Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTOS SEGÚN LA
ACELERACIÓN
LA ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA PUEDE SER VARIABLE O CONSTANTE; EN ESTE ÚLTIMO CASO, PUEDE TENER UN
VALOR IGUAL A CERO O DIFERENTE DE CERO
ESTA CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS, NOS PERMITE ESTUDIAR UNA GRAN CANTIDAD DE SITUACIONES
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLEEN ESTE CASO, ES NECESARIO EL EMPLEO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL, PARTIENDO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
;dt
drv = ;
dt
dva = ;
2
2
dt
rda =
dr
dvva ⋅=
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE
LA IDEA GIRA EN TORNO A LA POSIBILIDAD DE OBTENER LAS MAGNITUDES FÍSICAS INVOLUCRADAS EN CINEMÁTICA, UNAS A PARTIR DE LAS OTRAS, UTILIZANDO DERIVADAS E INTEGRALES. POR EJEMPLO:
SI CONOCEMOS LA POSICIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO
UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN
EN ESTE CASO TENDRÍAMOS QUE INTEGRAR
SI CONOCEMOS LA ACELERACIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO UNA
FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN
dt
drv =
dt
dva =
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE
DE LAS EXPRESIONES QUE TENEMOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:
DONDE v0 Y t0 SON CONDICIONES INICIALES
DADAS EN EL EJERCICIO
dtadv ⋅= ⇒ ∫∫ ⋅=t
t
v
vdtadv
00
EN ESTE SENTIDO SE DERIVA
EN ESTE SENTIDO SE INTEGRA
)(tr
)(tv
)(ta
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE E IGUAL A CERO
SI LA ACELERACIÓN SIEMPRE ES CERO, IMPLICA QUE LA VELOCIDAD NO CAMBIA, ES CONSTANTE
¿CUÁNDO EL RESULTADO DE UNA DERIVADA ES CERO?
EN ESTE CASO, CUANDO LO QUE SE DERIVA (LA VELOCIDAD) ES CONSTANTE CON RESPECTO AL TIEMPO
SI LA VELOCIDAD NO CAMBIA, INDICA QUE EN TODO INSTANTE DE TIEMPO ES IGUAL; ES DECIR, IGUAL MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO
EN EL CASO DE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, LA SITUACIÓN SE CONOCE COMO MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU)
AQUÍ, LA VELOCIDAD MEDIA ES IGUAL A LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA, ENTONCES:
[ ]dt
tvdta
)()(
=
t
trtvtvm ∆
∆== )()()(
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CINEMÁTICA
EN ESTA SITUACIÓN, LA ACELERACIÓN SIEMPRE TENDRÁ IGUAL MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO, YA QUE ES CONSTANTE
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES A UTILIZAR:
(LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE, PUEDE
SALIR DE LA INTEGRAL)
VECTORIALMENTE:
1)
INTEGRANDO:
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
dt
dva = dtadv ⋅= ⇒ ∫∫ =
t
t
v
vdtadv00
⇒
t
t
v
vtav00
⋅= ⇒ ( )00 ttavv −⋅=− ⇒ ( )00 ttavv −⋅+=
( )00 ttavv −⋅+= ; SI t0 = 0: tavv ⋅+=
0
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICA
2)
INTEGRANDO:
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
dt
drv = dtvdr ⋅= ⇒
( )∫∫ ⋅+=t
t
r
rdttavdr
000
⇒
t
t
r
rtatvr
0
0
20 2
1
⋅+⋅= ⇒ ( ) ( ) 20000 2
1ttattvrr −⋅+−⋅=−
( ) dttavdr ⋅⋅+= 0
( ) ( ) 20000 2
1ttattvrr −⋅+−⋅+= O ( ) ( ) 2000 2
1ttattvr −⋅+−⋅=∆
⇒
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICA
2) VECTORIALMENTE:
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
SI t0 = 0:
( ) ( ) 20000 2
1ttattvrr −⋅+−⋅+=
O
( ) ( ) 2000 2
1ttattvr −⋅+−⋅=∆
200 2
1tatvrr ⋅+⋅+=
O2
0 2
1tatvr ⋅+⋅=∆
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICA
3)
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Y DIFERENTE DE
CERO
dr
dvva ⋅=
(LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE, PUEDE
SALIR DE LA INTEGRAL)
AUNQUE ESTAS ECUACIONES NO SE PUEDEN ESCRIBIR VECTORIALMENTE, DEBEN CONSIDERARSE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES
INVOLUCRADOS, AL UTILIZARSE EN LA RESOLUCIÓN DE UN EJERCICIO
INTEGRANDO:
dravdv ⋅= ⇒ ∫∫ =r
r
v
vdravdv
00
⇒
r
r
v
vrav
00
2
2
1 ⋅= ⇒ ( ) ( )020
2
2
1rravv −⋅=−
⇒ ( )020
2 2 rravv −⋅=− ⇒ ( )020
2 2 rravv −⋅+=
ravv ∆⋅+= 220
2O
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
20 vv
vm
+= (SÓLO PORQUE LA
ACELERACIÓN ES CONSTANTE)
CUANDO LA PARTÍCULA DESCRIBE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, SE DICE QUE TIENE UN MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
OTRA ECUACIÓN VALIDA EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO ES:
SI TRABAJAMOS EN DOS O TRES DIMENSIONES, SE TENDRÍAN QUE APLICAR LAS ECUACIONES PARA CADA DIRECIÓN (x, y, z) POR SEPARADO
EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO, ADEMÁS DE LOS MOVIMIENTOS HORIZONTALES, SE ESTUDIAN TRES SITUACIONES PARTÍCULARES:
CAÍDA LIBRE
LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO
LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
ESTOS TRES MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS TIENEN CARACTERÍSTICAS COMUNES:
¿ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD?
1) SON MOVIMIENTOS VERTICALES
2) SON INFLUENCIADOS POR LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD; ES DECIR, LOS CUERPOS QUE SE MUEVEN ESTÁN EN EL AIRE, NO TIENEN UN MECANISMO QUE LOS SOSTENGA
?
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD ES AQUELLA CON LA QUE LA TIERRA ATRAE A LOS CUERPOS HACIA SU CENTRO
MAGNITUD:
NOTACIÓN: g
SIN TOMAR EN CUENTA LOS EFECTOS DE LA RESISTENCIA DEL AIRE, TODO CUERPO QUE CAE CERCA DE LA SUPERFICIE TERRESTRE SE
MOVERÁ CON ACELERACIÓN CONSTANTE E IGUAL A g
DIRECCIÓN: VERTICAL
SENTIDO: HACIA ABAJO
S.I. c.g.s. TÉCNICO Inglés
9,81 m / s2 981 cm / s2 9,81 m / s2 32 pie / s2
⇒ ( )2
81,9s
mjg −=
ok
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
¿QUÉ DIFERENCIA A ESTOS TRES MOVIMIENTOS VERTICALES?
CAÍDA LIBRE: ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO, DONDE LA VELOCIDAD INICIAL ES CERO
LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO: TAMBIÉN ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO, PERO LA VELOCIDAD INICIAL ES DISTINTA DE CERO
LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA: ES UN MOVIMIENTO DE ABAJO HACIA ARRIBA, DONDE LA VELOCIDAD INICIAL ES DIFERENTE DE CERO
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
ASPECTOS A CONSIDERAR EN LOS MOVIMIENTOS VERTICALES:
LA RAPIDEZ DE UN CUERPO EN UN PUNTO DE LA TRAYECTORIA AL SUBIR, ES IGUAL A LA RAPIDEZ DEL MISMO CUERPO EN UN PUNTO DE LA TRAYECTORIA AL BAJAR, SIEMPRE Y CUANDO AMBOS PUNTOS ESTÉN AL MISMO NIVEL HORIZONTAL
CUERPO SUBIENDO
CUERPO BAJANDO
1 2v1 = v2
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN
CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO
ALTURA MÁXIMA (hMAX): ES LA ALTURA DEL PUNTO MÁS
ALTO EN LA TRAYECTORIA DE LA PARTÍCULA. EN ESTE PUNTO, LA VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA ES IGUAL A CERO
SE SUELEN EMPLEAR LOS SIGUIENTES TÉRMINOS:
TIEMPO MÁXIMO (tMAX): ES EL TIEMPO QUE EMPLEA LA
PARTÍCULA EN LLEGAR A LA ALTURA MÁXIMA
TIEMPO DE VUELO (tV): ES EL TIEMPO QUE LA PARTÍCULA
PERMANECE EN EL AIRE. (¡CUIDADO!, NO SIEMPRE EL TIEMPO DE VUELO ES DOS VECES EL TIEMPO MÁXIMO)
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO EN EL PLANO
ES AQUEL MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO SE MUEVE EN DOS DIMENSIONES AL MISMO TIEMPO, POR
LO QUE SU TRAYECTORIA ESTÁ SOBRE UN PLANO
AUNQUE CONTEMPLA LO SIGUIENTE:
a) MOVIMIENTO DE PROYECTILES
b) MOVIMIENTO CIRCULAR
ESTUDIAREMOS EL PRIMERO, EL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO DE PROYECTILES
ES UN MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO ESTÁ EN EL AIRE,
Y ES LANZADO A ÉL CON UN ÁNGULO DE INCLINACIÓN α
ES UN MOVIMIENTO COMPUESTO POR DOS MOVIMIENTOS INDEPENDIENTES:
EN EL EJE X, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU); ES DECIR, LA VELOCIDAD EN ESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE
EN EL EJE Y, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV); ES DECIR, LA ACELERACIÓN EN ESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE, Y ES IGUAL A LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
EN EL EJE X, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRU
EN EL EJE Y, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRUV
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO DE PROYECTILES
EJE X: MRU
EJE Y: MRUV
t
trtv
∆∆= )(
)(
tavv YY Y⋅+=
0
20 2
1tatvr YY Y
⋅+⋅=∆
YYY ravvY
∆⋅+= 220
2
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CINEMÁTICAMOVIMIENTO DE PROYECTILES
AQUÍ SE CUMPLEN LAS CONSIDERACIONES ESTABLECIDAS EN LOS MOVIMIENTOS VERTICALES VISTOS ANTERIORMENTE, PERO
SE UTILIZA UN CUARTO TÉRMINO, EL ALCANCE HORIZONTAL
ALCANCE HORIZONTAL (R): ES LA DISTANCIA RECORRIDA POR EL CUERPO EN EL EJE X
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
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