CÁLCULO DIFERENCIAL

TAREA 8

Problema 1. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada en elpunto dadoa) (x� 1)2 + (y � 2)2 = 4 en

�2; 2 +

p3�

b) cos (xy) = 0 en��2 ; 1

�c)�x2 + y2

� 12 = 1� xp

x2+y2en (0; 1)

d) x2 � xy + y2 = 4 en (2; 2)

Problema 2. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curvadada en cada uno de los incisos del problema 1.b) Encuentre el punto en que la recta tangente intersectan al eje X en cada uno

de los incisos del problema 1.

Problema 3. Calcule la derivada de las siguientes funcionesa) arctanx b) arcsenx c) arcsecx d) arccosx e) arccscxf) arccotx g) tan (x arcsecx) h) arccosx2

Problema 4. Veri�que que la función f (x) =px2 + 1 satisface la relación

f 0 (x) =x

f (x)

Problema 5. Veri�que que la función y (x) = 3 cos 4x satisface la relación

y00 (x) + 16y (x) = 0

Problema 6. Si se sabe que la función w (t) satisface la relacióndw

dx= tanw

Encuentre la relación que satisface d2wdx2 .

Problema 7. Si w (t) = y (sen t), calcule d2wdt2 en términos de y; y

0 y y00.

Problema 8. Encuentre una expresión para la segunda derivada, d2ydx2 , en cada de

las ecuaciones del problema 1.

Problema 9. Sea g (x) una función diferenciable y tal que g (3) = � y g0 (3) = 4.Calcule

d sen (g (x))

dx

����x=3

Problema 10. Trace la grá�ca de una función f (x) que satisfaga las siguientescondiciones:a) f es continua en todo R excepto en x = �2 y x = 3.b) Los límites laterales por la izquierda y derecha de f en �2 existen.

1

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c) limx!3� f (x) =1 y limx!3+ f (x) =1.d) limx!�1 f (x) = 1 y limx!1 f (x) = �1.e) f (x) no es diferenciable en x = 1.

Problema 11. Encuentre los intervalos de monotonía, los de concavidad, las asín-totas (verticales, horizontales y oblicuas) si existen y trace la grá�ca de las sigiuentesfunciones:a) y = x3 � 6x2 + 9x+ 1:b) y = x3 + 2x2 + 3x+ 5:c) y = x4 � 2x2 + 4d) f (x) = 1

x2+1

e) h (x) = 1x2�4

f) f (x) = x3

x2�4

Problema 12. Sea f (x) una función diferenciable en [a; b]a) De un critério en términos de la derivada para que a sea un mínimo local.b) De un critério en términos de la derivada para que a sea un máximo local.c) De un critério en términos de la derivada para que b sea un mínimo local.d) De un critério en términos de la derivada para que b sea un máximo local.Justi�que sus respuestas.

Problema 13. Sea f (x) una función cuya grá�ca en el intervalo [�3:3] tiene laforma siguiente:

­3 ­2 ­1 1 2 3

­4

­2

2

x

y

a) ¿Estime en que intervalos la derivada es positiva y en cuales es negativa eindique los puntos en los que la derivada vale cero?b) ¿Cuál es el comportamiento de la segunda dervada de f (x)?