Gustavo Guerrero Torres
PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
CÁLCULO DIFERENCIAL
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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez
Producción: Gerardo Briones González
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: Thinkstockphoto
Diagramación: Visión Tipográ�ca Editores, S.A. de C.V.
Revisión técnica: Roberto Hernández Cárdenas
Universidad Mexiquense del Bicentenario
Cálculo diferencial
© 2014, Gustavo Guerrero Torres
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Derechos reservados:
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-897-8
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
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V
PrólogoEl cálculo diferencial es una herramienta esencial para todos aquellos estudiantes que cursan alguna ingeniería. El presente texto tiene como objetivo que el estudiante conozca y apren-da los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, a través de problemas resueltos clave, en los cuales se explica con detalle, usando un lenguaje claro y lo más sencillo posible, los pormenores del ejercicio en cuestión. Con ese objetivo en mente, se parte de problemas simples que paulatinamente incrementan su nivel de dificultad.
Asimismo, también se realiza un análisis gráfico, con el fin de que los ejercicios sean lo más objetivos que se pueda y restarles, en la medida de lo posible, ese rigor matemático que en ocasiones vuelve complejo y tedioso al cálculo diferencial.
Uno de los propósitos que tiene este libro no es que el alumno recuerde algunos con-ceptos indispensables de álgebra estudiados con anterioridad en cursos correspondientes, por esta razón se hace un recordatorio de estos en el momento en que se requieren.
El presente trabajo es el resultado de muchos años de experiencia, los cuales han moti-vado esta inquietud de plasmar lo aprendido, con la finalidad de ayudar al estudiante en el aprendizaje y el empleo del cálculo diferencial como una herramienta fundamental que de-berá usar día a día durante sus estudios y el desempeño de su carrera profesional.
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VII
AgradecimientosMi agradecimiento a Grupo Editorial Patria por brindarme la oportunidad de ver publicado una parte de todo lo que escrito durante el camino que he recorrido a lo largo de mi prácti-ca docente.
Gustavo Guerrero Torres
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IX
Unidad 1 Límites y continuidad 1
1.1 Límites y continuidad 2
1.2 Continuidad 20
1.3 Aplicación de los límites a la vida cotidiana 24
Problemas reto 31Referencias bibliográficas 31Direcciones electrónicas 31
Unidad 2 La derivada 33
2.1 Surgimiento de la derivada 34
2.2 Derivada implícita 59
2.3 Funciones trascendentes 64
2.3 Funciones hiperbólicas 96
2.4 Derivadas de orden superior 101
2.5 Aplicaciones de la derivada a la vida cotidiana 106
Problemas reto 110Referencias bibliográficas 110Direcciones electrónicas 110
Contenido
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X
Contenido
Unidad 3 Aplicaciones de la derivada 111
3.1 Introducción 112
3.2 La derivada y la recta tangente 112
3.3 Máximos y mínimos 136
Referencias bibliográficas 186Direcciones electrónicas 186
Apéndice 1 Números reales 187
A.1 Números reales 188
A.2 Desigualdades lineales, cuadráticas y sus propiedades 188
Apéndice 2 Formulario de matemáticas 215
Fórmulas básicas de álgebra 216
Exponentes y radicales 216
Fórmulas básicas de trigonometría 216
Valores de las funciones de ángulos importantes 217
Límites 217
Cálculo diferencial 218
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UNIDAD 1
¿Qué sabes?
¿Qué son los teoremas de los límites? ¿Qué significa el término “tiende a”? ¿Qué es una indeterminación? ¿Cómo se resuelve un límite?
Objetiv Os
Comprender y aplicar el concepto de límite. Apreciar la diferencia entre los límites unilaterales y bilaterales. Aprender a resolver límites que presentan indeterminación, mediante métodos
algebraicos. Determinar la continuidad de una función y elaborar su representación gráfica.
Límites y continuidad
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2
Límites y continuidadUNIDAD 11.1 Límites y continuidad
Límite de una sucesión ❚
El concepto de límite se establece cuando una sucesión se va aproximando a un punto llamado límite; si una sucesión tiene un límite, entonces se dice que esta es una sucesión convergente, en caso contrario se trata de una sucesión divergente.
Esta definición establece que todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite; en este caso, lo que se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite, dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.
Límites: concepto intuitivo ❚
Sea una función del tipo:
Como se puede observar, esta función no está definida para el valor x = −1, ya que esta adquiere
la forma 00 , la cual representa una indeterminación. Sin embargo, se puede hacer un análisis acerca de
lo qué le ocurre a f (x) cuando x se aproxima a −1.
Para ello, se realiza una tabla con valores para “x” en f (x) que se aproximen a −1, tanto por valores menores como por valores mayores.
tabla 1.1
x xx
2 11
−+ x x
x
2 11
−+
0 −1 −2 −3
−0.5 −1.5 −1.5 −2.5
−0.9 −1.9 −1.1 −2.1
−0.99 −1.99 −1.01 −2.01
−0.999 −1.999 −1.001 −2.001
x → −1xx
2 11
−+ → −2 x → −1
xx
2 11
−+ → −2
De esta manera, aplicando el concepto de límite, tenemos:
teoremas sobre los límites ❚
Sea n un entero positivo, k una constante y f (x) y g(x) funciones con límites en c, entonces:
1. limx c
k k→
= Léase: Límite de k cuando x tiende a c.
Ejemplo:
2. limx c
x c→
=
Ejemplo:
f x xx( ) = −
+2 1
1
lim lim limx x x
xx
x xx→ − → − → −
−+
=−( ) +( )
+=
1
2
1 1
11
1 11
xx −( ) = − − = −1 1 1 2
limx→
=3
6 6
limx
x→ −
= −2
2
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3
3. =→ →
k f x k f xlim ( ) lim ( )x c x c
Ejemplo:
4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x→ → →
± = ±
Ejemplo:
lim lim lim limx x x x
x x x x→ − → − → − → −
−( ) = − =3 3 3 3
4 6 4 6 4 xx xx
− = −( ) − −( ) = − +→ −
6 4 3 6 3 12 183
limlim lim lim limx x x x
x x x x→ − → − → − → −
−( ) = − =3 3 3 3
4 6 4 6 4 xx xx
− = −( ) − −( ) = − +→ −
6 4 3 6 3 12 183
lim x
5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x→ → →
⋅ = ⋅
Ejemplo:
6. lim ( )( )
lim ( )
lim ( )x c
x c
x c
f xg x
f x
g x→
→
→
=
Donde: g x( ) ≠ 0
Ejemplo:
7. lim ( ) lim ( )x c
n
x c
n
f x f x→ →
=
Donde: n es un número entero o fraccionario.
Ejemplo:
Límites unilaterales ❚
Límite por la derecha El término x → c+ significa que x se acerca a c por valores mayores, o sea, por la derecha.
c +
c
Figura 1.1
Este tipo de límites suele presentarse en funciones de tipo:
Donde x necesariamente debe tomar valores mayores que la unidad, para que la función tome valores reales. El condominio de la función es (1, 00).
lim limx x
x x→ →
= = ( ) =4 4
5 5 5 4 20
limx
x x→ −
−( ) =3
4 6 6
lim lim lim lim lx x x x
x x x x x→ → → →
⋅( ) = ⋅ = ⋅5 5 5 5
3 2 3 2 3 2 iimx
x→
= ( ) ⋅ ( ) = ( )( )5
3 5 2 5 15 10
limx
x x→
⋅( ) =5
3 2 150
limlim
lim
lim
x
x
x
xx
x
x→
→
→
+−
=+( )−( ) =
4
4
4
2 65 4
2 6
5 4x
x x
x x
x
x
x
x→ →
→ →
→+
−=
+4 4
4 4
42 6
5 4
2lim
lim lim
lim limxx
x xx
→
→ →−
=4
4 4
6
5 4lim lim
= ( ) +( ) −
= +−
=2 4 65 4 4
8 620 4
1416
limx
xx→
+−
=4
2 65 4
78
lim limx x
x x→ − → −
( ) =
= −( )( ) = −( )
1
2
1
22
2 2 2 1 2 22 4=
f x x( ) = + −1
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4
Límites y continuidadUNIDAD 1
p(1, 0)
y
x1 2 3 4 5 6
Figura 1.2
Al evaluar el límite de la función f x x( ) = + −1 , conforme x tiende a 1 por la derecha, se tiene:
Límite por la izquierdaEl término x c→ − significa que x se acerca a c por valores menores, o sea, por la izquierda.
c –
c
Figura 1.3
Estos límites se presentan en las funciones:
Donde x debe tomar valores menores a la unidad. El condominio de la función es (−∞, 0).
p(1, 0)
y
x21
–4 –3 –2 –1
Figura 1.4
Al evaluar el límite de f x x( ) = + −1 , conforme x tiende a 1 por la izquierda, se obtiene:
Límites bilateralesAsimismo, también hay casos en los que x se puede aproximar a c por valores mayores o menores; es decir, tanto por la derecha como por la izquierda.
limx
x→ +
− =1
1 0
f x x( ) = −1
limx
x→ −
− =1
1 0
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5
c +c –
c
Figura 1.5
Algunos ejemplos de estos límites se representan en funciones del tipo:
p(1, 0)
y
x
1
2
3
4
5
Figura 1.6
Cálculo de límites de funciones indeterminadas ❚
Antes de iniciar el estudio del cálculo de este tipo de límites, cabe aclarar que la indeterminación representa la división de un número o una función entre cero.
En el cálculo de límites de funciones indeterminadas es necesario eliminar la indeterminación mediante métodos algebraicos; sin embargo, el primer paso para la resolución de cualquier límite es verificar que en realidad exista dicha indeterminación. En el caso de que no haya indeterminación, basta con hacer la sustitución en el numerador y realizar las operaciones indicadas.
f x x( ) = 2
Primero, se realiza la sustitución del valor límite de x. De esta manera se obtiene:
limx
xx→ −
−+
=−( ) −− +
=1
2 211
1 11 1
00
Como se puede observar, el límite presenta una indeterminación, la cual se eliminará mediante factorización; en este caso, se utiliza la factorización de diferencia de cuadrados:
lim limx x
xx
x xx→ − → −
−+
=−( ) +( )
+1
2
1
11
1 11
Simplificando y sustituyendo:
limx
x→ −
−( ) = − − = −1
1 1 1 2
Solución
Calcular el límite limx
xx→ −
−+1
2 11
.
Problema resuelto
AlertaLa factorización de diferencia de cuadrados da como resultado el producto de binomios conjugados
− = − +a b a b a b( )( )2 2 .
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6
Límites y continuidadUNIDAD 1
lim limx x
xx
xx→ →
− =
−−
= −−3
2
3
2
3 3 0
93
93
En el caso de este límite, primero se factoriza el numerador en producto de binomios conjugados:
lim limx
a b
x
a b a
xx
x x→
−
→
−
−−
=−( ) +( )
3
2
3
93
3 32 2 ++
−
b
x
3
Luego, se simplifican términos:
lim limx x
x xx
x→ →
−( ) +( )−
= +( )3 3
3 33
3
Por último, se hace la sustitución del valor límite de x:
limx
x→
+( ) = + =3
3 3 3 6
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
xx→
−−3
2 93
Problema resuelto
limx
xx→
( )− =
−−2
2
2 2 4 0
4 162 4
Como se puede observar, este caso se trata de un límite de una función indeterminada; por tanto, es necesario eliminar la indeterminación mediante factorización:
lim limx
a b
x
a b
xx
x→
−
→
−
−−
=−( )
2
2
2
4 162 4
2 42 2
2 42 4
xx
a b
+( )−
+
Simplificando y sustituyendo el valor límite de x se obtiene:
=−( ) +( )
−= +( ) = ( ) +
→ →lim limx x
x xx
x2 2
2 4 2 42 4
2 4 2 2 4 == 8
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
xx→
−−2
24 162 4
Problema resuelto
Obtener el siguiente límite:
limx
xx→
−−2
22 82
Problema resuelto
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7
lim 2 82
2
2 2 0
xx
−−
− =
lim lim limx x x
xx
xx
x→ → →
−−
=−( )
−=
−2
2
2
2
2
22 8
22 4
22 4(( )
−=
−( ) +( )−
−
→
a b
xxx x
x
4 2
22 2 2
22
lim
Simplificando y sustituyendo:
= +( ) = +( ) =→
limx
x2
2 2 2 2 2 8
Solución
AlertaEn este caso, el término 2x 2 − 8 no reúne las condiciones para la factorización como diferencia de cuadrados, por esta razón es necesario realizar una factorización previa: ( )− = −x x2 8 2 42 2 .
Como se puede ver, existe indeterminación. Por esta razón, primero se lleva a cabo la factorización:
lim limx x
xx
xx→ −
− + =
→ −
−+
=−( )+
=5
2
5 5 0
5
23 75
53 25
5llim
x
x xx→ −
−( ) +( )+5
3 5 55
Simplificando y sustituyendo:
limx
x→ −
−( ) = − −( ) = −5
3 5 3 5 5 30
Solución
Calcular el límite:
lim 3 755
2xx
−+
Problema resuelto
Como existe indeterminación, se realiza la factorización:
limx
xx→
− =
−−2
3
2 2 0
82
Por tanto, la factorización para x3 − 8 es la siguiente:
( )( )− = − + +x x x x8 2 2 43 2
Regresando al límite, se tiene:
lim limx x
xx
x x xx→ →
−−
=−( ) + +( )
−2
3
2
282
2 2 42
Simplificando y sustituyendo:
limx
x x→
+ +( ) = ( ) + ( ) + =2
2 22 4 2 2 2 4 12
Solución
Calcular el límite:limx
xx→
−−2
3 82
Problema resuelto
AlertaEn este caso, el término x 3 − 8 representa una diferencia de cubos. Las factorizaciones tanto para la diferencia de cubos como para la suma de cubos son las siguientes:
( )( )+ = + − +a b a b a ab b3 3 2 2
( )( )− = − + +a b a b a ab b3 3 2 2
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8
Límites y continuidadUNIDAD 1
En este caso, el límite se indetermina y como se trata de una suma de cubos, es necesaria la factorización de la suma de cubos:
lim limx x
a b
xx
x→ −
− + =
→ −
+
++
= +3
3
3 3 0
3
3273
27
3 3
xx x x
x
a b a ab b
+=
+( ) − +( )→ −
+ − +
33 3 9
3
2
2 2
lim
x + 3
Simplificando y sustituyendo:
lim limx x
x x xx
x x→ − → −
+( ) − +( )+
= − +( ) = −3
2
3
23 3 9
33 9 33 3 3 93( ) − −( ) +
limx
xx→ −
++
=3
3 273
27
Solución
Obtener el siguiente límite:
limx
xx→ −
++3
3 273
Problema resuelto
El límite presenta indeterminación; sin embargo, el término 2x3 − 2 no corresponde a una diferencia de cubos, debido a que ninguno de los términos tiene raíz cúbica exacta. Entonces, se realiza una factorización previa:
2 2 2 13 3x x− = −( )
Sustituyendo esta factorización y simplificando se obtiene:
lim lim limx x x
xx
xx
x→ → →
−−
=−( )
−=
−1
3
1
3
1
32 2
12 1
12 1(( )
−=
−( ) + +( )−
−
→
a b
xxx x x
x
3 3
12 1 1
11
2
lim
limx
x x→
+ +( ) = ( ) + ( ) +
= ( )
1
2 22 1 2 1 1 1 2 3
limx
xx→
−−
=1
32 21
6
Solución
Resolver el límite:
limx
xx→
−−1
32 21
Problema resuelto
Como existe indeterminación, primero se factoriza y luego se simplifica y sustituye:
Solución
Resolver el límite:
limx
xx→ −
++3
33 813
Problema resuelto
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9
lim limx x
xx
xx→ −
− + =
→ −
++
=+( )
+=
3
3
3 3 0
3
33 81
33 27
3llim
x
a b
xx→ −
+
+( )+3
33 273
3 3
lim limx x
x x xx
x x→ − → −
+( ) − +( )+
= − +( )3
2
3
23 3 3 9
33 3 9 == −( ) − −( ) +
3 3 3 3 93
limx
xx→ −
++
= + +( ) =3
33 813
3 9 9 9 81
Como existe indeterminación, primero se factoriza el numerador, el cual cumple con la diferencia de cubos:
lim limx x
xx
xx→ →
( )−
−−
= −−3
434
34
64 278 6
64 278 6
3 3
8 66 0
3
34
3 3
3
64 278 6
=
→
−
→= −
−=
lim limx
a b
x
xx 44
4 3 16 12 98 6
2x x xx
−( ) + +( )−
En este caso, a pesar de la factorización del numerador no es posible la simplificación; por tanto, también es necesaria la factorización del denominador:
lim limx
x
x x xx→
−( )
−( ) + +( )−
=34
4 3 16 12 98 6
2
2 4 3 xx
x x xx→
−( ) + +( )−( )3
4
4 3 16 12 92 4 3
2
Simplificando y sustituyendo, se tiene:
limx
x x→
+ + = ( ) + ( ) +
3
4
16 12 92
16 12 92
12
34
2 34 == + +( )1
2 9 9 9
limx
xx→
−−
=34
64 278 6
272
3
Solución
Obtener el valor del siguiente límite:
limx
xx→
−−3
4
64 278 6
3
Problema resuelto
Se trata de un límite con indeterminación:
limx
x xx x→
( ) − ( )+ =
+ −− +5
2
2
5 7 5 10 0
67 10
2
En este caso, primero se realiza la factorización, la cual corresponde a la de un trinomio del tipo x 2 + bx + c:
Solución
Calcular el siguiente límite:
limx
x xx x→
+ −− +5
2
26
7 10
Problema resuelto AlertaPara la factorización de un trinomio del tipo x 2 + bx + c en el producto de dos binomios, es necesario encontrar dos números que multiplicados den como resultado el término independiente del trinomio c y que al mismo tiempo estos mismos números sumados algebraicamente produzcan el coeficiente del término lineal. Es importante destacar que el primer término de cada factor es x.
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10
Límites y continuidadUNIDAD 1Entonces, primero se factoriza el numerador:
x x x x2 6 3 2+ − = +( ) −( )
Comprobación:
+( ) −( ) = −3 2 6 Término independiente.
+ − =3 2 1 Coeficiente del término lineal.
Enseguida, se factoriza el denominador:
x x x x2 7 10 5 2− + = −( ) −( )Comprobación:
−( ) −( ) =5 2 10 Término independiente.
− − = −5 2 7 Coeficiente del término lineal.
Sustituyendo ambas factorizaciones en el límite se tiene:
lim limx x
x xx x
x xx x→ →
+ −− +
=+( ) −( )−( )5
2
2 5
67 10
3 25 −−( )2
Simplificando y sustituyendo:
limx
xx→
+−
= +−5
35
5 35 5
Es necesario hacer notar que si a pesar de la factorización y de la simplificación, aún sigue presentándose la indeterminación, entonces se dice que no tiene límite.
El límite presenta indeterminación, por tanto se procede a factorizar:
limx
x xx x→ −
−( ) + −( )− =
+ −+ −4
2
2
4 2 4 8 0
122 8
2
Entonces, se factoriza el numerador:
x x x x2 12 4 34 3 12
4 3 1+ − = +( ) −( ) +( ) −( ) = −
+ − =
Luego, se factoriza el denominador:
x x x x2 2 8 4 24 2 8
4 2 2+ − = +( ) −( ) +( ) −( ) = −
+ − =
Sustituyendo:
lim limx x
x xx x
x xx→ − → −
+ −+ −
=+( ) −( )+(4
2
2 4
122 8
4 34)) −( )x 2
Simplificando y sustituyendo se tiene:
limx
xx→ −
−−
= − −− −
= −−4
32
4 34 2
76
limx
x xx x→ −
+ −+ −
=4
2
212
2 876
Solución
Calcular el siguiente límite:lim
x
x xx x→ −
+ −+ −4
2
212
2 8
Problema resuelto
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11
En este caso, primero se sustituye el valor límite de x en el denominador:
lim limx x
x xx x
x xx x→ − → −
+ −− +
= + −− +2
2
2 2
2
23 43 2
3 43 2
−−( ) − −( )+ =2 3 2 2 122
Como el límite no presenta indeterminación, basta con sustituir en el numerador y realizar la simplificación:
limx
x xx x
x x→ −
−( ) + −( )− =
+ −− +
= + −2
2
2
2
2 3 2 4
3 43 2
3 4
2 −−
= −
6
126
12
limx
x xx x→ −
+ −− +
= −2
2
23 43 2
12
Solución
Calcular el siguiente límite:
limx
x xx x→ −
+ −− +2
2
23 43 2
Problema resuelto
Primero, se verifica si existe indeterminación:
lim
x
x xx x→
+
+ ++ −5
2
2
2
2 52
52
5 17 62 15
2
− =15 0
Puesto que el límite se indetermina, es necesario realizar la factorización. Debido a que se trata de un trinomio de la forma ax bx c2 + + , su factorización se realiza de una manera diferente: Primero se realiza la factorización del numerador:
5 17 62x x+ +
Luego, se descompone el coeficiente a, en este caso 5, en el producto de dos números enteros:
5 5 1= ×
Esta es la única opción de descomposición, por tratarse de un número primo. Enseguida, se descompone el término independiente c, en este caso 6, en el producto de dos números enteros.
62 36 1
=××
Aquí se emplean los productos de los dos números en ambas formas, 2 × 3 y 3 × 2, y se aplica para cada pareja de números:
6
2 33 26 11 6
=
××××
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
x xx x→
+ ++ −5
2
2
25 17 62 15
Problema resuelto
AlertaEn este caso, como se trata de un trinomio de la forma ax bx c2 + + ; la factorización se realiza a través de un procedimiento diferente (el cual se describe paso a paso en la solución del problema).
01 Guerrero U1.indd 11 4/25/12 12:39:54 PM
12
Límites y continuidadUNIDAD 1Es importante hacer notar que esto no se realiza en el caso de la descomposición del coeficiente a. Acto seguido, se emplean los productos señalados:
5 17 65 1
2
2 33 26 11 6
• × • ××××
+ + x x
Del producto 5 × 1 se obtienen los coeficientes de x de cada factor:
5 17 6 5 12x x x x+ + = ( )( )Del producto 2 × 3 se obtienen los términos independientes de cada factor:
5 17 6 5 2 32x x x x+ + = ( )( )Los signos los determina el término lineal:
5 3 15
5
x x
x
( )( )=
22 17 5 5 2 1 3+ + = ( )( )x x x
2 1 2( )( )=x x
Entonces, la suma algebraica de estos dos productos debe dar como resultado el término lineal:
15 2 17x x x+ = +
Puesto que la suma coincide, ambos signos son positivos. Entonces se puede afirmar que esta es la factorización:
5 17 6 5 2 32x x x x+ + = +( ) +( )Ahora se realiza la factorización del denominador:
2 1 152x x+ −
Entonces, se procede en forma similar:
2 152 1
2
3 55 315 11 15
× ×××
×
+ − x x
Así, empleamos los productos indicados para realizar la factorización:
2 15 2 3 1 52 1
2
3 55 315 11 15
• × • ×××
×
+ − = ( )( ) x x x x
2x( ))( )=
( )( )=
+ − = ( )( )5 10
2
3 1 3
2 15 2 3 1 5
x
x x
x x x x
Recuérdese que la suma algebraica de estos productos debe coincidir con el término lineal del trinomio:
10 3 7 10 3 13x x x x x xsumando
− = + =restando
Como no hay forma de acomodar los signos para que el resultado sea +x, se busca otra opción:
2 3 6
22
x x
x x
( )( )=
+ −− = −( ) +( )15 2 5 3x x
5 5( )( )=x x
6 5x x x− = +
01 Guerrero U1.indd 12 4/25/12 12:39:59 PM
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13
2xx x
x x x x
( )( )=
+ − = −( ) +( )
3 6
22 15 2 5 3 −( )( )=−5 5x x
Esta es la opción correcta, por tanto la factorización es:
2 15 2 5 32x x x x+ − = −( ) +( )
Al sustituir estas dos factorizaciones en el límite se tiene:
lim limx x
x xx x
x x
→ →
+ ++ −
=+( ) +( )
52
2
2 52
5 17 62 15
5 2 322 5 3x x−( ) +( )
Simplificando y sustituyendo:
limx
xx→
+−
= ( ) +
( ) −=
52
5252
2925 2
2 55 22 5 0
A pesar de la factorización sigue presentándose la indeterminación; por tanto, se dice que no tiene límite.
Primero, se verifica la existencia de la indeterminación:
limx
x xx x→ −
−( ) − −( )− =
+ +− −2
3
2
2
3 4 4 0
3 11 63 4 4
23
2 23
Enseguida, al indeterminarse se procede a la factorización.
Factorización del numerador:
3 3x( )( )==
• × ×• ×
××
+ + = ( )( )9
3 1
2
3 22 3
6 11 6
3 11 6 3 2 1 3
x
x x x x
2 1( ) x(( )=2x
9 2 11x x x+ = +
3 11 6 3 2 32x x x x+ + = +( ) +( )
Factorización del denominador:
3 2x( )( )=66
3 1
2
2 21 44 1
3 4 4 3 2 1 2
x
x x x x• × • ×
××
− − = ( )( )
2 1 2( )( )=x x
Luego, se analizan los signos de los productos para la obtención de −4x:
− + = −6 2 4x x x
Solución
Calcular el siguiente límite:
limx
x xx x→ −
+ +− −2
3
2
23 11 63 4 4
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 13 4/25/12 12:40:03 PM
14
Límites y continuidadUNIDAD 1 3 2 6
23
x x
x
( ) −( )=−
− 44 4 3 2 2x x x− = +( ) −( )
2 2( )( )=+x x
3 4 4 3 2 22x x x x− − = +( ) −( )
Sustituyendo las factorizaciones en el límite, simplificando y sustituyendo el valor de x, se tiene:
lim limx x
x xx x
x x
→ − → −
+ +− −
=+( ) +
23
2
2 23
3 11 63 4 4
3 2 3(( )+( ) −( ) = +
−=
− +− −
=→ −3 2 2
32
322
3
2323
73
x xxxx
lim−− 8
3
limx
x xx x→ −
+ +− −
= −23
2
23 11 63 4 4
78
Para la solución de este límite se procede de manera diferente; sin embargo, el primer paso si es el mismo, verificar la existencia de la indeterminación:
limx
xx→
− ( ) − =
−− −3
2
2
5 3 3 2 0
95 3 2
2
Como se puede observar si existe indeterminación; para eliminarla, se multiplica y se divide por el binomio conjugado del denominador.
limx
a b a
xx
xx→
−
−− −
⋅ + −+ −3
2
2
2
2
95 3 2
5 3 25 3 2
++b
Entonces, el producto de numeradores queda expresado como:
limx
a b
x x
x→
−
−( ) + −( )( ) − −( )3
2 2
2 22
9 5 3 2
5 3 22 2
Suprimiendo los paréntesis:
lim limx x
x x
x
x
→ →
−( ) + −( )( ) − −( )
=−
3
2 2
2 2 3
9 5 3 2
5 3 2
9 22 2
2
5 3 2
25 3 2( ) + −( )
− +
x
x
Sumando términos semejantes en el denominador se obtiene:
=−( ) + −( )
−→limx
x x
x3
2 2
2
9 5 3 2
27 3
Factorizando para poder realizar la simplificación:
lim limx x
x x
x
x→ →
−( ) + −( )−( )
= + −3
2 2
2 3
29 5 3 2
3 9
5 3 23
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
xx→
−− −3
2
2
95 3 2
Problema resuelto
AlertaEl producto de binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados:
a b a b a b−( ) +( ) = −2 2
01 Guerrero U1.indd 14 4/25/12 12:40:08 PM
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15
Por último, al sustituir se tiene:
=+ ( ) −
= + − = +5 3 3 2
35 27 2
35 25
3
2
limx
xx→
−− −
=3
2
2
95 3 2
103
Como se sabe, primero se verifica la existencia de la indeterminación:
limx
xx→
− ( ) − =
−− −2 2
16 3 2 2 0
216 3 2
2
Debido a que se confirma la existencia de la indeterminación, enseguida se procede al producto y la división del binomio conjugado del denominador:
limx
a b
xx
xx→
−
−− −
⋅ − +− +2 2
2
2
216 3 2
16 3 216 3 22
a b+
=
Entonces, se obtiene la diferencia de cuadrados en el denominador y se simplifica:
=−( ) − +( )
−( ) − ( )→
−
limx
a b
x x
x2
2
22 2
2 16 3 2
16 3 22 2
=−( ) − +( )
− −=
→limx
x x
x2
2
2
2 16 3 2
16 3 4
limx
x x
x→
−( ) − +( )−2
2
2
2 16 3 2
12 3
Enseguida, es necesario factorizar el denominador para hacer posible la simplificación:
=−( ) − +( )
−( )→limx
x x
x2
2
2
2 16 3 2
3 4
En este caso, el denominador toma la forma de una diferencia de cuadrados, la cual es necesario factorizar.
lim limx
a b
x
x x
x→
−
−( ) − +( )−( )
=2
2
2
2 16 3 2
3 42 2
→→
−( ) − +( )−( ) +( )2
22 16 3 2
3 2 2
x x
x x
Luego, se simplifica y se sustituye:
( )( )
( ) ( )− +
+= − +
+= +
+→
xlim 16 3 23 2 2
16 3 2 23 2 2
2 23 2 2x 2
2 2
limx
xx→
−− −
=2 2
216 3 2
13
Solución
Calcular el valor del límite:
limx
xx→
−− −2 2
216 3 2
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 15 4/25/12 12:40:12 PM
16
Límites y continuidadUNIDAD 1
Primero, verificamos si existe la indeterminación:
limx
xx→
−− −
= −− ( ) −
=1
110 9 1
1 110 9 1 1
00
Al comprobar la indeterminación se procede a eliminarla. Entonces, se multiplica y divide por el binomio conjugado del denominador:
limx
xx
xx→
−− −
⋅ − +− +1
110 9 1
10 9 110 9 1
Entonces, el producto de los denominadores da como resultado una diferencia de cuadrados:
lim limx x
xx
xx
x→ →
−− −
⋅ − +− +
=−( )
1 1
110 9 1
10 9 110 9 1
1 110 9 1
10 9 12 2
− +( )−( ) − ( )
x
x
Simplificando:
=−( ) − +( )
− −=
−( ) −→ →
lim limx x
x x
x
x1 1
1 10 9 1
10 9 1
1 10 99 1
9 9
x
x
+( )−
=−( ) − +( )
−( )→limx
x x
x1
1 10 9 1
9 1
Acomodando términos para poder realizar la simplificación, se tiene:
=− −( ) − +( )
−( ) =− − +
→ →lim limx x
x x
x
x1 1
1 10 9 1
9 1
10 9 1(( )9
Por último, se sustituye el valor límite de x y se realizan las operaciones:
lim lim limx x x
x→ → →
− − +( ) =− − ( ) +( )
=1 1
10 9 1
9
10 9 1 1
9 11
1 19
− +( )
limx
xx→
−− −
= −1
110 9 1
29
Solución
Obtener el siguiente límite:
limx
xx→
−− −1
110 9 1
Problema resuelto
En los límites al infinito no es posible verificar la existencia de la indeterminación. Entonces, para su resolución, primero se dividen tanto el numerador como el denominador entre el término x de mayor grado.
limx
xx
xx x
xx
xx x
→∞
− +
+ −
6 23 15
6 7 10
2
2 2 2
2
2 2 2
Solución
Calcular el siguiente límite:
limx
x xx x→∞
− ++ −
6 23 156 7 10
2
2
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 16 4/25/12 12:40:17 PM
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17
Luego, al simplificar se obtiene:
limx
x x
x x→∞
− +
+ −
6 23 15
6 7 102
2
Como se puede observar, como resultado se obtienen cuatro fracciones con x en el denominador:
Entonces, como la fracción 1x
tiende a cero conforme x tiende a infinito, ocurrirá lo mismo con la
fracción 12x
; por ende, cada una de estas fracciones se eliminará. Matemáticamente el resultado es el
siguiente límite:
limx x→∞
=1 0
Al aplicarlo a nuestro problema, obtenemos:
limx
x x
x x→∞
− +
+ −= − +
+ += =
6 23 15
6 7 106 0 06 0 0
66
12
2
AlertaCon la finalidad de demostrar qué ocurre cuando x tiende a infinito
en la fracción 1x se hace
una tabulación, como la que se muestra a continuación.
tabla 1.2
x 1x
1 1
10 0.1
100 0.01
1 000 0.001
x →∞ 1 0x
→
En este caso, primero se divide cada término entre x3:
lim limx x
xx
xx x
xx
xx x
→∞ →∞
+ −
− +=
9 11 10
3 5
93
3 3 3
2
3 3 3
++ −
− += + −
− +
11 10
3 1 59 0 00 0 0
2 3
2 3
x x
x x x
limx
x xx x→∞
+ −− +
=9 11 103 5
90
3
2
No obstante lo anterior, se presenta la indeterminación; por consiguiente, no existe el límite.
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
x xx x→∞
+ −− +
9 11 103 5
3
2
Problema resuelto
En este caso, cada término se divide entre x3 y se simplifica:
lim limx x
xx
xx x
xx
xx x
→∞ →
− −
− +=
10 15 1
2 5 6
2
3 3 3
3
3
2
3 3∞∞
− −
− +
10 15 1
2 5 62 3
3
x x x
x x
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
x xx x→∞
− −− +
10 15 12 5 6
2
3 2
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 17 4/25/12 12:40:22 PM
18
Límites y continuidadUNIDAD 1limx→∞
= − −− +
0 0 02 0 0
limx
x xx x→∞
− −− +
= =10 15 12 5 6
02
02
3 2
En este caso, el límite sigue siendo al infinito; sin embargo, cambia la forma de la función. Por consiguiente, la función se multiplica y divide por el binomio conjugado, con el fin de obtener la diferencia de cuadrados:
limx
x x x x x xx x x→ ∞
+ + − +( ) ⋅ + + + ++ + + +
2 22 2
2 21 1 1 1
1 1
limx
x x x x x x
x x x→ ∞
+ + − +( ) + + + +( )+ + + +
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
limx
x x x
x x x→ ∞
+ +( ) − +( )+ + + +
22
22
2 2
1 1
1 1
Luego, se suprimen los paréntesis:
= + + − −+ + + +→ ∞
limx
x x xx x x
2 2
2 2
1 11 1
Sumando términos semejantes se obtiene:
limx
xx x x→ ∞ + + + +2 21 1
Una vez expresado el límite como fracción, se divide entre x y se realiza la simplificación:
limx
xx
xx x x→ ∞ + + + +( )1 1 12 2
limx x
xxx x
xx x
→ ∞+ + + +
11 12
2 2 2
2
2 2
=+ + + +→ ∞
limx
x x x
1
1 1 1 1 12 2
Recordando que limx x→∞
=1 0 , tenemos:
=+ + + +
=+ + + +→ ∞
limx
x x x
1
1 1 1 1 11
1 0 0 1 02 2
Solución
Resolver el siguiente límite:
limx
x x x→ ∞
+ + − +( )2 21 1
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 18 4/25/12 12:40:27 PM
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19
=+
=+
11 1
11 1
limx
x x x→ ∞
+ + − +( ) =2 21 1 12
El primer paso es dividir al numerador y al denominador entre x:
lim limx x
xx
xx
xx
→ ∞ → ∞
+= +
1 1 2 1 1 22
2
Luego, el término 1x se eleva al cuadrado para poder colocarlo dentro de la raíz:
lim lim limx x xx
xx
xx x→ ∞ → ∞ → ∞
+( ) = + = +1 1 2 1 2 12
22
2
2 2 22 0 2= +
limx
xx→ ∞
+ =1 2 22
Solución
Obtener el límite de:
limx
xx→ ∞
+1 2 2
Problema resuelto
Como primer paso, los términos x −1 se representan como fracción y se suman algebraicamente las fracciones:
lim lim limx x x
x xx x
xx
xx
xx
→ ∞
−
− → ∞ → ∞
+−
=+
−=
+1
1
1
11
1
xxx
xx
xx
x
11
1
1
2
2−
=+
−→ ∞lim
Luego, simplificando denominadores se obtiene:
lim limx x
xx
xx
xx→ ∞ → ∞
+
−= +
−
2
2
2
2
1
111
Por último, cada término se divide entre x 2, se simplifica y se aplica el límite al infinito:
lim limx x
xx xxx x
x
x→ ∞ → ∞
+
−=
+
−= +
2
2 2
2
2 2
2
2
1
1
1 1
1 11 011 0−
limx
x xx x→ ∞
−
−+−
=1
1 1
Solución
Calcular el siguiente límite:
limx
x xx x→ ∞
−
−+−
1
1
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 19 4/25/12 12:40:31 PM
20
Límites y continuidadUNIDAD 1Límites de funciones trigonométricas ❚
En el caso particular del límite limx
sen xx→ 0
, es posible observar que este límite no existe para x = 0; sin em
bargo, sí está definido para cualquier otro valor de x. Entonces, de aquí surge la idea intuitiva de límite, razón por la cual se construye la gráfica de dicha función.
y
x
5–5–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10–10–15–20 15 20
Figura 1.7
A pesar de que gráficamente aparenta ser una función continua, esta tiene una discontinuidad en el punto x = 0. Por esta razón, es conveniente solucionarla mediante una tabulación, en la cual x tienda a cero por la izquierda y por la derecha.
Tabla 1.3
xsen x
xx
sen xx
−1 0.8415 1 0.8415
−0.8 0.8967 0.8 0.8967
−0.5 0.9589 0.5 0.9589
−0.2 0.9933 0.2 0.9933
−0.1 0.9983 0.1 0.9983
−0.01 0.99998 0.01 0.99998
Como se observa en la tabulación, independientemente de que nos acerquemos por la izquierda
o por la derecha a x = 0, en ambos casos sen xx
tiende a acercarse a la unidad.
1.2 Continuidad
Una idea intuitiva de una función continua es que su gráfica se pueda trazar sin cortes; es decir, trazarla sin despegar el lápiz del papel.
Continuidad en un punto ❚
Para que exista continuidad en un punto x, se deben cumplir las siguientes condiciones:
a) f (x ) debe estar definida.
b) Debe existir el límite limx x
f x→
( ) .
01 Guerrero U1.indd 20 4/25/12 12:40:33 PM
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21
c) Se debe cumplir la igualdad limx x
f x f x→
( ) = ( ) .
La función f (x) será discontinua en x, si por lo menos una de las tres condiciones anteriores no se cumple.
–2–2
2
4
6
8
–4
–6
–8
2 4 6 8–4–6–8
Figura 1.8
Como se puede observar en la gráfica de la figura 1.8, no hay continuidad. Por tanto, la función
correspondiente a esta gráfica es f xx( ) = 1 , o sea que las funciones fraccionarias son las que presentan
dicha discontinuidad.
Primero se hace f (2):
f 2 32 1
31
3( ) = ( ) −= =
Entonces, se cumple que f (2) está definida en x = 2.
Luego, se calcula el límite limx
f x→
( )2
:
lim limx x
f xx→ →
( ) =−
= ( ) −=
2 2
31
32 1
3
Como se puede observar sí existe el límite. Puesto que se cumple limx
f x f→
( ) = ( )2
2 , entonces f (x) es continua en x = 2. Sin embargo, la función no será continua en x = 1.De esta forma, la gráfica de esta función es la siguiente:
5
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
–5–10–15–20 10 15 20
y
x
Figura 1.9
Solución
Determinar si la función f(x), definida por 3
1x − , es continua en x = 2.
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 21 4/25/12 12:40:37 PM
22
Límites y continuidadUNIDAD 1
Primero, se realiza la factorización del numerador:
f x x xx
x xx( ) = + −
+=
+( ) −( )+
2 22
2 12
Luego, simplificando:
f x x( ) = −1
Para f (−2), tenemos:
f −( ) = − − = −2 2 1 3
Además:
lim lim limx x x
f x x xx
x x→ − → − → −
( ) = + −+
=+( ) −
2 2
2
2
22
2 112
1 32
( )+
= −( ) = −→ −x
xxlim
Entonces, se cumple que limx
f x f→ −
( ) = −( )2
2 , por lo que f (x) es continua en x = −2.
La representación gráfica de la función es la siguiente.
y
x
2–2–4–6–8 4 6 8
–1
2
4
6
8
–1
–1
–1
Figura 1.10
Solución
Sea f (x) la función definida por f x x xx( ) = + −
+2 2
2. Determinar si f (x) es continua en x = −2.
Problema resuelto
Para x = 1Primero, se evalúa f (1):
f 1 11 2
13
( ) =+
=
Solución
Analizar la continuidad de f xx
( ) =+1
2 en los puntos donde x = 1, −2, 0.
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 22 4/25/12 12:40:40 PM
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23
Luego, se aplica el límite:
lim limx x
f xx→ →
( ) =+
=+
=1 1
12
11 2
13
Puesto que limx
f x f→
( ) = ( )1
1 , entonces f (x) es continua en x = 1.
Para x = −2 Primero, se evalúa f (−2):
f −( ) =− +
=2 12 2
10
En este caso, la función se indetermina en x = −2; por tanto, no es continua en este punto.Para x = 0Como primer paso se evalúa f (0):
f 0 10 2
12( ) =
+=
Luego, se aplica el límite:
lim limx x
f xx→ →
( ) =+
=+
=0 0
12
10 2
12
Como limx
f x f→
( ) = ( )0
0 , entonces f (x) es continua en x = 0.
En la gráfica siguiente se observa la discontinuidad en x = −2.
y
x
2 4 6 8–2–4–6–8
–2
–4
–6
–8
2
4
6
8
Figura 1.11
Para x = 3Primero, se factoriza el numerador de f (x) mediante diferencia de cubos:
a b a b a ab b3 3 2 2− = −( ) + +( )
f x xx
x x xx
x x( ) = −−
=−( ) + +( )
−= + +
3 2227
33 3 9
33 9
Solución
Analizar f x xx( ) = −
−3 27
3 en x = 3, x = 4 y x = 0.
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 23 4/25/12 12:40:44 PM
24
Límites y continuidadUNIDAD 1
1.3 Aplicación de los límites a la vida cotidiana
Los límites son de gran utilidad en diferentes áreas del conocimiento. A continuación se presentan algunos problemas de aplicación resueltos con detalle.
Luego, se evalúa f (3):
f 3 3 3 3 9 272( ) = + ( ) + =
Aplicando el límite:
lim lim limx x x
f x xx
x x x→ → →
( ) = −−
= −( ) + +3 3
3
3
2273
3 3 993
3 93
2( )−
= + +( )→x
x xxlim
limx
f x→
( ) = + ( ) + =3
23 3 3 9 27
Es claro que el límite existe y f f xx
33
( ) = ( )→
lim , por tanto, f x xx
( ) = −−
3 273
es continua en x = 3.
Para x = 4Primero:
f 44 274 3
373
( ) = ( ) −−
=
Luego, se aplica el límite para x = 4:
lim limx x
f x→ →
( ) = ( ) −−
=4 4
34 274 3
37
Puesto que f f xx
44
( ) = ( )→
lim , entonces f (x) es continua en x = 4.
Para x = 0.Primero:
f 00 270 3
93
( ) = ( ) −−
=
Luego, se aplica el límite en x = 0:
lim limx x
f x→ →
( ) = ( ) −−
=0 0
30 270 3
9
Como f f xx
00
( ) = ( )→
lim , entonces f (x) es continua en x = 0.
y
x
1 2 3 4–1–2–3–4
5
–5
10
15
20
25
30
Figura 1.12
El precio de un microcircuito electrónico está definido en función del tiempo, de acuerdo con la siguiente expresión:
Problema resuelto
01 Guerrero U1.indd 24 4/25/12 12:40:49 PM
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25
P t x tt y( ) = +
+360
Donde P (t ) es el precio, x, y representan dos constantes a determinar y t es el tiempo dado en meses. Dado que se estima que el precio del microcircuito electrónico para el próximo mes será de 160 pesos y que al siguiente mes su precio bajará, estimándose en 150 pesos. Calcular:
a) El precio inicial del microcircuito electrónico.b) El mes en que el precio será de 135 pesos.c) ¿Cuál será su valor a largo plazo?
a) Para calcular el precio inicial del microcircuito electrónico es necesario calcular el valor de las incóg
nitas en la expresión P t x tt y( ) = +
+360 . Con base en este objetivo, se sustituyen los costos en el primer
y segundo meses:
P P1 160 2 150( ) = ( ) =
Luego, se sustituyen los datos del primer mes y se realizan operaciones:
Px
y1 160
1 3601
( ) = = ( ) +( ) +
160 3601
= ++
xy
160 1 360+( ) = +y x
160 160 360+ = +y x
− + = −x y160 360 160
− + = ( )x y I160 200
Enseguida, se sustituyen los datos del segundo mes y se realizan operaciones:
Px
y2 150
2 3602
( ) = = ( ) +( ) +
150 2 3602
= ++
xy
150 2 2 360+( ) = +y x
300 150 2 360+ = +y x
− + = −2 150 360 300x y
− + = ( )2 150 60x y II
Con las ecuaciones I y II se plantea un sistema de ecuaciones simultáneas:
− + =− + =
x yx y
160 2002 150 60
Multiplicando la primera ecuación por (−2), se tiene:
2 320 4002 150 60x yx y− = −
− + =
Sumando las ecuaciones:
− = −170 340yy = 2
Sustituyendo en − + =x y160 200 :
− + ( ) =x 160 2 200
Solución
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26
Límites y continuidadUNIDAD 1x = 120
Sustituyendo en − + =x y160 200 y despejando:
x = 120
La solución del sistema es:
x y= =120 2
Entonces:
P t tt( ) = +
+120 360
2
Por tanto, el precio inicial del microcircuito electrónico es cuando t = 0:
P t( ) = ( ) +( ) +
=120 0 360
0 2180
Esto es; el precio inicial del microcircuito electrónico es de 180 pesos.
b) Para el precio de 135 pesos, el tiempo es de:
135 120 3602
= ++t
t
135 2 120 360t t+( ) = +
135 270 120 360t t+ = +
135 120 360 270t t− = −
15 90t =t = 6
Entonces, se puede afirmar que al sexto mes el precio será de 135 pesos.
c) Por último, a largo plazo se tiene que t → ∞ , por tanto se aplica el límite limt
tt→ ∞
++
120 3602
.
lim lim limt t
tt
tt ttt t
→ ∞ → ∞
++
=+
+=120 360
2
120 360
2 tt
t
t→ ∞
+
+= +
+=
120 360
1 2120 0
1 0120
Por tanto, el costo a largo plazo se estabilizará en 120 pesos.
AlertaRecuérdese que cuando en un límite t →∞, su solución se obtiene dividiendo cada término entre la t de mayor grado.
El crecimiento de la población P (t ) de una ciudad se manifiesta de forma exponencial, de acuerdo con la siguiente expresión:
P te t( ) =
+ −105
11 10 0 05.
Dado en millones de habitantes. Calcular:
a) ¿Cuál es la población actual?
b) ¿En cuánto tiempo la población será de 6 millones de habitantes?
c) ¿De cuántos millones será la población en 50 años?
d) A largo plazo, ¿cuál será el comportamiento de la población?
Problema resuelto
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27
a) Para el cálculo de la población actual, tenemos que t = 0:
Pe
0 10511 10
10511 10 1
10511 100 05 0
( ) =+
=+ ( ) =
+− ( ).
P 0 5( ) =
Entonces, la población en la actualidad es de 5 millones de personas.
b) Se parte de una población de 6 millones de habitantes, así que P t( ) = 6 . Por tanto, debemos calcular el tiempo para esta población:
P te t( ) = =
+ −6 10511 10 0 05.
6 11 10 1050 05+( ) =−e t.
66 60 1050 05+ =−e t.
60 105 660 05e t− = −.
e t− =0 05 3960
.
e t− =0 05 0 65. .
Para eliminar la función exponencial, aplicamos el logaritmo natural a la última expresión:
ln ln ..e t− =0 05 0 65
− =0 05 0 65. ln .t
t =−ln .
.0 650 05
t = 8 61.
Entonces, la población ascenderá a 6 millones de habitantes al cabo de 8 años, 7 meses.
c) Para realizar la estimación de la población después de 50 años, tenemos que calcular P (50):
Pe
50 10511 10 0 05 50( ) =
+ − ( ).
P 50 8 88( ) = .
Entonces, al cabo de 50 años, la población ascenderá a 8.88 millones de habitantes.
d) Para determinar qué ocurrirá a largo plazo, primero se aplica el límite con tiempo al infinito:
lim .x te→ ∞ −+105
11 10 0 05
Luego, para la solución de este límite reescribimos la expresión con el exponente positivo:
lim.
xte
→ ∞ +
105
11 100 05
Enseguida, mediante una tabulación se demostrará qué ocurre conforme el tiempo tiende a infinito.
Solución
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28
Límites y continuidadUNIDAD 1Tabla 1.4
t 100.05e t
0 10
5 7.78
10 6.06
50 0.82
75 0.24
t →∞ 10 00 05e t. →
De acuerdo con la tabla anterior, tenemos que:
lim ..
xte
→ ∞ +=
+=105
11 10105
11 09 54
0 05
Por tanto, a largo plazo, la población tenderá a estabilizarse en 9.54 millones de habitantes.
Aplicando los teoremas sobre límites, resolver los siguientes límites.
1.1 limx→
=18
1.2 limx
x→
−( ) =0
1
1.3 limx
x x→ −
− +( ) =3
22 4 1
1.4 limx
x x x→
+ − +( ) =1
3 24 7 5
1.5 limx
xx→ −
−+
=1
3 23 2
1.6 limx
xx→ −
+−1
2
211
1.7 limx
x x x x→
+ − + −( ) =5
4 3 22 8 9
1.8 limx
x xx x→
− ++ −
=1
2
22 5 6
1
1.9 Para la función f x xx( ) = −
−2 1
1.
a) Calcular y tabular los valores cuando x toma los siguientes valores: 0, 0.5, 0.9, 0.99, 0.999, 2, 1.5, 1,1, 1.01 y 1.001.
b) Determinara a cuál valor aparenta acercarse f (x) conforme x se acerca a 1.
c) Graficar la función.
Problemas para resolver
1.10 Sea la función f x xx( ) = sen .
a) Calcular y tabular los valores cuando x toma los siguientes valores: 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 y para −1, −0.5, −0.1, −0.01 y 0.001.
b) Determinar a cuál valor se acerca f (x) cuando x tiende a cero
c) Graficar la función.
Para las siguientes funciones, determinar cuál es su tipo de límite (límite por la derecha o límite por la izquierda).
1.11 f x x( ) = −2 4
1.12 f x x( ) = −4 2
1.13 f x x( ) = −3 6
1.14 f x x( ) = −3 6
1.15 f x x x( ) = −2 2
1.16 f x x x( ) = −3 2
Resolver los siguientes límites.
1.17 limx
xx→
−−
=4
24 644
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
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