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Ing. Eduardo Orcs
Mecnica de Maquinaria II
Clase 3
MTODO MATRICIALCINETOSTTICO
Ing. Eduardo Orcs
Junio 01/2015
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Ing. Eduardo Orcs 2015-I
TEMAS
Mtodo Matricial Cinetosttico
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2015-I
Se escribe la ecuacin de lazo cerrado para la posicin
de los eslabones, y luego por derivacin las ecuaciones
para las velocidades y aceleraciones.
Anlisis Cinemtico de Mecanismos
mediante el Mtodo Matricial
1432 RRRR
+=+
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2015-I
Ecuacin del lazo cerrado para un mecanismo de 4
barras:
(1)
Tomando componentes xy:
(1)
Estas ecuaciones permiten hallar 3 y 4, dadas 2 y las
longitudes de todos los eslabones. Este es el llamado
Problema de Posicin.
1432 RRRR
+=+
443322
1443322
coscoscos
senrsenrsenr
rrrr
=+
+=+
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2015-I
Las ecuaciones de cierre del lazo para lasvelocidades
se obtienen derivando las ecuaciones (1) con respectoal tiempo:
(2)
Se resuelve estas ecuaciones para las incgnitas 3 ,4.
Se asume quer1,r2,r3,r4, 2 y 2 son datos, y que los
valores de 3 y 4 se han hallado del anlisis de posicin
del mecanismo.
(2)
444333222
444333222
coscoscos
rrr
senrsenrsenr
=+
=
=
222
222
4
3
4433
4433
coscoscos
r
senr
rr
senrsenr
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2015-I
Las ecuaciones de cierre del lazo para lasaceleraciones se
obtienen derivando las ecuaciones (2) con respecto altiempo:
Se resuelve estas ecuaciones para las incgnitas 3 ,4.
(3)
22
2
222244
2
444433
2
3333
22
2
222244
2
444433
2
3333
coscoscos
coscoscos
senrrsenrrsenrr
rsenrrsenrrsenr
+=+
+=++
++
++=
44
2
433
2
322
2
2222
44
2
433
2
322
2
2222
4
3
4433
4433
cos
coscoscos
coscos
senrsenrsenrr
rrrsenr
rr
senrsenr
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Ecuaciones vectoriales para mecanismos
tpicos de eslabones articulados
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Ejemplo 1: Use las ecuaciones (2) anteriores para hallar las
velocidades 3 y 4 de un mecanismo de 4 barras. Asuma
2 = 100 rad/s. UtiliceMatlab.
Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.
1 = 0 ,2 = 45 ,3 = 24.65 , 4 = 90.68.
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% Programa en Matlab
w2=100
r2=4; r3=10; r4=7;
th2=45*pi/180; th3=24.652*pi/180; th4=90.6794*pi/180; % ngulos en radianes
J=[-r3*sin(th3) r4*sin(th4); r3*cos(th3) -r4*cos(th4)]
b=[w2*r2*sin(th2); -w2*r2*cos(th2)]
omega34=inv(J)*b;
omega3=omega34(1)
omega4=omega34(2)
Entonces, en esta posicin del mecanismo, las velocidades
son: 3 = 31.32 rad/s(SH), 4 = 21.74 rad/s(SAH).
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Las ecuaciones del lazo cerrado son satisfechas porvalores de 3 ,4 que cierran el lazo del mecanismo.
Estos valores son las races de las ecuaciones (1).
En general, podemos escribir para un mecanismo de 4
barras:
(4)
Para hallar las races, partimos de algn valor nominalque se lo considera cercano a la solucin y le
aadimos una correccin para hacerfi(3,4)=0. Este
es el procedimiento iterativo deNewton-Raphson.
Anlisis de Posicin del Mecanismo
443322432
1443322431
),(
coscoscos),(
senrsenrsenrf
rrrrf
+=
+=
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11/382015-I
Entonces: (5)
Substituyendo en (4) y haciendo una expansin en serie
de Taylor, se obtiene:
(6)
En forma matricial:
(7)
444
333
+=
+=
)2,1(,0),(),( 44
3
3
4343 ==
+
+= i
ffff iiii
=
+
0
0
),(
),(
4
3
4
2
3
2
4
1
3
1
432
431
ff
ff
f
f
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Las derivadas parciales son conocidas, para un
mecanismo de 4 barras :
Las correcciones
3,
4 se obtienen as:
(8)
El procedimiento de solucin iterativa se muestra en el
siguiente diagrama de flujo.
.,, 444
133
3
1 etcsenrf
senrf
=
=
=
),(
),(
coscos 432
431
1
4433
4433
4
3
f
f
rr
senrsenr
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Diagrama de flujo del mtodo de Newton-Raphson
para el anlisis de posicin en cinemtica.
Estimar solucin ),( 43
Usar solucin estimada para
hallar correcciones3,4
Sumar correcciones para
hallar nuevas estimaciones
iii +
Evaluar las funciones en los
nuevos valores ),( 43 if
Si fi 0, entonces terminar.
Si n, recalcular correcciones.
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Ejemplo 2: Determine la posicin de las barras 3 y 4 en el
ejemplo 1 anterior. UtiliceMatlab.
Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.2 = 0, 3 = 45, 4 = 135 (valores asumidos).
El siguiente programa calcula los valores de 3 y 4 para
la posicin del mecanismo correspondiente a 2 = 0.
Datos de entrada: rs(1)=12; rs(2)=4; rs(3)=10; rs(4)=7;
th(1)=0; th(2)=45*pi/180; th(3)=135*pi/180;
Los valores obtenidos son:
3 = 44.05
4 = 96.66
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2015-I
function [th3, th4]=posicion4(th,rs)
% Solucin de posicin para mecanismo
% de 4 barras
% Aplica mtodo de Newton-Raphson
%
% Valores de entrada de la funcin
% th(1)=theta2
% th(2)=theta3bar (suposicin inicial)
% th(3)=theta4bar (suposicin inicial)
% rs(1)=r1, rs(2)=r2, rs(3)=r3, rs(4)=r4
%
% Valores de salida:
% th3= theta3, th4= theta4
th2=th(1);
th3bar=th(2);
th4bar=th(3);
% Condicin de convergencia
epsilon=1.0e-6;
% Inicializar el vector f
% Calcular las dos componentes del vector f
f=[rs(3)*cos(th3bar)-rs(4)*cos(th4bar)+rs(2)*cos(th2)-rs(1);
rs(3)*sin(th3bar)-rs(4)*sin(th4bar)+rs(2)*sin(th2)];
% Calcular repetidamente los valores de correccin
% delta theta para el mtodo de Newton-Raphson
while norm(f)>epsilon
J=[-rs(3)*sin(th3bar) rs(4)*sin(th4bar);
rs(3)*cos(th3bar) -rs(4)*cos(th4bar)];
dth=inv(J)*(-1.0*f)
th3bar=th3bar+dth(1); th4bar=th4bar+dth(2);
f=[rs(3)*cos(th3bar)-
rs(4)*cos(th4bar)+rs(2)*cos(th2)-rs(1);
rs(3)*sin(th3bar)-
rs(4)*sin(th4bar)+rs(2)*sin(th2)];
norm(f);
end;
th3=th3bar*180/pi; th4=th4bar*180/pi;
Programa en Matlab
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2015-I
En un mecanismo de 4 barras, el anlisis de posicin se
lo puede realizar de una manera exacta usando la
ecuacin de Freudenstein (sec. 4.5 del libro de Norton).
En el libro de Norton se pueden consultar adems lassiguientes secciones:
6.7/6.9 Anlisis de velocidades
7.3/7.5 Anlisis de aceleraciones
Hay que notar que existen mltiples soluciones para el
problema de posicin. La solucin de N-R normalmente
depende de la posicin inicial asumida.
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2015-I
Normalmente se requiere que la solucin de posicin
sea obtenida para varias posiciones angulares del
eslabn de entrada hasta obtener un ciclo completo.
Esto se puede hacer resolviendo secuencialmente un
programa enMatlab. En este caso solo se necesita la
postura inicial; para las dems, la ltima posicin
obtenida puede ser usada como valor inicial. Esto semuestra en el siguiente ejemplo.
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2015-I
Ejemplo 3: Determine la posicin angular de las barras 3 y
4 en el ejemplo 2 anterior para un ciclo completo. Utilice
Matlab.Datos: r1 = 12.0 cm,r2 = 4.0 cm,r3 = 10.0 cm,r4 = 7.0 cm.
2 = 0, 3 = 45, 4 = 100 (valores asumidos).
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2015-I
El programa Ej3MM3 calcula los valores de 3 y 4 y los
grafica para 2
= 0:5:360.
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2015-I
Ejercicio 3.1: Examine las curvas de 3 y 4 en el
Ejemplo 3. Explique cmo varan las velocidades
angulares 3 y 4, a partir de estos grficos.
Ejercicio 3.2: Analice el ejemplo 3 para diferentes
valores der2. Aumente gradualmente el valor hasta que
la funcin ya no devuelve ningn valor (el algoritmo
numrico no converge). Explique lo que ocurre. Ejercicio 3.3: Utilice el programa Barras para
comprobar los resultados obtenidos en el Ejemplo 3.
Ing. Eduardo Orcs P.
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2015-I
Ejemplo 4: Grafique la posicin del eslabn 3 en el ejemplo
2 anterior para un ciclo completo. Grafique tambin las y
de las barras 3 y 4. Use la funcinfsolve deMatlab parael anlisis de posicin.
El programa Ej4MM3 llama a la funcin
Posicin4barras, la cual usa la funcinfsolve para hallar
3 y 4 en el anlisis de posicin.
Ing. Eduardo Orcs P.
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2015-I
En el mtodo cinetosttico de anlisis, se asumenconocidas la velocidad y aceleracin de entrada, y secalculan las fuerzas y torques requeridos. Esto implicaque se dispone de un motor que es capaz deproporcionar al eslabn de entrada la velocidad y
aceleracin requeridas (lo cual no siempre es posible).En las secciones siguientes usaremos este mtodo.(Consultar seccin 11.4 del libro de Norton).
En el mtodo de respuesta dinmica ( simulacindinmica), se asume que las fuerzas son las queproducen los movimientos de los mecanismos. Elenfoque requerido en este caso es ms complejo.
Mtodo Matricial de Anlisis de Fuerzas
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2015-I
Mtodo Matricial de Anlisis
Cinetosttico en Mecanismos Articulados
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2015-I
DCL de los eslabones del mecanismo. Ecuaciones
vectoriales de suma de fuerzas y momentos alrededor del
CG.
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2015-I
Se generan 9 ecuaciones escalares de suma de fuerzas y
momentos, con 9 incgnitas.
Ing. Eduardo Orcs P.
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2015-I
Estas 9 ecuaciones se pueden presentar en forma matricial
como se muestra a continuacin. Las incgnitas son las
fuerzas en las articulaciones y el par requerido en el
eslabn de entrada. Previamente se deben haber calculado las aceleraciones angulares de los eslabones y
las aceleraciones lineales de losCG.
Ing. Eduardo Orcs P.
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2015-I
Ejemplo: Resolver por el Mtodo Matricial Cinetosttico
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
7/25/2019 Clase MM3 2015 I
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2015-I
Programa en Matlab
% Fuerzas de inercia por el mtodo matricial cinetosttico
%
% Matriz de coeficientes
A = [-1 0 1 0 0 0 0 0 0;
0 -1 0 1 0 0 0 0 0;
0 0 -1.81 2.4 0 0 0 0 1;
0 0 -1 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 -1 0 1 0 0 0;
0 0 1.56 3.68 1.56 3.68 0 0 0,
0 0 0 0 -1 0 1 0 0;
0 0 0 0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 0 -2.27 2.28 -5.25 0.46 0];
%% Vector de cargas
B = [0 0 0 -11.31 -1.21 17.35 -13.44 7.88 -40.25]';
%
% Vector de fuerzas
Fuerzas = A\B % Tambin se puede usar inv(A)*B, A^(-1)*B
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2015-I
Resultados:
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2015-I
Ejemplo: Anlisis de un mecanismo de
cuatro barras usando el programaFourbar.
Ing. Eduardo Orcs P.
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
7/25/2019 Clase MM3 2015 I
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
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2015-IIng. Eduardo Orcs P.
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Tareas Leer las siguientes secciones del libro de Norton:
- Cap. 11,Anlisis de fuerzas dinmicas,
Secs. 11.0 a 11.9
Resolver ejercicios de la Clases MM3: 3.1, 3.2, 3.3.
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