CA 4042: Campos
Electromagnéticos
Instructor: Ing. Héctor C. Vergara V.
Profesor de Facultad de Ingeniería Mecánica
Centro Regional de Azuero
Universidad Tecnológica de Panamá
Móvil: (507) 6677-5920, email: [email protected]
Libro de Texto:
M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo 5th ed. Oxford University Press, 2009.
Lectura Auxiliar:
W.Hayt, J.Buck, Teoría Electromagnética, 8va ed. McGrawHill, 2012.
Todas las figuras son tomadas del libro de texto principal a menos que se diga lo contrario
Cap. 7 (Sadiku), Cap. 8 (Hayt)Campos Magnetostáticos
2
Capítulo 3: Campos Magnetostáticos
• Tópicos Cubiertos
– Fuentes de Campos Magnéticos.
– Ley de interacción magnética entre dos
cargas puntuales en movimiento.
– Campos Magnéticos producidos por
corrientes.
– Ley de Ampere.
– Fuerza Magnética.
– Potencial Vectorial Magnético.
– Energía Magnética.
• Tarea del Sadiku, Problemas: 3, 10,15, 25,
27, 28, 31, 32, 34, 39
All figures taken from primary textbook unless otherwise cited.
Introducción a los campos magnéticos
• En electrostática estudiamos divergentes campos potenciales
• En magnetostática, examinaremos campos rotacional (solenoide)
• También considerando que, los campos electrostáticos son generados por cargas estáticas, magnetostática campos son generados por las corrientes estáticas (cargas que se mueven con velocidad constante en una dirección determinada)
• Existen varias similitudes entre campos electrostáticos y Campos Magnetostáticos.
• Por ejemplo, como teníamos 𝐸 y 𝐷 para electrostática, ahora usamos 𝐵 y 𝐻para examinar sistemas magnéticos
• Nuestro estudio de estos campos nos permite evaluar y resolver para un enorme número de aparatos eléctricos y electromecánicos.
• Además este estudio servirá de base para la formulación de una teoría universal de campos electromagnéticos que se utiliza en casi todos los aspectos de la ingeniería eléctrica.
3
Analogía entre campos eléctricos y magnéticos
• Leyes Básicas
• Ley de fuerza
• Elemento de carga
• Intensidad de Campo
• Densidad de Flujo
• Relación entre Campos
• Potentiales
• Flujos
• Densidad de Energía
• Ecuación de Poisson4
Eléctricos Magnéticos
D C / m
S
2V v
Q
C V
D
d S
4 r
d l
V L
D E
a4 r 2 r
w E D E
D d S Q e n
c
F Q E
d Q
d tI C d V
E
V
E V
(V /m )
l
Q 1Q 1F
2
2
1
B W b / m 2
w E B H2
2 A J
d I
d tI
L
B
d S
L I
I d l
4RA
H V , ( J
0 )
B H
S
H ( A / m )l
I
F Q u
B Q u
I d l
I e n c H d l
4R
0 I d l a rd B
m
2
1
Fuentes de Campos Magnéticos
Cable de Corriente
Espira Solenoide Barra Magnética (Imán)
La Tierra
Los Campos Magnéticos son producidos por corrientes eléctricas, quepueden ser corrientes macroscópicas en los cables, o corrientesmicroscópicas asociadas con los electrones in las órbitas atómicas.
Campos Magnéticos: Conceptos, Interacciones y Aplicaciones
Ley de Biot-Savart
• El diferencial de la intensidad de campo magnético, dH, producido en un punto P, por
el elemento diferencial de corriente, Idl, es proporcional a el producto Idl y el seno del
ángulo α entre el elemento y la línea que une a P con el elemento e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia, R, entre P y el elemento
5
4R 3 4R 24R 2d H
Id l
a R
Densidad de corriente• El diferencial de corriente se define basado en la geometría del elemento diferencial de
corriente investigado
• Evaluando la intensidad de campo
mangético, H, usando estas tres
corrientes diferenciales son:
6
Id l K d S J d v
v
S
H
L
J d v aH
K d S a RH
I d l
a
R
R
4R
4R 2
4R
2
2
z cot
dz csc 2 d
I csc da
4 csc 3
H sin d a
cos 2 cos 1 a
H a2
H a
4
2
4
4
I
I
IH
I
H L
• El campo H esta determinado por un filamento recto de corriente en una manera muy
similar como en el campo eléctrico determinado por una línea de carga
letting
2 2
1
El campo H en el punto P debido a
un conductor filamentoso recto
4 2 z 2
H
H
d l d z a z
R a z a z
d l R d z a
Id l R
L
L
Id z a
4R
3 / 2
3
Cambiando de variable
Línea de z = 0 a
Línea de z = - a
7
Campo H de una espira circular
• Nuevamente, El campo H está determinado por una espira circular de corriente de manera
muy similar como en el caso del campo eléctrico por una línea circular de carga
8
d l d a
R 0 ,0 , h x , y ,0 a
La dirección no presenta simetría en R
h a z
L4R
I d l R
H 3
4 2 h 2 3 / 2
a d a z 2
z z
d a z
a a z
d 0
0 h
d Hd H d H a
h d ˆI
d H
h d a
a
d l R 0
2
Campo H de una espira circular
• Nuevamente, El campo H está determinado por una espira circular de corriente de manera
muy similar como en el caso del campo eléctrico por una línea circular de carga
8
d l d a
R 0 ,0 , h x , y ,0 a
La dirección no presenta simetría en R
h a z
L4R
I d l R
H 3
4 2 h 2 3 / 2
z z
a a z
d 0
0 h
d H
h d ˆI
h d a 2
9
Linea de z = - a
Por simetría, el término se elimina
Nos queda;
2a 2 z 2 3 / 22a 2 z 2 3 / 2
dz acsc 2 d a z
s in d
d H nI s in d
H z s in d cos 2 cos 1
2
2 3 /
22
Ia 2 dl Ia 2 ndz
22
2
dl ndz N
dzl
t an a
z
nI1
1
d H
nI
a
z
z
Campo H de un Solenoide
10
• Un solenoide es una bobina (coil) o cables por donde pasa la corriente a través de un
radio uniforme y un número de vueltas, N. Se puede determinar el campo dentro de un
solenoide asumiendo cada uno de los campos debido a cada bucle (vuelta). Así, el
campo total en cualquier lugar en el solenoide puede ser encontrado como:
Derivation:
c o s 2 c o s 1 az
a zH n I a z
N I
w h e r e n
N / l
if
l a
n IH
2
Line from z = - to
• Ley de Ampere: La integral de línea de H alrededor de una trayectoria cerrada
es igual a la corriente neta, Ienc, encerrada por esa trayectoria
H dl I en c
– Similar a la ley de Gauss, la ley de Ampère es de fácil aplicación para
determinar H cuando la distribución de corriente es simétrica
– La ley de Ampère mantiene validez aun si la distribución de corriente no es
simétrica, sin embargo la ecuación es típicamente utilizada para casos de
simetría
– Como la ley de Gauss y la ley de Coulomb, la ley de Ampère es un caso especial
de la ley de Biot-Savart y puede ser derivada directamente.
• Aplicando el teorema de Stokes provee una solución alternativa al método.
Ley de circuitos de Ampère
11
H d S
I e n c
I H d lSL
e n c
Maxwell’s 3rd Eqn.
Definición de Corriente previsto en el Capítulo 5
• Una simple aplicación de la ley de Ampère puede utilizarse para derivar fácilmente
la intensidad del campo magnético de una corriente de línea infinita
I H a
da H a2
I
I en c
Aplicaciones de la Ley
de Ampère
12
• Considere una hoja infinita de la corriente en el z = 0 plano con una
densidad de corriente uniforme, K=Kyay
0 a H 0 b 0a H 0 b 2 H 0b
H dl H dl
H 0 a x , z 0
H a , z
0H
I en c H dl K y
b0 x
2 3 4 1
1 2 3 4
Aplicaciones de la Ley de Ampère:
Lámina infinita de corriente
13
2
H
1
K a , z
0
K y a x , z 0
H o
K
12
y x
y
H K a n2
1 Thus, for an
infinite sheet
Aplicando la ley de Ampère
De la ley de Ampère y la suma de integral
• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje
de los campos magnéticos mediante cables coaxiales
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita
16
0 a
I
2a 2
a 2
I 2
a 2
I 22
0
0a 2
a 2
H dl H 2 I
dS dda z
J a
L1
H
dd I
I J dS
I
I en c H dl J
dS
en c
en c
z
17
• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje
de los campos magnéticos mediante cables coaxiales
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita
2
I en c H dl I
H dl H 2 I en c
L1
a b
H I
18
• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje
de los campos magnéticos mediante cables coaxiales
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita
I
b t 2 b 2
b t 2 b 2 d
t 2 2bt 1
2
t 2 2bt I I 1
2 b 2
2 b 2
b t
H
I
en c
J
b b t
III
a
en c
z
17
• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje
de los campos magnéticos mediante cables coaxiales
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita
20
2
H
0, b t
a , b b tt 2bt
2 b 2
1
a , a b
a ,0 a
I
2a 2
I
I
2
2
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Línea de transmisión coaxial de longitud infinita
• Se puede utilizar la ley de Ampère para mostrar directamente el blindaje
de los campos magnéticos mediante cables coaxiales
• Considerar 2 hojas infinitas de la corriente en el z = 0 y z = 4 planos con una densidad
de corriente uniforme, K=-10ax A/m and K=10ax A/m respectivamente
• En un punto entre las dos placas, P (1,1,1) en paralelo donde 0 < (z = 1) < 4
19
H H 0 H 4 10 a y A / m
• En un punto fuera de las placas, P(0,-3,10) donde (z = 10) > 4 > 0
10 a x a z 5 a y A / m
10 a x a z 5 a y A / mH 4 K 4 a n
K 0 a n
H 0
1
2
1
22
1
1
2
H 0 K 0 a n 10 a x a z 5 a y A / m
H 4 K 4 a n 10 a x a z 5 a y A / m
H H 0 H 4 0 A
2 2
11
2
1 1
2
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Láminas de corriente paralelas infinitas -Capacitor
• Un toroide es un solenoide enrollado en sí mismo como un donut
2 o l
22
NI
NI
H
, a aNI
H
H d l H 2 NII en c
a p p ro x
oo2
Aplicaciones de la Ley de Ampère: Toroide
• Asimismo, ley de Ampère es
• Y el flujo magnético a través de una superficie es
• El flujo magnético a través de un sistema cerrado es
donde
Densidad de Flujo Magnético
23
B 0 Definición de un campo
solenoidal y 4 ecuación de
Maxwell.
• Densidad de flujo magnético, B, es el equivalente magnético de la densidad de
flujo eléctrico, D. Como tal, se puede definir
• A diferencia de flujo electrostática el flujo magnético siempre sigue una ruta cerrada y
el doblez sobre sí mismo. Esta simple declaración tiene consecuencias profundas. En
electrostática, fácilmente podemos definir una carga puntual en el cual emanan
campos eléctricos hasta el infinito. Sin embargo, la naturaleza del campo magnético
solenoidal requiere un flujo magnético para viajar de un polo positivo (norte) a un polo
negativo (sur) y no es posible tener un solo polo magnético en cualquier momento.
• No existen monopolos magnéticos, esto estipula que una carga magnética
cargada no existe.
• El requisito mínimo para el campo magnético es un dipolo
24
Densidad de Flujo Magnético
Ecuaciones de Maxwell para
Campos Estáticos
Forma Diferencial (o puntual) Forma Integral Acotaciones
Ley de Gauss
Inexistencia del monopolo
magnético
Conservatividad del
campo electrostático
Ley de Ampere H J
E 0
B 0
D v
B dS 0S
H dl J dSL S
E dl 0
L
D dS vdvS
9/17/2012 25
26
• En el capítulo 4-6, discutimos varios problemas electrostáticos que fueron resueltos más
fácilmente usando el potencial eléctrico para definir la intensidad del campo eléctrico, E.
• Los mismos enfoques también reducen la dificultad de examinar los problemas del
campo magnético.
• Recordando del capítulo 3 donde un campo solenoidal puede ser descrito por su
escalares y vectores potenciales, podemos definir un campo magnético, utilizando la
siguiente.
requerimientos
.
• Al igual que E V , Podemos definir un potencial escalar magnético Vm relacionada con H cuando la densidad de corriente es cero como:
Potenciales magnéticos
escalar y vectorial
A 0
V 0
H Vm , J 0
J H Vm 0
m
• El requisito para un campo solenoidal (y la 4ta ley de Maxwell de electrostática) estipula
B 0
• Y por lo tanto, podemos definir un potencial vector magnético, A, como
B A
• Así como hemos definido el potencial eléctrico como V
• Podemos definir el vector potencial Magnético como
25
Para corriente de línea
Para corriente de superficie
Para corriente volumétrica
4 0r
dQ
A V
A S
A L
4R
Jdv
4R
4R
0KdS
0Idl
0
Potenciales magnéticos
escalar y vectorial
• Sustituyendo
26
• Uno puede también derivar estas expresiones directamente desde el campo magnético
• Donde R es el vector distancia del elemento dl’ en la fuente hasta el campo en el punto
(x,y,z)
3
Idl 'RB
0
LR4
R r r' x x'2 y y'2 z z'2
R3 R2
1
R
aR
R
Una función de (x’,y’,z’) así dl ' 0Sin embargo, El operador Del en (x,y,z) y dl’ es
fF fF f F
R
dl ' dl ' dl '
R
1
R
1 B Idl '
4
R
Aplicando la identidad
L
1
0
A L
Idl 'B 0
dl '
R
dl '
R
1
L
4R
0Idl
4R
Potenciales magnéticos
escalar y vectorial
• Aplicando el teorema de Stokes proporciona algunas relaciones prácticas bastante
útiles, incluyendo pero no limitado al flujo magnético total a través de una zona, S,
delimitada por un contorno, L.
27
B dS A dS A dl
A dlL
Ls s
Potenciales magnéticos
escalar y vectorial
28
• Recordar la identidad básica vector
Deducción de la ley de Biot-Savart
A A2 A
R r r ' x x'2 y y'2 z z'2
4
B dl ' 4 R R
B L
B 0I dl 'aR
R
1
L
dl ' 1
R
dl '
L
R
L
R2
R3 R2
aR
I
Idl ' I0 0
4R 4
0
• Derivación de la ecuación. de Poisson el Vector para los campos magnéticos y la densidad
de corriente
• Derivación de la ley de Ampère
29
B A2 A
2 A H J
A 0
00
H dl HdS 1
AdS
A 2 A J
H dl IL
H dl J dS IL S
SL S
0
0
Deducción de la ley de Ampère
co s 2 co s 1 a
co s 2 co s 1 a
co s 2 co s 1 a a
H H 1 H 2 a x a y 1 a z 4 2 5 2 5 4 5
I 4ˆ
3ˆ
1 3
a y
3
5
2 0 5
I 4
a x
H 2
9 1 6
5
3 2 4 2
a y
a y
5
4a x
a x
H
1 a z1 6 5
I 3 H 1
1 6
4
0 2 4 2
co s 2 1
co s 1 3 /
5
a a z
H
H H 1 H2
I
I
3
5
4
5
3
5
4
4
2
1
Campo H debido a un filamento que
lleva corriente en forma de L• El campo H es determinado por un filamento estrecho de la corriente de una manera
muy similar a la del campo eléctrico se determina a partir de una línea de carga
L 4 z
H
d l R d z a
z aR a
d l d z az
I d l R
H
z
L
I d z a
3 / 22 2
30