cnológico
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Subdirección Académica
Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.
Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica
Coordinación Sectorial Académica Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Estudios del Efecto de la Concentración Solar en la Distribución del Flujo en Tuberías Paralelas de un Sistema de
Colectores Cilindro Parabólicos
presentada por
Ing. Pedro Fernando Aguilar Gastelum
como requisito para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis Dra. Sara Lilia Moya Acosta
Codirector de tesis
Dr. Octavio Cazarez Candia
cnológico
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Subdirección Académica
Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.
Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica
Coordinación Sectorial Académica Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación
Dedicatorias
Ante todo a mi familia y a dios por ser siempre mi ejemplo a seguir, por mostrarme el
camino correcto, y sobre todo por estar conmigo en los buenos y malos momentos de mi
vida.
A mi hermano Cecilio Aguilar , quien siempre me ha brindado su apoyo y sus valiosos
consejos, me ha enseñado que no existen metas insuperables, sino objetivos que en
ocasiones pueden ser difíciles de alcanzar, sin embargo, con esfuerzo y perseverancia
somos capaces de romper cualquier barrera, y aun cuando pensamos que todo puede
haber terminado, siempre habrá una esperanza.
A mis padres, Hilario Aguilar y Luz Berthila Gastelum , quienes han sido ejemplo de
esfuerzo, trabajo y dedicación al llevar una vida recta y honesta.
Agradecimientos
Gracias a mi familia por darme todo su apoyo y creer siempre en mí, mostrarme que una
persona no es recordada por su nombre o apellido, sino por lo que hace o deja de hacer
en su vida. Podemos cometer muchos errores, sin embargo, lo más importante es
reconocer que nos hemos equivocado, tratar de enmendar el error y no volver a
cometerlo.
A la Dra. Sara Lilia Moya Acosta por todo su apoyo, su paciencia y sus valiosos consejos.
Al grupo de flujo multifásico del instituto Mexicano del petróleo (IMP) por sus valiosos
consejos y su apoyo incondicional, y en especial al Dr. Octavio Cazarez Candia, quien ha
sido copartícipe en mi formación y el desarrollo de mi tesis.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) y todos sus
colaboradores, por brindarme la oportunidad de estudiar un posgrado y ser partícipes en
mi formación profesional.
A mis compañeros y amigos, que han tenido la paciencia para escucharme y darme sus
valiosos consejos.
Al Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por permitirme
enriquecer mí conocimiento mediante el programa de movilidad estudiantil.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyt) por el apoyo económico
brindado durante este proyecto.
CONTENIDO
LISTA DE FIGURAS I
LISTA DE TABLAS IV
NOMENCLATURA V
RESUMEN IX
ABSTRACT X
1 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN .......................... .................................................................... 1
1.1 GENERACIÓN DIRECTA DE VAPOR (GDV) MEDIANTE COLECTORES CILINDRO-PARABÓLICOS
(CCP) ……………………………………………………………………………………………………… 2
1.2 DISCUSIÓN DE LITERATURA ................................................................................................ 4
1.2.1 Conclusiones de la revisión de literatura ............................................................... 18
1.3 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 19
1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................. 19
1.5 ALCANCES ..................................................................................................................... 19
2 CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO ........................ ................................................................ 20
2.1 PATRONES DE FLUJO BIFÁSICO ......................................................................................... 21
2.2 GENERALIDADES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL ESTUDIO DEL FLUJO DE DOS FASES 23
2.3 MODELO A DOS FLUIDOS ................................................................................................. 24
3 CAPITULO III MODELO MATEMÁTICO ................... .......................................................... 27
3.1 GENERALIDADES DEL MODELO IMPLÍCITO EN EL SIMULADOR RELAP ..................................... 28
3.2 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN EN UNA DIMENSIÓN PARA EL MODELO A DOS FLUIDOS ........... 28
3.3 CONDICIONES DE CERRADURA ......................................................................................... 34
3.3.1 Generación de vapor ............................................................................................. 34
3.3.2 Términos de disipación ......................................................................................... 38
3.3.3 Fricción interfacial ................................................................................................. 38
3.4 MAPA DE PATRONES DE FLUJO ......................................................................................... 40
3.4.1 Criterios de transición ........................................................................................... 40
3.5 MÉTODO DE SOLUCIÓN .................................................................................................... 42
3.6 DISCRETIZACIÓN Y SOLUCIÓN NUMÉRICA ........................................................................... 42
3.7 CONTROL DEL PASO DE TIEMPO ........................................................................................ 43
4 CAPÍTULO IV VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL SIMULADO R RELAP ....................... 45
4.1 VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL RELAP .......................................................................... 46
4.2 VERIFICACIÓN: REPRODUCCIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS POR NATAN ET AL. (2003) .. 46
4.2.1 Modelo físico y condiciones de estudio .................................................................. 46
4.2.2 Análisis de independencia de malla ....................................................................... 49
4.2.3 Caso de una tubería simple ................................................................................... 52
4.2.4 Caso de dos tuberías en paralelo (distribución del flujo másico) ............................ 53
4.2.4.1 Calentamiento simétrico ........................................................................................ 53
4.2.4.2 Calentamiento asimétrico ...................................................................................... 56
i
4.2.4.2.1 Caso a) QR = 1200 W/m, QL = 900 W/m ................................................................ 56
4.2.4.2.2 Caso b) QR = 1200 W/m, QL = 0 W/m .................................................................... 58
4.2.5 Estudio de la región bifásica para una tubería simple ............................................ 60
4.2.6 Principales diferencias entre los modelos matemáticos utilizados por Natan et al. (2003) y en RELAP .............................................................................................................. 67
4.3 VALIDACIÓN: COMPARACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES DE LA PSA PARA UNA FILA DE CCP
(SISTEMA DISS) ......................................................................................................................... 70
4.3.1 Validación para 10 MPa ........................................................................................ 71
4.3.2 Validación para 6 MPa .......................................................................................... 72
4.3.3 Validación para 3 MPa .......................................................................................... 72
5 CAPÍTULO V ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN LA DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO MÁSICO EN UN SISTEMA DE GDV CON CCP ............................ 74
5.1 MODELO FÍSICO DEL SISTEMA DE GDV .............................................................................. 75
5.2 CONDICIONES GENERALES DE MODELADO.......................................................................... 75
5.3 ANÁLISIS DE INDEPENDENCIA DE MALLA ............................................................................. 77
5.4 ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN UNA TUBERÍA SIMPLE ...................... 85
5.5 ESTUDIO DEL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN SOLAR EN DOS TUBERÍAS PARALELAS .............. 89
5.5.1 Análisis en una sola tubería .................................................................................. 89
5.5.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) .................................... 89
5.5.1.2 Calentamiento con concentración (FCC) ............................................................... 94
5.5.1.3 Efecto de la concentración solar en el perfil de presión de entrada ........................ 99
5.5.2 Análisis en las dos tuberías ..................................................................................101
5.5.2.1 Distribución del flujo másico para calentamiento simétrico ....................................101
5.5.2.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) ...................................102
5.5.2.1.2 Calentamiento con concentración (FCC) ..............................................................103
5.5.2.2 Distribución de flujo másico para calentamiento asimétrico...................................105
5.5.2.2.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU) ...................................105
5.5.2.2.2 Calentamiento con concentración (FCC) ..............................................................107
5.6 CONCLUSIONES .............................................................................................................111
6 CAPÍTULO VI CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACION ES .........................112
6.1 CONCLUSIONES GENERALES ...........................................................................................113
6.2 RECOMENDACIONES ......................................................................................................115
7 REFERENCIAS ..................................................................................................................116
8 ANEXOS .............................................................................................................................120
A APÉNDICE A ..................................................................................................................121
B APÉNDICE B ..................................................................................................................132
i
Lista de Figuras
Figura 1.1 Esquema de corte transversal de un CCP ..................................................................... 3
Figura 1.2 Diagrama simplificado de un campo solar de CCP. Zarza et al. (2005) .......................... 4
Figura 2.1 Patrones de flujo para fluido con evaporación en tuberías horizontales. ....................... 21
Figura 3.1 Transferencia de calor para el caso de vapor sub enfriado. ......................................... 35
Figura 3.2 Esquema del mapa de patrones de flujo bifásico (líquido-gas) para flujo en tuberías horizontales propuesto (Ramson et al., 2001) en RELAP. ..................................................... 40
Figura 3.3 Esquema de discretización para una tubería. .............................................................. 42
Figura 4.1 Modelo físico del sistema de GDV estudiado por Natan et al. (2003). .......................... 47
Figura 4.2 Análisis de independencia de malla considerando perfiles de presión. a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 50
Figura 4.3 Análisis de independencia de malla considerando perfiles de temperatura. a) a lo largo del tubo, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 51
Figura 4.4 Presión de entrada en función de la razón de flujo másico. .......................................... 52
Figura 4.5 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m .......................................................................... 53
Figura 4.6 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m. ............................................................................................... 54
Figura 4.7 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=900 W/m. ..................................................... 56
Figura 4.8 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=900 W/m ............................................................................. 56
Figura 4.9 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=0 W/m .......................................................... 58
Figura 4.10 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico, QR=1200 W/m y QL=0 W/m ................................................................................. 59
Figura 4.11 Perfiles de presión para una tubería simple. .............................................................. 61
Figura 4.12 Perfil de temperatura y patrones de flujo para diferentes flujos másicos. .................... 62
Figura 4.13 Mapa de patrones de flujo bifásico en una tubería de D=0.025 m y β=10º, para flujo bifásico (agua-aire). .............................................................................................................. 63
Figura 4.14 Perfil de presión y patrones de flujo para 0.12 kg/s y Q=1000 W/m: a) Natan et al. (2003) y b) RELAP. .............................................................................................................. 65
Figura 4.15 Comparación del perfil de temperatura y patrones de flujo, para 0.12 kg/s, D=0.25 m y un calentamiento de 1000 W/m. a) Natan et al.(2003) y b) RELAP ....................................... 66
Figura 4.16 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 10 MPa. ......................................................................................... 71
Figura 4.17 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 6 MPa. ........................................................................................... 72
Figura 4.18 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila de CCP a una presión de operación de 3 MPa. ........................................................................................... 73
Figura 5.1 Modelo físico del sistema bajo estudio. ........................................................................ 75
Figura 5.2 Corte transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor. .......................... 77
ii
Figura 5.3 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 78
Figura 5.4 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. .............................................................................................. 79
Figura 5.5 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. .............................................................................................. 80
Figura 5.6 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ............................................................................................................ 81
Figura 5.7 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. .................................................................. 82
Figura 5.8 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento .................................................................... 83
Figura 5.9 Comparación de los perfiles de presión para calentamiento con distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.. ....................... 85
Figura 5.10 Comparación de los perfiles de temperatura para calentamiento con distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento. ......... 86
Figura 5.11 Patrones de flujo y fracción de vacío vs longitud de la tubería para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20. ................................................................ 87
Figura 5.12 Mapa de patrones de flujo (agua-aire) para las condiciones de operación descritas en la Tabla 5.1, obtenido mediante el código numérico de Barnea (1987).. ................................ 88
Figura 5.13 Presión de entrada vs flujo másico, Q=100% y Q=75%.............................................. 89
Figura 5.14 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.54 kg/s. ..................................................................................................................... 91
Figura 5.15 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.50 kg/s ...................................................................................................................... 91
Figura 5.16 Perfil de presión y patrones de flujo vs longitud de la tubería, a) 0.54 kg/s y b) 0.5 kg/s ............................................................................................................................................ 92
Figura 5.17 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.. ......................................... 93
Figura 5.18 Presión de entrada vs flujo másico, para calentamiento con concentración, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20 ........................................................................................................ 94
Figura 5.19 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería, calentamiento incidente de 850 W/m2 y W=0.5 kg/s, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20 ................................................................... 95
Figura 5.20 Perfil de presión y patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.. .................................................................................................................................. 96
Figura 5.21 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de 90/10: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s .................................................................................................................. 97
iii
Figura 5.22 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de 80/20: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s... ............................................................................................................... 98
Figura 5.23 Comparación de presiones de entrada para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20 .............................................................................................. 99
Figura 5.24 Comparación del perfil de presión y patrones de flujo para: a) calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) 80/20. W=0.5 kg/s y Q=850 W/m2 ..........................100
Figura 5.25 Comparación del coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido a lo largo de la tubería, considerando el área perimetral de distribución de calor: a) FCU y FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%), b) FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%) y c) FCC de 90/10 y 80/20 (APSC de 10% y 20%) ......................................................101
Figura 5.26 Presión de entrada, razón de distribución de flujo másico, y flujo másico de salida vs flujo másico total para dos tuberías en paralelo. QR=QL=850 W/m2 ......................................102
Figura 5.27 Análisis termo-hidráulico del flujo en dos tuberías en paralelo para calentamiento simétrico y con concentración de 90/10 y 80/20. QR=QL=850 W/m2: a) Presión de entrada vs flujo másico para FCC de 90/10, b) Presión de entrada vs flujo másico para FCC de 80/20, c) comparación de flujo másico de salida vs flujo másico de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 y d) comparación de presiones de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 ..................................103
Figura 5.28 Comparación de presión de entrada y flujo másico de salida vs flujo másico para FCU y FCC. QR=QL=850 W/m2 .......................................................................................................104
Figura 5.29 Presión de entrada y razón de distribución de flujo, para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para los tres casos anteriores .................................................................................105
Figura 5.30 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con concentración de 90/10: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores ...........................................................................................................................................107
Figura 5.31 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con concentración de 80/20: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores ...........................................................................................................................................108
Figura 5.32 Comparación de presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 ........................109
iv
Lista de Tablas
Tabla 1.1 Resumen de la revisión de literatura ............................................................................. 17 Tabla 4.1 Casos bajo estudio de distribución de calentamiento .................................................... 47
Tabla 4.2 Condiciones de modelado del sistema de Natan et al. (2003) ....................................... 48
Tabla 4.3 Mallas consideradas ..................................................................................................... 49
Tabla 4.4 Condiciones de estudio del sistema de GDV ................................................................. 61
Tabla 4.5 Patrones de flujo y caidas de presión por unidad de longitud para los flujos másicos considerados ........................................................................................................................ 63
Tabla 4.6 Caidas de presión por unidad de longitud para cada patron de flujo .............................. 65
Tabla 4.7 Condiciones de operación del sistema DISS ................................................................. 71
Tabla 5.1 Condiciones de modelado del sistema de GDV............................................................. 76
Tabla 5.2 Casos bajo estudio de distribución de la radiación solar incidente ................................. 76
Tabla 5.3 Mallas consideradas ..................................................................................................... 77
v
Nomenclatura
Símbolo Descripción
A Área de la sección transversal
APCC Área perimetral con concentración de calor
APSC Área perimetral sin concentración de calor
fA Área de la tubería ocupada por la fase líquida
z sA −
Área de flujo '''iA Densidad del área interfacial (área interfacial por unidad de volumen) '''
wkA Área de transferencia de la fase por unidad de volumen
ia Área interfacial
C Coeficiente de masa virtual
CCP Concentradores cilindro-parabólicos
D Diámetro
DISS Disipación de energía y Direct Solar Steam
mE Error de masa
rmsE Error total del sistema
ke Energía especifica convectiva total
ike Energía especifica convectiva asociada con la transferencia de masa en la interfase
F Fuerza de arrastre
FI Fuerza de arrastre en la interfase
FCC Calentamiento con concentración
FCU Calentamiento uniforme
,FIF FIG Coeficiente de arrastre en la interfase para la fase de líquido y gas
,FWG FWF Coeficiente de arrastre en la pared para la fase de líquido y gas
f
Factor de fricción
mG
Flux másico de la mezcla
GDV Generación directa de vapor g Gravedad
kg Fuerza de cuerpo
H Coeficiente de transferencia de calor
h Entalpia y coeficiente convectivo de transferencia de calor
fh Espesor de la película de líquido
I Tensor identidad ( )ijδ
kJ Flux de kψ a través de las fronteras del volumen de control
L
Longitud
fl Longitud de la zona líquida
vi
ul Longitud de la unidad slug
ikM Fuerza interfacial (por unidad de volumen)
wkM Fuerza en la pared (por unidad de volumen) ''km Flux de masa interfacial
N Vector unitario normal a la intersección de la interfase con la superficie externa
kn Vector normal unitario en la interfase
P Presión
kp Presión de la fase k
ikp Presión interfacial
kp Promedió volumétrico de la presión de la fase k
k ip Promedio volumétrico de la presión de la fase k en la interfase
Q
Flujo de calor Rekq Flux de calor en función del número de Reynolds de la fase � ''kq
Flux de calor de la fase k '''kq Generación volumétrica interna '''
ikq Flux de calor interfacial '''
wkq Flux de calor en la pared de la fase k
Rek
Número de Reynolds de la fase k
fR
Relación de área de flujo transversal en las zona de película
SR
Relación de área de flujo transversal en las zona de líquido
fS
Perímetro mojado de la fase líquida '''
ikS Promedio vectorial del área de la superficie interfacial '''
wkS Promedio vectorial del área de la pared
T Temperatura
t Tiempo
U
Coeficiente global de transferencia de calor
iu
Velocidad de la interfase
tu
Velocidad transversal
Lu
Velocidad de la fase líquida
LSu
Velocidad superficial de la fase líquida
iu Velocidad interfacial
V
Volumen de control material
kV
Volumen de control de la fase
slV
Velocidad superficial de la fase líquida (agua)
vii
sgV
Velocidad superficial de la fase gas (aire)
critv
Velocidad crítica
fv
Velocidad de la fase líquida
kv Velocidad de la fases k
i
dkv Velocidad interfacial asociada con las fuerzas de arrastre
i
ndkv Velocidad interfacial asociada con las fuerzas de no arrastre
ikv Γ Velocidad interfacial asociada con la transferencia de masa
W
Flujo másico
kw Velocidad unidimensional de la fase k
X
Calidad del vapor
kX
Función indicador de la fase
x Localización vectorial
APCC
Área perimetral con concentración de calor
Símbolos griegos
α Fracción de vacío
fα Fracción de vacío de la fase líquida
β Fracción volumétrica instantánea de la fase k e inclinación
kΓ Razón de generación volumétrica de masa de la fase k
ct∆
Paso de tiempo de Courant
x∆
Incremento en el espacio
ε Coeficiente de generación o condensación de vapor en la pared η Coeficiente de entalpia de vaporización o condensación
θ Ángulo de inclinación de la tubería y ángulo central
λ Factor de fricción µ Viscosidad
kρ Densidad de la fase k
Lρ
Densidad de la fase líquida
Σ Flux de la superficie
σ
Tensión superficial
kτ
Esfuerzos viscosos en la fase k
kτ
Esfuerzo cortante de la fase k Re
kτ
Esfuerzo de Reynolds de la fase k
Φ
Término fuente interfacial ∧Φ
Término fuente interfacial efectivo
kφ Término fuente de la fase k
viii
kψ Propiedad conservativa por unidad de masa
δ
Masa virtual
Superíndices
d Arrastre
n Paso de tiempo
nd No arrastre
s Propiedad de saturación
w Pared
Γ Transferencia de masa ρ Promedio de masa ponderado
σ Tensión superficial
Subíndices
AM Transición del patrón de flujo anular-niebla a niebla
BS Transición del patrón de flujo burbuja a slug
DE Transición del patrón de flujo slug a slug-anular
FB
Película de ebullición
f Fase de líquido g Fase de gas
I
Interfase
i Interfacial
in Entrada
k Fase k (para 1k = , líquido; 2k = , vapor)
L Tubería izquierda
l Líquido
m Propiedad de la mezcla
out Salida
R Tubería derecha
SA Transición del patrón de flujo slug-anular a niebla anular
α Medio ambiente
v Vapor (gas)
w Pared de la tubería
ix
Resumen
Se presenta un estudio teórico del comportamiento termo-hidráulico del flujo agua-
vapor en el interior de dos tubos absorbedores conectados en paralelo que
constituyen los dos focos lineales de dos filas en paralelo de Colectores Cilindro-
Parabólicos (CCP) para Generación Directa de Vapor (GDV) mediante
concentración solar. La radiación solar directa captada por los CCP es
redireccionada hacia los dos tubos absorbedores. Se considera calentamiento
simétrico y asimétrico de ambas tuberías con dos casos de distribución perimetral
de la radiación solar incidente sobre el tubo absorbedor: a) flujo de calor uniforme
(FCU) y b) calentamiento con concentración (FCC). El sistema tiene entrada y
salida común y cada tubo absorbedor tiene una longitud de 450 m y un diámetro
de 5 cm. Dependiendo del flujo másico de entrada se presenta una distribución
simétrica o asimétrica del flujo másico, obteniendo a la salida de las tuberías
líquido a alta temperatura, una mezcla bifásica (agua-vapor) ó bien vapor
sobrecalentado. El análisis termo-hidráulico del sistema de GDV es realizado
usando el simulador comercial RELAP, considerando una presión de salida
constante de 3 MPa. Como primera parte del estudio del sistema de tuberías en
paralelo se analiza una tubería simple, considerando FCU y FCC. Posteriormente
se determina el comportamiento de la distribución del flujo y caídas de presión
para el sistema de dos tuberías en paralelo, considerando calentamiento simétrico
y asimétrico, con FCU y FCC en ambos casos.
Los resultados muestran que RELAP es una herramienta confiable para analizar el
comportamiento termo-hidráulico de GDV en tuberías simples. Para el estudio de
la distribución de flujo en sistemas de tuberías en paralelo RELAP mostró ser
capaz de predecir las condiciones más estables en relación a las soluciones
múltiples obtenidas por Natan et al. (2003); sin embargo, se presentaron algunas
oscilaciones para ciertos intervalos de operación por lo que es necesario continuar
con este tipo de estudios.
x
Abstract
In this thesis a numerical study is developed to analyse the thermo-hydraulic
behaviour of a system of parabolic through collectors (PTC) of two parallel pipes
for direct steam generation (DSG), considering heating rate with uniform
distribution and with concentration, in addition to this, symmetric and asymmetric
incident heating rate through the system is considered. The system has common
inlet and outlet, and each pipe is 450 m length and 5.0 cm of diameter. Radiation
on PTC is redirected to absorber pipes and depending on the inlet mass flow, the
flow distribution could be symmetric or asymmetric; hot water, water-steam two
phase flows or supersaturated steam may be obtained at the pipes outlet. The
thermo-hydraulic analysis of the DSG system was carried out by using the RELAP
simulator, considering a constant outlet pressure of 3 MPa.
Firstly, we study a single pipe, considering heating rate with uniform distribution
and with concentration. Thereafter, we extended the analysis to a system of two-
parallel pipe, considering symmetric and asymmetric heating rate with uniform
distribution and with concentration.
The results show that RELAP is an adequate tool to analyse the thermo- hydraulic
behaviour of a single pipe DSG system. The study of flow distribution in parallel
pipe systems show that RELAP is able to reproduce the most stable solutions
obtained by Natan et al. (2003). Nevertheless, some oscillations have been
presented for some intervals of flow, so it is necessary to continue with the study.
Introducción
1
1 Capítulo I Introducción
Equation Chapter 1 Section 1
En este capítulo se justifica el estudio del presente tema de investigación, se hace
una revisión y discusión del estado del arte, y se establecen los objetivos y alcances
del mismo.
Introducción
2
1.1 Generación Directa de Vapor (GDV) mediante Cole ctores Cilindro-
Parabólicos (CCP)
Más del 75% de la emisión de gases de efecto invernadero, contemplados por el
protocolo de Kyoto y contribuyentes del cambio climático global, tienen como origen
el uso de combustibles fósiles para la generación de energía eléctrica ó trabajo
mecánico, de tal forma que la tendencia actual hacia el uso de energías renovables
impactará de forma importante en la reducción de emisiones contaminantes.
De acuerdo a investigaciones realizadas por los expertos, se espera que a mediados
del presente siglo, las energías renovables sean capaces de cubrir el 50% de la
demanda energética mundial, siendo la energía solar termoeléctrica uno de los
principales recursos a aprovechar (plantas de potencia solar). En una central
térmosolar, el fluido de trabajo es calentado mediante radiación solar (campo solar).
En algunos países como Alemania, España y Estados Unidos se ha dinamizado este
sector, teniendo este último 10 plantas comerciales de generación indirecta de vapor
con tecnología de colectores cilindro-parabólicos (CCP) y potencias entre 14 y 80
MWe, y España 17 plantas de 50 MWe cada una.
La radiación solar es convertida en energía térmica mediante sistemas de
concentración solar. Estos sistemas son clasificados por su geometría de enfoque
como concentradores de punto focal (sistemas receptores centrales) ó
concentradores de línea focal (concentradores cilindro-parabólicos). Los
concentradores solares aprovechan la radiación solar directa y por tanto tienen
incorporados mecanismos de seguimiento solar que pueden ser en uno, dos o tres
ejes de movimiento dependiendo del sistema. Un campo solar de colectores cilindro-
parabólicos (CCP), está constituido por filas paralelas de CCP alineadas en los ejes
norte-sur, permitiendo hacer un seguimiento del sol de Este a Oeste durante el día, y
asegurándose que el sol esté continuamente enfocado hacia la superficie receptora.
Introducción
3
Los CCP enfocan la radiación solar en una línea focal del eje del colector. Un tubo
absorbedor con flujo circulando en su interior es instalado en la línea focal del
concentrador, absorbiendo la energía solar concentrada desde las paredes del tubo e
incrementando la entalpia del fluido. La figura 1.1 muestra un esquema de la sección
transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor (FCC).
Figura 1.1 Esquema de corte transversal de un CCP.
La aplicación más importante de los CCP es en las plantas de potencia de
concentración solar (figura 1.2), con temperaturas de operación entre 300 y 400°C.
Otras aplicaciones requieren temperaturas menores, entre 100 a 250°C, y son
principalmente para procesos industriales de calentamiento. Como fluido de trabajo
en las plantas de potencia solar se puede hacer mención a dos alternativas: a) el uso
de un aceite térmico como fluido de trabajo, y b) la Generación Directa de Vapor
(GDV), proceso en el cual el agua es calentada directamente en los tubos
absorbedores de los CCP.
Vacío
Tubo de vidrio
Tubo absorbedor
Área de concentración
Reflector parabólico
Radiación solar
Introducción
4
Figura 1.2 Diagrama simplificado de un campo solar de CCP. Zarza et al.(2005).
Entre algunas de las ventajas que implica la GDV en los tubos absorbedores, con
respecto al uso de aceite térmico, se pueden citar las siguientes:
� Se eliminan los riesgos ambientales asociados con el aceite térmico
(incendios y fugas).
� La temperatura máxima del ciclo puede ser incrementada por arriba de los 400
°C, siendo este el límite para el caso de los aceit es que a temperaturas
mayores se degradan.
� La eficiencia de la planta de potencia es mayor debido a que no se requiere el
uso de intercambiadores de calor secundarios, lo que implica una menor
inversión económica, más simplicidad y menor mantenimiento.
La viabilidad técnica de la GDV mediante CCP ha sido demostrada en la Plataforma
Solar de Almería (PSA) durante las más de 10000 horas de operación acumuladas
en el sistema DISS (Direct Solar Steam), impulsando la construcción de la primera
planta pre-comercial con tecnología de GDV en Tailandia con potencia de 5 MWe.
1.2 Discusión de literatura
Existen un gran número de aplicaciones prácticas que involucran un flujo bifásico a
través de arreglos de tuberías en paralelo. Entre los casos más comunes se
encuentran los intercambiadores de calor, condensadores, plantas de potencia y
sistemas de enfriamiento. En el interior del tubo absorbedor de un sistema de GDV el
Introducción
5
agua se evapora y se van presentando diferentes patrones del flujo bifásico a lo largo
del tubo. En una planta de potencia como la mostrada en la figura 1.2 en la que se
tienen varias filas en paralelo es deseable que el comportamiento termo-hidráulico
del fluido sea simétrico para cada canal de flujo. Sin embargo, los estudios realizados
hasta ahora han mostrado que aun cuando se presenten condiciones de
calentamiento simétricas en ambas tuberías, la distribución de flujo másico resulta
asimétrica para cierto intervalo de flujos. Es de ahí donde surge la importancia de
realizar estudios a fondo que nos permitan predecir de una manera más acertada el
comportamiento termo-hidráulico del fluido en arreglos de sistemas de tuberías en
paralelo. A continuación se presenta la discusión de la literatura más relevante que
aborda esta problemática.
Tshuva et al. (1999) analizaron de forma teórica y experimental un sistema de dos
tubos en paralelo, con el objetivo de determinar las condiciones de operación bajo las
cuales existe inestabilidad y una distribución de flujo no equitativa. El sistema
experimental consiste de dos tubos en paralelo en los cuales el flujo es establecido, y
un tercer tubo de control. Cada tubo con un diámetro de 2.4 cm y 3 m de longitud.
Como fluido de trabajo se utilizó agua y aire.
Las velocidades superficiales del aire utilizadas se encuentran en el intervalo de 0.15
a 5.60 m/s y las del agua de 0.02 a 3.03 m/s. El experimento fue realizado
considerando diez ángulos de inclinación 0°, 5°, 10 °, 20°, 30°, 45°, 60°, 70°, 80° y
90°, y presión atmosférica a su salida.
Para el caso de flujo horizontal (0°), las condicio nes de flujo en los dos tubos en
paralelo son idénticas. El patrón de flujo en ambas tuberías es de burbujas
elongadas (flujo slug) y el flujo es simétrico para todo el intervalo de flujo. Para el
caso de tuberías inclinadas se observa flujo asimétrico en ciertos intervalos del flujo.
La distribución de flujo en tuberías horizontales parece ser estable, pues un pulso de
inyección de aire que es introducido en uno de los dos tubos, no altera las
Introducción
6
características simétricas del flujo. Para el caso de flujo asimétrico, un pulso en la
tubería de líquido estancado causa un intercambio de las condiciones de flujo en las
dos tuberías, esto es, el flujo es ahora por la tubería en la que el fluido permanecía
estancado, mientras que la otra tubería contiene el fluido estancado. El análisis
teórico muestra esencialmente que existe un número infinito de distribuciones del
flujo en estado estable que satisfacen una diferencia de presión simétrica en ambas
tuberías, por lo que se establece que la configuración de flujo que toma lugar será
aquella que presente la menor caída de presión.
Taitel et al. (2003) estudiaron de forma teórica y experimental la distribución de agua
y aire en cuatro tubos en paralelo, considerando entrada y salida común. Se obtuvo
la distribución del flujo bifásico (líquido-gas) en un cierto rango de velocidades de
flujo para cada fase (0.1-10 m/s) y distintos ángulos de inclinación (0°, 5°, 10° y 15°).
El prototipo experimental estaba constituido por cuatro tubos en paralelo, espaciados
a una distancia de 60 cm y unidos mediante una entrada y salida común (tubería de
5 cm de diámetro interno). Cada tubo con un diámetro interno de 2.6 cm y una
longitud de 6 m.
Del análisis experimental se obtuvo que para el caso horizontal el flujo se distribuye
en los cuatro tubos, con un flujo másico muy semejante en cada línea. Para los
casos de 5°, 10° y 15° de inclinación, varias razon es de distribución fueron
observadas, dependiendo de los flujos másicos de líquido y gas.
Al analizar las caídas de presión los autores concluyeron que si el fluido de trabajo es
solo agua, la diferencia de presión (entrada-salida) se incrementa al aumentar la
velocidad del flujo, y para el caso de flujo bifásico las pérdidas de presión decrecen y
se vuelven a incrementar conforme aumenta la velocidad del flujo. El decremento de
las caídas de presión resulta del incremento de la fracción de vacío en la tubería y el
decremento de la presión hidrostática. La fracción de vacío representa la fracción
volumétrica de la fase gaseosa en la mezcla.
Introducción
7
Finalmente los autores concluyen que las menores caídas de presión se obtienen
para un flujo distribuido en las 4 tuberías, seguido de la de 3, 2 y 1 tubería.
Pustylnik et al. (2006) analizaron de forma experimental y teórica (en estado
permanente y transitorio) la distribución de flujo bifásico (agua-aire) en un sistema de
4 tuberías en paralelo, y mediante un análisis de estabilidad lineal determinaron
cuándo una solución es realmente estable (solución que puede presentarse de forma
experimental). El prototipo experimental consiste de cuatro tubos de acrílico, de un
diámetro interno de 0.026 m y 6 m de longitud. El sistema puede variar su inclinación
en un intervalo de 0 a 30 grados.
Del análisis experimental, los autores encontraron que para flujo horizontal el fluido
siempre se distribuye en las 4 tuberías. Sin embargo, para tuberías inclinadas varias
características de distribución fueron observadas, dependiendo de los flujos másicos
de aire y agua en la entrada del manifold. Para velocidades de flujo pequeñas (menor
a 0.27 m/s para el líquido y menor a 1.0 m/s para aire) y una inclinación β=5°, el flujo
bifásico tiende a fluir por una sola tubería, mientras que columnas de flujo estancado
son observadas en las tuberías restantes. Al aumentar la velocidad del aire y del
líquido (0.3 m/s < W < 1.7 m/s para el aire y 0.27 m/s < W < 0.9 m/s para el líquido) el
flujo bifásico tiende a fluir por dos tuberías, mientras que en las dos tuberías
restantes se observa estancamiento de agua y aire. Si la velocidad del aire se
incrementa (1.7 m/s < W < 3.0 m/s), flujo bifásico de agua-aire es observado en tres
tuberías, presentándose estancamiento solo en la tubería restante. Finalmente, para
mayores velocidades tanto del aire como del gas, el fluido se distribuye en las 4
tuberías.
Para una inclinación del sistema de β=10° y β=15°, el comportamiento hidrodinámico
de distribución de flujo resulta análogo a una inclinación del sistema de β=5°, solo
variando los intervalos de velocidad del aire y del agua para los cuales se presenta
flujo bifásico y estancamiento en el sistema.
Introducción
8
Al analizar teóricamente el sistema de tuberías en paralelo, los autores obtuvieron
que existen múltiples soluciones estables de distribución de flujo que satisfacen una
misma caída de presión, por lo que mediante un análisis de estabilidad los autores
resuelven numéricamente los eigenvalores de la ecuación de cantidad de movimiento
para cada tubería, determinando si la solución de distribución de flujo es en realidad
estable.
Finalmente, los autores concluyeron que los resultados teóricos de distribución de
flujo coinciden de forma aceptable con los resultados experimentales encontrados.
Pustylnik et al. (2009) analizaron de forma teórica y experimental los efectos de
usar arandelas de estrangulamiento a la salida de las tuberías de un sistema de
tuberías en paralelo (sistema de 4 tubos, y considerando diversos ángulos de
inclinación: 0, 5, 10 y 15°), modelando la ecuación de cantidad de movimiento en
estado transitorio para una mezcla bifásica. El modelo experimental de Pustylnik et
al. (2006) fue modificado, con objeto de tomar en cuenta las restricciones y poder
compararlos con nuevos resultados experimentales.
Los resultados teóricos muestran que las soluciones estables de distribución de flujo
solo aparecen para razones de distribución de flujo simétricas. Además se pudo
observar que la transición de una solución de distribución de flujo inestable a una
solución de distribución de flujo estable para dos tuberías en paralelo ocurre a
menores valores de flujo másico de alimentación que para un sistema de tres
tuberías. Si se considera un sistema de n tuberías en paralelo, entonces cuando la
solución de distribución de flujo de la mezcla es estable, el flujo bifásico será
observado en las n tuberías. Si la solución de distribución simétrica se torna
inestable, entonces no existe solución para el flujo en todas las n tuberías, y la
estabilidad de la solución de distribución simétrica a través de 1n − tuberías es
revisada. Si la solución estable existe, entonces el flujo de la mezcla tomará lugar en
1n − tubos, y la columna de líquido estancado existirá en nth tubos. De igual forma
Introducción
9
si la solución estable para 1n − tubos se torna inestable, entonces una nueva
columna de líquido estancado es formada en una nueva tubería.
Los resultados experimentales muestran que para el caso de una inclinación de 0°
(posición horizontal) la mezcla bifásica es distribuida de forma simétrica en los cuatro
tubos para todos los rangos de velocidad de flujo de agua y aire (1-10 m/s), sin
embargo, para los casos de tuberías inclinadas (5, 10 y 15°) la distribución simétrica
de flujo solo se presenta para velocidades de flujo (aire-agua) mayores que 1 m/s
para el aire y 0.3 m/s para el agua a 5 y 10° de in clinación, y 1 m/s para el aire y 0.8
m/s para el agua a 15° de inclinación.
Para intentar prevenir la distribución de flujo asimétrico y la formación de columnas
de agua-aire estancada en alguna de las tuberías, los autores propusieron agregar
restricciones a las tuberías. Se seleccionaron cuatro diámetros diferentes de orificios
(10, 15, 20 y 26 mm), considerando el mismo diámetro del orificio para cada tubería
en cada prueba realizada. Para el caso donde el radio de contracción fue de 5 mm, el
fluido se distribuye en las cuatro tuberías para todos los rangos de flujo, en todos los
ángulos de inclinación. Con el incremento del radio de contracción, el flujo tiende a
comportarse de forma simétrica a cuando no se consideran orificios. Sin embargo, el
intervalo de velocidades del aire y del agua para el cual se presenta flujo en las
cuatro tuberías es mayor, comparado con el caso en el que no se consideran
orificios.
Natan et al. (2003) analizaron numéricamente un sistema de dos tubos paralelos en
el que el agua de alimentación es sometida a un proceso de calentamiento y
evaporación, considerando varios ángulos de inclinación (0, 5 y 10°). Determinaron la
distribución del flujo en los dos tubos y las pérdidas de presión a lo largo de los
mismos. Como primera parte del estudio se consideró un tubo simple, con un flujo
másico de entrada y una presión de salida. La tubería fue dividida en n volúmenes
de control y posteriormente se realizaron balances de energía y de momento en cada
uno de ellos, permitiendo el cálculo de las condiciones de salida basándose en las
Introducción
10
condiciones de entrada de cada elemento. Para el cálculo de las pérdidas de presión
se utilizaron dos métodos: (1) un método simplificado basado en el modelo “Drift flux”
y (2) un método basado en el modelo de parámetros de flujo.
Los resultados encontrados muestran que para pequeños (W ≤ 0.36 kg/s) y altos (W
≥ 1.52 kg/s) flujos másicos de entrada, considerando un ángulo de inclinación de 10°
y un calentamiento simétrico de 1200 W/m en cada tubería, existe una única solución
de distribución del flujo. Sin embargo, para flujos intermedios la solución no es única
y se pueden obtener 1, 3 ó 5 soluciones, aun cuando se tengan condiciones de
frontera simétricas en ambas tuberías. Para el caso de condiciones de calentamiento
asimétricas se encontró que el flujo másico es mayor para la tubería en la que se
tiene un menor calentamiento. El análisis muestra que el modelo “drift flux” es una
aproximación razonable para el cálculo de la razón de distribución. El
comportamiento de la razón de distribución es muy semejante para los distintos
ángulos de inclinación considerados (0, 5 y 10°), s in embargo, conforme disminuye la
inclinación de las tuberías, el intervalo de flujos para los que existe más de una única
solución se incrementa.
Minzer et al . (2004) estudiaron de forma experimental el flujo de agua evaporándose
en un sistema de tubos paralelos horizontales y con pequeños ángulos de
inclinación, considerando entrada y salida común. Las tuberías tienen un diámetro
interno de 5 mm, una longitud de 6 m y todo el sistema se puede inclinar de 0 a 30°.
El sistema es alimentado con agua a temperatura ambiente que se distribuye en los
tubos en paralelo calentados mediante resistencias eléctricas.
Los resultados obtenidos muestran que los datos experimentales se aproximan en
gran medida a los datos teóricos obtenidos por Natan et al. (2003), tanto en la región
de soluciones únicas como de soluciones múltiples.
Minzer et al. (2006) realizaron un análisis teórico-experimental de estabilidad y
simulaciones transitorias para determinar la distribución del flujo de agua
Introducción
11
evaporándose en tuberías paralelas horizontales y con pequeños ángulos de
inclinación, considerando calentamiento constante (1000 W/m). El análisis de
estabilidad lineal permite diferenciar entre los estados estables y los inestables, y a
su vez permite establecer cuáles soluciones del estado estable tomarán lugar en la
práctica. Para el análisis se consideraron dos casos: (1) solo un tubo es calentado y
(2) ambos tubos calentados simétricamente.
Para una sola fase, la caída de presión en cada sección longitudinal del tubo se
determina como un valor medio entre la presión al inicio y al final de cada sección.
Para la mezcla bifásica (agua-vapor) se utiliza la correlación de Lockhart & Martinelli
(1949) con el coeficiente de Chisholm (1967). Para validar la teoría se utilizó el
modelo experimental presentado por Minzer et al. (2004).
Para calentamiento asimétrico (tubo derecho con un calentamiento de 1000 W/m, y
tubo izquierdo sin calentamiento) se obtuvo que para flujos menores a 0.036 kg/s, se
tiene una única solución de distribución de flujo, donde el 95% del fluido circula por la
tubería sin calentamiento, mientras que solo el 5% circula por la tubería caliente. Si el
flujo másico aumenta en un intervalo de 0.036 kg/s ≤ W ≤ 0.053 kg/s se obtienen
múltiples soluciones de distribución de flujo (2 soluciones estables y 1 inestable), y
para flujos mayores a 0.053 kg/s se obtiene una única solución (distribución
simétrica). En el segundo caso (tuberías con calentamiento simétrico, 1000 W/m) se
obtiene que para flujos másicos menores a 0.01 kg/s la distribución de flujo es
simétrica, si el flujo aumenta en el intervalo de 0.01 ≤ W ≤ 0.053 kg/s se obtienen
múltiples soluciones de distribución (3 soluciones, siendo 2 estables y 1 inestable; ó
5 soluciones, siendo 3 estables y 2 inestables), y para flujos másicos mayores a
0.053 kg/s se obtiene una única solución (distribución simétrica).
Las simulaciones transitorias confirmaron que los resultados de estabilidad lineal
para los casos analizados, llamados trayectorias, se alejan de la solución inestable y
se aproximan a las soluciones de estado estable.
Introducción
12
Taitel et al. (2007) estudiaron de forma teórica y en estado permanente la
distribución de flujo bifásico (agua-vapor) en tuberías horizontales y con pequeños
ángulos de inclinación, considerando el modelo simplificado propuesto por Minzer at
al. (2006), con el objetivo de proponer un sistema de control que permita lograr la
distribución de flujo deseado en las tuberías. El sistema es fijado a una presión de
salida constante de 10 MPa, una temperatura de entrada de 235 °C, un diámetro
interno de la tubería de 55 mm, una longitud efectiva de la tubería de 936 m, y un
calentamiento incidente de 4.4 kW/m.
Para calentamiento simétrico en ambas tuberías, los autores obtuvieron que la
distribución de flujo es simétrica para flujos másicos menores a 9 kg/s y mayores a
20 kg/s (solución única de presión de entrada y distribución de flujo). Sin embargo,
para flujos másicos intermedios (9 kg/s ≤ W ≤ 20 kg/s) existen 3 o 5 soluciones
posibles de distribución de flujo, y 2 ó 3 respectivas presiones de entrada (2 para el
caso de 3 soluciones de distribución y 3 para el caso de 5 soluciones de distribución).
Si el calentamiento es disminuido a 1.1 kW/m en la tubería izquierda (calentamiento
asimétrico), obtuvieron una única solución permanente para el rango de flujos
másicos de entrada de (0 < W < 30 kg/s), circulando solo del 10 al 20% del flujo
másico de entrada total por la tubería derecha para flujos de entrada de W ≤ 18 kg/s,
obteniendo vapor sobrecalentado a la salida de la tubería derecha y tan solo líquido a
alta temperatura en la tubería izquierda.
Para eliminar las condiciones de distribución asimétricas, los autores propusieron
incorporar válvulas de control a la entrada de cada tubería. Las condiciones de
operación son determinadas fijando la calidad del vapor deseado a la salida de las
tuberías, designándose como argt etX y asegurando la mínima caída de presión.
En la primera etapa el flujo total es ajustado a la calidad promedio del vapor, argt etX
es alcanzada (no necesariamente el mismo flujo en cada tubería). Esto es obtenido
mediante el control de la capacidad de la bomba a la entrada del manifold común.
Las válvulas de control a la entrada de la tubería, donde la calidad del vapor está por
Introducción
13
debajo de la calidad deseada, será cerrada gradualmente, mientras que la válvula a
la entrada de la tubería donde la calidad del vapor es alta (vapor sobrecalentado)
será abierta de forma gradual, y este mismo procedimiento es realizado hasta que la
calidad del vapor sea alcanzada en ambas tuberías. Una vez que la calidad deseada
es alcanzada, ambas válvulas son gradualmente abiertas (si no han sido aun
completamente abiertas) para reducir las pérdidas de presión. Si, en ese proceso, la
calidad del vapor varia, el control es retrocedido hasta volver a lograr la calidad
deseada. La calidad del vapor es la relación entre la masa de vapor y la masa total
presente en la mezcla.
Los autores concluyeron que la incorporación de válvulas de control a la entrada de
cada tubería es una metodología adecuada en el control de la distribución de flujo
másico en sistemas de tuberías en paralelo aplicados a la GDV, sin embargo, la
presión de entrada se incrementa, requiriendo mayor potencia de bombeo, lo cual es
una situación indeseable.
Moya (2009) , Moya et al. (2011) y Enríquez (2012) realizaron estudios del sistema
DISS mediante el simulador comercial RELAP, considerando condiciones de frontera
de calentamiento uniforme y con concentración de calor en los tubos absorbedores,
mostrando la factibilidad de este simulador para estudios de GDV. Con estos
estudios se profundizó en el entendimiento del comportamiento del flujo bifásico
(agua-vapor) a lo largo del tubo absorbedor, se delimitaron las secciones
longitudinales del tubo en las que ocurren determinados patrones de flujo para las
condiciones de operación consideradas, y se pudieron identificar los diferentes
mecanismos de transferencia de calor que se presentan en la interface fluido-pared.
Taitel y Barnea (2011) realizaron un análisis transitorio para la predicción de la
distribución de flujo másico y las caídas de presión en un arreglo de tubos paralelos
de 6 m de longitud y 5 mm de diámetro. Aplicaron el método de diferencias finitas
para resolver la ecuación de cantidad de movimiento de forma iterativa mediante un
esquema implícito de discretización.
Introducción
14
El fluido de trabajo que se consideró fue agua y las condiciones fueron consistentes
con el sistema experimental presentado por Minzer et al. (2006). Los resultados
fueron obtenidos para un calentamiento simétrico en las tuberías (sistema compuesto
por dos tuberías en paralelo y con un calentamiento de 1000 W/m).
Para flujos másicos menores a 0.01 kg/s, la solución es única y existe una
distribución simétrica de flujo (solución estable). Si el flujo másico aumenta en un
intervalo de 0.01 kg/s ≤ W ≤ 0.07 kg/s la solución ya no es única y un conjunto de
soluciones múltiples son obtenidas. Para el intervalo de 0.01 kg/s ≤ W ≤ 0.04 kg/s se
obtienen tres soluciones, de las cuales 2 son estables (distribución asimétrica) y 1
inestable (distribución simétrica). En el intervalo de 0.04 kg/s ≤ W ≤ 0.07 kg/s se
obtienen 5 soluciones, de las cuales 3 son estables (1 distribución simétrica y 2
asimétricas) y 2 inestables (distribución asimétrica). Si el flujo másico de entrada es
mayor a 0.7 kg/s, se obtiene una única solución con distribución simétrica (solución
estable).
El análisis transitorio mostró que los disturbios (variación del flujo másico) pequeños
son consistentes con el análisis de estabilidad lineal. Cambios lentos en el flujo
másico de entrada conducen a la curva de estado estable, mientras que cambios
más rápidos pueden conducir a mayores y menores presiones de entrada,
generando mayores gradientes de presión.
Baikin et al. (2011) estudiaron de forma teórica y experimental el comportamiento
termo-hidráulico de un sistema de tubos en paralelo, extendiendo el trabajo realizado
por Minzer et al. (2006). El sistema está constituido por un arreglo de tubos en
paralelo conectados mediante una entrada y salida común.
El sistema experimental está constituido por 2 tubos con calentamiento, y 2 tubos sin
calentamiento. La longitud de las tuberías es de 6 m con un diámetro interno de 5
mm, y se encuentran conectados mediante una entrada común (manifold de 19 mm
de diámetro interno). Todas las tuberías se encuentran abiertas a la atmósfera
Introducción
15
mediante un separador de vapor localizado al final de cada elemento, y el sistema
puede girar hasta 30°.
Para el caso de tres tubos (1 con calentamiento y 2 sin calentamiento) se obtuvo que
para flujos másicos menores a 0.043 kg/s se presenta solo una solución estable de
flujo para cada tubería, circulando 49% del fluido a través de cada tubería sin
calentamiento, mientras que solo el 2% circula por la tubería con calentamiento. Al
aumentar el flujo másico en el intervalo de 0.043 ≤ W ≤ 0.088 kg/s se obtienen 3
soluciones para cada tubería, 2 estables y 1 inestable. De las soluciones estables, en
la primera el flujo continúa circulando en mayor proporción por las tuberías sin
calentamiento (48% para cada tubería), mientras que solo el 4% del flujo de entrada
circula a través de la tubería con calentamiento. Para el caso de la segunda solución
estable, el flujo másico se distribuye de forma uniforme para cada tubería. Para flujos
mayores a 0.088 kg/s se obtiene una única solución, en la que el fluido se distribuye
de forma simétrica para cada tubería. Para el caso de 2 tuberías con calentamiento y
1 sin calentamiento se obtiene que para flujos másicos menores a 0.038 kg/s, entre
90 y 95% del flujo de entrada circula por la tubería sin calentamiento, mientras que
entre el 5 y 10% restante circula a través de las tuberías calentadas. Al aumentar el
flujo de entrada en el intervalo de 0.038 ≤ W ≤ 0.088 kg/s se obtienen dos o tres
soluciones para cada tubería (2 estables y 1 inestable), en la primera solo el 5% del
flujo de entrada circula por una tubería caliente, mientras que el 95% restante circula
por las otras dos tuberías (del 42-43% para cada tubería). En la segunda solución se
obtiene una distribución simétrica de flujo para cada tubería. Si se considera un flujo
másico de entrada mayor a 0.088 kg/s se obtiene que la distribución es simétrica. Si
se considera un arreglo de 4 tuberías (2 con calentamiento y 2 sin calentamiento) se
obtiene que para flujos másicos menores a 0.043 kg/s se obtiene una única solución
de distribución para cada tubería. Si se aumenta el flujo en el intervalo de 0.043 kg/s
≤ W ≤ 0.129 kg/s se obtienen tres soluciones estables para cada tubo, en la primera,
entre el 45-50% del flujo total de entrada tiende a fluir por las tuberías sin
calentamiento, mientras que el resto fluye por las tuberías calientes (distribución
semejante). En la segunda, cerca del 5% del flujo tiende a fluir por una tubería
Introducción
16
caliente, y el resto se distribuye de forma semejante en las tuberías restantes. En la
tercera el fluido se distribuye de manera uniforme en cada una de las tuberías. Si el
flujo de entrada es mayor a 0.129 kg/s se obtiene una única solución para cada
tubería, y su distribución es simétrica. Los resultados numéricos comparan bien con
los resultados experimentales.
Las simulaciones en estado transitorio (3 tuberías con un calentamiento simétrico de
1300 W/m) confirman los resultados del análisis de estabilidad lineal, mostrando que
las trayectorias se alejan de las soluciones inestables, aproximándose a las
soluciones estables en estado permanente.
Introducción
17
Tabla 1.1 Resumen de la revisión de literatura
Autores
Sistema Físico • L=longitud de la
tubería (m) • D=diámetro (cm) • N =número de
tubos
Tipo de análisis • T=Teórico • E=experimental • I=inclinación (°) características Conclusiones
L D N I T E
Taitel et al. (2003) 6 2.6 4 0-15 X X
Sin calentamiento La distribución del flujo másico en tuberías horizontales es usualmente simétrica, y para tuberías inclinadas varias configuraciones de distribución de flujo pueden ser obtenidas (soluciones múltiples).
Pustylnik et al. (2006) 6 2.6 4 0-30 X X
Sin calentamiento Las predicciones de razón de distribución de flujo y estancamiento coinciden de forma aceptable con los resultados experimentales.
Pustylnik et al. (2009)
6 2.6 4 0-15 X X Sin calentamiento Inclusión de orificios
La inserción de un orificio al final de cada tubería reduce la región de distribución asimétrica del flujo.
Natan et al. (2003) 400 2.5 2 0-10 X Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico
La distribución del flujo es asimétrica en algunos intervalos de flujo aun cuando se considere un calentamiento simétrico en ambas tuberías. Se obtuvieron soluciones múltiples.
Minzer et al. (2004) 6 0.5 2 0-30 X
Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico
Los datos experimentales se aproximan en gran medida al comportamiento cualitativo de los resultados obtenidos por Natan et al. (2003).
Minzer et al. (2006)
6 0.5 2 0 X X
Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Análisis de estabilidad
Las simulaciones transitorias confirmaron que las trayectorias se alejan de las soluciones inestables y se aproximan a las soluciones de estado estable.
Taitel et al. (2007) 936 5.5 2 0 X
Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Inclusión de sistemas de control
Aun para calentamiento simétrico la distribución del flujo es asimétrica, por lo que no es posible lograr la distribución deseada (simétrica) sin un sistema de control.
Taitel y Barnea (2011)
6 0.5 2 0 X Calentamiento uniforme: • Simétrico Análisis de estabilidad
El análisis transitorio permite visualizar la respuesta a pequeños disturbios y el comportamiento del sistema para los cambios en las condiciones de operación.
Baikin et al. (2011) 6 0.5 4 0-30 X X
Calentamiento uniforme: • Simétrico • Asimétrico Análisis de estabilidad
Para calentamiento asimétrico, una mayor cantidad de flujo másico circula por las tuberías sin calentamiento, y aun para calentamiento simétrico en todo el sistema existen soluciones de distribución asimétricas. La trayectoria de las soluciones de distribución en estado transitorio dependen del cambio de las condiciones de operación del sistema.
Este estudio 450 5.0 2 0 X
Calentamiento uniforme y con concentración: • Simétrico • Asimétrico
18
1.2.1 Conclusiones de la revisión de literatura
1. La distribución simétrica de flujo másico en arreglos de tuberías en paralelo es
un fenómeno difícil de controlar, pues aun cuando se presenten las mismas
condiciones de frontera de calentamiento, existen intervalos de flujo másico en
el que se obtienen más de una única solución, siendo algunas soluciones
estables y otras inestables.
2. En sistemas de tuberías en paralelo sin calentamiento, la distribución del flujo
másico es simétrica cuando el sistema es horizontal.
3. Para sistemas de tuberías en paralelo con calentamiento simétrico existen
intervalos de flujo másico de entrada en los que la distribución es asimétrica,
aun considerando una posición horizontal del sistema. Se obtiene vapor
sobrecalentado en algunas tuberías, mientras que en las restantes
únicamente se obtiene líquido a alta temperatura, lo cual es una situación
indeseable en la práctica.
4. La incorporación de dispositivos que permiten controlar la entrada de flujo a
las tuberías del sistema es un buen método para obtener la distribución de
flujo deseada, sin embargo, implica mayores presiones de entrada (mayor
potencia de bombeo del fluido de alimentación), lo cual es una situación no
deseada.
5. Hasta ahora solo se han estudiado sistemas de tuberías en paralelo con
calentamiento uniformemente distribuido y generalmente ángulos de
inclinación de β≠0. Sin embargo, esta condición de calentamiento es difícil de
encontrar en la práctica, por lo que es necesario realizar estudios en los que
se consideren condiciones de frontera de calentamiento que nos permitan
modelar el sistema con mayor apego a las condiciones reales (calentamiento
con concentración) y en tuberías horizontales.
Introducción
19
Como resultado de la revisión de literatura se plantean los siguientes Objetivos y
Alcances.
1.3 Objetivo general
Determinar el efecto que el calentamiento solar (simétrico, asimétrico y con
concentración perimetral) de los tubos absorbedores tiene sobre la distribución del
flujo másico y caídas de presión en las tuberías en paralelo de un sistema de
Colectores Cilindros Parabólicos (CCP) para Generación Directa de Vapor (GDV). Lo
anterior mediante el simulador comercial RELAP.
1.4 Objetivos específicos
1. Determinar el comportamiento termo-hidráulico de la mezcla bifásica agua-
vapor (temperatura, patrones de flujo, presión y calidad) en función de las
condiciones de frontera de calentamiento del tubo absorbedor.
2. Determinar el efecto de la concentración solar.
1.5 Alcances
Se reproducirá el estudio teórico realizado por Natan et al. (2003) como referencia y
se estudiará una fila de CCP para GDV (prototipo DISS) ubicada en la PSA
comparando con datos experimentales proporcionados a través de un convenio de
colaboración. Se determinará la aplicabilidad del simulador RELAP para este tipo de
estudios. Los estudios se realizarán en estado permanente.
20
2 Capítulo II Marco Teórico
Equation Chapter 2 Section 1
En este capítulo se hace una breve descripción de los patrones de flujo bifásico que
pueden presentarse para tuberías horizontales, así como de los modelos
matemáticos que se aplican para el estudio del comportamiento termo-hidráulico del
flujo bifásico agua-vapor, haciendo especial énfasis en el Modelo a Dos Fluidos
(modelo matemático empleado en el presente trabajo a través del simulador RELAP).
Finalmente, se presentan las ecuaciones generales del Modelo a Dos Fluidos:
continuidad, conservación de cantidad de movimiento y conservación de energía,
planteando las ecuaciones conservativas para cada fase líquido y vapor.
Marco Teórico
21
2.1 Patrones de flujo bifásico
En un sistema de GDV, al evaporarse el agua en los tubos absorbedores, dos fases
de flujo coexisten entre sí (líquido-gas), presentándose en forma de diferentes
configuraciones llamadas patrones de flujo. Cada patrón de flujo es caracterizado por
una distribución relativa de ambas fases y de sus interfases. La transición de un
patrón de flujo a otro toma lugar cuando cambios significativos ocurren en la
geometría de la interfase líquido-gas. La figura 2.1 muestra los patrones de flujo
típicos reportados (Collier & Thome, 1994) para flujo en tuberías horizontales con
evaporación (flujo con transferencia de calor).
Figura 2.1 Patrones de flujo para fluido con evaporación en tuberías horizontales.
Los coeficientes de transferencia de calor y las caídas de presión están
estrechamente relacionados con la estructura del flujo bifásico, y la predicción de los
patrones de flujo es un importante aspecto del modelado para condensación y
evaporación. Una descripción sencilla del comportamiento hidrodinámico de cada
patrón de flujo se hace a continuación:
Flujo Burbuja: La fase gaseosa se encuentra dispersa en la fase líquida en forma de
un gran número de burbujas que varían en forma y tamaño, sin embargo,
normalmente adoptan una forma casi esférica y de diámetro mucho más pequeño
Marco Teórico
22
que el diámetro de la tubería por el que circula el flujo bifásico. La mayor parte de las
burbujas se aproximan a la pared superior de la tubería debido a las fuerzas de
flotación. Cuando las fuerzas viscosas son dominantes, las burbujas tienden a
distribuirse de forma uniforme en el área de flujo.
Flujo Plug: En este patrón de flujo se presentan secciones de líquido separadas por
burbujas elongadas de la fase gaseosa. El diámetro de las burbujas es menor que el
de la tubería, por lo que la fase líquida es continua en la parte inferior de la tubería
(por debajo de las burbujas elongadas). El flujo Plug es también conocido como flujo
de burbujas elongadas.
Flujo Slug: Al aumentar la velocidad del gas (mayor fracción de vacío), el diámetro de
las burbujas elongadas se aproxima al diámetro de la tubería. Tapones de líquido
separados por burbujas elongadas pueden ser descritos como ondas de larga
amplitud.
Flujo Estratificado: El patrón de flujo estratificado se caracteriza por la separación de
la fase líquida y la fase gaseosa. La fase gaseosa con menor densidad circula por la
parte superior de la tubería y la líquida por la sección inferior, manteniéndose
separadas por una interfase horizontal. El líquido y el gas son completamente
estratificados en este patrón de flujo.
Flujo Estratificado Ondulado: Al aumentar la velocidad del gas en flujo estratificado,
se forman ondas en la interfase líquido-gas que viajan en la dirección del flujo. La
amplitud de las ondas es notable y depende de la velocidad relativa de ambas fases,
sin embargo, la cresta de las ondas no tocan la pared superior de la tubería. Las
ondas rozan las paredes laterales de la tubería, dejando películas delgadas de
líquido después del paso de la onda.
Flujo Anular: Al aumentar el flujo de gas, la fase líquida forma una película anular
continua alrededor del perímetro de la tubería, circulando la fase gaseosa por el
Marco Teórico
23
centro de la sección transversal. Sin embargo, la película de líquido es más delgada
en la parte superior de la tubería. La interfase entre la película anular de líquido y el
centro de gas puede ser perturbada por pequeñas amplitudes de onda y gotas de
líquido que se dispersan en el gas. A elevadas fracciones de vacío, la parte superior
de la tubería con la película de líquido más delgada tiende a secarse primero, de tal
forma que la película anular cubre solo parte del perímetro de la tubería y el flujo es
clasificado como flujo estratificado ondulado.
Flujo Dryout: La película de líquido en las paredes de la tubería comienza a secarse,
y el líquido restante tiende a circular por el centro de la tubería en forma de pequeñas
gotas.
Flujo Niebla: La fase gaseosa entra en contacto con las paredes de la tubería y la
fase líquida viaja en forma de gotas a través del núcleo de gas, siendo ahora el gas
la fase continua.
2.2 Generalidades de los modelos matemáticos para e l estudio del flujo de
dos fases
El flujo de dos fases obedece todas las leyes básicas de la mecánica de fluidos, sin
embargo, las ecuaciones son más complicadas y numerosas. Los modelos
matemáticos para analizar flujos bifásicos pueden ser ordenados en forma
ascendente considerando el grado de sofisticación y dependiendo de la cantidad de
información que sea necesaria para describir el flujo. Entre los principales modelos
matemáticos para el análisis de flujo bifásico se puede hacer mención del modelo de
flujo homogéneo, el modelo Drift-Flux, y el modelo a dos fluidos.
Modelo de Flujo Homogéneo: Este modelo representa la técnica más simple para el
análisis de flujo bifásico ó multifásico. Se determinan propiedades promedio y la
mezcla es tratada como un fluido que obedece las ecuaciones de flujo para una fase,
es decir, las propiedades de la mezcla bifásica son constantes y tanto las
Marco Teórico
24
velocidades como las temperaturas del líquido y del vapor (o gas), son iguales en
toda el área de flujo de su sección transversal (flujo homogéneo en equilibrio).
Modelo Drift-Flux: Este modelo es esencialmente un modelo a flujos separados en el
cual la atención es enfocada al movimiento relativo más que al movimiento individual
de ambas fases. Este modelo es particularmente útil si los efectos bidimensionales y
tridimensionales (variación de la densidad y velocidad a través del canal de flujo) son
despreciables. El movimiento relativo es determinado mediante algunos parámetros
importantes como fuerzas de flotación y fuerzas de arrastre, y es independiente de la
razón de flujo de cada fase. La teoría del modelo drift-flux tiene un amplia aplicación
en los patrones de flujo burbuja y slug, así como para las caídas de presión en el
flujo bifásico líquido-gas.
Modelo A Dos Fluidos: El modelo a dos fluidos considera que las dos fases tienen
diferentes propiedades y diferentes velocidades. Es el modelo más completo y por
consiguiente el más complejo ya que involucra ecuaciones separadas de
continuidad, cantidad de movimiento y energía para cada fase. Las seis ecuaciones
son resueltas de forma simultánea, en conjunto con las ecuaciones que describen
cómo las dos fases interactúan entre sí y con las paredes de la tubería (condiciones
de cerradura).
2.3 Modelo a Dos Fluidos
Las ecuaciones de conservación son escritas en forma diferencial, promediadas en
tiempo y espacialmente (promediado volumétrico). En el apéndice se hace una
deducción detallada del modelo matemático a dos fluidos y las ecuaciones
resultantes se muestran a continuación. Sin embargo, la notación de promediado es
omitida para simplificar su escritura (Lahey & Drew, 1989).
Marco Teórico
25
� Ecuación de conservación de masa
[ ] [ ]1k kkk k kV v
t V
α ρα ρ
∂+ ∇⋅ = Γ
∂ (2.1)
donde el subíndice k denota la fase, siendo k g= para la fase gas (o vapor) y k f=
para la fase líquida, kρ la densidad de cada fase, kα la fracción volumétrica, kv la
velocidad, V el volumen y kΓ la transferencia de masa debido al cambio de fase.
� Ecuación de conservación de cantidad de movimiento
[ ] ( )
( )
''' ''' '''
Re
1
1
i w ii w i
i i w wi
k k k k k kk k k k k k k k kk
nd d nd dk k k kkk k k kk k k
v V C v v p I p s p s st V
V g v M M M MV
α ρ α ρ α τ
α τ τ α ρ Γ
∂ + ∇⋅ : = − ∇⋅ − ∆ − ∆ + ∂
+ ∇ ⋅ + + + Γ + + + +
(2.2)
donde los subíndices k , w , i denotan la fase, la pared y la interfase, k
C la
correlación del tensor de cuarto orden, kP la presión, I el tensor identidad, kτ los
esfuerzos viscosos, kg la fuerza gravitacional, ikvΓ la velocidad interfacial,
i
ndkM la
fuerza volumétrica interfacial de no arrastre, i
dkM la fuerza volumétrica interfacial de
arrastre, w
ndkM la fuerza de no arrastre fase-pared,
w
dkM la fuerza de arrastre fase-
pared, y '''
ikS y '''
wkS los parámetros geométricos de la interfase y la pared,
respectivamente.
� Ecuación de conservación de energía
( ) ( ) [ ]
( ) ( )'' '' Re '''
''''' ''' '' '''
1
1 1
i
i ii i i ii i w wi
k kT T kkk k k k k k k k kk
Tk kk k k k kk kk k k k
dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk
k i
pe e V K e e v p
t V t t
V q q V v g v qV V
pe M v q A M v v s q A
ααα ρ α ρ
α α τ τ α ρ α
τρ
Γ
∂∂∂ + + ∇ ⋅ ⋅ + = − + ∂ ∂ ∂
− ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ + ⋅ + ⋅ + +
∆Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − Γ%
(2.3)
Marco Teórico
26
donde ke es la energía especifica covectiva total, Tke la energía cinética turbulenta,
kK la conductividad térmica, ''kq el flujo de calor, ''T
kq el flujo de calor turbulento, '''kq la
generación interna de calor volumétrica, ''
ikq el flujo de calor interfacial, ''
wkq el flujo de
calor en la pared, '''iA el área interfacial, '''
wkA el área de transferencia de energía en la
pared por unidad de volumen, dk
kk i
p
ρ∆Γ%
el componente de arrastre, y Rekτ el
esfuerzo de Reynolds.
27
3 Capitulo III Modelo matemático
Equation Chapter 3 Section 1.
En este capítulo se hace una descripción general del software comercial RELAP,
presentando su modelo matemático y una breve descripción de la metodología de
solución.
Modelo Matemático
28
3.1 Generalidades del modelo implícito en el simula dor RELAP
El código RELAP (Ramson et al., 2001) ha llegado a ser ampliamente aceptado en
todo el mundo para analizar de forma teórica y experimental sistemas de reactores
de agua ligera (LWR).
El modelo hidrodinámico en RELAP es unidimensional y transitorio, basado en el
modelo a dos fluidos para una mezcla de agua-vapor que puede contener un
componente no condensable en la fase vapor y/o un componente soluble en la fase
líquida.
Contiene algunas opciones para usar modelos hidrodinámicos más simples. Esto
incluye flujo homogéneo, equilibrio térmico y modelos de flujo con fricción. Estas
opciones pueden ser usadas de forma independiente y/o en combinación. Las
ecuaciones del modelo a dos fluidos son formuladas en términos de promediado en
volumen y en tiempo.
3.2 Ecuaciones de conservación en una dimensión par a el modelo a dos
fluidos
Las ecuaciones de conservación generales descritas en el capítulo II pueden ser
expresadas de forma unidimensional (Ramson et al., 2001), siendo un caso particular
de las ecuaciones en tres dimensiones.
Las ecuaciones de continuidad para cada fase son:
Para la fase gas:
1g g g g g gv A
t A zα ρ α ρ∂ ∂ + ⋅ = Γ ∂ ∂
(3.1)
Modelo Matemático
29
para la fase líquida:
1f f f f f fv A
t A zα ρ α ρ∂ ∂ + ⋅ = Γ ∂ ∂ (3.2)
donde, los subíndices g y f denotan la fase de gas ó líquido, ρ la densidad, α la
fracción volumétrica, A el área de flujo, v la velocidad, gΓ y fΓ la transferencia de
masa en la interfase para cada fase. Generalmente el flujo no incluye fuentes ó
sumideros de masa, y la condición de continuidad requiere que el término de
generación de líquido debe ser el negativo del término de generación de vapor, es
decir:
f gΓ = −Γ (3.3)
El modelo de transferencia de masa interfacial asume que el total de la masa
transferida incluye la masa transferida en la interfase líquido/vapor en el fluido ( ) y
la transferencia de masa en la interfase fluido-pared ( ), esto es:
g ig wΓ = Γ + Γ (3.4)
' '
wif
wg f
Q
h h
−Γ =
− (3.5)
( ) ( )* *
s sig g if f
g wg f
H T T H T T
h h
− + −Γ = + Γ
− (3.6)
donde, wifQ es el coeficiente de transferencia de calor en la capa limite cerca de la
pared, 'gh y '
fh las entalpias para cada fase (vapor-líquido) asociadas con la
transferencia de masa en la interfase de la pared, igH y ifH la transferencia de calor
en la interfase para cada fase, sT la temperatura de saturación, gT y fT las
temperaturas para cada fase, y *gh y *
fh la entalpia para cada fase asociada con la
transferencia de masa en la interfase.
Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento para cada fase son
expresadas en términos de momento por unidad de volumen involucrando las
igΓ
wΓ
Modelo Matemático
30
velocidades de las fases gv y fv . La variación espacial de los términos de momento
es expresada en términos de 2gv y 2
fv . Esta forma tiene la característica de que la
ecuación de cantidad de movimiento se reduce a la ecuación de Bernoulli para flujo
permanente, incompresible y no viscoso.
Las ecuaciones de cantidad de movimiento para cada fase son:
Para la fase gas:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21
2g g
g g g g g g g z g g g
g f g fg gI g g g g f g f m f g
v v PA A A B A A FWG v
t z z
v v v vA v v A FIG v v C A v v
t z z
α ρ α ρ α α ρ α ρ
α ρ α α ρ
∂ ∂ ∂+ = + −∂ ∂ ∂
∂ − ∂ ∂Γ − − − − + −
∂ ∂ ∂
(3.7)
y para la fase líquida:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21
2f f
f f f f f f f z f f f
f g f gf fI f f f f g f g m g f
v v PA A A B A A FWF v
t z z
v v v vA v v A FIF v v C A v v
t z z
α ρ α ρ α α ρ α ρ
α ρ α α ρ
∂ ∂ ∂+ = + −∂ ∂ ∂
∂ − ∂ ∂Γ − − − − + −
∂ ∂ ∂
(3.8)
donde los subíndices I , w y m denotan la interfase, pared y el promedio de las
propiedades, zB el vector componente de la fuerza de cuerpo g y C el coeficiente de
masa virtual, cuando una partícula (burbuja de vapor) se mueve a través de un
núcleo de líquido, pequeñas moléculas se adhieren a la superficie externa de la
burbuja, generando una película de espesor δ (masa virtual), y la fuerza necesaria
para vencer la resistencia al movimiento ocasionada por la masa virtual se conoce
como fuerza de masa virtual. Los términos FWG y FWF son parte de la fricción de
arrastre en la pared para cada fase (vapor y líquido), FIG y FIF son parte de la
fricción de arrastre en la interfase para cada fase (vapor y líquido). Para la fricción de
arrastre en la interfase líquido-vapor se utilizan dos métodos (drift-flux y coeficiente
de arrastre), dependiendo del patrón de flujo que se presente. El coeficiente de
arrastre es una magnitud adimensional para cuantificar la resistencia al movimiento
que presenta un cuerpo inmerso en un fluido.
Modelo Matemático
31
El coeficiente de masa virtual se basa en el modelo utilizado por Anderson et al
(1977), donde el valor de C depende del patrón de flujo. Un valor de 1/ 2C > ha
mostrado ser un valor adecuado para flujo burbuja o flujos dispersos (Zuber, 1964) y
(Wijngaarden, 1976), mientras que 0C = puede ser adecuado para flujos separados
ó flujo estratificado (Zuber, 1964) y (Wijngaarden, 1976). El código comercial RELAP
emplea un valor de 1/ 2C > para todos los patrones de flujo.
Los términos del lado izquierdo de las ecuaciones(3.7) y(3.8) representan los
términos temporal y convectivo, respectivamente; para cada fase. Los del lado
derecho, el gradiente de presión, las fuerzas de cuerpo (fuerza de gravedad), la
fricción en la pared, la cantidad de movimiento debido a la transferencia de masa en
la interfase, la fricción de arrastre en la interfase y las fuerzas de masa virtual,
respectivamente, para cada fase.
La conservación de cantidad de movimiento en la interfase requiere que los términos
de fuerza asociados con la masa de la interfase e intercambio de cantidad de
movimiento sumen cero, es decir:
( ) ( )
( ) ( ) 0
g f
g gI g g g f g f m f fI
f g
f f f g f g m
v vAv A FIG v v C A Av
t
v vA FIF v v C A
t
α ρ α α ρ
α ρ α α ρ
∂ − Γ − − − − Γ ∂
∂ − − − − = ∂
(3.9)
Los términos de fuerza asociados con la aceleración de la masa virtual en la
ecuación (3.9) suman cero, por lo que se requiere que:
gI fI Iv v v= = (3.10)
y
g g f f g f g fFIG FIF FIα ρ α ρ α α ρ ρ= = (3.11)
donde FI es el coeficiente de arrastre en la interfase. Estas condiciones son
suficientes para asegurar que la ecuación (3.9) se satisfaga.
Modelo Matemático
32
Donde;
( )
( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 2' ' ' '
2 2
2f f f
f f fw
f f f f f f f f g g g g g g g g
gw g g g fw f f f
vFWF
D
v C v v v
v v
ρ λα ρ α
λ ρ α λ ρ α λ ρ α λ ρ α
α λ ρ α λ ρ
=
+ + ⋅+
(3.12)
( )
( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 2' ' ' '
2 2
2g g g
g g gw
f f f f f f f f g g g g g g g g
gw g g g fw f f f
vFWF
D
v C v v v
v v
ρ λα ρ α
λ ρ α λ ρ α λ ρ α λ ρ α
α λ ρ α λ ρ
=
+ + ⋅+
(3.13)
( ) ( )
( )
f g f g f g f g
g g f f
g g f f g g f f
m g f
g g
FIG FIFv v
α ρ ρ ρ α ρ ρ ρα ρ α ρ
α ρ α ρ α ρ α ρρ
− − + = = ⋅
− (3.14)
siendo gλ y fλ los factores de fricción para cada fase, D el diámetro y g la fuerza
de flotación. El superíndice “ '” denota los factores de fricción de Darcy-Weisbach
para la fase de vapor y líquido, respectivamente.
Las ecuaciones de conservación de energía para cada fase son:
Para la fase gas:
( ) ( ) ( ) *
'
1 g gg g g g g g g g g wg ig ig g
w g g
PU U v A P v A Q Q h
t A z t A z
h DISS
α αα ρ α ρ α
∂ ∂∂ ∂+ = − − + + + Γ∂ ∂ ∂ ∂+Γ + (3.15)
Para la fase líquida:
( ) ( ) ( ) *
'
1 f ff f f f f f f f f wf if if f
w f f
PU U v A P v A Q Q h
t A z t A z
h DISS
α αα ρ α ρ α
∂ ∂∂ ∂+ = − − + + + Γ∂ ∂ ∂ ∂+Γ + (3.16)
Modelo Matemático
33
donde U es la energía interna específica, Q el flujo de calor volumétrico, y gDISS y
fDISS son los términos de disipación de energía para cada fase, siendo la suma de
los efectos de las fuerzas de fricción en la pared y los de la bomba. 2
g g g gDISS FWGvα ρ= (3.17) 2
f f f fDISS FWFvα ρ= (3.18)
La relación de disipación de energía satisface la siguiente relación:
g fDISS DISS DISS= + (3.19)
Los términos de energía del lado izquierdo de las ecuaciones (3.15) y (3.16)
representan el término temporal y convectivo, respectivamente. Los del lado derecho
son: los términos de presión, el flujo de calor en la pared, el flujo de calor en la
interfase, la transferencia de energía debido al cambio de fase en la interfase, la
transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared y el término de
disipación.
La transferencia de calor total ( Q ) a través de la pared de la tubería es igual a la
suma de la transferencia de calor para cada fase, es decir:
wg wfQ Q Q= + (3.20)
Las entalpias para cada fase ( *gh , *
fh ) asociadas con la transferencia de masa en la
interfase son definidas de tal forma que las condiciones de salto de energía en la
interfase (ecuaciones del intercambio de energía en la interfase) se satisfagan. En
particular, *gh y *
fh son sustituidas por sgh y fh respectivamente para el caso de
evaporación, y gh y sfh para el caso de condensación. De igual forma ocurre para las
entalpias de fase ( 'gh , '
fh ) asociadas con la transferencia de masa en la interfase de
la pared.
Modelo Matemático
34
3.3 Condiciones de Cerradura
3.3.1 Generación de vapor
La generación de vapor consiste de dos partes, la generación de vapor que resulta
del intercambio de energía en la interfase ( ) y la generación de vapor debido a los
efectos de transferencia de calor en la pared ( ). Los términos de transferencia de
calor en la interfase y que aparecen en las ecuaciones de conservación de
energía para cada una de las fases debido al intercambio de energía en la interfase y
al intercambio de energía en la región adyacente a la pared.
La suma de las ecuaciones de energía para cada fase (fase líquida y fase gaseosa)
produce una ecuación de energía de mezcla, para la cual se requiere que la suma de
los términos de transferencia en la interfase sea igual a cero, es decir:
( ) ( )* * ' ' 0ig if ig g f w g fQ Q h h h h+ + Γ + + Γ + = (3.21)
Los términos de transferencia de calor en la interfase ( igQ y ifQ ) consisten de dos
partes, esto es, la transferencia de calor en la interfase ( BigQ y B
ifQ ) y la transferencia
de calor en la interfase en la capa limite térmica cerca de la pared ( wigQ y w
ifQ ). Estas
dos partes son aditivas, es decir: B w
ig ig igQ Q Q= + (3.22)
y B w
if if ifQ Q Q= + (3.23)
Los términos de transferencia de calor en la interfase se muestran en la figura 3.1,
para el caso de vapor sub enfriado.
igΓ
wΓ
igQ ifQ
Modelo Matemático
35
Para el gas la transferencia de calor en la interfase está dada por:
( )B sig ig gQ H T T= −
(3.24)
Siendo igH el coeficiente de transferencia de calor para el gas en la interfase por
unidad de volumen y gT la temperatura del gas. Para el líquido, el coeficiente de
transferencia de calor está dado por:
( )B sif if fQ H T T= −
(3.25)
Siendo ifH el coeficiente de transferencia de calor para el líquido en la interfase por
unidad de volumen y fT la temperatura del líquido.
Sustituyendo las ecuaciones (3.22) y (3.23) en las ecuaciones (3.24) y (3.25),
respectivamente, se obtiene:
( )s wig ig g igQ H T T Q= − +
(3.26)
( )s wif if f ifQ H T T Q= − +
(3.27)
Se asume que la ecuación (3.21) se satisface, requiriendo que los términos de
intercambio de energía en la interfase líquido-vapor y los términos de intercambio de
Figura 3.1 Transferencia de calor para el caso de vapor sub enfriado.
����
����
����
Pared
Modelo Matemático
36
energía en la interfase fluido-pared sumen cero, independientemente cada uno, es
decir:
( ) ( ) ( )* * 0s sig g if f ig g fH T T H T T h h− + − + Γ + =
(3.28)
y
( )' ' 0w wig if w g fQ Q h h+ + Γ + =
(3.29)
Además, dado que el vapor aparece en la saturación, se considera que 0wigQ = para
procesos de ebullición cerca de la pared. La ecuación (3.29) puede ser usada para
obtener la razón de vaporización en la interfase cerca de las paredes, de tal forma
que:
( )' '
wif
w
g f
Q
h h
−Γ =
+ (3.30)
De la misma manera se asume que el líquido aparece en la saturación, por lo que
0wifQ = para procesos de condensación cerca de la pared. La ecuación (3.29) puede
ser utilizada para obtener la razón de condensación en la interfase cerca de las
paredes.
( )' '
wig
w
g f
Q
h h
−Γ =
+ (3.31)
Resolviendo las ecuaciones (3.30) y (3.31) para wifQ y w
igQ , y sustituyendo en las
ecuaciones (3.26) y (3.27), los términos de transferencia de energía en la interfase,
igQ y ifQ , pueden ser expresados en forma general como:
( ) ( )' '1
2s
ig ig g w g fQ H T T h hε− = − − Γ +
(3.32)
y
( ) ( )' '1
2s
if if f w g fQ H T T h hε− = − − Γ +
(3.33)
donde ε es el coeficiente de generación o condensación de vapor en la pared,
siendo 1ε = para ebullición cerca de la pared, y 1ε = − para condensación cerca de
Modelo Matemático
37
la pared. Finalmente, la ecuación (3.21) puede ser utilizada para encontrar la razon
de vaporización o condensación del fluido: ' '
* * * *
ig if g fig w
g f g f
Q Q h h
h h h h
+ −Γ = − − Γ
+ + (3.34)
Sustituyendo las ecuaciones (3.32) y (3.33) en la ecuación (3.34) se obtiene que:
( ) ( )* *
s sig g if f
igg f
H T T H T T
h h
− + − Γ = −
+ (3.35)
El proceso de cambio de fase que ocurre en la interfase es planteado como un
proceso en el cual el fluido es calentado o enfriado hasta la temperatura de
saturación y los cambios de fase ocurren en estado de saturación.
( ) ( )* 1
2s s
g g g g gh h h h hη = + + − (3.36)
y
( ) ( )* 1
2s s
f f f f fh h h h hη = + + − (3.37)
donde η es un coeficiente de la entalpia de evaporación o condensación, siendo:
1 0igη = → Γ ≥ (3.38)
1 0igη = − → Γ < (3.39)
Asimismo:
( ) ( )' 1
2s s
g g g g gh h h h hε = + + − (3.40)
y
( ) ( )' 1
2s s
f f f f fh h h h hε = + + − (3.41)
donde:
1 0wε = → Γ ≥ (3.42)
1 0wε = − → Γ < (3.43)
Modelo Matemático
38
Sustituyendo la ecuación (3.35) en la ecuación (3.4) se obtiene la expresión final
para la transferencia total de masa en la interfase, y se expresa como:
( ) ( )* *
s sig g if f
g wg f
H T T H T T
h h
− + −Γ = + Γ
+ (3.44)
3.3.2 Términos de disipación
Los términos de disipación de energía, gDISS y fDISS son la suma de la fricción de
la pared y los efectos de la bomba. Los efectos de disipación debidos a la
transferencia de masa en la interfase, la fricción en la interfase, y la masa virtual son
despreciados. En las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de
movimiento, la transferencia de masa en la interfase, la fricción en la interfase, y la
masa virtual son importantes y no son despreciados. Las fricciones de disipación de
la pared se definen como: 2
g g g gDISS FWGvα ρ= (3.45)
y 2
f f f fDISS FWGvα ρ= (3.46)
Los términos de disipación de energía para cada fase satisfacen la siguiente relación:
g fDISS DISS DISS= + (3.47)
Siendo � la energía de disipación.
3.3.3 Fricción interfacial
La fricción en la interfase por unidad de volumen en las ecuaciones de cantidad de
movimiento de cada fase es expresada en términos de coeficientes de fricción
interfacial como:
( )ig g g g fF FIG v vα ρ= − (3.48)
y
Modelo Matemático
39
( )if f f f gF FIF v vα ρ= − (3.49)
donde igF es la magnitud de la fuerza de fricción interfacial por unidad de volumen en
la fase de vapor y ifF para la fase líquida. La magnitud de la fuerza de arrastre
interfacial por unidad de volumen en el líquido es considerada igual a la magnitud de
la fuerza de arrastre de la fase de vapor. Esta consideración conduce a la siguiente
condición:
g g f f g g f fFIG FIF FIα ρ α ρ α ρ α ρ= = (3.50)
donde el coeficiente global de fricción interfacial FI es definido en términos de los
coeficientes de fricción interfacial para cada fase ( FIG y FIF ).
El término de fuerza de fricción interfacial en la ecuación diferencial de cantidad de
movimiento es definido por:
( )( )ig ifg f
g g f f
F FFIG FIF v v
α ρ α ρ+ = + −
(3.51)
El cual se puede expresar como:
( )ig ifm g f
g g f f
F FFI v vρ
α ρ α ρ+ = −
(3.52)
donde los coeficientes de arrastre interfacial son representados en términos del
coeficiente global de arrastre interfacial, FI . Esta relación puede ser re arreglada
para proporcionar una relación constitutiva para el coeficiente global de fricción
interfacial.
( )
ig if
g g f f
m g f
F F
FIv v
α ρ α ρρ
+
=−
(3.53)
Cuando las fuerzas de fricción interfacial por unidad de volumen para cada fase han
sido calculadas, el coeficiente global de fricción interfacial ( FI ) puede ser
determinado. El código RELAP utiliza dos modelos para el cálculo de la fuerza de
fricción interfacial, el método drift-flux y el método de coeficiente de arrastre (Ransom
et al., 2001).
Modelo Matemático
40
3.4 Mapa de patrones de flujo
El mapa de patrones de flujo horizontal es para sistemas cuyo ángulo de inclinación (
φ ) se encuentra en el intervalo de 0 30φ≤ ≤ grados, y está constituido por flujo
burbuja, slug, estratificado, anular niebla y niebla pre-CHF. En la figura 3.2 se
muestra un esquema del mapa de patrones de flujo horizontal.
3.4.1 Criterios de transición
El criterio de transición entre los patrones de flujo burbuja y slug es:
( )
2
2
2
0.25 2000
0.25 0.00025 2000 2000 000
0.5 3000
BS m
BS m m
BS m
G kg m s
G G kg m s
G kg m s
αα
α
= → =
= + − → < < 3
= → ≥ (3.54)
Mientras que la fracción de vacío mínima para anular-niebla, SAα , es una constante:
0.8SAα = (3.55)
Figura 3.2 Esquema del mapa de patrones de flujo bifásico (líquido-gas) para flujo
en tuberías horizontales propuesto (Ransom, Trapp, & Wagner, 2001) en RELAP.
Incremento de fracción de vacío
Incremento
de la
velocidad
relativa
Estratificado Horizontal (HST)
Burbuja
(BBY)
Slug
(SLG)
SLUG-
ANM
Anular-
niebla
(ANM)
Niebla
Pre-CHF
(MPR)
BBY-
HST
SLUG-
HST
SLUG
/
ANM-
ANM-HST MPR-
HST
Modelo Matemático
41
y la transición entre los patrones de flujo slug y anular-niebla está definido por DEα y
SAα , donde:
0.75DEα = (3.56)
El criterio de transición de anular-niebla a niebla pre-CHF es:
0.9999AMα = (3.57)
El criterio que define el patrón de flujo estratificado horizontal se basa en el desarrollo
presentado por Taitel & Dukler (1976). Es decir, el patrón de flujo es estratificado
horizontal si la velocidad del vapor satisface la siguiente condición:
g critv v= (3.58)
donde critv es la velocidad del gas por encima de la cual las ondas en la interface
horizontal comenzaran a crecer, y está dada por:
( ) ( )11 cos
2 sinf g g
critg
g Av
D
ρ ρ αθ
ρ θ
−= −
(3.59)
donde θ (ángulo central) es definido por la fracción de vacío, es decir, se relaciona
con el nivel de líquido en la tubería.
Esta condición es modificada para el manejo de situaciones donde el flujo es
estratificado pero el líquido no se encuentra estancado como fue asumido por Taitel
& Dukler (1976). El flujo es estratificado horizontal si la diferencia de velocidades
entre las fases líquido-vapor satisface la siguiente condición:
g f critv v v− < (3.60)
y el flujo másico satisface la condición: 23000mG kg m s< (3.61)
Modelo Matemático
42
3.5 Método de solución
Para dar solución al sistema de ecuaciones gobernantes el código RELAP (Shieh et
al., 1994) utiliza los esquemas semi-implícito y cuasi-implícito. En el presente estudio
se utiliza un esquema semi-implícito.
En RELAP, las ecuaciones de masa y cantidad de movimiento son utilizadas como
una suma y una diferencia en un esquema numérico, presentando una fácil
degeneración al modelo para una fase simple.
3.6 Discretización y solución numérica
El modelo hidrodinámico es resuelto mediante un esquema de diferencias finitas, con
espaciamiento fijo y un desfase entre nodos. En la figura 3.3 se muestra la
discretización espacial para flujo en un ducto. Los volúmenes de control son
denotados por j . En el centro del volumen se evalúan las variables escalares P , gρ ,
fρ , gα , gu y fu , y su volumen está dado por jV . Las uniones entre los volúmenes de
control son denotadas por 1/2thj ± (malla numérica desplazada), siendo los nodos
donde se evalúan los vectores de velocidad gv y fv .
Volumen de control para la conservación
de masa y energía Nodo escalar
Nodo unión
Volumen de control para la conservación de
movimiento
Figura 3.3 Esquema de discretización para una tubería.
Modelo Matemático
43
Para mantener la linealidad en las variables dependientes y poder obtener una
solución directa, se linealizan las relaciones de estado y cualquier término producto
que aparece en las derivadas temporales.
3.7 Control del paso de tiempo
Para obtener una solución aceptable se debe controlar el paso de tiempo, lo cual
implica el revisar de forma continua un conjunto de variables. Esto implica (Shieh,
Ransom, & Krishnamurthy, 1994) el límite de Courant, el error de masa, las
propiedades del material fuera de los rangos definidos, el error de las propiedades
del agua, o bien si se presenta una extrapolación excesiva de las propiedades de
estado en los regímenes meta estables.
El límite de Courant es evaluado para cada volumen hidrodinámico utilizando la
velocidad promedio de la masa del volumen y se expresa como;
( )1,2,..., ,
max( , ) / max( , )n n n n n nc f g f f g gi i
i N
t x V Vα α α α=
∆ = ∆ (3.62)
donde N es el número total de volúmenes en el sistema, n el paso de tiempo, x∆ el
incremento en el espacio y ct∆ el paso de tiempo de Courant.
El error de masa se obtiene después de que la solución del paso del tiempo es casi
completa. Se obtienen dos tipos de error de masa, el primero determina la validez de
la densidad linealizada, y se define como;
max( / , 1,2,..., )m mi i iE i Nρ ρ ρ= − = (3.63)
donde miρ es la densidad total del volumen thi evaluado mediante las relaciones de
estado. El segundo tipo de error de masa es una medida del error total del sistema, y
está dado por;
( ) ( )2
2
1 1
2 /N N
rms i i mi i ii i
E V Vρ ρ ρ= =
= − ∑ ∑ (3.64)
donde iV es el volumen thi .
Modelo Matemático
44
Si mE ó rmsE es 38 1 0−> × , el paso de tiempo es recalculado con un nuevo paso de
tiempo de menor magnitud, de otra forma, el paso de tiempo es aceptado, y el
siguiente paso de tiempo es doblado en magnitud si mE ó rmsE son 48 1 0−< × .
Si en algún punto de la solución se tiene que las propiedades del material se
encuentran fuera del rango definido, el paso de tiempo es disminuido a la mitad y
repetido. Este proceso continúa hasta que el mínimo paso de tiempo establecido por
el usuario sea rechazado. Si el mínimo paso de tiempo es rechazado sin obtener una
solución válida, el código se detiene y el último paso de tiempo es repetido con un
diagnóstico de falla impreso. Para las fallas en las propiedades de extrapolación se
aplica el mismo criterio.
45
4 Capítulo IV Verificación y Validación del
simulador RELAP
Equation Chapter 4 Section 1
En este capítulo se presenta la verificación del simulador RELAP (reproducción del
trabajo teórico de Natan et al., 2003) y su validación (estudio del sistema DISS y
comparación con datos experimentales) para el análisis termo-hidráulico de sistemas
de tuberías en paralelo para GDV.
Verificación y Validación del RELAP
46
4.1 Verificación y validación del RELAP
Para verificar los resultados del simulador RELAP para estudios de sistemas de GDV
en arreglos de tuberías en paralelo, se reproduce el estudio numérico reportado por
Natan et al. (2003) dado que es el estudio realizado hasta ahora más acorde
(condiciones de operación) a un sistema de GDV.
Además, se hace una validación del código comparando los resultados del estudio
de una fila de CCP para GDV (sistema DISS) para tres condiciones de operación: 10,
6 y 3 MPa, comparando con datos experimentales proporcionados por la PSA.
4.2 Verificación: reproducción de los resultados ob tenidos por Natan et al.
(2003)
4.2.1 Modelo físico y condiciones de estudio
El sistema de GDV estudiado por Natan et al.(2003) está constituido por dos tuberías
en paralelo unidas mediante una entrada y salida común. Entra al sistema agua
subenfriada y se distribuye en ambas tuberías, obteniendo vapor sobrecalentando,
una mezcla bifásica (agua-vapor) ó bien líquido subenfriado a la salida de cada
tubería, según la correspondiente distribución de flujo que se presente en el sistema.
Siendo Q el calentamiento incidente, D el diámetro, L la longitud, outP la presión de
salida, y W el flujo másico de entrada.
Verificación y Validación del RELAP
47
El sistema es analizado para calentamiento simétrico y asimétrico, considerando las
combinaciones de calentamiento incidente mostradas en la Tabla 4.1:
Distribución perimetral
Porcentajes de distribución entre las dos tuberías (%)
Calentamiento en la tubería
derecha ( )RQ
Calentamiento en la tubería
izquierda ( )LQ
Calentamiento uniforme 100 100 100 75 100 0
Las condiciones de modelado se muestran en la Tabla 4.2:
Figura 4.1 Modelo físico del sistema de GDV estudiado por Natan et al. (2003).
Tabla 4.1 Casos bajo estudio de distribución de calentamiento
Verificación y Validación del RELAP
48
Tabla 4.2 Condiciones de modelado del sistema de Natan et al. (2003)
Descripción Magnitud
Longitud de la tubería 400 m
Diámetro interior de la tubería 2.5 cm
Inclinación del sistema 10°
Calentamiento incidente 0, 900 y 1200 W/m
Flujo másico de operación 0 W 2.0 kg/s< ≤
Presión de salida 3 MPa
Temperatura de entrada del fluido de trabajo Agua líquida a 25 ºC
Material de la tubería Acero inoxidable
Las propiedades del material de la tubería (capacidad calorífica y conductividad
térmica) se especifican en función de la temperatura mediante Tablas (ver apéndice
B). El simulador RELAP cuenta con subrutinas internas para calcular las propiedades
del agua y vapor de agua, en función de la presión y temperatura.
Verificación y Validación del RELAP
49
4.2.2 Análisis de independencia de malla
Las ecuaciones de conservación (cantidad de movimiento, energía y continuidad)
resueltas por el simulador comercial RELAP para flujo bifásico agua-vapor se
resuelven en un número finito de puntos (malla numérica) en los que se determinan
las propiedades del fluido y del flujo. En RELAP se manejan componentes
hidrodinámicos (elementos de tubería) que se pueden seccionar en un máximo de 99
volúmenes de control. Si la longitud de la tubería a simular es considerable, la
longitud de los volúmenes de control, x∆ , también tendría que serlo, por lo que se
utiliza una unión ficticia para unir dos o más elementos de tubería, y de esta forma se
aumenta el número de volúmenes de control a lo largo de la tubería, disminuyendo la
longitud de cada uno de ellos.
Se determina una malla numérica adecuada que permita obtener resultados
numéricos confiables y con el menor esfuerzo de cómputo posible, optimizando los
tiempos de simulación y el manejo de datos de salida. Para las simulaciones
numéricas se utilizan elementos hidrodinámicos con 90 volúmenes de control cada
uno.
En la Tabla 4.3 se muestra el número de volúmenes de control de las mallas
numéricas utilizadas en el análisis de independencia de malla.
En la figura 4.2 se presentan los perfiles de presión para los cuatro casos de mallas
numéricas consideradas: a) a lo largo de todo el tubo, b), c) y d) para las regiones de
líquido, mezcla bifásica y vapor sobrecalentado, respectivamente. En general se
observa que los perfiles se traslapan unos con otros. Las principales diferencias se
Tabla 4.3 Mallas consideradas
Numero de volúmenes de control ∆ (m)
90 4.444 540 0.740 900 0.444 1620 0.246
Verificación y Validación del RELAP
50
obtienen para las regiones monofásicas de líquido y de vapor sobrecalentado. La
mayor desviación se obtiene a la salida de la tubería (región de vapor
sobrecalentado), siendo de 0.25% entre las mallas de 90 y 1620 volúmenes de
control.
En la figura 4.3 se presenta el respectivo análisis considerando perfiles de
temperatura.
0 50 100 150 200 250 300 350 4003,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
b )a )
90 Volúmenes 540 Volúmenes 900 Volúmenes 1620 Volúmenes
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
d )c )
0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110
3,54
3,56
3,58
3,60
3,62
3,64
3,66
3,68
3,70
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
320 330 340 350 360 370 380 390 4003,00
3,04
3,08
3,12
3,16
3,20
3,24
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 4.2 Análisis de Independencia de malla considerando perfiles de presión: a)
a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c)
región de sobrecalentamiento.
Verificación y Validación del RELAP
51
La máxima diferencia es de 0.25% y se presenta al inicio de la región bifásica entre
las mallas numéricas de 90 y 1620 volúmenes de control.
El análisis de independencia de malla efectuado demuestra que el emplear una malla
numérica de 540 volúmenes de control proporciona resultados confiables,
optimizando tiempos de simulación.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
55110165220275330385440495550
a )
90 Volúmenes 540 Volúmenes 900 Volúmenes 1620 Volúmenes
Tem
pera
tura
[Cº]
Longitud de la Tubería [m]
0 20 40 60 80 100
50
100
150
200
250
b )
Tem
pera
tura
[Cº]
Longitud de la Tubería [m]
120 140 160 180 200 220 240 260 280 300238
239
240
241
242
243
c )
Tem
pera
tura
[Cº]
Longitud de la Tubería [m]
320 330 340 350 360 370 380 390 400240270300330360390420450480510540
d )
Tem
pera
tura
[Cº]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 4.3 Análisis de Independencia de malla considerando perfiles de
temperatura: a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de
evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Verificación y Validación del RELAP
52
4.2.3 Caso de una tubería simple
El primer paso en el estudio de sistemas de tuberías en paralelo con calentamiento,
es analizar el comportamiento termo hidráulico de una tubería simple, estableciendo
un flujo másico de entrada y una presión de salida.
En la figura 4.4 se hace una comparación entre la presiones de entrada reportadas
por Natan et al. (2003) y las obtenidas mediante RELAP para una tubería simple,
considerando un calentamiento de 1200 W/m.
Se observa que para flujos másicos de entrada mayores a 0.5 kg/s y menores a
0.075 kg/s, los resultados obtenidos mediante RELAP se traslapan con la solución
numérica reportada por Natan et al. (2003). Sin embargo, para el intervalo
0.075 W 0.5 kg/s≤ < se observa que existen desviaciones hasta del 19% (en 0.2
kg/s).
0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20 1.35 1.503.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0 Natan et al. (2003 )
RELAP
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
de E
ntra
da [M
Pa]
Figura 4.4 Presión de entrada en función del flujo másico.
Verificación y Validación del RELAP
53
4.2.4 Caso de dos tuberías en paralelo (distribución del flujo másico)
Cuando se tiene un sistema de tuberías en paralelo, con entrada y salida común, la
caída de presión debe de ser la misma para cada tubo. Sin embargo, la razón de
distribución de flujo en el sistema puede ser o no ser simétrica. Los estudios
numéricos reportados por Natan et al. (2003) para sistemas de dos tuberías en
paralelo, con flujo de calentamiento simétrico y asimétrico, muestran que existen
intervalos de flujo en los cuales se pueden presentar múltiples soluciones de
distribución de flujo, de tal forma que (Natan, et al., 2003) asume que la solución que
se presenta en la práctica es aquella que corresponde a la menor caída de presión.
4.2.4.1 Calentamiento simétrico
En las figuras 4.5 y 4.6 se presentan los resultados obtenidos en este trabajo
mediante RELAP de la razón de distribución de flujo y de la presión de entrada,
respectivamente; comparados con las soluciones reportadas por Natan et al. (2003)
para calentamiento simétrico (mismo calentamiento en ambas tuberías).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
RELAPSoluciones de Natan et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3
Flujo másico [kg/s]
Raz
ón d
e di
strib
ució
n [W
R/W
in]
Figura 4.5 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en
paralelo con calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m.
Verificación y Validación del RELAP
54
De las figuras 4.5 y 4.6 se observa que para flujos másicos mayores a 1.53 kg/s
RELAP predice una distribución simétrica del flujo y una única solución de presión de
entrada, traslapándose a la solución presentada por Natan et al. (2003). Sin
embargo, para 0.38 W 1.53 kg/s≤ ≤ , Natan et al. (2003) obtuvieron distribuciones
simétricas y asimétricas del flujo y soluciones múltiples de presión; mientras que los
resultados obtenidos en este trabajo mediante RELAP corresponden a una
distribución simétrica del flujo y a una sola solución de presión (la más estable).
Para el subintervalo de 3 soluciones múltiples 0.85 1.53 kg/sW≤ ≤ la distribución de
flujo y su correspondiente presión de entrada obtenidas mediante RELAP se
sobreponen a la distribución simétrica de flujo y a la solución de menor caída de
presión (solución 1) obtenidas por Natan et al. (2003). La solución 1 de Natan y
colaboradores corresponde a la de menor caída de presión, es decir, la solución más
estable de las tres.
En el subintervalo de 2 soluciones múltiples, 0.4 0.85 kg/sW< ≤ la solución 2 de Natan
y colaboradores desaparece y la presión de entrada obtenida en el presente trabajo
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
RELAPSoluciones de Natan et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
de E
ntra
da [M
Pa]
Figura 4.6 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con
calentamiento simétrico, QR=QL=1200 W/m.
Verificación y Validación del RELAP
55
de tesis tiene buena coincidencia con los picos mínimos de caída de presión de sus
soluciones 1 y 3. Las desviaciones corresponden a las presentadas para una tubería
simple.
Para el intervalo de flujo másico de entrada de 0.3 0.4 kg/sW≤ < se puede observar
que la solución de distribución de flujo obtenida mediante RELAP se sobrepone a la
presentada por Natan et al. (2003). Sin embargo, las diferencias continúan entre las
presiones de entrada, disminuyendo su magnitud conforme el flujo másico de
alimentación al sistema es menor. Finalmente, para flujos másicos de entrada
menores a se obtiene que RELAP predice una distribución de flujo
asimétrica, mientras que Natan et al. (2003) determinan que la solución de
distribución correspondiente es simétrica. La asimetría de los resultados con RELAP
se incrementa conforme el flujo másico de entrada disminuye a causa de que la
temperatura del fluido aumenta fuertemente, de tal forma que no es posible obtener
soluciones para flujos másicos menores a 0.2 kg/s. Las desviaciones promedio para
la razón de distribución de flujo y presión de entrada son de 27.5% y 3%.
El análisis anterior muestra que RELAP permite obtener la solución de distribución de
flujo con menor caída de presión, siendo la más estable y por consiguiente con
mayor posibilidad de presentarse en la práctica. Sin embargo, aun cuando las
diferencias entre los resultados de ambos estudios (RELAP y Natan et al., 2003) son
considerables es importante mencionar que los resultados presentados por Natan et
al. (2003) no han sido hasta ahora validados con datos experimentales.
0.3 kg/s
Verificación y Validación del RELAP
56
4.2.4.2 Calentamiento asimétrico
4.2.4.2.1 Caso a) QR = 1200 W/m, QL = 900 W/m
En las figuras 4.7 y 4.8 se muestran la razón de distribución de flujo y presión de
entrada de un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 RELAP
Soluciones de Natan et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5
)
Flujo másico [kg/s]
Raz
ón d
e di
strib
ució
n [W
R/W
in]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
RELAPSoluciones de Natan et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
de E
ntra
da [M
Pa]
Figura 4.7 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en
paralelo con calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=900 W/m.
Figura 4.8 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con
calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=900 W/m.
Verificación y Validación del RELAP
57
Para flujos másicos mayores a (región con solución única) se observa que
los resultados de razón de distribución de flujo y presión de entrada obtenidos en el
presente estudio se sobreponen a los resultados mostrados por Natan et al. (2003).
En la región donde estos autores encontraron soluciones múltiples
( )0.48 W 1.5 kg/s≤ ≤ , mediante RELAP se obtiene una solución única, como se ha
comentado antes. Para la subregión de 3 soluciones múltiples, , se
observa que la solución obtenida mediante RELAP, tanto de distribución de flujo
como de presión de entrada, se sobrepone a una de las soluciones obtenidas por
Natan et al. (2003), la cual corresponde a la solución con menor caída de presión
(solución 1).
Para la subregión de 5 soluciones múltiples de Natan y colaboradores,
0.86 W 1.02 kg/s< ≤ se observa que para flujos másicos mayores a la
solución obtenida con RELAP continúa siendo la correspondiente a la solución de
menor caída de presión de Natan y colaboradores. Sin embargo, para flujos másicos
donde 0.86 0.9 kg/sW≤ < los resultados muestran una cierta desviación, siendo la
máxima de 15% para la razón de distribución de flujo y de 2% para su
correspondiente presión de entrada.
Para la otra subregión de 3 soluciones múltiples, 0.48 W 0.86 kg/s< ≤ , de Natan et al.
(2003), se observa que los resultados con RELAP muestran un comportamiento
oscilatorio. Asumiendo que RELAP nos permite obtener la solución con menor caída
de presión, se tiene que para las desviaciones máximas
encontradas para distribución de flujo y presión de entrada son de 50 y 11%,
respectivamente, en relación a la solución 4 de Natan y colaboradores. Para
0.55 W 0.68 kg/s≤ < son de 73 y 3%, respectivamente, en relación a la solución 5
respectivamente. Finalmente, para 0.48 W 0.55 kg/s≤ < son de 32 y 10%,
respectivamente, en relación a la solución 3.
1.53 kg/s
1.02 W 1.50 kg/s< <
0.9 kg/s
0.68 W 0.86 kg/s≤ <
Verificación y Validación del RELAP
58
Si el flujo másico de entrada es menor a 0.48 kg/s, Natan et al. (2003) establecen que
solo se presenta una única solución (la solución 3), en coincidencia con los
resultados obtenidos con RELAP. Sin embargo, las diferencias son pronunciadas
principalmente para la razón de distribución de flujo (hasta del 193% para un flujo
másico de 0.4 kg/s) a causa de las oscilaciones que se presentan con RELAP desde
flujos menores a 0.85 kg/s, justamente donde la distribución simétrica desaparece
para ambos trabajos (el de Natan y colaboradores y el presente), en relación al
calentamiento simétrico. Para la presión de entrada las diferencias son mucho
menores, del orden del 11%.
Las desviaciones promedio para la razón de distribución de flujo y la presión de
entrada son de 22% y 2.5%.
4.2.4.2.2 Caso b) QR = 1200 W/m, QL = 0 W/m
Las figuras 4.9 y 4.10 muestran la razón de distribución de flujo y presión de entrada
de un sistema de dos tuberías en paralelo, con calentamiento asimétrico,
considerando que solo una tubería es calentada.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 RELAP
Soluciones de Natna et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3
Flujo másico [kg/s]
Raz
on d
e di
strib
ució
n [W
R/W
in]
Figura 4.9 Razón de distribución de flujo para un sistema de dos tuberías en
paralelo con calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=0 W/m.
Verificación y Validación del RELAP
59
Para flujos másicos mayores a 1.44 kg/s (región con única solución, solución 1) se
observa que las razones de distribución de flujo y presiones de entrada obtenidas en
el presente estudio se sobreponen a los resultados mostrados por Natan et al.(2003).
Para la región de múltiples soluciones (0.72 W 1.44 kg/s≤ ≤ ), presentada por Natan et
al. (2003), mediante RELAP solo se obtiene una única solución de distribución. En el
intervalo de flujo másico de 0.9 W 1.44 kg/s≤ ≤ los resultados obtenidos en el
presente estudio numérico se sobreponen a la solución de menor presión de entrada
(solución 1) reportada por Natan et al. (2003), mientras que en el intervalo de
0.72 W 0.9 kg/s≤ ≤ se observa cierta desviación entre ambos estudios (considerando
la solución de menor caída de presión, solución 1), siendo la máxima de 17% para la
razón de distribución de flujo y de 3.3% para su respectiva presión de entrada (dados
para un flujo másico de 0.72 kg/s).
Por último, para flujos másicos de entrada menores a 0.72 kg/s (región con solución
única de distribución de flujo, solución 3) se observa que aun cuando las presiones
de entrada (figura 4.10) se aproximan entre sí, las razones de distribución de flujo
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.03.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
RELAPSoluciones de Natan et al. (2003 )
Solución 1 Solución 2 Solución 3
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
de E
ntra
da [M
Pa]
Figura 4.10 Presión de entrada para un sistema de dos tuberías en paralelo con
calentamiento asimétrico, QR =1200 W/m y QL=0 W/m.
Verificación y Validación del RELAP
60
(figura 4.9) presentan una desviación considerable, siendo la desviación máxima de
212% para un flujo másico de entrada de 0.65 kg/s, mientras que la desviación
máxima para la presión de entrada es de 3.84% dada para el mismo flujo másico.
Las desviaciones promedio para la distribución de flujo y presión de entrada son de
30% y 1%.
El análisis realizado mediante RELAP al sistema de GDV presentado por Natan et al.
(2003) muestra que existen diferencias entre las soluciones de presión de entrada y
distribución de flujo encontradas en ambos estudios, principalmente para el
parámetro de distribución de flujo. Sin embargo, se debe hacer mención que los
resultados presentados por Natan et al. (2003) corresponden solo a estudios
numéricos.
Como resultado de los estudios anteriores se puede decir que las presiones de
entrada obtenidas mediante RELAP resultan de menor magnitud que las
determinadas por Natan et al. (2003), siendo mayor la diferencia cuando a la salida
se tiene una mezcla bifásica (agua-vapor). Para determinar las causas de esta
diferencia es necesario analizar el comportamiento termo-hidráulico de la región
bifásica en función de los flujos másicos. Asimismo es necesario validar los
resultados numéricos obtenidos con RELAP comparándolos con datos
experimentales. Lo anterior se realizará a continuación para una tubería simple.
4.2.5 Estudio de la región bifásica para una tubería simple
Para tratar de determinar las causas de las desviaciones entre ambos trabajos
discutidos en las secciones anteriores, se analizará más a fondo el desempeño del
simulador RELAP al análisis de la región bifásica agua-vapor considerando flujos
másicos de entrada (Tabla 4.4) para los que se obtiene una mezcla bifásica agua-
vapor a la salida de la tubería.
Verificación y Validación del RELAP
61
Se identificarán los patrones de flujo que se presentan, los perfiles de presión y las
caídas de presión por unidad de longitud para cada patrón de flujo. En la Tabla 4.4
se muestran las condiciones de simulación para cada flujo másico de entrada
analizado. El sistema tiene una longitud de 400 m, una inclinación 10β = ° y un
diámetro interno de 0.025 m (mismas condiciones de modelado que los estudios
previos de este capítulo).
En la figura 4.11 se muestran los perfiles de caída de presión para cada uno de los
flujos másicos evaluados, de donde se tiene que la máxima presión de entrada está
dada para el flujo másico de 0.3 kg/s.
En la figura 4.12 se muestran los perfiles de temperatura y los patrones de flujo
correspondientes a cada flujo másico de entrada evaluado. Los perfiles de
0 50 100 150 200 250 300 350 4003.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.4 kg/s 0.3 kg/s 0.2 kg/s
Longitud de la Tubería [m]
Pres
ión
[MPa
]
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Flujo másico de entrada (Kg/s)
Presión de salida (MPa)
Calentamiento incidente (W/m)
Temperatura de entrada (°C)
0.2 3 1200 25 0.3 3 1200 25 0.4 3 1200 25
Tabla 4.4 Condiciones de estudio del sistema de GDV
Figura 4.11 Perfiles de presión para una tubería simple.
Verificación y Validación del RELAP
62
temperatura muestran que conforme el flujo másico de entrada disminuye, la longitud
de la tubería que es ocupada por una mezcla bifásica agua-vapor se incrementa. Los
patrones de flujo bifásico que se presentan son: estratificado, slug y anular.
En la Tabla 4.5 se muestra el comportamiento de la caída de presión por unidad de
longitud para cada patrón de flujo. Los estudios realizados mediante RELAP
muestran que los patrones de flujo slug y anular presentan mayores caídas de
presión por unidad de longitud que el patrón de flujo estratificado (comportamiento
análogo para los tres flujos másicos evaluados). Volviendo al estudio numérico
realizado por Natan et al. (2003) se tiene que en su análisis solo se predicen los
patrones de flujo slug y anular. Al no predecir ellos el patrón de flujo estratificado la
longitud de la tubería que es ocupada por este patrón de flujo (predicción realizada
mediante RELAP) es ocupada por los patrones de flujo slug ó anular. Estos dos
últimos patrones implican mayores caídas de presión por unidad de longitud que el
patrón de flujo estratificado (ver Tabla 4.5), ocasionando una mayor caída de presión
total en el sistema, y por consiguiente un incremento en la presión de entrada.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
50
100
150
200
250
300
Patrones de Flujo
0.4 kg/s 0.3 kg/s 0.2 kg/s
Longitud de la Tubería [m]
Tem
pera
tura
[°C
]
LíquidoEstratificado
AnularSlug
a )
b )
c )
Figura 4.12 Perfiles de temperatura y patrones de flujo para diferentes flujos másicos.
Verificación y Validación del RELAP
63
Patrón de flujo
Flujo másico (kg/s) 0.4 0.3 0.2
Longitud del
tramo (m)
Caída de presión
(MPa/m)
Longitud del
tramo (m)
Caída de presión (MPa/m)
Longitud del
tramo (m)
Caída de presión
(MPa/m)
Burbuja 308.00 0.00183938 235.55 0.00172711 157.77 0.00164212 Estratificado 20.00 0.0016505 20.44 0.00138473 21.77 0.00113464 Slug 53.33 0.00252638 41.77 0.00183255 25.77 0.00123634 Anular 18.66 0.00360536 102.22 0.00332501 194.66 0.00241094
El estudio anterior muestra que RELAP predice que el patrón de flujo estratificado
puede presentarse para un diámetro de tubería de 0.025 m y una inclinación de
β=10°. En la figura 4.13 se muestra el mapa de patro nes de flujo obtenido por Barnea
(1987).
La figura 4.13 muestra en primera instancia que el patrón de flujo bifásico
estratificado no debería presentarse para las condiciones de operación dadas en la
0.1 1 10 1001E-3
0.01
0.1
1
10
Anular
Intermitente
Burbuja dispersa
Vsg [m/s]
Vsl [
m/s
]
Tabla 4.5 Patrones de flujo y caídas de presión por unidad de longitud para los
flujos másicos considerados.
Figura 4.13 Mapa de patrones de flujo bifásico en una tubería de D=0.025 m y
β=10º, para flujo bifásico (agua-aire).
Verificación y Validación del RELAP
64
Tabla 4.2 (diámetro e inclinación de la tubería), sin embargo, se debe tomar en
cuenta que el modelo de Barnea (1987) fue planteado para flujo bifásico sin
calentamiento.
Para complementar el estudio del comportamiento de la región bifásica se analizó
otro caso considerado por Natan et al. (2003): un flujo másico de entrada de 0.12 kg/s
y un calentamiento de 1000 W/m. Se hizo una comparación entre los perfiles de
presión, temperatura y patrones de flujo obtenidos mediante RELAP y los
presentados por Natan et al. (2003).
En la figura 4.14 se hace una comparación entre los perfiles de caída de presión
(Natan et al., 2003 y RELAP) y los patrones de flujo que se presentan para un flujo
másico de 0.12 kg/s. A la entrada de la tubería el perfil de caída de presión (ambos
casos) tiene un tendencia lineal y solo se presenta el patrón de flujo burbuja para
RELAP y fase líquida para Natan et al. (2003). Conforme inicia la región de patrones
de flujo estratificado, slug, anular, dryout y gas para RELAP y slug, anular y gas para
Natan et al. (2003), se observa que el comportamiento del perfil de caída de presión
deja de ser lineal, la caída de presión por unidad de longitud es diferente para cada
patrón de flujo y se presenta una trayectoria curvilínea en ambos casos, siendo más
apreciable para el estudio de Natan et al. (2003).
Verificación y Validación del RELAP
65
En la Tabla 4.6 se hace una comparación entre las caídas de presión por unidad de
longitud (considerando el patrón de flujo) obtenidas mediante el simulador RELAP y
el estudio numérico realizado por Natan et al. (2003).
Estudio mediante RELAP Natan et al. (2003) Intervalo de la
tubería (m) Patrón de
flujo que se presenta
Caída de presión (MPa/m)
Intervalo de la tubería
(m)
Patrón de flujo que se
presenta
Caída de presión (MPa/m)
0 - 115.11 Burbuja 0.00159542 0 – 117.00 Líquido 0.00162393 115.11–149.00 Estratificado 0.00090531
117.00 – 142.00 Slug 0.00160000 149.00 - 156.66 Slug 0.00082826 156.66 - 157.22 Anular 0.00082800
142.00 – 339.00 Anular 0.00317259 157.22 - 162.22 Estratificado 0.00082000 162.22 - 343.50 Anular 0.00113274 343.50 - 350.33 Dryout 0.00118976
339.00 – 400.00 Gas 0.00122951 350.33 – 400.00 Gas 0.00150664
La Tabla 4.6 muestra que la longitud de la región bifásica (patrón de flujo slug y
anular) estimada por Natan et al. (2003) es de menor magnitud en un 6% que la
longitud obtenida en el presente estudio (patrón de flujo estratificado, slug, anular y
0 50 100 150 200 250 300 350 4003.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
Natan et al. (2003 ) RELAP
Longitud de la Tubería [m]
Pres
ión
[MPa
]
Patrones de Flujo
Estritificado
Dry outGas
AnularSlug
Líquido
a )
b )
Figura 4.14 Perfil de presión y patrones de flujo para 0.12 kg/s y
Q=1000 W/m: a) Natan et al. (2003) y b) RELAP.
Tabla 4.6 Caídas de presión por unidad de longitud para cada patrón de flujo
Verificación y Validación del RELAP
66
dryout). Sin embargo, las caídas de presión por unidad de longitud obtenidas por
Natan y colaboradores son de mayor magnitud que las obtenidas mediante el
simulador RELAP, presentándose las mayores diferencias en los patrones de flujo
slug y anular: 48% para el patrón de flujo slug y 64% para el patrón de flujo anular,
contribuyendo a la predicción de mayor presion de entrada en el caso de Natan et al.
(2003). Además se debe hacer notar que RELAP predice la presencia del patrón de
flujo estratificado en el sistema.
En la figura 4.15 se hace una comparación entre el perfil de temperatura y los
patrones de flujo obtenidos mediante RELAP, y los resultados presentados por Natan
et al. (2003). Se observa que el perfil de temperatura desarrollado mediante RELAP
se traslapa a los valores de temperatura reportados por Natan et al. (2003). Sin
embargo, como se hizo mención en el párrafo anterior, no se predicen los mismos
patrones de flujo en la región bifásica, y la longitud de esta región es de mayor
magnitud que la obtenida por Natan y colaboradores.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Natan et al. (2003 )
RELAP
Longitud de la Tubería [m]
Tem
pera
tura
[°C
]
Patrones de FlujoLíquidoEstritificadoSlugAnular
a )
Dry outGas
b )
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Figura 4.15 Comparación del perfil de temperatura y patrones de flujo, para 0.12
kg/s, D=0.25 m y un calentamiento de 1000 W/m. a) Natan et al. (2003) y b)
RELAP.
Verificación y Validación del RELAP
67
4.2.6 Principales diferencias entre los modelos matemáticos utilizados por Natan et
al. (2003) y en RELAP
El modelo matemático a dos fluidos empleado por Natan et al. (2003) se basa en la
correlación de Blasius para determinar los factores de fricción, mientras que el
modelo a dos fluidos implícito en RELAP se basa en la correlación de Zigrang &
Sylvester (1985).
Natan et al. (2003) fundamentó su estudio termo-hidráulico en el modelo matemático
propuesto por Taitel & Barnea (1989). RELAP se fundamenta en el modelo
matemático a dos fluidos presentado por Lahey & Drew. (1989), donde se tiene una
ecuación de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para cada
fase, considerando transferencia de masa en la interfase ( kΓ ) para cada una de las
fases y un término de masa virtual en la ecuación de cantidad de movimiento para
cada fase.
La ecuación de conservación de masa para RELAP está dada por la ecuación (4.1);
( ) ( )1k k k k kk
v A
t A x
α ρ α ρ∂ ∂+ = Γ
∂ ∂ (4.1)
Donde el subíndice k denota la fase líquida ó vapor. Al hacer una comparación entre
la ecuación (4.1) (despreciando el término temporal) y la ecuación (4.2), (ecuación de
conservación de masa del modelo utilizado por Natan et al., 2003) se obtiene que el
término de transferencia de masa en la interfase no aparece en el modelo propuesto
por Natan et al. (2003).
( )0
1fl
f tLs L s t s f
u u
l uu u R u R dx
l lα= + − − ∫
(4.2) Donde , es la longitud de una unidad slug, fl la longitud de la zona de película de
la burbuja slug, LSu la velocidad superficial del líquido, fR y SR las relaciones de áreas
de flujo transversal en las zonas de película y de líquido, tu la velocidad de traslación
ul
Verificación y Validación del RELAP
68
con la que las burbujas elongadas se propagan y fα la fracción de vacío en la
sección de película de líquido, Taitel & Barnea. (1989).
La masa de la fase k (ecuación 4.1) se incrementa a la razón de ��, y el incremento
de masa de la fase � por unidad de volumen se debe al cambio de fase
(evaporación). Sin embargo, este término no es considerado en el estudio realizado
por Natan et al. (2003).
La ecuación de conservación de cantidad de movimiento para el modelo a dos fluidos
empleado en RELAP está dada por la ecuación (4.3), y la de Natan et al. (2003) por
la ecuación (4.4);
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
10 232
5 64
7
1
2k k
k k k k k k k x
k k k k k k f k kI k
k f fkk f m f g
v v PA A A B A
t x x
A FWG v A FIG v v A v v
v v vvC A v v
t x x
α ρ α ρ α α ρ
α ρ α ρ
α α ρ
∂ ∂ ∂+ = − +∂ ∂ ∂
− − − + Γ −
∂ − ∂∂− + − ∂ ∂ ∂
644744864748 6474864748
644474448644474448 6447448
64444444744444448 (4.3)
} } }61 542
3
sin cos fk k k i ik k k k
k k
hv s sPv g g
x x A A x
τ τρ ρ β ρ β∂∂ ∂= − + + − −
∂ ∂ ∂
64474486474864748
(4.4)
donde los subíndices k e i denotan la fase y la interfase, siendo f para la fase
líquida y g para la fase gas, ρ la densidad, v la velocidad, P la presión, g la
aceleración de la gravedad, β la inclinación, A el área de la sección transversal, τ
el esfuerzo cortante, S el perímetro mojado y fh el nivel de líquido, Taitel & Barnea.
(1989).
Despreciando el término temporal (0) en la ecuación (4.3), se tiene que las
ecuaciones (4.4) y (4.3) presentan como términos comunes al término convectivo (1),
el gradiente de presión (2), las fuerzas de cuerpo (3), las fuerzas de arrastre en la
pared (4) y las fuerzas de arrastre en la interfase (5). Sin embargo, la ecuación (4.3)
Verificación y Validación del RELAP
69
también incluye la transferencia de masa en la interfase (6) y las fuerzas de masa
virtual. Para el caso de la ecuación (4.4), se presenta el término de fuerza de presión
debido al espesor de la película del líquido (6), el cual no se evalúa en la ecuación
(4.3).
Los términos FWG y FWF son parte de la fricción de arrastre en la pared para cada
fase (vapor y líquido), FIGy FIFson parte de la fricción de arrastre en la interfase
para cada fase (vapor y líquido). Para la fricción de arrastre se utilizan dos modelos
(drift-flux y coeficiente de arrastre), dependiendo del patrón de flujo que se presente.
La ecuación de conservación de energía para el modelo a dos fluidos empleado en
RELAP está dada por la ecuación (4.5),
( ) ( ) ( ) } } }
}
0 31 2654
*
7 8
´
1k k k k k k k k kkwk ik ik k
w k k
U U V A V APP Q Q h
t A x t A x
h DISS
α ρ α ρ αα∂ ∂∂+ = − − + Γ∂ ∂ ∂ ∂
Γ
∂+ +
+ +
64748 644474448 6447448678
678
(4.5)
donde, si despreciamos el término temporal (0), se tiene el término convectivo (1), los
términos de presión (2) y (3), el flujo de calor en la pared (4), el flujo de calor en la
interfase (5), la transferencia de energía debido al cambio de fase en la interfase (6),
la transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared (7) y el
término de disipación (8). El término de disipación de energía kDISS para cada fase
es la suma de la fuerza fricción en la pared.
En el modelo propuesto por Natan et al. (2003), la ecuación de conservación de
energía es sustituida por un balance de energía entre el calor total que entra al tubo
absorbedor y el calor perdido al ambiente.
( ), , 1 , 1 , , 1( )im s i k i k s i kQ U T T U T T+ + ∞ + ∞= − + − (4.6)
donde, ��� es el flujo de calor total de entrada al tubo absorbedor, U y U∞ los
coeficientes de transferencia de calor total al fluido y al ambiente respectivamente, y
Verificación y Validación del RELAP
70
iT , sT y T∞ la temperatura interna del fluido, de la superficie del tubo absorbedor y del
ambiente.
Al comparar la ecuación (4.5) y la ecuación (4.6), se muestra que en el modelo
térmico planteado por Natan et al. (2003) no se incluyen el término convectivo, los
términos de presión, la transferencia de energía debido al cambio de fase en la
interfase, la transferencia de energía debido al cambio de fase cerca de la pared y el
término de disipación, lo cual simplifica en gran medida su modelo térmico.
Con el objetivo de obtener una segunda evaluación del simulador RELAP y
determinar si RELAP resulta ser una herramienta adecuada para el análisis de GDV
se hace una comparación con datos experimentales (Validación). Estos datos
experimentales fueron facilitados por la PSA a través de un convenio de
colaboración.
4.3 Validación: comparación con datos experimentale s de la PSA para una fila
de CCP (sistema DISS)
En la Tabla 4.7 se muestran los datos experimentales registrados para los días 14,
21 y 22 de mayo del 2003 a las 14 horas del día (concentrador mirando hacia arriba),
considerando las presiones de operación respectivas de 3, 6 y 10 MPa y sus
correspondientes condiciones de radiación incidente sobre los concentradores
cilindro-parabólicos (CCP). El tubo absorbedor tiene un diámetro interno de 50 mm y
un diámetro externo de 70 mm. Los CCP tienen una apertura de 5.76 m y una
orientación norte-sur. Para el análisis se considera una posición horizontal del
sistema y una longitud de 450 m.
Verificación y Validación del RELAP
71
Día Radiación solar directa (W/m 2)
Presión de salida
(MPa)
Temperatura de entrada
(°C)
Temperatura de salida
(°C)
Flujo másico (kg/s)
14/05/2003 887 10 249 376 0.615
22/05/2003 918 6 242 349 0.657
21/05/2003 865 3 198 281 0.581
4.3.1 Validación para 10 MPa
En la figura 4.16 se muestran los perfiles de presión experimental y numérico para
una presión de operación de 10 MPa, observándose una cierta desviación entre
ambos perfiles de presión. La mayor desviación ocurre aproximadamente a los 150
m (región de evaporación), y es de 0.3%. Al presentarse la región de
sobrecalentamiento los perfiles de presión (experimental y numérico) se aproximan
entre sí, siendo menor la desviación entre ambos. La máxima desviación es de 0.1%.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
10.10
10.12
10.14
10.16
10.18
10.20
10.22
RELAP Experimental
Longitud [m]
Pres
ión
[MPa
]
Tabla 4.7 Condiciones de operación del sistema DISS
Figura 4.16 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila
de CCP a una presión de operación de 10 MPa.
Verificación y Validación del RELAP
72
4.3.2 Validación para 6 MPa
En la figura 4.17 se muestran los perfiles de presión experimental y numérico para
una presión de operación de 6 MPa, observándose una cierta desviación entre
ambos perfiles de presión a la entrada de la tubería (región monofásica de líquido a
alta temperatura), posteriormente ambos perfiles de presión tienden a aproximarse
entre sí, intersectándose en algunos puntos (100 y 150 m). En la región de
sobrecalentamiento se aprecia una ligera desviación entre ambos perfiles, sin
embargo, resulta de menor escala que en la región monofásica de líquido a alta
temperatura. La desviación máxima entre ambos perfiles es de 0.627%, siendo
mayor a la que se presentó para el caso de la presión de trabajo de 10 MPa.
4.3.3 Validación para 3 MPa
En la figura 4.18 se muestran los perfiles de presión experimental y numérico para
una presión de operación de 3 MPa, observándose una cierta desviación entre
ambos perfiles de presión a la entrada de la tubería (región monofásica de líquido a
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4506.10
6.15
6.20
6.25
6.30
6.35 RELAP Experimental
Longitud [m]
Pres
ión
[MPa
]
Figura 4.17 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila
de CCP a una presión de operación de 6 MPa.
Verificación y Validación del RELAP
73
alta temperatura), posteriormente ambos perfiles de presión tienden a aproximarse
entre sí de forma análoga a como ocurrió para el caso anterior de 6 MPa,
interceptándose en algunos puntos (50 y 100 m). Al entrar a la región de
sobrecalentamiento se presenta de nuevo una cierta desviación entre ambos perfiles,
siendo de mayor escala que en la región monofásica de líquido a alta temperatura.
La desviación máxima entre ambos perfiles es de 1.85%, siendo mayor a la que se
presentó para los casos de 10 y 6 MPa respectivamente.
La comparación de los perfiles de caída de presión para los tres casos de operación
de 10, 6 y 3 MPa del sistema DISS muestran que la desviación máxima entre los
perfiles de pérdidas de presión experimental y numérico ocurre para el caso de 3
MPa, y su magnitud es de 1.85 %, lo cual demuestra que el simulador RELAP es una
herramienta adecuada para el estudio del comportamiento de GDV en sistemas de
CCP, donde a la salida del sistema se tiene vapor sobrecalentado.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.12
3.16
3.20
3.24
3.28
3.32
3.36
3.40
3.44
3.48
RELAP Experimental
Longitud [m]
Pres
ión
[MPa
]
Figura 4.18 Comparación numérico-experimental del perfil de presión de una fila
de CCP a una presión de operación de 3 MPa.
74
5 Capítulo V Estudio del efecto de la concentración
solar en la distribución del flujo másico en un
sistema de GDV con CCP
Equation Chapter 5 Section 1
En este capítulo se presenta el modelo físico del sistema bajo estudio, las
condiciones de modelado y los resultados numéricos obtenidos así como su
discusión y las conclusiones del estudio.
Estudio del Sistema de GDV
75
5.1 Modelo físico del sistema de GDV
El sistema físico bajo estudio está constituido por dos tubos absorbedores en
paralelo, considerando entrada y salida común (Figura 5.) a través de los cuales
circula agua como fluido de trabajo. Se establecen una presión ( )outP a la salida y una
temperatura ( )inT del agua sub-enfriada a la entrada. Se estudian dos casos de
distribución perimetral de la radiación solar incidente en el tubo absorbedor (Q): 1)
uniformemente distribuida y 2) con concentración; considerando primero una sola
tubería y posteriormente las dos tuberías con diferentes proporciones de
calentamiento (calentamiento simétrico y asimétrico).
5.2 Condiciones generales de modelado
Las condiciones de modelado bajo las cuales se analiza el sistema de dos tuberías
en paralelo mostrado en la figura 5.1 se presentan en la Tabla 5.1. Las propiedades
del material de la tubería (capacidad calorífica y conductividad térmica) se
especifican en el apéndice B.
Figura 5.1 Modelo físico del sistema bajo estudio.
Estudio del Sistema de GDV
76
Tabla 5.1 Condiciones de modelado del sistema de GDV
Descripción Magnitud
Longitud de la tubería 450 m
Diámetro interior de la tubería 5.0 cm
Diámetro exterior de la tubería 7.0 cm
Material de la tubería Acero inoxidable
Apertura del colector 25.76 m
Inclinación del sistema 0°
Radiación solar incidente 2850 W/m
Intervalo de flujo másico de operación 0 W 5.0 kg/s< ≤
Presión de salida 3 MPa
Temperatura de entrada del fluido de trabajo Agua líquida a 25 ºC
Eficiencia total 73.0%
Tubo absorbedor recto
Flujo de calor radial
Medio día solar
Estado cuasi-permanente
En la Tabla 5.2 se muestran los casos a estudiar de condiciones de frontera de
calentamiento.
Distribución perimetral
Porcentajes de distribución entre las dos tuberías
Calentamiento en la tubería
derecha ( )RQ
Calentamiento en la tubería
izquierda ( )LQ
Con distribución uniforme
100 100 100 95 100 90 100 80
Con concentración (90/10 y 80/20, ver figura 5.2)
100 100 100 95 100 90 100 80
Tabla 5.2 Casos bajo estudio de distribución de la radiación solar incidente
Estudio del Sistema de GDV
77
Para calentamiento simétrico y asimétrico se analizan concentraciones de 90/10 y
80/20.
La figura 5.2 muestra la sección transversal de un tubo absorbedor de un CCP,
ilustrando la concentración de calor en la parte inferior (condiciones del medio día
solar). APCC y APSC denotan área perimetral con y sin concentración solar.
5.3 Análisis de independencia de malla
El análisis de independencia de malla se realiza considerando una tubería simple con
calentamiento uniforme y con concentración (90/10 y 80/20), y un flujo másico de 0.5
kg/s (flujo másico para el cual dadas las condiciones de la Tabla 5.1 se obtiene vapor
sobrecalentado a la salida). En la Tabla 5.3 se muestran las mallas numéricas
utilizadas en el análisis.
Número de volúmenes de control de la malla numérica
∆� (m)
180 2.50
450 1.00
900 0.50
1350 0.33
Figura 5.2 Corte transversal de un tubo absorbedor con concentración de calor.
Tabla 5.3 Mallas consideradas
Radiación
Solar
APCC
Tubo absorbedor
Reflector parabólico
APSC
Vacío
Tubería de vidrio
Estudio del Sistema de GDV
78
En las figuras 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 y 5.8 se presentan los perfiles de presión y
temperatura para los cuatro casos de mallas numéricas utilizadas.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
b )a )
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
d )c )
0 30 60 90 1203.217
3.218
3.219
3.220
3.221
3.222
Pres
ión
[MPa
]Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 3603.08
3.10
3.12
3.14
3.16
3.18
3.20
3.22
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 4503.00
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
Pr
esió
n [M
Pa]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.3 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento uniforme
(FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de
evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
79
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
a ) b )
c )
0 30 60 90 1203.217
3.218
3.219
3.220
3.221
3.222
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 3603.08
3.10
3.12
3.14
3.16
3.18
3.20
3.22
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 4503.00
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09d )
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.4 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con
concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de
calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
80
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
a ) b )
d )c )
0 30 60 90 1203.217
3.218
3.219
3.220
3.221
3.222
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 3603.08
3.10
3.12
3.14
3.16
3.18
3.20
3.22
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 4503.00
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.5 Perfiles de presión en una tubería simple para calentamiento con
concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de
calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
81
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
50
100
150
200
250
300
350
400
450
b )a )
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
d )c )
0 20 40 60 80 100 12025
50
75
100
125
150
175
200
225
250
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 360235.0
235.5
236.0
236.5
237.0
237.5
238.0
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 450
250
300
350
400
450
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.6 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento
uniforme (FCU): a) a lo largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de
evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
82
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
50
100
150
200
250
300
350
400
450
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
0 20 40 60 80 100 12025
50
75
100
125
150
175
200
225
250
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 360235.0
235.5
236.0
236.5
237.0
237.5
238.0
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
a ) b )
c ) d )
380 390 400 410 420 430 440 450
250
300
350
400
450
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.7 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con
concentración (FCC) de 90/10: a) a lo largo de la tubería, b) región de
calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
83
El análisis de independencia de malla muestra que los perfiles de temperatura y
presión a lo largo de la tubería tanto para calentamiento uniforme como para
calentamiento con concentración (90/10 y 80/20) prácticamente se traslapan entre sí.
Al analizar por separado la región de calentamiento, evaporación y
sobrecalentamiento, se observa que el máximo porcentaje de desviación para los
perfiles de presión se obtiene para la región de calentamiento, y es de 0.05%, tanto
para FCU como para FCC. Para los perfiles de temperatura la máxima desviación se
presenta en la región se sobrecalentamiento para FCU, presentándose entre las
mallas numéricas de 180 y 1350, siendo del 1.73%. En el caso de FCC, los perfiles
de temperatura se sobreponen entre sí, aun en la región de sobrecalentamiento.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
50
100
150
200
250
300
350
400
450
180 Volúmenes 450 Volúmenes 900 Volúmenes 1350 Volúmenes
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
0 20 40 60 80 100 12025
50
75
100
125
150
175
200
225
250
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 360235.0
235.5
236.0
236.5
237.0
237.5
238.0
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
b )
c )
a )
d )
380 390 400 410 420 430 440 450
250
300
350
400
450
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.8 Perfiles de temperatura en una tubería simple para calentamiento con
concentración (FCC) de 80/20: a) a lo largo de la tubería, b) región de
calentamiento, c) región de evaporación y c) región de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
84
El utilizar una malla numérica de 900 volúmenes de control tanto para FCU como
para FCC (90/10 y 80/20) nos permite obtener resultados confiables, optimizando
tiempos de simulación.
Estudio del Sistema de GDV
85
5.4 Estudio del efecto de la concentración solar en una tubería simple
Del análisis de independencia de malla de calentamiento con distribución perimetral
uniforme y con concentración se obtuvo que el uso de una malla numérica con 900
volúmenes de control proporciona resultados confiables. Ahora se hace una
comparación entre los perfiles de presión, temperatura, fracción de vacío y patrones
de flujo para calentamiento con distribución perimetral uniforme y con concentración
(figuras 5.9, 5.10, 5.11 y 5.12).
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
b )a )
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
d )c )
0 30 60 90 120
3.2190
3.2195
3.2200
3.2205
3.2210
3.2215
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 3603.08
3.10
3.12
3.14
3.16
3.18
3.20
3.22
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 4503.00
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.9 Comparación de los perfiles de presión para calentamiento con
distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo
largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región
de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
86
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
50
100
150
200
250
300
350
400
450
b )a )
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
d )c )
0 20 40 60 80 100 120
50
75
100
125
150
175
200
225
250
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
150 180 210 240 270 300 330 360235.0
235.5
236.0
236.5
237.0
237.5
238.0
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
380 390 400 410 420 430 440 450
250
300
350
400
450
Tem
pera
tura
[°C
]
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.10 Comparación de los perfiles de temperatura para calentamiento con
distribución uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20: a) a lo
largo de la tubería, b) región de calentamiento, c) región de evaporación y c) región
de sobrecalentamiento.
Estudio del Sistema de GDV
87
Los perfiles de presión, temperatura y fracción de vació (figuras 5.9, 5.10 y 5.11) se
traslapan entre sí para ambos casos de distribución perimetral de calentamiento,
mostrando que la concentración de calor no modifica de forma considerable el
comportamiento termo-hidráulico del flujo en el interior del tubo. Los patrones de flujo
muestran (figura 5.11) que las regiones monofásicas de líquido a alta temperatura a
la entrada del sistema y la de vapor sobrecalentado a la salida, ocupan la misma
longitud de tubería. Sin embargo, en la región de mezcla bifásica líquido-vapor, los
patrones de flujo estratificado y dryout para calentamiento con concentración ocupan
una mayor longitud de tubería que para el caso de calentamiento con distribución
uniforme, disminuyendo la longitud de la región bifásica ocupada por el patrón de
flujo anular, lo cual justifica las pequeñas diferencias entre los perfiles de caída de
presión (figura 5.9).
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 4500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Frac
ción
de
vaci
o [α
g]
Longitud de la Tubería [m]
b)a)
c)
Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDryoutGas
Figura 5.11 Patrones de flujo y fracción de vacío vs longitud de la tubería para: a)
calentamiento con distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración
(FCC) de 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
88
En la figura 5.12 se muestra el mapa de patrones de flujo para una mezcla líquido-
gas obtenido mediante el código numérico de Barnea (1987). Este mapa muestra
que los patrones de flujo estratificado y anular sí pueden presentarse para las
condiciones de operación consideradas, por lo que la predicción de los patrones de
flujo mediante RELAP es adecuada.
0.01 0.1 1 10 1001E-3
0.01
0.1
1
10
Estratificado suave
Estratificado ondulado
Burbuja elongadaSlug
Vsg [m/s]
Vsl
[m/s
]
Burbuja dispersa
Anular
Figura 5.12 Mapa de patrones de flujo (agua-aire) para las condiciones de operación
descritas en la Tabla 5.1, obtenido mediante el código numérico
de Barnea (1987).
Estudio del Sistema de GDV
89
5.5 Estudio del efecto de la concentración solar en dos tuberías paralelas
Se realizará el estudio de distribución del flujo en tuberías paralelas considerando los
casos de distribución de calentamiento descritos en la Tabla 5.2; tanto para
distribución perimetral uniforme (calentamiento uniforme) como para una
concentración de 90/10 y 80/20. De la misma manera que en el capítulo 4 se hará
primero el análisis para una sola de las dos tuberías, como referencia.
5.5.1 Análisis en una sola tubería
5.5.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)
En la figura 5.13 se muestran las presiones de entrada ( inP ) en función del flujo
másico y para dos casos de calentamiento uniforme: 100 y 75% de la radiación solar
incidente.
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
Q-100% Q-75%
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
[MPa
]
3.90 3.92 3.94 3.96 3.98 4.00
3.355
3.360
3.365
3.370
3.375
Pres
ión [M
Pa]
Q-100% Q-75%
Flujo másico [kg/s]
Figura 5.13 Presión de entrada vs flujo másico, Q=100% y Q=75%.
Estudio del Sistema de GDV
90
Para flujos másicos elevados ( 1.8 kg/sW > ) el comportamiento del perfil de presión
de entrada corresponde al de una fase simple, es decir líquido a alta temperatura,
siendo menor la presión a menor flujo másico. Sin embargo, cuando el flujo másico
es pequeño ( 0.57 kg/sW < ) el fluido se evapora por completo cerca de la entrada del
sistema, y el comportamiento de la curva de presión corresponde al de la fase de
vapor sobrecalentado, siendo también menor la presión a menor flujo másico. En
flujos másicos intermedios ( 0.57 1.8 kg/sW< < ) se observa que la evaporación toma
lugar y la presión aumenta al disminuir el flujo másico de entrada. Para el caso en el
que se considera solo el 75% (637.5 W/m2) de la radiación solar total incidente, se
tiene que las regiones de flujo másico en las que se obtiene una mezcla bifásica ó
bien vapor sobrecalentado a la salida del sistema presentan un desfase con respecto
al caso en el que se tiene el 100% de la radiación solar incidente (850 W/m2).
En la figuras 5.14 y 5.15 se muestran los perfiles de temperatura, T , calidad, X ,
fracción de vacío, gα , fracción del líquido (fracción volumétrica de la fase líquida en
la mezcla), lα , y los patrones de flujo a lo largo de una tubería simple para flujos
másicos de entrada de 0.54 kg/s y 0.50 kg/s, respectivamente, y para una radiación
incidente de 850 W/m2. A la entrada de la tubería el fluido incrementa rápidamente su
temperatura hasta su saturación. Posteriormente, una vez que la evaporación del
fluido comienza, la temperatura decrece un poco a consecuencia de la caída de
presión a lo largo de la tubería. Al finalizar la evaporación la temperatura se
incrementa rápidamente, obteniendo vapor sobrecalentado a la salida. La fracción de
vacío y la calidad se incrementan de 0 a 1 en la región bifásica, mientras que la
fracción del líquido decrece de 1 a 0. Los patrones de flujo bifásico que se presentan
para estas condiciones son; flujo estratificado, anular y dryout.
Conforme el flujo másico de alimentación al sistema de GDV es reducido (de 0.54
kg/s a 0.50 kg/s), la energía requerida para alcanzar la saturación del fluido es
menor, acortándose la longitud de la región de calentamiento (figura 5.15). Los
patrones de flujo bifásico ocupan una menor longitud de tubería, y la longitud de la
Estudio del Sistema de GDV
91
tubería ocupada por la región de sobrecalentamiento es mayor, obteniendo a la
salida vapor sobrecalentado a una mayor temperatura. Para un flujo másico de
alimentación de 0.54 kg/s (figura 5.14), la evolución de la calidad y fracción de vacío
se presenta a una menor velocidad.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
αg
Longitud de la Tubería [m]
X, α
f, αg
Líquido Estratificado Anular Dry out Gas
αf X
T
50
100
150
200
250
300
350
Temperatura [°C
]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Dry out GasAnularLíquido
Longitud de la Tubería [m]
X, α
f, αg
Temperatura [°C
]
Estratificado
T
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X
αg
αf
Figura 5.14 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento
incidente de 850 W/m2 y W=0.54 kg/s.
Figura 5.15 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería. Calentamiento
incidente de 850 W/m2 y W=0.50 kg/s.
Estudio del Sistema de GDV
92
En la figura 5.16 se hace una comparación entre los perfiles de presión y patrones de
flujo para los flujos másicos de entrada de a) 0.54 kg/sy b) 0.50 kg/s. Como era de
esperarse, la presión de entrada para 0.54 kg/s resulta en mayor magnitud que para
0.50 kg/s (se obtiene mayor caída de presión, incrementándose la presión de
entrada).
La figura 5.17 muestra el coeficiente convectico de la pared interna de la tubería
hacia el fluido, considerando tres casos de flujo másico de alimentación: a) 2.4 kg/s,
b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s. Para 2.4 kg/s la evaporación no se hace presente y el
coeficiente convectivo , h , aumenta en función del incremento de la temperatura del
fluido, siendo la convección forzada el proceso que rige la transferencia de energía
de la pared interna de la tubería hacia el fluido. Al disminuir el flujo másico a 0.8 kg/s
la evaporación del fluido se hace presente, y en la zona de evaporación el coeficiente
convectivo aumenta rápidamente, ya que el coeficiente convectivo de transferencia
de calor, h , es producto de dos procesos que presentan una fuerte relación entre sí.
Por una parte está la convección forzada debido al movimiento del líquido a través de
la tubería, mientras que de forma simultánea la formación de burbujas de vapor
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
0.5 kg/s 0.54 kg/s
Pres
ión
[MPa
]
Longitud de la Tubería [m]
a )
b )
Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDry outGas
Figura 5.16 Perfil de presión y patrones de flujo vs longitud de la tubería, a) 0.54
kg/s y b) 0.5 kg/s.
Estudio del Sistema de GDV
93
(ebullición del fluido) que colisionan entre sí aumentan la agitación del fluido en
evaporación, incrementándose la transferencia total de energía de la pared interna
hacia el fluido.
Si el flujo másico de entrada es de 0.5 kg/s, a la salida de la tubería se presenta flujo
monofásico de vapor sobrecalentado, y el coeficiente convectivo es de nuevo solo
función del proceso de la convección forzada, sin embargo, conforme el vapor
sobrecalentado aumenta su temperatura su calor especifico, Cp , es reducido,
disminuyendo la transferencia de energía de la pared interna de la tubería hacia el
fluido.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25 2.4 kg/s
h [k
W/m
2 K]
Longitud de la Tubería [m]
Patrones de Flujo
EstratificadoLíquido
AnularSlug
GasDryout
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25
0.8 kg/s
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25c)
b)a)
0.5 kg/s
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.17 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y
patrones de flujo a lo largo de la tubería: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.
Estudio del Sistema de GDV
94
5.5.1.2 Calentamiento con concentración (FCC)
La figura 5.18 muestra las presiones de entrada ( inP ) en función del flujo másico,
considerando un 100% y un 75% de la radiación solar incidente total, y una
concentración de calor de 90/10 y 80/20.
Dependiendo del flujo másico de alimentación y el calentamiento incidente en el
sistema de GDV, a la salida de la tubería se puede obtener líquido a alta
temperatura, una mezcla líquido-vapor ó bien vapor sobrecalentado. Al disminuir el
calentamiento incidente (de 100% a 75%), el intervalo de flujo másico en el que a la
salida se obtiene líquido a alta temperatura se incrementa (para 1.4 kg/sW > ),
acortando la región de mezcla y vapor sobrecalentado a la salida del sistema.
En la figura 5.19 se muestran los perfiles de temperatura, T , calidad, X , fracción de
vació, gα , fracción del líquido, lα , y los patrones de flujo para una tubería simple con
concentración de 90/10 y 80/20. Los patrones de flujo bifásico que se presentan para
estas condiciones son: flujo estratificado, anular y dryout.
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
Q-100% Q-75%
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
a)
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
b)
Q-100% Q-75%
Figura 5.18 Presión de entrada vs flujo másico, para calentamiento con
concentración, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
95
La figura 5.20 muestra los perfiles de presión y patrones de flujo para un flujo másico
de entrada de 0.50 kg/s y una concentración de calor de 90/10 y 80/20. Para la
región de calentamiento la caída de presión se comporta de forma lineal. Al
comenzar la evaporación del fluido la caída de presión aumenta de forma
considerable, presentándose los patrones de flujo estratificado, anular y dryout.
Posteriormente al finalizar la evaporación se presenta un flujo monofásico dominante
de vapor sobrecalentado.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
X, α
f, αg
Longitud de la Tubería [m]
αf
αg
X
T
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 b)
Temperatura [°C
]
Temperatura [°C
]X,
αf, α
g
Longitud de la Tubería [m]
αf
αg
X
T
a)
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figura 5.19 Comportamiento del flujo a lo largo de la tubería, calentamiento
incidente de 850 W/m2 y W=0.5 kg/s, a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
96
En las figuras 5.21 y 5.22 se muestran los coeficientes convectivos de la pared
interna de la tubería hacia el fluido para una concentración de calor de 90/10 y 80/20.
Si el flujo dominante en la tubería es monofásico los coeficientes convectivos para
las zonas con y sin concentración son de igual magnitud. Este comportamiento es
debido a que el calor específico del fluido es considerado constante en toda el área
transversal de flujo.
Para la región de evaporación, la superficie interna inferior de la tubería (área con
concentración) se mantiene en contacto con la fase líquida, mientras que la
superficie superior (área sin concentración) transfiere energía principalmente a la
fase gas. En esta región se observa una diferencia considerable entre los
coeficientes convectivos para las zonas con y sin concentración de calor, lo cual es
debido a la diferencia entre los calores específicos para la fase líquida y la fase gas
del agua, respectivamente.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
FCC-90/10 FCC-80/20
Longitud de la Tubería [m]
Pres
ión
[MPa
]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDryoutGas
c)b)
Figura 5.20 Perfil de presión y patrones de flujo a lo largo de la tubería:
a) FCC – 90/10 y b) FCC – 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
97
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25b)a)
APCC-90% APCC-10%
h [k
W/m
2 K]
Longitud de la Tubería [m]
Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoSlug
DryoutAnular
Gas
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25c)
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.21 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y
patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de
90/10: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.
Estudio del Sistema de GDV
98
Para el caso de FCC de 80/20 la zona sin concentración presenta un mayor
calentamiento (aumentando la temperatura de la pared de la tubería), de tal forma
que el gradiente de temperatura entre la pared interna y el fluido (vapor o líquido
según el patrón de flujo presente) es incrementado, aumentando la transferencia de
calor de esta zona hacia el fluido.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
3
6
9
12
15
18
21
24
c)
b)
APCC-80% APCC-20%
h [k
W/m
2 K]
Longitud de la Tubería [m]
a)
Patrones de FlujoLíquidoEstratificado
AnularDryoutGas
Slug
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
3
6
9
12
15
18
21
24
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
3
6
9
12
15
18
21
24
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.22 Coeficiente convectivo de la pared interna de la tubería hacia el fluido y
patrones de flujo a lo largo de la tubería para calentamiento con concentración de
80/20: a) 2.4 kg/s, b) 0.8 kg/s y c) 0.5 kg/s.
Estudio del Sistema de GDV
99
5.5.1.3 Efecto de la concentración solar en el perfil de presión de entrada
En la figura 5.23 se observa que las presiones de entrada para calentamiento
perimetral uniforme y con concentración de 90/10 y 80/20 prácticamente se
sobreponen entre sí, presentándose solo pequeñas diferencias para flujos másicos
de entrada relativamente bajos ( 0.5 kg/sW < ) en los que a la salida de la tubería se
obtiene vapor sobrecalentado. La diferencia máxima entre ambos casos (FCU y
FCC) es de 0.44%.
Al analizar los patrones de flujo (figura 5.24) se observa que las regiones de
evaporación para FCU y FCC ocupan la misma longitud de la tubería. Sin embargo,
mientras que para FCC la región de evaporación ocupada por los patrones de flujo
bifásico estratificado y dryout aumentan ligeramente su longitud, la longitud que
ocupa el patrón de flujo anular disminuye.
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
[MPa
]
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.08
3.12
3.16
3.20
3.24
FCU FCC- 90/10 FCC- 80/20
Flujo másico [kg/s]
Pres
ión
[MPa
]
Figura 5.23 Comparación de presiones de entrada para: a) calentamiento con
distribución uniforme (FCU), b) calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y
c) calentamiento con concentración (FCC) de 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
100
La figura 5.25 muestra una comparación entre los coeficientes convectivos de la
pared interna de la tubería hacía el fluido para FCU y FCC. Al comparar los perfiles
del coeficiente convectivo a lo largo de la tubería para FCU y FCC (APCC de 90% y
80%) se observa que los perfiles se traslapan entre sí, sin embargo, para FCU el
coeficiente convectivo presenta un pequeño desfase, de tal forma que para FCU la
región de sobrecalentamiento presenta un ligero adelanto con respecto al caso de
FCC. Si se hace una comparación entre el coeficiente convectivo para FCC (APCC
de 90% y 80%) se observa que ambos perfiles se sobreponen entre sí (coeficiente
convectivo hacía la fase líquida), sin embargo, al comparar el coeficiente convectivo
hacia la fase de vapor (APSC de 10% y 20%, región de evaporación) el coeficiente
convectivo es directamente proporcional al calentamiento hacia la zona sin
concentración.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Longitud de la Tubería [m]
Pres
ión
[MPa
]
Patrones de FlujoLíquidoEstratificadoAnularDryoutGas
c)b)a)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
Figura 5.24 Comparación del perfil de presión y patrones de flujo para: a)
calentamiento con distribución uniforme (FCU) y b) calentamiento con
concentración (FCC) 90/10 y c) calentamiento con concentración (FCC) 80/20.
W=0.5 kg/s y Q=850 W/m2.
Estudio del Sistema de GDV
101
5.5.2 Análisis en las dos tuberías
5.5.2.1 Distribución del flujo másico para calentamiento simétrico
Se analizan dos condiciones de distribución perimetral del calentamiento:
1. Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)
2. Calentamiento con concentración (FCC; 90/10 y 80/20)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468
101214161820
FCU FCC
APCC-90% APCC-80%
h [k
W/m
2 K]
Longitud de la Tubería [m]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468
101214161820
APCC-90% APCC-80%
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 45002468
101214161820
APSC-10% APSC-20%
h [k
W/m
2 K
Longitud de la Tubería [m]
Figura 5.25 Comparación del coeficiente convectivo de la pared interna de la
tubería hacia el fluido a lo largo de la tubería, considerando el área perimetral de
calentamiento: a) FCU y FCC de 90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%), b) FCC de
90/10 y 80/20 (APCC de 90% y 80%) y c) FCC de 90/10 y 80/20 (APSC de 10% y
20%).
Estudio del Sistema de GDV
102
5.5.2.1.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)
La figura 5.26 muestra las presiones de entrada, distribución de flujo másico y flujo
másico de salida para un sistema de dos tuberías en paralelo con calentamiento
simétrico y distribución perimetral uniforme.
De la figura 5.26 se observa que las razones de distribución de flujo y presiones de
entrada corresponden a una distribución simétrica de flujo másico, de tal forma que la
trayectoria de las presiones de entrada corresponde a la obtenida para una tubería
simple. Lo anterior muestra que RELAP solo permite obtener soluciones simétricas
para el intervalo de flujo másico de entrada analizado ( 0.8 5.0 kg/sW≤ ≤ ). En la salida
común se obtiene líquido a alta temperatura para flujos másicos 3.55 kg/s≥ , una
mezcla bifásica agua-vapor para flujos másicos 1.575 kg/s> y 3.55 kg/s< , o bien,
vapor sobrecalentado para flujos másicos de entrada 1.575 kg / s≤ .
Para el intervalo de flujo másico analizado ( 0.8 W 5.0 kg/s ≤ ≤ ) que se muestra en la
figura 5.26, el principio de conservación de masa se cumple.
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Flujo másico de salida
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución de flujo
Razón de distribución [W
R /Win ]
Figura 5.26 Presión de entrada, razón de distribución de flujo másico, y flujo
másico de salida vs flujo másico total para dos tuberías en paralelo. QR=QL=850
W/m2.
Estudio del Sistema de GDV
103
5.5.2.1.2 Calentamiento con concentración (FCC)
La figura 5.27 muestra las presiones de entrada, distribución de flujo y flujo másico
de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento simétrico y una
concentración de calor incidente de 90/10 y de 80/20.
La figura 5.27 muestra que para calentamiento con concentración de 90/10, RELAP
solo permite obtener una única solución de distribución de flujo, la simétrica, que de
igual forma que para calentamiento con distribución uniforme, la trayectoria de las
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30 Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
a)
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
b) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0c) FCC-90/10
FCC-80/20
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30 FCC-90/10 FCC-80/20
d)
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución de flujo
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución de flujo
Figura 5.27 Análisis termo-hidráulico del flujo en dos tuberías en paralelo para
calentamiento simétrico y con concentración de 90/10 y 80/20. QR=QL=850 W/m2:
a) presión de entrada vs flujo másico para FCC de 90/10, b) presión de entrada vs
flujo másico para FCC de 80/20, c) comparación de flujo másico de salida vs flujo
másico de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 y d) comparación de presiones de
entrada para FCC de 90/10 y 80/20.
Estudio del Sistema de GDV
104
presiones de entrada corresponden a las de una tubería simple. Se obtiene a la
salida del sistema líquido a alta temperatura para flujos másicos 3.55 kg/s≥ , una
mezcla bifásica agua-vapor para flujos másicos 1.575 kg/s> y 3.55 kg/s< , o bien,
vapor sobrecalentado para flujos másicos de entrada 1.575 kg / s≤ . Sin embargo,
para una concentración de calor de 80/20, RELAP predice una solución simétrica
para flujos másicos de entrada 1.1 kg/s> , mientras que para 1.1 kg/s y 0.9 kg/s
RELAP predice soluciones asimétricas, obteniendo vapor sobrecalentado a la salida
de una tubería (tubería con menor flujo másico de salida) y una mezcla bifásica
agua-vapor a la salida de la otra tubería respectivamente. Al analizar los flujos
másicos de salida para FCC de 90/10 y 80/20 se observa que al presentarse
soluciones asimétricas el flujo másico de salida difiere del flujo másico de entrada.
Finalmente, al comparar las presiones de entrada para FCC de 90/10 y 80/20 se
muestra que ambos casos se sobreponen entre sí, a excepción de los flujos másicos
(1.1 kg/s y 0.9 kg/s) de entrada para FCC de 80/20 donde se presentan soluciones
asimétricas.
En la figura 5.28 se hace una comparación de las presiones de entrada para FCU y
FCC de 90/10 y 80/20, obteniendo que las presiones de entrada para FCC de 80/20
presentan ciertas diferencias en la región de vapor sobrecalentado, como se observa
para 1.1 kg/s y 0.9 kg/s (donde se obtienen soluciones asimétricas).
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
FCDU FCC-90/10 FCC-80/20
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0 FCDU FCC-90/10 FCC-80/20
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
Figura 5.28 Comparación de presión de entrada y flujo másico de salida vs flujo
másico para FCU y FCC. QR=QL=850 W/m2.
Estudio del Sistema de GDV
105
5.5.2.2 Distribución de flujo másico para calentamiento asimétrico
Se analizan dos condiciones de distribución perimetral del calentamiento:
1. Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)
2. Calentamiento con concentración (FCC; 90/10 y 80/20)
5.5.2.2.1 Calentamiento con distribución perimetral uniforme (FCU)
La figura 5.29 muestra las razones de distribución de flujo, presiones de entrada y
flujo másico de salida para calentamiento asimétrico y con distribución perimetral
uniforme, considerando tres condiciones de calentamiento incidente.
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
Razón de distribución [W
R /Win ]
b)
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30 Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
a)
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35c) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0
Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95%
d)
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
Figura 5.29 Presión de entrada y razón de distribución de flujo, para dos tuberías
en paralelo con calentamiento asimétrico: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b)
QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d)
comparación de flujo de salida vs flujo másico de entrada para los tres casos
anteriores.
Estudio del Sistema de GDV
106
De la figura 5.29 se observa que para un calentamiento asimétrico de 100 y 80% y
de 100 y 90% (incisos a y b), RELAP solo permite obtener soluciones de distribución
de flujo y presiones de entrada para flujos másicos 3.0 kg/s≥ . Para flujos másicos
mayores a 3.6 kg/s RELAP predice una distribución de flujo másico casi simétrica en
ambas tuberías, obteniendo líquido a alta temperatura a la salida. Sin embargo, si el
flujo másico de entrada es menor a 3.6 kg/s RELAP predice una distribución
asimétrica del flujo másico, de tal forma que un mayor porcentaje de flujo másico
tiende a fluir por la tubería con menor calentamiento incidente, obteniendo líquido a
alta temperatura a la salida de la tubería con menor calentamiento y una mezcla
bifásica a la salida de la tubería con mayor calentamiento incidente.
Al considerar un calentamiento asimétrico del 100 y 95% (inciso c de la figura 5.29),
se puede observar que RELAP permite obtener una solución para flujos másicos
2.8 kg/s≥ . Para flujos másicos de entrada mayores a 3.4 kg/s RELAP determina que
una distribución casi simétrica es la que se presenta en el sistema, obteniendo
líquido a alta temperatura a la salida de cada tubería. Si el flujo másico de entrada es
menor a 3.4 kg/s, RELAP determina que la distribución de flujo másico en el sistema
corresponde a una distribución asimétrica, obteniendo líquido a alta temperatura a la
salida de la tubería con menor calentamiento y una mezcla bifásica de líquido-vapor
a la salida de la tubería con mayor calentamiento.
De igual forma que para calentamiento simétrico, se observa que para calentamiento
asimétrico cuando se presentan soluciones de distribución de flujo másico simétricas
el flujo másico de salida es igual al flujo de entrada. Sin embargo, cuando se
obtienen soluciones asimétricas de distribución esta igualdad no se cumple, y la
diferencia se incrementa al aumentar la asimetría del calentamiento en ambas
tuberías, como se muestra en la figura 5.29 (inciso d).
Estudio del Sistema de GDV
107
5.5.2.2.2 Calentamiento con concentración (FCC)
Las figuras 5.30 y 5.31 muestran que las presiones de entrada, razones de
distribución de flujo, y flujo másico de salida para calentamiento con concentración
(FCC) 90/10 y 80/20 muestran un comportamiento análogo al caso de calentamiento
con distribución perimetral uniforme (FCU). Presentándose las mismas condiciones
de solución para las asimetrías de 100 y 95%, 100 y 90% y 100 y 80%.
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30 Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30a) c) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35c) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0
Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95%
d)
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Figura 5.30 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de
salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con
concentración de 90/10, a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y
QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de
salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores.
Estudio del Sistema de GDV
108
En la figura 5.32 se hace una comparación de las presiones de entrada, razones de
distribución de flujo y flujo másico de salida para calentamiento asimétrico con
distribución perimetral uniforme (FCU) y con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20.
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30a)
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución [W
R /Win ]
Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
d)
b) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35c) Presión
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0
Flujo de calor a )100% y 80% b )100% y 90% c )100% y 95% Fl
ujo
más
ico
de s
alid
a [k
g/s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución
Figura 5.31 Presión de entrada, razón de distribución de flujo, y flujo másico de
salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico y con
concentración de 80/20: a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y
QL=765 W/m2, c) QR=850 W/m2 y QL=807.5 W/m2 y d) comparación de flujo de
salida vs flujo másico de entrada para todos los casos anteriores.
Estudio del Sistema de GDV
109
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
Presión de entrada FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.44.6
4.8
5.0Flujo másico a la salida
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Razón de distribución [W
R /Win ]
Razón de distribución de flujo FCU FCC-90/10 FCC-80/20
a)
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30R
azón de distribución [WR /W
in ]
Presión de entrada FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.44.6
4.8
5.0Flujo másico a la salida
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0Razón de distribución de flujo
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
b)
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.03.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
Razón de distribución [W
R /Win ]
Presión de entrada FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Pres
ión
[MPa
]
Flujo másico [kg/s]2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0Flujo másico a la salida
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
Fluj
o m
ásic
o de
sal
ida
[kg/
s]
Flujo másico [kg/s]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0Razón de distribución de flujo
FCU FCC-90/10 FCC-80/20
c)
Figura 5.32 Comparación de presión de entrada, razón de distribución de flujo, y
flujo másico de salida para dos tuberías en paralelo con calentamiento asimétrico:
a) QR=850 W/m2 y QL=680 W/m2, b) QR=850 W/m2 y QL=765 W/m2, c) QR=850
W/m2 y QL=807.5 W/m2.
Estudio del Sistema de GDV
110
Para un calentamiento asimétrico de 100 y 80% y 100 y 90% se observa que las
presiones de entrada, razones de distribución de flujo y flujo másico de salida se
sobreponen entre sí tanto para calentamiento con distribución perimetral uniforme
(FCU) como para calentamiento con concentración (FCC) de 90/10 y 80/20.
Sin embargo, para una asimetría de 100 y 95% se observa una ligera mayor presión
de entrada (flujo másico de 2.8 kg/s) para calentamiento con distribución perimetral
uniforme (FCU) con respecto a los casos de calentamiento con concentración (FCC),
en los cuales las presiones de entrada se sobreponen entre sí para todo el intervalo
de flujo analizado.
Al analizar el flujo másico de salida, se observa que para calentamiento con
concentración (FCC) de 90/10 y 80/20 ambas soluciones (en el intervalo de flujo
analizado) se sobreponen, sin embargo, se observan pequeñas diferencias con
respecto a las soluciones para calentamiento con distribución perimetral uniforme
(FCU), siendo ligeramente mayor el flujo másico de salida para los flujos másicos de
entrada de 2.8 y 3.0 kg/s (soluciones de distribución asimétricas).
Estudio del Sistema de GDV
111
5.6 Conclusiones
La concentración de flujo de calor no afecta de forma considerable las caídas de
presión, ni los patrones de flujo a lo largo de la (s) tubería (s). Sin embargo, el
análisis de distribución de flujo másico en tuberías en paralelo muestra que conforme
la concentración de calor es menor, el intervalo de flujo másico de entrada para el
cual se obtienen soluciones simétricas de distribución de flujo es menor.
La concentración de calor afecta además los puntos de transición de las fases, de tal
forma que los patrones de flujo bifásico aumentan o disminuyen su longitud con
respecto a considerar un calentamiento con distribución perimetral uniforme.
Al variar la concentración de calor, la longitud de tubería que es ocupada por cada
patrón de flujo cambia, de tal forma que el coeficiente convectivo de transferencia de
calor de la pared interna del tubo hacia el fluido también cambia, siendo la principal
variable afectada por la concentración de calor.
Conforme aumenta la asimetría del calentamiento incidente en el sistema, el intervalo
de flujo másico para el cual RELAP permite obtener soluciones simétricas es menor,
obteniendo soluciones con mayor asimetría dado un mismo flujo másico de entrada.
112
6 Capítulo VI Conclusiones generales y
Recomendaciones
Equation Chapter 6 Section 1
En este capítulo se presentan las conclusiones generales de los estudios realizados
y se hacen recomendaciones generales para trabajos futuros.
Conclusiones y Recomendaciones
113
6.1 Conclusiones Generales
El análisis termo-hidráulico a una tubería simple del sistema de GDV propuesto por
Natan et al. (2003) muestra que RELAP predice menores caídas de presión para los
patrones de flujo bifásico. Estas diferencias son atribuidas al distinto factor de fricción
y al uso de un modelo matemático más sencillo por parte de Natan et al. (2003) con
respecto a RELAP. Por ejemplo, en la ecuación de conservación de cantidad de
movimiento RELAP considera los términos de transferencia de masa en la interface
líquido-vapor y la fuerza de masa virtual, los cuales no son considerados por Natan
et al. (2003). Sin embargo, RELAP no considera el término de fuerza de presión
debido al espesor de la película de líquido. Por otra parte, en el modelo propuesto
por Natan et al. (2003), las ecuaciones de conservación de energía para cada fase
que se resuelven en RELAP son sustituidas por un balance de energía entre el calor
total que entra al tubo absorbedor y el calor perdido al ambiente, lo cual simplifica su
modelo térmico.
Al modelar el prototipo DISS (constituido por una sola fila de CCP para GDV),
ubicado en la PSA, considerando tres distintas presiones de operación, se encontró
que los perfiles de presión obtenidos mediante RELAP se aproximan en gran medida
a los datos experimentales proporcionados por la PSA. Encontrándose que la
máxima desviación se presenta para la presión de operación de 3 MPa, siendo de
1.85%.
Aun cuando en este estudio no se validaron los resultados para perfiles de
temperatura y patrones de flujo en una fila de CCP, estudios previos realizados por
Enríquez (2012) y Moya et al. (2011) han demostrado que las predicciones
realizadas para estas variables mediante RELAP para las presiones de operación de
10, 6 y 3 MPa, presentan buena aproximación a los resultados experimentales
proporcionados por la PSA.
Conclusiones y Recomendaciones
114
La concentración de calor afecta principalmente la ubicación de las regiones de
transición de los patrones de flujo y los coeficientes de transferencia de calor
convectivos en las zonas con y sin concentración solar.
Los estudios realizados a los sistemas de tuberías en paralelo muestran que RELAP
permite obtener las soluciones más estables, en relación a las soluciones múltiples
obtenidas por Natan et al. (2003), las cuales corresponden a las soluciones de menor
caída de presión. RELAP proporciona soluciones oscilatorias para algunos intervalos
de flujo másico en los que Natan et al. (2003) reportan soluciones múltiples.
Para calentamiento simétrico de las tuberías en paralelo, RELAP permite obtener
solo soluciones de distribución simétricas del flujo másico, de tal forma que su perfil
de presión de entrada corresponde al de una tubería simple.
Conforme se incrementa la asimetría del calentamiento entre los dos tubos
absorbedores en paralelo, se reducen los intervalos de flujos másicos de
alimentación para los cuales RELAP permite obtener soluciones de distribución
simétricas de flujo másico, incrementando la asimetría de la razón de distribución
dado un mismo flujo másico de alimentación.
Conclusiones y Recomendaciones
115
6.2 Recomendaciones
Es necesario continuar evaluando la aplicabilidad del simulador comercial RELAP
para estudios de distribución del flujo en sistemas de tuberías en paralelo aplicadas a
GDV.
Efectuar más estudios del efecto de la concentración solar, considerando perfiles de
distribución perimetral de la radiación solar incidente más apegadas a la realidad;
tanto para tuberías simples como para tuberías en paralelo.
Comparar con datos experimentales de distribución de flujo y presión de entrada
para filas de tuberías en paralelo de diversos sistemas físicos. Asimismo para filas de
tubos absorbedores que constituyen los CCP en sistemas de GDV en prototipos y a
nivel comercial.
Involucrar en los estudios las tuberías de conexión entre cada uno de los CCP que
constituyen la(s) fila(s) de CCP para GDV.
.
116
7 Referencias
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Referencias
120
8 Anexos
121
A. Apéndice A Equation Chapter (Next) Section 1
Desarrollo del modelo matemático a dos fluidos A.1
Para deducir las ecuaciones gobernantes del modelo a dos fluidos (Lahey & Drew,
1989), se parte de un balance integral macroscópico a un volumen de control
(Figura A.1);
Figura A.1 Volumen de control conservativo.
Si se considera que la propiedad a conservar en el volumen de control es ρψ , J
es el flux, φ es la fuerza de cuerpo por unidad de masa, Φ es el termino de fuerza
interfacial por unidad de área interfacial del volumen de control, y Σ es el flux en la
superficie por unidad de longitud de la interfase, se tiene que;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0ia t V t i t a t V t
dN JdS dV N d dS dV
dtρφ ρψ⋅ − + ⋅Σ − Φ + =∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫l
(A.1.1)
Donde ( )V t es el volumen de control instantáneo, ( )a t es el área de la superficie
externa, ( )ia t es el área interfacial interna de ( )V t , e ( )i t es la curva dependiente
del tiempo de la intersección de la interfase con la superficie externa, ( )a t , del
volumen de control. El vector N es un vector unitario normal a ( )i t y tangente a
Σ
��
��� �
� ψ
122
( )ia t . Si se considera que kV V= , de tal forma que el volumen de control
considerado aparece totalmente dentro de la fase k , la ecuación (A.1.1) se puede
expresar como;
( ) ( ) ( )
0k k k
k k kk k ka t V t V t
dn J dS dV dV
dtρ φ ρ ψ⋅ − + =∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
(A.1.2) Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a la integral de superficie, la
ecuación (A.1.2) se puede expresar como:
( ) ( )( )
0k
k kkk kk k k
V t
J v dVt
ρ ψρ φ ρ ψ
∂ ∇⋅ − + + ∇⋅ = ∂ ∫∫∫
(A.1.3)
Las propiedades definidas en la ecuación (A.1.3) no son dependientes del
volumen de control ( )kV t , por lo que la integral de volumen puede despreciarse, la
forma euleriana de la ecuación de conservación es;
( ) ( )k kkk kk k k
v Jt
ρ ψρ ψ ρ φ
∂+ ∇⋅ = ∇⋅ −
∂ (A.1.4) En la Tabla A.1 se muestra de forma resumida la equivalencia de los términos
conservativos para cada una de las ecuaciones de conservación, cuantificando la
masa, cantidad de movimiento y energía para cada fase.
Tabla A.1 Equivalencia de los términos de conservación
Principio de conservación k
ψ k
J k
φ Φ Σ
Masa 1 0 0 0 0
Cantidad de movimiento kv k k
p I τ− k
g 0 aσ−
Energía kk
k
pe
ρ− ( )''
kk k kg p I vτ− − + ⋅
'''k
k
k
qg v
ρ⋅ + 0 ''
i ie q+ - ia vσ− ⋅
Donde kψ , φ y Φ pueden ser vectores o escalares, mientras que kJ y Σ pueden
ser vectores ó tensores de segundo orden. a es el tensor métrico en la interfase,
lo cual cuantifica la curvatura de la interfase.
123
Al aplicar la ecuación (A.1.4) y la regla de Leibnitz a un volumen de control con
espesor despreciable, se obtiene la condición de salto dada por:
( )2
1( ) ( )
0i
k ik k k kka t i t
v v J n dS N dρ ψ=
− + ⋅ − Φ + ⋅Σ =
∑∫∫ ∫ l (A.1.5)
La condición de salto dada en la ecuación (A.1.5) se puede expresar en forma
diferencial escribiendo el tensor de superficie intrínseco en términos de vectores
tridimensionales y aplicando el teorema de Green en la superficie. Si Σ es un
tensor de superficie de segundo orden, la integral de ( )i t puede expresarse como:
( )( ) ( )i
k s
i t a t
N d n b dS⋅Σ = : Σ + ∇ ⋅Σ∫ ∫∫l (A.1.6)
Al aplicar las ecuaciones (A.1.5) y (A.1.6) a una superficie arbitraria ia , la
condición de salto para la ecuación de cantidad de movimiento está dada por:
( )2
1k i kk sk k k
k
v v J n n bρ ψ∧
=
− + ⋅ =Φ − ∇ ⋅Σ − : Σ = Φ ∑ (A.1.7)
y para la ecuaciones de conservación de masa y energía;
( )2
1k ik sk k k
k
v v J nρ ψ=
− + ⋅ =Φ − ∇ ⋅Σ ∑ (A.1.8)
La ecuación (A.1.4) es válida para cualquier punto en el campo del fluido, sin
embargo, para aplicaciones más practicas es necesario promediar sobre un
volumen representativo. La forma más general de promedio volumétrico
instantáneo para la ecuación de conservación tridimensional está dada por;
( )( )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
k k k
w
i i kw
kk k kk k k kV z t V z t V z t
k k i k kk k k ka z t a z t a z t
dV v J dV dVt
n v v dS n J dS n J dS
ρ ψ ρ ψ ρ φ
ρ ψ
∂ + ∇ ⋅ + − =∂
⋅ − − ⋅ − ⋅
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ (A.1.9)
Si se denota que el promedio volumétrico de la fase k está dado por;
( ) ( )( )
' '
,
1,
,k
k kk V z t
f f z t dVV z t
= ∫∫∫ (A.1.10)
Y la fracción de volumen instantánea por;
( ),kk
V z t
Vβ =
(A.1.11) Sustituyendo las ecuaciones (A.1.10) y (A.1.11) en la ecuación (A.1.9) se obtiene:
124
( )''
( , ) ( , ) ( , )
1
1 1 1w
i i kw
kk k k k k kk k k k
k kk k k ka z t a z t a z t
V v Jt V
m dS n J dS n J dSV V V
ρ ψ ρ ψ ρ φ
ψ
∂ β + ∇ ⋅ β + − β ∂
= − − ⋅ − ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫
(A.1.12)
Donde ''km es definida como la transferencia de masa en la interfase, y se expresa
como;
( )k k ik km n v vρ= ⋅ − (A.1.13)
Ahora, utilizando los términos de conservación de la Tabla A.1 y las ecuaciones
(A.1.11) y (A.1.12), se obtiene las ecuaciones instantáneas de conservación:
� Ecuación tridimensional de conservación de masa
1kk k k k kV v
t Vρ ρ∂
β + ∇ ⋅ β = Γ ∂ (A.1.14) Donde;
( )
''
,
1
i
k k
a z t
m dSV
Γ = − ∫∫ (A.1.15)
� Ecuación tridimensional de conservación de cantidad de movimiento
( ) ''' '''
'''
1
1
i wi w
i i w wi i
k k k k kk k k k k k k k
nd d nd dk k k kk k kk k k k ik k
v V v v p I p S p St V
V g v M M M M SV
ρ ρ
τ ρ τΓ
∂β + ∇ ⋅ β = −β ∇ ⋅ − ∆ − ∆ ∂
+ ∇ ⋅ β + β + Γ + + + + + ⋅
(A.1.16)
donde;
( )
( )
''
,
''
,
i
i
i
kk
a z t
k
k
a z t
m v ds
vm ds
Γ∫∫
∫∫
(A.1.17)
( )
'''
,
1i
i
k k
a z t
s n dsV ∫∫
(A.1.18)
( )
'''
,
1w w
kw
k k
a z t
s n dsV ∫∫
(A.1.19)
( ) ( )
'''
, ,
1 1ii i
i i
k k kk k kia z t a z t
p n ds p s p n dsV V
⋅ ⋅ + ∆∫∫ ∫∫ %
(A.1.20)
125
( ) ( )
'''
, ,
1 1i ii
k iw
k k kkk k ia z t a z t
n ds s n dsV V
τ τ τ⋅ ⋅ + ∆∫∫ ∫∫ %
(A.1.21)
w wk k k wp p p∆ −%
(A.1.22)
( ),
1i ii
i
nd ndk kkk
a z t
M p n dsV
− ∆∫∫ %
(A.1.23)
( ),
1i i i
i
d dk kk k
a z t
M p I n dsV
τ − ∆ − ∆ ⋅ ∫∫ % %
(A.1.24)
( ),
1w ww
kw
ndk kk
a z t
M p n dsV
− ∆∫∫ %
(A.1.25)
( ),
1w ww
kw
dk kk
a z t
M n dsV
τ− ⋅∫∫
(A.1.26)
ik k kip p p∆ −
(A.1.27)
wk k kwp p p∆ −
(A.1.28)
La fuerza volumétrica interfacial, i
dkM , contiene la fuerza de arrastre y los
esfuerzos de corte interfacial.
� Ecuación tridimensional de conservación de energía
''
''' '' '''
''''' '''
1 1
1i ii i i i
i iw w
k kkkk k k k k k k k ki
nd dnd dk kk kk k k k k k k k k i kk k
dk
k kk k kk ik i
pe V e v p V q
t V t t V
V v g v q e M v q A M vV
pq A v s
βββ ρ β ρ β
β τ β ρ β
τρ
Γ
∂ ∂∂ + ∇ ⋅ = − + − ∇ ⋅ ∂ ∂ ∂
+ ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ + + Γ + ⋅ + + ⋅
∆+ + ⋅ ⋅ − Γ%
(A.1.29)
donde;
( )''k
k k ik
mn v v
ρ= ⋅ −
(A.1.30)
( ) ( )
'' ''
, ,
1 1i
i i
i i
kk k k ik k k k k k
ka z t a z t
pm e n p v ds m e p n v ds
V Vρ
− − + ⋅ = − + ⋅
∫∫ ∫∫ (A.1.31)
( )( ), ,
1 1i i
i i
kk i k ik k ki
a z t a z t
p n v ds p p n v dsV t V
β∂⋅ = + ∆ ⋅∂∫∫ ∫∫ %
(A.1.32)
126
( )( )( )
( )
( )
, , ,
,
1 1 1
1
i i i
i i i
i
i
dkk i k k k i kk k k ki
a z t a z t a z t
ndk ik
a z t
p n v ds p p n v ds p n v v dsV t V V
p n v dsV
β∂⋅ = + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ −∂
+ ∆ ⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
% %
% (A.1.33)
( )
( )
''
,
''
,
i
i
i
k k
a z t
k
k
a z t
m e ds
em ds
=∫∫
∫∫ (A.1.34)
( ),
1i i i
i
nd nd ndk k k ik
a z t
M v p n v dsV
⋅ − ∆ ⋅∫∫ %
(A.1.35)
( )
'' ''' '' ''
,
1/
i i
i
kk i k i k
a z t
q A q a V n q dsV
− ⋅∫∫
(A.1.36)
( ),
1i i ii i
i
d d dk k k kk k
a z t
M v n p I v dsV
τ ⋅ − ⋅ ∆ − ∆ ⋅ ∫∫ % %
(A.1.37)
( )
'' ''' '' ''
,
1/
ww w w w
kw
kk k k k k
a z t
q A q a V n q dsV
− ⋅∫∫
(A.1.38)
( )
'''
,
1i i
i
k k k kk ki ia z t
v s n v dsV
τ τΓ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫
(A.1.39)
( )
''
,
1i
i
ddk k
k kk ka z ti
p mp ds
Vρ ρ ∆Γ − ∆
∫∫%
%
(A.1.40) Para obtener un sistema de ecuaciones manejable se debe promediar cada una
de las ecuaciones en el tiempo. Es decir, si se considera la velocidad de la fase k ,
kv , esta estará constituida por un componente principal y componente con
variación en el tiempo ( )k k kv v vδ= + . Se usa un promediado simple en el tiempo,
el cual se define como;
'1 t
kk
t T
f f dtT −∫
(A.1.41) donde, T es el intervalo en tiempo sobre el cual se realiza el promediado.
Aplicando la ecuación (A.1.41) a las ecuaciones instantáneas de conservación
promediadas en espacio, se obtiene;
� Ecuación tridimensional de conservación de masa promediada en espacio y
tiempo
127
1kk k k k kV v
t Vβ ρ β ρ∂ + ∇ ⋅ = Γ ∂ (A.1.42)
� Ecuación tridimensional de conservación de cantidad de movimiento
promediada en espacio y tiempo
( ) ''' '''
'''
1
1
i wi w
i i w wi i
k k kk k k k k k k k k k
nd d nd dk k k kk kk k k kk kk i
e V e v p I p s p st V
V g v M M M M sV
β ρ β ρ β
β τ β ρ τΓ
∂ + ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ − ∆ − ∆ ∂
+ ∇ ⋅ + + Γ + + + + + ⋅
(A.1.43)
� Ecuación tridimensional de conservación de energía promediada en
espacio y tiempo
'' '''
''''' ''' '' '''
1
1 1
i ii i i ii i w w
k kkkk k k k k k k i
k kk k k k k kkk k
dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk i
k i
pe V e v p
t V t t
V q V v g v qV V
pe M v q A M v q A v s
βββ ρ β ρ
β β τ β ρ β
τρ
Γ
∂ ∂∂ + ∇ ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ +
∆+Γ + ⋅ + + + + ⋅ ⋅ − Γ%
(A.1.44)
� Condiciones de salto de la interfase
De las ecuaciones (A.1.7) y (A.1.8), se tiene que la condición de salto para la
interfase se puede expresar de forma generalizada mediante;
( ) ( )2 2
''
1 1k i k kk kk k k k
k k
v v J n m J nρ ψ ψ∧
= =
− + ⋅ = Φ = + ⋅ ∑ ∑ (A.1.45)
Aplicando el promediado en espacio y tiempo a la ecuación (A.1.45), se tiene que
la condición de salto se puede expresar como;
( ) ( ) ( )
2''
1 , , ,
1 1 1
i i i
k kk k kk a z t a z t a z t
m ds J n ds n dsV V V
ψ∧
=
⋅ + ⋅ ⋅ = Φ
∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫
(A.1.46)
En la Tabla A.2 se muestran los términos fuente de conservación;
128
Tabla A.2 Términos fuente de conservación
Principio de conservación
Densidad de la fuente interfacial
( ),
1
ia z t
dsV
∧Φ∫∫
Masa 0
Movimiento iM σ−
Energía ( )'''
ii RE qσ− +
Aplicando los términos de conservación de la Tabla A.1 y la Tabla A.2 a la
ecuación (A.1.46), se obtienen las condiciones de salto interfacial;
� Condición de salto de masa
( )
2''
1 ,
10
i
kk a z t
m dsV=
=
∑ ∫∫
(A.1.47)
Aplicando la ecuación (A.1.15), se obtiene que; 2
1
0kk =
Γ =∑ (A.1.48)
La ecuación (A.1.48) muestra que si se presenta evaporación, la masa de vapor
generado por unidad de volumen es igual a la masa perdida por la fase líquida.
� Condición de salto de cantidad de movimiento
( )( )
( )
2''
1 , ,
1 1i i
i i
k kk k ikk a z t a z t
m v ds p I n ds MV V
στ=
⋅ + ⋅ = −
∑ ∫∫ ∫∫
(A.1.49)
Utilizando la ecuación (A.1.15) y las ecuaciones (A.1.17)-(A.1.28) en la ecuación
(A.1.49) se obtiene; 2
''' '''
1i ii i i
nd dk kk k kk k ii k i
k
v p s M M s M στΓ
=
Γ − + + + ⋅ = ∑
(A.1.50) Ahora, sustituyendo la condición de la ecuación (A.1.48) en la ecuación (A.1.50)
se obtiene;
( ) ( ) ''' '''2 1 2 12 1 2 22 2 1 2
'''11
i i i ii i i i
i
nd nd d d
i i i
ii
v v p p s M M M M s
s M σ
τ
τ
Γ ΓΓ − − − + + + + + ⋅
− ⋅ = (A.1.51)
129
� Condición de salto de energía
( ) ( )
2'' '''
1 , ,
1 1i ii
i i
kk k kk k k i Rkk
k ka z t a z t
pm e ds n q p v v ds E q
V Vστ
ρ=
⋅ − + ⋅ + − ⋅ = + ∑ ∫∫ ∫∫
(A.1.52)
Aplicando las ecuaciones (A.1.31), (A.1.32) y (A.1.33) a la ecuación (A.1.52), se
obtiene;
2''''' ''' '''
1i ii i i ii i
nd nd d dkk kk k k kk k k i k i Ri i k i
k
e q A p M v M v v s E qt
τ σβ τ=
∂ Γ − − + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∂ ∑
(A.1.53)
Utilizando la ecuación (A.1.48) y asumiendo que ''' '''1 2i i
S S= − y 2 1
t t
β β∂ ∂= −∂ ∂
se
obtiene;
( ) ( )'' ''' '' ''' 22 12 12 2 1 2 1 2 1
''' ''' '''2 12 1 2 2 1 12 1
i ii ii i i i
i ii i i i i i i
nd nd nd ndi ii i
d d d di Ri i
e e q A q A p p M v M vt
M v M v v s v s E qτ τ σ
β
τ τ
∂Γ − − − − − + ⋅ + ⋅ +∂
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + (A.1.54)
Para aplicar las ecuaciones de conservación, se debe tener las variables
independientes en términos de promedio del volumen de control, V , y no en
términos de promedio de cada fase, aplicando la metodología propuesta por Lahey
& Drew (1989), se obtiene que las ecuaciones de conservación para cada fase se
pueden expresar como:
� Ecuación de conservación de masa
[ ] [ ]1kk k k k kV v
t Vα ρ α ρ∂ + ∇ ⋅ = Γ
∂ (A.1.55)
� Ecuación tridimensional de conservación de cantidad de movimiento
[ ] ( )
( )
''' ''' '''
Re
1
1
i w ii w i
i i w wi
k k k k k kk k k k k k k k kk
nd d nd dk k k kkk k k kk k k
v V C v v p I p s p s st V
V g v M M M MV
α ρ α ρ α τ
α τ τ α ρ Γ
∂ + ∇ ⋅ : = − ∇ ⋅ − ∆ − ∆ + ∂
+ ∇ ⋅ + + + Γ + + + +
(A.1.56)
130
� Ecuación tridimensional de conservación de energía
( ) ( ) [ ]
( ) ( )'' '' Re '''
''''' ''' '' '''
1
1 1
i
i ii i i ii i w wi
k kT T kkk k k k k k k k kk
Tk kk k k k kk kk k k k
dnd nd d d kk kk k k kk k k i k k kk
k i
pe e V K e e v p
t V t t
V q q V v g v qV V
pe M v q A M v v s q A
ααα ρ α ρ
α α τ τ α ρ α
τρ
Γ
∂∂∂ + + ∇ ⋅ ⋅ + = − + ∂ ∂ ∂
− ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ + ⋅ + ⋅ + +
∆Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − Γ%
(A.1.57)
En términos de esas variables, las condiciones de salto se expresan como;
� Condición de salto de masa
1 2 0Γ + Γ = (A.1.58)
� Condición de salto de cantidad de movimiento;
( ) ( ) ''' ''' '''2 2 12 1 2 2 22 2 1 1 2i i ii i i i ii i i i
nd d div v p p s M M M s s M στ τΓ ΓΓ − − − + + + − ⋅ + ⋅ =
(A.1.59)
� Condición de salto de energía;
(A.1.60)
Ecuaciones de conservación unidimensionales A.2
Las ecuaciones de conservación expresadas de forma unidimensional son un caso
particular de las ecuaciones deducidas anteriormente, y pueden ser expresadas
en forma unidimensional sustituyendo la divergencia, ∇ , por ( )znz
∂∂
.
� Ecuación de conservación de masa unidimensional
[ ] [ ]1kk k z s k k k
z s
A wt A z
α ρ α ρ−−
∂ ∂+ ⋅ = Γ∂ ∂ (A.2.1)
( ) ( )'' ''' '' ''' 22 1 22 1 22 2 1 2 1 2 1
''' ''' '''1 1 1 2 2 21 2
i i ii i ii i i i i i
i i i i i i ii i
nd nd nd nd d di i
d di R
e e q A q A p p M v M v M vt
M v v s v s E qσ
α
τ τΓ Γ
∂Γ − − − − − + ⋅ + ⋅ + ⋅∂
+ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +
131
Donde la velocidad axial se define como;
k zkw v n⋅
(A.2.2)
� Ecuación de conservación de cantidad de movimiento unidimensional
[ ] [ ]
( )
2 ''' '''
''' Re
1
1sin
k i wi w
ii ii k k
i w w
kk k z k zk k z s k k k k k k
z s
ndkk k z zz s k k k kk zz zz k
z s
d nd dk k kz z z
pw A C w p s n p s n
t A z z
s A g v n M nA z
M n M n M n
α ρ α ρ α
τ α τ τ α ρ π θ
−−
Γ−
−
∂∂ ∂ + : = − − ∆ ⋅ − ∆ ⋅ ∂ ∂ ∂∂ + + + − + Γ ⋅ + ⋅ ∂
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ (A.2.3)
donde;
sinzk kg n g θ⋅ = −
(A.2.4) Siendo el angulo entre la dirección del flujo, zn , y la horizontal.
� Ecuación de conservación de energía unidimensional
( ) ( ) [ ]
( ) ( )'' '' Re
''' '' '''
1
1 1
i
i ii i ii i i
k kT T kkk k k k z s k k k k k k
z s
Tz z k kz s k z s k k kk kk k k
z s z s
nd nd d dk kk k k kk k k k i kk
pe e A K e e w p
t A z t t
A q q n A n v g vA z A z
q e M v q A M v v s
ααα ρ α ρ
α α τ τ α ρ
α τ
−−
− −− −
Γ
∂∂∂ ∂ + + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂
+ + Γ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ''' '' '''
i w w
dk
k k kk i
pq A
ρ∆+ − Γ%
(A.2.5)
132
B. Apéndice B
Temperatura
( K )
Conductividad térmica
( W
mK)
3 13.7 273 14.7 300 15.2 350 16.2 400 17.0 450 17.7 500 18.4 600 19.8 700 21.2 800 22.5 900 23.9 1000 25.3 1100 26.7 1200 28.1 1300 29.5 1400 30.9 3400 30.9
Temperatura
( K )
Capacidad calorífica
(3
j
m K)
3 2010000 366 3010000 422 3040000 478 3040000 533 3070000 589 3100000 644 3140000 700 3180000 755 3220000 811 3270000 866 3380000 922 3470000 978 3540000 1033 3640000 1089 3710000 1144 3770000 1200 3810000 1255 3850000 3311 3880000
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