C.E.C. Y T. LAZARO CARDENAS DEL RIO
Prof: Eduardo Becerril Espinosa
México, Enero de 2016
CÁLCULO
DIFERENCIAL
4
CONTENIDOS Pág.
Prologo.
Capítulo 1. Desigualdades. 9
Otras Definiciones
Operaciones de conjuntos
Algunas Propiedades de las Desigualdades
Desigualdades Cuadráticas .
Algunas aplicaciones de las Desigualdades
Capítulo 2. Funciones 21
Secuencia Didáctica 1. Para la Noción de Función
Secuencia Didáctica 2. Problemas Complementarios Sobre la Noción de Función
Definición de Función
Capítulo 3.Funcion composición 31
Capítulo 4.Funciones inversas 35
Ejemplos
Capítulo 5. Límites 39
Límites con Tablas Numéricas
Teoremas sobre Límites
Límites de Cocientes
Límites al Infinito
Capítulo 6. Derivada de una función 51
Definición y la regla de los cuatro pasos
5
Capítulo 7. Fórmulas básicas 59
Ejemplos de derivadas
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 71
Ejemplos
Capítulo 9. Funciones implícitas 75
Derivada de Funciones Implícitas
Regla de la Cadena
Capítulo 10.Derivadas de orden superior 79
Ejemplos
Capítulo 11. Razón de cambio 81
Ejemplos
Capítulo 12. Funciones Creciente y Decreciente 87
Función Creciente
Función Decreciente
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos 91
Máximo y Mínimo Local
Criterio de la Primera Derivada Para Hallar los Valores Máximo y Mínimo
Aplicaciones de Máximos y Mínimos
Capítulo 14. Concavidad 105
Ejemplos
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos 111
Ejemplos
Capítulo 16. Derivada Trigonométrica 119
Ejemplos
6
Capítulo 17. Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas 131
Ejemplos
Capítulo 18. Derivada de las funciones inversas trigonométricas 143
Capítulo 19. Diferenciales y el método de Newton para resolver ecuaciones 145
Ejemplos
Capítulo 20. Proyectos 159
Apéndice 169
Bibliografía
3
Examen diagnóstico
1.- Resuelve las siguientes operaciones:
a) 3-2(8-1)+4(7+2(2-4))= b) 17
4
6
2 =
2.-Resuelve la ecuación: 4(8-3x)+2(11-4x)=5x-1
3.-Resuelve la siguiente ecuación: xxx
2
3
6
15
4.- Obtenga la gráfica de : 2(x+3)+5y=1
6.-Resuelve el sistema de ecuaciones:
2x+y=7
3x+y=5
7.-Grafica la función 16
2
x
y
8.-Resuelve la ecuación: x2+3x-5=0
9.-Simplifica: )5025(32182 =
10.- Obtenga la gráfica de la función: y=5sen(2x)+3
Capítulo 1. Desigualdades
9
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.
Capítulo 1. Desigualdades
10
La caja2. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.
Capítulo 1. Desigualdades
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DESIGUALDADES
DEFINICIONES
Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades en común.
Ejemplo 1: El conjunto e transportes = { }
Ejemplo 2: El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={ , , , , ,...}
Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { } Ejemplo 4: El conjunto de deportistas.
Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...}
Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto que se este tratando. Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo 5136. B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8. J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x2 + x - 8 = 0 Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,... Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se representa por la letra griega . Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40. El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se indica a continuación: D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus elementos, así se tiene dos métodos de definición.
Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados entre llaves.
Ejemplo: El conjunto de números pares = {2, 4, 6, 8, 10,…} Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto.
Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo definen.
Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo / ( I )se lee tal que. Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x 2 =1} Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual a la unidad. Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1)2 =1 y también (1)2 =1
Capítulo 1. Desigualdades
12
Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo que es el símbolo de
pertenencia, así 24 D se lee 24 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no
pertenece es , así 5 D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta
contenido en D, donde D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}. Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el
conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se
utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el
conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de números complejos se
representa por la letra C.
OTRAS DEFINICIONES Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando. Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo , como su nombre lo indica es el conjunto que no tiene elementos. Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas.
OPERACIONES DE CONJUNTOS Consideremos el conjunto universal U.
1. Unión de dos conjuntos A B = {x/ x A o x B} Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f},
B= {b, d, e} entonces AB = {a, b, c, d, e, f}.
2. Intersección de dos conjuntos A B = {x/ x A y x B} Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g}, C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B C = {b, c, f}.
3. Complemento de un conjunto Ac = x / x U y x A}
Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1, 2, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que: Ac= {0, 5, 6, 8}. Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos. Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que, mayor o igual que, <menor que, menor o igual que. Tomemos el conjunto de números menores de 7, podemos escribir: {x / x<7}. Representémoslo en la recta numérica:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )
Podemos escribir este conjunto en forma abreviada como: (- , 7)
Capítulo 1. Desigualdades
13
Tomemos el conjunto de números mayores o iguales a 2 y menores de 5= {x / 2 x<5},
representémoslo en la recta numérica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )[
Este conjunto lo podemos escribir como : [2, 5) Estos conjuntos se llaman intervalos, veamos la siguiente tabla.
Ejemplo. Resolver 3x-7<0 Solución: Tenemos: 3x-7<0, sumando 7 en ambos lados de la desigualdad: 3x-7+7<0+7 Así: 3x<7 Dividiendo entre 3, tenemos: x<7/3 y el conjunto solución es: {x/x<7/}= (- ,7/3) Ejemplo. Resolver 5x+8<1 Solución: Tenemos: 5x+8<1, restando 8 en ambos lados de la desigualdad: 5x+8-8<1-8 Así: 5x<1-8, es decir: 5x<-7 Dividiendo entre 5, tenemos: x<-7/5 y el conjunto solución es: {x/x<-7/5}= (- ,-7/5) Ejemplo. Resolver 5x-72 Solución: Tenemos: 5x2+7, simplificando: 5x9 Dividiendo entre 5, tenemos: x9/5 y el conjunto solución es: {x/x9/5}= [9/5, ) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades, tomando como base los ejemplos anteriores: a)8x-11<4
INTERVALO ABIERTO a, b
INTERVALO CERRADO a, b
INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA
IZQUIERDA a, b
INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA
DERECHA a, b
NUMEROS REALES R
Símbolo a<x<b a xb a<x b a x<b x ( a, b) ba, ba, ba, ( - , )
Gráfica ( )
a b
a[ ]
b
a]b
(
a b)[
( )-
Tarea. Ejemplifica en las filas de abajo lo descrito en las filas de arriba, en el entendido de
que a y b son números reales.
Capítulo 1. Desigualdades
14
b)6+7x21 c) 33>6x+22
Algunas propiedades de las desigualdades
Una propiedad muy importante de las desigualdades, es cuando se multiplica o se divide por un número negativo es que el sentido de la desigualdad se invierte, como podemos observar en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Resolver: -3x>1 Solución: Dividimos entre -3 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x<-1/3, el conjunto solución es: (- ,-1/3) Ejemplo. Resolver: -5x-9<1 Solución: Sumando 9 en ambos lados de la desigualdad: -5x<8 Dividimos entre -5 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x>-8/5, el conjunto solución es: (-8/5, ) Ejemplo. Resolver: 3x+1<5x-4 Solución: 3x-5x<-4-1 -2x<-5 Dividiendo entre –2; tenemos x> 5/2 y el conjunto solución es [ 5/2, + ) Ejemplo. Resolver: -6<2x-4<2 Solución: En este caso podemos resolver la desigualdad por dos métodos Metodo1: Consiste en separar en dos desigualdades:
Capítulo 1. Desigualdades
15
Tenemos: -6<2x-4 y también: 2x-4<2 Así: -2<2x 2x<6 De donde: -1<x x<6/2 Así tenemos –1<x, x<3
Graficamos estos conjuntos tenemos: Así la solución es el intervalo (–1, 3) Método 2: Consiste en trabajar la desigualdad sin separarla: Tenemos: -6<2x-4<2 Luego: -4<2x<6 Dividiendo entre 2: -2<x<3 y tenemos que el conjunto solución es: (-1,3) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores:
a) -3x+411 b) 11153
x
c) 9<15-6x d) xx
411355
e)-2x-3>-4x+3 f) )1(7425
3 x
x
h) )12
(11)12(813 x
xx i)4<2x-6<6
Capítulo 1. Desigualdades
16
j) 2
1
4
352
x
f) 336
7415
x
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes, con .0a :
.02;02;02;02 cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
Algunos ejemplos de este tipo de desigualdades se muestran a continuación.
Ejemplo: Resolver x2-7x+10>0
Solución: factorizando la expresión x2-7x+10, tenemos: x2-7x+10 =(x-2)(x-5) Tomemos x=2, x=5, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,2), (2,5), (5, ) Podemos tomar el valor k=0 en el primer intervalo k=3 en el segundo intervalo y k=6 en el último intervalo.
Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-2)(x-5) SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,2)
1 (1-2)(1-5)=(-1)(-4)=4 +
Capítulo 1. Desigualdades
17
(2,5)
3 (3-2)(3-5)=(1)(-2)=-2 -
(5, )
6 (6-2)(6-5)=(4)(1)=4 +
Observemos que la solución de x2-7x+10>0 son los intervalos en donde se halla el signo positivo, estos intervalos son: (- ,2) y (5, )
Por lo tanto la solución es: (- ,2) (5, )
Ejemplo: Resolver x2-x-6<0
Solución: factorizando la expresión x2-x-6, tenemos: x2-x-6=(x-3)(x+2) Tomemos x=-2, x=3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,-2), (-2,3), (3, ) Podemos tomar el valor k=-3 en el primer intervalo k=0 en el segundo intervalo y k=5 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-3)(x+2) SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,-2)
-3 (-3-3)(-3+2)=(-6)(-1)=6 +
(-2,3)
0 (0-3)(0+2)=(-3)(2)=-6 -
(3, )
5 (5-3)(5+2)=(2)(7)=14 +
Observemos que la solución de x2-x-6<0 son los intervalos en donde se halla el signo negativo, estos intervalos son: (-2,3) Por lo tanto la solución es: (-2,3)
Ejemplo: Resolver 03
5
x
x
Solución: En este caso tomemos: x=-5, x=-3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:
Tenemos los intervalos: (- ,-5), (-5,-3), (-3, ) Podemos tomar el valor k=-6 en el primer intervalo k=-4 en el segundo intervalo y k=-2 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K
EXPRESION 3
5
x
x
SIGNO DE LA EXPRESION
(- ,-5)
-6
3
1
3
1
36
56
+
Capítulo 1. Desigualdades
18
(-5,-3)
-4 1
1
1
34
54
-
(-3, )
-2 3
1
3
32
52
+
Observemos que la solución de 03
5
x
x son los intervalos en donde se halla el signo
positivo, estos intervalos son: (- ,-5) y (-3, )
Por lo tanto la solución es: (- ,-5) (-3, ) Ejercicio Resolver las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores. a) x2 4x-3
b) x2 -24>1
c) 05
9
x
x
d) 016
72
x
x
Capítulo 1. Desigualdades
19
e) 6x2 +2x-20<0
ALGUNAS APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES
1) Rafael un conserje debe mover un gran cargamento de libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice peso máximo. 900 libras. si cada caja de libros pesa 80 libras, encuentra el número máximo de cajas que puede colocar en el elevador
2) La relación entre la escala de temperatura Fahrenheit1 y Celsius está dada por
)32(9
5 FC . Si 80
9
60 F , exprese el intervalo correspondiente de C en términos de
una desigualdad.
1 Gabriel Fahrenheit nació en Prusia en 1686. Se le conoce principalmente por haber inventado una escala para medición de las
temperaturas. Antes de él, los termómetros empleaban alcohol. En vez de ello, puso mercurio (Hg) dentro del tubo. El mercurio se solidifica
a unas temperaturas muy bajas , y para que hierva, se requiere unas temperaturas muy altas. Por ello, el mercurio puede medir una extensión
mayor de temperaturas que el alcohol. En la escala Fahrenheit el número 32 indica el punto de congelación del agua. Esta escala es distinta de la de Celsius que también utiliza mercurio
Capítulo 1. Desigualdades
20
3) De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F(en libras) que se requiere para estirar un
resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por: F=4.5x . Si 10<F<18. ¿Cuál es el intervalo de x?
4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene cuando
el ritmo pulsa torio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del mismo de obtienen multiplicando el número (220-edad) por 0.70 y 0.80. Determine el intervalo del ritmo cardiaco para dos personas de 30 y 40 años, respectivamente.
x
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
21
CAPÍTULO 2. FUNCIONES Definición de función
Función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A exactamente un único elemento de un conjunto B.
Notación: la función f se representa por f:A B, f es función del conjunto A al conjunto B. En este
caso la función f asigna al elemento a el elemento b, esto lo escribimos como f(a)=b.
Notación: f(x) se lee “ f evaluada en x” o también “f en x” o también “f de x” y es el valor que toma la función en x.
Cuando tenemos f(x) , x se llama variable independiente y se dice que f es función de variable x.
Ejemplo: x
xf
2
3)(
Calculemos f(1)
Para obtener este valor sustituimos 1 en el lugar de la variable x, así tenemos:
13
3
12
3)1(
f
Calculemos f(2)
Para obtener este valor sustituimos 2 en el lugar de la variable x, así tenemos:
4
3
22
3)2(
f
Calcula f(4) calcula f(-7)
Podemos tomar a x como el valor de entrada y a y=f(x) como valor de salida. Ejemplo: y=f(x)=2x3
Entonces: si x=-1 (valor de entrada)
Se tiene: y=f(-1)=2(-1)3 =-2 (valor de salida) Así mismo: y=f(0)=0
y=f(1)=2 y=f(2)=16
x se conoce como variable independiente, y=f(x) se conoce como variable dependiente.
Ejemplo: y=2x+4
Se tiene que “x” es la variable independiente y “y” la variable dependiente, sin embargo podemos cambiar las literales por ejemplo en lugar de “x” pongamos t y en lugar de “y” pongamos z, tenemos:
z=2t +4 que es la misma función.
Las funciones aparecen con mucha frecuencia, por ejemplo:
a) A cada alumno le corresponde exactamente un único número de boleta; hay una función entre los alumnos y los números de boleta.
b) La distancia necesaria para frenar un auto hasta detenerlo es función de la velocidad que lleva dicho auto.
c) El número de conejos en un bosque es función del número de zorros.
d) El salario de un oficinista es función del número de faltas que tiene al mes.
e) f(x)=2x , esta función le asigna a cada número x el doble de su valor.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
22
Obtenga la gráfica de y=x3/2
5. Grafica la función f(x)=|x|
6.Grafica la función y=|x2- 5|
Utiliza winplot y observa las gráficas de estas funciones
a) y= x4- 3x2+ 2 b) y=xsenx
c)y=x/x-2 d)y=2/x2 e)y=(x-3)/(x2-4)
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
23
El método de tabulación nos da una idea de cómo son las funciones, sin embargo las funciones
pueden ser más delicadas por lo que este método no resulta eficaz, así más adelante se verán
técnicas para graficar.
Sin embargo también hay funciones donde puede darse una traslación vertical, por ejemplo tomando como base la gráfica de la función y=x2, representa una parábola con vértice en el origen. Al graficar
y=x2+1, observamos que las expresiones son casi iguales, pero la segunda función se le está
sumando la unidad. Quiere decir que el resultado de sustituir los valores de x serán iguales que antes pero todos aumentados en una unidad. El efecto que causara que obtendremos una grafica
trasladada una unidad sobre el eje y. Un efecto similar se obtiene para y=x2+2 y y=x2-2, esta última trasladada dos unidades hacia abajo.
Ejercicio
1) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.
a) y=-x2 b) y=-x2 +1
c) y= x2 +3 d) y=-x2 +5
e) y= x2 -2
2) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.
a) y=-x3 b) y=-x3 +1
c) y= x3 +3
d) y= x3 - 5 e) y=-x3 -2
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
24
3) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.
a) y=(x-3)2 b) y=(x-3)2 +1
c) y=(x-5)2 +4
Ejercicio: Determina si la gráfica representa una función x.
a) b c)
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
25
MÁS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PROYECTOS
1) EL TANQUE DE GAS: Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, el
tanque tiene forma de cilindro circular recto de altura 10 pies, con una semiesfera fija en cada extremo. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de la superficie del tanque como función del
radio. Solución:
La figura muestra el tanque de gas. Si desarmamos el tanque tenemos un cilindro y una esfera
10
Si desdoblamos el cilindro tenemos un rectángulo de lado 2 r y altura 10, como se muestra en la
figura:
El área de la esfera es Ae=4 r2
Por lo tanto el área del tanque es
Área del rectángulo + Área de la esfera At= Ar+ Ae=20 r+4 r2 , es decir At=20 r+4 r2
Calcula el área del tanque si el radio vale 5pies Calcula el área del tanque si el radio vale 2pies Obtenga la gráfica de la función At.
2) EL BOTE DE LECHE: Se desea construir un bote de latón para almacenar leche, el bote tiene
forma de cilindro circular recto de altura 17 cm. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de
la superficie del bote como función del radio.
10
2
r
El área del rectángulo es base x altura
Es decir Ar=2 r x 10
O sea Ar=20 r
r
r
r
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
26
3) EL ZOOLOGICO: Para construir 4 jaulas en un zoológico se necesitan 1000 pies de tela de
alambre. El diseño de las jaulas se muestra en la figura.
a) Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x”. b) Exprese el área total A limitada por el enrejado como función de x.
c) Si x=2pies calcule “y”, así como también el valor del área.
4) LA PECERA: Se desea que una pecera de altura 1.5 pies tenga un volumen de 6 pies3. Como se
muestra en la figura. a)Exprese y como función de x. b)Si la pecera no tiene tapa. Obtenga como función de x el número total de pies cuadrados de vidrio que se requieren para la construcción.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
27
5) EL CICLISMO: Una pista de ciclismo es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Si el
radio de cada semicírculo es r y la longitud total de la pista mide 400m. Obtenga el Área del terreno
encerrada por la pista como función de r.
6) EL CLINDRO INSCRITO: Un cilindro circular recto de radio r y altura h, esta inscrito en un cono de altura 12cm. Y radio de base 4cm. Como se muestra en la figura.
a) Exprese h como función de r (sugerencia: use triángulos semejantes) b) Exprese el volumen V del cilindro como función de r.
Solución: La figura
Para obtener el volumen del cilindro tenemos V=Area de la base x altura
Así: V= r2 h
Sustituyendo h: V= r2 (12 -3r)
Multiplicando: V= 12 r2 -3 r3
Calcula el volumen del cilindro si r=1cm Calcula el volumen del cilindro si r=3cm
Cuál el valor más grande que puede tomar r y Cuál el más pequeño?¿Porque?
Obtenga la gráfica de la función volumen V.
a) Tomemos la relación de
semejanza tomando los triángulos
como en la figura: 12- h = r
12 4
Despejemos h: 12-h=12(r/4)
Tenemos: 12-h=3r
Por lo que tenemos: h=12-3r
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
28
7) LA CAFETERA: El agua contenida en un filtro cónico de papel gotea a una taza.Como se muestra
en la figura. Suponga que se vacia 5pulgadas cubicas. De agua en el filtro. Sea “ x ” la atura del agua
en el filtro, “ y ” la altura del agua en la taza. a) Exprese el radio r como función de x (sugerencia: use triángulos semejantes)
b) Exprese la altura “y” del agua en la taza como función de x.(sugerencia: ¿Cuál es la suma de los dos volúmenes que se muestran en la figura?
Solución: a) Utilicemos semejanza de triángulos, para esto veamos la siguiente figura:
b)Tenemos que el volumen total es 5=Vol. En el Cono + Vol. En el cilindro
5=1/3 Área de la base*altura+ Area de la base*altura
Es decir: yRxr 22
3
15
Sustituyendo: 2
xr , R=2, tenemos:
yx
yxx
412
15
223
15
3
22
Despejando y:
48
60
412
15
12
154
3
3
3
xy
xy
xy
Calcula el valor de y, sí x=2, x=1, x=0.5, x=0.
a)Tenemos: 24
rx , despejando r, tenemos:
2
xr
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
29
8) En la figura, el triangulo rectángulo ABE es semejante al triángulo ACD; CD=8 y BC=10; h y x son
las medidas de la altura y de la base del triangulo ABE. Exprese h en función de x.
9) EL AGUA: Un depósito de agua tiene forma de un cono circular recto con 30m de altura y 8m de radio. El depósito está lleno hasta una profundidad de h metros. Sea x el radio del círculo en la parte
superior del nivel del agua. Escriba h en función de x, y utilice este resultado para expresar el volumen del agua en función de x.
Capítulo 2. Gráficas de Funciones
30
Funciones Racionales
Investiga la gráfica de la función:
a) xy
3
43
12)
x
xyb
16
57)
x
xyc
342
1)
2
xxyd
15
1)
2
xxye
f) 4
12
2
x
xy
Capítulo 3 Regla de la cadena
31
CAPÍTULO 3 Función compuesta
Función Composición
AB
C
gf
Definimos la función g compuesta con f como: f0g=f(g) , también podemos decir la función composición g seguida de f. Definición: Sean f y g funciones con el rango de g contenido en el dominio de f. Para cada x en el dominio de g, la función composición f0g esta definida como : (f0g)(x)=f(g(x)).
g(x)=3x-10
4
2
f(x)=4x +1
9 Aquí tenemos g(x)=3x-10, f(x)=4x+1, formamos (f0g)(x), para calcular: (h0g)(4)=9 Ejemplo: si f=u2 , h=v+1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 en la función h=v+1, es decir: h0f=h(f)=( u2)+1=u2+1
Ejemplo: si f=u2 +3, 1 vh
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 +3 en la función 1 vh , es decir:
h0f=h(f)= 2131)3( 222 uuu
Ejemplo: si f=z-5, 1
12
u
uh
Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f=z-5 en la función 1
12
u
uh , es decir:
h0f=h(f)= 2610
4
12510
15
1)5(
1)5(222
zz
z
zz
z
z
z
Capítulo 3 Regla de la cadena
32
Ejemplo: si f=2s-11, h=u2 +4u-1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= 2s-11 en la función h= u2 +4u-1, es decir: h0f=h(f)= (2s-11)2 +4(2s-11)-1=4s2-44s+121+8s-44=4s2-36s+77
Ejemplo: si u=3x-7, 42 tv
Entonces para obtener v0u=v(u) sustituimos la función u=3x-7 en la función 42 tv , es decir:
v0u=v(u)= 18641464)73(2 xxx
Ejercicio: obtenga: v0u=v(u) a) si u=5x+4, v=u10 b) u=4x-2, v=3u2+12u-1 c)si u=2x-1, u 7senv d)u=4x-x2 , v=tan u
Ahora procedamos de la siguiente manera, vamos a dar una función y la vamos a descomponer en dos funciones una la llamaremos u y a la otra v, de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Ejemplo: si 122 xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=2x+12 , v= x
Entonces v0u=v(u)= 122 x
Capítulo 3 Regla de la cadena
33
Ejemplo: si 68
11
xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar
la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=8x+6 , v=w
11
Entonces v0u=v(u)= 68
11
x
Ejemplo: si 3 2 1 xxy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Tomemos u=x2+x-1 , v= 3 z
Entonces v0u=v(u)= 3 2 1 xx
Ejercicio: si 24
3
xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar
la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Ejercicio: si 95
2
xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al
efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original
Capítulo 3 Regla de la cadena
34
Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=x+3, g(x)=x3, obtenga: g0f y f0g. Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=2x-3, g(x)=|x| , obtenga: (g0f)(4) , (g0f)(-5), ( f0g)(-7), ( f0g)(1/3), ( f0g)(0) .
Capítulo 4. Funciones Inversas
35
CAPÍTULO 4. FUNCIONES INVERSAS Cuando tenemos una función y=f(x) , si tenemos el valor de x y queremos conocer el valor de y debemos sustituir el valor de x. Así si tenemos y= 4x-1 y tenemos x=5, entonces para obtener el valor de “y” ,
sustituimos en la función: y=4(5)-1=20-1=19.
Ahora queremos hacer lo contrario : es decir, si tenemos el valor de “y” ¿Cómo encontrar el valor
de x? Por ejemplo si y= 9x+7 , y si tenemos y=10 ¿Qué valor es el correspondiente de x?
Tenemos: 10=9x+7 , despejando x=(10-7)/9=3/9=1/3.
Ejemplo: y=4x-11 , encontrar los valores de x; despejando tenemos x=(y+11)/4
Ejemplo: y=x3+2, encontrar los valores de x; despejando tenemos 3 2 yx
Ejemplo: y=x2, encontrar los valores de x; despejando tenemos yx , pero en este caso hay dos
valores para cada x hay dos valores uno positivo y uno negativo, pero para que tengamos una función debe haber un solo valor como resultado, en este caso tenemos dos por lo que no es una función. Cuando se
tenga un solo valor tendremos la función inversa, si tenemos dos o más valores no tenemos función inversa.
Función uno a uno:
Una función y=f(x) se dice que es uno a uno si cada valor de y en el rango de f le corresponde precisamente un solo valor de x en el dominio de f ; esto es para cualesquiera números a y b en el dominio de f, f(a)=f(b)
implica a=b.
Ejemplo:Determine si f(x)= 9x+11 en uno a uno.
Ejemplo: Determine si y=x2+8x-10 es uno a uno.
Ejemplo: Determine si la función f es uno a uno.
a)y=9-5x b)y=4-x3/7 c)y=x2+3 d)y=(x-5)/(x+2)
Capítulo 4. Funciones Inversas
36
Criterio de la recta horizontal: Cuando tenemos la gráfica de la función f, y si podemos trazar una
recta horizontal que intersecte a la gráfica de dicha función f más de una vez, entonces la función f
es uno a uno.
Ejercicio: determine si la grafica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la grafica de la
función inversa f -1
Función inversa:
Si una función es uno a uno, entonces existe una única función f -1
, llamada la función inversa de f, tal
que:a) (f -1
° f )(x)=x para todo x en el dominio de f
b)(f ° f -1)(x)=x para todo x en el dominio de f -1
Ejemplo
La función y=9-5x es uno a uno. Encuentre la función inversa.
Tenemos x=(y-9)/-5=(9-y)/5, así tenemos: x=(9-y)/5
Intercambiamos x por y, tenemos: y=(9-x)/5 , como esta función es la función inversa de y=9-5x, podemos
escribir f -1(x)= (9-x)/5
Comprobemos: a) (f -1
° f )(x)= f -1
( f (x))= (9-(9-5x))/5=(9-9+5x)/5=5x/5=x
b) f ( f -1
(x))=9-5((9-x)/5)=9-(9-x)=9-9+x=x
Así: f -1(x)= (9-x)/5 es la función inversa de f(x)= 9-5x.
Ejemplo: La función f(x)=x3-7 es uno a uno. Encuentre su función inversa, f -1(x)
Escribimos: y= x3-7, así tenemos: 3 7 yx , esta función es la inversa de f(x),
Así , reescribiendo: f -1(x)= 3 7x
Ejemplo: la función 3
7)(
5
xxf , es uno a uno obtenga la función inversa.
Tenemos 3
75
xy , de donde 3y-7=x
5, así tenemos: 5 73 yx
Reescribiendo: f -1(x)= 5 73 x .
Ej. Si f(x)=4x+12 compruebe que es uno a uno y obtenga la función inversa.
Esta función tiene un punto para x y un punto para y. Tiene función uno a uno
Esta función tiene para cada volor de y ,dos valores de x. No es uno a uno.
Capítulo 4. Funciones Inversas
37
Resumen para obtener la función inversa:
a) Verifique que y=f(x) sea uno a uno.
b) Resuelva para x en términos de y. c) Intercambie x y y , reemplace y con f -1(x) .
d) Verifique que el dominio de f(x) sea el rango de f -1(x) y que el dominio de f -1(x), sea el rango de f(x).
Ejemplo: La función y= x3-9 es uno a uno. Obtenga su función inversa.
Propiedad grafica de f y f -1 Las gráficas de f y f -1 son reflexiones una de la otra a través de la recta y=x.
Ejercicio: determine si la gráfica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la gráfica de la función inversa f -1
a) b)
c) d) e)
Capítulo 4. Funciones Inversas
38
Ej. Determine si la función f es uno a uno.
a)y=7-6x. b)y=x3-5 c)y=x2+4x-12 d)y=(x-2)/(x+7)
Ej. La función f es uno a uno en el intervalo indicado. Encuentre una ecuación para la función inversa y
especifique el dominio y rango de f -1.
a)y=6-2x, 31 x
b) xxy 7- ,7
c)y=x2, 40 x
d)y=7+4x, 12 x
e) 4 x,4 xy
f) 3 x0,)1(8 3 xy
Capítulo 5. Límites
39
CAPÍTULO 5 LÍMITES
Consideremos la función:
x
xxxf
02
0,)(
2
,
Analicemos su comportamiento a medida que nos acercamos a x=0, con valores negativos, pero cada vez
más cercanos a x=0, vemos que los valores de la función se hacen mas y más pequeños, es decir las
alturas disminuyen, estas se representan en la grafica con las rectas de trazo uniforme. Por lo que si nos acercamos por la izquierda de x=0 la función también se acerca al valor cero, es decir el límite de la
función es igual a cero, cuando x tomando valores más pequeños que x=0, decimos que nos acercamos a cero por la izquierda.
Mientras que por la izquierda es cero: 0)(0
x
xLimf
Como los límites son distintos, decimos que para esta función el límite cuando x tiende a cero no existe.
Veamos otro ejemplo: Analicemos la función:
21
2,2
4
)(
2
x
xx
x
xf
,
Vemos que a medida que nos acercamos a 2x , por la izquierda, pero cada vez más cercanos a
2x , vemos que los valores de la función se acercan más y más al valor –4, es decir 4)(2
x
xLimf
Ejercicio
1) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 3
)(x
xLimf existe y su valor.
3, 2.1
3, )(
2
x
xxxf
Pero si nos acercamos a x=0 con valores mayores a cero
pero cada vez más cercanos a este, es decir por la derecha
la función toma en cada punto el valor de 2.
Es decir: 2)(0
x
xLimf
Si nos acercamos a 2x con valores
mayores a -2 pero cada vez más cercanos a
este, es decir por la derecha la función
toma valores cercanos a -4 es decir:
4)(2
x
xLimf
En este caso 2
)(x
xLimf = 4)(2
x
xLimf
Por lo que el limite de la función si existe y
tenemos que 4)(2
x
xLimf
Aún siendo f(-2)=1
Capítulo 5. Límites
40
2) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 0
)(x
xLimf existe y su valor.
0
0,
xx
xxx
,
3) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 2
)(x
xLimf existe y su valor.
2
2,2)(
2
xx
xxxf
,
LÍMITES CON TABLAS NUMÉRICAS
Investiga el siguiente límite para la función 12 xy : )1( 2
1
xLim
x
Para esto calcula los valores de y a partir de los valores de x .
x 12 xy
Con la tabla, obtén el valor del
límite:
)1( 2
1
xLim
x=
Capítulo 5. Límites
41
1.-Investiga el siguiente límite
x
x
xsenLím
0
existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
2.-Investiga el siguiente límite
1x
1-x
1-xLím
1000
existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
3.-Investiga el siguiente límite
x
Lím
90
tan
x existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada
x 700 80
0 890 89.5
0 89.90 89.99
0 89.999
0
Tan x
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
T1. Límite de la función constante
Si f(x)=c
Entonces axax
ccLimxLimf
)(
T2. Limite de la suma de dos funciones, Si axax
BgLimAxLimf
(x) ,)(
Entonces BAxLimfxLimfxgfLimaxaxax
)()())((
T3. Limite del producto de dos funciones, Si axax
BgLimAxLimf
(x) ,)(
x .1 .01 .001 .0001 0.00001
x
xsen
x 3 2 1.5 1.1 1.01 1.001
1-x
1-x1000
Capítulo 5. Límites
42
Entonces ABxLimfxLimfxfgLimaxaxax
)()())((
T4. Limite del producto de una constante k por una función, Si AxLimfax
)(
Entonces kAxLimfkxLimkfaxax
)()(
T5. Limite de la identidad f(x)=x
Entonces axLimax
)(
T6. Limite de la función potencia f(x)=xn
Entonces nn
ax
axLim
)(
T7. Limite de la función raíz enésima n
ax
n axLim
T8. Limite de un cociente de funciones
Si existen axax
gLimAxLimf
0B(x) ,)(
Entonces B
A
gLim
fLimx
g
fLim
x
x
ax
(x)
(x) )(
a
a
Ejemplos
1)Hallar 57
xxLim , Solución: Tenemos 35)5(7 77
55
xxxLimxLim
2)Hallar 3
1 8xxLim , Solución: Tenemos 8)1(888 33
1
3
1
xxLimxxLim
3)Hallar )734
(
2
2
x
xLimx
, Solución: Tenemos
147617)2(3)2(4
1
)734
1)73
4(
2
2 2
2
2
2
2
xxxx
LimxLimxLimxx
Lim
Ejercicio
1) Hallar )32( 3
3
xxLim
x
2) Hallar )14
3( 24
2 -
xxxLim
x
3) Hallar )543( 35
1
xxxLim
x
Capítulo 5. Límites
43
4) Hallar )3538( 23
0
xxxLim
x
5) Hallar )77( 3
5
xxLim
x
6) Hallar )9( 53
1 xxxLim
x
7) Hallar )x25(( 3 2
4
xLim
x
8) )14(11
xLimx
9) )229)35((2
xxLimx
10) )26x3( 5
11-
xLim
LÍMITES DE COCIENTES
T8 Limite de un cociente de funciones
Si existen axax
gLimAxLimf
0B(x) ,)(
Entonces B
A
gLim
fLimx
g
fLim
x
x
ax
(x)
(x) )(
a
a
1) Ejemplo: Calcular )1
3(
2
2
x
xLimx
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
71
7
12
34
1)2(
3)2(
)1(
)3(
)1
3(
2
2
2
22
2
x
x
x xLim
xLim
x
xLim
Capítulo 5. Límites
44
2) Ejemplo: Calcular )42
16(
3
2
5
xx
xxLimx
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
119
56
410125
13025
4)5(2)5(
1)5(6)5(
)42(
)16()
42
16(
3
2
3
5
2
5
3
2
5
xxLim
xxLim
xx
xxLim
x
x
x
3) Ejemplo: Calcular )1
1(
2
1
x
xLimx
Solución:
Apliquemos el T8., tenemos:
0
0
11
1)1(
)4(
)1()
1
1(
2
1
2
1
2
1
xLim
xLim
x
xLim
x
x
x
Por lo que debemos de resolver este ejercicio, tratando de evitar la dificultad de que nos quede una
división entre cero, esto es tratar de evitar la singularidad. Factor icemos el numerador, tomando en cuenta que se tiene una diferencia de cuadrados, es decir:
A2-B2 = (A-B)(A+B), tenemos entonces:
211)1()1
)1)(1(()
1
1(
1 1
2
1
xLim
x
xxLim
x
xLim
xxx
4) Ejemplo: Calcular )12
4(
24
xx
xLimx
Solución:
En este caso también debemos factor izar, en este caso .34122 xxxx
Tenemos: 7
1)
3
1()
)4)(3(
4()
12
4(
4 4 24
xLim
xx
xLim
xx
xLim
xxx
Ejercicio
1) Hallar )2
9(
2
4
x
xLimx
2) Hallar )25425
114(
23
2
7
xxx
xxLimx
3) Hallar )33
19(
4
2
1
x
xLimx
Capítulo 5. Límites
45
4) Hallar )65
4(
2
2
2
xx
xLimx
5) Hallar )87
8(
28
xx
xLimx
6) Hallar )5
54(
2
5
x
xxLimx
7) )12
65(
2
2
5
xx
xxLimx
8) )94
32(
22/1
x
xLim
x
9) )19
13(
23/1
x
xLim
x
10) )43
45(
2
2
4
xx
xxLimx
Capítulo 5. Límites
46
11) Hallar )2
2(
22
x
xLim
x
12) Hallar )4
2(
4
h
hLimh
9) Hallar )1
1(
1
x
xLimx
10) Hallar )22
(0 x
xLimx
11) Hallar )1
25(
1
h
hLimh
Capítulo 5. Límites
47
13) Hallar )6
22(
6
x
xLimx
14) )11
(0 h
hLimh
15) Hallar )4
352(
22
x
xLimx
16) )39
(2
2
0 t
tLimt
17)Hallar )554
(2
0 h
hhLimh
Capítulo 5. Límites
48
18) Hallar )22
25(
1
x
xLimx
LÍMITES AL INFINITO
Cuando la variable x crece arbitrariamente, tomando valores positivos se dice que tiende a más infinito
+ , podemos pensar en número N>0 muy grande, como la variable x toma valores mayores cada vez, llegara un momento en que x será mayor que N, es decir x>N, para todo número N.
Esto se puede representar así: x y se lee x tiende a más infinito.
Analicemos la función y= x
1 , cuando x tiende a más infinito.
Es decir veamos el siguiente límite: )1
( x
Limx
Tomemos la siguiente tabla: También observemos la gráfica:
Esto nos da un método para tratar con algunos límites, como se muestra a continuación. Pero antes
resuelva lo siguiente:
Al aumentar los valores de la variable x, se observa
que los valores de la función y = x
1disminuyen, de
tal manera que se acerca al valor cero, es decir:
)1
( x
Limx
=0
Podemos pensar en que tenemos un pastel y que el
número de invitados que llegan a la fiesta aumenta
y aumenta, entonces de que tamaño es la rebanada
que les va a tocar.
Capítulo 5. Límites
49
Ejercicio
Obtenga una tabla y una gráfica para estudiar el límite )1
( x
Limx
1) Ejemplo: Calcular )54
34(
x
xLim
x
Solución:
Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso
simplemente entre x:
14
4)
04
04()
54
34
()54
34
()54
34
()54
34(
xxxxxLim
x
xLim
xx
xxx
x
Lim
x
xx
x
Limx
xLim
2) Ejemplo: Calcular )36
12(
2
2
xx
xLim
x
Solución:
Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso
simplemente entre x2:
3
2)
300
02()
316
12
(
)36
12
()36
12
()36
12(
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxx
Lim
xx
xLim
x
x
x
x
x
xx
x
Lim
x
xx
x
x
Limxx
xLim
Ejercicio
1) Calcular )174
35(
3
23
xx
xxLim
x
2) Calcular )639
110(
24
34
xx
xxxLim
x
Capítulo 5. Límites
50
3) Calcular )127161
16115(
2285
229
xxx
xxLim
x
4) Calcular )75
72(
23
3
xxx
xLim
x
Capítulo 6. Derivada de una Función
51
CAPÍTULO 6 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Derivada de una Función en una Variable: La derivada de una función es un límite especial, veamos la siguiente definición.
La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de una función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma.
x
xfxxfLím
x
yLim
xx
)()(
00
Cuando existe este límite se dice que la función es derivable.
La derivada de una función se puede representar por los símbolos: )(' xf , )(.
xf , )(xfDx , dx
xdf )(,
dx
df
Por todo esto si )(xfy es derivable, entonces la derivada es:
x
xfxxfLím
x
yLím
dx
dy
xx
)()(
00
Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar la definición, esto lo haremos siguiendo cuatro pasos (llamada
también regla de los cuatro pasos) importantes, como se muestra:
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy 4 .
Solución:
Primer paso: valor final
)(4)( xxxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
x
xx
xxxxfxxfyyy if
4
444x
4)(4)()(
Tercer paso: cociente:x
y
, tenemos : 4
4
x
x
x
y
Cuarto paso: Aplicar el límitex
yLim
x
0
Así tenemos la derivada: 4400
xxLim
x
yLim
dx
dy
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 106 2 xy .
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Capítulo 6. Derivada de una Función
52
Primer paso: valor final
10)(6)( 2 xxxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
2
2
22
612
)(-)2(6
10)(6-10)(6)()(
xxx
xxx
xxxxfxxfyyy if
1010x2 26x
Tercer paso: cociente:x
y
x
x
x
x
xx
x
xxx
x
y
6 12x
612612 22
Cuarto paso: Aplicar el límitex
yLim
x
0
Así tenemos la derivada: xxLimx
yLim
dx
dy
xx12)6 12x (
00
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función .352 2xxy
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Primer paso : valor final
2 x)3(x - x)5(x 2)( xxfy f
Segundo paso: incremento de la función
2
2
22
365
)-()2(3)(5
)3x -5x (2- x)3(x - x)5(x 2)()(
xxxx
xxxx
xfxxfyyy if
22x5x2xx2 3
Tercer paso: cociente:x
y
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx
x
y
3-6x -5
365365 22
Cuarto paso: Aplicar el límitex
yLim
x
0
Así tenemos la derivada:
6x -5
)3-6x -5(00
xLim
x
yLim
dx
dy
xx
Ejercicios
Calcula las siguientes derivadas utilizando la definición:
Capítulo 6. Derivada de una Función
53
1) a) 8y b) y=1000
2) a) xy 9 b) y=32x
3) 64 xy
4) 27xy
Capítulo 6. Derivada de una Función
54
5) 742 xxy
6) 3xy
Capítulo 6. Derivada de una Función
55
7) 133 xxy
Veamos otros ejemplos en donde también utilizamos la regla de los cuatro pasos:
Capítulo 6. Derivada de una Función
56
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 3x
by
Solución:
Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:
Primer paso: valor final
3)x(
)(
x
bxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
33
322
33
32233
33
33
33
)x(
xx3bx3
)x(
)x3x x3(
)x(
)x(
)x()()(
xx
bxbxy
xx
xxxbbx
xx
xbbxy
x
b
x
bxfxxfyyy if
-
Tercer paso: cociente:x
y
33
22
33
22
33
32233
322
)x(
xx3b3
)x(x
xxx3b3
)x(x
xx3bx3)x(
xx3bx3
xx
bxbx
xx
bxbx
xx
bxbxy
x
xx
bxbx
x
y
)(-
)(--
-
Cuarto paso: Aplicar el límitex
yLim
x
0
4
33
2
33
2
33
22
00
3
)(
3
)0(
003
))x(
xx3b3(
x
b
xx
bx
xx
bx
xx
bxbxLim
x
yLim
dx
dy
xx
-
-
)(-
)(-
Así tenemos la derivada: 4
3
x
b
dx
dy -
Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy
Solución:
Capítulo 6. Derivada de una Función
57
Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:
Primer paso: valor final
x)( xxxfy f
Segundo paso: incremento de la función
xxxfxxfyyy if x)()(
Tercer paso: cociente:x
y
x
xx
x
y
x
En este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, a continuación de esto aplicaremos el
producto notable (a-b)(a+b)=a2-b2, y a continuación simplificamos la expresión, como sigue:
)x(
1
)x(
x
)x(
x-x
)x(
)()x(
)x
x)(
x(
22
xx
xxx
xxx
x
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
y
Cuarto paso: Aplicar el límitex
yLim
x
0
x
xx
xx
xxLim
x
yLim
dx
dy
xx
2
1
)(
1
)0(
1
))x(
1(
00
Así tenemos la derivada: xdx
dy
2
1
Capítulo 6. Derivada de una Función
58
Ejercicios
Obtenga la derivada de la constante, producto, cociente.
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
59
FÓRMULAS BÁSICAS PARA OBTENER
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
7 Estas fórmulas se deducen aplicando la definición.
1. 0
dx
cd
2. 1
dx
xd
3.
dx
dfc
dx
fcd
4.
dx
dh
dx
dg
dx
df
dx
hgfd
5. 1 n
n
nxdx
xd
6.
dx
duun
dx
ud nn
1
7.
dx
duv
dx
dvu
dx
vud
8.
2
/
v
dx
dvu
dx
duv
dx
vud
Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente.
Apliquemos la fórmula uno: 0
dx
cd
La derivada de una función constante siempre es igual a cero.
Ejemplo. Si tenemos la función constante y=8 , entonces aplicando la fórmula: 0
dx
cd
y tenemos: 0
8
dx
d
dx
dy
o Simplemente:
0dx
dy
Similarmente: 010
dx
d , 033
dx
d , 01000
dx
d , 0)2/1(
dx
d , 0)15(
dx
d
Veamos la fórmula dos: 1
dx
xd
Ejemplo:
1dt
dt , 1du
du , 1dz
dz , 1dw
dw
Veamos la fórmula tres:
dx
dfc
dx
fcd
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
60
Ejemplo:
Hallar dx
dy , si y=12x
Sol.
10) 1(1010 x10
dx
dx
dx
d
dx
dy
Ejemplo:
Si tenemos h=10x , Hallar dx
dy
Solución: Aplicando la formula tres:
12) 1(1212 x12
dx
dx
dx
d
dx
dh
Ejemplo:
Obtenga la derivada de la función indicada con respecto de la variable independiente. a) h=10x
Solución: Aplicando la formula tres:
12) 1(1212 x12
dx
dx
dx
d
dx
dh
b) 4
ty
Solución: Aplicando la formula tres: 4
1
4
14
dt
dt
dt
td
dt
dy
c) 3
7uh
Solución: Aplicando la formula tres: 3
7
3
73
7
du
du
dt
ud
du
dh
Veamos la fórmula cuatro:
dx
dh
dx
dg
dx
df
dx
hgfd
Ejemplo1:
Hallar dx
dy , si y=3x+2 Solución: Aplicando la formula cuatro:
3
03
2323
dx
dx
dx
d
dx
xd
dx
xd
dx
dy
Así 3dx
dy
Ejemplo2:
Si h=8t -2 , Hallar dt
dh ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
8
08
2828
dt
dt
dt
d
dt
td
dt
td
dt
dh
Así 8dt
dh
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
61
Ejemplo3:
Si 62
ty , Hallar
dt
dy ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
2
1
02
1
626
2
dt
td
dx
d
dt
td
dt
td
dt
dy
Así2
1
dt
dy
Ejercicios 1 Obtenga la derivada de la función:
a) y=15
b) h=4x
c) y=3x + 1
d) y= 7 u – 2
e) y=12z + 9
f) y=52
1
g) y=2- 4 t
h) 3
5
7 xy
i) h=6u+2
1
j) f =5w+ 2
1
k) g=40 l) h= -10+7
3u
Veamos la fórmula cinco: 1 n
n
nxdx
xd , n es una constante
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
62
Ejemplo1:Hallar dx
dy , si y=x5 Solución: Aplicando la fórmula cinco:
4
155
5
5
x
xdx
xd
dx
dy
Así 45x
dx
dy
Ejemplo2:Hallar dx
dy , si y=x2 Solución: Aplicando la fórmula cinco:
1
122
2
2
x
xdx
xd
dx
dy
, Así la derivada es: xdx
dy2
Ejemplo3:Hallar dx
dy , si xy Solución: Aplicando la fórmula cinco:
x
x
xdx
xd
dx
xd
dx
dy
2
1
2
1
2
1
2
1
12
1
2
1
, Así la derivada es: xdx
dy
2
1
Si queremos obtener la derivada de una raíz cubica aplicamos la fórmula cinco
Ejemplo4:Hallar dx
dy , si 3 xy Solución: Aplicando la fórmula cinco:
3 2
3
2
13
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
x
x
xdx
xd
dx
xd
dx
dy
Así 3 23
1
xdx
dy
Ejemplo5:
Si y=x11+ x4+9 , Hallar
dx
dy ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
0411
99
310
411411
xx
dx
d
dx
xd
dx
xd
dx
xxd
dx
dy
Así 310 411 xxdx
dy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
63
Ejemplo6:
Si h=4t6 -2t3+7t+9 , Hallar
dt
dh ,
Solución: Aplicando la formula cuatro:
7624
0)1(7)3(2)6(4
9724
97249724
25
25
36
3636
tt
tt
dt
d
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
dt
td
dt
td
dt
td
dt
tttd
dt
dh
,Así tenemos: 7624 25 ttdt
dh
Ejercicios 2 Obtenga la derivada de la función:
a) y=x4
b) h=x22
c) y=x7
d) y= 5 u2
e) y=5z3
f) y=4t2+1
g) 5 xy
h) 3 xxy
i) h= u2+ 6u+1
j) f =5w3+w
k) g=3-t5+4t
6 l) h=
117
3
x
m) h=z3+ 11
7
5 2
u
n) 5
2
xy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
64
Ejercicios 3
Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.
1. 47y
2. xy 3 3. 912 xy 4. 2/1
7
11
xy
5. 4xy
6. 8
3
xy
7. 103715 24 xxxy 8. 3
7
2
2
5
xx
y
9. xy 10. 3
7
xy
11. 5
xy 12. 5 xxy
13. 43
5 x
xy
14. t
r2
1 15.
2
3
xy 16. 321 xxy
17. 32
6
x
xy
18. 2
6 87
x
xxw
19. 232ttz
20.
22
xxy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
65
Veamos la fórmula seis. Fórmula
dx
duun
dx
ud nn
1
Ejemplo1: Si f=(x+1)2 , Hallar dx
df
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=2, u=x+1:
)1(2
)1()1(2
)01()1(2
)1
()1(2
1)1(2
1
1
1
12
x
x
x
dx
d
dx
dxx
dx
xdx
dx
df
Así )1(2 xdx
df
Ejemplo 2: Hallar ds
dy , Si y=(2s+8)3 ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=3, u=2s+8:
2
2
2
2
13
)82(6
)2()82(3
)02()82(3
)82
()82(3
82)82(3
s
s
ds
sds
ds
d
ds
sds
ds
sds
ds
dy
Así 2)82(6 s
ds
dy
Ejemplo 3: Hallar dx
dy , Si 1 xy ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=x+1:
12
1
)1(2
1
)1()1(2
1
1)1(
2
1
1
2
1
2
1
12
1
2
1
x
x
x
ds
xdx
ds
xd
ds
dy
Así 12
1
xdx
dy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
66
Ejemplo 4: Hallar dx
dy , Si xxy 23 ,
Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=3x2+x:
xx
x
xx
x
xxx
ds
xd
ds
xdxx
ds
xxdxx
ds
xxd
ds
dy
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
2
12
32
16
)3(2
16
)16()3(2
1
)3
()3(2
1
3)3(
2
1
3
Así xx
x
dx
dy
232
16
Ejercicios 4
Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.
1.
925 xy
2. 33 52 xy 3. 5 42 xy 4.
42 )1(
5
xy
5. 2)118( xy
6. 7 15
4
xy
7. 32 )(
16
xxy
8. 115 1924 xy
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
67
Veamos la fórmula del producto de dos funciones
Formula
dx
duv
dx
dvu
dx
vud
Ejemplo : Hallar dx
dy , Si 1 xxy ,
Solución: Aplicando la fórmula del producto
dx
duv
dx
dvu
dx
vud
, aquí: u=x ,: 2/1)1(1 xxv
Así tenemos:
112
)1(
)1(2
)1()1()1(2
1
)1()1(1
)1(2
1
)1(1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
xx
x
x
x
x
xxx
xds
xdxx
ds
xdx
ds
xdx
ds
xdx
ds
dy
Así 112
xx
x
dx
dy
Ejercicios 5
1. 3 xxy
2. )13)(12( xxy 3. ))(( 26 bxaxy
4. xxy 452
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
68
Fórmula del cociente:
2
/
v
dx
dvu
dx
duv
dx
vud
Ejemplo : Hallar dx
dy , Si 15
3
x
xy ,
Solución: Aplicando la fórmula del cociente: 2
/
v
dx
dvu
dx
duv
dx
vud
, aquí: u=3x ,v=5x-1
Así tenemos:
2)15(
)15(3
)3()15(
15
3
x
dx
xdx
dx
xdx
dx
x
xd
dx
dy
Tenemos: 2)15(
)5(3)3)(15(
x
xx
dx
dy
Así: 22 )15(
3
)15(
15315
xx
xx
dx
dy
La derivada de y es: 2)15(
3
xdx
dy
Ejercicios 6
1. 3
2
x
xy 2.
4
1
x
xy
3. 104
7
z
zy 4.
225
1
w
wy
5. xa
xay
6.
22
22
xa
xay
7. 16
2 3
w
wz 8.
2
2
2
2
x
xz
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
69
9. xa
xay
10.
bxa
xy
11.
xa
xay
Obtenga la derivada de la función:
45. 1 xy
46. 3 52 xy
47. x
y
2
4
48. x
xy
8
Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada
70
49. 5
3
xy
50. 5 17
18
xy
Deducción de la fórmula de la derivada de la potencia, de la multiplicación, del cociente
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
71
8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
En geometría se interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente. Veamos la siguiente explicación.
Consideremos una recta que pasa por el punto P, como se muestra en la figura.
En términos de incrementos, podemos observar la siguiente figura.
Veamos la definición de la derivada x
xfxxfLím
x
yLim
xx
)()(
00
Así la derivada de una función nos da como resultado la pendiente de la recta tangente. La ecuación de la recta
es: y-y0=dy/dx (x-x0)
Cuando el incremento de x se hace cada
vez más pequeño entonces la recta
tangente se acerca a la recta tangente
tx
mx
yLim
0=dy/dx
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
72
Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y=x2+5, en el punto P(1,6)
Solución. Hallemos la derivada de y=x2+5
Tenemos dy/dx= dx2/dx+d5/dx
dy/dx= 2xdx/dx
Así: dy/dx= 2x
En el punto P(1,6), se tiene que x=1, y=6, sustituyendo en la derivada:
dy/dx= 2x, x=1
dy/dx= 2(1)
dy/dx= 2
Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=6, dy/dx=2
y-6=2 (x-1)
es decir y=2(x-1)+6
o también 2x-y+4=0
Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y= x3+x
2-x+3, en el punto P(1,4)
Solución. Hallemos la derivada de y= x3+x
2-x+3
Tenemos dy/dx= dx3/dx+dx
2/dx-dx/dx+d3/dx
Así: dy/dx= 3x2+2x-1
En el punto P(1,4), se tiene que x=1, y=4, sustituyendo en la derivada:
dy/dx= 3x2+2x-1, x=1
dy/dx= 3(1)2+2(1)-1
dy/dx= 4
Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=4, dy/dx=4
y-4=4 (x-1)
es decir y=4(x-1)+4
o también 4x-y=0
La ecuación de la recta
tangente en el punto
P(1,6)
y=2(x-1)+6
La ecuación de la recta
tangente en el punto
P(1,6)
y=2(x-1)+6
La ecuación de la recta
tangente en el punto P(1,4)
a la curva es: y=4x
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
73
En winplot se puede observar la recta tangente. Una vez que se tiene la grafica de la ecuación, en este caso
tenemos y=x*x. que es la ecuación de la parábola y=x2 .
Podemos ir al menú y tomar la opción Una y a continuación Traza como se ve en la siguiente figura.
A continuación indicamos en el cuadro que tenemos la opción tangente, la figura se observa indicada, el cuadro gris podemos moverlo y observar la recta tangente.
Utiliza winplot y observa las rectas tangentes de a)y=.5 x
3+x
2-x+4, b)y=xsenx, c) y=lsen xl.
Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada
74
Ejercicios
Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado.
a) y = 2x – x3 ; P(-1,-1) b) y =
x
8 ; P(2,4)
c) y = 3x2 – 12x + 8 ; P(2,-4) d) y = x ; P(2, 2 )
e) y = 3
1
x ; P(4,1) f) y = x
3 – 2x
2 -3 ; P(2,-3)
Capítulo 9. Funciones Implícitas
75
CAPÍTULO 9 Derivada de una función implícita
1. FUNCIONES IMPLÍCITAS Funciones Implícitas Veamos la siguiente pregunta: ¿Una ecuación siempre representa una función?
Observemos que a cada valor x le corresponden dos
Valores de y por lo tanto no es una función.
Sin embargo despejemos "" y tenemos: 24 xy lo que da origen a dos funciones las cuales son:
24 xy y 24 xy tenemos dos funciones una es la parte superior de la circunferencia y la
otra la parte inferior
24 xy 24 xy
También podemos definir otras funciones por ejemplo:
24 x , -2x<0
)(xy
24 x , 0x2 la grafica se muestra a continuación:
Es una función pues para cada valor de x le
corresponde un único valor de "" y .
Es una función pues para cada valor de x le
corresponde un único valor de "" y .
Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de radio 2r y centro el origen. 422 yx .
Capítulo 9. Funciones Implícitas
76
En este caso también tenemos una función. En resumen una ecuación puede representar una función o puede no representar una función o a partir de ella podemos definir una función o mas funciones, de las cuales algunas serán derivables y otras no. Supondremos que siempre existen funciones derivables FUNCIONES EXPLICITAS Cuando se tiene una ecuación en donde esta despejada una de las variables, diremos que tenemos una función en forma explícita. Ejemplo: y=x2+3 , u=t3+ 1/t - 2, v=u5/(u-1) FUNCION IMPLÍCITA: Cuando se tiene una ecuación en donde no esta despejada ninguna de las variables, diremos que tenemos funciones en forma implícita. Ejemplo: x2 +y2 =4 7xy=3y-10 5 x2 +4xy-5 y2 +=4 Son funciones en forma implícita x1/3 –5x y7 =3 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Para derivar funciones implícitas no nos preocuparemos por despejar ninguna de las variables, sino que utilizaremos directamente las formulas de derivación y al final despejaremos la derivada requerida. Nota: En los problemas supondremos que x es la variable independiente, a menos que se diga otra supondremos que siempre existe la función implícita y que es derivable.
Ejemplo: Hallar 1; dx
dx
dx
dy
Si 422 yx
Tenemos:
dx
d
dx
dy
dx
yd
dx
dx
dx
xd 4**
22
0*22 dx
dyyx
x2dx
dy*2y
Despejando:
y
x
y
x
dx
dy
2
2
Ejercicio
1) Hallar dx
dy. Si xy3 =-4 x3y2 -3
2) Hallar dx
dy. Si 5x2 +3y2 =7
Capítulo 9. Funciones Implícitas
77
3) Hallar dx
dy. Si xy3=-4x3y2-3
4) Hallar dx
dy. Si xy5- x2y3=5
5) Hallar la pendiente de la curva .3,2;282 22 Penelpuntoyxyx
Capítulo 9. Funciones Implícitas
78
6) Hallar la pendiente de la curva .1,2;13 323 Pyyx
Recuerda que: dx
dym
7) Hallar la pendiente de la curva a) piriforme )2(32 xxy punto(1,1).
b)astroide .1,33;43/23/2 Pyx c) lemniscata .1,3);(25)(2 22222 Pyxyx lUtiliza winplot
y obtenga las gráficas 8) Utiliza winplot y obtenga las gráficas de las siguientes funciones definidas implícitamente: a)3x2+xy+4y2-x+3=0 b) y=cos(4x-7y) c) sec2x+csc2y=4 d) x2y3=x4-y4 e) x3+y2=9tan(xy)
Capítulo 10. Derivadas de orden superior
79
CAPÍTULO 10 Derivadas de orden superior
Al tener la derivada f´ de una función f, podemos volver a derivar y obtener la segunda derivada f´´ y nuevamente
derivando obtenemos la tercer derivada y si continuamos así hasta la derivada n. es decir: f´, f´´ , f´´´, f1v
,…, fn, y si
fn es la n derivada y es continua, entonces f se dice que es de clase n.
Ejemplo: obtenga la tercer derivada de y=x7+8x +2
Sol.
Obtenemos la primer derivada: y´=7x6+8
Ahora la segunda derivada: y´´=42x5
Finalmente la tercer derivada: y´´´=210x4
Ejercicio: Obtenga la segunda derivada de la función: y=3x5+x+10
Ejercicio: Obtenga la tercer derivada de la función : y=4x8+2x
3-7x+3
Ejemplo: Hallar la tercer derivada de la función :2
1
xy
Sol. Podemos escribir y= x - 2
Derivando tenemos: y´= - 2x-3
=3
2
x ,
derivemos esta función: y´´= (- 2x-3
)´= -2(-3x-4)=6x – 4
= 4
6
x
Obteniendo la tercer derivada: y´´´=(6x- 4
)´= - 24x - 5
= -5
24
x
Ejercicio: de la cuarta derivada: x
y1
Capítulo 10. Derivadas de orden superior
80
Otra forma de representar la segunda derivada es :
Primer derivada de la función f es: dx
df
segunda derivada de la función f es: 2
2
dx
fd
Tercer derivada de la función f es: 3
3
dx
fd
Cuarta derivada de la función f es: 4
4
dx
fd
…………………………………………….
N derivada de la función f es: n
n
dx
fd
Ej. Obtenga la segunda derivada de la función : y=4x6+5x
3-2
Ej. Obtenga la cuarta derivada de la función : y=10x7+3x
2
Ej. Obtenga la segunda derivada de la función: 1
1
x
xy
Ej Obtenga la segunda derivada de la función: 2 xy
Capítulo 11. Razón de Cambio
81
CAPÍTULO 11 RAZÓN DE CAMBIO
RAPIDEZ DE CAMBIO RELACIONANDAS: Para resolver problemas de razón de cambio se puede seguir el
siguiente método:
- Leer con cuidado el problema.
- Trazar un diagrama(de ser posible)
- Asignar variables a todas las cantidades que estén relacionadas.
- Escriba las ecuaciones que relacionen las diferentes cantidades del problema.
- Obtenga la derivada respecto del tiempo.
- Sustituya la información dada en la ecuación resultante y determine la relación desconocida(esto
solo después de haber obtenido la derivada)
Iniciaremos los ejemplos con un problema clásico
Ejemplo LA ESCALERA: Una escalera de 6metros de longitud esta apoyada sobre un piso horizontal y contra una pared, como se muestra en la figura. Si el extremo
inferior resbala sobre el piso a una velocidad de 1.20 m/seg. ¿A qué velocidad
desciende el extremo superior en el instante en que su altura se encuentra a 4m?
Solución: Datos: Longitud de la escalera: L=6m, Velocidad sobre el piso:
dt
dx =1.20m/s, altura y1=4m
Incógnita: Velocidad respecto a la pared: dt
dy
Se nos pregunta de la velocidad sobre la pared cuando la altura es y1=4m, debemos calcular x, utilizando (*):
x2+y2=36, tenemos: x2+42=36, despejando x, sustituyendo: 474163636 2 .yx
Calculemos la velocidad con que el extremo superior desciende
Sustituyendo valores en (**) tenemos: s/m.).(.
dt
dx
y
x
dt
dy341201
4
474
Ejercicio 1) En una mancha de aceite de forma circular, aumenta el radio a razón de 1cm/s ¿Cuál es la rapidez del cambio de área en el momento en que r=5m?
Tenemos un triángulo rectángulo, utilizando el teorema de Pitágoras:x2+y
2=6
2 , es decir :
x2+y
2=36…( *)
Derivando respecto al tiempo t, tenemos: dt
d
dt
dyy
dt
dxx
3622
Despejandodt
dy : dt
dx
y
x
dt
dy …( **)
Capítulo 11. Razón de Cambio
82
2) Una escalera de 4metros de largo esta apoyada contra la pared de un edificio. La base del edificio resbala alejándose de de la pared a razón de 2m/s ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 3m del piso?
3) Se infla un globo esférico a razón de 5 pies3/min. ¿Cuál es la rapidez del cambio del radio cuando el
diámetro mide 18pies?
4) Un avión vuela horizontalmente a 6 millas de altitud en línea recta, como se muestra en la figura. Sea s la distancia (en millas) entre avión y radar. Si s esta decreciendo a razón de 400 millas por hora. Cuando s es 10 millas ¿ cuál es la velocidad x del avión?
Capítulo 11. Razón de Cambio
83
Ejemplo: LA ARENA: Se deposita arena de tal modo que se forma un cono, cuya altura es igual al radio de la base. Si el radio de la base aumenta a razon de 1/6 cm/seg ¿Con que rapidez aumenta el volumen de la pila cuando el radio de la base mide 80cm?
Solución: Datos: altura=radio de la base h=r; seg/cmdt
dr
6
1 , r = 80cm.
Deseamos calcular dV/dt:
Derivando V respecto del tiempo t, tenemos:
dt
drπ
dt
drπ
dt
dV 22 r 3r 3
1 , Así tenemos: dt
drπ
dt
dV 2r ; Sustituyendo: seg/cmdt
dr
6
1 , r = 80cm.
Tenemos: 032335166610666
1.π.)(π
dt
dV 2 (80) cm
3/seg.
PROYECTOS 1. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 4 pulg
3/min ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la
rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 20 pulg? 2. Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el
suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?
3. El radio de una esfera es r a los t segundos. Hallar el radio cuando el ritmo de crecimiento del área y
del radio sean numéricamente iguales. Sol. r=1/8 pul
Tenemos que la fórmula para calcular el volumen de un cono
es: h r 2πV3
1
Tenemos que h=r, sustituyendo que el volumen es: 3r πV3
1
Capítulo 11. Razón de Cambio
84
4. De un deposito cónico está saliendo agua a razón de 1pulgada cubica por segundo. Si el radio de la base es de 4 pulgadas y la altura de 8 pulgadas, hallar el ritmo al que está bajando el nivel del agua cuando está a 2 pulgadas del borde superior. Sol. dh/dt=-1/9 pul/seg
5. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va
soltando a razón de 1.5m/s . El torno desde el cual se suelta la cuerda esta a 6m de la plataforma de abordaje. ¿Si se han soltado 150m de cuerda , con que rapidez asciende el globo?
6 metros
Capítulo 11. Razón de Cambio
85
6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4mm/s.¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el
diámetro es de 80mm?
7. Si y=x3+2x y dx/dt=5, determine dy/dt cuando x=2
8. Si x2+y2=25 y dy/dt=6, determine dx/dt cuando y=4.
Capítulo 11. Razón de Cambio
86
9. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva 31 xy .Cuando alcanza el punto (2,3), la coordenada
y se incrementa a una rapidez de 4cm/s. Que tan rápido cambia la coordenada x en ese instante?
10. Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pies de altura. Un niño de 5 pies de estatura se aleja del
poste a una velocidad de 4 pies/s. ¿Con que rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando el se
encuentra a 18 pies del poste? ¿Cuál es la tasa de crecimiento dela sombra?
5 pies
16 pies
Capítulo 12. Funciones Crecientes y Decrecientes
87
CAPÍTULO 12 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
FUNCIÓN CRECIENTE Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde una función es creciente estudiaremos su derivada f´. FUNCIÓN DECRECIENTE Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye.
En términos de derivada; Diremos que una función f es decreciente cuando su derivada es negativa , es decir una función es decreciente cuando f´<0.
La función es creciente si para todo x1<x2 se tiene :
f(x1) < f(x2)
Cuando una función es creciente todas las rectas tangentes forman ángulos agudos y sus pendientes m son positivas, es decir
m=f´>0
La función es decreciente si para todo x1<x2 se tiene:
f(x1)>f(x2)
Capítulo 12. Funciones Crecientes y Decrecientes
88
En la siguiente figura se representa todo lo anterior. Ejemplo: Hallar los intervalos en donde la función f(x)=x5 - 5x4 es creciente y en donde es decreciente. Solución: Hallemos f´: f´(x)= 5x4 -20x3 Igualemos a cero la derivada: f´(x)= 5x4 -20x3 =0 Resolvamos esta ecuación: 5x3 (x-4) =0 Así tenemos: 5x3=0, x-4=0, de donde x=0, x=4 Para saber en que intervalos la derivada es positiva o negativa, es decir la función creciente o decreciente tomemos valores de prueba. INTERVALO K f´(K) Signo de f´ Comportamiento de f
(-00 , 0) -1 f´(-1)=25 + CRECIENTE
(0 , 4) 3 f´(3)=-135 - DECRECIENTE
(4,+00) 5 f´(5)=625 + CRECIENTE
Veamos esto en la siguiente gráfica.
Cuando una función es decreciente todas las rectas tangentes forman ángulos obtusos y sus pendientes m son negativas, es decir m=f´<0.
Capítulo 12. Funciones Crecientes y Decrecientes
89
Ejercicio
Hallar los intervalos en donde las siguientes funciones son crecientes y en los que son decrecientes. a) f(x)= x2 –5x+6
b) f(x)= x3+x2 –5x
Capítulo 12. Funciones Crecientes y Decrecientes
90
c) f(x)= x3+x2 –2x+1 Sol. Creciente(-00,-1.2) ,((0.5,+00) Decreciente (-1.2,0.5)
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
91
CAPITULO13 CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA PARA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS Ejemplo: Supongamos que tenemos una tela de alambre de 200m de longitud y queremos enrejar un terreno rectangular y que utilizaremos la pared de la casa. Obtenga la fórmula que determine el área enrejada, grafíquela
e indique que medidas hacen que se tenga el mayor terreno enrejado.
Ejemplo: La suma de dos números es 60, Obtenga estos números si el producto debe ser máximo.
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
92
Ejemplo: Supongamos que tenemos una tela de alambre de 160m de longitud y queremos enrejar un terreno rectangular y que utilizaremos el borde de un río. Obtenga la fórmula que determine el área enrejada, grafíquela e
indique que medidas hacen que se tenga el mayor terreno enrejado.
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
93
MÁXIMOS LOCAL Y MINIMOS LOCAL MÁXIMOS LOCAL: Un máximo local de una función es el valor mayor que puede alcanzar la función en cierta
región, podemos decir que f(c) es un máximo local si existe un intervalo abierto que contiene a c de tal forma que
f(c )>f(x) para todo x en el intervalo.
MINIMOS LOCAL: Un mínimo local de una función es el menor valor que puede tomar una función en cierta región , podemos decir que f(c) es un mínimo local si existe un intervalo abierto de tal forma que f( c)<f(x) para
todo x en el intervalo.
Nuestro objetivo es determinar máximos y mínimos locales y desde ahora los llamaremos simplemente máximos y mínimos.
Observemos la siguiente gráfica.
1.- Si la función es creciente y luego decreciente se alcanza un máximo. 2.- Si la función es decreciente y luego creciente se alcanza un mínimo.
3.- En los puntos máximos y mínimos las rectas tangentes son horizontales.
Definición: Los puntos en donde la derivada es cero o se hace infinita, se llaman puntos críticos, las abscisas
correspondientes se llaman números críticos y la ordenada del punto crítico valor crítico. Con los elementos que estamos desarrollando tenemos el criterio de la primer derivada para hallar valores
máximos y mínimos.
CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA PARA HALLAR LOS VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO 1.-Busquemos los números críticos
2.- Hallar los intervalos en donde la función es creciente y en donde es decreciente Si la función es creciente y luego decreciente, entonces se alcanza un máximo. Si la función es decreciente y luego creciente, entonces se alcanza un mínimo.
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
94
Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x5-5x4. Solución: Hallemos los números críticos. Para esto resolvamos la ecuación f´(x)=0
f´(x)= 5x4-20x3 =0
podemos factorizar: x3 (5x-20)=0 , así tenemos las soluciones: x3 =0, 5x-20=0 Los números críticos son: x=0, x=20/5=4
La figura muestra los intervalos a estudiar:
Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente:
Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M
(-00, 0) -1 25 20(-1)-5(-1) 34 dx
df + creciente
(0, 4) 2 -80 20(2)-5(2) 34 dx
df - decreciente
(4, 00) 5 256 20(5)-5(5) 34 dx
df + creciente
Así en x=0 se tiene un valor máximo, este es: f(0)=(0)5-5(0)4=0 Así en x=4 se tiene un valor mínimo, este es: f(4)=(4)
5-5(4)
4=-256
Representemos esta información es la gráfica:
Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x4/4 - 9x2/2
Solución: Hallemos los números críticos. Para esto resolvamos la ecuación f´(x)=0
f´(x)= 4x3/4-9(2x )/2 f´(x)= x3-9x =0
Podemos factorizar: x (x2-9)=x(x-3)(x+3), así tenemos las soluciones: x =0, x=3,x=-3
Los números críticos son: x=0, x=3,x=-3
La figura muestra los intervalos a estudiar: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - oo +oo
Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente: Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M
(-00 , -3) -4 28)4( dx
df - decreciente
(-3 , 0 ) -1 8)1( dx
df + creciente
(0, 3 ) 1 8)2( dx
df - decreciente
(3, 00) 4 28)4( dx
df + creciente
Así en x=-3 se tiene un valor mínimo, este es: f(-3)=-20.2 Así en x=0 se tiene un valor máximo, este es: f(0)=0 Así en x=3 se tiene un valor mínimo, este es: f(3)=-20.2
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
95
Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x2/3(8-x) Solución: Hallemos los números críticos.
Hallemos f´(x): f´(x)= x2/3(8-x )´+(8-x)(x2/3)´
= x2/3(-1)+(8-x)(2x - 1/3/3)
= 1/3
2/3
3x
2x-16x- =
1/3
3/3
3x
2x-16+3x- =
1/33x
5x-16
Entonces x=0 es un número critico.
Tomando f´(x)=0, tenemos que 16-5X=0, entonces x=16/5 es otro número crítico. Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente:
Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M
(-00 , 0) -1 7)1( dx
df - decreciente
(0 , 16/5 ) 1 6.3)1( dx
df + creciente
(16/5, 00 ) 4 6.2)4( dx
df - decreciente
Ejercicio
Utilizando el criterio de la primera derivada 1.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y=-2x2 +4x+5
2.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y= 2x3+3 x2 -12x
Así en x=0 se tiene un valor mínimo,
este es: f(0)=0 Así en x=16/5 se tiene un valor máximo, este es: f(16/54)=10.42 Representemos esta información en la gráfica
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
96
3.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y= x4 - 7x2
4.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función xy 34
x 3
5.-Hallar los valores máximos y mínimos de la función 86 x2
1 x
3
1 23 xy
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
97
6.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)= x2+8x+10
7.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y=(x-1) 3 2x
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
98
APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MINIMOS
Ejemplo1 LOS NÚMEROS: Un número, excede a su cuadrado en una cantidad máxima. Obtenga dicho
número.
Solución: Tomemos x el número que buscamos. Entonces x2 es su cuadrado
Así debemos analizar: M=x-x2
Apliquemos el criterio de la primera derivada: xdx
dM21
Busquemos los valores críticos, igualando a cero tenemos: 1-2x=0, así el valor crítico es x=½
Veamos que en este valor x=½, M tiene un máximo.
Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M
(-00 , ½) 0 1021 )(dx
dM + creciente
(½, 00 ) 1 1121 )(dx
dM - decreciente
Así en x=½ se tiene un valor máximo, tenemos x2= ¼ y así: M=x-x2 = ½- ¼=¼
Ejercicio
1.-Hallar dos números x, y cuya suma sea 80 y cuyo producto sea el máximo posible.
2.- Hallar dos números x, y cuya suma sea 30 y además el producto xy2 sea máximo.
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
99
APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MINIIMOS
Ejemplo 2. De una pieza de cartón se va a formar una caja sin tapa, cortando un cuadrado en cada una de las
esquinas y doblando los bordes. Si el cartón mide 40 cm, por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo. ¿Qué valor tiene dicho volumen?
x x
x x
x x
Así: )12(2
)12)(1600(4)320()320( 2 x
24
160320
24
25600320
así tenemos los números críticos: : 2024
1603201
x , 66.6
3
20
24
1603202
x
Formemos los intervalos de prueba para buscar el máximo y el mínimo
Analicemos estos intervalos:
INTERVALOS VALOR k V´(k) SIGNO DE V´ COMPORTAMIENTO DE V
(-, 6.66) 0 V´(0)=1600 + Creciente
(6.66,20) 7 V´(7)=-52 - Decreciente
(20, +) 21 V´(21)=172 + Creciente
Por lo tanto en x=6.66 tenemos un máximo. Las dimensiones de la caja son: Largo = 40-2x=40-2(6.66)=26.66cm
Ancho = 40-2x=40-2(6.66)=26.66cm
Altura = x = 6.66cm Volumen = 3013.69cm3
¿Qué sucede si se recortan cuadritos de 20cm en cada esquina?
Calculemos el volumen: V=largo*ancho*altura V= (40-2x)(40-2x)x V= (40-2x)2x Desarrollando: V= (1600-160x+4x2)x Así tenemos: V=1600x-160x2+4x3
Para obtener las dimensiones de la caja de
máximo volumen, apliquemos el criterio de la primer derivada:
V´ =1600-320x+12x2 Tomemos V´=0
V´ =1600-320x+12x2 =0
Resolvamos esta ecuación utilizando la formula
a
acbbx
2
42
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
100
Ejemplo 3. Un rectángulo tiene 120 m. De perímetro. ¿Qué largo y qué ancho dan el área máxima? Solución: Representemos la situación con un dibujo
y
x
Sustituyamos y=60-x en la ecuación ( A), tenemos: A=xy=x( 60- x)=60x- x2 , Es decir A=60x- x2
Para obtener las dimensiones del rectángulo de máxima área , apliquemos el criterio de la primer derivada: A´ =60 -2x
A´ =60 -2x=0, despejando a x: 302
60x ,así el único número critico es x=30
Formemos los intervalos de prueba para buscar el máximo o el mínimo
Comprobemos que en x=30 hay un máximo
Por lo tanto en x=30 hay un máximo. Calculemos y, utilicemos la ecuación (C) :y=60-x=60-30=30. Con estas condiciones tenemos que el área del rectángulo será máxima cuando los lados sean iguales, o sea que es un
cuadrado. En este caso el Área será: A= (30)(30)=900m2.
Ejemplo 4. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje x. Los otros dos están sobre las rectas cuyas
ecuaciones son y=2x, 3x+y=30. ¿Para que valores de “ y ” será máxima el área del rectángulo? Solución: La gráfica muestra la situación.
en y=6 hay un máximo pues:
Calculemos el área sustituyamos y=6 en: 2
6
510 yyA .
Tenemos: A 303060)6(6
5)6(10 2 , Así A=30u
2
INTERVALOS VALOR k V´(k) SIGNO DE V´ COMPORTAMIENTO DE V
(-, 30) 0 A´(0)=60 + Creciente
(30, +) 31 A´(31)=-2 - Decreciente
INTERVALOS VALOR
K
A´(k) SIGNO DE
A´
COMPORTAMIENTO
DE A
(-, 6) 0 A´(0)=10 + Creciente
(6, +) 7 A´(71)=-5/6 - Decreciente
El Área del rectángulo es A=xy... (A) Es una función de dos variables Calculemos el perímetro: 120=2x+2y ...(B) Despejemos y: y= 120 –2x 2 o sea: y = 60 - x ...( C )
El Área del rectángulo es A=(x2-x1)y... (A) Utilizando y=2x , tenemos x1=y/2 ...(B ) Utilizando y=30-3x, tenemos: y1=(30-y)/3 ...(C ) Sustituyendo (B ) y (C ) en (A ), tenemos:
yyyyy
yyy
A
6
510
233
30
23
30
Es decir:
2
6
510 yyA
Para obtener las dimensiones del rectángulo de área máxima,
apliquemos el criterio de la primer
derivada:
A´ =10- )2(6
5y =10- y
3
5
Tomemos A´=0
V´ =10- y3
5 =0
Resolvamos esta ecuación:
y= 65
)10(3
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
101
Ejemplo 5 EL POSTER. Una pagina impresa va a tener dos márgenes de 2 pulgadas en los lados y de 1 pulgada en la parte superior e inferior. El área impresa es de 32 pulgadas cuadradas. Determine las dimensiones
de la página de manera que utilice la menor cantidad de papel.
Solución:
Consideremos sólo h=8, pues 0 y –8 no tienen sentido. Apliquemos el criterio de la primera derivada:
Entonces en h=8 hay un mínimo para At, calculemos L: 48
3232
LL .
Así las dimensiones del la página son: Largo=L+2= 4+2=6, ancho=h+4=8+4=12
Intervalo Número de prueba k
A´t Signo de A´t At
(0,8) 1 126
)1(
)1(21282
2
- Decreciente
(8, + ) 9
81
34
)9(
)9(21282
2
+ Creciente
Consideremos el Área de impresión: Tomemos: Área impresa A=L*h=32.... ( 1 )
Donde: L=largo ,h=ancho
De (1) despejamos L: h
L32
Por otro lado la pagina tiene una área total: At= (L+2)(h+4)...(2)
Sustituimos L en (2 ), tenemos: )4)(232
()4)(2( hh
hLAt
Así: 82128
32 hh
At
Busquemos los números críticos:
Hallemos la derivada: 2128
´2
htA
Haciendo operaciones: 2
22128´
h
htA
Así los números críticos son: h=0 y también cuando A´t=0, es decir:
02128
´2
2
h
htA , Resolviendo tenemos -128+2h
2=0
Despejando h: 8642
128h
Por lo que los números críticos son: 0,-8,8
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
102
PROYECTO 1.-De una pieza de cartón se va a formar una caja sin tapa, cortando un cuadrado en cada una de las esquinas y doblando los bordes. Si el cartón mide 30 cm, por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo. ¿Qué valor tiene dicho volumen?
2.Se desea construir una caja cerrada a partir de una pieza de cartón de 5cm por 8cm., la caja se formara cortando cuadrados del mismo tamaño y luego se doblan los bordes, como se muestra en la figura. Determinar las dimensiones de la caja que tendrá el máximo volumen.
resp 1cm,3cm,3cm.
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
103
r
3.- Una lata de estaño con volumen de 16 pulgadas3 , va a tener la forma de un cilindro circular recto,
determinar la altura y el radio de dicha lata si se va a utilizar la mínima cantidad de material en su manufactura.
4.-Se van a utilizar 100 metros de tela de alambre para construir 6 jaulas de un zoológico como se muestra en la figura. Calcular las dimensiones para que el área que abarcan las jaulas sea máxima.
h
Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos
104
5.- Un granjero tiene 150m. de material para cercar un campo con forma rectangular y quiere usar un granero como parte de uno de los lados del terreno. Si el granero mide 10m de largo. Determine las medidas x, y que den el área máxima. Sol. x=35m.
6.-Encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma que su área sea máxima.
Capítulo 14. Concavidad
105
CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD
Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable:
¿Cómo la graficaríamos?
Podríamos tener dos soluciones, como se muestra en la figura: ¿Cuál de las dos opciones es la correcta? Para contestar esto veamos lo que entenderemos por concavidad. Una gráfica como esta es cóncava hacia arriba Una grafica como esta es cóncava hacia abajo Tracemos las rectas tangentes a estas curvas.¿Qué relación hay entre las graficas y las rectas tangentes?
Intervalo Signo de f´ F
(-00,3) + Creciente
(3,8) - Decreciente
(8, + ) + Creciente
Capítulo 14. Concavidad
106
Veamos las siguientes definiciones CONCAVIDAD HACIA ARRIBA: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia arriba alrededor de un punto, si la gráfica queda por arriba de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa. Veamos la siguiente gráfica, en donde se analizan estos conceptos.
¿Cómo podemos utilizar la derivada para saber si una curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? Veamos: ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas tangentes, en una curva cóncava hacia arriba?
¿Cómo están relacionadas la pendiente y la función? Respuesta: Por la derivada m=f´ ¿Cómo sabemos cuando una función es creciente? Respuesta: La función es creciente cuando la derivada es positiva
Respuesta: las pendientes van
creciendo, son crecientes
Capítulo 14. Concavidad
107
¿En este caso como lo aplicamos? Respuesta: Como queremos saber en donde la pendiente es creciente tenemos que derivar m; pero m=f´, o sea que debemos ver en donde la la segunda es positiva f´´>0. Ejercicio ¿Cómo podemos utilizar la derivada para saber si una curva es cóncava hacia abajo? ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas tangentes, en una curva cóncava hacia abajo? ¿Cómo están relacionadas la pendiente y la función? Respuesta: ¿Cómo sabemos cuando una función es creciente? Respuesta: ¿En este caso como lo aplicamos? Respuesta: PRUEBA DE CONCAVIDAD CONCAVA HACIA ARRIBA: Una función es cóncava hacia arriba en un punto (c, f( c)) si la segunda derivada es positiva en c; es decir f´´( c)>0.
Capítulo 14. Concavidad
108
CONCAVA HACIA ABAJO: Una función es cóncava hacia abajo en un punto (c, f( c)) si la segunda derivada es negativa c; es decir f´´( c)<0.
PUNTO DE INFLEXION: Diremos que un punto de inflexión, es en el cual hay un cambio de concavidad. Para buscar un punto de inflexión de la función f(x), determinar los puntos en donde la segunda derivada es igual a cero, es decir en donde f´´(c)=0. Pero no siempre que la segunda derivada es igual a cero existe un punto de inflexión, para verificarlo se debe ver si existe un cambio de signo en la segunda derivada.
EJEMPLO: Hallar los intervalos en donde la función y=-x4+2x2 +12 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava hacia abajo. Solución: hallemos la segunda derivada La primer derivada es: y´=-4x3+4x Tenemos que la segunda derivada es: y´´=-12x2 +4 Igualando a cero la segunda derivada: y´´=-12x2 +4=0, así: x2=-4/-12
De esto tenemos:3
1
12
4x
Formemos la siguiente tabla: Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M
(-00 , -3
1) -1 y´´(-1)=-8 - cóncava hacia abajo
(-3
1 ,
3
1 ) 0 y´´(0)=4 + cóncava hacia arriba
Capítulo 14. Concavidad
109
(3
1, 00 ) 1 y´´(1)=-8 - cóncava hacia abajo
Así en x=-3
1, y en x=
3
1 hay puntos de inflexión.
Ejercicio 1) Hallar los intervalos en donde la función y=x4-8x2 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava
hacia abajo. 2) Hallar los intervalos en donde la función y=6x5-5x3 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava
hacia abajo.
Capítulo 14. Concavidad
110
3) Hallar los intervalos en donde la función y=x4-6x+2 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava
hacia abajo.
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
111
CAPÍTULO 15 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sea c un número crítico de una función f en el cual f´(c)=0 y f´ existe para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c.
Entonces: si f´´(c) existe y se tiene que:
Ejemplo 1. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: y=2x3-9x2 +11
Solución: *Obtengamos y´: y´=6x2 -18x
Busquemos los números críticos, para esto tomemos: y´=0
así: y´= 6x2 -18x =0, factorizando : 6x(x-3 )=0
por lo que los números críticos son: x=0, x=3
**Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:
y´´=12x-18
Sustituyendo x=0: y´´(0)= 12(0)-18 =-18 es negativa , así hay un máximo en x=0
Sustituyendo x=3: y´´(3)= 12(3)-18 =18 es positiva, así hay un mínimo en x=3 Ejercicio
1. Calcular los máximos y mínimos de la función, empleando el criterio de la segunda derivada
y=x3+3 x2 -14
1) f´´(c) >o, la función f tiene un mínimo en c.
2) f´´(c) <o, la función f tiene un máximo en c.
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
112
Ejemplo 2. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: f(x)=10+2x2-x4
Solución: (*) Obtengamos f´: f´(x)=4x-4x3
Busquemos los números críticos, para esto tomemos: f´(x)=0
así: f´(x)= 4x-4x3 =0, factorizando : 4x(1-x2 )=0 ,aplicamos a2 -b2 =(a-b)(a+b)
tenemos: 4x(1-x ) (1+x )=0, por lo que los números críticos son: x=0, x=1, x=-1
(**) Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:
f´´(x)=4-12x2
Sustituyendo x=0: f´´(0)=4-12(0)2 =4 es positiva , así hay un mínimo en x=0
Sustituyendo x=1: f´´(1)=4-12(1)2 =-8 es negativa , así hay un máximo en x=1
Sustituyendo x=-1: f´´(-1)=4-12(-1)2 =-8 es negativa, así hay un máximo en x=-1
Ejemplo 3. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: 2 xx)x(h
Solución: (*) Obtengamos h´: h´(x)=x´ 3x +x 3x ´= ))x((xx 2
1
32
13
Así: 32
63
32
32
323
x
x
x
x)x(
x
xx)x´(h
Busquemos los números críticos, para esto tomemos: h´(x)=0, también veamos donde h´ no esta definida:
Tomemos: 3x+6=0, así: x=-6/3 x=-2 y también x+3=0, x=-3
(**) Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:
)x(
x
)x()x(
)x(
)x
)(x())(x(
)x(
)´x)(x()´x)(x)x´´(h
34
3
6336
34
32
1263332
32
326363322
2334
33
1
343
6336
/)x(
x
)x(x
)x()x(
)x´´(h
, así:
2334
123/)x(
x)x´´(h
Sustituyendo x=-2: 4
6
14
6
324
12232
323
)()(
)()´´(h
/ es positiva, así hay un mínimo en x=-2
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
113
Ejercicio 1) Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: f(x)=2x3-9x2-20
2) Investigar los máximos y mínimos de la función: f(x)=x3-6x2+9x-6
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
114
Ejemplo. El RÍO: Un río tiene un codo de 45º, como se muestra en la figura, un granjero desea construir un corral bordeado por los dos lados del río y por los otros dos lados utiliza una milla de tela de alambre ABC. Hallar las dimensiones del corral de área máxima.
Solución:
Apliquemos el criterio de la segunda derivada: xdx
dA31 , igualando a cero: 031 x
dx
dA
De donde tenemos el número crítico: 3
1x , veamos que en este valor hay un máximo: 3
2
dx
Ad
Así en 3
1x hay un máximo, tenemos x=1/3milla,L=1/3milla, y=1/3milla.
Tenemos: A=AR+AT …(A )
Donde: AR=Área del rectángulo = yx
AT=Área del triángulo 2
altura*base = Lx/2
Sustituyendo en (A): A= yx+2
Lx
Por oto lado: L+y+x=1milla, Sustituimos (*) x=L
Tenemos: x+y+x=1
Así: y=1-2x …(**)
Sustituyendo en el área:
A= yx+2
2x =(1-2x) x+2
2x = x2
3 2x
Así: 2
3 2xxA
De la figura tenemos:
Tan 45º x
L
adyacente cateto
stopueo cateto
Tenemos: 1x
L
Así x=L …(*)
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
115
PROYECTO
1) Una canaleta de sección transversal rectangular se fabrica doblando porciones iguales en cada orilla de una pieza de hojalata de 30cm. De ancho.¿Cuáles son las dimensiones de la sección transversal que hacen que el volumen sea máximo?
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
116
2) Una ventana tiene forma rectangular coronada por un semicírculo. Halle las dimensiones de la ventana que permita admitir el máximo de luz. Suponiendo que el perímetro debe ser de 5m.
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
117
3) Una caja con tapa debe hacerse de una hoja de cartón que mide 50cm por 80 cm. Esta se hace cortando las regiones sombreadas según la figura y después se doblan las líneas punteadas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen? Ventana tiene forma rectangular coronada por un semicírculo. Halle las dimensiones
Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos
118
4)Un recipiente metálico con extremos semicirculares debe tener una capacidad de 128 pies
cúbicos. Determinar su radio r y su longitud h si se quiere que el recipiente tenga la menor
cantidad de material en su construcción.
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
119
CAPÍTULO 16 DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
La Trigonometría es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo y aplica dichas
relaciones a obtener los elementos desconocidos de dicho triángulo.
En la antigüedad antes del año 100 a. C. los griegos inventaron la trigonometría para resolver problemas de astronomía,
navegación y geografía. La palabra Trigonometría viene del griego y significa ”medida de triángulo”.
Funciones Trigonométricas
Las diferentes razones entre los lados de un triangulo rectángulo constituyen las funciones trigonométricas y se definen como
sigue:
o M
P
q
OP
MP seno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto opuesto sobre hipotenusa senq =
hip
co
OP
OM coseno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto adyacente sobre hipotenusa cosq =
hip
ca
OM
MP tangente del ángulo POM, puede escribirse como tangente del ángulo q igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente tanq =ca
co
MP
OM cotangente del ángulo POM, puede escribirse como cotangente del ángulo q igual a cateto adyacente sobre cateto opuesto cotq =co
ca
OM
OP secante del ángulo POM, puede escribirse como secante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto adyacente secq =ca
hip
MP
OP cosecante del ángulo POM, puede escribirse como cosecante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto opuesto cosecq =co
hip
Ahora veamos algunas aplicaciones. Una torre de 135 pies de altura esta situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la
torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 36.30 ¿Cuál es la anchura del lago?
36.6
Apliquemos la tangente : tan36.30=
ca
co =x
135 , despejando x, tenemos
x=6.36tan
135 =178.7pies
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
120
Ejercicio: ¿A que distancia de la costa se encuentra el bote?
5
100
m
500 m
Ejercicio: Desde un globo estacionario de aire caliente, situado a 500 pies sobre el suelo, se tienen dos observaciones de un
lago. ¿Cuál es la longitud del lago? Resp839.1pies
500pies
6525o o
Ejercicio: Utilice la información de la figura para la altura de la montaña.
1 Km
y
25 42
x
oo
Ejercicio: Utilice la información de la figura y calcule la extensión x de la isla.
Altura2850 m
43o
52o
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
121
RADIANES. El radian es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud.
Radio
Ángulo A= un RadianA
Tenemos la siguiente fórmula que relaciona los radianes y los grados
360
gradosen A
2
radianesen A ÁnguloÁngulo
Por ejemplo transformar 30o a radianes
Tenemos 30o =6612
2)
360
2(30
radianesradianesradianeso
o
Transforma: 12 o, 18 o, 120 o, 90 o, 330 o, 710 o a radianes
De ahora en adelante trabajaremos con radianes.
Derivadas de las funciones trigonométricas
La derivada de la función y=senx
Primer paso: valor final
)()( xxsenxxfy f
Segundo paso: incremento de la función )()()()( xsenxxsenxfxxfyyy if
Apliquemos la identidad trigonométrica 22
cos2BA
senBA
senBsenA
Tenemos22
cos2)(xxx
senxxx
senxxxsen
Es decir 22
cos222
2cos2)(
xsen
xx
xsen
xxsenxxxsen
Tercer paso: cociente:x
y
, tenemos :
x
xsen
xx
x
xsen
xx
x
y
2
2cos2
22cos2
Cuarto paso: Aplicar el límitex
xsen
Limx
xLimx
yLim
xxx
2
2cos2
000
Como y=cosx es una función continua tenemos xx
xLimx
xLimxx
cos2
cos2
cos00
Para hallar x
xsen
Limx
20
hacemos la sustitución zx
2, entonces zx 2 , y tenemos, 0z si 0x
2
11
2
1
2
1
2
2000
z
senzLim
z
senzLim
x
xsen
Limzzx
Así tenemos la derivada: xxx
yLim
dx
dsenx
xcos
2
1cos2
0
En general tenemos:
dx
duu
dx
dsenucos
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
122
La derivada de la función y=cosx
Para esto podemos tomar cosx=sen(2
-x)
Así senxxdx
xdx
dx
xdsen
dx
xd
)1)(2/cos(
)2/()2/cos(
)2/(cos
Pues tenemos:
1)2/(
dx
xd , senxx )2/cos(
Así: senxdx
xd
cos
En general tenemos:
dx
dusenu
dx
ud
cos
Ejercicio: calcula la derivada de x
senxy
cos , utiliza la derivada del cociente
DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
Continuando con la reglas para derivar funciones trigonométricas directas, en la siguiente tabla se muestran.
Ejemplos de derivadas trigonométricas :
1) Obtenga la derivada de la función: xseny 67
1.
dx
duu
dx
senud*cos
2.
dx
dusenu
dx
ud
cos
3.
dx
duu
dx
ud 2sectan
4.
dx
duu
dx
ud*csc
cot 2
5.
dx
duuu
dx
ud*tan*sec
sec
6.
dx
duuu
dx
ud*cot*csc
csc
dx
dcos
dx
dsen
dx
fd
dx
fd
u u
u
c
c
:fórmulas las Aplicamos
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
123
Solución: xcos)(xcosdx
xdxcos
dx
xdsen
dx
dy642667
667
67
2) Obtenga la derivada de la función: xcosxseny 3528
Solución:
xsenxcosdx
dy
))(xsen()(xcosdx
dy
dx
xd)xsen(
dx
xdxcos
dx
dy
dx
xcosd
dx
xdsen
dx
dy
315214
335227
335
227
35
28
3) Hallar la derivada de la función: 710 4 xcosy
Solución:
43
344
4
44
4
1040
40101010
010
10
710
xsenxdx
dy
xxsendx
xdxsen
dx
dy
dx
xdxsen
dx
dy
dx
d
dx
xcosd
dx
dy
4) Hallar la derivada de la función: )xx(seny 583 2
Solución:
)xxcos(xdx
dy
x)xxcos(dx
dy
dx
)xx(d)xxcos(
dx
)xx(send
dx
dy
58946
825893
58583
583
2
2
22
2
Ejercicio
Obtenga la derivada de la función:
a) xseny 311 b) y=9sen(4x-1)
c) y=sen x2 d) y=10sen6x3
dx
dsen
dx
cosd
dx
dcos
dx
dsen
dx
fd
dx
fd
dx
gd
dx
fd
dx
)gf(d
u u
u
u u
u
c
c
:fórmulas las Aplicamos
dx
d
dx
d
dx
d
dx
dsen
dx
d
dx
gd
dx
fd
dx
gfd
vnv
v
0C
u u
u cos
) (
:fórmulas las Aplicamos
1nn
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
124
e) y=23cos16x f) y=9cos(4x-1)
g) y=sen18x + 4sen17x + 9cos12x h) )2
(3x
seny
i) )5
2cos(5)
4
7(8
xxseny j) )xcos()x(seny 41617
k) 97258315 4 xsen)xcos(xcosy l) y=3sec2x + 5sec7x -11sec2x
m) y= 9 sec(8x-1) –tan(3x+1)- tan(x-4) n) y=tan8x4
ñ) w=3tan4z6+ 6tan3z2 +4 tan7x5 o) y= cot3x-cot7x-9cotx
p)v=csc(4x-8) q) v=csc(1-z)+7csc(1-5z)
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
125
r) y=xsen2x s) y=3x cos11x
t) y= 5x3sen7x u) s=2x tan(3-4x)
v) x
senxy w)
x
senxy
cos
a) y= xsen(3x) - 3x +5 b) y= 4xcos(8w -1) c) y= xtan(3x) d) y= 9x
2tan(2x)
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
126
Otros ejemplos de derivadas trigonométricas:
1) Obtenga la derivada de la función: xseny 72
Solución:
xcosxsen)(xcos)xsen(dx
dy
dx
xdxcos)xsen(
dx
xdsen)xsen(
dx
dy
77147772
7772
772
1
112
2) Obtenga la derivada de la función: xtany 84
Solución:
xsecxTandx
dy
dx
xdxsec)xTan(
dx
xdTan)xTan(
dx
dy
8832
8884
884
23
2314
3) Obtenga la derivada de la función: 1253 xsecy
Solución:
12532
5515
551512532
112531253
2
12
11
2
1
xsec
xtanxsec
dx
dy
xtanxsec)xsec(dx
)xsec(d)xsec(
dx
dy
Ejercicio
Obtenga las siguientes derivadas: a) y=(3cosx - 5)
2
b) T(x) =12(4-sen7x)
2 + 5 c) y=5tan
49x
d) y=8sec3(2x-9) e) y=(1+cos2x)5
dx
d
dx
dsen
dx
d
dx
d n
u u cos
u
vn v
v
:fórmulas las Aplicamos
1n
dx
d
dx
dTan
dx
dv
dx
d n
u u sec
u
vn
v
:fórmulas las Aplicamos
2
1n
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
127
f) 23 xseny g) uTanuseny 1217 34
Ejemplo: veamos un ejemplo en donde se utilice la fórmula del cociente.
Derivar: 2cos
1
x
senxy
Tenemos en su forma más simple, la fórmula de la derivada de un cociente es: 2
´´)´(
v
vuuv
v
u
2
22
2
22
2
22
2
2
)2(cos
cos21'
:,1cos ,)2(cos
cos2)cos(
)2(cos
cos2cos
)2(cos
))(cos2(cos))(1(
)2(cos
)´1)(2(cos)´2)(cos1()´
2cos
1(
x
xsenxy
tenemosxxsencomox
xsenxxxsen
x
xxsenxxsen
x
xxsenxsenx
x
senxxxsenx
x
senx
Ejercicio Obtenga las siguientes derivadas:
a)xsen
xy
5
5cos b)
x
senxy
cos
1
c) x
xy
tan
4sec2 d) xy 2tan2
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
128
Ejercicio
1.- El pistón. Un brazo de 10cm que conecta un pistón con una biela de 4cm de radio, la cual gira en sentido
contrario a las manecillas del reloj a un ritmo de 200 revoluciones por minuto. Hallar la velocidad del pistón
cuando q 450 , q 600 , q 700, q 00
q
Aplica la ley de cosenos para el triangulo
q
104
2.-La patrulla. Un coche de patrulla esta estacionada a 15m de un muro y su reflector gira a 30 revoluciones por minuto. ¿A qué velocidad en m/s se desplaza la luz sobre el muro cuando el rayo forma los siguientes
ángulos? q 300 , q 450 , q 600 , q 700
q
15
x
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
129
Máximos y Mínimos
1. La altura de un proyectil lanzado con una velocidad inicial constante v0 y de un ángulo de elevación q0 está
dada por y =(tan q0) x - (g / 2v20 cos2 q0)x
2 , en donde x es su desplazamiento. Demuestre que la altura
máxima alcanzada por el proyectil es : h= (v20/2g)sen2
q0.
2. La temperatura media diaria (en grados Fahrenheit) de una ciudad viene dada por
365
)32(2cos2345
tT
Donde t se mide en días, con t=1 siendo el 1 de enero. Hallar la fecha esperada del
día a)más caluroso, b)más frío
3. La iluminación E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular, proporcionada por una lámpara colocada directamente arriba de su centro está dada por
E= (I cos q ) /r2 .Dado que el radio de la mesa sea 1m e Y=100 , encuentre la altura a la que debe
colocarse la luz para que E sea máxima.
Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas
130
4. La base de un cuadro sobre la pared esta a pies por encima del ojo de un observador. El lado vertical del cuadro mide b pies. A qué distancia de la pared ha de colocarse el observador para maximizar el ángulo
visual que ese cuadro subtiende.
5. Se desea fabricar un recipiente de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las
dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de q de manera que el volumen sea máximo.
q10 pulg
10 pulg
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
131
CAPITULO 17 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Ejercicio. Dibuja la gráfica de la función y=2x , para esto llena la siguiente tabla:
x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
y
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. El secreto: Supongamos que una persona conoce un secreto y por alguna razón se lo platica a tres
amigos y les pide que no se lo cuenten a nadie, pero estos por una extraña razón cada uno se lo platica a otros tres amigos y a continuación cada uno de estos otros se lo platica a otros tres amigos y así continúan hasta 10
veces. Al final de estos ciclos de diez. ¿Cuántos amigos conocen el secreto? Supongamos que en cada ciclo se tardan 5 minutos. ¿Cuánto tiempo se tardan en total para que todos conozcan el secreto? Obtenga una fórmula
para calcular el número de personas en cada fase.
Dibuja la gráfica de la función y=3x, podemos llenar la siguiente tabla:
Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Dibuja la gráfica de la función y=log3 x. para esto notemos que es equivalente a graficar x=3y, podemos llenar la siguiente tabla:
Y 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
X
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
132
EL NÚMERO e
El número e es importante y aparece en biología, química, física, matemáticas puras, etc. APARECE EN:
LAS LEYES DE CRECIMIENTO -Biología: Cuando se reproduce una bacteria y aumenta la población. Para la mosca de la fruta con población
inicial de 33 y después de 4 días hay 300. Y=33e0.5493t.
-Economía: Cuando se invierte cierto capital y se cobre determinado interés, éste junto con el capital se vuelve a invertir y así se continua, (interés compuesto). Producción de madera que en cierta región está dada por
v=100000te 8.0, con t=0 a t=1998
- Medicina: En la estatura de una persona, por ejemplo el modelo de Jenss (1937) que predice la altura en
términos del tiempo h= 79.04+ 6.39 t – e3.26-0.99t (3 a 6 años) LAS LEYES DE DECRECIMIENTO
-Química: Cuando se desintegra un elemento radiactivo, la cantidad de 10 gramos del isotopo del plutonio Pu239 y cantidad final 1 gramo y=10e-0.000028454t.
- Medicina: Cuando se administra un medicamento a una persona, su organismo lo asimila a determinada
rapidez. Física: Cuando se enfría un cuerpo caliente que se expone a la temperatura ambiente (Ley de enfriamiento de
Newton) con temperatura del medio de 600 y el cuerpo cambia de 1000 a 900 en 10 minutos: y=60+40e0.02877t.
Analicemos la función y= (1+x)1/x , cuando x tiende a cero, es decir tome valores muy cercanos a cero.
1)
n
n
11Lím
n
N 10 100 1000 50000 100000 n
n
11
Tenemos la función exponencial y=ex y su función inversa logaritmo natural y=Lnx
La Función Exponencial y=ex y la Función Logaritmo Natural y=Lnx
Utiliza el programa winplot y obtén estas gráficas.
n
n
11Lím
n
718.2 , este límite se conoce como el
número e y es la base de los logaritmos naturales
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
133
Algunos Límites importantes
Ejercicio: Utiliza la calculadora y calcula los siguientes límites
1)
n
n
21Lím
n
N 10 100 1000 50000 100000 n
n
21
3)
h
h
1-5Lím
h
0
H .1 .01 .001 .0001 0.00001
h
1-5h
5)
h
h
1-3Lím
h
0
h .1 .01 .001 .0001 0.00001
7)
e1Lím0
/1
.1 .01 .001 .0001 0.00001
1
2)
n
n
/4)sen(1Lím
n
N 10 100 1000 50000 100000 n
n
/4)sen(1
4)
h
h
1-2Lím
h
0
H .1 .01 .001 .0001 0.00001
h
1-2h
6)
h
h
1-eLím
h
0
h .1 .01 .001 .0001 0.00001
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
134
Funciones Exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales: ,xby donde la variable ahora está como exponente.
1 bconby x
Función Exponencial Creciente
10 bconby x
Función Exponencial Decreciente
DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL y=Ln u
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Primer paso: valor final, tenemos: )(ln)( uuuufy f
Segundo paso: incremento de la función:
ln(u)-)(ln)()( uuufuufyyy if
)ln(u
uu
Tercer paso: cociente:x
y
u
u
u
u
uu
u
u
u
u
u
u
u
u
uu
uu
u
u
u
uu
u
y
1
)1ln(1
)1ln(11
)1ln(1
)ln(1
)ln(
Cuarto paso: Aplicar el límiteu
yLimu
0
Así tenemos la derivada: uu
Limu
yLim
du
dy
uu
1lne)
1(
00
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
135
De donde tenemos que la derivada de la función logaritmo natural y=Ln u, es: udu
udLn 1
En forma general, tenemos: dx
du
u
1
dx
u dLn
Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(5x+1)
Apliquemos la fórmula: dx
du
u
1
dx
u dLn
dx
xd
xdx
dy )15(
15
1
, tenemos: )5(
15
1
xdx
dy
Así: 15
5
xdx
dy
Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(3x+8)2
Apliquemos la fórmula: dx
du
u
1
dx
u dLn
dx
xd
xdx
dy 2
2
)83(
)83(
1
, tenemos:
dx
xdx
xdx
dy )83()83(2
)83(
1 12
2
Así: )83(
6
)83(
2(3))3)(83(2
)83(
12
xx
xxdx
dy
Ejemplo. Hallar la derivada de )3( 2xLny
Apliquemos la fórmula: dx
du
u
1
dx
u dLn
dx
xd
xdx
dy 2
1
2
2
)3(
3
1
, tenemos:
dx
xdx
xdx
dy )3()3(
2
1
3
1 21
2
1
2
2
Así: 2222 33
)2(3
1
2
1
3
1
x
x
x
xx
xxdx
dy
Ejercicios
Calcula las siguientes derivadas de las siguientes funciones y simplificar a su mínima expresión:
a) )104( xLny b)y=Lnx7
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
136
c)y=Ln5x3 d)y=(9-2x)
e)y=Ln(x2-3) f)y=Ln(x3-x-4)
g) y=Ln(5w-2)7 h)z=Ln54
6
x
x
i) z=Ln17
3
w
w
j)y=Ln
s
s
7
25
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL y=ex
Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:
Primer paso: valor final, tenemos: )()( uu
f euufy
Segundo paso: incremento de la función:
(u))( e-)()( uu
if eufuufyyy
Tercer paso: cociente:
u
ee
u
eee
u
y
u
ee
u
y
uuuuu
uuu
)1(
Cuarto paso: Aplicar el límite
Así tenemos la derivada: uu
u
uuu
uue
u
eLime
u
eeLim
u
yLim
)
)1(()
)1((
000
Pues tenemos
h
h
1-eLím
h
0
1
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
137
En general tenemos que dx
due
dx
de uu
Ejercicio: obtenga la derivada de la función
a) y=2x b) y=3x
Similarmente tenemos la fórmula para y= au
dx
dua
dx
de uu
Lna
En general se muestra a continuación de algunas otras reglas para derivar funciones logarítmicas y
exponenciales.
Algunas reglas (fórmulas o teoremas) para derivar funciones logarítmicas y exponenciales se presentan a continuación
Funciones Logarítmicas Funciones exponenciales
1. dx
du
uu
dx
du
dx
ud*
1ln (base ...718.2e )
2. dx
dve
dx
ed vv
*
3.
dx
dv
v
e
dx
vd*
loglog (Base 10) 4.
dx
dvaa
dx
ad vv
*ln*
5.
dx
duuu
dx
duuv
dx
ud vvv
**ln** 1
Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente.
Función Derivada Ejemplos
vy log
dx
dv
v
ey *
log´ 12log xy
12
log22*
12
log´
x
e
x
ey
vey dx
dvey v *´
22
3 xey 22 22
*62*3´ xx exxey
xey xey ´
xey xey ´
vay dx
dvaay v *ln*´
737 xy
7ln*73´
3*7ln*7´
73
73
x
x
y
y
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
138
Ejercicios
Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.
1. xey 5
2. 127 xey
3. xe
y3
9 4.
23
xey
5. xy 72
6. 13 xy
7. xxey 3 8.
x
xx
e
eey
3
524 9.
965 xy 10. senxy ln
11. 2142 xy
12. xexy 925 13. y=lntan6x 14. senxy ln 15. senx
senxy
3
3ln
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
139
PROYECTOS
1.-El isótopo de carbono 14
C tiene una vida media de 5760 años(Así, si hubiera N átomos de 14
C presentes en un cierto
tiempo, 5760 años después habría ½ N.) Si hay 10 mg de 14
C al tiempo t=0, entonces la cantidad presente f(t) después de t
años está dada por:
5760
2
110)(
t
tf
Determine la cantidad de 14
C presentes después de a)100 años. b)500años. c)1000años. d)10000años e)50000años.
f)Obtenga la gráfica de f(t). g)Obtenga f´(t).
2.-Un cierto tipo de bacteria duplica el tamaño de su población cada hora. El número N de bacteria presentes t horas
después de que se empieza a observar cierta colonia está dada por la fórmula: tN 2100 . Determine el número de
bacterias después de:
a)una hora. b)tres horas y media. C)un día. D)dibuje la grafica de N. e)Obtenga N´(t)
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
140
4.-La ley de enfriamiento de Newton. Un huevo duro a 980C se pone a enfriar en un recipiente con agua a 18
0C. Después
de 5min, la temperatura del huevo es de 380C. Suponiendo que el agua no se ha calentado de manera apreciable. El
enfriamiento del huevo sigue la ley: T=18+80e - 0.28t
. Donde T es la temperatura del huevo, t es el tiempo. Utiliza
Geogebra o Winplot para obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener
una temperatura de 450C , 30
0C, 20
0C, 18
0C.
Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de enfriamiento. Obtén su gráfica en la computadora.
5. La Radioactividad. El radio decrece exponencialmente y tiene una vida media de aproximadamente 1600 años; es decir
dada una cantidad, al cabo de 1600 años se habrá desintegrado la mitad de la cantidad original de la sustancia radioactiva.
Supongamos que tenemos 50mg de radio puro y que la ley de desintegración es: y= 50e –(Ln2/1600) t
. utiliza Winplot para
obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener una cantidad de 44mg,
36mg, 20mg, 12mg, 4mg. Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de desintegración radioactiva. Obtén
su gráfica en la computadora.
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
141
Ejercicios
1.- Utiliza la computadora obtén la gráfica y en base a las fórmulas de derivadas encuentra la derivada de las
siguientes funciones:
a) y= senx ex
b) y=esenx
c) y=x esenx
d) y=ex/x
e) y=5cosx e2x
Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.
142
f) y=x2 ecosx
g)
xx
xx
ee
eey
h) y=5 senx e4cosx
2.Obtenga la gráfica de . También obtén la gráfica de la función inversa en caso de existir.
a)y=log2x
b)y=log2(x-6)
c)
32)1(
1log
xy
Capítulo 18. Derivada de las Funciones Inversas Trigonométricas.
143
CAPITULO 18 FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMETRICAS
FORMULAS BASICAS
a)
21 v
dx
dv
dx
arcsenvd
b)
21
arccos
v
dx
dv
dx
vd
c)
21
arctan
v
dx
dv
dx
vd
d)
21
cot
v
dx
dv
dx
varcd
e)
1
sec2
vv
dx
dv
dx
varcd
f)
1
csc2
vv
dx
dv
dx
varcd
OBTENER LA DERIVADA DE LA FUNCION:
A) Y=arctan(8x) B) Y=arctan(3x-2)
C) Y=5arcsen20x D) Y=arcsen(3+x2)
E) Y=arccos(x3) F) Y=arccot(9x+2)
G) Y=arccot(7-3x)
H) Y=arcsec(22x) I) Y=xarccsc(8x)
J) )3
1arctan(
xy
K) )6
42(
xarcseny
Capítulo 18. Derivada de las Funciones Inversas Trigonométricas.
144
Máximos y mínimos
1.-Un fotógrafo va a tomar una fotografía de una pintura que tiene 4pies de altura y que se encuentra en una galería de arte. El lente de la cámara se encuentra a un pie más abajo que el canto inferior del
cuadro. ¿A qué distancia del cuadro debe encontrarse la cámara para maximizar el ángulo subtendido por el lente de la cámara? Resp.2.23pies ángulo=41.81°
x
Capitulo 19 Diferenciales
145
CAPITULO 19 LA DIFERENCIAL Y EL MÉTODO DE NEWTON
DIFERENCIALES
INCREMENTO DE UNA VARIABLE: El incremento de una variable x se representa por el símbolo x ,
es el cambio que ocurre desde un valor inicial hasta un valor final. Así: x =xfinal -xinicial
INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo: hallar y , si y= 3x2-5
Solución: y =f(x+ x )-f(x)
y =3(x+ x )2-5- ( 3x2-5 )
y =3(x2 +2x x + x 2 )-5-( 3x2-5 )
y =3x2 +6x x +3 x 2 -5- 3x2 + 5
y = 6x x +3 x 2
Ejercicio Resolver lo siguiente.
1) Hallar y , si y=2x2 - 4x+5
2) Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor determine el incremento del área.
3) Si el radio inicial es de 6cm y pasa a 6.04cm. Hallar el incremento del área.
4) Una bola de hielo de 10cm. De radio se reduce a 9.86cm. Hallar el incremento del volumen.
Capitulo 19 Diferenciales
146
DIFERENCIALES. Los diferenciales los tomaremos como aproximación de los incrementos. Para
calcular un diferencial utilizaremos la fórmula: dy= y´dx
Ejemplo: Hallar la diferencial de y=3x2 –5 .Cuando x=1 , dx=0.1
Solución. Tenemos: dy= y´dx
Así: dy= 6x dx
Sustituyendo: dy= 6(1)(0.1)=0.6 Ejemplo.- Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor de manera que su radio pasa de 5 a 5.06
cm. Utiliza diferenciales para hallar el incremento del área.
Solución: Tenemos que A= r2
dA=2 r dr , Aquí se tiene dr=5.06-5=0.06
Sustituyendo : dA=2 (5)(0.06)=1.884cm2
Realicemos directamente el calculo del incremento del área A= (r + r)2- r2
Desarrollando, tenemos: A= (r2 +2r r+ r2 )- r2
A= r2 +2 r r+ r2- r2
A=2 r r+ r2
A=2 (5)(0.06) + (0.06) 2
A=1.896cm2 Ejercicio
1. Utiliza diferenciales para calcular de manera aproximada el incremento de la función: a) y=x 3 , x=7, dx=0.01 b) y=3x2-5,x=1,dx=0.1
c) 24xe , x1=1, x2=1.05 c) y= cos bx , x1=1.3, x2=1.33
2.- El tumor alojado en el cuerpo de una persona es de forma esférica. Utilice la
diferencial para hallar de forma aproximada el incremento del volumen del tumor cuando el radio crece de 1.49cm a 1.52cm.
Capitulo 19 Diferenciales
147
3.-Un pisapapeles es una esfera hueca con un radio de 6cm y un espesor de 0.33cm. Si se
hace de metal que cuesta $2.50 cm3 , utilice la diferencial para calcular el costo aproximado del metal que se usara en la fabricación del pisapapeles.
Ejemplo: Utiliza diferenciales , para hallar el valor aproximado de 6
Solución: Tomemos y dy
Tenemos y y´dx
f (x+ x)-f(x) y´dx
f (x+ x) f(x)+y´dx
tomemos: f(x)= x , también x1=4, x2=6, x=x2-x1=6-4=2, dx x
por otro lado: y´=f´(x)= x2
1
f (x+ x) f(x)+y´dx dxx
xxx2
1
Así: 6 )2(42
14 =2+1/4=2.25
Ejemplo.- Utiliza diferenciales , para hallar el valor aproximado de 3 9
y y´dx
f (x+ x)-f(x) y´dx
f (x+ x) f(x)+y´dx dxx
xxx3 2
33
3
1
Así 08.212/12)1(643
189
3
33
Capitulo 19 Diferenciales
148
Ejercicio
Ejercicio: Utiliza diferenciales para calcular de manera aproximada las siguientes operaciones:
a) 145
b) 10
c) 3 12
Capitulo 19 Diferenciales
149
d) 4 17
Capitulo 19 Diferenciales
150
Ahora para calcular la recta tangente a una curva f(x), debemos obtener la
pendiente de la recta y esto es la derivada de la función en x0, f´(x0).
Por otro lado sabemos que la pendiente de la recta es
12
12
xx
yym
así: )0´(
12
12 xfxx
yym
MÉTODO DE NEWTON
En el álgebra resolvemos ecuaciones de primer grado y de segundo grado, sin embargo puede ser que
nos enfrentemos al problema de resolver una ecuación de grado mayor. Se sabe que para ecuaciones de grado mayor de cuatro no hay formulas que nos permitan resolverlas, también podemos resolver
ecuaciones trigonométricas o logarítmicas; para estos casos podemos intentar resolverlas de forma
aproximada utilizando el método de Newton. Ejemplo1: Resolvamos la ecuación x3 – x-1=0, tomemos la grafica de la función
y= x3 - x -1
Fig1 Fig2
El método de Newton se utiliza para resolver ecuaciones f(x)=0, se aplica en funciones f(x) diferenciables
y consiste en acercarnos al valor c a través de las rectas tangentes a la curva.
Primero tomamos un valor x0 cercano a c, si f´(x0) 0 entonces se construye la recta tangente, como se
indica en la figura 3 y se toma como nueva aproximación a x1, en este valor se construye una nueva recta tangente y ahora se toma como aproximación al valor x2 y así se continua. En el dibujo
observamos que cada vez nos acercamos más al valor c.
Fig3
Para xo tenemos que la recta tangente pasa por (x1, 0) , (x0, f(x0)) así tenemos :
)´( )(
0
10
0 xfxx
xfm
despejando x1:
))(´( )( 1000 xxxfxf 10000 )´( )´( )( xxfxxfxf
)´(
)()´(
0
000
1xf
xfxxfx
El punto que deseamos
hallar es el punto que se
muestra en la figura 2,
señalado con la letra c
Así método utilizamos x0, como primer aproximación , después utilizaremos x1,
a continuación x2 y así sucesivamente.
Con este método tenemos una sucesión de valores x0 , x1, x2, x3, ..., xn,...
de aproximaciones que tienen como límite al valor c, es decir : xn c
Capitulo 19 Diferenciales
151
Así tenemos: )´(
)(
0
0
01xf
xfxx
Repitiendo el procedimiento para x2,
Tenemos:)´(
)(
1
112
xf
xfxx
Continuando este proceso tenemos: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx .......(*)
Ejemplo2.- Apliquemos el método de Newton para hallar una solución de la ecuación x3 – x-1=0
Determinemos un cambio de signo para la función f(x)=x3 - x+2 Sustituyamos x=0 f(-0)=(0)3 –(0)-1=-1 signo -
x=1 f(1)=(1)3 –(1)-1=-1 signo -
x=2 f(2)=(2)3 –(2)-1=5 signo +
Entonces la raíz (solución) que buscamos esta entre 1 y 2, pongamos nuestra primer aproximación igual a x0=1.5
Así tenemos f(x)= x3 – x-1, f´(x)= 3x2 – 1 sustituimos esto en la ecuación (*)
Tenemos: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
Así: 13
12
3
1
n
nn
nnx
xxxx tomando x0=1.5
Por lo que tenemos: 3478.11)5.1(3
1)5.1()5.1(5.1
13
12
3
2
0
0
3
0
01
x
xxxx
3252.11)3478.1(3
1)3478.1()3478.1(3478.1
13
12
3
2
1
1
3
1
12
x
xxxx
3247.11)3252.1(3
1)3252.1()3252.1(3252.1
13
12
3
2
2
2
3
2
23
x
xxxx
3247.11)3247.1(3
1)3247.1()3247.1(3247.1
13
12
3
2
3
3
3
3
34
x
xxxx
como x3=x4 entonces detenemos el proceso y concluimos que la solución es aproximadamente igual a 1.3247 con cuatro cifras significativas, es decir la solución es: x 1.3247.
Capitulo 19 Diferenciales
152
LA CALCULADORA
Vamos a repetir los cálculos del ejemplo2, utilizando la calculadora.
Ejemplo3: Resolvamos: x3 – x-1=0
Tomemos x0=1.5 marquemos el igual = y utilicemos la opción
de la calculadora Esta opción tiene asignado dentro de su memoria el ultimo resultado, en este caso 1.5
Así : 1.5 Ans cada que oprimamos el signo igual el nuevo resultado se asigna a Ans
Tenemos: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx =
13
12
3
1
n
nn
nnx
xxxx
Así tenemos : 13
12
3
Ans
AnsAnsAnsAns en la calculadora
Se escribe: )13/()1( 23 AnsAnsAnsAns
Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3478 este valor ahora esta asignado en Ans=x1
Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3252 este valor ahora esta asignado en Ans=x2 Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3247 este valor ahora esta asignado en Ans=x3
Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3247 este valor ahora esta asignado en Ans=x4
es decir la solución es: x 1.3247.
Si queremos 5 decimales de aproximación utilicemos la opción Fix de la calculadora para esto utilicemos tecla MODE oprímela varias veces hasta que aparezca Fix, cuando esta aparezca oprime el
número debajo de ella, y a continuación oprime el número de decimales que quieres que la calculadora
tome para el resultado.
Ejemplo4: Resuelva la ecuación x4-x2 -21=0
Solución:
Busquemos un cambio de signo Sustituyamos x=0 f(0)=(0)4 +(0) 2-21=-21 signo -
x=1 f(1)=(1)4 +(1) 2-21=-19 signo - x=2 f(2)=(2)4 +(2) 2-21=-1 signo -
x=3 f(3)=(3)4 +(3) 2-21=69 signo + Entonces la raíz (la solución) que buscamos esta entre 2 y 3, pongamos nuestra primer aproximación
igual a x0=2.5
Así tenemos f(x)= x4-x2 -21, f´(x)= 4x3-2x sustituimos esto en la ecuación (*)
Tenemos: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
Así:
nn
nn
nnxx
xxxx
24
213
24
1
tomando x0=2.5
Apliquemos la calculadora con la opción Ans tomando 2.5*1=2.5 para introducir 2.5 en Ans
Así tenemos AnsAns
AnsAnsAnsAns
24
213
24
En la calculadora escribe: )24/()21( 324 AnsAnsAnsAnsAns
Capitulo 19 Diferenciales
153
Oprimamos el signo de igualdad en la calculadora y obtenemos 2.2946 este valor ahora esta asignado
en , así tenemos Ans :=x1
Oprimamos la tecla y obtenemos 2.2613 este valor ahora esta asignado en , así:
Ans:=x2=2.2613
Oprimamos la tecla y obtenemos 2.2605 este valor ahora esta asignado en , así:
Ans:=x3=2.2605
Oprimamos la tecla y obtenemos 2.2605 este valor ahora esta asignado en , así:
Ans:=x4=2.2605
Como en x3=x4=2.2605 tenemos la solución es: x 2.2605 con 4 cifras decimales exactas.
Ejemplo5- De una aproximación al valor de 2 con seis decimales
Solución: Consideremos la ecuación x2 -2=0
Busquemos un cambio de signo
Sustituyamos x=0 f(0)=(0) 2-2=-2 signo - x=1 f(1)=(1) 2-2=-1 signo -
x=2 f(2)=(2) 2-2=2 signo +
Entonces la raíz (la solución) que buscamos esta entre 1 y 2, pongamos nuestra primer aproximación
igual a x0=1 Así tenemos f(x)= x2 -2, f´(x)= 2x sustituimos esto en la ecuación (*)
Tenemos: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
Así:
n
n
nnx
xxx
2
22
1
tomando x0=1. Apliquemos la calculadora escribe: )2/()2( 2 AnsAnsAns
la solución es: x 1.414214
Ejercicio
1)Resuelve la ecuación x3 +x2=1
2)Resuelve la ecuación x4 -5x-85=0
Capitulo 19 Diferenciales
154
3) Resuelve la ecuación x3 +2x2 =13
UTILIZANDO GRAFICAS EN EL MÉTODO DE NEWTON
Ejemplo.- Resolvamos la ecuación x4-x2 -21=0, tomemos x4=x2 +21
Veamos las graficas de y= x4 y la de y= x2 +21,
busquemos un punto cercano a la intersección, este sera nuestro valor x0
la solución es: x 2.2605 con 4 cifras decimales exactas.
Como lo muestra el ejemplo 4
Capitulo 19 Diferenciales
155
Ejemplo2: Resolver la ecuación x3+2x -8=0
Solución: Por el método grafico localicemos una primer aproximación de la raíz
Tomemos x3= - 2x +8 Construyamos y=x3 Construyamos y= - 2x +8
Por tabulación, damos valores a x: Por tabulación, damos valores a x:
En la gráfica vemos que la intersección de las curvas esta entre 1 y 2
Así que tomemos la primer aproximación igual a 2, es decir x0=2
Tomemos f(x)= x3+2x -8 Calculemos f´(x), tenemos f´(x)= 3x2+2x
Apliquemos la fórmula de Newton: )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx ...( *)
Utilicemos introduciendo 2 en y sustituyendo en (*),tenemos:
2 Ans
)23/()82( 23 AnsAnsAnsAns , oprimimos varias veces
tenemos: x=1.6702 con 4 cifras decimales exactas
Ejercicio
1) Resuelve la ecuación x3 +2x-4=0. Por el método de Newton utiliza las graficas de y=x3 ,
y= -2x+4 para obtener la primer aproximación x0.
x Y
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
x Y
-2 12
-1 10
0 8
1 6
2 4
Capitulo 19 Diferenciales
156
x y=x
- -3.14
-(3/4) -2.36
-(2/4) -1.57
-(1/4) -.78
0 0
(1/4) .78
(2/4) 1.57
(3/4) 2.36
3.14
2) Resuelve la ecuación x3 -4x+2=0. Por el método de Newton ¿Cuántas soluciones tiene ?Obtenga sus
raíces.
Ejemplo: Resolver la ecuación 3 sen x – x =0
Solución: Por el método grafico localicemos una primer aproximación de la raíz
Tomemos 3sen x = x Construyamos y=3senx Construyamos y= x
Por tabulación, damos valores a x: Por tabulación, damos valores a x:
Una solución ex x=0, obtengamos otra solución.
En la gráfica vemos que la intersección de las curvas esta entre -(3/4) y (3/4)
Así que tomemos la primer aproximación igual a -(3/4) , es decir x0=-(3/4)
Sustituimos en )´(
)(1
n
nnn
xf
xfxx , tenemos )1)cos(3/())(3( AnsAnsAnssenAns tenemos: x=-
2.278
También tomamos x0=(3/4) , sustituimos y tenemos x=2.278.
Así las soluciones son 0, 2,278, -2,278
X y=3senx
- 0
-(3/4) -2.12
-(2/4) -3
-(1/4) -2.12
0 0
(1/4) 2.12
(2/4) 3
(3/4) 2.12
0
Capitulo 19 Diferenciales
157
Ejercicio
1) Resuelve sen x+x-1 =0
2) Resuelve 2sen x – 1/3 x2 =0
Capitulo 19 Diferenciales
158
3) Resuelve e x +x -3 =0
Capitulo 20 proyectos
159
CAPITULO 20 PROYECTOS
PROYECTOS DE INVESTIGACION EJERCICIOS SELECCIONADOS DE MAXIMOS Y MINIMOS
1. Hallar dos números cuya suma sea 50 y cuyo producto sea el máximo posible.
2. Hallar dos números positivos x , y cuya suma sea 30 y x y2 sea el máximo
posible.
3. Hallar dos números positivos cuya suma es 72 y el producto de uno de ellos con el cubo del otro es máximo.
4. Que numero excede a su cuadrado en la cantidad máxima?
5. Encontrar el máximo valor de Q= xy , si x, y deben cumplir 2x2 + y
2 =1
6. Halle el punto de la gráfica de x+y=1 mas cercano al punto (2,3)
7. Encuentre el punto de la gráfica de y = x 2 +1 mas cercano al punto (3,1).
8. Encuentre el punto de la gráfica de y=x3 mas cercano al punto (4,0).
9. Determine el punto de la gráfica de y= x 3- 4x
2 en el que la recta tangente tenga
la pendiente mínima.
10. Determine el punto de la gráfica de y = 8x 2 +1
x en el que la recta tangente
tenga la pendiente máxima.
11. En que punto del primer cuadrante de la parábola y= 4 - x2
determina la
tangente, junto con los ejes de coordenadas un triangulo de área mínima.
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y corta al primer cuadrante un triángulo de área mínima.
Numéricos
Geométricos
Capitulo 20 proyectos
160
En los problemas 13-16 encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma de que su área sea máxima.
13.
14.
15.
16.
Capitulo 20 proyectos
161
17. Un alambre de 24 metros de longitud se corta en dos pedazos; con uno de ellos se construye una circunferencia y con el otro un cuadrado. Cuales deben ser las dimensiones para que la suma de las áreas de las figuras así formadas sea mínima? Se emplearan 20 pies de alambre para formar 2 figuras en cada uno de los siguientes casos Hallar las medidas para que el área total encerrada sea máxima
18. Triángulo equilátero y un cuadrado 19. Cuadrado y pentágono regular. 20. Pentágono regular y hexágono. 21. Hexágono regular y circulo. 22. Encuentre el rectángulo de mayor área (cuyos lados son paralelos a los ejes) que
puede ser inscrito en la elipse x
a
y
b
2
2
2
2 1+
23. Determinar las dimensiones de un cono circular recto que tenga el mínimo
volumen V que circunscribe a una esfera de radio r (sugerencia utilice triángulos semejantes)
24. Dos postes de antena de TV se encuentran en un techo afianzados mediante
alambres sujetos en un mismo punto entre los postes. según la figura. En donde debe localizarse el punto para minimizar la cantidad de alambre empleado?
Capitulo 20 proyectos
162
25. Se va a construir una armazón para embalaje con un trozo de madera con sección
cuadrada de 2 por 2 pulgadas y 24 pies de largo. El embalaje va a tener extremos cuadrados, como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones que producen el máximo el máximo volumen exterior.
26. Se van a usar 300 metros de tela de alambre para construir seis jaulas de un
zoológico, como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones para que el área que abarcan las jaulas sea máxima.
27. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicirculo.Halle las
dimensiones de la ventana que permiten admitir mas luz suponiendo que el perímetro debe ser de 5m.
28. Una cerca de 8 pies se alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto. Calcule la
longitud de la escalera mas corta que se puede apoyar entre el suelo y el edificio por encima de la reja. (Sugerencia : utilice Triángulos semejantes.)
29. Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900cm2 con márgenes de 2.5cm abajo y a los lados , y de 1.5cm arriba. Determinar las dimensiones de la página que darán la mayor área posible para el texto.
Armazón
Construcciones
Capitulo 20 proyectos
163
30. Se va a construir un vaso de papel en forma de cono circular recto quitando un
sector circular a una hoja d e papel con firma de circulo y radio a , y uniendo después las dos orillas rectas del papel restante . Calcule el volumen del vaso mas grande que se pueda construir.
31. Una hoja de papel tiene 8 pulg de ancho. Una de las esquinas se dobla hasta la otra orilla de la hoja como se muestra en la figura. Encuentre el ancho x de la parte doblada, de tal forma que la longitud l del doblez sea mínima.
32. Un Granjero tiene 150 m de material para cercar un campo con forma rectangular y
quiere usar un granero como parte de uno se los lados del terreno. Demuestre que el área cercada es máxima cuando en vez de rectángulo se tiene un cuadrado.
33. Determinar la longitud máxima de una tabla delgada que puede transportarse
horizontalmente alrededor de una esquina en ángulo recto.(sugerencia triángulos semejantes)
34. Se desea construir una tienda de campana con forma de pirámide de base cuadrada.
Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies2 se lona para los cuatro lados del albergue y x es la longitud de la base.Demuestre que El volumen V de la tienda es
V alcanza un valor máximo cuando x= veces la longitud del poste.
35. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determinar las dimensiones de un corral
rectangular que abarquen el área máxima.
36. Un terreno rectangular se va a cercar y dividir en tres porciones iguales mediante dos cercas divisorias paralelas a dos de los lados.
a)Si el área que debe abarcarse es de 4000m2 encuentre las dimensiones del
terreno que requieren la menor cantidad de cerca. b)Si la cerca total que va usarse es de 8000m, encuentre las dimensiones del terreno
abarcado que tenga la mayor área.
Capitulo 20 proyectos
164
37. Un río tiene un codo de 45 , como se muestra en la figura, un granjero desea
construir un corral bordeado por los dos lados del río y por los otros dos lados por una milla de tela de alambre ABC. Hallar las dimensiones del corral de área máxima.
38. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una
capacidad de 1m3 . Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.
39. La base circular del recipiente del ejercicio anterior se corta de una hoja cuadrada y
el metal restante se desperdicia. Calcule las dimensiones del recipiente para las cuales la cantidad de material necesario en la construcción sea mínima.
40. Un recipiente de capacidad V es construido de un cilindro recto al que se le
monta una semiesfera. a) Exprese la superficie total S como función de r.
b) Encuentre el valor de r que minimiza S.
Recipientes
Capitulo 20 proyectos
165
41. Se desea Construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble del de la parte cilíndrica . Que dimensiones
minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 pies3.
42. Una canaleta de sección transversal rectangular se fabrica doblando porciones
iguales en cada orilla de una pieza de hojalata de 30cm de ancho. Cuales son las dimensiones de la sección transversal que hacen que el volumen sea máximo?
43. Se va a fabricar un canal, de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la figura. Determinar el valor de de
manera que el volumen sea máximo.
44. De una pieza cuadrada de cartón se va a formar una caja abierta por arriba,
cortando un cuadrado en cada una de las esquinas y doblando los bordes. Dado que el cartón mide 40cm por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo.
45. Una caja con tapa debe hacerse de una hoja de cartón que mide 50cm por 80cm.
Esta se hace cortando las regiones sombreadas según la figura y después se doblan las líneas punteadas. Cuales son las dimensiones x,y,z que maximizar el volumen?
46. Con una pieza de cartón de 50 cm por 80cm se va a construir una caja, cerrada,
para esto se cortaran cuadrados del mismo tamaño y se doblaran las líneas punteadas , como se muestra en la figura. Determine las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo.
Cajas
Capitulo 20 proyectos
166
47. De una pieza rectangular de 40cm por 26 cm se recortaran las áreas sombreadas y se doblaran las líneas punteadas. Hallar el valor de x que maximizar el volumen de la caja?
48. Se desea construir una caja para leche de capacidad 1 litro , para esto se utiliza
una pieza de cartón rectangular, se doblara sugun las líneas punteadas mostradas en la figura. Determine x , h, L que minimizan el material de construcción.
49. Supongamos que un semáforo pesa W Lb y se debe colgar del centro de un cable
tenso que cruza la calle. El ancho de la calle es 2a ft. Supóngase , además que el costo del cable es igual a kT veces la longitud del cable , donde k es una constante dada y T es la tensión del cable . Calcular el ángulo de inclinación del
cable para que su costo sea mínimo.
50. La altura de un proyectil lanzado con una velocidad inicial constante v0 y de un
ángulo de elevación 0 esta dada por y =(tan 0) x - (g / 2v20 cos
2 0)x
2 , en donde x
es su desplazamiento. Demuestre que la altura máxima alcanzada por el proyectil es
h= (v20/2g)sen
20.
51. La iluminación E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular,
proporcionada por una lampara colocada directamente arriba de su centro esta dada
por E= (I cos ? ) /r2 .Dado que el radio de la mesa sea 1m e Y=100 , encuentre la
altura a la que debe colocarse la luz para que E sea máxima.
Otros Proyecto
Capitulo 20 proyectos
167
52. circuito que tiene resistencia variable R Poir la ley de Ohm, la corriente . en el
circuito es I =V
R + r. la potencia de salida esta dada por P= I
2R . Demuestre
que la potencia máxima se alcanza cuando R=r.
53. La Potencia de salida P de una batería o acumulador de automóvil esta dada por P=VI-I2r , donde V es el voltaje, Y la corriente y r la resistencia interna de la batería. Que valor de la corriente corresponde a la potencia máxima?
54. Cuando se hace un orificio en la pared de un deposito cilíndrico lleno de agua, el chorro resultante da en el suelo a una distancia de x pies se la base, en donde x= 2(y(h-y))1/2.En que punto debe hacerse el orificio en la pared de tal modo que el chorro alcance la máximo distancia a la base?, Cual es su valor?
55. Un hombre está en un bote a 2 millas del punto mas próximo de la costa, ha de ir
a un punto Q, 3 millas costa abajo y 1 milla tierra adentro, como indica la figuro si puede navegar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora. Hacia que punto de la costa debe remar para alcanzar el punto Q en el menor tiempo posible?
56. Mismas condiciones excepto que el hombre puede remar a 4millas por hora.
Como cambia la solución. 57. Un barco debe navegar 100 millas río arriba contra una corriente de 10mi/h. Sea v
la v4elocidad del carro (en mi/h). El número se galones de gasolina que consume la
nave es directamente proporcional a v2.
a) Demuestre que si mantiene la velocidad constante de v mi/h entonces el número total y de galones de combustible que se consumen esta dada por y= 100kv2/(v-10), v>0, k constante positiva.
b) Calcule la velocidad que minimiza el número de galones de gasolina que se consume durante el viaje.
Viajes y vehículos
Capitulo 20 proyectos
168
58. Una estatua está colocada sobre un pedestal, como se muestra en la figura. A que
distancia del pedestal debe pararse una persona para maximizar el ángulo visual . 59. La base de un cuadro sobre la pared esta a pies por encima del ojo de un
observador. El lado vertical del cuadro mide b pies. A que distancia de la pared ha de colocarse el observador para maximizar el ángulo visual que ese cuadro subtiende.
60. Un crucifijo tiene forma simétrica de cruz. Encontrar la máxima área que puede
tener el crucifijo si se hace de un disco circular de metal de radio a.
Arte
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
169
Apéndice
Fórmulas de derivación de funciones algebraicas
1.
0dx
cd
2. 1dx
dx
3.
dx
dw
dx
dv
dx
du
dx
wvud
4.
dx
duc
dx
cud
5.
dx
duv
dx
dvu
dx
uvd
6. 1 n
n
nxdx
xd
7.
dx
dunu
dx
ud nn
1
8.
2
/
v
dx
dvu
dx
duv
dx
vud
Fórmulas de derivación de funciones trascendentes
1.
u
dx
du
dx
ud
ln
2.
dx
due
dx
ed uu
3.
dx
duaa
dx
ad uu
ln
7.
dx
dvv
dx
senvdcos
8.
dx
dvsenv
dx
vd
cos
9.
dx
dvv
dx
vd 2sectan
11.
dx
dvvv
dx
vdtansec
sec
12.
dx
dvvv
dx
vdcotcsc
csc
13.
21 v
dx
dv
dx
arcsenvd
14.
21
arccos
v
dx
dv
dx
vd
15.
21
arctan
v
dx
dv
dx
vd
16.
21
cot
v
dx
dv
dx
varcd
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
170
10.
dx
dvv
dx
vd 2csccot
17.
1
sec2
vv
dx
dv
dx
varcd
18.
1
csc2
vv
dx
dv
dx
varcd
Hawking: un científico obsesionado por el universo
Funciones definidas por secciones. En muchas aplicaciones se puede tener la grafica de una función definida por secciones, como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Para enviar un paquete postal con peso x (onzas) 0<x<4 en una ciudad se utiliza una función cuya grafica se muestra en la figura. Si un paquete pesa 3.4 onzas.¿ Cuánto se tendrá que pagar?__________. y si pesa 1.84 onzas. ¿Cuánto se debe pagar?_______________.
onza=28.7gramos Esta función se puede escribir por secciones, como sigue:
Stephen M. Hawking , heredero de la cátedra de Newton en la universidad de
Cambridge y considerado uno de los
grandes genios del siglo XX , es una
leyenda no solo por su brillante
contribución a la física teórica, sino
también por su coraje frente a una enfermedad terrible –El mal de Lou
Gehring- Que desde hace cuarenta años
destruye inexorablemente su cuerpo. No es exagerado afirmar que tal vez sea hoy
la criatura mas cerebral de nuestro
planeta. Un hombre que vive día y noche para pensar en los inquietantes
misterios del Universo, el espacio y el
tiempo.
Hawking ha cobrado notoriedad por sus trabajos sobre la relatividad
general, la física de los hoyos negros,
la teoría cuántica y por el intento de
integrar una teoría el origen y
desarrollo del cosmos.
Hawking está dotado de una memoria prodigiosa. Es capaz de desarrollar y
retener páginas y páginas de
complejas ecuaciones. El fuerte de Hawking es la física de
los hoyos negros. Según su
descripción “los agujeros negros son una especie de desgarraduras en el
espacio tiempo: en ellos inimaginables fuerzas gravitacionales originan una
enorme deformación y densidad, de tal
forma que durante mucho tiempo los
científicos creyeron que nada podía
escapar de su interior, incluyendo la luz . Los agujeros negros son por lo
tanto invisibles por definición. Nadie
ha visto ni vera uno de ellos, por muy potente que fuera el telescopio
utilizado”. Según Hawking “es posible
que haya unos mil millones de ellos en
nuestra galaxia”
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
171
43 ,73
32 ,56
21 ,39
10 ,22
)(
x
x
x
x
xf
Ejemplo: Para un vendedor, su sueldo depende del número de unidades vendidas, suponga que se aplica la siguiente función:
xx
xxxf
40 ,7525.2
400 ,502)(
Si vende 20 unidades, el vendedor calcula su sueldo con la fórmula 2x+50 y esta fórmula la aplica siempre que vende menos de 40 unidades. Si el número de unidades vendidas es mayor o igual a 40, el sueldo lo calcula con la fórmula 2.25x+75
a) Calcula el salario del vendedor si realiza 33 unidades vendidas:__________ b) ¿Cuál es su salario si vende 46 unidades? ___________________________
Ejemplo: En un experimento psicológico sobre información visual, un sujeto observo brevemente un conjunto x de letras y después se le pidió recordar tantas como fuera posible. Se repitió el procedimiento varias veces. Se llego a la conclusión de que el promedio f de letras recordadas, a partir de x, está dada por la función:
125 ,5.4
54 ,25.0
40 ,
)(
x
xx
xx
xf
a) Si la persona observa 4 letras ¿Cuántas puede recordar?__________. b) ¿Cuántas letras recuerda si observa más de 7? ___________________________.
Es útil conocer la representación gráfica de las funciones definidas por secciones. Veamos la siguiente función.
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
172
Ejemplo: Grafica la siguiente función:
xxxf
0 ,
0 x,2)( representamos la parte f(x)=2 , para números menores de cero y a
continuación f(x)=x, para números positivos incluyendo el cero. Como se muestra en la gráfica:
Una función que tiene muchas aplicaciones es la función valor absoluto, la cual se
representa por el símbolo: x , ésta función tiene la característica de transformar todos los
números a números positivos, por ejemplo:
00
390390
6060
4444
22
Veamos su representación gráfica. Ejemplo: Tenemos que la función valor absoluto se define como a continuación se muestra, obtenga su grafica.
xx
xx
0 ,
0 x, Representamos la parte f(x)=-x, para números menores de cero y a
continuación f(x)=x, para números positivos incluyendo el cero. Como se muestra en la gráfica:
GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
173
Ejercicio
1) Obtenga la gráfica de la siguiente función:
x
xx
xx
xf
3 ,5.2
30 ,2
0 ,
)(
2
Obtenga: f(7), f(8),f(-4), f(2.5) 2) Obtenga la gráfica de la siguiente función:
)2(3)( xsenxf
Obtenga: f( ), f( /2),f(-4 ), f(3 /4)
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
174
La piscina
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
175
Construcción de un cono con tijeras y papel
Vamos a deshacer el cono y relacionar el ángulo el arco y la longitud L.
El perímetro del circulo de la base es S=2 r
Cuando el ángulo esta expresado en radianes se tiene la relación L
S
Combinando las formulas tenemos: 22 rh
2
r
L
S
Escribiendo la fórmula para manejar grados, tenemos:
22
0
22
00
22
rh
360
:
rh
360180
rh
2
r
Así
rr
-Si queremos un cono de 10cm de altura y 5cm de radio. Qué ángulo debemos tener.
- Si el cono debe de tener 8cm de altura y 8cm de radio construye el cono.
Apliquemos el teorema de
Pitágoras
h2
+ r2=L
2
Despejando L, tenemos:
L=22 rh
S=2 r
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
176
AUTOEXAMEN
Escuela:____________________________________________________
Alumno:____________________________________________ Grupo:________________
1.- Resolver x2-7x+10<0
2.-Obtenga el dominio y la grafica de la función y= 7x
3.-De una pieza cuadrada de 40cm de lado, se desea fabricar una caja recortando un cuadrado de lado x en cada esquina. Obtenga la función que represente el volumen de la caja. Calcule el volumen de la caja si a)x=2cm. b)x=3.8cm.
4.-Calcule el siguiente límite: )4
2(
4
h
hLimh
5.-Calcule el siguiente límite: )632
114(
26
36
xx
xxxLimx
AUTO EXAMEN
Escuela:____________________________________________________
Alumno:____________________________________________ Grupo:________________
Obtenga las siguientes derivadas 1.- y=e3x+1+4e3+5x+11e6x-2
2.- y=Ln(3x-22) 3.- y=sen4x+4sen5x+ 10sen 9x 4.- y=arctan( )
5.-En una mancha de aceite de forma circular, aumenta el radio a razón de 1cm/s ¿Cuál es la rapidez del cambio de área en el momento en que r=5m?
Bibliografía -Calculo Esencial.
Ron Larson , Robert Hostetler, Bruce H. Edwards.
Ed. Cengage Learning, S.A. año 2010
-Cálculo con Geometría Analítica
Segunda Edición
Earl W. Swokowski
Ed. Iberoamericana año 1989.
COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA
177
-Calculo
Sexta edición
James Stewart
Ed. Cengage Learning año 2008
Guía de Calculo
David E. Heyd
Serie Schaum
Ed. Mc Graw Hill 1993
México
Calculo Diferencial e Integral
Frank Ayres Jr.
Serie Schaum
Ed Mc Graw Hill
España año1989
Calculo Diferencial e Integral
Granville
Ed. Limusa
México D.F. año 2009
El Cálculo
Séptima edición
Louis Leithold
Ed. Oxford
México año 1998
Calculo
Tercera reimpresión
Richard C. Diprima
Compañía editorial Continental
México año 2005
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