L1
L2
0 x
y
• ¿Cuál de las ¿Cuál de las rectas está más rectas está más inclinada?inclinada?
• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?
x
yencambio
recorrido
elevaciónm
∆∆===
en x cambio
y
La pendiente m de la recta l es:
y2 - y1
x2 - x1
Cálculo de la pendiente de una recta
0 x
y
P1(x1;y1)
P2(x2; y2)
∆x=x2 - x1
∆y=y2 - y1
m =
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
Ubique los puntos en el plano y Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos determine la pendiente de estos segmentos:segmentos:
1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)
3.3. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)
5.5. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)
7.7. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)
Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente
Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente
Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = = 0 0
Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen
pendiente definida. pendiente definida.
Ejemplo:
Un doctor compro un automóvil nuevo en
1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un
amigo en $26 000.Dibuje una recta que
muestre la relación entre el precio de venta
del automóvil y el año en que se vendió.
Determine e interprete la pendiente.
La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuación de la recta 2.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
Ax + By + C = 0
Ejercicios:
3. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5 b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
• La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0
• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes
• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B≠0, C ≠ 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.
• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.
• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A≠0, B=0, C ≠ 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.
• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.
• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.
• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A≠1, B≠1, C≠ 0; al despejar y la ecuación general toma la forma
• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/B; que puede ser representada como se muestra
B
Cx
B
Ay −=
m1 = m2
Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes soncuyas pendientes son
mm11 yy mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) ) si y sólo si y sólo
si tienen la misma pendiente o si ambas si tienen la misma pendiente o si ambas
son verticales .son verticales .
Es decir:Es decir:
° Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 ⊥l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.
m1 . m2 = -1
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