 = 0.0001
Figura 5-2. Relación Ruido vs Incertidumbre de la Acción justo antes del punto de interacción. Estos datos dependen de la amplitud con que inicia el haz de partículas.
A partir de la ecuación de la gráfica de la Figura 5-1 y teniendo la desviación estándar de
los datos de la Acción se puede determinar el ruido correspondiente. Con este ruido, el
cual es un parámetro de entrada de los programas de Python, se puede generar la
32 Resultados y análisis
incertidumbre correspondiente de cada una de las correcciones calculadas. Este
procedimiento se realizó sobre datos experimentales, suministrados por el CERN,
produciendo el resultado que se aprecia en la Tabla 5-5.
Tabla 5-5: Correcciones e incertidumbre correspondiente para datos experimentales. Las incertidumbres son calculadas por el método analítico.
Un dato importante, contra el cual se puede hacer comparaciones, es el resultado de la
Tabla 5-6, la desviación estándar de 10 DMV experimentales para cada corrección, la
cual se calculó con varias DMV experimentales.
Tabla 5-6: Correcciones e incertidumbre correspondiente a datos experimentales de 10 DMV. Datos tomados de la Tabla III de [45]
5.4 Funciones de Python
Las funciones que determinan las incertidumbres fueron implementadas en el lenguaje
de programación Python versión 2.7.12. A continuación se muestra el código de dichas
funciones.
Resultados y análisis 33
34 Resultados y análisis
Resultados y análisis 35
36 Resultados y análisis
Resultados y análisis 37
38 Resultados y análisis
6. Conclusiones y recomendaciones
Luego de pasar por un proceso de capacitación en Física de Aceleradores, en Python y
en la herramienta de simulación MAD-X, se hizo un análisis a todo el código desarrollada
con lo cual se puede concluir y recomendar lo siguiente:
6.1 Conclusiones
Gracias al software de simulación MAD-X, se pudieron generar suficientes datos de
órbitas bajo errores intencionales con el fin probar la efectividad del método Salto de
Acción y Fase. Con esta información se calcularon las estimaciones de las correcciones y
posteriormente la incertidumbre respectiva a cada corrección. Todo el procesamiento de
datos se realizó bajo la herramienta de programación Python, versión 2.7.12, en la cual el
grupo de Física de Aceleradores ha venido trabajando en los últimos años. Se revisaron
más de 3000 líneas de código para poder incluir las modificaciones relacionadas con el
cálculo de incertidumbres. Este cálculo se basó en la forma general de propagación de
errores con el cual se hicieron los cálculos analíticos, se implementaron funciones de
Python y finalmente se hicieron las validaciones no solo con datos producidos en
simulaciones sino con datos experimentales tomados del CERN. En los datos simulados
las incertidumbres calculadas presentaron el mismo orden de magnitud que el que se
podría obtener al calcular la desviación estándar de datos generados por al menos diez
DMV. Sin embargo, para los datos experimentales se observó un orden de magnitud de
diferencia, en dos de sus tres incertidumbres, con respecto a registros existentes, lo cual
podría ser debido a que las variables efectivamente tengan una correlación entre ellas y
no que sean totalmente independientes como se asumió desde un comienzo o que
existan otro tipo de errores magnéticos que el modelo no pudo considerar.
40 Conclusiones y recomendaciones
6.2 Recomendaciones
Se recomienda mejorar algunos aspectos relacionados con la creación y administración
del código Python los cuales se presentan a continuación.
No cambiar el nombre de un módulo o programa de Python cada vez que se crea
o mejora una versión, simplemente se guarda una copia sin modificar del
programa en una ubicación destinada para tal y luego se realizan los cambios del
código sin alterar el nombre.
Emplear tuplas o diccionarios para la manipulación de datos en lugar de listas. De
esta manera se podría mejorar el rendimiento en el procesamiento de datos.
Documentar cada uno de los programas de Python con información acerca del
autor, la fecha de creación, la fecha de modificación y el propósito de creación o
modificación.
Crear un manual básico del uso de la herramienta de simulación MAD-X para el
grupo de Física de Aceleradores, ya que la única documentación que existe es
muy técnica.
Crear Scripts que reciban parámetros de entrada para no tener que modificar el
contenido de los programas de Python cada vez que se ejecuta un escenario
diferente.
Referencias
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1a Ed.
[2] ¿Qué es y para qué sirven los aceleradores de partículas?, recuperado el 15 de
febrero de 2017, de http://teresaversyp.com/contenidos/%C2%BFque-es-y-para-que-
sirven-los-aceleradores-de-particulas/, Teresa Versyp
[3] S. Y. Lee, Accelerator Physics, (World Scientific, 1999) Cap. 1, p. 1, 1a Ed.
[4] S. Y. Lee, Accelerator Physics, (World Scientific, 1999) Cap. 1, p. 19, 1a Ed.
[5] J. Cardona, Linear and nonlinear magnetic error measurements using action and
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[6] CERN faq LHC. The guide, 2009, p. 35
[7] S. Turner, editor. Fifth general Accelerator Physics Course, volume I. CAS CERN
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[8] D. Brandt, Orbit processing for LEP, EPAC, 1990.
[9] Nagaoka, Orbit correction in Elettra, EPAC, 1994.
[10] Nagaoka, Machine stability and orbit correction in Elettra, EPAC, 1996.
[11] A. Filipchenko, Closed orbit correction and lattice parameters measurement at
siberia-2, EPAC, 1996.
[12] Nadji, Studies for the closed orbit correction system of Soleil, EPAC, 1996.
[13] C.M. Chu et al. First tests of orbit response matrix in proton storage ring. In PAC,
1997.
[14] Yu-Chiu Chao, Optimization of orbit correction systems using generalized response
matrices and its application to the LHC injection transfer lines, PAC, 2001.
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