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    MEDIA ARITMETICA

    Sean n datos de una variable…

    El promedio de la muestra se

    denomina

    1 2   ... n x x x+ + +

     x

     µ 

    Dicho promedio es un estimador de lamedia de la población. La media de lapoblación es un parmetro ! se

    denomina

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    MEDIA ARITMETICA1 2 ... n x x x x

    n

    + + +=

    1

    ni i x n xn

    =∑

    i f  

    1

    n

    ï i x x f  = ∑

    "recuencia absolu

    ta"recuencia relativa

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    MEDIA ARITMETICA #$%DERADASupon&amos 'ue medimos una distancia con ( instrumentos)cinta m*trica+ nivel ! re&la+ ! estación total. Consideramos'ue la estación total es ,- veces ms eacta 'ue la cinta !'ue la cinta es / veces ms eacta 'ue el nivel ! re&la. Cómose calcular0a la distancia promedio1

    10 4

    10 4 1

    et c nr  d d d 

      + +

    = + +

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    MEDIA ARITMETICASiempre es ra2onable calculardirectamente el promedio sinanali2ar los datos1

    Si una distancia es medida 3 veces ! losvalores en metros son),-.43,-.45

    ,-.4(,-.4(,5.4(

    Se aplican directamente las6órmulas11111

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    Ms adelante+ cuando sevean los distintos tipos de

    errores+ se ver de 'ue6orma detectar los errores&roseros u outliers.

    La idea es detectar esosvalores at0picos !eliminarlos para volverpoder hacer los clculos 'ue

    correspondan

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    Eisten otros tipos de medias'ue se anali2arn en otro

    momentoMedia armónica

    Media &eom*trica

    Media cuadrtica

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    7olviendo al

    promedio…

    1 2...

    n x x x

     xn

    + + +=

    1

    ni x x

    n

    = ∑8a! 'ue tener presente 'ue el verdadero valorde una ma&nitud nunca se puede conocer coneactitud total. #ara al&unos casos+ podemosconsiderar el promedio como el valor msprobable 9o el 'ue ms se aproima al

    verdadero valor:.

    De;nimos el concepto de residuo)i iv x x= −

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    Recordemos que:

    1

    n

    iv   =∑1

    n

    i x nx−∑

    1

    ni x x

    n

    = ∑

    nx nx−1

    n

    iv   =∑

    1

    0n

    iv   =∑

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    MEDIA%A

    Si ten&o n datos+ se ordenande 6orma ascendente

    Es un n=mero tal 'ue la mitad delas observaciones sean menores

    ! la otra mitad ma!ores.

    Si n es impar

    M es la observacióncentral

    Si n es parM es la media de lasobservacionescentrales

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    Mediana y media de una

    curva de densidad

    LA MEDIANA DEUNA CURVA DEDENSIDAD ES ELPUNTO QUEDIVIDE AL AREAPOR DEBAJO DELA CURVA EN DOS

    PARTES IGUALES 

    LA MEDIANA Y LA MEDIASON IGUALES ENEL CASO DE CURVAS DE DENSIDAD

    SIMÉTRICA.

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    LA MEDIA DE UNA CURVA DE DENSIDADES EL PUNTO DE EQUILIBRIO EN ELCUAL LA CURVA SE EQUILIBRARÍA SIESTUVIERA HECHA DE UN MATERIALSÓLIDO 

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    Tambi*n es conocido con el nombre deREC$RRID$

    El RA%>$ podr0a tener el inconveniente deestar a6ectado 6uertemente por observacionesat0picas

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    Cuartiles Ordenar las observaciones de

    forma creciente El primer cuartil se sitúa en el

    primer 25% de las observaciones El tercer cuartil se sitúa en el

    primer 75% de las observaciones El segundo cuartil sera la mediana

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    Cuartiles

    Ordenar datos El primer cuartil !" es la mediana

    de las observaciones a la i#quierdade la mediana de la totalidad

    El tercer cuartil !$ es la mediana

    de las observaciones situadas a ladereca de la mediana de latotalidad

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    &rados de libertad

    La suma de las desviaciones es siempre 0

    La última desviación se puede hallar cuando seconocen las otras n-1. Por tanto sólo n-1

    observaciones son independientes

    Al número n-1 se le llama grados de libertad de la

    varianza o desviación estándard

    Lo correcto es calcular dividiendo por n-1, para

    valores de n mu grandes no habrán di!erencias

    apreciables 

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    Curvas de densidadLa curva es más sencilla

     para trabajar que el

    histograma

    El área por debajo de la

    curva vale 1Las áreas !r "e#a$! "e %a

    &'r(a rerese)*a) r!!r&+!)es "e!#ser(a&+!)es

    NINGUN CONJUNTO DE DATOS REALES ESDESCRITO E,ACTAMENTE POR UNA CURVADE DENSIDAD. LA CURVA ES UNA

    IDEALI-ACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DEDATOS 

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    Mediana y media de unacurva de densidad

    LA MEDIANA DE UNA CURVA DE DENSIDADES EL PUNTO QUE DIVIDE AL AREA PORDEBAJO DE LA CURVA EN DOS PARTESIGUALES 

    LA MEDIA DE UNA CURVA DE DENSIDAD ESEL PUNTO DE EQUILIBRIO EN EL CUAL LACURVA SE EQUILIBRARÍA SI ESTUVIERAHECHA DE UN MATERIAL SÓLIDO 

    LA MEDIANA Y LA MEDIASON IGUALES ENEL CASO DE CURVAS DE DENSIDADSIMÉTRICA.

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    LA MEDIA DE UNA CURVA DE DENSIDAD ES

    EL PUNTO DE EQUILIBRIO EN EL CUAL LACURVA SE EQUILIBRARÍA SI ESTUVIERAHECHA DE UN MATERIAL SÓLIDO 

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    %otación importante

    La )!*a&+) /a#+*'a% "e ')a 0e"+a "e ')a "+s*r+#'&+) +"ea%+1a"a es m

    La )!*a&+) /a#+*'a% "e %a "es(+a&+) es*a)"ar "e

    ')a "+s*r+#'&+) +"ea%+1a"a es s

    Dado que la curva de densidad es una descripción idealizada de una

    distribución de datos, se debe distinguir entre la media y desviación típica de

    una curva de densidad, y la media y la desviación estándar s  calculadas a

    partir de observaciones reales

     x

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    Sin duda, la distribución continua deprobabilidad más importante, por la

    frecuencia con que se encuentra y

    por sus aplicaciones teóricas, es la

    distribución normal, gaussiana o

    de Laplace-"auss. 

    Fue descubierta y publicada por

    primera vez en 17 por De !oivre"

     # la misma llegaron, de forma

    independiente, $aplace %1&1'( y)auss %1&*+(, en relación con la

    teoría de los errores de observación

    astronómica y física " 

    #istribución normal

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    #or'ue son tan importantes lasdistribuciones normales enestad0stica1

    'as distribuciones normales dan buenasdescripciones de algunas distribucionesde datos reales

    'as distribuciones normales son buenasapro(imaciones a los resultados demucos fen)menos aleatorios

    Mucos procedimientos de inferenciaestadstica dan buenos resultadoscuando se aplican a distribucionesapro(imadamente sim*tricas

    C í i i i ió

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      ∞ + ∞

    Características de la distribución Normal

    µ, Mo, Mn

    σ σ

    µ - σ  µ + σ 

    $iene !orma de campana, es asintótica al e%e de las abscisas &para 2  ' ±∞ (

    Los puntos de in!le)ión tienen como abscisas los valoresµ ± σ.

    *im+trica con respecto a la media &µ

    ( donde coinciden la mediana &n(

    la moda &o(.

    untos

    de

    infle-ión

    $$

    - / :

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    -. / : probabilista

    Entre la media yuna desviaci)n

    tpica tenemossiempre la mismaprobabilidad:apro(imadamente

    el 3%4

    • Si tomamos intervalos centrados en ., y cuyos e-tremos están/

     – a distancia ,    tenemos probabilidad /

     – a distancia ,    tenemos probabilidad 23

     – a distancia 43    tenemos probabilidad 22

    •  Entre la media y

    dos desviaciones

    típicas aprox. 95%

    $

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    6roblema

    8n estudiante 9 obtuvo 3 puntos enla prueba 6" de matem;ticas4 'a

    distribuci)n de las notas de 6" esnormal con media 5 y desviaci)nestandar "4

    8n estudiante < obtuvo 27 puntos en la

    prueba 62 de matem;ticas4 'adistribuci)n de notas es normal conmedia "3 y desviaci)n est;ndar 4 =i laspruebas son similares. >cu;l estudianteobtuvo me?or nota@

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    ¿Cómo calcular proailidades asociadas

    a una curva normal especí!ica"

    #ado $ue tanto µ  como σ  pueden asumir infinitos valores, esimpracticale taular las proailidades para todas las posiles

    distriuciones normales. ara solucionarlo& se utili'a la

    distribución normal reducida o tipificada.

    Se define una variable  z  ( x   ) µ σ

    5s una traslación , un cambio de escala de

    la variable original.

    $

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    $a nueva variable z se distribuye como una

    678AL con media µ ' 0  y desviación típica σ ' 1

    )* )2 )1 0 1 2 *

    '

    +ecordemos de nuevo $ue en cual$uier  distriución normal las

     proailidades delimitadas entre ,± σ  68 ± !σ  "# ± $σ  ""

    68

    ""

    "#

    $7

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    E?emplo

    'a distribuci)n de alturas demu?eres es apro(imadamente

    normal con   1.-40.0-

    m

    m

     µ 

    σ 

    =

    =

    Cual es la altura estandari2ada1

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    E?emplo

    'a altura estandari#ada de unamu?er es el número de

    desviaciones est;ndar que sualtura diAere de la media de laaltura de todas las mu?eres

    Cual es la altura estandari2ada de una mu?er

    'ue mide ,.@5 m1

    Cual es la altura estandari2ada de una mu?er'ue mide ,.34 m1