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Sistemas de segundo orden
Departamento de Control, Divisin de Ingeniera Elctrica
Facultad de Ingeniera UNAM
Mxico D.F. a 11 de Septiembre de 2006
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Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuacin dierencial linea de segundo orden
)()()(
)()()(
212
2
0212
2
0 trbdt
tdrb
dt
trdbtca
dt
tdca
dt
tcda ++=++
Sin prdida de generalidad se anali!ar" un caso mu# com$n donde%
.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa
&ue corresponde al siguiente sistema de segundo orden%
)( pssK+
)(sR )(sC)(sE K
p
donde
es una const.que representa
una ganancia.
es una const. real
representa al polo
del sistema.
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Su uncin de transerencia de la!o cerrado es%
Kpss
K
sR
sC
++= 2)()(
'omo se aprecia( los polos de la!o cerrado pueden ser de tres tipos
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+
++
=
Kpp
sKpp
s
K
sR
sC
4242
)(
)(22
1. )eales dierentes si% Kp
>
4
2K
p =4
2
Kp
)(sC
La transormada in-ersa de Laplace de la ecuacin anterior es
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Fig. 'ur-as de respuesta al escaln unitario.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
sa1>
ca1=
0=
2.0=
4.0=
7.0=8.0=
Figura. )espuesta
al escaln de
dierentes sistemas
de segundo orden.
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0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1>
ca1=
0=2.0=
4.0=
7.0=
Figura. )espuesta
al impulso de
dierentes sistemas
de segundo orden.
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Definicin de los parmetros de la respuesta transitoria
Las caracter3sticas de desempe4o de un sistema de control se comparan
bas"ndose en el tiempo de la repuesta transitoria. La caracter3sticatransitoria de los sistemas din"micos se presenta por la incapacidad de
responder de manera instant"nea a las entradas o perturbaciones. La
respuesta transitoria es com$n clasiicarla con base a los siguientes
par"metros.
1. 5iempo de retardo
2. 5iempo de crecimiento
*. 5iempo pico. Sobreimpulso m"ximo
7. 5iempo de establecimiento
rt
dt
pt
pM
st
a continuacin se deinen8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
1
0
st
pM
rt pt
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5iempo de retardo
( . 9s el tiempo que tarda la respuesta en alcan!ar la mitad del
-alor inal por primera -e!.
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Sistemas de segundo orden2.: 5iempo de crecimiento
2.: 5iempo de crecimiento( . 9s el tiempo requerido para que la respuesta
aumente de 0 a 100; para sistemas subamortiguados( del 7 al
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0tan11costancos1cos 22 =
+=+ rdrdrdrdrd ttttt
o bien
d
d
d
d
rt 11 tan,tan
1 ==
=
drdt =
=2
1tan
el tiempo de crecimiento es
d
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*.: 5iempo pico( . 9s el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso. 9l tiempo pico se obtiene deri-ando la ecuacin
de respuesta ct e igual"ndola a cero( con lo que se obtiene
pt
01
)(2
=
pntnpd etsen
d
ppd
pd
tt
sosobreimpulprimereleligese
sonecuacinestasatisfacenquevaloreslostsen
==
=.,,3,2,,0
,0
M
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Sistemas de segundo orden S=>)9,S=
1)( = pp tcM
+=
dd
dd sene
dn
2
)(
1cos
( ) ( ) ddn
ee
==
( ) 21=eMp
st
. 9s el -alor pico m"ximo de la cur-a de respuesta medido desde la
unidad o -alor deseado. 9l sobreimpulso m"ximo se obtiene de la
respuesta e-aluada en el tiempo pico.
pM
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7.: 5iempo de establecimiento(
7.: 5iempo de establecimiento( . 9s el tiempo m3nimo donde la cur-a derespuesta alcan!a # se mantiene dentro de un rango de error preestablecido(
generalmente es del 2; o del 7;( el rango m"s com$n es el del 2;. ,ara
sistemas de primer # segundo orden( la respuesta se mantiene dentro del 2;
despus de constantes de tiempo%
444 ===
ns
Tt
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Ejemplo% Deinir los par"metros de respuesta transitoria del sistema
)34(
75
+ss
)(sR )(sC
Desarrollo:
La uncin de transerencia de la!o cerrado es
7534
75
)(
)(2
++
=
sssR
sC
Se utili!a la siguiente igualdad
22
2
2 27534
75
nn
n
ssss
++=
++
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se obtiene
3752 =n
342 =n
375=n
877876.03752
34 ==
17=
partir de aqu3 se obtienen los par"metros de respuesta transitoria
segundostd
r 2849.0==
86=d
.499.0tan 1 radd ==
segundostd
p 33876.0==
( )%315.000315.0 === deM
p
segundosts 23529.04 ==
Nota:nali!ar porque prs ttt
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Ejemplo% De los siguientes par"metros de respuesta transitoria obtener
la uncin de transerencia.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
127
0
142
0.75
Desarrollo:de la gr"ica
1181.0127
127142 ==pM segundosts 75.0=9stos dos
,ar"metros
Son suicientes
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De st
3333.544 ===s
s
t
t
De # conociendopM
( )84335.7
ln===
pdp
MeM d
9ntonces
3333.5=
84335.7=d48486.9
22 =+= dn
56229.0===n
n
96256.89666.10
96256.89
2)(
222
2
++=
++=
sssssG
nn
n
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