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Cinemática - 1 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy

Cinemática

Introducción

El movimiento es fundamental para nuestras vidas y nuestro pensamiento. El movimiento de un lugar a otro en

una cantidad determinada de tiempo ayuda a definir quiénes somos y cómo vemos el mundo. Al ver a otras

personas, objetos o animales en movimiento y ser capaz de imaginar de dónde vienen, a dónde van y cuánto

tiempo va a tomar para llegar allí es natural para nosotros.

Todos los animales, no sólo los seres humanos, hacen cálculos del movimiento de sí mismos y del mundo que

los rodea. Sin esa capacidad no podríamos sobrevivir. Una comprensión básica del movimiento se encuentra en

lo profundo de nuestras mentes y estaba allí mucho antes de que pudiéramos escribir o hablar acerca de la

física.

No debería sorprender entonces que la primera y más importante de las cuestiones de la física esté relacionada

con el movimiento. Muchos de los primeros escritos de la física tratan acerca de este tema y datan de miles de

años atrás. El estudio del movimiento se llama cinemática. Viene de las palabras griegas kinema, que significa

movimiento. Casi todo lo que aprendemos en la física implica el movimiento de objetos. Por lo tanto, la

cinemática debe entenderse bien para que el resto de los temas que estudiaremos más adelante tenga sentido.

Tiempo y distancia

Todo el mundo sabe qué es el tiempo y la distancia hasta que se les pide que los definan. Ahora trata de definir

qué es el tiempo sin utilizar la idea del tiempo mismo en tu definición. Aquí hay algunas definiciones que hemos

escuchado hasta ahora. Seguramente también encontrarás algunas nuevas.

El tiempo es la cantidad de tiempo que pasa.

El tiempo es cuánto toma para que algo suceda.

El tiempo es cuánto tengo que esperar.

El problema con estas definiciones es que utilizan la palabra "tiempo", o implican su uso. En la primera definición,

si no sabes qué hora es, ¿cómo se puede utilizar para definir el tiempo? En las dos siguientes, la palabra

"cuánto" es sólo otra manera de decir "qué cantidad de tiempo". No se consideran definiciones debido a que si no

sabías qué era el tiempo al iniciar, sigues sin saberlo.

Fíjate si puedes hacer algo mejor en la formulación de una definición de la distancia. Pensamos que te

encontrarás con el mismo problema.

Todos creemos que sabemos qué significan estos términos, pero es imposible definirlos. Nos movemos a través

del tiempo y del espacio de forma tan natural como se mueve un pez en el agua. El tiempo y el espacio nos

rodean, pero aún así no podemos decir lo que son. Son demasiado fundamentales para ser definidos. Los

debemos tomar "como vienen". Tenemos la sensación de que sabemos lo que son. Ese sentido viene

directamente de nuestras mentes y cuerpos, pero en realidad no podemos definirlos más allá de eso.

Nuestro sentido del tiempo y la distancia que debe haber evolucionado en nosotros mucho antes de que

pudiéramos pensar en ellos. Todos los animales necesitan una percepción básica del tiempo y la distancia para

poder sobrevivir. Los animales unicelulares más primitivos se mueven a través del tiempo y del espacio, y


seguramente no tienen una definición de lo que esos conceptos representan. El sentido del tiempo y la distancia

es anterior a nuestra capacidad de pensar y tal vez por eso no podemos usar nuestra mente para definirlos, pero

podemos trabajar con ellos.

Podemos medir el flujo del tiempo con los relojes y la distancia entre las ubicaciones en el espacio con una

regla. Si bien no representan definiciones, nos permiten comparar los diferentes intervalos de tiempo y espacio

entre sí. La capacidad de medir el tiempo y la distancia representa un punto de partida para la física.

Por ejemplo, supongamos que la cantidad de tiempo que me toma correr una vez alrededor de una pista es de 2

minutos. Esto significa que el minutero de mi reloj dará la vuelta dos veces, mientras yo corro alrededor de la

pista una vez. Eso no me dice qué hora es, pero sí me dice que los dos procesos consumieron la misma cantidad

de tiempo. Por lo tanto puedo comparar el tiempo que toma para que algo suceda con el tiempo necesario para

que otra cosa suceda.

Del mismo modo, no necesito conocer la distancia para comparar la distancia entre dos objetos con la distancia

entre otros dos objetos. Puedo decir que la distancia desde el talón hasta la punta de mi pie es la misma que la

distancia de un extremo al otro de una regla de un pie de longitud. Por lo tanto puedo decir que mi pie tiene un

pie de largo, incluso sin una definición de lo que significa la longitud.

Unidades de Tiempo y Distancia

Para que la gente pueda comparar sus medidas con las tomadas por otros, se acordó un sistema internacional

de medidas. El Sistema Internacional (SI) es utilizado por casi todos los científicos del mundo. En ese sistema, la

unidad básica de longitud es el metro y la unidad básica de tiempo es el segundo.

La distancia se mide en metros (m).

El tiempo se mide en segundos (s).

Las mediciones de longitud se realizan mediante la comparación de la distancia entre dos lugares con la

distancia entre los dos extremos de una barra de un metro de largo. Las mediciones de tiempo se realizaron al

medir el tiempo entre los eventos con el tiempo que tarda un segundo en mover la aguja de un reloj.

Los científicos usan el metro, en lugar del pie, para medir distancias, debido a que es más simple. No resulta más

preciso utilizar el sistema del SI para medir longitudes en metros, en lugar del sistema inglés para medir

longitudes en pies. Sin embargo, resulta mucho más sencillo. Esto se debe a que la matemática de tratar con 12

pulgadas en un pie y 5280 pies en una milla es mucho más difícil que en el sistema métrico, que involucra 100

centímetros en un metro y 1000 metros en un kilómetro. Cuando comiences a resolver problemas, estarás feliz

de saber que no tendrá que lidiar con pies, millas y pulgadas.

Rapidez constante

Si todo en el mundo se detuviera, sólo necesitaríamos medir el tiempo y la distancia de forma independiente y

eso sería todo. Pero eso sería un mundo muy aburrido. Muchas de las cosas más interesantes implican

movimiento, objetos que se mueven de un lugar a otro en cierto período de tiempo. La rapidez con lo que lo

hacen es la rapidez del objeto.

La velocidad no es una propiedad fundamental del mundo, como la distancia y el tiempo, pero es una invención


humana. Se define como la razón entre la distancia recorrida y el tiempo que tardó en recorrer esa distancia.

Rapidez ≡ Distancia / Tiempo

o

r ≡ d/t

El signo de igualdad con tres líneas paralelas solo marca que se trata de una definición. Hemos creado la palabra

"rapidez" y la definimos para que signifique la razón entre la distancia y el tiempo. No hay manera de que esto

pueda demostrarse que está bien o mal, mediante la experimentación ni por cualquier otro medio, ya que

acabamos de inventarlo. Cuando utilicemos la fórmula, por lo general la escribiremos sólo con un signo igual,

pero debemos recordar que es sólo nuestra definición.

La rapidez y la distancia no dependen de la dirección del recorrido. Por lo tanto, si caminas dos millas hasta la

escuela y luego regresas a tu casa, la distancia total que viajaste es de cuatro millas. Si te tomó una hora para

hacerlo, tu rapidez media fue de cuatro millas por hora. En esta sección asumimos que tu rapidez es constante.

En las siguientes secciones trataremos los casos en los que tu rapidez cambia.

Unidades de rapidez

Las unidades de rapidez pueden derivar de su fórmula:

r = d/t

La unidad SI de la distancia es el metro (m) y del tiempo, el segundo (s). Por lo tanto, la unidad de la rapidez es

el m/s.

Resolución de problemas

Cuando se resuelven problemas de física, hay una serie de pasos que se deben seguir. En los primeros

problemas que vamos a desarrollar, es posible saltarse algunos pasos y aún así obtener la respuesta correcta.

Pero eso no tendrás la oportunidad de practicar los métodos que necesita para resolver los problemas más

difíciles. Es aconsejable aprender a nadar en la parte menos profunda de la piscina, pero si uno sólo se pone de

pie allí, no será de mucha ayuda cuando la piscina se vuelva más profunda. Por lo tanto, utiliza el siguiente

enfoque en todos los problemas que resuelvas desde el principio. Al final valdrá la pena.

1. Lee el problema con atención y subraya o toma nota de cualquier información que parece que puede

resultar útil.

2. Lee todo el problema nuevamente, pero ahora empieza a escribir la información que te resultará útil.

Identifica qué se pide y qué se proporciona.

3. Si corresponde, haz un dibujo.

4. Identifica una fórmula que relacione la información que te han proporcionado con la información que te

han pedido.

5. Reorganiza la fórmula para buscar la variable que deseas encontrar. Esto quiere decir que debes

conseguir que la variable esté sola en el lado izquierdo del signo igual.

6. Sustituye los valores proporcionados, incluso las unidades.

7. Calcula el resultado numérico.

8. Resuelve las unidades del lado derecho de la ecuación y compáralas con las unidades que son

adecuadas para lo que se está buscando. Por ejemplo, si buscas la distancia, las unidades deben ser

metros, no metros por segundo.


9. Vuelve a leer el problema y comprueba que tu respuesta tenga sentido. Se ha demostrado que los

estudiantes que tienen éxito en la física leen cada problema por lo menos tres veces.

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Ejemplo 1: Si manejas tu bicicleta con una rapidez constante, te llevará 25 segundos recorrer una distancia de

1500 metros. ¿Cuál fue tu rapidez?

Tenemos la distancia y el tiempo, y debemos encontrar la rapidez.

r = ?

d = 1500 m

t = 25 s

Podemos utilizar directamente la ecuación r = d / t. Esto proporciona la relación entre las tres variables y ya está

resuelta para la variable que estamos buscando. Después de escribir la fórmula sólo tenemos que sustituir los

valores con unidades.

r = d/t

r = 1500m/25s

r = 60 m/s

Ten en cuenta que no solo 1500 se divide por 25 con un resultado de 60, sino que también los metros (m)

divididos por el tiempo (s) tienen como resultado m/s, que es la unidad correcta para la rapidez. Al hacer siempre

las mismas operaciones matemáticas en las unidades y en los números, deberías obtener las unidades correctas

en tu respuesta. Es una buena forma de comprobar si resolviste correctamente el problema.

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Ahora veamos un ejemplo donde la fórmula no puede utilizarse directamente.

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Ejemplo 2: ¿Qué tan lejos llegarás si manejas con una rapidez constante de 25 m/s durante 360 s?

Tenemos la rapidez y el tiempo, y debemos encontrar la distancia.

r = 25 m/s

d = ?

t = 360 s

Utilizaremos la misma fórmula (r = d/t), ya que relaciona los valores conocidos (rapidez y tiempo) con el valor

desconocido (distancia). Pero, en este caso, mientras tenemos que buscar la distancia (d), la fórmula que

tenemos (r = d/t) funciona para buscar la rapidez (s). En primer lugar debemos utilizar el álgebra para reorganizar

la fórmula para buscar la distancia. Sólo en ese momento los valores deben ser sustituidos en la fórmula.

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Utilizaremos tres reglas para reorganizar la fórmula.

1. Si la variable que estamos buscando está en el lado del número y no está sola, entonces está

relacionada matemáticamente con otros números y/o variables. Podemos despejarla al realizar la

operación inversa en cada una de las otras variables o números. Por ejemplo, si la d se divide por t,


podemos conseguir la d sola al multiplicarla por t (ya que la multiplicación es lo contrario de la división).

2. Podemos hacer lo que deseemos en un lado de una ecuación, siempre y cuando también lo hagamos en

el otro lado (excepto al dividir por cero). Por lo tanto, si multiplicamos por t el lado derecho de la ecuación

(d/t), también debemos multiplicar por t el lado izquierdo de la ecuación (r).

3. Siempre podemos cambiar los lados derecho e izquierdo de una ecuación.

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Utilicemos este enfoque para resolver la ecuación para la d, r = d/t.

r = d/t

Ya que estamos buscando la d, y la d se divide por el t,

debemos multiplicar la d/t por el t. Pero sólo podemos hacerlo si

también multiplicamos la r por el t. Por lo tanto multipliquemos ambos lados por el t.

rt = (d/t)t

Cancelemos el t a la derecha, ya que está en el numerador y el denominador, y t/t = 1

rt = d

Cambiemos la d al lado izquierdo

d = rt

Sustituyamos los valores de r y t

d = (25 m/s) (360 s)

d = 9000m

Ten en cuenta que no sólo 25 veces 360 da como resultado 9000, sino que también los metros por segundo

multiplicado por los segundos es igual a los metros, ya los segundos se cancelan. Eso nos da como resultado

unidades de metros, lo cual tiene sentido, ya que son la solución para una distancia.

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Ejemplo 3: ¿Cuánto tiempo te tomará recorrer 3.600 m si estás manejando con una rapidez constante de 20

m/s?

Tenemos la distancia y la rapidez, y debemos encontrar el tiempo.

r = 20m/s

d = 3600m

t = ?

En este caso estamos buscando el tiempo (t), pero la fórmula que tenemos (r = d/t) funciona para buscar la

rapidez (r). En primer lugar debemos utilizar el álgebra para reorganizar la fórmula para buscar el t. Sólo en ese

momento los valores deben ser sustituidos en la fórmula r = d/t. En este caso necesitamos agregar otra regla

adicional para reorganizar la fórmula.

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4. Lo desconocido que estamos buscando debe estar en el numerador, no en el denominador. Por lo tanto,

si buscamos la fórmula r = d / t para t, nuestro primer paso debe ser mover t para el numerador a la

izquierda en lugar de dejarlo en el denominador de la derecha. Para ello, debemos multiplicar ambos

lados de la ecuación por t, que nos da como resultado rt = d. Entonces podemos proceder tal como lo

hicimos anteriormente.

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r = d/t

Multiplica ambos lados por t para cancelar la t a la derecha

y llévala a la izquierda

rt = (d/t)t

Cancela la t de la derecha, ya que t / t = 1

rt = d

Debido a que t no está solo, ya que se multiplica por r,

debemos dividir ambos lados por r

(rt)/r = d/r

Cancela r en el lado izquierdo, debido a que r/r = 1

t = d/r

Sustituye los valores de d y r

t = (3600m)/(20m/s)

d = 180s

Las unidades pueden ser un poco más difíciles de entender en este caso. Tenemos metros dividido por metros

por segundo. Pero recuerda de las fracciones que al dividir por una fracción es igual que multiplicar por su

recíproco. (Dividir por 1/3 es lo mismo que multiplicar por 3). Por lo tanto, si divides m/s, es lo mismo que

multiplicar por s/m. Esto deja claro que los metros se cancelan, cuando multiplicamos s/m por m, y nos

quedamos con los segundos, una unidad apropiada de tiempo.

Rapidez instantánea

Hay una vieja broma acerca de una persona que es detenida por manejar demasiado rápido. El oficial de policía

le dice al infractor que iba 60 millas por hora en una zona de cuarenta millas por hora. La respuesta del infractor

es que él no podría haber ido a sesenta millas por hora, ya que sólo había estado conduciendo durante quince

minutos.

La razón por la que tal argumento no funciona es que la rapidez es una relación entre la distancia y el tiempo.

Hay una cantidad interminable de formas en que puede calcular una rapidez de diez metros por segundo.

Algunas se muestran en la tabla a continuación.

Distancia Tiempo Rapidez

(m) (s) (m/s)

1000 100 10

500 50 10

100 10 10


10 1 10

1 0,1 10

0,1 0,01 10

0,01 0,001 10

0,001 0,0001 10

Puedes ver que en la parte inferior de la tabla que si viajas una milésima parte de un metro en diez milésimas

partes de un segundo, estarás viajando con una rapidez de diez metros por segundo. El tiempo y la distancia

puedan ser tan pequeños como quieras. Cuando el tiempo durante el cual se mide la rapidez es muy corto, la

rapidez que se calcula se llama rapidez instantánea. Esta es la rapidez que se lee en el velocímetro o que un

policía lee en su radar o láser.

Rapidez promedio

Mientras estés viajando, tu rapidez puede variar, aumentar y disminuir, a lo largo del recorrido. Puede ser que

incluso te detengas por un momento para almorzar. Tu rapidez instantánea en algún momento durante el viaje y

tu rapidez promedio para todo el viaje normalmente no son las mismas. La rapidez promedio se calcula al

determinar la distancia total que recorriste y al dividirla por el tiempo total que te llevó recorrer esa distancia.

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Ejemplo 4:

Manejas una bicicleta desde la escuela hasta tu casa, y pasas por la casa de un amigo. Te lleva 7 minutos

recorrer los 2.500 metros hasta la casa de tu amigo. Luego, pasas 10 minutos allí. A continuación, recorres los

3500 m hasta tu casa en 9 minutos. ¿Cuál fue tu rapidez promedio durante todo el recorrido hasta tu casa?

Tu rapidez promedio se obtendrá al dividir la distancia total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal

distancia. En este caso, el viaje consistía en tres segmentos. El primer segmento (I) es el recorrido hasta la casa

de tu amigo, el segundo segmento (II) fue el tiempo que pasaste en la casa de tu amigo y el tercer segmento (III)

fue el viaje a tu casa desde la casa de tu amigo. En el siguiente gráfico, la rapidez se calcula para cada

segmento, a pesar de no ser necesaria para obtener la respuesta solicitada: la rapidez promedio de todo el viaje.

Todas las cifras calculadas se muestran en negritas.

Segmento Distancia Tiempo Rapidez

(m) (s) (m/s)

I 2500 420 6,0

II 0 600 0,0

III 3500 540 6,5

Total /

Promedio 6000 1560 3,8

Por ejemplo, la rapidez para el primer segmento está dada por:

r = ?

d = 2500m

t = 7 minutos = 420 segundos

Ten en cuenta que tenemos que convertir el tiempo en segundos con el fin de utilizar las unidades del SI. Debido


a que hay 60 segundos en un minuto, esto requiere multiplicar siete minutos por la fracción (60 segundos / 1

minuto). Esto nos deja con 420 segundos.

r = d/t

r = 2500m / 420s

r = 6,0 m/s

Para el segundo segmento, tu rapidez fue cero, ya que estabas dentro de la casa. Pero a pesar de que no

estabas en movimiento, el tiempo pasaba. Por lo tanto, los 10 minutos (o 600 segundos) siguen contando para el

tiempo total transcurrido.

El tercer segmento se calcula de la misma manera que el primero.

r = ?

d = 3500m

t = 9 minutos = 540 segundos

r = d/t

r = 3500m / 540s

r = 6,5 m/s

La rapidez promedio se calcula tomando la distancia total, 6000m, y dividirla por el tiempo total, 1560 s, para

obtener una rapidez promedio de 3,8 m/s.

Si bien en este caso no era necesario calcular la rapidez para cada intervalo, es importante tener en cuenta que

la rapidez promedio no es el promedio de toda la rapidez. El promedio de 6,0 m/s, 0,0 m/s y de 6,5 m/s es 4,2

m/s. Pero esta no es la respuesta correcta. La respuesta correcta sólo se puede obtener al encontrar primero la

distancia total y dividirla por el tiempo total. De esta manera se obtiene la respuesta de 3,8 m/s.

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Ejemplo 5:

Corres una distancia de 210 metros con una rapidez de 7 m/s. Luego corres una distancia de 200 metros en 40

segundos. Por último, corres 25 segundos con una rapidez de 6 m/s. ¿Cuál fue la rapidez promedio del total que

corriste?

Tu rapidez promedio se obtendrá al dividir la distancia total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal

distancia. En este caso, el viaje consiste en tres segmentos. En la siguiente tabla, se necesitan cálculos

diferentes para cada segmento con el fin de obtener la rapidez promedio del viaje total.

Segmento Distancia Tiempo Rapidez

(m) (s) (m/s)

I 210 30 7,0

II 200 40 5,0

III 150 25 6,0

Total /

Promedio 560 95 5,9


El tiempo para el primer segmento está dado por:

r = 7,0 m/s

d = 210m

t = ?

r=d/t

rt = d

t = d/r

t = (210m) / (7,0 m/s)

t = 30 s

No necesitamos realmente calcular su rapidez para el segundo segmento, pero lo haremos de todos modos.

r = ?

d = 200m

t = 40s

r = d/t

r = 200m/40s

r = 5,0 m/s

Debe calcularse la distancia para el tercer segmento.

r = 6,0 m/s

d = ?

t = 25 s

r = d/t

rt = d

d = rt

d = (6,0 m/s) (25s)

d = 150 m

La rapidez promedio se calcula al tomar la distancia total, 560m, y dividirla por el tiempo total, 95 s, para obtener

5,9 m/s.

Posición, Desplazamiento y Velocidad

Hasta el momento en nuestro análisis no ha sido necesario, ni permitido, que sepamos algo acerca de la

dirección del movimiento en estudio. Pero en la vida real, la dirección suele ser muy importante. Si estás

conduciendo 60 millas por hora hacia el norte o 60 millas por hora hacia el sur hace una gran diferencia en

cuanto a dónde terminarás.

Los escalares son cantidades que se definen sólo por su magnitud, qué tan grandes son. La rapidez, el tiempo

y la distancia son todos ejemplos de escalares. Cuando hablamos de 40 m/s, 20 minutos o 3 millas, no estamos

dando ninguna información acerca de la dirección.


Los vectores son cantidades que se definen por su magnitud y su dirección. Por lo tanto, si en lugar de decir

que he viajado una distancia de 400 metros, digo que viajé 400 metros al norte, ahora estaría definiendo un

vector. El vector que se define al combinar la distancia con la dirección se llama desplazamiento. El símbolo

para el desplazamiento es "Δx". Hablaremos más sobre este símbolo un poco más adelante, pero puede

utilizarlo mientras tanto. Además, con el fin de no perder de vista qué es un escalar y qué es un vector, siempre

vamos a mostrar los vectores en letra negrita.

Hay importantes diferencias entre la forma en que trabajamos con escalares y vectores. Esto puede ser más

claro al utilizar la distancia y el desplazamiento como ejemplos. Por ejemplo, mientras las distancias son siempre

positivas, ya que no tienen una dirección asociada con ellos, el desplazamiento puede ser positivo o negativo.

Esto significa que si yo tuviera que recorrer 200m hacia el norte y luego 200m al sur, puedo obtener respuestas

muy diferentes para la distancia total recorrida y mi desplazamiento total. Obtengo mi distancia total al sumar

200m a 200m y obtener 400m. Esa es la distancia total que caminé.

Por otro lado, mi desplazamiento representa la suma de los dos desplazamientos. Mi desplazamiento inicial

hacia el norte es igual y opuesto a mi desplazamiento final hacia el sur, por lo que se anulan entre sí. Si pienso

en el norte como la dirección positiva, entonces ese primer desplazamiento es de +200 m, mientras que mi

segundo desplazamiento de -200 m, ya que es hacia el sur. La suma de +200 metros y -200 metros es igual a

cero. Esto se debe a que la dirección del movimiento influye a los desplazamientos, mientras que no influye en la

distancia. Como resultado, el desplazamiento te dice qué tan lejos estás del punto de partida. En este caso, no

tengo distancia desde donde comencé, ya que terminé nuevamente donde comencé.

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Ejemplo 6:

Conduce 1500 metros hacia el norte y 500 metros hacia el sur. Determina la distancia total recorrida y tu

desplazamiento total desde el punto de partida.

La distancia recorrida es la suma de las dos distancias, 1500 m + 500 m= 2000 m.

Con el fin de determinar el desplazamiento total es necesario definir en primer lugar nuestras direcciones.

Llamemos "positivo" al movimiento hacia el norte y "negativo" al movimiento hacia el sur (la dirección que

llamamos positiva no afectará a nuestra respuesta, siempre y cuando seamos consistentes). Esto significa que

para la primera parte del viaje, tu desplazamiento es de +1500 metros y para la segunda parte del viaje tu

desplazamiento es de -500 m. Tu desplazamiento total es la suma de los dos: +1000 m. Desde que decidimos

que íbamos a llamar a la dirección norte "positiva", tu desplazamiento final es de 1000m hacia el norte. El último

paso de la conversión de +1000 m a 1000 m norte es importante para que nuestra elección de + o – no fuese

arbitraria, por lo que necesitamos regresar a las directivas originales que se nos proporcionaron en el problema.

El punto importante aquí es que las respuestas son diferentes y tienen diferentes usos. La distancia recorrida,

2000 m, dice algo acerca de lo cansado que puedes estar debido a que te comunica la distancia total que te

tenías que mover por tí mismo durante este recorrido. Tu desplazamiento, 1000m al norte, te dice dónde estás en

este momento de tu viaje en relación al punto de partida.

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La misma diferencia existe entre la rapidez y la velocidad. El símbolo de la velocidad es v y el símbolo de la

velocidad promedio es de vpromedio. La velocidad promedio se determina al dividir el desplazamiento total por el

tiempo que tomó tal desplazamiento. Esto es similar a cómo calculamos la rapidez promedio al dividir la distancia


total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal distancia.

r ≡ d/t mientras que vpromedio ≡ Δx/t

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Ejemplo 7:

Si el viaje en el ejemplo 6 se llevó a cabo con una velocidad constante y requiere un tiempo total de 500s,

determina la rapidez promedio y la velocidad promedio.

r = ?

d = 2000m

t = 500s

r = d/t

r = 2000m/1200s

r = 4,0 m/s

vpromedio = ?

Δx = 1000m norte

t = 500s

vpromedio = Δx/t

v = (1000m Norte)/500s

v = 2m/s norte

Ten en cuenta que las respuestas numéricas son diferentes y que el resultado de la velocidad incluye una

dirección, mientras que el resultado de la rapidez no la incluye.

Sistemas de coordenadas

El desplazamiento de un objeto nos dice cómo ha cambiado su posición. Para entender mejor qué significa esto

necesitamos una manera de definir la posición: necesitamos un sistema de coordenadas.

Los requisitos de cualquier sistema de coordenadas son un origen y una orientación. En otras palabras,

necesitarás escoger un punto cero desde donde tomarás las medidas y necesitarás conocer la dirección en la

que se va a medir. El tipo más sencillo de sistema de coordenadas es unidimensional, en cuyo caso el sistema

de coordenadas se convierte en una recta numérica, como se muestra a continuación.

El origen se encuentra en el punto cero, las posiciones negativas están a la izquierda del origen y las posiciones

positivas están a la derecha. Podemos identificar diferentes lugares en la recta numérica, como x0, x1 y x2. En el

diagrama anterior, x0 se encuentra en 0, x1 se encuentra en +5m y x2 se encuentra en -5m.

Ahora podemos ajustar nuestra definición de desplazamiento, el cambio en la posición de un objeto, como la

diferencia entre la posición final de un objeto, x, y su posición inicial, xo. Ahora se vuelve más claro por qué el

símbolo de desplazamiento es "Δx". La letra griega delta "Δ", significa "el cambio", por lo tanto "Δx" se puede leer


como "delta x" o "el cambio en x ". Simbólicamente esto se convierte en:

Δx = x - xo

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Ejemplo 8:

Un objeto se mueve desde una posición inicial de +5 m hasta una posición final de +10 m en un tiempo de 10

segundos. ¿Qué desplazamiento experimentó? ¿Cuál fue su velocidad promedio?

x = +10m

xo = + 5m

Δx = ?

Δx = x - xo

Δx = (+10m) – (+5m)

Δx = +5m

vpromedio = ?

Δx = +5m

t = 10 s

vpromedio = Δx/t

v = +5m/2s

v = +2,5m/s

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Ejemplo 9:

Un objeto se mueve desde una posición inicial de +5m hasta una posición final de -10m en un tiempo de 0,25s.

¿Qué desplazamiento experimentó? ¿Cuál fue su velocidad promedio?

x = -10m

xo = + 5m

Δx = ?

Δx = x - xo

Δx = (-10m) – (+5m)

Δx = -15m

vpromedio = ?

Δx = -15m

t = 0,25 s

vpromedio = Δx/t

vpromedio = -15m/0,25s

vpromedio = -60m/s

Una vez más, observe que la respuesta incluye una magnitud, 15m, además de una dirección, "-".

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Los vectores, como el desplazamiento o la velocidad, pueden representarse con una flecha. La longitud de la

flecha representa la magnitud del vector y la dirección que se señala representa la dirección del vector.

Los vectores se pueden añadir de manera gráfica o algebraica. (Incluso si estás resolviendo un problema

algebraico, también resulta útil dibujar la adición de forma gráfica para que puedas asegurarte de que tu

respuesta tenga sentido.) La forma de añadir vectores gráficamente es dibujar el primer vector desde el punto de

origen del problema. Debe ser dibujado a escala y apuntado en la dirección correcta. El segundo vector se

dibujará de la misma manera, pero comenzando donde terminó el primero. La suma de los dos vectores es

simplemente un tercer vector que comienza al principio del primer vector y termina el final del último vector. En

otras palabras, la solución es un tercer vector que conecte el principio del primer vector con el final del último

vector dibujado. La punta de flecha del vector debe apuntar hacia afuera de la ubicación desde donde comenzó.

En el ejemplo siguiente se resuelve gráfica y algebraicamente.

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Ejemplo 10:

Comenzando en un lugar a 400 m al este de tu casa, viajas 500m al este y después 300m hacia el oeste. ¿A qué

distancia estás ahora de tu casa? ¿Qué desplazamiento has experimentado durante tu viaje? Si este recorrido

tomó un tiempo total de 20 s, ¿cuál fue tu velocidad promedio?

La solución gráfica, que se muestra a continuación, se inicia al dibujar un eje este-oeste lo suficientemente

grande. Si tu casa se encuentra en x = 0m, entonces tu posición inicial, xo, es 400 metros al este. Dibuja un

vector que describa la primera parte de tu viaje con un dibujo de una flecha que comience en la ubicación a 400

metros al este de tu casa, que tengan 500 metros de largo y apunte hacia el este. La punta de la flecha debe

estar a 900m al este de tu casa. Luego dibuja el vector de la segunda parte de tu viaje mediante el dibujo de una

flecha que comienza en la punta de la primera flecha, a 900 metros al este de tu casa, que tiene 300 metros de

longitud y que apunta hacia el oeste, hacia tu casa. La punta de flecha que ahora se encuentra en una ubicación

a 600 metros al este de tu casa, que es su ubicación final, x.

Su desplazamiento es la diferencia entre tus posiciones inicial y final. Esto se obtiene, gráficamente, al dibujar

una flecha que comienza en su posición inicial y termina en su posición final. La longitud de esta flecha, que

puede ser medida físicamente o leída desde la escala, es la magnitud de su desplazamiento. La dirección de la

flecha es la dirección de tu desplazamiento. Como se muestra a continuación, se puede ver que su

desplazamiento es de 200 metros al este.

Su velocidad promedio es tu desplazamiento total dividido por el tiempo total que demoró en experimentar el

desplazamiento. En este caso, hemos determinado gráficamente que su desplazamiento se encuentra 200

metros al este y se nos ha informado que su tiempo de viaje fue de 20 segundos. Por lo tanto,

vpromedio = ?

Δx = 200m este

t = 20s

vpromedio = Δx/t

vpromedio = 200m este / 20s

vpromedio = 10m/s este


El mismo problema puede resolverse de forma algebraica, aunque un boceto inicial sigue siendo una buena idea.

El paso clave para una solución algebraica es la de convertir las direcciones para que sean positivas o negativas.

En este caso, podemos definir al este como positivo y al oeste como negativo (la elección no importa mientras

que seamos coherentes en todo el problema).

Su posición inicial se convierte en +400m (400 m al este), su recorrido inicial es de +500m (500 m al este) y la

última etapa de su recorrido es -300m (300 m al oeste). Ahora puede simplemente añadir estos datos para

obtener su posición final, +600m. Esto se traduce en una posición final de 600 metros al este de tu casa.

Su desplazamiento es sólo el cambio en tu posición.

x = +600m

xo = +400m

Δx = ?

Δx = x - xo

Δx = +600m – (+400m)

Δx = +200m

Δx = 200m al este ten en cuenta que este último paso es necesario ya que nuestra elección

de positivo o negativo fue arbitraria

El cálculo de la velocidad promedio se puede realizar de la misma forma que para la solución gráfica.

Aceleración y velocidad instantánea

El mundo más aburrido sería aquel en el que las posiciones de todos los objetos sean constantes... nada se

mueve: la velocidad no tendría sentido. Afortunadamente, nuestro mundo es mucho más interesante que eso.

Los objetos cambian posiciones todo el tiempo, por lo que la velocidad es un concepto importante.

Pero nuestro mundo es aún más interesante que eso... los objetos también cambian su velocidad todo el tiempo:

se trata de acelerar, cambiar de dirección y/o frenar. Como el cambio en la posición con el tiempo lleva a la idea

de velocidad, el cambio de velocidad con el tiempo nos lleva al concepto de la aceleración.

De la misma manera que definimos la velocidad instantánea como la velocidad medida en un periodo corto de

tiempo, ahora podemos definir la velocidad instantánea como la velocidad medida en un periodo corto de

tiempo. Se utilizará el símbolo "v" para la velocidad instantánea. En un mundo con aceleración, la idea de la

velocidad instantánea es muy importante, ya que la velocidad de un objeto puede cambiar frecuentemente de un

momento a otro.

v ≡ Δx/t durante un corto periodo de tiempo...un instante

Ahora podemos definir la aceleración como el cambio de velocidad con el tiempo.

a ≡ Δv/t

o


a ≡ (v- vo)/t

Unidades de aceleración

Las unidades de aceleración pueden derivar de su fórmula:

a ≡ Δv/t

La unidad SI de la velocidad son los metros por segundos (m/s) y del tiempo es el segundo (s). Por lo tanto, la

unidad de aceleración es (m/s)/s o m/s/s.

Esto es igual que (m/s) x (1/s), ya que la división por s es lo mismo que la multiplicación por 1/s.

Esto se traduce en m/s2, que, al mismo tiempo no tiene ningún significado intuitivo, es mucho más fácil no perder

de vista que los m/s/s (metros por segundo por segundo), la forma alternativa de escribir las unidades de la

aceleración.

Debido a que la velocidad es un vector, tiene una magnitud y una dirección. Para el resto de este capítulo, nos

enfocaremos en las aceleraciones que cambian la magnitud de la velocidad de un objeto. Sin embargo, en los

capítulos posteriores, un aspecto clave de la aceleración implica cambiar la dirección de la velocidad de un

objeto. Estos son ejemplos de aceleración. Pero primero comencemos con las aceleraciones que cambian sólo la

magnitud de la velocidad de un objeto.

__________________________________________________________________________________________

Ejemplo 11

Un objeto se mueve a una velocidad de 20 m/s hacia el norte cuando experimenta una aceleración en 12 s, y que

aumenta su velocidad a 40 m/s en la misma dirección. ¿Cuál fue la magnitud y la dirección de la aceleración?

Resolvamos esto de forma algebraica mediante la definición de las velocidades hacia el norte como positivas y

hacia el sur como negativas. Por lo tanto,

v = +40m/s

vo = +20m/s

t= 12s

a = ?

a ≡ Δv/t

a ≡ (v - vo)/t

a = (+40m/s - (+20m/s))/12s

a = (+20m/s)/12s

a = +1.7m/s2

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Ejemplo 12

¿Cuál será la velocidad final de un objeto al cabo de 8,0 s si su velocidad inicial es de +35 m/s y está sujeta a

una aceleración de -2,5m/s2?

v = ?

vo = +35m/s

t= 8,0s

a = -2,5m/s2

a ≡ Δv/t


a ≡ (v - vo)/t

Busca v: Primero multiplica ambos lados por t

at = v - vo

Luego suma vo en ambos lados

vo + at = v

Cambie para que la v quede del lado izquierdo de la igualdad

v = vo + at

Sustituye los valores y resuelve

v = +35m/s + (-2,5m/s2) (8,0s)

v = +35m/s + (-20m/s)

v = +15m/s

Caída libre

Ahora conocemos lo suficiente para poder comprender uno de los grandes debates que marcaron el comienzo

de lo que hoy llamamos física. El término "física" ya era utilizado por los antiguos griegos hace más de 2000

años. Su filosofía, en gran parte descripta en el libro de Aristóteles titulado "Física" (Physics), que incluía algunas

ideas que se mantuvieron hasta que Galileo estableció algunas mediciones y argumentos importantes que

demostraron que la física griega antigua tenía un valor limitado.

La física de la antigua Grecia incluye la idea de que todos los objetos estaban compuestos de una combinación

de cuatro elementos (el quinto elemento estaba reservado para los objetos que estaban más allá de la tierra).

Los cuatro elementos de nuestro mundo eran la tierra, el agua, el aire y el fuego. Cada uno de estos elementos

tenía su lugar natural. Si eliminaba un elemento de su lugar natural, regresaría, en su liberación, de forma

inmediata a ese lugar y lo haría con su velocidad natural (constante).

Su visión del mundo puede pensarse como un conjunto de círculos concéntricos con cada uno de los elementos

que ocupan una capa. La tierra ocupaba el centro del círculo, por lo que las rocas, que son en su mayoría de

tierra, naturalmente se mueven hacia abajo, hacia el centro de nuestro mundo. Sobre la tierra estaba el agua,

que lo llenaba el área sobre las rocas, como un lago o un océano por encima de la tierra que forma un lago o

lecho marino. Por encima del agua estaba el aire, que se ve en todas partes del mundo, por encima de la tierra y

del agua. Por último, el fuego se eleva sobre el aire, en busca de su lugar natural por encima de todo.

Todos los objetos se consideraban como una mezcla de estos cuatro elementos. Las rocas estaban

principalmente en la tierra; por lo que si se te cae una piedra, caerá mientras intenta volver a su lugar natural en

el centro de la tierra. De este modo, pasará a través del agua y del aire: Si se te cae una piedra en un lago, se

hundirá hasta el fondo. El fuego pasa hacia arriba hasta la ubicación más alta, por lo que si haces un fuego,

siempre pasa hacia arriba a través del aire.

Una conclusión a la que llevó esto es que los objetos que estaban formados por un porcentaje más alto de tierra

sentirían un mayor impulso para llegar a su lugar natural. Debido a que la tierra es el elemento más pesado, esto

significaría que los objetos más pesados caerían más rápido que los objetos más livianos. Además, caerían con

una velocidad constante natural.

Esa filosofía estuvo presente más de 2000 años hasta que Galileo, en el siglo XVII hizo una serie de

declaraciones y desarrolló una serie de experimentos que demostraron que ninguna de estas dos conclusiones


era precisa. Demostró que la tendencia natural de todos los objetos sin apoyo es la de caer hacia el centro de la

tierra con la misma aceleración: 9,8m/s2. El número 9,8 m/s2 se utiliza tan a menudo que se le ha generado su

propio símbolo: “g”. En términos modernos, su conclusión puede establecerse de la siguiente manera.

Todos los objetos sin apoyo caen hacia el centro de la Tierra con una aceleración de g: 9,8m/s2.

Esta afirmación requiere una explicación y algunas advertencias.

1. Sin apoyo significa que nada está sosteniendo el objeto hacia arriba. Por lo tanto, si libera algo y nada

detiene su caída, entonces no tiene apoyo. En ese caso, todos los objetos experimentarán la misma

aceleración hacia abajo. No depende de qué tan pesado es el objeto: todos los objetos caen con la

misma aceleración.

2. El apoyo también puede venir de la resistencia del aire. Por lo tanto, un paracaídas proporciona apoyo

aéreo al capturar el aire, por lo que frena al paracaidista. En ese caso, el paracaidista no es un objeto sin

apoyo: él o ella están apoyados por la resistencia del aire. Pero esto es generalmente cierto en menor

medida. Por lo tanto, una pluma o un pedazo de papel sin arrugar también reciben apoyo del aire; para

que tampoco caigan con una aceleración constante. La conclusión de Galileo es una idealización;

supone que podemos ignorar la resistencia del aire, que nunca es del todo cierto cerca de la tierra (o los

aviones y los paracaídas la pasarían muy mal), pero funcionará para los problemas que vamos a

resolver.

3. Su conclusión no depende del movimiento del objeto. Por lo tanto, las pelotas de béisbol que se lanzan

hacia la base del bateador, que se lanzan o arroja hacia arriba caen con la misma aceleración hacia el

centro de la tierra. Esta es un área que genera gran confusión a los estudiantes, por lo que se recordará

con frecuencia. Cada vez que nada impida que un objeto caiga, se acelerará hacia abajo a 9,8 m/s2, sin

importar su movimiento global.

En este libro, supondremos que puede ignorarse la resistencia del aire, excepto que se especifique claramente

que se trata de un factor.

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Ejemplo 13

Un objeto se deja caer cerca de la superficie de la tierra. ¿Cuál será su velocidad después de caer durante 6,0s?

v = ?

vo = 0

t= 6,0s

a = g = -9,8m/s2 Todos los objetos no apoyados tienen una aceleración hacia abajo de

9,8m/s2

a ≡ Δv/t

a ≡ (v - vo)/t

Busca v: Primero multiplica ambos lados por t

at = v - vo



vo + at = v

Cambia para que la v quede del lado izquierdo de la igualdad

v = vo + at

Sustituye los valores y resuelve

v = 0 + (-9,8m/s2) (6,0s)

v = -59m/s

Las ecuaciones de cinemática

Hasta ahora tenemos dos definiciones de movimiento que vamos a utilizar como la base de nuestro estudio del

movimiento: vpromedio ≡ Δx/t y a ≡ Δv/t. Debemos añadir sólo una ecuación más para completar nuestra base, y

entonces podemos comenzar a construir el conjunto de ecuaciones que vamos a utilizar para resolver una serie

de problemas a lo largo de este libro. La última ecuación nos dice cómo calcular la velocidad promedio de un

objeto si conocemos su velocidad inicial y final. Resulta que la condición de la aceleración constante de la

velocidad promedio de un objeto es sólo el promedio de sus velocidades inicial y final. Este promedio se calcula

al sumar simplemente las dos velocidades, v y v0, y dividir por 2:

vpromedio = (v0 + v) / 2

O, ya que dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por ½

vpromedio = ½ (v0 + v)

Esto será cierto siempre que la aceleración sea constante. Sin embargo, tal condición de aceleración constante

es válida no sólo para este curso, sino también para la mayoría de las clases de física a las que asistirás en la

escuela secundaria o en universidades.

Sería posible resolver todos los problemas que afectan a la ubicación, velocidad y aceleración de un objeto, al

utilizar simplemente las dos definiciones y el cálculo de la velocidad promedio que se muestran arriba. Sin

embargo, en la física a veces es mejor hacer un trabajo más difícil desde el principio para que más adelante

resulte más fácil. En este caso, vamos a utilizar las tres ecuaciones anteriores para crear un conjunto de

ecuaciones de cinemática que son más fáciles de trabajar. Primero obtendremos esas ecuaciones de forma

algebraica, y luego las vamos a sacar con un enfoque gráfico. Luego practicaremos trabajar con ellas.

Comencemos al utilizar nuestra definición de aceleración para obtener una ecuación que nos dirá la velocidad de

un objeto en función del tiempo.

a ≡ Δv / t

Sustituye: Δv = v - vo

a = (v - vo) / t

Multiplica ambos lados por t

at = v - vo


vo + at = v

Reorganiza para encontrar v

v = vo + at

Esta ecuación nos dice que la velocidad del objeto en algún momento más adelante será la suma de dos

términos: su velocidad al inicio del problema, vo, y el producto de su aceleración, a, y la cantidad de tiempo que


se aceleró, t. Si su aceleración es cero, esto sólo dice que su velocidad nunca cambia. Si su aceleración no es

cero, esta ecuación nos dice que la velocidad del objeto cambiará más a medida que pasa el tiempo y que

cambiará más rápido si su aceleración es mayor. A menudo en la física queremos conocer la posición final o la

velocidad de un objeto después de una determinada cantidad de tiempo. La ecuación anterior en negrita nos

ofrece una forma directa de calcular las velocidades en tiempos más grandes, dadas las condiciones iniciales:

esta es una ecuación cinemática clave.

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Ejemplo 14

¿Cuál será la velocidad de un objeto al final de 15 s si su velocidad inicial es de -15 m/s y está sujeta a una

aceleración de +4,5 m/s2?

v = ?

vo = -15m/s

t= 15s

a = +4,5m/s2

v = vo + at

v = -15m/s + (+4,5m/s2) (15s)

v = -15m/s + 68m/s

v = +53m/s

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Ejemplo 15

¿Cuánto tiempo tarda un objeto en alcanzar una velocidad de 86 m/s si su velocidad inicial es de 14 m/s y si

experimenta una aceleración de 1,5 m/s2?

v = 86m/s

vo = 14m/s

t= ?

a = +1,5m/s2

v = vo + at

Busca t: Primero resta la vo de ambos lados

v - vo = at

Luego divide ambos lados por una a

(v - vo) / a = t

Finalmente, cambia los lados para que el t quede a la izquierda

t = (v - vo) / a

Ahora sustituye los valores y resuelva

t = (86m/s – 14m/s) / (1,5m/s2)

t = 72 m/s / 1,5m/s2

t = 48s

Ten en cuenta que al igual que 72 dividido 1,5 es igual a 48, (m/s) / (m/s2) es igual a los segundos. Esto se puede

ver si recuerda que la división por una fracción es igual que multiplicar por su recíproco: así (m/s) / (m/s2) es igual

que (m/s) (s2/m). En este caso, se puede observar que los metros se cancelan del mismo modo que los


segundos en el numerador, dejando sólo segundos en el numerador, que es la unidad correcta para el tiempo.

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Ejemplo 16

¿Qué aceleración experimenta un objeto si debe alcanzar una velocidad de 40m/s hacia el norte en un tiempo de

18s, si comienza con una velocidad de 24m/s hacia el sur?

Para este problema, primero definamos al norte como positivo y al sur como negativo. Por lo tanto,

v = +40m/s

vo = -24m/s

t= 18s

a = ?

v = vo + at

Busca el t: Primero resta la vo de ambos lados

v - vo = at

Luego divide ambos lados por t

(v - vo) / t = a

Finalmente cambia los lados para que la a quede a la izquierda

a = (v - vo) / t

Ten en cuenta que esta es sólo nuestra definición original de la

aceleración. Podríamos haber utilizado esa definición, pero es bastante

fácil de recuperar de la ecuación que vamos a utilizar... funciona de

cualquier manera.

Ahora sustituye los valores y resuelve

a = (40m/s – (-24m/s)) / (18s) Ten en cuenta que al sustituir -24 m/s por vo, la ponemos entre sus

propios paréntesis. Eso es para que no perdamos el signo negativo... un

error común. Ahora podemos ver que -(-24m/s) es igual a +24 m/s

a = 64 m/s / 18s

a = 3,6 m/s2

Ya que la respuesta es positiva, la aceleración debe ser hacia el norte

según nuestra decisión original de que el norte sea positivo

a = 3,6 m/s2 hacia el norte

Ten en cuenta que al igual que 64 dividido 18 es igual a 3,6, (m/s) / s es igual a m/s2. Esto se puede ver si

recuerdas que la división por una fracción es igual a la multiplicación por su recíproco: por lo tanto, (m/s) / s es

igual que (m/s) x (1/s).

Ahora tenemos una ecuación útil para determinar cómo la velocidad de un objeto puede variar con el tiempo, a

partir de su velocidad inicial y de su aceleración. Debemos buscar una expresión similar que nos diga dónde se

encuentra un objeto en función del tiempo a partir de su posición inicial, velocidad y aceleración.

Debemos combinar tres de nuestras ecuaciones para lograrlo


v = vo + at La ecuación que acabamos de derivar de la definición de aceleración

vpromedio ≡ (x - x0) / t La definición de velocidad promedio

vpromedio = ½ (v + v0) La ecuación de la velocidad promedio en caso de aceleración constante

Debido a que tenemos dos ecuaciones para la velocidad promedio, vpromedio, deben ser iguales entre sí.

vpromedio = vpromedio

Luego podremos sustituir en las dos ecuaciones diferentes el vpromedio anterior:

uno en el lado izquierdo del signo igual y el otro a la derecha

[(x - x0) / t] = [½ (v + v0)]

Busquemos la x: en primer lugar multipliquemos ambos lados por t para sacarlo

del denominador de la izquierda

x - x0 = ½ (v + v0)t

Luego sumemos x0 a ambos lados para obtener la x sola

x = x0 +½ (v + v0)t

Distribuyamos el t entre paréntesis de la derecha

x = x0 + ½ vt + ½v0t

Ahora sustituyamos en nuestra nueva ecuación v: v = vo + at

x = x0 + ½ (vo + at) t + ½v0t

Distribuyamos el ½t que está entre paréntesis

x = x0 + ½ vot + ½at2 + ½v0t

Combinemos los dos términos ½ vot

x = x0 + vot + ½at2

Esta es otra de las ecuaciones clave en cinemática. Nos permite determinar dónde estará un objeto con el paso

del tiempo a partir de un conjunto de condiciones iniciales. En este caso, hay tres términos: x0 nos dice dónde

comenzó el objeto; vot nos dice qué tan rápido se desplazaba originalmente y cuánto tiempo ha estado viajando;

y ½at2 nos dice cuánto ha afectado la aceleración la distancia recorrida. La razón de que t al final esté elevada al

cuadrado es porque no sólo cambia más su velocidad con el paso del tiempo, sino que también ha tenido más

tiempo para que el cambio de velocidad afecte la distancia recorrida.

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Ejemplo 17

Un automóvil está en reposo cuando experimenta una aceleración de 2,0 m/s2 hacia el norte durante 5,0s. ¿Qué

tan lejos viajará durante el tiempo que acelera?

Para este problema, primero definamos al norte como positivo y al sur como negativo. Además, ya que no se nos

informa dónde comienza el automóvil, vamos a definir su posición inicial como el origen para este problema,

cero. En ese caso, la distancia que viaja solo será su posición, x, al final del problema. Por lo tanto,

x0 = 0

x = ?

vo = 0

t= 5,0s

a = 2,0m/s2


x = x0 + vot + ½at2

La ecuación ya está resuelta para x, por lo que sólo tenemos que

sustituir los números. Sin embargo, un buen primer paso es eliminar los

términos que claramente va a tener un resultado de cero, en este caso el

primer y segundo término. (Ya que vo = 0, todo lo que se multiplique por

vo también tendrá un resultado de cero).

x = ½at2

Esto simplifica muchísimo la ecuación y evita algunos errores de

álgebra. Ahora podemos sustituir los números con las variables.

x = ½(2,0m/s2)( 5,0s) 2

Asegúrate de elevar al cuadrado los 5,0 s antes de multiplicar por

cualquier otra cosa

x = (1,0m/s2)(25s 2)

x = 25m

El automóvil viajará 25m al norte durante el tiempo de aceleración

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Ejemplo 18

Un objeto acelerará desde su reposo. ¿Cuánto tiempo tomará para que recorra 40 m si su aceleración es de

4m/s2?

Ya que no se nos informa dónde comienza el objeto, vamos a definir su posición inicial como el origen, para este

problema, cero. En ese caso, la distancia que recorre, 40m, solo será su posición, x, al final del problema.

Además, ya que al principio está detenido, esto significa que su velocidad inicial es cero. Por lo tanto,

x0 = 0

x = 40m

vo = 0

t= ?

a = 2,0m/s2

x = x0 + vot + ½at2

Eliminemos los términos que claramente va a tener un resultado igual a

cero, en este caso el primer y segundo término. (Ya que vo = 0, todo lo

que se multiplique por vo también tendrá un resultado de cero).

x = ½at2

Ahora busquemos t: Multipliquemos ambos lados por 2 y dividamos

ambos lados por a

2x/a = t2

Ahora tomemos la raíz cuadrada de ambos lados, para obtener t en

lugar de t2 y llevemos la t a la izquierda

t = [2x/a]½

Ahora podemos sustituir con las variables

t = [2(40m)/( 2,0m/s2)]½

t = [80m)/( 2,0m/s2)]½


t = [40s2]½

t = 6,3s

La primera ecuación que obtuvimos nos permite determinar la velocidad de un objeto en función del tiempo si

conocemos su aceleración. La segunda ecuación nos permite determinar la posición de un objeto en función del

tiempo si conocemos su posición inicial, velocidad y aceleración. A veces utilizamos ambas ecuaciones para

resolver un problema.

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Ejemplo 19

Un avión debe alcanzar una rapidez de 36 m/s para el despegue y su aceleración máxima es de 3,0 m/s2. ¿Qué

distancia requiere para despegar?

Para resolver este problema necesitamos utilizar ambas ecuaciones de cinemática. Primero veamos cuándo

tiempo debe acelerar hasta alcanzar la velocidad de despegue. Entonces, averigüemos hasta dónde va a viajar

en ese momento.

x0 = 0

x = ?

vo = 0

v = 36m/s

t= ?

a = 3,0m/s2

v = vo + at

Busca t

v - vo = at

t = (v - vo) / a

t = ((36m/s) – 0) / 3.0m/s2

t = 12s

Ahora podemos agregar la nueva información a lo que conocíamos anteriormente:

x0 = 0

x = ?

vo = 0

v = 120m/s

t = 12s

a = 3,0m/s2

Ahora podemos utilizar la segunda ecuación para buscar la ubicación del avión cuando despega. Esa será la

longitud mínima requerida de la pista.

x = x0 + vot + ½at2

Eliminemos los términos con resultado cero

x = ½at2


x = ½(3,0m/s2)(12s)2

x = (1,5m/s2)(144s2)

x = 216m

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La ecuación final de cinemática que vamos a desarrollar combina las primeras dos para que podamos

determinar la velocidad de un objeto en función de su posición, más que en una función del tiempo. Esto nos

permite resolver el ejemplo 18 en un solo paso. Básicamente, obtenemos esta ecuación al hacer exactamente lo

que hicimos en el Ejemplo 18, pero sin insertar números, dejamos todos como variables. El resultado es una

solución que podemos utilizar en el futuro para ahorrar mucho trabajo.

Primero resolvamos la ecuación de velocidad vs. tiempo.

v = vo + at

v - vo = at

at = v - vo

t = (v - vo) / a

Luego utilizaremos esta expresión para buscar el tiempo en la ecuación que nos indica la posición de un objeto

en función del tiempo. Esto eliminará el tiempo de la ecuación.

x = x0 + vot + ½at2

Ahora vamos a sustituir [(v - vo) / a] cada vez que vemos una "t". Los

corchetes nos ayudan a ver lo que hemos hecho. Revisemos con

cuidado la siguiente ecuación para ver que en todas partes donde solía

estar "t", ahora hay [(v - vo) / a].

x = x0 + vo[(v - vo) / a] + ½a[(v - vo) / a] 2

Restemos x0 de ambos lados, distribuyamos la vo dentro del segundo

corchete y llevemos al cuadrado el contenido de los terceros corchetes.

x - x0 = (vov - vo2) / a] + ½a(v - vo) 2 / a 2

Ahora podemos cancelar una de las a en el último término y utilicemos

el hecho de que

(v - vo) 2 = v2 - 2v vo + vo2

x - x0 = (vov - vo2) / a] + ½(v2 - 2v vo + vo

2) / a

Dado que a está en el denominador de ambos términos a la derecha

podemos simplificar un poco al multiplicar todos los términos por a

a(x - x0) = vov - vo2 + ½(v2 - 2v vo + vo

2)

Ahora distribuyamos el ½ que está entre paréntesis a la derecha


a(x - x0) = vov - vo2 + ½v2 - v vo + ½vo

2

Al combinar los dos términos vvo, se cancelan. Al mismo tiempo

podemos combinar - vo2 y ½vo

2 para obtener -½vo2

a(x - x0) = ½v2 - ½vo2

Ahora multipliquemos ambos lados por 2 para cancelar los ½

2a(x - x0) = v2 - vo2

Al cambiar los términos de la izquierda a la derecha se completa esta

derivación

v2 - vo2 = 2a(x - x0)

Esto se escribe a veces al sustituir d por (x - x 0), ya que es la distancia

que el objeto ha recorrido y es más fácil de leer

v2 - vo2 = 2ad

Esta ecuación nos permite determinar cómo cambiará la velocidad de un objeto a medida que cambia su

posición. Al hacer todo este trabajo ahora, ahorraremos trabajo más adelante. En el Ejemplo 19, echemos un

vistazo a cómo queremos utilizar esta ecuación para resolver el mismo problema que se planteó en el Ejemplo 18

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Ejemplo 20

Como en el caso del Ejemplo 18, un avión debe alcanzar una rapidez de 36m/s para el despegue y su

aceleración máxima es de 3,0 m/s2. ¿Cuánto tiempo estará en la pista?

x0 = 0

x = ?

vo = 0

v = 36m/s

a = 3,0m/s2

v2 - vo2 = 2a(x - x0)

Simplifiquemos al eliminar los términos que dan un resultado de cero, vo

y x0

v2 = 2ax

Buscamos x al dividir por 2a y cambia los lados

x = v2 / 2a

x = (36m/s) 2 / [2(3,0m/s2)]

x = 216m

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Resolución de problemas con las tres ecuaciones de cinemática

Las ecuaciones de cinemática

x = x0 + vot + ½at2

v = vo + at

v2 - vo2 = 2a(x - x0)

Todos los problemas de la cinemática se pueden resolver mediante el uso de una o dos de las ecuaciones


anteriores. Nunca necesitamos utilizar las tres ecuaciones para contestar una pregunta. La pregunta más

importante que los estudiantes tienen cuando trabajan con estas ecuaciones es cuál deben utilizar.

Primero, necesitarás relajarte y comprender que no puedes obtener una respuesta incorrecta al utilizar mal la

ecuación; simplemente no obtendrás ninguna respuesta en absoluto. Verás que te faltará la información

necesaria para resolver el problema con esa ecuación. En ese punto, también deberás darte cuenta que es

necesario utilizar una ecuación diferente, o leer el problema nuevamente para ver si te falta información que es

necesaria, pero que has pasado por alto.

Por ejemplo, si un problema indica o implica que un objeto estaba en reposo al inicio del problema, significa que

su velocidad inicial era cero. A veces esto es obvio ... a veces no lo es. Por ejemplo, si "sueltas" algo, la

implicación es que tenía una velocidad inicial de cero, pero explícitamente, sino de forma implícita. La física te

ayudará a aprender a leer con mucha atención para entender lo que el autor quiso decir cuando escribió el

problema o la situación descrita.

Por lo tanto, el primer paso para resolver el problema es leerlo con mucha atención.

El segundo paso es volver a leerlo. Esta vez, al escribir la información que se ha proporcionado en términos de

las variables con las que vamos a trabajar. Por ejemplo, la traducción de "caída" sería "vo = 0". Parte de la

información que se proporcionará es la que se supone que debes buscar: esa es la cuestión. Si el autor pregunta

“¿Cuál es su velocidad final?” significa “v =?” y se vuelve otro de los hechos que debes agregar a tu lista de

datos que utilizarás para resolver el problema.

El siguiente paso es determinar cuál de las ecuaciones de cinemática relaciona tu colección de datos entre sí.

Cada ecuación representa una relación entre un conjunto diferente de datos: elegir la ecuación correcta es sólo

una cuestión de determinar que la ecuación se refiere a este conjunto específico de hechos. Si escoges la

ecuación incorrecta, no pasará nada malo (excepto por el tiempo perdido), ya que sólo encontrarás que no tienes

la información correcta para utilizar en la ecuación.

Si el problema con el que estás trabajando no tiene el tiempo como uno de sus datos, entonces utilizarás la

tercera de las ecuaciones mencionadas anteriormente: v2 - vo2 = 2a(x - x0), es el único que no incluye el tiempo

como un factor. Si se incluye el tiempo, estarás usando uno de los primeros dos. En ese caso, necesitará

determinar cuáles de esas dos primeras ecuaciones se deberá utilizar. Si el problema tiene que ver con la

posición del objeto en función del tiempo, entonces tendrá que utilizar la primera ecuación: x = x0 + vo t + ½a2. Si

trata con la velocidad del objeto con el tiempo, utilizarás la segunda ecuación: v = vo + at. Es así de sencillo.

_______________________________________________________________

Ejemplo 21

En este ejemplo, sólo vamos a decidir cuál o cuáles ecuaciones serán necesarias para resolver cada problema.

1. Una pelota está sujeta a una aceleración de -9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo después de que se deja caer

llegará a la velocidad de -24m/s?

2. Una pelota se lanza desde su posición detenida y está sujeta a una aceleración de -9.8 m/s2. ¿Qué tan

lejos llegará antes de alcanzar una velocidad de 24m/s?

3. Una pelota que se deja caer está sujeta a una aceleración de -9,8 m/s2. ¿Qué tan lejos llegará en los

primeros 5,0s?


4. Lanzas un objeto hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20 m/s y está sujeto a una aceleración

hacia abajo de -9,8 m/s2. ¿Qué tan alto llega?


hacia abajo de -9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo más tarde se detiene por un momento?


hacia abajo de 9,8 m/s2. ¿Qué tan alto habrá llegado después de 2,0 s?

Tómate un segundo para escribir los datos de cada problema y luego determinar qué ecuación se debe utilizar.

Luego compara tus resultados con los que se muestran a continuación.

1. "una aceleración de -9,8 m/s2" significa a =- 9,8 m/s2

"Cuánto tiempo después" significa t =?

"se deja caer" significa vo = 0

"para alcanzar una velocidad de -24m/s" significa v =-24m/s

Debido a que el tiempo, t, es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la

velocidad, v, es un factor, debe ser la segunda ecuación:

v = vo + at

2. "Lanzar desde la posición detenida" significa vo = 0

"una aceleración de -9,8 m/s2" significa a =- 9,8 m/s2

"Qué tan lejos llegará" significa x0=0 y x=?

"alcanza una velocidad de 24m/s" significa v = -24m/s

Dado que el tiempo, t, no es un factor, debemos utilizar la tercera ecuación

v2 - vo2 = 2a(x - x0)

3. "Una pelota que se deja caer" significa vo = 0

"Una aceleración de -9,8 m/s2" significa a = -9,8 m/s2

"Qué tan lejos llegará" significa x0=0 y x=?

“en los primeros 5,0s” significa t = 5,0s

Debido a que el tiempo es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la

posición, x, es un factor, debe ser la primera ecuación:

x = x0 + vot + ½at2

4. "hacia arriba desde el suelo con

una velocidad de 20m/s" significa vo = + 20 m/s, x0 = 0

"una aceleración hacia abajo de

9,8 m/s2" significa a = -9,8 m/s2

"¿Qué tan alto llega?" significa x =? y v = 0 (el segundo hecho, v = 0, es

menos evidente, pero está implícito en el hecho de que cuando

llega a su altura máxima se debe detener momentáneamente...

o iría más alto


Ya que el tiempo, t, no es un factor, necesitamos usar la tercera ecuación

v2 - vo2 = 2a(x - x0)


una velocidad de 20m/s” significa vo = + 20m/s y x0 = 0


9,8 m/s2” significa a = -9,8 m/s2

“Cuánto tiempo después” significa t = ?

"se detiene por un momento" significa v = 0

Debido a que el tiempo, t, es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la

velocidad, v, es un factor, debe ser la segunda ecuación:

v = vo + at


una velocidad de 20m/s” significa vo = + 20m/s y x0 = 0


9,8 m/s2” significa a = -9.8 m/s2

“Qué tan alto es” significa x = ?

“después de 2,0s” significa t = 2,0s

Debido a que el tiempo es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la

posición, x, es un factor, debe ser la primera ecuación:

x = x0 + vot + ½at2

Interpretación de gráficos de movimiento

Hay dos tipos de gráficos de movimiento que vamos a considerar: el de "Posición vs. Tiempo" y el de "Velocidad

vs. Tiempo". En ambos casos el eje x se utiliza para registrar el tiempo. En los gráficos de Posición vs. Tiempo, el

eje vertical, el eje y, se utiliza para registrar la posición del objeto. En un gráfico de Velocidad vs. Tiempo, el eje

vertical, el eje y, se utiliza para registrar la velocidad del objeto. En esta sección, vamos a aprender a generar e

interpretar estos gráficos y ver su relación entre sí.

Gráficos de Posición vs. Tiempo para la Velocidad constante

Si mientras estabas en movimiento hubieras registrado tu posición cada segundo, sería sencillo realizar un

gráfico de posición vs. tiempo. Tomemos el caso de que te estés alejando de tu casa con una velocidad

constante de +1m/s (ten en cuenta que debido a que la velocidad es un vector necesita una dirección, "+", y un

tamaño, "1 m/s"). Si defines tu casa como "cero" y tu hora de inicio como cero, los primeros cinco segundos de

su paseo te proporcionarán los siguientes datos.


Tiempo (t) Posición (x)

segundos metros

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

Para crear un gráfico de posición vs. tiempo, todo lo que

necesitas hacer es graficar estos puntos y luego

conectarlos con una línea recta.

Este gráfico te permite leer tu posición directamente en

cualquier momento. De hecho, te permite determinar su

posición para tiempos no medidos, ese es el significado de

la línea que conecta los puntos. Por lo tanto, su posición a

los 1,5 segundos puede verse como x = 1,5m. Ahora bien,

esto supone que viajabas con una velocidad constante,

pero es la suposición de que se hizo al realizar este

gráfico.

También puedes leer tu velocidad de forma indirecta a partir de esta tabla. La velocidad de un objeto será la

inclinación de la recta en el gráfico de Posición vs. Tiempo.

Esta definición de la inclinación de una recta, m, es m ≡ Δy / Δx. Esto significa que la inclinación de una recta se

determina por la magnitud del valor vertical, el valor y, de los cambios de línea para un cambio proporcional en su

valor horizontal, su valor x. Si no cambia en absoluto, entonces la línea es horizontal, no tiene inclinación. Si tiene

un valor positivo que se inclina hacia arriba, ya que significa que la coordenada "y" se hace más grande a medida

que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje "x". Una pendiente negativa significa que la línea se inclina

hacia abajo, ya que disminuye su valor "y" a medida que se desplaza hacia la derecha.

Si dibujas un gráfico de posición vs. tiempo para un objeto en movimiento, con la posición en el eje "y" y el

tiempo en el eje "x", la inclinación de la línea es proporcionada por m ≡ Δy / Δx, pero en este caso, los valores "y"

son la posición (x) y los valores de x son el tiempo (t).

Esto puede resultar confuso, ya que la “x” en la definición de inclinación es diferente de la “x” utilizada en

las ecuaciones de cinemática. En la definición de inclinación, x significa el eje horizontal. En el debate del

movimiento, x significa la posición del objeto. Cuando graficamos la posición de un objeto en función del

tiempo, ponemos siempre la posición en el eje vertical, el eje "y", y el tiempo, t, en el eje "x". Esto puede

confundir, ya que la coordenada "y" del gráfico de posición vs. tiempo proporciona la posición, que es "x"

en las ecuaciones de cinemática.

Por lo tanto, la inclinación de la línea en un gráfico se convierte en lo siguiente:

Posición vs. Tiempo

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 Tiempo (segundos)

Po

sic

ión

(m

etr

os)

(metr

os)


m ≡ Δy / Δx pero debido a que los valores "y" representa la posición, x, y los valores de "x"

proporcionan el tiempo, t, esto se convierte en

m ≡ Δx / Δt pero la definición de velocidad es la misma, v ≡ Δx / Δt, por lo tanto

m = v la inclinación de un programa línea muestra el gráfico de posición vs. tiempo nos

indica su velocidad

Para el gráfico que se muestra arriba, la inclinación de la línea es la siguiente:

m ≡ Δy / Δx con el primer y el último punto (cualquier par de puntos funcionarán)

m = (5m - 0m) / 5s – 0s)

m = 5m/5s

m = 1 m/s

v = 1 m/s

__________________________________________________________________________________________

Ejemplo 22

Determina la ubicación y la velocidad del objeto en el siguiente gráfico at cuando t = 2,5s.

Solución: La ubicación del objeto se pueden leer directamente desde el gráfico al señalar que cuando el tiempo

es igual a 2,5s entonces la posición es igual a 7 metros. La velocidad es constante durante todo el recorrido (de

allí la línea recta) y por lo tanto, puede encontrarse al determinar la pendiente de esa línea entre dos puntos. Por

lo general, elegimos los puntos que son fáciles de leer y están lo más alejado posible entre sí. En este caso,

utilicemos los puntos (0,0) y (4,12).

m ≡ Δy / Δx

m = (12m - 0m) / 4s – 0s)

m = 12m/4s

m = 3 m/s

v = 3 m/s

_________________________________________________________________________________________


0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

Tiempo (segundos)

Po

sic

ión

(m

etr

os)

(me

tro

s)


Ahora es posible que la velocidad de un objeto cambie

durante el tiempo que está siendo observado. Por

ejemplo, si caminaras alejándote de tu casa con una

velocidad de 1 m/s durante 6 segundos, te detienes

durante 3 segundos y luego vuelves corriendo a tu casa

en 3 segundos, el gráfico de posición vs. tiempo para tu

recorrido sería el siguiente.

Puedes leer este gráfico para determinar la posición en

cualquier momento durante el recorrido. También se

puede ver a partir de esto que durante tu recorrido se

experimentaron tres velocidades diferentes.

Tu velocidad inicial es proporcionada por la inclinación de la línea durante los primeros 6 segundos.

m ≡ Δy / Δx

m = (6m - 0m) / 6s – 0s)

m = 6m/6s

m = 1 m/s

v = 1 m/s

Durante el tiempo que estás parado, tu velocidad debe ser cero. La inclinación de la línea debe ser cero si tu

velocidad es cero, por lo tanto esta es la parte plana de la curva entre 6 y 9 segundos. Sólo para terminar de

completarlo, se obtienen los mismos resultados de forma analítica.

m ≡ Δy / Δx

m = (6m - 6m) / 9s – 6s)

m = 0m/6s

m = 0 m/s

v = 0 m/s

Por último, durante tu viaje de regreso, la inclinación de la recta es negativa, lo que significa que tienes una

velocidad negativa.

m ≡ Δy / Δx

m = (0m - 6m) / 12s – 9s)

m = (-6m)/3s

m = -2 m/s

v = -2 m/s

Gráficos de Velocidad vs. Tiempo para la Velocidad constante

Cualquier movimiento que se puede registrar utilizando un gráfico de posición vs. tiempo también se puede

registrar utilizando un gráfico de velocidad vs. tiempo. La elección del gráfico tendrá diferentes beneficios, pero

es importante que puedas ver cómo se relacionan entre sí.


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tiempo (segundos)

Po

sic

ión

(m

etr

os)

(metr

os)


Tomemos el primer gráfico de posición vs. tiempo que hicimos anteriormente y reformulémoslo como un gráfico

de velocidad vs. tiempo. En este caso, el eje vertical registra la velocidad y el eje horizontal continúa indicando el

tiempo. En el primer gráfico, mantuvo una velocidad constante de 1 m/s durante 6 segundos, por lo que se

convierte en lo siguiente:

En este caso, la velocidad del objeto se puede leer directamente desde el gráfico, pero no es posible hacerlo con

su desplazamiento y la distancia que ha recorrido. Sin embargo, podemos determinar el desplazamiento del

objeto, qué tan lejos llegó desde el punto de partida, y la distancia que ha recorrido al medir el área debajo de la

curva (en este caso la línea horizontal en v = 1 m/s). (Si la velocidad siempre es positiva, la distancia recorrida y

el desplazamiento serán iguales).

Un rectángulo tiene dos pares de lados opuestos. En este caso, una parte será la línea horizontal que indica la

velocidad de viaje del objeto y el lado opuesto que es el eje horizontal. El segundo par de lados es una línea

vertical que se dibuja derecho desde el momento que comenzamos a medir y el lado opuesto que es una línea

vertical dibujada derecho desde el momento que dejamos de medir.

Por lo tanto, si un objeto se mueve con una velocidad constante, podemos definir una forma rectangular cuya

altura es su velocidad y cuya longitud es el intervalo de tiempo que estamos estudiando. El área de un rectángulo

está dada por su altura multiplicada por su longitud, por lo que el área de este rectángulo es su velocidad, v,

multiplicada por el tiempo transcurrido, t.

Área = (altura)(longitud)

A = (velocidad)(tiempo)

A = vt

Pero al principio del capítulo determinamos Δx, por lo tanto

A = Δx

El desplazamiento de un objeto está determinado por el área entre su gráfico de velocidad y el eje

horizontal.

En el ejemplo actual, los lados horizontales son la línea horizontal en v = 1 m/s y el eje horizontal, y los lados

verticales están formados por el eje vertical y t = 6s. Las dimensiones del rectángulo son de 1 m/s de alto por 6s

de largo. Por lo tanto, el desplazamiento del objeto es simplemente el producto de los dos, o 6 m. Este es el

Velocidad vs. Tiempo

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (s)

Velo

cid

ad

(m

/s)

(m/s

)


mismo resultado que se puedes esperar, un objeto que se mueve a una velocidad constante de 1 m/s durante 6 s

se desplazaría 6 m. También ha recorrido una distancia de 6 metros, ya que no se involucró ningún movimiento

negativo

Si el desplazamiento es sólo positivo, es igual a la distancia que el objeto ha recorrido. A pesar de haber obtenido

esto para la velocidad constante, siempre será cierto que el desplazamiento será igual al área debajo de la curva

del gráfico de velocidad vs. tiempo y que si la velocidad es siempre positiva, la distancia recorrida será igual al

desplazamiento del objeto.

__________________________________________________________________________________________

Ejemplo 23

Determina el desplazamiento del siguiente objeto y la

distancia que ha recorrido durante sus primeros 3 segundos

de viaje.

Solución: El área debajo de la curva del gráfico de velocidad

vs. tiempo es su desplazamiento. Debido a que estamos

considerando sólo los 3 primeros segundos de su recorrido,

la altura es de 2 m/s y la duración de 3 segundos, por lo

tanto, su desplazamiento es de 6 metros. Esto también es

igual a la distancia que ha recorrido.

En caso de que un objeto tenga una velocidad positiva y negativa, la distancia que ha recorrido y su

desplazamiento no serán iguales. Esto se debe a que la distancia no depende de la dirección, mientras que el

desplazamiento sí lo hace.

__________________________________________________________________________________________

Ejemplo 24

Determina la distancia recorrida y el desplazamiento del siguiente objeto durante todo su recorrido. Viaja con una

velocidad de +2m/s durante los primeros seis segundos y luego con una velocidad de -3m/s durante los últimos

cuatro segundos.

El desplazamiento del objeto durante los primeros seis segundos está determinado por lo siguiente:

Δx = Área


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

Velo

cid

ad

(m

/s)

(m/s

)


0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (s)

Velo

cid

ad

(m

/s)

(m/s

)


Δx = (+2m/s)(6s)

Δx = 12m

Durante los últimos cuatro segundos de su recorrido, su desplazamiento es

Δx = Área

Δx = (-3m/s)(6s)

Δx = -18m

Por lo tanto, el desplazamiento total es la suma de estas dos contribuciones:

Δx = 12m + (-18m)

Δx = -6m.

Por otro lado, la distancia total que recorrió está dada por la suma de las dos áreas, tratándolas a ambos como

números positivos, ya que la distancia recorrida no puede ser nunca negativa. Por eso, la distancia recorrida es

la suma de 12m + 18m = 30m.

d = 12m + 18m

d = 30m

Si tomamos el movimiento hacia la derecha como positivo y el movimiento a la izquierda como negativo, la

interpretación física de esto es que el objeto viajó 12 metros a la derecha, se detuvo un momento y luego viajó 18

metros a la izquierda. Se movió una distancia de 30m, pero terminó 6 metros a la izquierda de donde comenzó.

Gráficos de Velocidad vs. Tiempo para la Aceleración constante

Hasta ahora sólo hemos considerado el movimiento con velocidad constante. Sin embargo, se aplican los

mismos principios a la aceleración constante. Si la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, su gráfico de

velocidad vs. tiempo tendrá una inclinación. Tal inclinación te proporcionará la aceleración.

La inclinación de una línea en el gráfico de velocidad vs. tiempo es la siguiente:

m ≡ Δy / Δx pero debido a que los valores de "y" representan la velocidad, v, y los valores de "x"

proporcionan el tiempo, t, esto se convierte en

m ≡ Δv / Δt pero la definición de velocidad es la misma, v ≡ Δv / Δt, por lo tanto

m = a

La inclinación de una recta en el gráfico de velocidad vs. tiempo para un objeto nos proporciona su

aceleración.

Vamos a calcular la aceleración del siguiente objeto:


Para el gráfico que se muestra arriba, la inclinación de la línea es la siguiente:

m ≡ Δy / Δx Ahora utilicemos el primer y último punto (cualquier par de puntos

funcionará)

m = (6m/s - 0m/s) / 6s – 0s)

m = (6m/s)/6s

m = 1 m/s2

a = 1 m/s2

Sigue siendo el caso de que el área debajo del gráfico de velocidad vs. tiempo nos dará el desplazamiento y la

distancia recorrida. Sin embargo, la forma ya no es un rectángulo, es un triángulo. El área de un triángulo está

dada por la fórmula: Área = ½ (base) (altura). Podemos utilizar esto para determinar el desplazamiento y la

distancia recorrida, en este caso serán iguales debido a que todo el movimiento es positivo. La base está dada

por el tiempo transcurrido y la altura es la velocidad máxima alcanzada, ya que es el punto más alto del triángulo.

Vamos a determinar el desplazamiento del objeto durante sus seis segundos de viaje.

Δx = Área

Δx = ½ base x altura

Δx = ½ vt donde v es la velocidad en el tiempo t

Δx = ½ (+6m/s)(6s)

Δx = 18m debido a que todo el movimiento se encuentra en una velocidad positiva, ésta es

también la distancia recorrida

d = 18m

En el siguiente ejemplo tenemos que dividir el movimiento en dos triángulos, ya que uno tendrá un área positiva,

por debajo del eje horizontal y el otro tendrá un área negativa. Esto nos proporcionará diferentes respuestas para

el desplazamiento y la distancia.


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo (s)

Ve

loc

ida

d (

m/s

)

(m/s

)


_______________________________________________________________

Ejemplo 25

Determina el desplazamiento y la distancia recorrida por el objeto cuyo movimiento se describe en el gráfico

anterior.

Solución: Debido a que el movimiento incluye la velocidad negativa y positiva, debemos separar estas dos

partes.

Para el movimiento con una velocidad positiva que necesitamos para determinar el área del triángulo formado

encima del eje horizontal:

Δx = Área


Dx = ½ vt donde v es la velocidad máxima positiva y t es el tiempo total que el objeto se

movió con una velocidad positiva

Δx = ½ (+6m/s)(8s)

Δx = 24m Este es el desplazamiento debido a la velocidad positiva

Para el movimiento con velocidad negativa que necesitamos para determinar el área del triángulo formado

debajo del eje horizontal:

Δx = Área


Δx = ½ vt donde v es la velocidad máxima negativa y t es el tiempo total que el objeto se

movió con una velocidad negativa

Δx = ½ (-6m/s)(2s)

Δx = -6m Este es el desplazamiento debido a la velocidad positiva

En este caso, el desplazamiento y la distancia recorrida serán diferentes. El tiempo dedicado a viajar con una

velocidad negativa reducirá el desplazamiento, pero sumará a la distancia total del objeto que se movió durante

su viaje.

Δx = +24m + (-6m)


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

Velo

cid

ad

(m

/s)

(m/s

)


Δx = +18m

Para encontrar la distancia recorrida que acabamos de tratar las áreas de ambos triángulos como positivos, ya

que la distancia nunca es negativa.

d = 24m + 6m debido a que la distancia es siempre positiva

d = 30m

Por lo tanto, después de recorrer una distancia total de 30m, el objeto está a 18m a la derecha de desde donde

comenzó.

Derivación alternativa de la Primera ecuación cinemática

Se utilizó una gran cantidad de álgebra para obtener la siguiente ecuación antes en este capítulo:

x = x0 + vot + ½at2

Sin embargo, esta misma ecuación también fue derivada de forma gráfica en el siglo XV por Oresme utilizando

los métodos que acabamos de desarrollar: el reconocimiento del desplazamiento de un objeto viene dado por el

área debajo de la curva de velocidad vs. tiempo.

Para quienes prefieren una visión más general para un poco de álgebra complicada, vale la pena ver cómo lo

hizo. También utilizaremos un enfoque similar para obtener algunas ecuaciones en los próximos capítulos.

Todo lo que tenemos que hacer es dejar las variables en nuestros gráficos en lugar de los números. Por ejemplo

vamos a comenzar con un objeto que se mueve a una velocidad constante v0 durante un tiempo t. Eso significa

que el gráfico de velocidad vs. tiempo formará un rectángulo cuya altura es v0 y cuya longitud es t. El área de ese

rectángulo, nos proporcionará su desplazamiento.

Desplazamiento debido a la velocidad inicial

Δx = Área

Δx = altura x longitud

Δx = v0t Debido sólo a la velocidad inicial

Ahora agreguemos a eso el desplazamiento debido a una aceleración constante. Si la aceleración es positiva,

significa que tiene una mayor velocidad a medida que pasa el tiempo y obtienes el gráfico que se muestra a

continuación (suponiendo que la simplicidad es v0 = 0). Hemos demostrado anteriormente que el área debajo de

la curva es igual al desplazamiento de un objeto. En este caso, su velocidad máxima será la altura del triángulo y

la base del triángulo será el tiempo de su aceleración.

Desplazamiento debido a aceleración

Δx = Área


Δx = ½ vt Pero recuerda que v = v0 + at. En este caso, v0 es cero, por lo tanto v = at. Si

sustituimos eso por la v obtenemos

Δx = ½ (at)t

Δx = ½ at2 Debido sólo a la aceleración

Desplazamiento total

Un objeto que tiene una velocidad inicial y experimenta una aceleración tiene un desplazamiento debido a estos


dos términos. Por lo que su desplazamiento total será

Δx = v0t + ½ at2

Pero recuerde que Δx = x - x0, so

x - x0 = v0t + ½ at2 Resolver las x tiene como resultado una ecuación cinemática

x = x0 + v0t + ½ at2

La posición de un objeto en cualquier momento estará determinada por tres términos: dónde se inició, x0, cuánto

se movió debido a su velocidad inicial, v0t, y qué tan lejos llegó debido a su aceleración, ½ a 2. Si sumamos estos

términos obtendremos el mismo resultado que obtuvimos utilizando el álgebra en el capítulo anterior: x = x0 + vot

+ ½at2.