Download - Capítulo 4

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  • 4

    Computaes Matemticas

    Como discutido nos captulos anteriores, o Maple contm numerosos recursos embutidos para

    computaes.

    Estes recursose outros na Maplesoft Web siteesto disponveis para as reas discutidas neste

    captulo e muito mais. Seu primeiro passo na resoluo de problemas deveria ser a reviso dos recursos

    relacionados disponveis do Maple. Isto o ajudar a resolver problemas rpida e facilmente. Veja a

    tabela 4.1.

    Tabela 4.1: Recursos do Maple para Computaes Matemticas

    Recursos Descrio Assistentes Apontar-e- Clicar

    Interfaces grficas com botes e sliders para realizar

    facilmente uma computao, criar grfico ou realizar

    outras operaes.

    Do menu Tools, selecione Assistants. Menus de contexto

    O menu pop-up de operaes comuns para o objeto selecionado, baseado em seu tipo. Selecione a expresso em 2-D de entrada ou de

    sada e clique com o boto direito (para Macintosh,

    Control-clique). Paletas

    Colees de itens relacionados que voc pode inserir

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  • clicando sobre o item ou arrastando-o. Algumas

    paletas contm operaes matemticas com lugares

    de espera (placeholders) para os parmetros.

    Do menu View, selecionar Palettes e depois

    Expand Docks. Tarefas templates

    Conjunto de comandos com locais de espera que

    voc pode usar para realizar rapidamente uma tarefa.

    Algumas tarefas contm componentes grficos como

    botes.

    Do menu Tools, selecione Tasks e ento Browse.

    Recursos Descrio comando FunctionAdvisor Prov informao detalhada sobre funes

    matemticas, por exemplo,definies,

    identidades e propriedades matemticas

    Consultar as pginas de ajuda ?FunctionAdvisor.

    Sistema de Ajuda do Maple (Maple Help System)

    Mais de 5000 pginas de ajuda e planilhas de

    exemplo com um mecanismo integrado de pesquisa.

    Do menu Help, selecione Maple Help.

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  • Recursos para Instrutores e Estudantes, veja tabela 4.10 (pg. 148).

    Para informaes sobre computaes bsicas, incluindo operaes com inteiros e resoluo de equaes,

    veja Realizando Computaes (pg. 55).

    Pgina de ajuda ndice de Pacotes (Package index help page)

    Uma lista completa de mais de 100 pacotes Maple,

    que contm milhares de comandos.

    Do menu Help, selecione Manuals, Dictionary, andmore e ento List of Packages

    Pgina de ajuda ndice de comandos (Command index help page)

    Uma lista completa de mais de 600 comandos Maple top-level.

    Do menu Help, selecione Manuals, Dictionary, and more e, ento, List of Commands.

    Maplesoft Web site(http://www.maplesoft.com)

    Centro de Aplicao Maple- Documentos Livres e

    Maplet de aplicaes apontar-e-clicar para

    matemtica, engenharia, finanas e cincia.

    Visite http://www.maplesoft.com/applicationsCaixa de Ferramentas - Adio de produtos da

    Maplesoft, por exemplo, Caixa de Ferramenta Global

    de Otimizao (Global Optimization Toolbox).

    Visite http://www.maplesoft.com/products/toolboxes

    Third-Party Products - Adio de produtos

    desenvolvidos pela comunidade de usurios Maple

    para computao especializada. Visite http://www.maplesoft.com/products/thirdparty

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  • 4.1 Neste Captulo

    Seo Tpicos lgebra - Realizando computaes com

    lgebra

    lgebra Polinomial (Polynomial

    Algebra) lgebra Linear- Realizando

    computaes com lgebra linear

    Criando Matrizes e Vetores Acessando Entradas em Matrizes e

    Vetores Computaes com lgebra Linear Pacote Student LinearAlgebra

    Clculo - Realizando computaes

    com clculo

    Limites (Limits) Derivao (Differentiation) Sries (Series) Integrao (Integration) Equaes Diferenciais (Differential

    Equations) Pacotes de Clculo (Calculus

    Packages) Otimizao - Realizando computaes

    com otimizao usando o pacote

    Optimization

    Interface Apontar-e-Clicar (Point-

    and-Click) Computao Eficiente (Efficient

    Computation) Arquivo Suporte MPS(X)

    Estatstica - Realizando computaes

    com estatstica usando o pacote

    Statistics

    Distribuies de Probabilidades e

    Variveis Randmicas Computaes Estatsticas Grficos (Plotting)

    Ensinando e Aprendendo com Maple -

    Recursos para Estudantes e Instrutores

    Tabela de Recursos para Estudantes e Instrutores (Student and Instructor

    Resources)

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  • 4.2 lgebra O Maple contm uma variedade de comandos que realizam operaes com inteiros, como fatorao

    e aritmtica modular, como descrito em Operaes com Inteiros (pg. 60). Ele d suporte tambm

    lgebra polinomial.

    Para informaes sobre matrizes e lgebra vetorial, veja lgebra Linear (pg.110)

    lgebra Polinomial Um polinmio Maple uma expresso em potncias de uma incgnita. Polinmios a uma varivel

    so polinmios com uma nica incgnita, por exemplo, .

    Polinmios a mltpilas variveis so polinmios com vrias incgnitas, como

    Os coeficientes podem ser inteiros, nmeros racionais, nmeros irracionais, nmeros com ponto-

    (Student and Instructor resources) para o

    uso do Maple em ambiente acadmico.

    Pacotes e Tutores Student

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  • flutuante,

    variveis ou uma combinao de todos estes tipos.

    >

    Aritmtica

    Os operadores de aritmtica polinomial so os operadores aritmticos padro do Maple, exceto o

    operador de diviso (/). (O operador de diviso aceita argumentos polinomiais, mas no realiza

    a diviso polinomial).

    A diviso polinomial uma operao importante. O comandos quo e rem encontram o quociente e

    o resto de uma diviso polinomial. Veja a tabela 4.2. ( Os comandos iquo e irem encontram o

    quociente e o resto de uma diviso com inteiros. Para mais informaes, veja Operaes com

    Inteiros (pg. 60).)

    Tabela 4.2: Operadores em Aritmtica Polinomial

    (4.1)

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  • Operao Operador Exemplo Adio

    +

    >

    (4.2)

    Subtrao >

    (4.3)

    Multiplicao >

    (4.4)

    Diviso: Quocientee Resto (Remainder)

    quo

    rem

    >

    >

    (4.5)

    (4.6)

    Exponenciao ^ >

    (4.7)

    Voc pode especificar a multiplicao explicitamente, entrando com *, que

    exibe em 2-D Math como Em 2-D Math, voc tambm pode multiplicar

    implicitamente, colocando espao entre duas expresses. Em

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  • Para expandir um polinmio, use o camando expand.

    >

    Se voc precisa determinar se um polinmio divide um outro, mas no precisa do quociente, use o

    comando divide. O comando divide testa se a diviso exata.

    >

    Importante: Voc deve inserir um espao ou operador de multiplicao ( ) entre nomes de

    variveis adjacentes. Caso contrrio, ser interpretado como uma nica varivel.

    Por exemplo, no divide a varivel nica .

    >

    alguns casos, o

    espao opcional. Por exemplo, o Maple interpreta um nmero seguido de

    um nome como uma multiplicao implcita. Em 2-D Math, os expoentes exibem como super-escritos (superscripts).

    (4.8)

    (4.9)

    (4.10)

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  • Mas, divide o pruduto de e .

    >

    Para informaes sobre aritmtica polinomial, sobre campo e anis finitos, consulte a pgina de ajuda ?mod.

    Ordenao de Termos

    Para ordenar os termos de um polinmio, use o comando sort.

    >

    >

    Nota: O comando sort devolve o polinmio ordenado e atualiza a ordem dos termos no polinmio.

    Os termos de p1 so ordenados.

    >

    Para especificar as incgnitas do polinmio e sua ordenao, inclua a lista de nomes.

    >

    (4.11)

    (4.12)

    (4.13)

    (4.14)

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  • >

    Por padro, o comando sort ordena um polinmio pela ordem decrescente do grau total dos termos..

    >

    >

    O primeiro termo tem grau total 4. Os outros dois termos tm o grau total 3. A ordem dos dois termos

    finais determinada pelos seus nomes na lista.

    Para ordenar os termos puramente pela ordem lexicogrfica, isto , primeiro pela ordem decrescente

    da primeira incgnita na lista de opo e ento pela ordem decrescente da prxima incgnita na lista de

    opo, especifique a opo 'plex' .

    >

    (4.15)

    (4.16)

    (4.17)

    (4.18)

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  • Para informaes sobre fechar palavras-chave com aspas retas simples ('), veja Avaliao Posterior

    (Delaying Evaluation) (pg. 285).

    O primeiro termo tem a potncia de 3. O segundo, a potncia de igual a 2. O terceiro,

    igual a 0.

    Usando o menu de contexto, voc pode realizar operaes, como ordenao, para polinmios e muitos

    outros objetos Maple.

    Para ordenar um polinmio:

    1. Clicar o polinmio com o boto direito (Control-clique, para Macintosh).

    2. Exibe o menu de contexto. Do menu Sorts, selecione:

    Single-variable e, depois, a incgnita

    Two-variable (ou Three-variable), Pure Lexical ou Total Degree e depois a prioridade de ordenao das incgnitas

    Veja Figura 4.1.

    >

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  • Figura 4.1: Ordenao de um polinmio usando um Menu de Contexto

    O Maple ordena o polinmio.

    No modo Planilha, o Maple insere a chamada de seqncia que realiza a ordenao seguida pelo

    polinmio ordenado.

    >

    >

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  • Voc pode usar o menu de contexto para realizar operaes sobre o contedo em 2-D Math

    incluindo a sada. Para mais informaes, veja Menus de Contexto (pg. 18) (para o modo

    Documento) ou Menus de Contexto (pg. 39) (para o modo Planilha).

    Juntando Termos (Colocando Termos em Evidncia)

    Para juntar os termos do polinmio, use o comando collect.

    >

    Graus e Coeficientes (Coefficients and Degrees)

    O Maple tem vrios comandos que devolvem os valores de grau e de coeficientes para um polinmio.

    Veja a Tabela 4.3.

    Tabela 4.3: Comandos para Coeficientes e graus de Polinmio

    (4.19)

    (4.20)

    Comando Descrio Exemplo coeff Coeficiente do termo de

    grau especificado >

    (4.21)

    lcoeff Coeficiente do termo de maior grau (Leading coefficient)

    >

    (4.22)

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  • Fatorao

    Para expressar um polinmio na sua forma total fatorada, use o comando factor.

    tcoeff Termo independente

    (Trailing coefficient)

    >

    (4.23)

    Comando Descries Exemplo coeffs Seqncia de todos os

    coeficientes dos termos em ordem crescente dos graus.

    Note: Os coeficientes zero no so devolvidos

    >

    (4.24)

    degree O grau mais alto

    (Highest) degree

    >

    (4.25)

    ldegree O menor grau de termo com coeficiente no nulo.

    >

    (4.26)

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  • >

    O comando factor fatora o polinmio sobre o anel compreendido pelos coeficientes, por exemplo,

    inteiros. Voc pode especificar um campo de nmero algbrico (algebraic number field) sobre o qual

    fatorar o polinmio. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?factor. (O comando

    ifactor fatora um inteiro. Para mais informaes, veja Operaes com Inteiros (pg. 60).

    Para encontrar as razes de um polinmio, use o comando solve. Para informao sobre o comando

    solve, veja Resoluo de Equaes e Inequaes (pg.65). (o comando isolve resolve uma equao

    para solues com inteiros).

    Para mais informaes, veja Equaes de Inteiros (Integer Equations (pg. 78).)

    Outros Comandos

    A tabela 4.4 lista outros comandos disponveis para operaes polinomiais.

    Tabela 4.4: Seleco de Outros Comandos Polinomiais

    (4.27)

    Comando Descrio content Contedo (polinmio a mltiplas

    variveis) compoly Decomposio discrim Discriminante (Discriminant) ged O maior divisor comum (de dois

    polinmios) gedex Estende algoritmo Euclideano (para

    dois polinmios) CurveFitting[PolynomialInterpolation]

    Interpolao de polinmio (para lista de pontos)

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  • Informao Adicional

    Tabela 4.5: Ajuda Adicional a polinmio

    See also the CurveFitting Assistant(Tools>Assistants>Curve Fitting) Icm Mnimo mltiplo comum (de dois

    polinmios) norm Norma prem Pseudo-Resto (de dois polinmios a

    mltiplas variveis) primpart Parte primitiva (polinmio a mltiplas

    variveis) randpoly Polinmio randmico (Random

    polynomial) PolynomialTools[IsSelfReciprocal]

    Determina se self-reciprocal

    resultant Resultante (de dois polinmios) roots razes exatas (no campo de nmeros

    algbricos) sqrfree fatorao sem raiz quadrada

    (polinmio a mltiplas variveis)

    Tpico Recursos Informao Geral de polinmio

    (General polynomial information)

    Pgina de ajuda ?polynom

    Pacote PolynomialTools

    Pgina de ajuda sumrio do pacote

    ?PolynomialTools Manipulao algbrica de polinmios numricos

    Pgina de ajuda sumrio do pacote

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  • 4.3 lgebra Linear

    Operaes de lgebra linear atuam sobre estruturas de dados Matriz e Vetor.

    Voc pode realizar muitas operaes de lgebra linear usando tarefa templates. No Task Browser

    (Tools>Tasks>Browse), expande o folder Linear Algebra.

    Criando Matrizes e Vetores

    Voc pode facilmente definir matrizes usando a paleta Matrix. Para definir vetores, use a notao

    parnteses em ngulo () (angle-bracket).

    Criando Matrizes

    Para criar matrizes, use a paleta Matrix. veja a figura 4.2.

    ?SNAP (Symbolic-Numeric Algorithms forPolynomials)

    Aritmtica eficiente para polinmios esparsos

    Pgina de ajuda

    ?SDMPolynom (estrutura de dados de polinmios a mltiplas variveis com disdribuio esparsa) (Sparse Distributed Multivariate Polynomial data structure)

    Informaes e comandos de polinmios

    Tabela de Contedos do Sistema Maple de Ajuda:

    seo Mathematics>Algebra>Polynomials

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  • Figura 4.2: Matrix Palette

    Na paleta Matrix, voc pode especificar o tamanho e as propriedades da matriz (veja a figura 4.3).Para inserir uma matriz, clicar o boto Insert Matrix.

    Figura 4.3: Paleta Matrix : Escolhendo o Tamanho

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  • Depois de inserir a matriz:

    1. Colocar os valores das entradas. Para mover para o prximo lugar-de-espera da entrada, pressionar

    Tab.

    2. Depois de especificar todas as entradas, pressionar Enter.

    >

    Criando Vetores

    Para criar um vetor, use parnteses em ngulo (< >)(angle brackets).

    Para criar um vetor coluna, especifique uma seqncia separada por vrgulas . O nmero de elementos deduzido do nmero de expresses.

    >

    Para criar um vetor linha, especifique uma barra vertical ( | ) como separao na seqncia, .

    O nmero de elementos deduzido do nmero de expresses.

    >

    Edio e Viso de Grandes Matrizes e Vetores

    (4.28)

    (4.29)

    Pgina 19 de 71index1.html

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  • Matrizes 10 10 e menores e vetores com 10 ou menos elementos so exibidos no documento. Objetos

    maiores so exibidos como um lugar-de-espera.

    Por exemplo, inserir uma matriz 15 15.

    Na Paleta Matrix :

    1. Especificar as dimenses: 15 linhas e 15 colunas.

    2. Na lista suspensa Type, selecionar um tipo de matriz, por exemplo, Custom values.

    3. Clicar Insert Matrix. O Maple insere um lugar-de-espera .

    >

    Para editar ou ver uma grande matriz ou um grande vetor, clique duplo no lugar-de-espera.

    Isto inicia Matrix Browser. Veja a figura 4.4.

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  • Figura 4.4: Matrix Browser

    Para especificar o valor das entradas usando o Matrix Browser:

    1. Selecionar o tab (lingeta) Table.

    2. Clicar duplo em uma entrada e, ento, editar seu valor. Pressionar Enter.

    3. Repetir em cada entrada para editar.

    4. Quando voc tiver terminado de atualizar as entradas, clicar Done.

    Voc pode ver a matriz ou o vetor como uma tabela ou como uma imagem, que pode ser inserida

    dentro do documento. Para mais informao, consulte a pgina de ajuda ?MatrixBrowser.

    Para colocar a dimenso mxima de matrizes e vetores exibida em linha:

    Pgina 21 de 71index1.html

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  • Por exemplo, interface(rtablesize = 15).

    Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?interface.

    Criando Matrizes e Vetores para Grandes Problemas

    Por padro, as matrizes podem armazenar quaisquer valores. Para aumentar a eficincia da computao

    com lgebra linear, crie matrizes e vetores com propriedades. Voc deve especificar as propriedades,

    por exemplo, o tipo de vetor ou matriz ou o tipo de dados, quando definir o objeto.

    A paleta Matrix (figura 4.2) d suporte a vrias propriedades.

    Para especificar o tipo de matriz:

    Use as listas suspensas Shape e Type.

    Para especificar o tipo de dado:

    Use a lista suspensa Data type.

    Por exemplo, definir uma matriz diagonal com coeficientes inteiros pequenos.

    Na paleta Matrix:

    1. Especificar o tamanho da matriz, por exemplo,

    2. Na lista suspensa Shapes, selecionar Diagonal.

    3. Na lista suspensa Data type, selecionar integer[1].

    4. Clicar o boto Insert Matrix

    5. Colocar os valores na entrada da diagonal.

    >

    Pgina 22 de 71index1.html

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  • Nota: Para criar uma matriz com entradas geradas randomicamente, selecionar Random Type.

    Voc pode especificar propriedades quando definir vetores usando a notao parntese em ngulo

    () (angle-bracket). Voc deve usar o construtor Vector.

    Para definir um vetor coluna usando o construtor Vector, especificar:

    O nmero de elementos. Se voc especificar explicitamente todos os valores dos elementos, este

    argumento no necessrio.

    Uma lista de expresses que defina os valores dos elementos.

    Os parmetros tais como shape, datatype e fill que determinam as propriedades do vetor.

    As duas chamadas de seqncia seguintes so equivalentes.

    >

    >

    Para criar um vetor linha usando o construtor Vector, incluir row como ndice.

    >

    (4.30)

    (4.31)

    Pgina 23 de 71index1.html

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  • >

    A paleta Matrix no d suporte a algumas propriedades. Para determinar todas as propriedades, use o

    construtor Matrix.

    Para definir uma matriz usando o construtor Matrix, especificar:

    O nmero de linhas e colunas. Se voc especificar explicitamente todos os valores dos elementos,

    este argumento no necessrio.

    Uma lista das listas que definem os valores dos elementos por colunas (row-wise).

    Os parmetros como shape, datatype e fill que determinam as propriedades da matriz.

    Por exemplo:

    >

    (4.32)

    (4.33)

    (4.34)

    Pgina 24 de 71index1.html

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  • A paleta Matrix no pode preencher a matriz com um valor arbitrrio. Use o parmetro fill.

    >

    Para mais informaes sobre construtores, incluindo outras sintaxes de chamada de seqncia e parmetros. Para mais informaes, consulte as pginas de ajuda ?storage, ?Matrix, e ?Vector.

    Veja tambm Computaes Numricas (pg. 125).

    Acessando Entradas em Matrizes e Vetores

    Para selecionar uma entrada em um vetor, entre com o nome do vetor com um ndice inteiro, diferente

    de zero.

    >

    >

    inteiros negativos selecionam as entradas do final do vetor.

    (4.35)

    (4.36)

    (4.37)

    Pgina 25 de 71index1.html

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  • >

    Para criar um sub-vetor constitudo de vrias entradas, especificar uma lista ou um intervalo de inteiros

    no ndice. Por mais informaes, consulte as pginas de ajuda ?list e ?range.

    >

    >

    Similarmente, voc pode obter sub-matrizes usando um ndice. Na seguinte matriz bi-dimensional,

    a primeira entrada seleciona linhas e a segunda, colunas.

    >

    ou

    >

    (4.38)

    (4.39)

    (4.40)

    Pgina 26 de 71index1.html

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  • >

    Computaes com lgebra Linear

    Voc pode realizar computaes com matrizes e vetores usando menus de contexto e o pacote

    LinearAlgebra.

    Aritmtica Matricial (Matrix Arithmetic)

    Os operadores de aritmtica matricial e vetorial so os operadores aritmticos padro do Maple, a

    no ser pelas duas seguites diferenas:

    O operador de multiplicao escalar o asterisco (*), que exibe em math como

    .

    O operador

    de multiplicao de matrizes e vetores no-comutativos o ponto (.).

    No existe operador de diviso (/) para lgebra matricial. (Voc pode construir a inversa de uma matriz

    usando o expoente .)

    Veja a tabela 4.6.

    >

    Tabela 4.6: Operadores Aritmticos para Matrizes e Vetores

    (4.41)

    Pgina 27 de 71index1.html

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  • Operao Operador Exemplo Adio >

    (4.42)

    Subtrao >

    (4.43)

    Multiplicao >

    (4.44)

    Multiplicao Escalar

    *

    >

    >

    (4.45)

    (4.46)

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  • Uns poucos operadores matriciais e vetoriais adicionais esto listados na tabela 4.7.

    Operao Operador Exemplo Exponenciao

    >

    >

    (4.47)

    (4.48)

    Voc pode especificar multiplicao escalar explicitamente entrando com *, que exibe em 2-D Math como .Em 2-D Math, voc pode tambm multiplicar implicitamnete um escalar e uma matriz ou vetor, colocando espao entre eles. Em alguns casos, o espao opcional. Por exemplo, o Maple interpreta um nmero seguido por um nome como uma multiplicao implcita. Em 2-D Math, expoentes exibem como super-escritos (superscripts).

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  • Definir dois vetores coluna.

    >

    Tabela 4.7: Seleo de Operadores para Matrizes e Vetores

    Operao Operador Exemplo Transposio

    ^%T >

    (4.49)

    Transposio Hermitiana (Hermitian Transpose)

    ^%H >

    (4.50)

    Produto Vetorial (Cross Product)

    (somente vetores 3-D)

    &x >

    >

    (4.51)

    Pgina 30 de 71index1.html

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  • Para informaes sobre aritmtica matricial sobre campos e anis finitos, consulte a pgina de ajuda

    ?mod.

    Interao Apontar-e-Clicar

    Usando menus de contexto, voc pode realizar muitas operaes com matrizes e vetores.

    As operaes com matrizes disponveis no menu de contexto Matrix incluem o seguinte.

    Operaes padro: determinante, inversa, norma (1, Euclideana, infinita, ou de Frobenius), transposta e trao

    Computar autovalores, autovetores e valores singulares

    Computar a dimenso ou o ranque (rank)

    Converter para a forma de Jordan ou outras formas

    Operadores exponenciais exibem em 2-D Math como super-escritos. Depois de carregar o pacote LinearAlgebra, o operador produto vetorial (cross product) est disponvel como o operador infix &x . De outra forma, est disponvel como o comando LinearAlgebra[CrossProduct].

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  • Realizar decomposio Cholesky e outras decomposies

    Por exemplo, computar a norma infinita (infinity norm) de uma matrix. Veja a figura 4.5.

    Figura 4.5: Computando a Norma Infinita (Infinity Norm) de uma Matrix

    No modo Documento, o Maple insere uma seta para a direita seguida pela norma. Veja a figura 4.6.

    Figura 4.6: Computando a Norma no Modo Documento

    As operaes com Vetores disponveis no menu contexto incluem o seguinte.

    Computar a dimenso

    Computar a norma (1, Euclideana e infinita)

    Computar a transposta

    Selecionar um elemento

    Para mais informaes sobre os menus de contexto, veja Menus de Contexto (Context Menus

    (pg. 18)) (para o modo Documento) ou Menus de Contexto (pg. 39) (para o modo Planilha).Comandos do Pacote LinearAlgebra

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  • O pacote LinearAlgebra contm comandos que constroem e manipulam matrizes e vetores, computamoperaes padro, investigam e resolvem problemas de lgebra linear.

    A tabela 4.8 lista alguns comandos do pacote LinearAlgebra. Para uma lista completa, consulte a

    pgina de ajuda ?LinearAlgebra/Details.

    Tabela 4.8: Seleo de Comandos do Pacote LinearAlgebra

    Para informaes sobre operaes aritmticas, veja Aritmtica Matricial (Matrix Arithmetic)

    (pg. 118).

    Comando Descrio Basis devolve uma base para um espao vetorial

    (vector space) CrossProduct Computa o produto vetorial (the cross product)

    de dois vetores DeleteRow Deleta as colunas de uma matriz Dimension Determina a dimenso de uma matriz ou de um

    vetor Eigenvectors Computa os auto-valores e auto-vetores de uma

    matriz FrobeniusForm Reduz uma matriz para a forma Frobenius GaussianElimination Realiza a eliminao Gaussian em uma matriz HessenbergForm Reduz uma matriz quadrada para a forma

    Hessenberg

    HilbertMatrix Constri uma matriz de Hilbert generalizada (generalized Hilbert matrix)

    IsOrthogonal Testa se uma matriz ortogonal LeastSquares Computa a aproximao pelos mnimos-quadrados

    (least-squares) de A . x = b LinearSolve Resolve o sistema linear A . x = b MatrixInverse Computa a inversa de uma matriz quadrada ou a

    pseudo-inversa de uma matriz no-quadrada QRDecomposition Computa uma fatorao QR de uma matriz RandomMatrix Constri uma matriz randmica SylvesterMatrix Construi a matriz Sylvester de dois polinmios

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  • Para informaes sobre seleo de entradas, sub-vetores e sub-matrizes, veja Acessando as Entradas

    em Matrizes e Vetores (Accessing Entries in Matrices and Vectors (pg. 117)).

    Exemplo: Determinar uma base para o espao definido pelo conjunto de vetores {(2,13, -15),

    (7, -2, 13), (5, -4, 9)}. Expressar o vetor (25, -4, 9) em relao a esta base.

    >

    >

    Encontrar uma base para o espao vetorial definido por estes vetores e, ento, construir uma matriz

    a partir dos vetores-base.

    >

    Para expressar (25, -4, 9) nesta base, use o comando LinearSolve.

    >

    Computaes Numricas

    Voc pode muito eficientemente realizar computaes com grandes matrizes e vetores que contenham

    (4.52)

    (4.53)

    Pgina 34 de 71index1.html

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  • dados com ponto flutuante usando a biblioteca de rotinas de lgebra linear numrica. Algumas dessas

    rotinas so fornecidas pelo Grupo de Algoritmos Numricos (Numerical Algorithms Group (NAG)).

    O Maple tambm contm pores da CLAPACK e bibliotecas otimizadas ATLAS.

    Para informaes sobre realizao de computaes numricas eficientes usando o pacote

    LinearAlgebra, vconsulte a pgina de ajuda ?EfficientLinearAlgebra.

    Veja tambm Criando Matrizes e Vetores para Grandes Problemas (Creating Matrices and Vectors

    for Large Problems (pg. 115).

    Pacote Student LinearAlgebra

    O pacote Student contm subpacotes que ajudam instrutores a ensinar conceitos e permitem aos

    estudantes visualizar e explorar idias. Estes subpacotes tambm contm comandos computacionais.

    No subpacote Student[LinearAlgebra], o ambiente difere daquele do pacote LinearAlgebraem que computaes com ponto flutuante so geralmente realizadas usando preciso de software,

    em lugar de preciso de hardware e smbolos so geralmente assumidos para representar quantidades

    reais mais do que complexas.Estes padres e outros podem ser controlados usando o comando

    SetDefault.

    Para mais informao, consulte a pgina de ajuda ?Student[LinearAlgebra][Set-Default] .

    Para informao sobre usar o Maple como ferramenta para ensinar e aprender, veja Ensinando e

    Aprendendo com Maple (Teaching and Learning with Maple)(pg. 148).

    Pgina 35 de 71index1.html

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  • 4.4 Clculo O Task Browser (Tools>Tasks>Browse) contm numerosas tarefas template de clculo. Para uma

    lista de tarefas, navegar para um dos folders (fascculos), como Calculus, Differential Equations,Multivariate Calculus, ou Vector Calculus.

    Esta seo descreve os comandos chave de clculo do Maple, muitos dos quais so usados em tarefas

    templates ou disponvel nos menus de contextos.

    Para uma lista completa de comandos de clculo, consulte as sees Mathematics (incluindo sub-

    folders Calculus, Differential Equations, Power Series, e sub-folders Vector Calculus) e

    Differential Equations, Power Series, e sub-folders Vector Calculus) e o pacote Student

    da Tabela de Contedos do Sistema de Ajuda Maple (Maple Help System).

    Limites

    Para computar o limite de uma expresso quando a varivel independente se aproxima de

    um valor:

    1. Na paleta Expression, clicar o item limite .

    2. Especificar a varivel independente, o ponto limite, a expresso e, ento, avaliar.

    Por exemplo:

    >

    O Comando limit

    Por padro, o Maple procura pelo limite real bidirecional (a no ser que o ponto limite seja ou -). Para especificar uma direo, incluir uma das opes left, right, real ou complex na chamada do

    comando limit. Veja a tabela 4.9.

    (4.54)

    Pgina 36 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Table 4.9: Limits

    Usando o comando limit, voc pode computar tambm limites multi-dimensionais.

    >

    Para mais informaes sobre limites multidimensionais, consulte a pgina de ajuda ?limit/multi.

    Computando um Limite Numericamente

    Para computar numericamente um limite:

    Usar a chamada de seqncia evalf(Limit(arguments)).

    Importante: Usar o comando inerte Limit, no o comando limit. Para mais informaes, consulte a

    pgina de ajuda ?limit.

    O comando Limit aceita os mesmos argumentos que os do comando limit.

    Por exemplo:

    >

    Para informao sobre o comando evalf , veja Aproximao Numrica (Numerical Approximation)

    Limite Sintaxe de Comando Sada

    > indefinida

    >

    >

    (4.55)

    (4.56)

    Pgina 37 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • (pg. 282).

    O comando Limit no computa o limite. Ele devolve um limite no avaliado.

    >

    Para mais informao sobre o comando Limit, consulte a pgina de ajuda ?Limit.

    Derivao

    O Maple pode realizar derivao simblica e numrica.

    Para derivar uma expresso:

    1. Na paleta Expression, clicar o item derivao ou o item derivao parcial .

    2. Especificar a expresso e a varivel independente e ento avaliar.

    Por exemplo, para derivar com relao a :

    >

    Voc pode tambm derivar usando os menus de contexto. Para mais informaes, veja Menus de

    Contexto (pg. 18).

    Para calcular uma derivada de ordem maior ou derivada parcial, edite o smbolo de derivada inserido.

    Por exemplo, para calcular a segunda derivada de em relao a :

    (4.57)

    (4.58)

    Pgina 38 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • >

    Para calcular a derivada mista parcial de :

    >

    O Comando diff

    O Maple computa derivadas usando o comando diff . Para usar o comando diff diretamente, especifique

    a expresso a derivar e a varivel.

    >

    >

    Para informao sobre rtulos (label) de equao como (4.61), veja Rtulos de Equaes (pg. 51).

    Para calcular derivadas de ordem maior, especifique a seqncia de variveis de derivao. O Maple chama o comando diff recursivamente.

    >

    (4.59)

    (4.60)

    (4.61)

    (4.62)

    (4.63)

    Pgina 39 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Para calcular uma derivada parcial, use a mesma sintaxe. O Maple assume que as derivadas comutam.

    >

    Para entrar com derivadas de ordem mais alta, conveniente usar o operador de seqncia ($). Para

    mais informaes , consulte a pgina de ajuda ?$.

    Para computar a n derivada de uma expresso f em relao varivel independente t, voc pode

    usar a sintaxe .

    Por exemplo:

    >

    Derivando um Operador

    Voc pode tambm especificar uma funo matemtica como um operador funcional (functional

    operator (um mapping). Para uma comparao de operadores e outras funes, veja Distino entre

    Operadores Funcionais e Outras Expresses Distinction between Functional Operators and Other Expressions (pg. 267).

    Para encontrar a derivada de um operador funcional (functional operator):

    (4.64)

    (4.65)

    Pgina 40 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Usar o operador D.

    O operador D devolve um operador funcional.

    Por exemplo, encontrar a derivada de um operador que representa a funo matemtica .

    Primeiro, defina a funo matemtica como o operador F.

    1. Na palete Expression, clicar o item definio de funo a uma nica varivel .

    2. Entrar com valores no lugar-de-espera.

    Para mover de um lugar-de-espera para outro, pressione a tecla Tab.

    Nota: Se ao pressionar a tecla Tab inserir uma lingeta (tab), clique o cone Tab na barra de

    ferrramentas

    >

    Agora, defina o operador, G, que mapeia para a derivada de .

    >

    F e G avaliados em /2 devolvem os respectivos valores.

    >

    (4.66)

    (4.67)

    Pgina 41 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Para mais informaes sobre o operador D, consulte a pgina de ajuda ?D. Para uma comparao

    entre o comando diff e o operador D, consulte a pgina de ajuda ?diffVersusD.

    Derivada Direcional

    Para computar uma derivada direcional e fazer o grfico, use o Directional Derivative Tutor. Otutor computa um valor com ponto-flutuante para a derivada direcional.

    Para iniciar o tutor:

    Do menu Tools, selecione Tutors, Calculus - Multi-Variable e ento Directional Derivatives.O Maple inicia o Directional Derivative Tutor.

    Veja a figura 4.7.

    Figura 4.7: Directional Derivative Tutor

    Para computar um valor simblico para a derivada direcional, use o comando Student[Multivariate

    Calculus][DirectionalDerivative]. A primeira lista de nmeros especifica o ponto onde computara derivada. A segunda lista de nmeros especifica a direo a que computar a derivada.

    Por exemplo, no ponto [1, 2], o gradiente de aponta a direo [2, 4], que a direo de maior

    Pgina 42 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • aumento. A derivada direcional na direo ortogonal [-2, 1] zero.

    >

    >

    >

    Sries

    Para gerar a expanso em srie de Taylor de uma funo em torno de um ponto, use o comando taylor.

    >

    Nota: Se uma srie de Taylor no existe, use o comado series para encontrar uma expanso em

    srie geral.

    Por exemplo, a funo integral cosseno (cosine integral function) no tem uma expanso em srie de

    Taylor em torno de 0. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?Ci.

    >

    Para gerar uma expanso em srie truncada em torno de um ponto, use o comando series.

    (4.68)

    (4.69)

    (4.70)

    Error, does not have a taylor expansion, try series()

    Pgina 43 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • >

    Por padro, o Maple realiza os clculos at ordem 6. Para usar uma ordem diferente, especifique um

    terceiro argumento com um nmero inteiro no-negativo.

    >

    Para determinar a ordem para todas as computaes, use a varivel ambiente Order.

    Para informaes sobre a ordem (Order) da varivel e o termo, consulte a pgina de ajuda ?Order.

    A expanso do tipo series. Alguns comandos, por exemplo, o plot, no aceitam argumentos do tipo series.Para usar a expanso, voc deve convert-la em um polinmio usando o comando convert/polynom.

    >

    (4.71)

    (4.72)

    Pgina 44 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Para informaes sobre tipos do Maple e tipos de converses, veja Expresses do Maple (Maple

    Expressions )(pg. 261).

    Para informaes sobre grficos, veja Grficos e Animaes (Plots and Animations) (pg. 157).

    Integrao

    O Maple pode realizar integrao simblica e numrica.

    Para computar a integral indefinida de uma expresso:

    1. Na paleta Expression, clicar o item integrao indefinida .

    2. Especificar o integrando e a varivel de integrao e ento avaliar.

    Por exemplo, para integrar em relao a x:

    >

    Pgina 45 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Relembre que voc pode tambm entrar com smbolos, incluindo e d , usando complemento de smbolo.

    Entrar com o nome do smbolo (ou parte do nome), por exemplo, int e d e ento pressione a tecla

    de atalho de complemento (do smbolo).

    Para mais informaes, veja Nomes de Smbolos (Symbol Names) (pg. 14).

    Voc pode tambm computar uma integral indefinida usando menus de contexto. Para mais informao,

    veja Menus de Contexto (pg. 18).

    Para computar uma integral definida de uma expresso:

    1. Na paleta Expression, clicar o item integral definida .

    2. Especificar os pontos limite do intervalo de integrao, a expresso do integrando e a varivel de integrao e, ento, avaliar.

    Por exemplo, para integrar sobre o intervalo (0, ):

    >

    O Maple trata o parmetro a como um nmero complexo. Como descrito em Suposies sobre Variveis

    (pg. 95), voc pode computar sob a suposio de que a um nmero real e positivo usando o comando

    assuming.

    (4.73)

    (4.74)

    Pgina 46 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • >

    O Comando int

    e usam o comando int . Para usar o comando int diretamente, especifique os seguintes

    argumentos.

    A expresso a integrar

    A varivel de integrao

    >

    >

    Para uma integrao definida, coloque a varivel de integrao igual ao intervalo de integrao.

    >

    Integrao Numrica

    (4.75)

    (4.76)

    (4.77)

    (4.78)

    Pgina 47 de 71index1.html

    30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

  • Para realizar integrao numrica:

    Usar a chamada de seqncia evalf(Int(arguments)).

    Importante: Usar o comando inerte Int, no o camando int. Para mais informaes, consulte a

    pgina de ajuda ?int.

    Alm dos argumentos aceitos pelo comando int, voc pode incluir argumentos opcionais como method, que especifica o mtodo numrico de integrao.

    Por exemplo:

    >

    Nota: Para entrar com um caractere sub-linha (underscore) (_) em 2-D Math, entre com \_.

    Para informaes sobre o comando evalf , veja Aproximao Numrica (Numerical Approximation)

    (pg. 282).

    Para informaes sobre integrao numrica, incluindo integrao iterada e controle do algoritmo,

    consulte a pgina de ajuda ?evalf/Int.

    Para computar integrais iteradas, integrais de linha e integrais de superfcie, use as tarefas templates

    (Tools>Tasks>Browse) nos fascculos (folders) Multivariate e Vector Calculus.

    Equaes Diferenciais

    O Maple tem um conjunto poderoso de resolutores para equaes diferenciais ordinrias (ODEs) e

    equaes diferenciais parciais (PDEs) e sistemas de ODEs e PDEs.

    Para informaes sobre resoluo de ODEs e PDEs, veja Outros Resolutores Especializados (pg. 73).

    Pacotes de Clculo

    (4.79)

    Pgina 48 de 71index1.html

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  • Em adio aos comandos top-level de clculo, o Maple contm pacotes de clculo.

    Pacotes VectorCalculus

    O pacote VectorCalculus contm comandos que realizam operaes multivariadas e clculo vetorial

    em VectorCalculus vectors (vetores com um atributo adicional, sistema de coordenadas) e campos vetoriais (vector fields) (vetores com atributos adicionais: sistema de coordenadas e campos vetoriais), por exemplo, Curl, Flux, e Torsion.

    >

    >

    >

    Encontrar o rotacional (curl) do VectorField1.

    >

    Encontrar o fluxo do VectorField1 atravs de uma esfera de raio r na origem.

    >

    (4.80)

    (4.81)

    (4.82)

    Pgina 49 de 71index1.html

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  • Computar a torso de um espao curvo. A curva deve ser um vetor com funes paramtricas

    >

    Para informao sobre o comando assuming, veja O Comando Assuming (pg. 97).

    Para mais informaes sobre o pacote VectorCalculus, incluindo uma lista completa de comandos, consulte a pgina de ajuda ?VectorCalculus.

    Para encontrar os pacotes, como VariationalCalculus, consulte a pgina de ajuda ?index/package.

    Pacotes Student Calculus

    O pacote Student contm sub-pacotes que ajudam instrutores a ensinar conceitos e permitem aos

    estudantes visualizar e explorar idias. Estes sub-pacotes contm tambm comandos computacionais.

    Os sub-pacotes Student calculus incluem Calculus1, MultivariateCalculus, and VectorCalculus.

    O pacote Student[VectorCalculus] prov uma interface simples para um sub-conjunto de

    funcionalidades disponvel no pacote VectorCalculus.

    Para informao sobre o uso do Maple como uma ferramenta de ensino e aprendizagem com alguns

    exemplos computacionais, veja Ensinado e Apredendo com Maple (pg. 148).

    4.5 Otimizao Usando o pacote Optimization, voc pode resolver numericamente problemas de otimizao. O pacote usa a algoritmo rpido da Numerical Algorithms Group (NAG) para minimizar ou maximizar uma

    (4.83)

    Pgina 50 de 71index1.html

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  • funo objetivo.

    O pacote Optimization resolve problemas com vnculos e sem vnculos.

    Programas lineares (Linear programs)

    Programas quadrticos (Quadratic programs)

    Programas no-lineares (Nonlinear programs) Problemas de mnimos quadrados lineares e no lineares

    O pacote Optimization contm resolutores locais. Alem disso, para programas a uma varivel no

    lineares com limites finitos sem outros vnculos, voc pode usar o comando NLPSolve. Para encontrar solues globais, geralmente, utiliza-se a Global Optimization Toolbox.Para mais informaes, visite http://www.maplesoft.com/products/toolboxes.

    Interface Apontar-e-Clicar

    O mtodo bsico para a resoluo de problemas de otimizao o Optimization Assistant.

    Para iniciar o Optimization Assistant:

    Do menu Tools, selecione Assistants e depois Optimization.

    O Maple insere a chamada de seqncia Optimization[Interactive]() (no modo Planilha) e inicia oOptimization Assistant. Veja a figura 4.8.

    Pgina 51 de 71index1.html

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  • Figura 4.8: Optimization Assistant

    Para resolver um problema:

    1. Entrar com uma funo objetivo, os vnculos e os limites.

    2. Selecionar o boto Minimize ou Maximize.

    3. Clicar o boto Solve. A soluo exibida na caixa de texto Solution.

    Voc pode tambm entrar com o problema (funo objetivo, vnculos e limites) na chamada de seqncia.

    Por exemplo, encontre o mximo de sujeita aos vnculos

    >

    (4.84)

    Pgina 52 de 71index1.html

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  • Depois de encontrar a soluo, voc pode fazer o grfico dela. Para fazer o grfico da soluo:

    Na janela do Optimization Assistant, clique o boto Plot. A janela do Optimization Plotter

    mostrada. Veja a figura 4.9.

    Figura 4.9: Janela Optimization Assistant Plotter

    Para informaes sobre algoritmos usados para resolver problemas de otimizao, consulte a pgina

    de ajuda ?Optimization/Methods.

    Grandes Problemas de Otimizao

    O Optimization Assistant aceita entradas em forma algbrica. Voc pode especificar a entrada

    em outras formas descritas na pgina de ajuda ?Optimization/InputForms, em chamadas de

    seqncia de comandos.

    Pgina 53 de 71index1.html

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  • A forma de Matriz , descrita na pgina de ajuda ?Optimization/MatrixForm, mais complexa mas

    oferece maior flexibilidade e eficincia.

    Por exemplo, resolver o programa quadrtico:

    maximizar sujeito a , onde o vetor de variveis do problema (problem variables).

    Definir o vetor coluna, c, da funo objetivo quadrtica.

    >

    Definir a matriz simtrica Hessiana, H, da funo objetivo quadrtica.

    >

    Definir a matriz A, a matriz dos coeficientes para a inequao linear dos vnculos.

    >

    Definir o vetor coluna b, a inequao linear dos vnculos.

    >

    O comando QPSolve resolve programas quadrticos.

    >

    Note: Para informaes sobre a criao de matrizes e vetores (incluindo como usar a paleta Matrix para criar matrizes facilmente), veja lgebra Linear (pg. 110).

    (4.85)

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  • Para informao adicional sobre realizao eficiente de computaes, consulte a pgina de ajuda

    ?Optimization/Computation.

    Suporte de Arquivo MPS(X) Para importar programas lineares de um arquivo de dados padro MPS(X), use o comando Import-MPS.

    Informao Adicional

    Para uma lista completa de comandos e outras informaes sobre o pacote Optimization , consulte a

    pgina de ajuda ?Optimization.

    4.6 Estatstica O pacote Statistics uma coleo de comandos e o apontar-e-clicar Data Analysis Assistantconsulte a pgina de ajuda ?Statistics[InteractiveDataAnalysis]para realizao de computaes

    em estatstica matemtica e anlise de dados. O pacote d suporte a uma ampla gama de tarefas

    estatsticas comuns, incluindo anlise de dados quantitativa e grfica, simulao e ajuste de curva.

    Alm das ferramentas padro de anlise de dados, o pacote Statistics prov uma gama de ferramentas

    simblicas e numricas para computao com variveis randmicas. O pacote suporta mais de 35

    principais distribuies de probabilidade e pode ser estendido para incluir novas distribuies.

    Distribuies de Probabilidade e Variveis Randmicas

    O pacote Statistics d suporte a:

    Distribuies contnuas, que so definidas junto reta real pelas funes de densidade de

    probabilidade. O Maple suporta muitas distribuies contnuas, incluindo a normal, Student-t, Laplace e distribuies logsticas.

    Distribuies discretas, que tm probabilidade no-nula somente em pontos discretos. Uma distribuio discreta definida por uma funo de probabilidade. O Maple suporta muitas distribuies discretas,

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  • incluindo as distribuies de Bernoulli, geomtrica e de Poisson.

    Para uma lista completa de distribuies, consulte a pgina de ajuda ?Statistics/Distributions.

    Voc pode definir varveis randmicas especificando uma distribuio na chamada ao comando

    RandomVariable

    >

    >

    Encontre a funo de distribuio de probabilidade para X. (Para informaes sobre computaes

    estatsticas, veja Computaes Estatsticas (Statistical Computations) (pg. 144)).

    >

    representa a funo delta de Dirac. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?Dirac.

    Adicionando Distribuies Personalizadas (Adding Custom Distributions)

    Para adicionar uma nova distribuio, especifique uma distribuio de probabilidade na chamada ao

    comando Distribution.

    >

    (4.86)

    (4.87)

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  • ?deveria ser

    >

    Para construir uma funo por parte contnua em 1-D Math, use o comando piecewise, por exemplo, t -> piecewise(t < 0, 0, t < 3, 1/3, 0).

    > U:=Distribution(PDF=(t-> piecewise(t` unexpected

    >

    > U:=Distribution(PDF=(t-> piecewise(t

  • Definir uma nova varivel randmica com esta distribuio.

    >

    Calcular o valor mdio da varivel randmica.

    >

    Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?Statistics/Distributions.

    Computaes Estatsticas

    Alm das funes bsicas, como valor mdio, mediana, desvio padro e percentil, o pacote Statistics contm comando que computa, por exemplo, a amplitude interquartil e o fator de risco.

    Exemplos

    Exemplo 1

    Computar a amplitude mdia absoluta do interquartil da distribuio de Rayleigh com parmetro de escala 3.

    >

    (4.89)

    (4.90)

    (4.91)

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  • Para computar o resultado numericamente:

    Especificar o opo 'numeric'.

    >

    Exemplo 2

    Computar o fator de risco (hazard rate) da distribuio de Cauchy com parmetros de localizao e

    escala a e b em um ponto arbitrrio t.

    >

    Voc pode especificar um valor para o ponto t.

    >

    Voc pode tambm especificar para que o Maple compute o resultado numericamente.

    >

    (4.92)

    (4.93)

    (4.94)

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  • Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?Statistics/DescriptiveStatistics.

    Fazendo Grficos

    Voc pode gerar grficos estatsticos usando os comandos de visualizao no pacote Statistics.

    Os grficos disponveis incluem:

    Grfico de barras (Bar chart)

    Grfico de freqncia (Frequency plot)

    Histograma

    Pie Chart

    Scatter Plot

    Por exemplo, criar um grfico de disperso (scatter plot) para uma distribuio de pontos que variam de

    por um pequeno valor determinado por uma amostra (sample) normalmente distribuda.

    >

    >

    >

    >

    >

    (4.95)

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  • Para informaes sobre opes, como title, veja Grficos e Animao (Plots and Animations)

    (pg. 157).

    Para ajustar a curva aos dados dos pontos, inclua o parmetro de equao opcional fit .

    Usando o comando plots[display], criar um grfico que contm:

    O grfico de disperso (Scatter plot) dos dados de pontos

    O polinmio qurtico (do quarto grau) ajustado aos dados de pontos:

    Funo

    >

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  • >

    >

    Para mais informaes sobre grficos estatsticos, consulte a pgina de ajuda ?Statistics/Visualization.

    Para um sumrio (overview) sobre grficos, veja Plots and Animations (pg. 157).

    Informaes Adicionais

    Para mais informaes sobre o pacote Statistics, incluindo anlise de regresso, estimativa, manipulao de dados e suavizao (smoothing) de dados, consulte a pgina de ajuda ?Statistics.

    Pgina 62 de 71index1.html

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  • 4.7 Ensinando e Aprendendo com o Maple

    A tabela 4.10 fornece os recursos para instrutores e estudantes. Para recursos adicionais, veja a tabela

    4.1 (pg. 99).

    Tabela 4.10: Recursos para Instrutores e Estudantes

    Recursos Descrio Student Packages and Tutors

    O pacote Student contm funcionalidades

    computacionais e visualizao (grfico e animao)

    e interfaces apontar-e-clicar para explicar e explorar

    conceitos (Tools>Tutors). Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?Student.

    Dicionrio de Matemtica e Engenharia

    (Mathematics and EngineeringDictionary)

    O sistema de ajuda Maple (The Maple Help System)

    tem um dicionrio integrado com mais de 5000

    termos matemticos e de engenharia. Voc pode

    procurar o dicionrio usando o mecanismo do

    sistema de ajuda (Help System)(Help>Manuals, Dictionary, and more>Dictionary)

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  • Maple Application Center

    O Maple Application Center contm tutoriais e

    aplicaes que ajudam os instrutores a iniciar o uso

    do Maple e a usar o Maple em sala de aula. Navegue

    pelos vrios recursos nas categorias de Education e Education PowerTools.(http://www.maplesoft.com/applications)

    Maple Student Center

    O Maple Student Center contm tutoriais e

    aplicaes que ajudam os estudantes a aprender

    como usar o Maple, explorar conceitos matemticos

    e resolver problemas. Os recursos disponveis incluem:

    Guia de estudo (Study guides) - Lies completas

    com exemplos para cursos acadmicos, incluindo

    pr-clculo e clculo.Por exemplo, o Guia de Estudo

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  • Pacotes Student e Tutores O pacote Student uma coleo de sub-pacotes para ensinar e aprender Matemtica e assuntos

    relacionados. O pacote Student contm pacotes para uma variedade de assuntos, incluindo pr-clculo,

    clculo e lgebra linear.

    O instrutores podem:

    Ensinar conceitos sem perder o foco com os mecanismos das computaes.

    Criar exemplos e atualiz-los durante a lio para demonstrar diferentes casos ou mostrar o efeito da

    variao de um parmetro.

    Criar grficos e animaes para visualizar conceitos, por exemplo, a relao geomtrica entre uma

    funo matemtica e suas derivadas (Tools>Tutors>Calculus - Single Variable>Derivatives).

    Veja a figura 4.10.

    Pr-Clculo Interativo (Interactive Precalculus

    Study Guide) contm problemas trabalhados,

    cada um resolvido como em um livro-texto padro,

    usando comandos e interfaces grficas usuais do Maple

    Lies de cursos livres para muitos assuntos

    incluindo pre- clculo para clculo vetorial; escola

    superior; abstratos e lgebra linear; engenharia; fsica;

    equaes diferenciais; criptografia e mecnica clssica. (http://www.maplesoft.com/academic/students)

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  • Figura 4.10: Student[Calculus1] Derivatives Tutor

    Os estudantes podem:

    Realizar computaes passo-a-passo, por exemplo, computar uma derivada pela aplicao das regras

    de derivao usando comandos ou um tutor (Tools>Tutors>Calculus - Single Variable> Differentiation Methods). Veja a figura 4.11.

    Realizar computaes.

    Explorar conceitos visualmente.

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  • Figura 4.11: Tutor de Mtodos de Derivao - [Calculus1] Differentiation Methods Tutor

    Os Tutores provm interfaces apontar-e-clicar para a funcionalidade no pacote Student.

    Para iniciar um tutor:

    1. Do menu Tools, selecione Tutors.

    2. Selecione um assunto, por exemplo, Calculus - Multi-Variable.

    3. Selecione um tutor, por exemplo, Gradients.

    O Maple insere a chamada de seqncia Student[MultivariateCalculus][GradientTutor]() (no modo

    Planilha), e inicia o Multivariate Calculus Gradient Tutor.

    Pela rotao do grfico tri-dimensional, voc pode mostrar que o gradiente aponta na direo do

    maior aumento da superfcie ( veja a figura 4.12) e mostrar a direo do vetor gradiente no plano

    x-y ( veja figura 4.13).

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  • Figura 4.12: Multivariate Calculus Gradient Tutor

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  • Figura 4.13: Tutor Multivariate Calculus Gradient Mostrando o Plano x-y

    Quando voc fecha o tutor, o Maple insere o grfico 3-D.

    >

    Muitos comandos do pacote Student podem devolver um valor, expresso matemtica, grfico ou

    animao. Isto permite a voc computar a resposta final, ver a frmula geral aplicada a um problema

    especfico ou visualizar o conceito fundamental.

    Por exemplo, o comando Student[VectorCalculus][LineInt] (integral de linha) pode devolvero seguinte.

    O grfico que indica visualmente o campo vetorial, o caminho de integrao (path of integration) e os

    vetores tangentes ao caminho.

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  • Intergral de linha (line integral) no avaliada

    Valor numrico da integral de linha

    >

    >

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  • >

    Para avaliar a integral devolvida pela chamada de seqncia output = integral, use o comando value.

    >

    Por padro, o comando LineInt devolve o valor da integral.

    >

    Para mais informaes sobre o pacote Student, consulte a pgina de ajuda ?Student.

    (4.96)

    (4.97)

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