Idiomas
Páginas
Jurídico
CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DE ENSENADA
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
SÍNTESIS DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN EN AGRUPAMIENTOS DE ANTENAS
VÍA OPTIMIZACIÓN CONVEXA
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
RICHARD TORREALBA MELÉNDEZ
Ensenada, Baja California, México, Junio del 2007.
RESUMEN de la tesis de Richard Torrealba Meléndez, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES. Ensenada, Baja California. Julio de 2007.
SÍNTESIS DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN EN AGRUPAMIENTOS DE ANTENAS VÍA OPTIMIZACIÓN CONVEXA
Resumen aprobado por: ________________________________ Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Director de Tesis
El agrupamiento de antenas provee una forma eficiente para la detección y procesado de señales de usuarios móviles, que provienen de diferentes direcciones dentro de un entorno celular. En un agrupamiento de antena el diagrama de radiación puede ser modificado mediante distribuciones en amplitud y fase llamada pesos del agrupamiento. El problema en la síntesis del diagrama de radiación, consiste en encontrar una serie de pesos, tales que satisfagan un conjunto de especificaciones en el diagrama de radiación: dirigibilidad, directividad, ancho de haz, nivel de lóbulos laterales, etc. Para realizar este procedimiento de síntesis existen varias técnicas analíticas, tales como las de Schelkunoff, Dolph, Bucci. Existen técnicas más recientes como son la aplicación de algoritmos genéticos y evolución diferencial, pero lamentablemente no todas ofrecen una optimalidad absoluta y un tiempo de cómputo pequeño, por esta razón, la síntesis del diagrama de radiación sigue siendo un problema abierto y actual. Recientemente se han aplicado técnicas de síntesis basadas en métodos convexos. En esta tesis, se enfatiza la importancia de la síntesis del diagrama de radiación mediante optimización convexa, debido a que la optimización convexa proporciona un tiempo de cómputo pequeño y que éste se incrementa linealmente respecto al tamaño del problema, además de que un mínimo local puede ser considerado como un mínimo global. Se realiza el estudio de la síntesis del diagrama de radiación en agrupamientos lineales uniformes de antenas empleando optimización convexa, donde se expresa la síntesis del diagrama de radiación, particularmente la minimización de los lóbulos laterales, como un problema de optimización convexa, para así resolver éste mediante los métodos de punto interior. Además, se efectúa un análisis de la robustez de la optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación, con el fin de conocer los límites de la robustez y definir las cotas donde funciona adecuadamente la optimización convexa. A partir de los resultados obtenidos se establecen las ventajas de la optimización convexa sobre las técnicas de síntesis del diagrama de radiación ya existentes. Palabras Clave: Agrupamiento de antenas, métodos de punto interior optimización convexa, síntesis del diagrama de radiación
ABSTRACT of the thesis presented by Richard Torrealba Meléndez as a partial requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree in ELECTRONICS AND TELECOMMUNICATIONS. Ensenada, Baja California, Mexico. June 2007.
RADIATION PATTERN SYNTHESIS OF ARRAY ANTENAS USING CONVEX OPTIMIZATION
The definition of an antenna array seems like a set of antennas distributed uniformly. Antenna array provides an efficient means to detect and process signals arriving from different sources. The beam pattern of antenna array can be modified with an amplitude and phase distribution called the weights of the array. The antenna array beam pattern synthesis problem consists of finding weights that satisfy a set of specifications on the beam pattern. The synthesis problem has been studied quite a lot. From the first analytical approaches by Schelkunoff or Dolph to the more general numerical approaches such as mentioned in the paper by Bucci, it would be impossible to make an exhaustive list. There are methods recent as the application of genetic algorithms and evolution differential; there is no guarantee that we can reach the absolute optimum and small computation time. This work emphasizes the importance of convex optimization in antenna array design, because convex optimization provides a small computation time and grows gracefully with problem size. The radiation pattern synthesis is proposed for linear arrays antennas using convex optimization, where the synthesis of the radiation pattern is expressed, particularly the side lobe reduction, like a problem of convex optimization, which is easily solved with IPM’s. In addition, an analysis of the robustness of the convex optimization applied at synthesis of the radiation pattern is presented, with the purpose to know the limits of robustness and to define the levels where the convex optimization works suitably. From the obtained results, the advantages of the convex optimization will be defined between the existing methods of radiation pattern synthesis. Keywords: Antenna arrays, convex optimization, IPM´s, radiation pattern synthesis, Smart antennas.
Dedicatorias A mis padres, Delfino Torrealba Aguilar y Lidia Meléndez Balbuena, por que gracias a su apoyo, amor y cariño, logre cumplir una más de mis metas, los quiero mucho. A mi hermana Gloria Yadira Torrealba Meléndez, por su apoyo incondicional y que siempre me motiva a seguir adelante, te quiero mucho.
A Edna Iliana Tamariz Flores, por compartir su vida conmigo, por el amor que me ha dado, por ser mi novia, amiga, compañera y que juntos logremos muchos éxitos. Te amo Edna.
Agradecimientos. Gracias a Dios y a la Virgen María, por darme paciencia, conocimiento y lucidez para llevar acabo esta etapa de mi vida. A mi familia, abuelitos, tíos y primos porque siempre conté con su apoyo y cariño para culminar la maestría tan lejos de ustedes. Al Dr. David Covarrubias por todo su apoyo, amistad, consejos y comprensión. Y gracias a su excelente dirección, se logró culminar este trabajo de tesis. Muchas gracias Doctor porque de usted aprendí mucho. A los miembros de mi comité de tesis, Dr. José Luis Medina Monroy, Dr. Roberto Conte Galván y al Dr. Hugo Homero Hidalgo Silva, por sus valiosas aportaciones y consejos durante este trabajo de tesis. Al Dr. Arturo Velázquez por todo su apoyo que me proporcionó en mi estancia en el CICESE. A Jorge Sánchez por ser mi amigo y compañero de trabajo, por los buenos momentos que compartimos juntos en el estudio y futbol. Al Grupo de Comunicaciones Inalámbricas (GCI) por todo el apoyo que recibí de éste, un placer pertenecer al grupo. A mis amigos del Grupo de Comunicaciones Inalámbricas (GCI): Edna, Jorge, Rubén y Lennin, también Iván porque para mí fue como parte del grupo. Gracias por su amistad y espero que nunca termine y mis mejores deseos para ustedes. A mis amigos y compañeros de generación, además de los amigos que conocí aquí en CICESE: Aldo, Varun, José Luís, Dania, Andalón, Javier, Kobe, Mario, Alberto, Jonathan, Daniel, Sergio, Marco, Sarai, Andrés y Paul. A todo el personal del CICESE que siempre me atendió con una sonrisa y lograr hacer mi estancia más fácil. Al CONACYT, por la beca recibida a lo largo de mis estudios de maestría. Se agradece al CONACYT por el apoyo otorgado a los proyectos: “Investigación y Desarrollo de nuevos Sistemas de Antena Utilizando Técnicas de Optimización Evolutiva" y “Optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación de agrupamientos de antenas en comunicaciones móviles celulares”, con claves J50839’Y - 52374 respectivamente, sobre los cuales se enmarcó esta tesis.
CONTENIDO
Página Lista de Figuras………………………………………………………………… iii Lista de Tablas…………………………………………………………………. vi Capítulo I. INTRODUCCIÓN........................................................................... 1 I.1. Antenas inteligentes para sistemas de comunicaciones móviles............... 1 I.2. Formulación del problema........................................................................ 4 I.3. Objetivo de la Tesis…..........................................................................….. 6 I.4. Metodología de la investigación...........................................................…. 6 I.5. Organización de la tesis............................................................................. 6 Capítulo II. Síntesis del diagrama de radiación….......................................…. 10 II.1. Introducción.............................................................................................. 10 II.2. Factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas.............. 11 II.3. Parámetros de un diagrama de radiación................................................ 16 II.4. Síntesis del diagrama de radiación.......................................................... 19 II.5. Especificaciones para la síntesis.............................................................. 21 II.6. Conclusiones............................................................................................. 23 Capítulo III. Optimización convexa................................................................. 25 III.1. Introducción.........................................................................................… 25 III.2. Conjuntos Convexos............................................................................… 26 III.3. Funciones convexas…………...............................................................… 27 III.3.1. Condiciones de primer orden.....................................................….. 28 III.3.2. Condiciones de segundo orden........................................................ 30 III.3.3. Ejemplos de funciones convexas...............................................….. 30 III.4. Problemas de optimización convexa...................................................….. 30 III.5. Dualidad……………..............................................................................… 33 III.5.1. El Lagrangiano……….................................................................… 33 III.5.2. La función dual de Lagrange........................................................... 34 III.5.3. Problema dual de Lagrange............................................................. 35 III.5.4. Dualidad débil…………..........................................................….. 36 III.5.5. Dualidad fuerte y condición de Slater.....................................….. 36 III.5.6. Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn Tucker (KKT)......... 37 III.6. Métodos de punto interior........................................................................ 38 III.6.1. Método de la barrera logarítmica................................................…. 39 III.6.2. Método de punto interior Primario-Dual....................................….. 42 III.7. Conclusiones.........................................................................................… 46
ii
CONTENIDO (continuación)
Página Capítulo IV. Síntesis del diagrama de radiación planteado como un problema de optimización convexa. 47 IV.1. Introducción…….................................................................................. 47 IV.2. Síntesis del diagrama de radiación como un problema convexo......... 48 IV.3. Simulaciones de la minimización del nivel de los lóbulos laterales.... 54 IV.4. Minimización del nivel de los lóbulos laterales en agrupamientos
lineales no uniformes empleando optimización convexa...................... 67 IV.5. Conclusiones.......................................................................................... 71 Capítulo V. Análisis de la síntesis del diagrama de radiación empleando optimización convexa....................................................................................... 73 V.1. Introducción…….................................................................................... 73 V.2. Síntesis del diagrama de radiación con restricciones de Robustez…… 74 V.3.Simulaciones de la síntesis del diagrama de radiación con
restricciones de robustez empleando optimización convexa…………… 80 V.3.1 Síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez. 81 V.3.2 Disminuir el nivel de los lóbulos laterales en diferentes zonas de
interferentes……………………………………………………… 82 V.3.3 Simulación desplazando las zonas de interferentes…………… 84 V.3.4 Incremento en el ancho de las zonas de interferentes…………… 87 V.4 Tiempo de Computo………………………………………………………….. 89 V.6. Conclusiones…………………………………………………………………. 91 Capítulo VI. Conclusiones y Trabajo Futuro…………………………..... 93 VI.1. Sobre la optimización convexa............................................................... 93 VI.2 En cuanto a la síntesis de diagrama de radiación empleando
optimización convexa…………………………………………………………. 95 VI.3 En cuanto al análisis de la robustez de la optimización convexa
aplicada a la síntesis del diagrama de radiación…………………………. 97 VI.4 Publicaciones resultado del trabajo de investigación………………… 99 VI.5 Trabajos Futuros…………………………………………………………… 99 Referencias…………………………………………………………………… 101 Apéndice A. Síntesis de Taylor……………………………………………… 105
iii
LISTA DE FIGURAS
Figura
Página
1 Arquitectura de un sistema de antenas inteligentes……………….. 3
2 Metodología y desarrollo de la tesis………………………………. 7
3 Agrupamiento de antenas lineal uniforme, en el cual inciden señales con un ángulo de incidencia θ............................................. 12
4 Representación polar del diagrama de radiación, para un
agrupamiento lineal de 8 elementos con una separación entre elementos d=λ/2…………………………………………………... 14
5 Diagramas de radiación para un agrupamiento de 8 elementos
separados a una distancia d=λ/2, a) se muestra el diagrama de radiación en el modo transversal y en b) el diagrama dirigido a 45°…………………………............................................................ 16
6 Diagrama de radiación en forma bidimensional donde se señalan
los lóbulos laterales y el lóbulo principal…………………………. 18
7 Representación geométrica de la propiedad de convexidad en dos conjuntos diferentes, definidos en un espacio bidimensional.…… 27
8 Representación geométrica de la definición de una función
convexa……………………………………………………………. 28
9 Representación grafica de la condición de primer orden para las funciones convexa………………………………………………… 29
10 a) Diagrama de radiación en modo transversal y diagrama dirigido
a 45°. b) Diagrama de radiación dirigido a 65° y diagrama en modo transversal………………………………………………….. 56
11 a) Diagrama de radiación de un agrupamiento de 10 elementos de
antena sin sintetizar y sintetizado por Taylor en modo transversal. b) Diagrama de radiación dirigido a 65° sin sintetizar y sintetizado por Taylor …………………………………………. 58
iv
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
12 a) Diagrama de radiación de un agrupamiento de 10 elementos de antena sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa en modo transversal. b) Diagrama dirigido a 65° sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa…………………………... 59
13 Diagramas de radiación de agrupamientos de 10 elementos de
antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa. b) Diagramas de radiación de agrupamientos de 30 elementos de antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa. ………………………………………….. 62
14 Comportamiento del SLL respecto a HPBW. Para un
agrupamiento de 10 elementos y para un agrupamiento de 30 elementos de antena……………………………………………... 64
15 Comportamiento del SLL respecto a la dirigibilidad a un usuario
de interés. Para un agrupamiento de 10 elementos de antena y para un agrupamiento de 30 elementos de antena…………………................................................................. 65
16 Nivel de SLL que se tiene antes y después de aplicar la síntesis
empleando optimización convexa para agrupamientos no uniformes………………………………………………………... 68
17 a) SLL respecto a la dirigibilidad del haz principal. b) SLL
respecto a HPBW………………………………………………... 70
18 Diagrama optimizado para reducir el nivel de lóbulos laterales en -40dB, para dos zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. Las zonas angulares están ubicadas de 62° a 82° y en 98° a 118°………………………….. 82
v
LISTA DE FIGURAS (continuación) 19 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales
en -40dB, en diferentes zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. a) Para una zona angular, b) dos zonas de interferentes, c) tres zonas de interferentes y d) cuatro zonas de interferentes…………………. 83
20 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales
en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. a) Zonas separadas 4° del haz principal, b) Zonas separadas 5.5°, c) Zonas separadas 10.5° y d) SLL respecto a la distancia de la zonas angulares al haz principal….. 86
21 Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales
en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes con un ancho variable. a) Zona con un ancho de 20°, b) Zonas con un ancho de 25°, c) Zonas con un ancho de 40°. En d) SLL respecto al ancho de las zonas angulares al haz principal……… 88
22 Tiempo de cómputo empleado para solucionar dos problemas de
síntesis del diagrama de radiación………………………………. 90
vi
LISTA DE TABLAS
Tabla Página I Resultados de HPBW y SLL al aplicar la síntesis de Taylor y la
síntesis empleando optimización convexa…………………..
61 II Valores de HPBW para los agrupamientos no uniformes……… 68 III Resultados del SLL al tener varias zonas de interferentes donde
se reduce el nivel a -40dB……………………………………….
84 IV Valores de SLL para diferentes distancias de las zonas angulares
respecto al haz principal…………………………………………
85 V Tabla VI. Valores del parámetro B para diferentes niveles de
SLL………………………………………………………………
107
Capítulo I
Introducción
I.1 Antenas inteligentes para sistemas de comunicaciones móviles.
En los últimos años, los sistemas de comunicaciones móviles celulares han
evolucionado a nuevas generaciones, como son: tercera y cuarta generación (3G y 4G), con
el fin de ofrecer más y mejores servicios a los usuarios. Para lograr esto, es necesario
aprovechar al máximo el ancho de banda que se tiene en estos sistemas, así como también,
eliminar algunos fenómenos que se presentan, como las multitrayectorias presentes en el
canal radio, la interferencia co-canal y la dispersión local. Con el fin de optimizar estos
sistemas, se han aplicado diferentes técnicas, entre las que se pueden mencionar; técnicas
de acceso al medio y la aplicación de sistemas de antenas inteligentes. La primera vertiente
ha sido ampliamente desarrollada, pero en la actualidad los sistemas de antenas inteligentes
2
tienen ya un gran auge, ya que empleando estos sistemas se pueden lograr los
requerimientos en capacidad y calidad de servicio, necesarias en los sistemas de los
sistemas de comunicaciones móviles [Rappaport 1999].
El principio de los sistemas de antenas inteligentes es generar diagramas de
radiación adaptables a las condiciones cambiantes del canal radio [Godara 1997].
Un sistema de antenas inteligentes, está constituido por un agrupamiento de antenas y un
procesamiento ligado a éste, como se muestra en la Figura 1. Mediante ello es posible
identificar la ubicación en dirección de cada usuario y establecer un filtraje constante
espacial entre usuarios, esto al dirigir diagramas de radiación/recepción a cada uno de ellos
en la misma frecuencia y en la misma ranura de tiempo. Por lo tanto, un agrupamiento de
antenas se define como un grupo de antenas espacialmente distribuidas, donde la señal de
salida de dicho agrupamiento, se obtiene mediante una combinación apropiada de las
señales monitorizadas por cada uno de los elementos que conforman dicho agrupamiento.
En base a esta operación, es posible extraer la señal deseada entre todas las señales
recibidas, aún cuando éstas ocupen la misma banda de frecuencias. Las señales que llegan a
un agrupamiento de antenas difieren de sensor en sensor, debido a las diferentes distancias
que la señal debe de recorrer al propagarse.
El agrupamiento de antenas provee una forma eficiente para la detección y
procesado de señales de usuarios móviles, que provienen de diferentes direcciones dentro
de un entorno celular. En un agrupamiento de antenas, el diagrama de radiación puede ser
modificado mediante distribuciones en amplitud y fase, llamada pesos del agrupamiento.
Después de efectuar un primer procesamiento a las salidas de los elementos de antena del
3
agrupamiento, las señales son ponderadas y sumadas, para formar así el diagrama de haz
del agrupamiento.
Figura 1. Arquitectura de un sistema de antenas inteligentes
Los sistemas de antenas inteligentes pueden ofrecer las siguientes aplicaciones, para
mejorar las prestaciones del sistema de comunicaciones móviles celulares [Rappaport
1999]:
• Mejorar la calidad del enlace a través del control de multitrayectorias. Las
multitrayectorias en el canal radio, provocan desvanecimiento o dispersión
en el tiempo. Las antenas inteligentes ayudan a mitigar el impacto de las
multitrayectorias, o incluso, explotar la diversidad inherente en las
multitrayectorias.
• Mejorar la capacidad del sistema. Las antenas inteligentes permiten al
usuario y a la estación base operar en el mismo rango que un sistema de
comunicaciones móviles convencional pero a menor potencia.
4
• Acceso Múltiple por División de Espacio (SDMA). Esta aplicación permite
que múltiples usuarios operen en una misma célula ó en la misma trama de
tiempo o frecuencia, usando las antenas inteligentes para separar las señales.
Esta aplicación es eficiente en entornos de propagación con camino de
visibilidad directa1 (LOS), entre transmisor y receptor y dispersión pequeña,
como es el caso de las plataformas elevadas de comunicaciones, en mega
celdas de acceso inalámbrico (donde la estación base posee antenas elevadas
para obtener una propagación con camino de visibilidad directa a los
usuarios).
• Reducción de la interferencia co-canal. Esta es una aplicación muy
importante, debido a que permite suprimir la interferencia cuando la señal
deseada y las señales interferentes co-canal poseen direcciones espaciales
diferentes, ya que la reducción de la interferencia en el receptor del usuario
de interés, permite el reuso del espectro. En transmisión, la reducción de la
interferencia depende del conocimiento del canal, debido al usuario deseado
como a la interferencia co-canal, también deben diferenciarse en el
transmisor.
I.2 Formulación del problema.
En los sistemas de comunicaciones móviles celulares, que emplean un sistema de
antenas inteligentes, un problema abierto y actual es la síntesis del diagrama de radiación.
1 Camino de visibilidad directa.- En este documento se empleara esta traducción al termino line of sigth.
5
Se busca que el diagrama de radiación del agrupamiento de antenas, cumpla con ciertas
características, como son: alta directividad, un nivel de lóbulos laterales que esté por debajo
de -19 dB’s, (tal y como lo establece la normativa de las comunicaciones móviles
inalámbricas [Godara 2002]) y que el diagrama de radiación tenga directividad al usuario
de interés.
Para que el diagrama cumpla con las características ya mencionadas es necesario
aplicar técnicas de síntesis del diagrama de radiación. Existen varios métodos para obtener
la síntesis del diagrama de radiación: [Schelkunoff, 1943; Dolph, 1946; Bucci,1994], pero
desafortunadamente no todos pueden brindar una optimalidad absoluta2, ya que sólo
pueden resolver un problema en específico, y cuando manejan una gran cantidad de
variables, estas técnicas se vuelven más complejas.
Dentro del grupo de comunicaciones inalámbricas (GCI), se han estudiado las
técnicas convencionales, y se ha trabajado con técnicas que se encuentran en lo que es el
estado del arte de la síntesis del diagrama de radiación, como son algoritmos genéticos
[Panduro 2005] y evolución diferencial [Rocha 2006] los cuales ofrecen muy buenos
resultados, pero con un tiempo de computo muy elevado. En este trabajo de tesis, se
propone trabajar con nuevas técnicas que nos permitan alcanzar lo ya obtenido por las
técnicas anteriormente mencionadas, y mejorar los aspectos donde las técnicas anteriores
tienen deficiencias y de esta manera aportar al estado del arte de la síntesis del diagrama de
radiación. Por estas razones se plantea el siguiente objetivo.
2 De nuestra óptica definimos optimalidad absoluta, cuando al aplicar técnicas de optimización se logre que el diagrama de radiación presente: un ancho de haz lo más parecido posible al de la respuesta natural, que el nivel de lóbulos laterales este por debajo de -19dB, y que este uniformizado. Además de que el diagrama debe de contar con cierta dirigibilidad.
6
I.3 Objetivo de la tesis.
Modelado y simulación de la síntesis del diagrama de radiación de agrupamientos
de antenas, empleando algoritmos de optimización convexa, y encontrar la solución de
éstos numéricamente a partir de métodos denominados como IPM ( Interior – Point
Methods). El problema de síntesis abordado en esta tesis, considerará el empleo de
agrupamientos lineales y restricciones tales como: diagramas de radiación en campo
lejano, anchos de banda estrechos, así como restricciones de robustez.
I.4 Metodología de la investigación.
La metodología que se siguió en este trabajo de tesis se muestra en forma resumida
en la Figura 2, empleando para la generación de simulaciones y obtención de resultados, la
plataforma MATLAB.
I.5 Organización de la tesis.
Considerando la metodología presentada, este trabajo de tesis está organizado de la
siguiente manera: en el capítulo II, se introducen los conceptos básicos, necesarios para
comprender y aplicar la síntesis del diagrama de radiación. Además se presenta una
clasificación de técnicas de síntesis existentes, para conocer las limitaciones que presentan
7
estas técnicas. También se presentan una serie de restricciones que pueden establecerse en
la síntesis del diagrama de radiación.
Figura 2. Metodología y desarrollo de la tesis
El Capítulo III, presenta los conceptos teóricos asociados a la optimización convexa
como: conjuntos convexos, ya que estos son la base de la optimización convexa. Se
establecen asimismo, los requerimientos necesarios para un problema de optimización
Análisis de robustez de la
optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación
Modelado y simulación de la síntesis del diagrama de
radiación como un problema convexo
Estudio de la optimización convexa
Investigación de la síntesis del diagrama de radiación
de un agrupamiento de antenas
• Estudio del factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas
• Síntesis del diagrama de radiación • Restricciones para efectuar la síntesis
• Estudio de conjuntos y funciones convexas • Estudio de la forma de un problema de optimización
convexa. • Dualidad y métodos de punto interior • Restricciones para efectuar la síntesis
• Representar el factor de agrupamiento como una función convexa.
• Expresar el problema de minimización de los lóbulos laterales, como un problema de optimización convexa.
• Simulación de la síntesis del diagrama empleando optimización convexa.
• Análisis numérico de resultados y conclusiones
• Análisis de robustez de la optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación.
• Simulación de la síntesis del diagrama empleando optimización convexa con restricciones de robustez.
• Análisis numérico de los resultados y conclusiones.
8
convexa. Además en este capítulo, se presentará un parámetro muy importante, que es la
dualidad, la cual proporciona el criterio para detener los algoritmos que se emplean en la
optimización convexa. Finalmente, en este capítulo se presentan los algoritmos de punto
interior (IPM por sus siglas en inglés), con los cuales se solucionará el problema de la
síntesis del diagrama de radiación.
La piedra angular de este trabajo, presentada en el capítulo IV, muestra la
representación de la síntesis del diagrama de radiación como un problema de optimización
convexa. Haciendo énfasis en la reformulación del factor de agrupamiento como una serie
de funciones convexas, para posteriormente representar la síntesis del diagrama de
radiación como un problema de optimización convexa. Posteriormente, se presenta el
análisis de la estadísticas obtenidas, por medio de un proceso de simulación, considerando
los escenarios propuestos por Lebret [1995], donde se aplica la síntesis del diagrama de
radiación de un agrupamiento lineal uniforme empleando optimización convexa, para
minimizar el nivel de los lóbulos laterales. Para concluir este capítulo, se presentan como
una aportación las simulaciones de la síntesis del diagrama de radiación aplicada a
agrupamientos lineales no uniformes.
En el capítulo V, se realiza el análisis de robustez de la optimización convexa
aplicada a la síntesis del diagrama de radiación. En este caso, se establece el modelado
matemático para representar la síntesis del diagrama de radiación con restricciones de
robustez, como un problema de optimización convexa. Posteriormente, se efectúa la
simulación, y a través de éstas se generarán nuevas estadísticas que serán una aportación al
estado del arte. También en este capítulo se realiza un análisis del tiempo de cómputo
requerido por los métodos de punto interior, para obtener la solución al problema de la
9
síntesis del diagrama de radiación mediante la optimización convexa. El análisis de
robustez aquí realizado constituye una de las aportaciones más importantes de esta tesis, ya
que después de realizar una intensa búsqueda bibliográfica, el único trabajo reportado de
optimización convexa en comunicaciones móviles celulares es el de Lebret [1995].
Finalmente, en el Capítulo VI se presentan las conclusiones generales, aportaciones y
trabajos futuros para asegurar el cumplimiento de los objetivos del trabajo de tesis.
Capítulo II
Síntesis del diagrama de radiación
II.1 Introducción
En las comunicaciones móviles celulares, cuando se emplea un solo elemento de
antena se tienen diagramas de radiación con anchos de haz grandes, y por consecuencia
valores de directividad reducidos. En los sistemas de comunicaciones móviles celulares se
requiere de una alta directividad y entonces un solo elemento de antena no es suficiente.
Este problema puede solucionarse con ayuda de una agrupación de antenas, alimentadas
con amplitudes y fases tales que la interferencia de los campos radiados por todas las
antenas proporcione el diagrama deseado. Cuando se trabaja con agrupamientos de
antenas, se tiene la capacidad de modificar el diagrama de radiación para que cumpla con
ciertas características. A esto se le conoce como la síntesis del diagrama de radiación
[Cardama, 2002].
Con respecto al objetivo general de esta tesis, la meta de este capítulo es presentar
las bases del funcionamiento de un agrupamiento de antenas y los parámetros más
importantes de un diagrama de radiación para medir sus prestaciones, así como también
11
determinar la síntesis del diagrama de radiación. Dentro de la primera sección se mostrará
el funcionamiento de un agrupamiento de antenas y se presentará el diagrama de radiación
del agrupamiento. En la sección II.3 se presentan los parámetros más importantes que se
deben tener en cuenta en el diagrama de radiación, y en la sección II.4 se muestra lo que es
la síntesis del diagrama de radiación cuya optimización es el objetivo de este trabajo.
Además se presentan diferentes técnicas para lograr la síntesis del diagrama de radiación,
desde las técnicas convencionales hasta las técnicas que en la actualidad son el estado del
arte de la síntesis del diagrama de radiación. Finalmente en este capítulo se presentan una
serie de restricciones que se pueden establecer para sintetizar el diagrama de radiación.
II.2 Factor de agrupamiento de un agrupamiento lineal de antenas
En esta sección se describe la teoría necesaria para obtener la respuesta natural
(factor de agrupamiento) de un agrupamiento de antenas para así obtener su diagrama de
radiación. En el capítulo I se mostró que un agrupamiento de antenas consiste en un grupo
de antenas espacialmente distribuidas. Ahora considérese un agrupamiento lineal uniforme
(ALU) de antenas, el cual está compuesto de N elementos de antena espaciados de manera
uniforme a una distancia d, donde las señales inciden sobre el agrupamiento con un ángulo
θ, tal como se muestra en la Figura 3.
Se supone que el agrupamiento de antenas está localizado en campo lejano con
respecto a las fuentes. También se supone que las ondas planas se propagan en un medio
homogéneo y que el agrupamiento está compuesto por elementos omnidireccionales
12
idénticos libres de distorsión. Esto significa que, el único efecto de propagación de la
fuente al agrupamiento de antenas es solo el tiempo de retardo.
Figura 3. Agrupamiento de antenas lineal uniforme, en el cual inciden señales con un ángulo de incidencia θ
El sistema de coordenadas del agrupamiento de antenas se utiliza como referencia
para calcular los 3tiempos de arribo del frente de onda a los elementos del agrupamiento de
antenas, como se muestra en la Figura 3. La expresión para obtener los tiempos de arribo
está dada por [Godara, 2002]:
)cos()1()(lln n
c
d!!" #= (1)
donde c es la velocidad de la luz y θl es la posición de la señal de interés. Para el
agrupamiento lineal uniforme con una distancia d de separación de los elementos y
alineados con el eje x, el primer elemento está situado en el origen.
3 El tiempo de arribo se define como el tiempo de propagación de una onda plana que proviene de la l-ésima fuente y que incide en el n-ésimo elemento del agrupamiento con un ángulo de incidencia θ.
13
La señal inducida en el elemento de referencia debido a la l-ésima fuente se expresa de
forma común en notación compleja como:
tfjetmts ll
02)()(
!= (2)
donde ml (t) denota la función de modulación compleja y f0 denota la frecuencia de la
portadora.
El vector de dirección a(θl), es un vector complejo de dimensión N correspondiente a la
fuente sl, el cual contiene las contribuciones de los N elementos del agrupamiento de una
fuente de banda estrecha de potencia unitaria; y representa los desfasamientos en la señal
debido a la ubicación espacial de los elementos de antena respecto a la geometría del
agrupamiento. Para un agrupamiento con elementos iguales, dicho vector está dado por
[Rappaport, 1999]:
( ) [ ]Tee lljj
la
)(2)1(12,,
!"#!"#! L= (2)
La contribución de cada uno de los elementos del agrupamiento define la respuesta de
radiación del agrupamiento. Por lo tanto, la respuesta total del agrupamiento de antenas se
obtiene al considerar la suma fasorial de las contribuciones de señal de cada uno de los
elementos del agrupamiento:
!=
=N
i
ifjetsty
1
02)()(
"# (4)
14
Donde la expresión denotada por la sumatoria es el factor de agrupamiento y si se sustituye
la expresión del tiempo de arribo el factor de agrupamiento queda expresado como
[Balanis, 2005]
!=
"
=N
i
idj
eFA1
cos)1(2
)( #
$
%
# (5)
En la Figura 4 se muestra en forma gráfica la representación del agrupamiento de antenas
en forma polar donde los ejes concéntricos denotan la magnitud del factor de agrupamiento
y los ejes que parten del origen hacia los extremos denotan los grados del margen de
visibilidad del agrupamiento de antenas.
Figura 4. Representación polar del diagrama de radiación, para un agrupamiento lineal de 8 elementos con una separación entre elementos d=λ/2
15
Ahora bien, en un diagrama de radiación se busca que éste tenga dirigibilidad4 al usuario de
interés, siendo necesario incluir un vector de pesos al factor de agrupamiento mostrado
anteriormente en (5) para poder obtener la dirigibilidad deseada [Rappaport 1999].
Entonces se puede expresar el factor de agrupamiento de la siguiente manera
!=
=N
i
ijkxeF1
i
cos),A(
"##" (6)
donde !"2=k , es el número de onda y )d(i-xi 1= es la ubicación de cada elemento en el
agrupamiento de antenas y el vector de pesos está dado por
0cos1 !
" i
i
jkxe
N
#= (7)
donde θ0 es el ángulo al cual se va dirigir el haz principal.
En la Figura 5 se presenta el diagrama de radiación en modo transversal donde el haz
principal se dirige a 90° como se muestra en la Figura 5.a y que al aplicar el vector de
pesos de la ecuación (7) se desplaza el haz principal hacia el ángulo especificado que en
este caso es de 45° como se observa en la Figura 5.b.
4 Dirigibilidad.- Desplazar el haz principal hacia un usuario de interés dentro del margen de visibilidad (0≤θ≤π) del agrupamiento de antenas
16
Figura 5. Diagramas de radiación para un agrupamiento de 8 elementos separados a una distancia d=λ/2, a) se muestra el diagrama de radiación en el modo transversal. b) diagrama dirigido a 45°
El factor de agrupamiento expresado en la ecuación (6) será empleado para el modelado
matemático con el fin de lograr obtener la síntesis del diagrama de radiación como un
problema convexo que se verá en el capítulo IV.
II.3 Parámetros de un diagrama de radiación
Los parámetros más importantes que describen el diagrama de radiación son: el
ancho del haz principal, así como la directividad5 del diagrama de radiación, la ubicación
de los ceros del diagrama de radiación del agrupamiento y el nivel relativo de los lóbulos
laterales (SLL).
El SLL de una antena se define como la razón entre la intensidad de radiación del
mayor lóbulo lateral y la intensidad de radiación máxima [Godara, 2002] es decir:
5 Directividad.- se define como la máxima ganancia directiva de una antena, es decir, representa la ganancia directiva en la dirección de la máxima radiación
17
maxmax
)(
FA
FA
FA
FASLL SLLL olateraMayorlóbul
==!
(8)
Estos parámetros se deben de tener en cuenta para la síntesis del diagrama de
radiación pero, cuando el diagrama de radiación se presenta en forma bidimensional tal
como se muestra en la Figura 6, los parámetros de ancho de haz principal (HPBW6) y nivel
de lóbulo lateral son de vital importancia para caracterizar el diagrama de radiación.
El HPBW del lóbulo principal del diagrama de radiación de una antena mide el
intervalo de ángulos alrededor de la máxima intensidad de radiación, en el cual la
intensidad normalizada de la radiación es mayor a un medio [Godara, 2002]. Definiendo
!der
HPBW y !
izq
HPBW, mostrados en la Figura 6, como los primeros ángulos medidos desde la
dirección de máxima radiación hacia la derecha e izquierda, de manera que:
max2
1)()( FAFAFA
izq
HPBW
der
HPBW== !! (9)
donde FAmax es el máximo del diagrama de radiación sobre los ángulos 0≤θ≤π. Entonces el
ancho de haz de media potencia se define como:
).()( !!izq
HPBW
der
HPBWFAFAHPBW += (10)
6 HPBW.- representa la separación angular entre los puntos de potencia media (-3 dB) en el lóbulo principal del diagrama de radiación.
18
Figura 6. Diagrama de radiación en forma bidimensional donde se señalan los lóbulos laterales y el lóbulo principal.
Así, el HPBW es una medida de la capacidad de la antena para concentrar la energía en un
cierto sector. En muchas aplicaciones se requieren haces de alta directividad, es decir, con
un HPBW pequeño, lo cual permite aumentar la ganancia de la antena en la dirección de
máxima radiación. Por su parte, el SLL es una medida del aislamiento del lóbulo principal
respecto de los lóbulos secundarios o laterales. Aplicaciones tales como las redes
inalámbricas de área local, requieren que los lóbulos laterales sean puestos por debajo de un
determinado nivel, para reducir eficientemente las señales interferentes que llegan a la
antena en direcciones distintas a las del lóbulo principal. En estas aplicaciones el lóbulo
principal está dirigido hacia el usuario de interés, y por lo tanto, las señales provenientes de
otros usuarios deben ser atenuadas lo suficiente para mantener un bajo nivel de
interferencia. Finalmente y antes de pasar a la síntesis del diagrama de radiación es
importante mencionar que existe una curva compromiso entre el HPBW y el nivel de los
19
lóbulos laterales, debido al principio de la conservación de la energía, porque cuando se
desean tener anchos de haz muy estrechos el nivel de los lóbulos laterales se incrementa.
Esto es porque la energía que se suprime al reducir el ancho de haz, no se pierde si no que
se distribuye en los lóbulos laterales y viceversa si se desea disminuir el nivel de los
lóbulos laterales se sufre un ensanchamiento en el haz principal.
II.4 Síntesis del diagrama de radiación
Lo que se busca en la síntesis del diagrama de radiación es modificarlo para que
cumpla con ciertas características (nivel de lóbulos laterales, directividad, ancho de haz,
dirigibilidad, etc.) como se establece en la normativa de las comunicaciones móviles
inalámbricas y así poder brindar un mejor servicio y hacer más eficiente el sistema.
El problema en la síntesis del diagrama de radiación consiste en encontrar una serie
de pesos, tales que satisfagan un conjunto de especificaciones en el diagrama de radiación.
En la actualidad hay una gran variedad de técnicas para sintetizar el diagrama de
radiación, que en función de ciertas especificaciones de partida pueden clasificarse en
varias categorías:
• Método de Schelkunoff: Parte de la especificación de la dirección de los
ceros en el plano Z o nulos en espacio real [Schelkunoff, 1943].
20
• Métodos de modelado de haz, en los que se especifica la forma del diagrama
en el espacio real. Suelen utilizarse la síntesis de Fourier y la síntesis de
Woodward [Balanis, 2005].
• Métodos para mantener el ancho de haz principal estrecho y bajos lóbulos
secundarios , suele especificarse el nivel de lóbulo principal al secundario y
el número de elementos de la agrupación. Dentro de estos métodos destacan
la Síntesis de Chebychev [Dolph, 1946] y la Síntesis de Taylor [Taylor,
1953].
• Agrupaciones superdirectivas: Existe una serie de métodos para sintetizar
agrupamientos con una directividad en teoría elevada como se desee, a costa
de enormes problemas en su elaboración práctica [Cardama, 2002].
• Agrupaciones adaptativas: La tecnología moderna de los desfasadores y
amplificadores variables controlados por el ordenador permite sintetizar en
tiempo real, con capacidad de adaptarse automáticamente al entorno
[Cardama, 2002].
Las técnicas anteriores solo ofrecen una solución parcial al problema de la síntesis del
diagrama de radiación.
En la actualidad se han desarrollado nuevas técnicas para sintetizar el diagrama,
como por ejemplo las técnicas de cómputo evolutivo como lo son los algoritmos genéticos
[Panduro 2005]. Estas técnicas realizan una búsqueda estocástica basada en conceptos
darwinianos para así sintetizar el diagrama de radiación. Por otro lado existen las técnicas
heurísticas, dentro de estas se puede mencionar la evolución diferencial [Rocha 2006] que
realiza una manipulación geométrica de las soluciones. Ambas técnicas mejoran el nivel de
21
los lóbulos laterales del diagrama obteniendo, nuevas separaciones entre elementos y
excitaciones de cada elemento. Estas técnicas tienen la desventaja de que su tiempo de
cómputo no cumple con una respuesta rápida y adecuada para en tiempo real. Por estas
razones se propone una nueva técnica de síntesis que permita igualar los resultados ya
obtenidos y mejorar los aspectos donde las otras técnicas presentan diferencias.
II.5 Especificaciones para la síntesis
Conviene definir dos tipos de especificaciones que vienen naturalmente con los
problemas de la optimización de la síntesis del diagrama de radiación. Aunque se habla de
restricciones se busca determinar un problema factible. El problema de factibilidad debe
permitir encontrar un conjunto de pesos que satisfagan las restricciones para decidir si
existen o no.
• Restricciones de normalización.- Estas consisten en dar un valor la de unidad en el
factor de radiación en la dirección (θ0) a nuestro usuario de interés.
1)( 0 =!FA (11)
• Restricciones de anulación de interferentes.- Se desea anular un interferente que está
en una dirección θi para eliminar la perturbación de una señal indeseable.
0)( =i
FA ! (12)
• Restricciones sobre la ganancia.- Se le llama ganancia al modulo del factor de
radiación. Se puede dar restricciones sobre la ganancia para valores superiores e
inferiores a cierto nivel para algunas direcciones θi
22
2,...,1)( =!! i uFAliii
" (13)
• Restricciones tipo potencia.- Todas las restricciones precedentes son restricciones
sobre el factor de agrupamiento por si mismo. Se pueden dar además restricciones
sobre los pesos. Las obligaciones de potencia son un ejemplo. Las condiciones de
potencia son de dos tipos. Por un lado se considera la potencia de señales que llegan
al agrupamiento de antenas, el otro tipo considera la potencia de ruido que pueden
agregar las señales perturbadoras y en general señales indeseables. Estas potencias
se presentan como funciones cuadráticas de pesos: P=ωTRω, donde P es la potencia
considerada, ω es el vector de pesos y R es una matriz definida positiva. La matriz
R puede representar por ejemplo una matriz de covarianza de las señales que llegan
al agrupamiento, R=[EssT] donde s es el vector de señales si llegando al
agrupamiento de antenas.
En el caso donde cada agrupamiento de la antena posea una densidad de ruido
interna σi, se pueden introducir más restricciones sobre la potencia de ruido bajo la
forma
! <=i
MiiRPP
2
"# (14)
donde PM representa un umbral para la potencia de ruido. En ese caso, R es una
matriz diagonal en el cual los elementos valen σi.
Estas restricciones afectan directamente a los pesos, razón por la cual las
restricciones precedentes no afectan indirectamente al factor de agrupamiento.
23
• Restricciones de Robustez.- Los problemas de robustez son particularmente
importantes, a continuación se presentan las siguientes restricciones.
o Robustez por correlación de los pesos: es posible que el resultado de la
síntesis del diagrama de radiación obtenido, sea muy sensible a pequeñas
variaciones de los pesos y se degrada rápidamente. Es posible que los pesos
obtenidos no correspondan a la ventana de discretización en amplitud y fase.
o Robustez en frecuencia y ángulo.- Se puede imaginar que una señal recibida
no cumpla con la frecuencia f y con el ángulo de llegada θ. Si estos valores
son ligeramente diferentes, es importante que la respuesta del sistema no se
vea afectada por estos efectos.
II.6 Conclusiones
En este capítulo se ha mostrado la teoría sobre los agrupamientos de antenas y se
presentó la respuesta natural de estos, en base al factor de agrupamiento para así poder
realizar una síntesis del diagrama de radiación. También se presentaron los parámetros más
importantes que se deben de tener en cuenta dentro de un diagrama de radiación como son
el ancho de haz de media potencia y el nivel de los lóbulos laterales.
Dentro de este capítulo se han presentado diversos métodos de síntesis y de estos se
puede concluir que ciertos métodos brindan únicamente una solución parcial al problema,
ya que solo pueden mejorar en un aspecto el diagrama de radiación. En técnicas más
24
complejas se obtienen mejores resultados pero su tiempo de cómputo es más grande con
respecto a que el canal radio cambia rápidamente. Lo descrito en este capítulo se aplicará
en la formulación del modelado matemático en los capítulos IV y V para así poder efectuar
la síntesis del diagrama de radicación empleando optimización convexa. Sin embargo
primero, es necesario estudiar los conceptos básicos para comprender la optimización
convexa y así poder aplicarla.
Capítulo III
Optimización convexa
III.1 Introducción
La optimización convexa se ha convertido en una herramienta de gran importancia
en la ingeniería, ya que permite solucionar grandes problemas, además de que esta
solución es viable y eficiente. En otras palabras, la optimización convexa ha llegado a ser
una proveedora de herramientas computacionales que permiten resolver una gran cantidad
de problemas. Se puede describir a la optimización convexa como la fusión de tres
disciplinas: optimización, análisis convexo y cómputo numérico. La optimización convexa
ha sido empleada en muchas áreas como son la ingeniería mecánica [Krisch, 1993], el
diseño de circuitos integrados [Sancheti 1994], los sistemas de control [Boyd, 1994] y en el
procesamiento digital de señales e imágenes [Byrne, 1993], pero no ha sido ampliamente
utilizada en sistemas de comunicaciones móviles celulares habilitados con antenas
26
inteligentes. Dentro del grupo de comunicaciones inalámbricas (GCI) del CICESE se ha
desarrollado un trabajo con optimización convexa aplicado a la conformación digital de
haz, donde se aplica el método de proyección paralela [Yepes, 2006].
El objetivo de este capítulo es presentar los fundamentos teóricos de la optimización
convexa, comenzando por la definición y características de un conjunto convexo, así como
también de las funciones convexas, problemas de optimización convexa, y los conceptos
que estos conllevan como la teoría de la dualidad, para así poder efectuar la síntesis del
diagrama de radiación empleando optimización convexa como se establece en el objetivo
de la tesis.
Finalmente se presentan los algoritmos que se emplean para resolver los problemas
de optimización convexa, que en esta tesis son los métodos denominados métodos de punto
interior (IPM, Interior-Point Methods).
III.2 Conjuntos Convexos
Los conceptos relacionados con los conjuntos convexos predominan de tal manera
en la teoría de optimización convexa, que resulta necesario conocer sus propiedades.
Definición.- Un conjunto C en En es convexo [Hindi, 2004] si para toda x1, x2 ∈ C y todo
número real α, 0 < α < 1, el punto α x1+(1 − α )x2 ∈ C.
La definición anterior puede representarse geométricamente de la siguiente manera:
un conjunto es convexo si, dados dos puntos de un conjunto, todo punto del segmento de
recta que une a estos dos puntos es también un miembro del conjunto. Esto se ilustra en la
Figura 7
27
Figura 7. Representación geométrica de la propiedad de convexidad en dos conjuntos diferentes, definidos en un espacio bidimensional.
Los conjuntos convexos de un espacio euclidiano En satisfacen las siguientes
relaciones:
1. Si C es un conjunto convexo y β es un número real, el conjunto βC={x: x= βc, c ∈
C}, es convexo.
2. Si C y D son convexos, el conjunto C+D= {x: x= c+d, c ∈ C, d∈ D}, es convexo
3. La intersección de cualquier serie de conjuntos convexos es convexa.
III.3 Funciones convexas
El concepto de funciones convexas es muy importante porque en base a estas se
podrá definir el factor de agrupamiento como una función convexa, como será analizado en
el capítulo 4.
Una función f: C→R es convexa si el dom f es un conjunto convexo y si x, y ∈ dom f, y λ
con 0≤ λ ≥1 se tiene la siguiente desigualdad [Vandenberghe, 2002]
28
xfxfxxf )()1()())1((2121
!!!! "+#"+ (15)
Figura 8. Representación geométrica la definición de una función convexa
Geométricamente la desigualdad (15) significa que el segmento de línea entre
(x1,f(x1)) y (x2,f(x2)), es la cuerda que está sobre la gráfica de f como se observa en la Figura
8. Para que esta función sea estrictamente convexa, la desigualdad (15) debe ser tomada en
modo estricto siempre que x1≠x2 y 0 < λ < 1.
Existen dos condiciones que permiten saber si una función es convexa o no. Estas
son las condiciones de primer y segundo orden [ Boyd y Vandenberghe, 2003].
III.3.1 Condiciones de primer orden
Suponiendo que f es diferenciable. Entonces f es convexa sí y solo sí el dom f es
convexo y si se cumple la siguiente desigualdad
29
)()()()( xyxfxfyf T!"+# (16)
para todo x, y ∈ dom f . Esta desigualdad se muestra gráficamente en la Figura 9,
Figura 9. Representación grafica de la condición de primer orden para las funciones convexas.
La función affin7 de y está dada por )()()( xyxfxf T!"+ , siendo la primera
aproximación de Taylor de f cerca de x. La desigualdad anterior significa que para una
función convexa la primera aproximación de Taylor es un substimador global. Por lo
contrario, si la primera aproximación de Taylor de una función es siempre un substimador
global de la función entonces la función es convexa.
7Función affin.- Una función afín es la que tiene por ecuación y = a · x + b. Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen. Su gráfica es una línea recta.
30
III.3.2 Condiciones de segundo orden
Se asume que f es dos veces diferenciable, esto es, su segunda derivada ∇2f para
existe cada punto del dom f. Entonces f es convexa sí y solo sí el dom f es convexo y su
segunda derivada es semidefinida positiva para todo x ∈ dom f, indicada por
02
=! ff (17)
Para una función en R, se reduce a la condición ∇2f ≥ 0.
III.3.3 Ejemplos de Funciones convexas
A continuación se presentan algunos ejemplos de funciones convexas, los cuales van a
ser empleados en la reformulación del factor de agrupamiento en el capítulo 4.
Funciones affin ATx+b donde A puede ser una matriz o un vector, x es un vector y b
un vector ó un escalar.
Funciones cuadráticas xTPx, donde P es una matriz simétrica definida positiva.
Valor absoluto |x|
La norma ||x||
El valor máximo de funciones convexas fi(x), max(fi(x)), i=1,…,n
III.4 Problemas de Optimización Convexa
Antes de introducir que es un problema de optimización convexa, es necesario
presentar la forma de un problema de optimización en general en su forma estándar como
se muestra en la ecuación (18), para así poder mencionar las características que debe
31
cumplir un problema de optimización convexa. Entonces considérese el siguiente problema
de optimización en su forma estándar
pixh
mixf
xf
i
i
,...,1 ,0)(
,...,1 ,0)( siguiente lo bajo
)( minimizar 0
==
=! (18)
donde, x es la variable de optimización; f0 es la función objetivo o costo; fi: Rn→ R, fi≤0
son las restricciones de desigualdad y hi=0 son las restricciones de igualdad.
Geométricamente este problema corresponde a la minimización de f0 sobre un conjunto
descrito por la intersección de los conjuntos de 0- sub-niveles de fi, donde i=1,…,m con las
superficies descritas por el conjunto de soluciones de hi.
El conjunto de puntos para el cual la función objetivo y restricciones están
definidas, se le llama el dominó del problema de optimización denotado por la ecuación
(18)
i
p
ii
m
i
hfD dom dom00 !=
"= II (19)
Donde un punto x es factible sí éste satisface las restricciones, entonces el valor
optimo p* del problema de la ecuación (18) está definido como
{ }pihmixfxfpii
,...,1 ,0,,...,1 ,0)(|)(inf0
* ===!= (20)
32
El problema definido en (18) está en la forma estándar de un problema de
optimización. A continuación se presentará la forma de un problema de optimización
convexa como
pibxA
mixf
xf
i
T
i
i
,...,1 ,
,...,1 ,0)( siguiente lo bajo
)( minimizar 0
==
=! (21)
donde f0,…,fm son funciones convexas. Comparando (21) con la forma estándar de un
problema de optimización general (18), el problema convexo tiene tres requerimientos
adicionales:
• La función objetivo debe ser convexa
• Las restricciones de desigualdad deben ser convexas
• Las restricciones de igualdad i
T
iibxAh != deben ser affin
El conjunto de puntos factibles para un problema de optimización convexa es la
intersección del dominio del problema
i
m
i
fD dom0=
= I (22)
el cual es un conjunto convexo, con m conjuntos de sub-nivel { }0)(| !xfx i y p
hiperplanos { }bxaxT
i=| . Entonces, en un problema de optimización convexa se minimiza
la función objetivo sobre un conjunto convexo.
33
III.5 Dualidad
Dentro de la optimización convexa se presenta un concepto de gran importancia,
que es la teoría de la dualidad, que consiste en inferir los valores primarios y duales
asociados con el problema. Para obtener los valores duales es necesario aplicar el
Lagrangiano al problema de optimización como se tratará en el siguiente apartado.
III.5.1 El Lagrangiano
La idea básica del la dualidad Lagrangiana es tomar las restricciones del problema
(18) en cuenta para incrementar la función objetivo como una suma ponderada de las
funciones de restricción. Se define el Lagrangiano L: Rn× Rm×Rp→ R asociado con el
problema (18) como
( ) ! != =
++=m
i
p
i
iiiio xhxfxfxL1 1
)()()(,, "#"# (23)
Con dom L=D×Rm×Rp→R. Donde se refiere a λi como el multiplicador de Lagrange
asociado con la i-esima restricción de desigualdad fi≤ 0; similarmente se refiere a νi como
el multiplicador de Lagrange asociado con la i-esima restricción de igualdad hi=0. Los
vectores λ y ν son llamados las variables duales o los vectores multiplicadores de Lagrange
asociados al problema (18).
34
III.5.2 La función dual de Lagrange
La función dual de Lagrange g: Rm×Rp→R se define como el mínimo valor del
Lagrangiano sobre x: para λ ∈ Rm ν ∈ Rp,
),,(inf),( !"!" xLgDx#
= (24)
Cuando el Lagrangiano no tiene límite por debajo de x, la función dual toma el
valor de -∝. La función dual proporciona límites inferiores para el valor óptimo p* del
problema (18):
Para cualquier λ ≥ 0 y cualquier ν se tiene
*),( pg !"# (25)
Esta importante propiedad es fácil de verificar. Supóngase que x~ es un punto
estrictamente factible para el problema (18) es decir que cumple tanto las restricciones de
desigualdad e igualdad y que λ ≥ 0. Entonces se tiene
! != =
"+m
i
p
i
iiii xhxf1 1
0)~()~( #$ (26)
Cada término en la primera sumatoria es no positivo, y cada término en la segunda
sumatoria es cero, entonces
35
! != =
"++=m
i
p
i
iiii xfxhxfxfxL1 1
00 )~()~()~()~(),,~( #$#$ (27)
por lo tanto se tiene que
)~(),,~(),,(inf),( 0 xfxLxLgDx
!!="
#$#$#$ (28)
entonces la desigualdad (25) se cumplirá para cualquier punto factible x.
III.5.3 Problema dual de Lagrange
Para cada par (λ,ν) con λ ≥ 0, la función dual de Lagrange proporciona un límite
inferior para el valor óptimo p* del problema de optimización (18). Entonces se tiene que
un límite inferior depende de los parámetros λ, ν. Una pregunta natural es: ¿Cual es el
mejor límite inferior que puede ser obtenido de la función dual de Lagrange?
Esto implica otro problema de optimización
( )
0 siguiente lo
, maximizar
!"
#"
bajo
g (29)
Este problema es llamado el problema dual de Lagrange asociado con el problema
(18). En esta tesis el problema (18) será llamado problema primario. Se referirá como
puntos factibles al problema dual (29) como (λ*,ν*) que serán los puntos duales óptimos o
los multiplicadores de Lagrange óptimos si éstos son óptimos al problema (dual).
36
III.5.4 Dualidad débil
El valor óptimo para el problema dual está denotado por d*, y es por definición el
mejor límite inferior de p* que puede ser obtenido mediante la función dual de Lagrange.
Se tiene entonces una simple pero importante desigualdad.
** pd ! (30)
La cual se cumple solo si el problema primario es no convexo. Esta propiedad es
llamada dualidad débil.
Se referirá a la diferencia p*- d* como el intervalo óptimo de dualidad del
problema primario. Entonces este intervalo de dualidad óptimo proporciona el intervalo
entre el valor óptimo del problema primario y el mejor límite inferior en el que puede ser
obtenido desde la función dual de Lagrange. Este intervalo de dualidad óptima es siempre
positivo. Este intervalo de dualidad óptima proporciona el criterio para detener el
algoritmo de optimización que se emplea dentro de la optimización convexa como se
mostrará en el apartado de los métodos de punto interior.
III.5.5 Dualidad Fuerte y Condición de Slater
Si la desigualad (30) se toma como una igualdad como se denota en la ecuación
(31)
** pd = (31)
37
y si ésta se cumple, el intervalo de dualidad óptimo será cero, y entonces se tiene una
dualidad fuerte. Esto significa que el mejor límite inferior que se puede obtener de la
función dual de Lagrange es estrecho.
La dualidad fuerte no se cumple en general, pero sí el problema primario es
convexo como es el caso del problema denotado por la ecuación (21), se tiene usualmente
una dualidad fuerte. En este caso se pueden encontrar muchos resultados como condiciones
de estabilidad en el problema más allá de la convexidad. Estas condiciones son llamadas de
puntualización, y una de las condiciones es:
La condición de Slater : existe un punto x∈ D tal que
bAxmixfi ==< ,...,1 ,0)( (32)
y los puntos que cumplan esta condición son llamados puntos estrictamente factibles.
Entonces la condición de Slater establece que la dualidad fuerte existe.
III.5.6 Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker (KKT )
Para comprobar si los puntos primario y duales factibles al problema son los puntos
óptimos, existen las condiciones de KKT que son suficientes para determinar si el punto
primario x~ y los puntos duales (λ*,ν*) son los óptimos para el problema de optimización.
En primer lugar se supone del problema primario que fi y hi son dos veces
diferenciables y que el objetivo primario es convexo. Las condiciones de KKT quedan
expresadas de la siguiente manera:
38
0
0
0)~(
0)~(
,0)~()~()~(
*
*
0
*
0
*
0
=
!
=
"
=#+#+# $$==
ii
i
i
i
p
i
ii
m
i
ii
f
xh
xf
xhxfxf
%
%
&%
(33)
Cualquier x~ primario optimo y (λ*,ν*) dual optimo debe de satisfacer las
consideraciones de KKT.
Con todo lo anterior, se termina con los conceptos básicos necesarios para
comprender la optimización convexa. A continuación se presentan los métodos para poder
resolver los problemas de optimización convexa.
III.6 Métodos de punto interior (IPM)
Estos métodos empezaron a tomar una gran importancia cerca de las décadas de los
80’s y 90’s cuando Karmarkar presenta un nuevo polinomio en métodos de punto interior
aplicado a programación lineal [Karmarkar, 1984], empiezan a extenderse para resolver
una gran cantidad de problemas de optimización convexa como; problemas de forma
cuadrática, programación semidefinida y programación cónica de segundo orden.
[Gonzaga, 1992] y [Boyd, 1994].
Estos métodos de punto interior tienen como base o como núcleo, el método de
Newton, además el problema de optimización convexa debe expresarse como un problema
únicamente como restricciones de igualdad, es por esto que se utiliza la función de la
barrera logarítmica [Nesterov, 1994]. Como ya se mencionó anteriormente, estos métodos
39
optimizan el problema aplicando el método de Newton como una secuencia de problemas
con igualdad.
Dentro de esta sección se describen dos tipos de métodos de punto interior: 1)
Método de la barrera logarítmica y 2) Método de punto interior Primario-Dual. El primero
se presenta por ser el más sencillo de estos. Sin embargo, el segundo método proporciona
una mayor precisión al momento de resolver problemas de optimización convexa.
III.6.1 Método de la barrera logarítmica
En este tipo de métodos lo primero que se debe de efectuar es reformular el
problema convexo denotado por la ecuación (21) como un problema únicamente con
restricciones de igualdad. Para así poder aplicar enseguida el método de Newton, donde la
restricciones de desigualdad están implícitas en el objetivo a optimizar, empleando una
función indicador I_(u), entonces el problema (21) queda reformulado como [Boyd y
Vandenberghe, 2003]:
( )( )
negativos reales números los paraindicador función 0
0 0)(
siguiente lo bajo
)( minimizar 1
0
!"#
$%
&=
=
+
'
=
'(
u
uuI
bAx
xfIxfm
i
i
(34)
Entonces el problema (21) ya no tiene restricciones de desigualdad, pero la función
objetivo no es diferenciable, y por tanto no se puede aplicar el método de Newton. La idea
básica del método de la barrera es aproximar la función indicador I_(u) por la función:
40
))(log(1
)(ˆ xft
uI i!!=! (35)
donde t>0 es el parámetro que establece la precisión de la aproximación. Como I_, la
función !I es convexa y no decreciente y toma valores de ∝ para u>0. Pero a diferencia I_
la función !I es dos veces diferenciable. Entonces sustituyendo
!I en el problema (34) se
tiene lo siguiente
( )
bAxbajo
xfxfi
=
!!" siguiente lo
)(log)( t minimizar 0
(36)
definiendo
( ) ))(log(1
!=
""=
m
i
ixfx# , (37)
se considera el problema (36) de la siguiente manera
bAxbajo
xxf
=
!
siguiente lo
)()( t minimizar 0
" (38)
Se supone que el problema (38) puede resolverse por el método de Newton, y en
particular que tiene una única solución para cada t>0. Para t>0 se define x*(t) como una
41
solución de (38) que es el conjunto de puntos centrales asociados al problema y que son
solución del problema. Para que un punto sea considerado como un punto central deben de
cumplir con la condición de Slater (32) y la primera condición de KKT (33). Además cada
punto central trae consigo un punto dual asociado. Se definen nuevamente los
multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:
tt xxtfi
i /ˆ)(,))((
1!!" ==
#
#
# (39)
Entonces la primera condición de optimalidad de KKT queda expresada de la siguiente
manera:
tAtxfttxft T
ii
i 0)())(()())(( **
0 =+!+! "" # $% (40)
Entonces se ve que x*(t) minimiza el Lagrangiano
0)()())((),,(1
0=!+"+#
=
$ bAxxftxfxLi
m
i
%&%& (41)
y para λ=λ*(t) y ν=ν*(t) los cuales son puntos duales factibles al problema. Entonces la
función dual de Lagrange g(λ*(t),ν*(t)) es finita y
tmtxf
btAxtxfttxfttg i
m
i
/))((
))(())(()())(())(),((
0
***
0
1
!=
!+"+=
#
### $=
%&%& (42)
42
En particular el intervalo de dualidad asociada con x*(t) y los puntos (λ*(t),ν*(t)) es
simplemente m/t. Como una importante consecuencia se tiene:
tmptxf /*))((0
!"# (43)
Con lo descrito anteriormente ya se puede establecer un algoritmo para solucionar
los problemas de optimización convexa. El método de la barrera logarítmica necesita un
punto factible de inicio y el algoritmo propuesto para este método es el siguiente
Dado x estrictamente factible, t:=t(0)>0, µ>1, y una tolerancia ε>0
Repetir
1. Paso de Newton
Calcular x*(t) por la minimización de tf0+φ, bajo Ax=b, con un punto inicial x.
2. Actualizar x:= x*(t)
3. Criterio para detener el algoritmo. Salir sí m/t<ε
4. Incrementar t. t:=µt
43
III.6. 2 Método de punto interior Primario-Dual
Este método es muy similar al de la barrera logarítmica, pero es más preciso y
únicamente utiliza un ciclo de iteración, emplea una función de la barrera de segundo orden
y utiliza el problema dual asociado con el problema primario. Existen una gran variedad de
métodos de punto interior Primario-Dual. En está tesis, en particular se utilizará el descrito
por Nesterov y Nemirovsky [Nesterov y Nemirovsky, 1994]. Este método necesita
calcular direcciones de búsqueda tanto del problema primario y el dual y al igual que el
método de la barrera logarítmica emplea el método de Newton.
Para explicar el método de punto interior primario dual se considera el siguiente
problema de optimización [Lobo, et al. 1998] denotado por
dxicit ibxiAiu
,...,Ni itiu
xf
T
T
siguientelo bajo
minimizar
+=+=
=!
,
1, (44)
Este problema trae consigo el siguiente problema dual expresado por
( )
( )
ii
N
1iiiii
N
1iiii
wz
wczA siguientelo bajo
wdzb- maximizar
T
T
i
!
+
+
"
"
=
=
(45)
44
Ahora los vectores duales están denotados por zi y wi. Como se ha visto en secciones
anteriores la diferencia entre el valor óptimo primario y el valor óptimo dual se conoce
como el intervalo de dualidad asociado con x, z, w, y estará denotado por η(x, z, w) o
por simplicidad únicamente η:
( ).),,(0
!=
++=N
i
TT
iiii wdzbxfwzx" (46)
Ya que se tiene el intervalo de dualidad, se define ahora la función de la barrera logarítmica
de segundo orden como
( )!"
!#$
%
&&=
valores.otros
)log(,
22ut
tu' (47)
El método de punto interior primario dual necesita de una función potencial primaria, que
para puntos (x, z, w) estrictamente factibles se define
( ) !=
+++=N
i
iiiiwztuNvNwzx
1
)),(),((log22),,( ""#$ (48)
donde v≥1, es un parámetro del algoritmo, y η es el intervalo de dualidad asociado con (x,
z, w). La propiedad más importante de esta función potencial es la desigualdad:
45
( ) ( ) )2/,,exp(,, Nvwzxwzx !" # (49)
la cual se cumple únicamente para puntos estrictamente factibles. Por consiguiente, si la
función potencial es pequeña, el intervalo de dualidad debe ser pequeño. En particular si
ϕ→∝ , entonces η→∝ y (x, z, w) se aproxima al óptimo.
Como se mencionó, estos métodos necesitan calcular las direcciones de búsqueda
tanto del problema primario como del dual y estas se encuentran resolviendo el siguiente
conjunto de ecuaciones
!"
#$%
& +'=!
"
#$%
&!"
#$%
& ''
0
)(
0
11gpZH
x
Z
A
AHT (
( (50)
donde
( )
( )
( )
( )
( )!
"""""
#
#
#
#
NvNp
donde
w zw zZ w zw zZ
tu
tu
g
tu
tu
H
T
N
T
N
TT
N
T
N
T
NNNN
22
][][
,
,
,
,0
0,
1111
11
2
11
2
+=
==
$$$
%
&
'''
(
)
*
*
=
$$$
%
&
'''
(
)
*
*
=
LL
M
L
MOM
L
46
Finalmente se propone el siguiente algoritmo para el método de punto interior primario
dual.
Dados x, z,w estrictamente factibles, y una tolerancia ε>0
Repetir
1. Encontrar las direcciones de búsqueda primaria y duales resolviendo (50)
2. Encontrar p y q que minimicen a ϕ(x+pδx, z+qδz, w+qδw).
3. Actualizar x:=x+pδx, z:=z+qδz, w:=w+qδw
4. Salir sí η(x,z,w) ≤ε
III.7 Conclusiones
En este capítulo se ha mostrado y desarrollado la teoría necesaria para poder
comprender y aplicar la optimización convexa, presentando un parámetro muy importante
que es el intervalo de dualidad del problema de optimización, ya que este parámetro
proporciona el criterio para detener los algoritmos de optimización empleados. También se
mostraron los métodos de punto interior para resolver los problemas de optimización
convexa, los cuales proporcionan una gran eficiencia al momento de resolver el problema.
Ya que se ha estudiado la herramienta matemática, ahora se podrá hacer el
modelado matemático de la síntesis del diagrama de radiación como un problema de
optimización convexa. Este modelo se presenta en el siguiente capítulo.
Capítulo IV
Síntesis del diagrama de radiación planteado como
un problema de optimización convexa
IV.1 Introducción
En el capítulo anterior se presentó la teoría necesaria sobre optimización convexa,
para así poder aplicar la síntesis del diagrama de radiación empleando optimización
convexa. La optimización convexa proporciona una nueva metodología para obtener la
síntesis del diagrama de radiación aprovechando la convexidad que tiene el factor de
agrupamiento de antenas como se analizará en el presente capítulo.
Para cumplir el objetivo de esta tesis, en este capítulo se desarrollará el modelado
matemático para expresar la síntesis del diagrama de radiación de un agrupamiento lineal
uniforme de antenas (ALU) como un problema de optimización convexa, Para enseguida
poder resolver éste mediante los métodos de punto interior (IPM). Definido el modelado
48
matemático se generarán estadísticas en base a una serie de simulaciones basadas en los
escenarios propuestos por Lebret [1995]. Finalmente como aportación a este trabajo se
obtendrán nuevas estadísticas en función de simulaciones con agrupamientos lineales de
antenas no uniformes ya optimizados con respecto a la posición de los elementos de
antena dentro del agrupamiento lineal.
IV.2 Síntesis del diagrama de radiación como un problema convexo
Para reformular la síntesis del diagrama de radiación como un problema de
optimización convexa, primero es necesario representar el factor de agrupamiento como
una serie de funciones convexas. Para esto es necesario considerar un problema de síntesis
del diagrama de radiación, dentro del cual uno de los principales problemas es la
minimización del nivel de los lóbulos secundarios.
Para reformular la síntesis del diagrama de radiación, se considerará el factor de
agrupamiento para el caso de un agrupamiento lineal de antenas de N elementos, analizado
en el capítulo 2, el cual esta expresado como:
!=
=N
i
i
jkxei
FA1
cos),(
"##" (51)
donde k es el número de onda xi es la posición de cada elemento dentro del agrupamiento,
θ es el ángulo de arribo y ωi es el vector de pesos complejos. De igual manera se considera
49
el problema de minimización de los lóbulos laterales secundarios. Es decir el valor
máximo de la norma del factor de agrupamiento FA(θ,ω) sobre una zona angular S y con
una restricción de normalización en una dirección θ0. Entonces se puede escribir el
problema como [Lasdon, 1987]:
1),(
),(max min
0=
!
"#
"
"#
FA
Sè
FA
(52)
El problema denotado por la ecuación (49) no tiene la forma de un problema de
optimización convexa, y para poder resolverlo por los métodos de punto interior es
necesario adaptarlo es ese sentido. En primer lugar, conviene eliminar la restricción de
igualdad, con el fin de eliminar un parámetro de optimización [Lebret, 1995], que es el N-
esimo peso ωN que queda expresado de la siguiente manera
!"
#$%
&'= (
'
=
'1
1
0cos
0cos
1
N
i
iN ee ijkxNjkx ))** (53)
al realizar esto se tiene un problema de N-1 parámetros complejos.
Dentro de la optimización convexa es necesario emplear parámetros reales y no complejos.
Entonces lo que se hace es tomar las partes reales e imaginarias de cada peso complejo ωi
50
)Im()Re(iii
j !!! += (54)
Por otra parte, para simplificar la representación de las fases involucradas en las ecuaciones
(48) y (50) se puede considerar que:
0
cos
cos
!"
!"
i
0
i
ii
kx
kx
=
= (55)
Entonces sustituyendo las ecuaciones (53-55) en la ecuación (51) el factor de agrupamiento
queda expresado de la siguiente manera
( )!"
#$%
&' !"
#$%
& '++
!!
"
#
$$
%
& +''=(
=
01 00
)Im()Re(),(1
NN
ii
NiNNi
jej
je
jeFA
i
))**
))))*+
(56)
Ahora bien se define un par de vectores α y β como
( )
( )
( )
( )!!!
"
#
$$$
%
&
=
!!!
"
#
$$$
%
&
'
'
='
'
+'
+'
''0
0
01
01
01
01
,
NN
NN
NNNN
NN
j
j
jj
jj
e
e
ee
ee
((
((
((((
((((
)* MM
(57)
51
Esto se hace con fines de simplificación y si se sustituyen en (56) se obtiene que el factor
de agrupamiento queda expresado de la siguiente manera
i
N
iiii
i
jFA !"#"#"$ ++=%&
=
1
1
)Im()Re(),( (58)
Nuevamente como se requieren valores reales y las fases descritas en el agrupamiento
contienen valores complejos, entonces se introducen las siguientes matrices A y b
( )!"#
$%
&=!
"
#$%
&=
T
T
TT
TT
bj
jA
'
'
((
((
Im
)Re( ,
)Im()Im(
)Re()Re(
(59)
y como una ultima notación el vector de pesos se reemplaza por el vector x que de ahora
en adelante será la variable de optimización del problema
!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$
%
&
=
'
'
)Im(
)Im(
)Re(
)Re(
1
1
1
1
N
Nx
(
(
(
(
M
M
(60)
52
Finalmente sustituyendo las ecuaciones (59) y (60) en la ecuación (58) el factor de
agrupamiento queda expresado de la siguiente manera
bAxFA +=),( !" (61)
donde A es una matriz de R2x(2(N-1)) y b un vector en R2 que no depende de λ, θ y xi. El valor
||x|| representa la norma euclidiana de un vector x. El factor de agrupamiento ahora ya está
expresado bajo la norma de una función affin, que es una función convexa. Por lo tanto el
problema queda enteramente reformulado, pero no es posible solucionar el problema
cuando S es un conjunto continuo. Se selecciona entonces un conjunto de valores discretos
θi para construir S. Por lo tanto, el problema de la minimización del nivel de los lóbulos
laterales queda expresado como un problema de optimización convexa expresado como
( ) ( )
i
ii
x
bxAFA
!
!!"!
),(max min += (62)
El problema de la minimización ha quedado enteramente reformulado, por lo que
finalmente mediante un proceso de simulación es posible generar estadísticas necesarias. Se
pueden agregar más problemas de síntesis del diagrama de radiación como mantener el
ancho de haz y uniformizar el nivel de los lóbulos. Lo único que se tiene que hacer es
incluir más restricciones al problema denotado por la ecuación (62). Este problema ya se
puede resolver empleando los algoritmos de punto interior. Para aplicar los algoritmos de
53
punto interior, son necesarios los puntos primarios y duales iniciales que sean factibles al
problema. Para poder establecer éstos, es necesario representar el problema denotado por
(62) de la forma de un problema de programación cónica de segundo orden (SOCP second
order conic programming) de la siguiente manera:
m1,...,i ,dxcbxA siguientelo bajo
xf minimizar
iiT
ii
T
=+!+ (63)
donde f=ci =[0,…,0,1]. Se considera que el haz principal estará dirigido a 90° entonces
como valores iniciales de x se considera x=[1/N,…,1/N,0…,0,t]. Como se ha visto en el
capítulo 3 el problema dual asociado a este problema es
( )
( )
ii
iii
T
i
iii
T
i
wz
fwczA
wdzb
!
=+
+
"
"
=
=
siguinete lo bajo
- maximizar
N
1i
N
0i
(64)
los puntos duales son Z=[zi,wi]. Resolviendo el problema dual asociado al problema inicial
[Lebret, 1995], se tiene que los puntos duales iniciales factibles al problema denotado por
(63) son zi=0 y wi=1/m. Finalmente con estas consideraciones se pueden generar
estadísticas por medio de simulaciones empleando el algoritmo de método de punto interior
primario-dual tal y como se presentará en la siguiente sección.
54
IV.3 Simulaciones de la minimización del nivel de los lóbulos laterales
En este trabajo de tesis el reto principal es, a través de las simulaciones, optimizar
mediante la síntesis del diagrama de radiación los siguientes parámetros: el nivel de lóbulos
laterales (SLL), el cual debe mantenerse por lo menos en un nivel de -19dB como se
establece en la normativa de las comunicaciones inalámbricas. Además se buscara presentar
una uniformidad en el nivel de los lóbulos laterales. Otro parámetro importante es el ancho
de haz principal que debe mantenerse lo más parecido posible al de la respuesta natural del
agrupamiento. Por último, como un grado de libertad más se considera la dirigibilidad del
diagrama de radiación hacia la posición de un móvil en específico. Al dirigir el diagrama es
necesario que cumpla con el nivel de lóbulos y ancho de haz ya especificados. Todo lo
anterior establece las consideraciones de diseño para el diagrama de radiación de un
agrupamiento de antenas.
Antes de efectuar la síntesis del diagrama de radiación, se realizará el análisis de la
respuesta natural de un agrupamiento de antenas, en modo transversal y con dirigibilidad a
la posición del móvil de interés. Mediante este análisis se obtendrán las limitaciones de la
respuesta natural, para así después aplicar la síntesis del diagrama de radiación.
Posteriormente se aplicará la Síntesis de Taylor [para una descripción matemática de está
técnica véase el Apéndice A]. Esta síntesis es una técnica analítica muy empleada en los
sistemas de comunicaciones inalámbricas. Es importante mencionar que esta técnica es una
solución parcial al problema de la síntesis del diagrama de radiación ya que solo reduce el
nivel del primer lóbulo secundario y los demás lóbulos laterales decrecen paulatinamente.
55
Esta técnica será empleada para establecer una comparación con la síntesis del diagrama de
radiación empleando optimización convexa y así poder mostrar las bondades de la síntesis
del diagrama de radiación a través de la optimización convexa.
Para estas primeras simulaciones se considera el siguiente escenario que permitirá validar
las estadísticas obtenidas con [Lebret, 1995]
• Agrupamientos lineales uniformes (ALU) de 10 y 30 elementos de antena, con una
separación de elementos d=λ/2.
• Una señal incidente en campo lejano y de banda estrecha, además se consideran
usuarios de interés ubicados espacialmente en 90° 65° y 45°
• Grados de libertad: HPBW, dirigibilidad
Para las simulaciones sobre optimización convexa se empleo el Toolbox CVX [Grant y
Boyd, 2006] que se ejecuta en el lenguaje MATLAB.
En primer lugar se analizará la respuesta natural de un agrupamiento lineal uniforme de 10
elementos con una separación uniforme entre elementos d=λ/2. Para obtener esta respuesta
se evalúa numéricamente la ecuación (51), su representación gráfica es el diagrama de
radiación representado en el inciso a) de la Figura 10 en forma bidimensional, donde el eje
de las abscisas es el margen de visibilidad8 del agrupamiento en grados y el eje de las
ordenadas es la magnitud del factor de agrupamiento en dB’s. El diagrama de radiación en
8 Margen de visibilidad.- Es la ventana de desplazamiento del diagrama de radiación.
56
modo transversal9 (dirigido a 90°) está representado por la línea continua tanto en el inciso
a) y b) de la Figura 10. De aquí se puede determinar que el nivel de los lóbulos laterales es
de -13dB, y que este nivel de lóbulos laterales no cumple con el nivel establecido en las
consideraciones de diseño que es de -19dB. Además de la Figura 10 se determinó que el
HPBW para la respuesta natural es de 10.4°.
Figura 10. a) Diagrama de radiación en modo transversal y diagrama dirigido a 45°. b) Diagrama de radiación dirigido a 65° y diagrama en modo transversal.
En misma Figura 10 se presentan los diagramas de radiación dirigidos a dos ángulos
diferentes en el inciso a) la respuesta está dirigida a 45° y para el inciso b) está dirigida a
65°. De ambos incisos de la Figura 10 se puede analizar lo siguiente, para el diagrama
dirigido a 45° el nivel de los lóbulos laterales es de -13dB, con un valor de HPBW de 17°.
En el caso del diagrama de radiación dirigido a 65° se tiene un nivel de lóbulos laterales de
-13dB y un HPBW de 12°. Se puede observar que el nivel de los lóbulos laterales se
9 Modo transversal.- Cuando el máximo del diagrama de radiación está en forma perpendicular al eje del agrupamiento ( dirigido a 90° )
57
mantiene igual para ambos casos, pero el HPBW se incrementa con respecto al diagrama
de radiación en modo transversal. Para el caso de 45° se incrementó el ancho de haz en un
63.4% respecto al modo transversal. Para 65° se tiene un incremento de 15.4%. Este
ensanchamiento se debe a que al desplazar el diagrama de radiación, los lóbulos laterales
que se encuentra a los extremos del margen de visibilidad se suprimen, pero esta energía no
se puede perder por el principio de la conservación de la energía. La energía suprimida se
ve reflejada en el haz principal provocando un ensanchamiento en éste. Además de que se
generan más lóbulos laterales al otro lado del diagrama hacia donde no se esta desplazando
el haz. Dado que el nivel de los lóbulos laterales de los tres diagramas no cumple con el
establecido en las consideraciones de diseño (al menos -19dB), es necesario aplicar una
síntesis del diagrama de radiación que permita reducir el nivel de los lóbulos laterales, y
que a la vez mantenga el ancho de haz lo más parecido posible al de la respuesta natural al
momento de dirigir el diagrama de radiación a una posición espacial diferente al modo
transversal.
Después de haber analizado la respuesta natural del agrupamiento de antenas y obtenido sus
limitaciones se aplicarán la síntesis de Taylor y la optimización convexa a la síntesis del
diagrama de radiación.
Primero se aplicara la síntesis de Taylor para obtener el diagrama de radiación de 10
elementos de antena en modo transversal y dirigido a un móvil ubicado a 65°. Su respuesta
se comparará con la respuesta natural del agrupamiento. En la síntesis de Taylor se fija el
nivel de lóbulos laterales que se desea minimizar, en este caso se fijará en -20dB tanto para
el modo transversal como para el diagrama dirigido a 65°.
58
Los resultados de la aplicación de la síntesis de Taylor se presentan en la Figura 11 donde
el diagrama de radiación sin sintetizar se muestra en línea punteada y el diagrama ya
sintetizado por Taylor se muestra en línea continua.
Figura 11. a) Diagrama de radiación de un agrupamiento de 10 elementos de antena sin sintetizar y sintetizado por Taylor en modo transversal. b) Diagrama de radiación dirigido a 65° sin sintetizar y sintetizado por Taylor.
Analizando la Figura 11.a, se observa que cuando se aplica la síntesis de Taylor se reduce
el nivel de los lóbulos laterales al nivel que se fijó, pero se tiene un incremento en el
HPWB a una razón de 26%, con respecto al de un diagrama de un ALU sin sintetizar. Este
incremento en el ancho de haz se debe a que cuando se disminuye el nivel de los lóbulos
laterales la energía que se suprime se refleja en el haz principal. Con este incremento del
ancho de haz se disminuye la ganancia de la antena. Para el caso b) de esta misma figura, se
presenta en línea punteada el diagrama de radiación sin sintetizar dirigido a 65° y en línea
continua el diagrama ya sintetizado por Taylor. De este diagrama se obtiene que el nivel de
lóbulos laterales es de -20dB y el ancho de haz es de 15.1°, lo cual representa un
incremento de un 25.8% con respecto a la respuesta natural dirigida a 65°.
59
Una vez obtenida la respuesta mediante la síntesis de Taylor, se tiene que ésta reduce el
nivel de los lóbulos laterales, pero no mantiene el ancho de haz igual al de la respuesta
natural.
Concluimos que la síntesis de Taylor no cumple con las consideraciones de diseño de un
diagrama óptimo como se ha descrito al inicio de esta sección y que es el objetivo de esta
tesis. Por esta razón es necesario aplicar una técnica diferente que cumpla con las
consideraciones de diseño, En este trabajo de tesis se aplicará la síntesis empleando
optimización convexa.
En las simulaciones de la síntesis del diagrama de radiación empleando optimización
convexa, el objetivo es obtener el mismo nivel de los lóbulos laterales que en la síntesis de
Taylor. En la Figura 12 se presenta el diagrama ya sintetizado empleando optimización
convexa tanto en modo transversal, como con dirigibilidad a un móvil localizado a 65°
Figura 12. a) Diagrama de radiación de un agrupamiento de 10 elementos de antena sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa en modo transversal. b) Diagrama dirigido a 65° sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa.
60
De la Figura 12.a, se puede observar que al aplicar la síntesis del diagrama de radiación
empleando optimización convexa, se logra disminuir el nivel de los lóbulos laterales en un
nivel de -20dB y que además se uniformizan todos los lóbulos laterales, tal como se
observa en la figura en línea continua. Con esta uniformidad de los lóbulos laterales, se
logra una mejor distribución de la energía dentro del diagrama, asegurando de esta manera
que la mayor cantidad de energía esté concentrada en el haz principal. Otro aspecto que es
importante analizar es el ancho del haz principal, el cual tiene un incremento de 10.5% con
respecto al diagrama en modo transversal sin sintetizar, pero un 15.5% menor que el
obtenido mediante la síntesis de Taylor. Cuando se aplica la síntesis empleando
optimización convexa en un diagrama fuera del modo transversal dado en la Figura 12.b, se
logra disminuir y uniformizar el nivel de los lóbulos laterales al nivel establecido como se
muestra en línea continua, donde se obtiene un HPBW de 13° y que es 8.3% mayor que el
de respuesta natural dirigida a 65°, pero un 17.5% menor que el obtenido por la síntesis de
Taylor.
A través del análisis de estas simulaciones, se ha encontrado que la optimización convexa
proporciona una mejor respuesta con respecto a la síntesis de Taylor, tanto en modo
transversal como en diagramas con dirigibilidad. Mediante la optimización convexa además
de reducir el nivel de los lóbulos laterales, se logra uniformizarlos. Además el ancho de haz
principal es lo más parecido al de la respuesta natural, e incluso el ancho de haz se puede
mantener igual que el de la respuesta natural como se presentará más adelante. Por lo
contrario, la síntesis de Taylor solo disminuye el nivel de los lóbulos laterales, pero a
cambio se incrementa el ancho de haz principal, con este incremento se pierde directividad
61
en la antena, por lo tanto se tiene menos ganancia. Con esto se comprueba que la síntesis de
Taylor ofrece solo una solución parcial al problema de la síntesis del diagrama de
radiación. Mientras que la optimización convexa es superior en este aspecto.
Amanera de resumen se presenta la Tabla I donde se concentran los principales valores
obtenidos al aplicar ambas técnicas de síntesis.
Tabla I. Resultados de HPBW y SLL al aplicar la síntesis de Taylor y la síntesis de empleando optimización convexa
HPBW SLL Directividad 90° 65° 90° 65° 90° 65° ALU 10.4° 12° -13dB -13dB 10.1dB 9.5dB S. Taylor 13.1° 15.1° -20dB -20dB 9.1dB 8.5dB O. Convexa 11.5° 13° -20dB -20dB 9.68dB 9.18dB
Con este análisis se concluye que la optimización convexa cumple las consideraciones de
diseño establecidas al inicio de esta sección como son: minimizar el nivel de los lóbulos
laterales, además de obtener una uniformidad en el nivel de los lóbulos laterales. También
se logra que el ancho de haz no se incremente demasiado con respecto al de la respuesta
natural. Por estas razones, conviene realizar un análisis más detallado de la síntesis del
diagrama empleando optimización convexa, para así poder establecer una serie de curvas
compromiso y zonas donde se obtengan diagramas de radicación, que cumplan con las
consideraciones de diseño.
62
Las simulaciones que a continuación se presentan, son realizadas en base a los escenarios
propuestos por Lebret [1995] para así poder validar las estadísticas generadas y realizar un
análisis más detallado de éstas.
Se ha mencionado que al aplicar la síntesis del diagrama de radiación empleando
optimización convexa, se puede mantener el ancho de haz similar al de la respuesta natural
del agrupamiento. En la Figura 13 se presentan dos diagramas de radiación sintetizados
mediante optimización convexa, ambos en modo transversal. En dicha respuesta se
disminuye el nivel de los lóbulos laterales y se mantiene en el ancho de haz del diagrama de
radiación sin sintetizar, en el caso a) se presenta el diagrama de un agrupamiento lineal de
10 elementos antena separados a una distancia uniforme de d=λ/2. Por su parte el caso b)
muestra el diagrama de un agrupamiento de 30 elementos de antena separados a una
distancia de d=λ/2. Ambos casos se comparan con su diagrama de radiación sin sintetizar.
Figura 13. a) Diagramas de radiación de agrupamientos de 10 elementos de antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa. b) Diagramas de radiación de agrupamientos de 30 elementos de antena elementos sin sintetizar y sintetizado por optimización convexa.
63
Analizando la Figura 13.a, se tiene el diagrama de radiación sin sintetizar en línea punteada
para un agrupamiento de 10 elementos antena, mientras que en línea continua se tiene el
diagrama de radiación sintetizado empleando optimización convexa. El objetivo de diseño
fue minimizar el nivel de los lóbulos laterales, pero manteniendo el ancho de haz de la
respuesta natural de 10.4°. Para poder mantener este ancho de haz principal, el nivel de
lóbulos laterales que se obtiene es de -15.6dB, el cual esta por encima de lo establecido por
la normativa de las comunicaciones inalámbricas. Para poder lograr que nivel de los
lóbulos laterales esté por debajo de -19dB es necesario incrementar el ancho de haz
principal. En la Figura 13.b se presenta el mismo caso, pero considerando un agrupamiento
de 30 elementos de antena. Al analizar esta figura se obtiene que el nivel de lóbulos
laterales que se obtiene es de -21.8dB, por debajo de -19dB. Además se mantiene el ancho
de haz del diagrama de radiación sin sintetizar. Se concluye que este diagrama cumple con
las consideraciones de diseño establecidas.
Al emplear optimización convexa se puede conseguir el mismo ancho de haz de la repuesta
natural en modo transversal y se puede disminuir hasta cierto nivel los lóbulos laterales.
Pero si se desea disminuir más este nivel es necesario incrementar el ancho de haz.
En base a lo anterior se genera una estadística muy importante, donde se consideran la
síntesis del diagrama de radiación en modo transversal y se realiza un barrido de HPBW y
se obtiene que nivel de lóbulos laterales se pueda disminuir, como se muestra en la Figura
14.
64
Figura 14. Comportamiento del SLL respecto a HPBW. Para un agrupamiento de 10 elementos y para un agrupamiento de 30 elementos de antena
La Figura 14 muestra una curva compromiso entre el nivel de los lóbulos laterales y el
ancho de haz principal, De aquí es posible establecer un intervalo de valores, tanto del
ancho de haz y de nivel de lóbulos laterales, donde se obtenga el mejor comportamiento
para obtener diagramas de radiación que se acerquen al diagrama de radiación óptimo. Para
el caso de un agrupamiento de 30 elementos, se tiene que conforme se incrementa el ancho
de haz principal, el nivel de lóbulos que se puede disminuir se incrementa. Con esto se
establece una zona donde se obtienen los mejores resultados con respecto al nivel de
lóbulos laterales y al ancho de haz. En este caso se tiene que los valores de HPBW óptimos
son de 5° a 15°. Con estos valores se obtienen niveles de lóbulos laterales de -20 a -60dB
como se observa en la Figura 14 en línea punteada. Para el caso del agrupamiento de 10
65
elementos se tiene un desempeño muy pobre, ya que se necesitan de anchos de haz muy
grandes para obtener un nivel de lóbulos laterales que debajo de -19dB.
Dado que el interés de esta tesis no solo considera el comportamiento en modo transversal,
sino que también interesa conocer el comportamiento de la síntesis del diagrama de
radiación considerando la dirigibilidad del haz principal del diagrama. Por esta razón se
realiza la siguiente simulación, donde se consideran agrupamientos lineales uniformes de
10 y 30 elementos de antena como en el caso anterior y separados una distancia d=λ/2. Se
fija un ancho de haz de 5.5° y se dirige el haz principal en una ventana desde 5 ° a 175° del
margen de visibilidad del agrupamiento, obteniendo así el nivel de lóbulos laterales que se
puede disminuir y uniformizar, como se presenta en la Figura 15.
Figura 15. Comportamiento del SLL respecto a la dirigibilidad a un usuario de interés. Para un agrupamiento de 10 elementos de antena y para un agrupamiento de 30 elementos de antena.
66
De la Figura 15, se puede observar que para ambas curvas se tiene que el menor nivel de
lóbulos laterales que se puede minimizar, corresponde al caso cuando el diagrama está en
modo transversal. Conforme el haz se dirige hacia los extremos del margen de visibilidad
del agrupamiento el nivel de los lóbulos laterales se incrementa. La curva en línea continua
que corresponde a la respuesta de un agrupamiento de 10 elementos, se obtiene a través de
su análisis y muestra que su respuesta es deficiente en términos de la minimización del
nivel de los lóbulos laterales. Esto es debido al ancho de haz principal que se fijo para esta
simulación de 5.5°. Si se desea disminuir más el nivel de los lóbulos laterales con este
agrupamiento, lo único que se tiene que hacer es incrementar el ancho de haz principal para
lograr una mayor disminución de los lóbulos laterales. Por otro lado, la curva en línea
punteada tiene una mejor respuesta con respecto al nivel de lóbulos laterales que se puede
minimizar. Esta ofrece una amplia ventana donde se puede dirigir el ancho de haz principal
y tener un nivel de lóbulos laterales que esté por debajo del nivel establecido por la
normativa de comunicaciones inalámbricas. Esta ventana donde se puede dirigir el haz
principal es de 37° a 143°. Es importante mencionar que de acuerdo a resultados obtenidos
dentro del grupo de comunicaciones inalámbricas (GCI) del CICESE, se reportó en la tesis
de Antonio Zamora [1999] que la ventana de visibilidad de un agrupamiento es de 30° a
150°. Comparada con la obtenida con la optimización convexa se tiene una diferencia de
14°, pero a pesar de esta diferencia se tiene un ventana de buen tamaño en cuestiones de
dirigibilidad. Se puede obtener la misma ventana de dirigibilidad obtenida por Zamora,
sacrificando un poco en ancho de haz de media potencia.
67
Del análisis de estas dos últimas simulaciones se encontró que el parámetro que más afecta
la síntesis del diagrama de radiación empleando optimización convexa, tanto en modo
transversal como con dirigibilidad, es mantener el ancho de haz principal. Este parámetro
determina que tanto nivel de lóbulos laterales se puede disminuir.
Con estas simulaciones se ha comprobado la funcionalidad de la optimización convexa para
obtener la síntesis del diagrama de radiación de un agrupamiento lineal uniforme. Se
pueden validar las estadísticas aquí obtenidas con las estadísticas propuestas por Lebret
[1995]. En la siguiente sección se presentara la síntesis del diagrama de radiación pero de
agrupamientos lineales no uniformes.
IV.4 Minimización del nivel los lóbulos laterales en Agrupamientos
lineales no uniformes empleando optimización convexa.
Como una aportación importante de esta tesis se realiza la minimización de los
lóbulos laterales considerando ahora agrupamientos lineales no uniformes de 17 elementos
de antena, ya optimizados en distancia por diferentes técnicas como son algoritmos
genéticos [Panduro Medoza, 2005], evolución diferencial [Rocha Alicano, 2006] y con la
aplicación de la transformada de Legendre [Kumar, 2005]. Es importante mencionar que
estos agrupamientos fueron diseñados para presentar su mejor respuesta en el modo
transversal. Se tomarán en cuenta las mismas consideraciones de diseño de un
agrupamiento lineal de antenas.
68
Se considera el factor de agrupamiento expresado por la ecuación (48) para obtener la
respuesta de cada agrupamiento, en la Tabla II se presenta el HPBW que tiene cada uno de
los agrupamientos en su respuesta natural en modo transversal.
Tabla II. Valores de HPBW para los agrupamientos no uniformes
Algoritmos
Genéticos Legendre Evolución
diferencial
HPBW 5.1° 5.1° 7.9°
En una primera simulación, se mantendrá el ancho de haz de cada agrupamiento y se
aplicara la síntesis empleando optimización convexa para minimizar el nivel de los lóbulos
laterales y cuantificar así la mejora en su respuesta natural en modo transversal. Los
resultados de esta simulación se pueden ver en la Figura 16.
Figura 16. Nivel de SLL que se tiene antes y después de aplicar la síntesis empleando optimización convexa para agrupamientos no uniformes.
69
De la Figura 16, para el caso de optimización convexa se tiene el nivel de lóbulos laterales
que presenta cada agrupamiento sin aplicar la síntesis del diagrama de radiación. Se
observa que el agrupamiento de Legendre y el obtenido por evolución diferencial están por
debajo de -19dB pero el agrupamiento obtenido por algoritmos genéticos está por arriba de
este. Cuando se aplica la optimización convexa se mejora su respuesta con respecto al nivel
de los lóbulos laterales y además se mantiene su ancho de haz principal igual que su
respuesta natural. Para el agrupamiento obtenido por algoritmos genéticos se logra
mejorar el nivel de los lóbulos laterales en un 27.2% con respecto a su respuesta natural,
mientras que para el caso del agrupamiento obtenido por Legendre se obtuvo una mejora de
13.8% con respecto a su respuesta natural. Finalmente para el agrupamiento obtenido por
evolución diferencial se tiene una mejora de 14% respecto a su respuesta original. Al
aplicar optimización convexa en los tres agrupamientos se logra que su diagrama de
radiación cumpla con las consideraciones de diseño establecidas.
Con estas simulaciones se comprobó que se puede aplicar la síntesis del diagrama de
radiación empleando optimización convexa en agrupamientos no uniformes.
Para concluir con este apartado se realiza la síntesis considerando dirigibilidad del haz
principal del diagrama de radiación y así obtener el nivel de lóbulos laterales que es posible
minimizar. Por otro lado, se presentará la simulación cuando se incrementa el ancho de haz
de media potencia, para obtener de igual manera el nivel de lóbulos laterales que se puede
minimizar. Los resultados de estas simulaciones se presentan en la Figura 17.
70
Figura 17. a) SLL respecto a la dirigibilidad del haz principal. b) SLL respecto a HPBW.
En la Figura 17.a se presentan las respuestas de los tres agrupamientos con respecto a la
dirigibilidad del haz empleando optimización convexa y manteniendo su ancho de haz en
6°.Como ya se ha mencionado estos agrupamientos tiene su mejor respuesta en el modo
transversal como se observa en dicha figura. Al aplicar la dirigibilidad su respuesta se
deteriora de tal manera que solo se tiene una ventana muy estrecha donde se obtienen
valores adecuados del nivel de los lóbulos laterales. Esta ventana es de 20° en el caso de los
agrupamientos lineales no uniformes de Legendre y de algoritmos genéticos, mientras que
para la evolución diferencial se tiene una respuesta más suave parecida a la de un
agrupamiento lineal uniforme, pero en este caso no alcanza el nivel los lóbulos laterales que
esté por debajo de -19dB. Esto se debe al ancho de haz que se fijó en esta simulación de 6°.
Se puede alcanzar una mejor respuesta para este agrupamiento si se incrementa el ancho de
haz. Aquí es posible comprobar nuevamente que el ancho de haz es el parámetro que más
afecta al momento de realizar la síntesis del diagrama de radiación.
71
Finalmente se efectúo una simulación pero ahora en modo transversal y se realiza un
barrido del ancho de haz principal. La Figura 17.b muestra las curvas obtenidas de esta
simulación. Para el caso de los agrupamientos obtenidos por Legendre y algoritmos
genéticos, la zona donde se tiene mejor desempeño es de 5° a 14° donde se obtienen niveles
de lóbulos laterales -20 a -30dB en el caso de algoritmos genéticos. Para la optimización
por Legendre se tienen niveles de -20 a -40dB. Es importante notar que para estos
agrupamientos, y un ancho de haz mayor a 9°, las variaciones del nivel de los lóbulos
laterales son mínimas conforme se sigue incrementando el ancho de haz. Ahora para el
caso para evolución diferencial se tiene una respuesta similar al de un agrupamiento lineal
uniforme y que conforme se incrementa el ancho de haz se puede disminuir una mayor
cantidad de lóbulos laterales. La zona en anchos de haz donde este agrupamiento tiene nivel
de lóbulos laterales adecuados es de 7° a 14°. Con estas simulaciones se ha comprobado el
funcionamiento de la optimización convexa para resolver el problema de la minimización
del nivel de los lóbulos laterales en agrupamientos lineales no uniformes y además de que
mejora la respuesta de agrupamientos ya optimizados en las distancias de separación de sus
elementos.
IV.5 Conclusiones
En este capítulo se ha realizado el modelado matemático para la síntesis del
diagrama de radiación como un problema de optimización convexa. Dentro de los puntos
más relevantes de este modelado está la formulación del factor de agrupamiento como una
serie de funciones convexas. Con esto se logró representar el problema de la síntesis del
72
diagrama de radiación como un problema de optimización convexa, además de que con esta
representación se pueden incluir una gran cantidad de restricciones a nuestro diagrama de
radiación.
Al completar este modelado se realizaron una serie de simulaciones y estadísticas que
permiten concluir que la optimización convexa es una excelente alternativa para realizar la
síntesis del diagrama de radiación, ya que ofrece diagramas que cumplen con las
características de diseño establecidas. Además dentro de este capítulo se establecieron
curvas compromiso con respecto al nivel de lóbulos laterales que se desea minimizar y el
ancho de haz que se desea tener dentro del diagrama de radiación. Se encontró también que
el ancho de haz principal es un parámetro muy importante porque en base a éste se tiene el
nivel de lóbulos laterales que se puede minimizar y uniformizar. Estas estadísticas fueron
validadas con las presentadas por Lebret [1995] y con esto se cumplen los objetivos de este
trabajo de tesis.
Como aportación de este trabajo se comprobó que la síntesis empleando optimización
convexa se puede aplicar a agrupamientos uniformes y no uniformes. Además se
establecieron una serie de curvas compromiso entre el nivel de los lóbulos laterales y el
HPBW. Finalmente en el capítulo siguiente se presentaran aportaciones adicionales a este
trabajo pero en base a la síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez.
Capítulo V
Análisis de la robustez de la optimización Convexa
aplicada a la síntesis del diagrama de radiación
V.1 Introducción
En el capítulo anterior se comprobó que la optimización puede aplicarse a la síntesis
del diagrama de radiación, obteniendo excelentes resultados respecto al problema de
minimizar el nivel de los lóbulos laterales del diagrama de radiación. Se ha mencionado en
el capítulo, 4 que se pueden incluir más restricciones cuando se realiza la síntesis del
diagrama de radiación. Por lo tanto, al aumentar el número de restricciones en el problema
éste se vuelve robusto. Dentro de las restricciones que se pueden agregar al problema de la
síntesis del diagrama de radiación se encuentran las siguientes: la cancelación de
74
interferentes en una posición espacial definida y, la reducción del nivel de los lóbulos
laterales en una zona angular establecida en las consideraciones del diseño.
En este capítulo, como una aportación importante de este trabajo de tesis, se realizará el
modelado matemático para representar la síntesis del diagrama de radiación con
restricciones de robustez como un problema de optimización convexa, y de esta manera
mediante la generación de simulaciones, comprobar la robustez de la optimización
convexa. En base a estas simulaciones, se generarán nuevas estadísticas que contribuirán al
estado del arte de la síntesis del diagrama de radiación.
Finalmente, se realiza un análisis del tiempo de cómputo que requieren los algoritmos de
punto interior para solucionar el problema de la síntesis del diagrama de radiación. Con
esto se espera comprobar que el tiempo de cómputo se incrementa casi de forma lineal con
respecto al tamaño del problema a optimizar.
V.2 Síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez
Las restricciones de robustez son muy importantes, particularmente cuando cierta
información acerca de la dirección de arribo y la posición de los elementos de antena es
aproximada, siendo esencial que las prestaciones del agrupamiento no se degraden con la
variación de estos parámetros. Existen diferentes maneras de proponer problemas con
restricciones de robustez. El problema que se aborda en este capítulo, encuentra su origen
en una serie de artículos de Ahmed [1982, 1983] y Evans [1984], tomados y ligeramente
modificados por Cantóni [1993]. Los primeros artículos restringen los pesos del
75
agrupamiento a unos valores reales, mientras que Cantoni generaliza su estudio
introduciendo dos pesos por antenas.
Considerando un agrupamiento lineal de N elementos de antena, los cuales reciben señales
generadas por fuentes10 de banda estrecha q, con frecuencia central f0 y localizadas en θ1,
θ2,…,θk, entonces la salida del agrupamiento puede expresarse como [Evans 1984]:
)()( txtyT!= (65)
donde x(t) es el vector de las señales recibidas por los elementos del agrupamiento y ωT es
vector de transpuesto del vector de pesos ω.
Para una fuente estacionaria y dado el vector de pesos, se tiene que la potencia de salida del
agrupamiento es
!!! RPT
=)( (66)
La matriz de correlación R definida como
)]()([ txtxERT
= (67)
donde E denota el valor esperado.
La respuesta del agrupamiento a una onda plana que incide en el agrupamiento, con una
frecuencia f0 y con una dirección θ, puede ser representada como:
10 Se entiende por fuente aquel terminal móvil activo que está demandando recursos del sistema.
76
!"" )()( Cr = (68)
donde C es la matriz de direcciones, la cual contiene las contribuciones de los N elementos
del agrupamiento, la cual está dada por
!"
#$%
&=B
DC (69)
En este caso, D y B representan la parte real e imaginaria de la salida del agrupamiento
respectivamente y se dan como.
( )
NjfsenB
fD
j
j
,..,1)),(2(
)(2cos
0
0
==
=
!"#
!"# (70)
τj es el tiempo de arribo de la onda en el j-ésimo elemento del agrupamiento.
La respuesta del agrupamiento puede ser dirigida en K direcciones, por una restricción
lineal empleando el vector de pesos de la siguiente manera,
dC =! (71)
donde
NkkC
C
C
C
!
""""
#
$
%%%%
&
'
=
)(
)(
)(
2
1
(
(
(
M (72)
77
y
!!!!
"
#
$$$$
%
&
=
)(
)(
)(
2
1
kr
r
r
d
'
'
'
M (73)
d específica las respuestas deseadas para cada una de las direcciones (θ1, θ2,…,θk).
Con lo anterior se puede denotar un típico problema de optimización en un agrupamiento
de antenas, como lo describe Evans[1990]:
Problema 1:
dCù siguientelo bajo
R minimizar T
=
!! (74)
Las prestaciones obtenidas al resolver el Problema 1 se ven seriamente degradadas por un
desplazamiento en frecuencia, un error en la dirección de arribo, así como por los errores en
la geometría del agrupamiento. Todos estos factores afectan a la matriz de dirección C.
Para contrarestar estos factores es necesario modificar el Problema 1 y expresarlo de la
forma descrita por Ahmed [1984],
Problema 2
CCdùC
RT
!=~
todopara ~
siguiente lo bajo
minimizar "" (75)
78
Es decir, se desea una solución satisfactoria, incluso si C varia alrededor de su valor
nominal, como consecuencia de los factores anteriormente descritos. La intención de que
CC !~ , es introducir el siguiente problema de optimización
Problema 3
ÔS dSù siguientelo bajo
R minimizar T
!"#$ %
&& (76)
donde
{ } kN
RSCST22
:!
"#$%=
T es el límite de valores permitidos para la matriz de dirección respecto a un valor nominal
de C.
Por lo tanto, se puede expresar el problema de la robustez como un problema convexo de la
siguiente manera
Problema 4.
dCù siguientelo bajo
R minimizar T
!"
""
#$+% (78)
donde Γ ≥ 0 es la matriz de robustez, ε es un vector de tolerancia. Ahora bien, para
comprobar que el problema denotado por la ecuación (78), es un problema convexo, se
realiza la siguiente demostración:
Demostración:
En primer lugar, se tiene que demostrar si la restricción del problema (78) es una función
convexa. Para ello se divide la función de restricción en dos como
79
!"
!"
#$+%%
#$+%
dCù
dCù (79)
De estas funciones de restricción se obtiene el siguiente conjunto de restricciones para el
problema (78),
{ }!""!""" #$+%%#$+%&'= dCdCWn
,: (80)
Para que las funciones de restricción sean convexas, éstas tienen que cumplir con la
siguiente desigualdad (15), descrita en el capítulo 3,
)()1()())1((2121xfxfxxf !!!! "+#"+
Para demostrar que las funciones cumplen con esta desigualdad, se toman dos puntos
cualquiera de los contenidos en W, ω1, ω2 ∀∈ W y λ ∈ [0,1]. Se denota ( )ddd !! "+= 1
para simplificar el procedimiento y Γ ≥ 0. De esta manera, se tiene lo siguiente
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) !!""!
##"##"
#"#"#"#"#""##""#
=$+%
&+$$+&+$=
&$+&+$$+%$+&+$$+
1
|)|(1||
||1||111
2211
21212121
dCdC
dCCdC
(81)
de igual manera se tiene que
( )[ ] ( ) ( ) !!""!#""##""# =$+%=$+&+$$+$ 1112121
dC (82)
80
Por lo tanto, el conjunto de restricciones W es convexo. La matriz R es definida
positivamente, y de esta manera la función costo del problema (78) es una función convexa.
Con esto queda completamente comprobado que el problema (78) es un problema de
optimización convexa, debido a que cumple con todas la características necesarias descritas
en el capítulo 3.
Con el desarrollo matemático realizado en este apartado, se puede resolver el problema de
la síntesis del diagrama de radiación, con restricciones de robustez mediante los métodos
de punto interior, además de que pueden generar nuevas estadísticas mediante un proceso
de simulación.
V.3 Simulaciones de la síntesis del diagrama de radiación con
restricciones de robustez empleando optimización convexa.
En el apartado anterior se presentó el modelado matemático de la síntesis del
diagrama de radiación con restricciones de robustez. Entonces, el objetivo de este apartado
es, mediante simulaciones, aplicar optimización convexa a la síntesis del diagrama de
radiación con restricciones de robustez. De esta manera se comprobará la robustez de la
optimización convexa.
En estas simulaciones se establecen las siguientes consideraciones de diseño del diagrama
de radiación: mantener y uniformizar el nivel de los lóbulos laterales por lo menos en un
nivel de -19dB, como se establece en la normativa de las comunicaciones inalámbricas.
Otra consideración muy importante es, mantener el ancho de haz que debe mantenerse lo
más parecido posible al de la respuesta natural del agrupamiento de antenas. Como grados
81
de libertad y restricciones de robustez, se consideran la reducción del nivel de los lóbulos
laterales en -40dB, en una zona angular densamente poblada por interferentes. Además se
considera la eliminación de interferentes en posiciones espaciales específicas dentro del
margen de visibilidad del agrupamiento lineal de antenas.
Para estas simulaciones se considera el siguiente escenario de simulación:
• Un agrupamiento lineal uniforme (ALU) de 30 elementos de antena, separados a
una distancia de λ/2.
• Se fija un HPBW de 5°.
• Se considera el usuario de interés ubicado espacialmente en 90°, además de tres
interferentes ubicados espacialmente en 20°,40° y 140°.
V.3.1 Síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez
En una primera simulación se busca optimizar un diagrama en modo transversal, donde
se reduzca el nivel de los lóbulos laterales, por lo menos -19dB. También se desea
disminuir el nivel de los lóbulos laterales en dos zonas densamente pobladas de
interferentes, a un nivel de -40dB. Estas zonas cuentan con un ancho de 20°, ubicadas de
62° a 82° y de 98° a 118°, además de la eliminación de 3 interferentes ubicados en 20°, 40°
y 140°. En esta simulación se fija un ancho de haz de 5°. En la Figura 18 se muestra el
diagrama ya optimizado.
82
Figura 18. Diagrama optimizado para reducir el nivel de lóbulos laterales en -40dB, para dos zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. Las zonas angulares están ubicadas de 62° a 82° y en 98° a 118°.
De la Figura 18, se puede analizar que al aplicar la optimización convexa se logra disminuir
el nivel de los lóbulos laterales en las dos zonas angulares especificadas en un nivel de -
40dB, además se logró cancelar los tres interferentes. También se pudo disminuir y
uniformizar el nivel de los lóbulos laterales en -19.05dB. Con este análisis se concluye que,
el diagrama de la Figura 18 cumple con las condiciones de diseño establecidas y que
además se comprueba la robustez de la optimización convexa.
V.3.2 Disminuir el nivel de los lóbulos laterales en diferentes zonas de
interferentes
Es importante conocer los límites de la robustez y definir la cota dónde funciona
adecuadamente la optimización convexa. Por ejemplo, si se incrementa el número de zonas
83
de interferentes. Ahora bien, como una segunda simulación, se toman en cuenta las mismas
consideraciones de simulación que en el caso anterior, a excepción de que se variará el
número de zonas angulares, con un ancho de 20°, como se muestra en la Figura 19.
Figura 19. Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales en -40dB, en diferentes zonas angulares densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. a) Para una zona angular, b) dos zonas de interferentes, c) tres zonas de interferentes y d) cuatro zonas de interferentes.
En la Figura 19.a se observa que se reduce el nivel de los lóbulos en una zona angular de
61° a 82°, además de que el nivel del resto de los lóbulos laterales se uniformiza en -
26.01dB, los cuales están por debajo de lo establecido en las consideraciones de diseño.
También se cancelan los tres interferentes establecidos. De igual manera el diagrama de la
Figura 19.b, cumple con las consideraciones de diseño, pero en este caso, se tiene la
disminución en dos zonas angulares, en 61° a 82° y 98°-118°. A través del análisis se
84
obtuvo un incremento en el nivel de los lóbulos laterales en un 26.7% (6.96dB) respecto al
de la Figura 19.a. En el caso de las Figuras 19.c y 19.d, se diminuyó el nivel en tres y
cuatro zonas angulares respectivamente. El nivel de lóbulos laterales que se obtuvo, no
cumple con las consideraciones de diseño, ya que en estos casos el nivel de los lóbulos
laterales se incrementó un 29% (7.58dB) en el caso de 3 zonas de interferentes con respecto
al de una zona angular. Para el caso de de 4 interferentes es de 30.5% (8.01dB). En la
Tabla III, se tienen en forma resumida el nivel de lóbulos laterales que se puede obtener,
para diferentes zonas de interferentes.
Tabla III. Resultados del SLL al tener varias zonas de interferentes donde se reduce el nivel a -40dB.
Número de zonas de
interferentes 1 2 3 4
SLL (dB) -26.01 -19.05 -18.47 -18
De esta simulación se puede concluir que el número de zonas que se pueden manejar, para
cumplir con las consideraciones de diseño, es de dos zonas angulares. Al aumentar el
número de zonas de interferentes, el nivel de lóbulos laterales se incrementa y para llevar a
cabo este aumento de zonas dentro del diagrama, donde se cumpla con las consideraciones
de diseño, es necesario sacrificar el ancho de haz principal, porque como se ha presentado
en el capítulo anterior la optimización convexa es sensible al cambio del ancho de haz.
V.3.3 Simulación desplazando las zonas de interferentes
Hasta el momento se ha realizado el análisis con simulaciones en varias zonas angulares
específicas. A continuación se analizará qué sucede si se desplazan las zonas angulares. Por
85
tal razón se propone la siguiente simulación, que consiste en alejar las zonas angulares del
ancho de haz principal, eliminando los mismos interferentes de las simulaciones anteriores.
Se considera como punto de partida, dos zonas angulares ubicadas en 63° a 83° y en 97° a
117°, que se encuentran alejadas 4.5° del haz principal, como se muestra en la Figura 20.a.
Al analizar la Figura 20.a se obtiene lo siguiente: se logra disminuir el nivel en las zonas
angulares a -40dB, pero el nivel de los lóbulos laterales es de -18.38dB, el cual no cumple
con las consideraciones de diseño establecidas. Ahora bien, al alejar un grado las zonas
angulares con respecto del haz principal, como es el caso de la Figura 20.b, se tiene que el
nivel de lóbulos laterales obtenido es de –19.05dB. Este nivel ya cumple con las
condiciones de diseño. Cuando se desplazan más las zonas de interferentes, el nivel de los
lóbulos laterales disminuye como se observa en la Figura 20.c, donde se tienen las zonas de
interferentes alejadas 10.5° respecto al ancho de haz principal. En este caso se tiene un
nivel de lóbulos laterales de -26.36dB. La Tabla IV presenta de manera resumida, los
valores obtenidos del SLL, para diferentes distancias a las que se encuentran las zonas
angulares con respecto al haz principal.
Tabla IV. Valores de SLL para diferentes distancias de las zonas angulares con respecto al haz principal
Distancia de las zonas respecto al haz principal
4.5° 5.5° 10.5° 20.5° 30.5° 40.5°
SLL(dB) -18.38 –19.05 -26.36 -28.34 -28.5 -28.6
86
Figura 20. Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes, con un ancho de 20°. a) Zonas separadas 4° del haz principal, b) Zonas separadas 5.5°, c) Zonas separadas 10.5° y d) SLL respecto a la distancia de la zonas angulares al haz principal.
En la Figura 20.d, se presenta el comportamiento del nivel de los lóbulos laterales con
respecto a la distancia entre el ancho de haz principal y las zonas de interferentes.
Analizando esta curva se tiene que, el nivel de los lóbulos laterales disminuye conforme se
alejan las zonas angulares del ancho de haz principal. Mientras estas zonas se acerquen
hacia los extremos del margen de visibilidad, el nivel de los lóbulos laterales permanecerá
casi constante, manteniéndose en este caso en -28dB.
87
Del análisis de la Figura 20.d se sugiere que para lograr que el diagrama de radiación
cumpla con las consideraciones de diseño, es necesario que las zonas de interferentes se
encuentren separadas al menos 5° con respecto del haz principal propuesto en las
consideraciones de simulación. Con esto podemos concluir que la optimización convexa
funciona adecuadamente al desplazar las zonas de interferentes donde se desea disminuir el
nivel de los lóbulos laterales.
V.3.4 Incremento en el ancho de las zonas de interferentes.
Finalmente, otro aspecto a analizar es, determinar la respuesta que proporciona la
optimización convexa al incrementar el ancho de las zonas de interferentes, las cuales se
encuentran próximas al haz principal, y de esta manera poder definir el ancho adecuado de
las zonas de interferentes para cumplir con las consideraciones de diseño.
Como una última simulación se propone aumentar el ancho espacial de dos zonas de
interferentes. De igual manera que en las simulaciones anteriores, se desea eliminar tres
interferentes puntuales y además disminuir y uniformizar el nivel de los lóbulos laterales,
manteniendo un ancho de haz principal en 5°. Las zonas angulares iniciales se consideran
ubicadas espacialmente entre 62° a 82° y 98° a 118°, con un ancho de haz inicial de 20°
cada una. Como ya se ha analizado, en este caso se obtiene un nivel de lóbulos laterales de -
19.05dB, mostrado en la Figura 21.a., donde se comprueba que se cumplen con las
consideraciones de diseño establecidas.
88
Figura 21. Diagramas optimizados para reducir el nivel de lóbulos laterales en -40dB, en dos zonas densamente pobladas con interferentes con un ancho variable. a) Zona con un ancho de 20°, b) Zonas con un ancho de 25°, c) Zonas con un ancho de 40°. En d) SLL respecto al ancho de las zonas angulares al haz principal.
Al incrementar el ancho de las zonas de interferentes, el nivel de los lóbulos laterales
aumenta, como se puede observar en las Figuras 21.b y 21.c. Para el caso de la Figura 21.b
se incrementa la zona interferente de 20 ° a 25 °. Analizando esta figura se observó que, el
nivel de los lóbulos laterales se incrementó un 4.6% (0.89dB) con respecto al de zona de
20° de ancho. En el caso de la Figura 21.c, se tienen zonas angulares con un ancho de 40°,
donde el ancho de haz se incrementó un 12% (2.32dB). En ambos casos se eliminan los tres
interferentes establecidos, pero no cumplen con el nivel de lóbulos laterales requerido por
la normativa de las comunicaciones inalámbricas.
89
En la Figura 21.d se presenta el comportamiento del nivel de los lóbulos laterales con
respecto al ancho de las zonas de interferentes, donde se obtiene que el nivel de los lóbulos
laterales que se puede minimizar y uniformizar, se incrementa conforme el ancho de las
zonas de interferentes también se incrementa.
Para este caso se propone trabajar con zonas angulares de 20° de ancho, porque es donde se
cumplen todas las consideraciones de diseño. Para tener zonas de interferentes más anchas
y que se cumpla con las consideraciones de diseño, se tienen que alejar las zonas de
interferentes con respecto del haz principal, para así reducir el nivel de los lóbulos laterales.
Otro parámetro que se puede modificar es el HPBW, en donde al incrementar este
parámetro se logra de igual manera disminuir el nivel de los lóbulos laterales.
Finalmente, con esto se comprueba la robustez de la optimización convexa, así como su
eficiencia para obtener la síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez.
Lo último por analizar es el tiempo de cómputo, debido a que se necesita comprobar que el
tiempo de cómputo se incremente de manera casi lineal con respecto al tamaño del
problema a optimizar.
V.4 Tiempo de cómputo
Para calcular el tiempo de cómputo, se empleó un equipo con las siguientes características:
CPU: Intel Pentium 1.86Ghz, 0.99GHz en RAM
Sistema Operativo: Microsoft Windows XP
90
Lenguaje: Matlab versión 7
Además se consideraron dos tipos de problema de síntesis de diagrama de radiación: el
primero es la minimización del nivel de los lóbulos laterales, manteniendo el ancho de haz
principal del diagrama en 6°; el segundo problema es uniformizar el nivel de los lóbulos
laterales manteniendo el HPWB en 6°. También se incluye una restricción de robustez, que
es la disminuir el nivel de lóbulos en una zona angular especifica de 20° de longitud. En
ambos problemas se incrementa el número de elementos de antena, separados a una
distancia uniforme de λ/2. En la Figura 22 se presenta el comportamiento del tiempo de
cómputo de los métodos de punto interior.
Figura 22. Tiempo de cómputo empleado para solucionar dos problemas de síntesis del diagrama de radiación.
En la Figura 22 se observan dos curvas; la línea punteada corresponde al tiempo de
cómputo empleado para solucionar el primer problema mientras que en línea continua se
91
tiene el tiempo de cómputo empleado para el segundo problema. El primer problema es
más sencillo que el segundo, y de la misma figura se puede analizar que el tiempo de
cómputo requerido para el primer problema es menor que para el segundo. De esta manera,
conforme se incrementa el número de elementos de antena, el tiempo de cómputo crece
cuasi linealmente con respecto al número de elementos de antena para ambos problemas de
optimización. Es importante notar que el tiempo de cómputo que se requiere para resolver
estos problemas, oscila entre 100ms y 900ms, dependiendo del tamaño del problema.
Comparando el tiempo de cómputo de la optimización convexa con el reportado por
Rocha[2006], para la evolución diferencial, que es de 8 a 9 horas, el tiempo de cómputo de
la optimización convexa es realmente pequeño. Entonces se puede comprobar que la
optimización convexa ofrece un tiempo de cómputo pequeño y se incrementa cuasi
linealmente con respecto al tamaño del problema.
V.5 Conclusiones.
Dentro de este capítulo se estableció el modelado, para poder desarrollar
simulaciones sobre la síntesis del diagrama de radiación con restricciones de robustez.
Bajo las consideraciones de simulación establecidas para la síntesis del diagrama de
radiación con restricciones de robustez, se comprobó la robustez de la optimización
convexa. Además se encontró que la síntesis del diagrama de radiación empleando
optimización convexa se ve afectada por el número de zonas de interferentes donde se
desea disminuir el nivel de potencia, debido a un incremento en el nivel de los lóbulos
laterales. También se encontró que la optimización convexa es sensible a la distancia a la
92
que se encuentran las zonas de dispersores con respeto al ancho de haz. Con esto se
propone trabajar en zonas de interferentes que estén alejadas por lo menos 5° respecto al
haz principal, para así obtener diagramas que cumplan con las consideraciones de diseño.
Finalmente se comprobó que la optimización convexa proporciona un tiempo de cómputo
relativamente pequeño y que este se incrementa conforme se incrementa la complejidad del
problema.
Capítulo VI
Conclusiones y Trabajo Futuro
En este capítulo se presentan las siguientes conclusiones y aportaciones obtenidas
durante el desarrollo de esta tesis, para cumplir con el objetivo de esta tesis, que es el
modelado y simulación de la síntesis del diagrama de radiación de un agrupamiento lineal,
empleando optimización convexa, también la metodología de la investigación:
VI.1. Sobre la optimización convexa
En esta tesis se ha mencionado que la optimización convexa ha sido empleada en
muchas áreas de la ingeniería, pero poco utilizada en los sistemas de comunicaciones
móviles celulares habilitados con antenas inteligentes. He aquí entonces la importancia y
originalidad de este trabajo, en el cual se busca aplicar la optimización convexa a la síntesis
94
del diagrama de radiación de un agrupamiento de antenas, y de esta manera, aportar nuevas
estadísticas al estado del arte de la síntesis del diagrama de radiación.
Previamente, al desarrollo del modelado y simulación de la síntesis del diagrama de
radiación empleando optimización convexa, se estudió la teoría necesaria para comprender,
y aplicar la optimización convexa en la síntesis del diagrama de radiación. A continuación
se presentan los puntos más importantes sobre la optimización convexa:
• Se encontró que la optimización convexa, consiste en la proyección de una función
convexa sobre un conjunto convexo. Además de que la optimización convexa,
considera un mínimo local como un mínimo global.
• Se establecieron los requerimientos, con los cuales debe contar un problema de
optimización convexa, como lo son: la función objetivo y las funciones de
restricción de desigualdad las cuales deben ser convexas, y las restricciones de
igualdad deben ser funciones affin.
• Un parámetro muy importante que se encontró es el intervalo de dualidad, debido a
que este parámetro, proporciona el criterio para detener los algoritmos de
optimización que se emplean para resolver los problemas de optimización convexa.
• Se estudiaron, los métodos de punto interior, con los cuales se resuelve el problema
de la síntesis de radiación, debido a que proporcionan una gran eficiencia y un
tiempo de ejecución rápido.
95
VI.2 En cuanto a la síntesis de diagrama de radiación empleando optimización convexa
En el capítulo 4, se modeló y simuló la síntesis del diagrama de radiación
empleando optimización convexa, donde el punto de partida fue la representación de la
síntesis del diagrama de radiación como un problema de optimización convexa.
Posteriormente se efectuaron simulaciones en el siguiente orden: primero para obtener la
respuesta natural de un agrupamiento lineal uniforme, para que de esta manera a través de
su análisis se obtengan las limitaciones de ésta y justificando así la aplicación de la síntesis
del diagrama de radiación. Después, se aplicó la síntesis del diagrama de radiación
aplicando optimización convexa y la síntesis de Taylor, obteniendo así las ventajas que
tiene la optimización convexa sobre las técnicas analíticas convencionales. También se
realizó un análisis más detallado de la síntesis del diagrama de radiación empleando
optimización convexa en agrupamientos lineales uniformes, considerando los escenarios de
simulación propuestos por Lebret [1995]. Finalmente, se efectuó la síntesis empleando
optimización convexa en agrupamientos lineales no uniformes. En el análisis realizado, los
puntos más importantes se presentan a continuación:
• La piedra angular de este trabajo fue expresar, a través de una modelado
matemátic0, el factor de agrupamiento en forma de una función convexa para poder
representar el problema de la síntesis del diagrama de radiación, como un problema
de optimización convexa. De esta manera se pudo resolver el problema de la
síntesis empleando los métodos de punto interior.
96
• En la simulación de las síntesis de Taylor se comprobó que las técnicas analíticas
convencionales, únicamente proporcionan una solución parcial al problema de la
síntesis del diagrama de radiación, debido a que no cumplen con todas las
consideraciones de diseño del diagrama de radiación establecidas en este trabajo.
• Se simuló la síntesis del diagrama de radiación en modo transversal, empleando
optimización convexa y considerando el problema de la minimización del nivel de
los lóbulos laterales, tomando como base los escenarios propuestos por Lebret
[1995] y así validar los resultados obtenidos en esta tesis. De esta manera, se
comprobó la viabilidad de usar la optimización convexa en la síntesis del diagrama
de radiación, ya que además de minimizar el nivel de los lóbulos laterales también
los uniformiza y mantiene el acho de haz lo más parecido posible al de la respuesta
natural.
• En el análisis de resultados, se consideró la dirigibilidad del haz principal dentro del
margen de visibilidad del agrupamiento. Al aplicar la síntesis empleando
optimización convexa, se obtuvo una ventana de dirigibilidad cercana a la obtenida
por Zamora[1999].
• Un parámetro muy importante que se encontró fue el ancho de haz principal, debido
a que al incrementarse éste, se puede incrementar la ventana de dirigibilidad
obtenida en base a las consideraciones de diseño aquí reportadas, además de que el
nivel de lóbulos que se puede minimizar llega a ser menor.
• Finalmente y como una aportación de este trabajo, se comprobó que se puede
aplicar la síntesis del diagrama de radiación, en agrupamientos no uniformes ya
optimizados y en la ubicación de sus elementos de antena dentro del agrupamiento,
97
mejorando su respuesta en modo transversal con respecto a la minimización de los
lóbulos laterales.
VI.3 En cuanto al análisis de la robustez de la optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación
Una vez comprobado el funcionamiento y la eficiencia de la optimización convexa,
para resolver la síntesis del diagrama de radiación, en el capítulo V se realizó el análisis de
la robustez de la optimización convexa aplicada en las síntesis del diagrama de radiación,
mediante el modelado y simulación de la síntesis del diagrama de radiación con
restricciones de robustez.
• Se estableció el modelado matemático para representar la síntesis del diagrama de
radiación con restricciones de robustez, como un problema de optimización
convexa, y de esta manera resolver el problema de las síntesis empleando los
algoritmos de punto interior.
• Para comprobar la robustez de la optimización convexa, se propuso un escenario de
simulación con condiciones adversas que deterioran potencialmente el sistema de
comunicaciones móviles celulares, como son: zonas angulares densamente pobladas
por interferentes y simultáneamente tres interferentes puntuales. Al aplicar la
síntesis del diagrama empleando optimización convexa, se logró eliminar los tres
interferentes puntuales, además de reducir el nivel de lóbulos laterales en las dos
zonas de interferentes. También, se consiguió alcanzar un nivel de lóbulos laterales
98
de -19 dB. En base a esta simulación se comprobó la robustez de la optimización
convexa.
• Mediante el análisis de los resultados, se encontraron los límites de la robustez y se
definieron las cotas, donde funciona adecuadamente la optimización convexa, para
cumplir con las consideraciones de diseño del diagrama de radiación establecidas.
La optimización convexa funciona adecuadamente con dos zonas de interferentes,
ubicadas por lo menos a 5° respecto del haz principal, estableciendo el ancho de
estas zonas a 20°.
• Se encontró que la distancia a la que se encuentran las zonas de interferentes con
respecto al haz principal, es un parámetro importante, debido a que mientras más se
alejan las zonas de interferentes respecto al haz principal, el nivel de los lóbulos
laterales que se pueden disminuir es mayor, existiendo la posibilidad de que el
ancho de la zona de interferentes se puede incrementar.
• El análisis de la robustez presentado en este trabajo de tesis, es una aportación muy
importante, ya que Lebret [1995] no presenta un análisis tan completo de la
robustez. Además de que, a través de una extensa búsqueda bibliográfica, no se
encontraron trabajos reportados en los cuales se muestre un análisis de la robustez
de la optimización convexa aplicada a la síntesis del diagrama de radiación.
• Finalmente, se comprobó que el tiempo de cómputo que requieren los algoritmos de
punto interior es pequeño en comparación con otras técnicas como lo son:
algoritmos genéticos y evolución diferencial, observando además de que se
incrementa cuasi linealmente con respecto al tamaño del problema.
99
En base a la metodología establecida al inicio de este trabajo, además de los resultados
obtenidos durante el tiempo de desarrollo de este trabajo de tesis, se puede decir que se ha
cumplido satisfactoriamente con el objetivo planteado, incluyendo aportaciones no
establecidas al principio de la investigación.
VI.4 Publicaciones resultado del trabajo de investigación A partir del trabajo realizado en esta tesis, se generaron las siguientes publicaciones:
1. Síntesis del Diagrama de Radiación de Agrupamientos de Antenas empleando
Optimización Convexa. Presentado en el Encuentro en Investigación en Ingeniería
y Eléctrica (ENINVIE 2007) marzo del 2007, Zacatecas.
2. Analysis of robustness for convex optimization applied to array antenna
pattern synthesis. A someterse a la revista internacional ETRI Journal .
VI.5 Trabajos Futuros
Como recomendaciones para trabajos futuros de investigación, basadas en la
síntesis del diagrama de radiación empleando optimización convexa, se pueden mencionar
las siguientes:
• Efectuar la síntesis del diagrama de radiación, empleando optimización convexa en
diferentes geometrías de agrupamientos, como una geometría planar, circular y
100
cilíndrica, para comprobar el funcionamiento de la optimización convexa en
diferentes geometrías de agrupamientos de antenas y aumentar la robustez del
problema.
• Analizar el comportamiento de la síntesis del diagrama de radiación, aplicando otras
restricciones de robustez tales como; la variación de la frecuencia de las señales de
interés y errores en la geometría del agrupamiento. De esta manera generar nuevas
estadísticas, en las cuales se obtengan las ventajas y limitaciones de la optimización
convexa.
101
Referencias
• Ahmed K.M. y Evans R.J., 1982, Robust adaptive array antennas. J. Acoust.
Soc. Amer., 71(2) :384–394.
• Ahmed K.M. y Evans. R.J., 1983, Broadband adaptive array processing. IEE
Proc., 130, Part F(5) :433–440.
• Balanis. C. A. 2005. Antena Theory. John Wiley and Sons. Tercera edición,
1117pp.
• Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., y Balakrishnan V., 1994 Linear Matrix Inequalities
in System and Control Theory, vol. 15 of Studies in Applied Mathematics.
Philadelphia, PA: SIAM. 205pp.
• Boyd S., Vandenberghe L., y M. Grant, 1994, Efficient convex optimization for
engineering design, in Proc. IFAC Symp. Robust Contr. Des., pp. 14–23.
• Boyd S. y Vandenberghe L., 2004, Convex optimization, Cambridge
University Press. 730pp.
• Bucci. O. M., D’Elia D., Mazzarella G. y Panatiello G., 1994. Antenna pattern
synthesis: A new general approach, Proc. IEEE, 82: 358–371.
• Byrne C., 1993, “Iterative image reconstruction algorithms based on
crossentropy minimization,” IEEE Trans. Image Processing, 2: 96–103.
• Cardama. A., Jofre. L. y Ferrando. M., 2002, Antenas. Ediciones UPC.
Segunda Edición. 460pp.
102
• Cantoni A., Lin X. G., y Teo K. L., 1993, A new approach to the optimization
of robust antenna array processors, IEEE Trans. Antennas Propagat., 41:
403–411.
• Dolph. C. L, 1946. A current distribution for broadside arrays which optimizes
the relationship between beam width and side-lobe level, Proc. IRE, 34: 335–
348.
• Evans R. J. y Ahmed K.M., 1984, An adaptive array processor with
robustness and broad-band capabilities. IEEE Trans. Antennas Propag., 32(9)
:944– 950.
• Godara, L. C. 1997. Application of Antenna Arrays to MobileCommunications,
Part II. Proceedings of the IEEE, 85(8): 1195-1245.
• Godara, L. C. 2002. Handbook of Antennas in Wireless Communications. CRC
Press. Primera Edición. Boca Raton. 954 pp.
• Gonzaga C. C., 1992, Path-following methods for linear programming, SIAM
Rev., 34(2): 167-224.
• Grant. M. y Boyd. S., 2006. CVX User’s Guide, Stanford University. 61pp.
• Hansen, R. C. 1998. Phased Array Antennas. John Wiley and Sons, Inc.
Primera Edición. New York 504pp.
• Hindi H., 2004, A tutorial on convex optimization, Proceeding of the 2004
American control Conference, Junio 30- Julio 2, Boston, Massachusetts.
• Karmarkar N., 1984, A new polynomial-time algorithm for linear
programming, Combinatorica, 4(4): 373-395.
• Kirsch U., 1993, Structural Optmization, Berlin: Springer-Verlag.
103
• Kumar B. P. y Branner G. R., 2005, Generalized Analytical Technique for the
Synthesis of Unequally Spaced Arrays with Linear, Planar, Cylindrical or
Spherical Geometry, IEEE Trans. Antennas Propag., 53(2): 621-634.
• Lasdon L. S., Plummer J., Buehler B., y Warren A. D., 1987, Optimal design
of efficient acoustic antenna arrays, Math. Programming, 39(2): 131–155.
• Lebret H., 1995, “Synthese de diagrammes de réseaux d’antennes par
optimization convexe,” I in Quinzi´eme Colloque GRETSI traitement signal
images, 1: 241–244
• Lobo S. M., Vandenberghe L., Boyd S. y Lebret H., 1998, Applications of
Second-order Cone Programming, Stanford University, 36pp
• Nesterov Yu. y Nemirovsky A., 1994, Interior-Point Polynomial Methods in
Convex programming, vol. 13 of Studies in Applied Mathematics.
Philadelphia, PA: SIAM. 405pp
• Panduro M. A., Covarrubias D., H., Brizuela C. A., y Marante F. R., 2005 A
multi-objective approach in the linear antenna array design, Int. J. Electron.
Commun (AEÜ), 59: 205-212.
• Rocha C., Covarrubias D. H., Brizuela C. A. y Panduro M. A., 2006
Differential Evolution Algorithm Applied to Sidelobe Level Reduction on a
Planar Array, Int. J. Electron. Commun (AEÜ), 61:286-290
• Rappaport S. T. y Liberti J. C., 1999. Smart Antennas for Wireless
Comunications: IS -95 and Third Generation CDMA Applications, PTR|PH.
376pp.
104
• Sancheti P. y Sapatnekar S., 1994, Interconnect design using convex
optimization, in Proc. IEEE Custom Integrated Circuits Conf., pp. 549–552.
• Schelkunoff. S. A., 1943. A mathematical theory of linear arrays, Bell Syst.
Tech. J., 22(1): 80– 107.
• Taylor T.T., 1955 Design of Line-Source Antennas for Narrow Beamwidth and
Low Side-lobes, IRE Trans. Antennas Propagat., AP-3(1): pp. 16-28.
• Yepes L., 2006, Conformación digital de haz adaptativa vía el método de
proyección paralela en agrupamiento de antenas, Tesis de Maestría, Centro
de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada.
• Zamora J. A., 2002 Modelado y simulación de técnicas de conformador de haz
para antenas inteligentes. Tesis de Maestría, Centro de Investigación
Científica y de Educación Superior de Ensenada.
105
Apéndice A
Síntesis de Taylor
Este método es útil para generar un diagrama de radiación en modo transversal
cuyos lóbulos menores siempre decaen conforme se alejan del lóbulo principal. El
nivel de lóbulos se puede controlar a través de establecer el valor de un parámetro, el
cual es el único valor que es posible manejar (a parte del tamaño del agrupamiento) es
por esta razón que se utiliza el término “un parámetro”.
Este método produce como resultado un diagrama de radiación del agrupamiento, con
especificación del nivel de lóbulos deseado y del la longitud del agrupamiento.
La forma de la excitación propuesta por Taylor es
!!"
!!#
$%%&
''
(
)
**
+
,-.
/01
2&
=
z' de valor otro cualquier
lzl l
zBjJ
zIn
0
2/'2/,'2
1)'(
2
03
(83)
donde J0 es la función de Bessel de primer tipo de orden cero, l es la longitud total del
agrupamiento lineal, y B es una constante que se determina según el valor del nivel de
lóbulos deseado.
El factor de agrupamiento para la síntesis de Taylor esta expresado por
106
( )[ ]( )
( )[ ]
Bu Bu
uBsenl
Bu uB
uBsenhl
FA
!!
"
!!
#
$
>%
%
<%
%
=
22
22
2
22
2
2
)(,)(
)(,
)(
&&
&
&&
&
' (84)
donde
!"
# cosl
u = (85)
La desigualdad u2 < (πB)2 en la ecuación () representa la región cercana al lóbulo
mayor. Los lóbulos menores se encuentran en la región u2 > (πB)2. Cuando u = 0, es
decir, cuando θ = π/ 2 , la altura del patrón es máxima, y su valor está dado por
0max
)()( H
B
BsenhFA ==
!
!" (86)
La altura máxima del lóbulo lateral es H1 =0.217233 cuando u = 4.494. Usando la
ecuación (79), se define el nivel del lóbulo lateral como sigue
)/()(
217233.01
00
1
BBsenhRH
H
!!== (87)
donde
)(
)(603.4
)(
)(
217233.0
10
B
Bsen
B
BsenR
!
!
!
!== (88)
El parámetro B debe ser obtenido a partir de la ecuación (88). En la Tabla V se proporcionan los valores de B, para diferentes niveles de SLL [Hassen, 1998]
107
Tabla V. Valores del parámetro B para diferentes niveles de SLL.
SLL (dB) B
13.26 0
15 0.3558
20 0.7386
25 1.0229
30 1.2762
35 1.5136
40 1.7415
45 1.9628
50 2.1793
Top Related