Download - Calcul Apunts Jmaroca 1

Transcript
  • CA`LCUL INFINITESIMAL

    Notes de Classe

    J. M. Aroca

    Departament de Matema`tica Aplicada IV,

    Universitat Polite`cnica de Catalunya

    e-mail:[email protected]

    http://www-ma4.upc.edu/~aroca

    Febrer de 2014

  • Index

    Notacio i bibliografia 7

    I Fonaments: conjunts nume`rics i successions 9

    1 Me`todes de demostracio 10

    1.1 Lo`gica, axiomes i teoremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2 Demostracio directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Demostracio per contrarecproc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4 Demostracio per reduccio a labsurd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.5 Demostracio per induccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Conjunts 14

    2.1 Conjunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2 Operacions entre conjunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3 Producte cartesia` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Relacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5 Relacions dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.6 Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.7 Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3 Conjunts nume`rics 18

    3.1 Els nombres naturals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.2 Els nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.3 Els nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4 El cos dels nombres reals 22

    4.1 Estructura de cos ordenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.1.1 Estructura de cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.1.2 Relacio dordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.2 Propietats dun cos ordenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.2.1 Valor absolut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1

  • 4.2.2 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.2.3 Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.3 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4.4 Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.1 Lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.2 Successions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.3 Proposicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.5 Intervals encaixats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6 Definicio axioma`tica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6.1 Propietat arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.7 Subsuccessions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.7.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.7.2 Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.8 Representacio decimal dels nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.9 Numerabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5 Ca`lcul de lmits de successions 31

    5.1 Propietats del lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    5.2 Lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5.3 A`lgebra de lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    5.4 Resolucio dindeterminacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5.4.1 Expressions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5.4.2 Resta darrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    5.4.3 Indeterminacio 1. El nombre e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    5.4.4 Un lmit trigonome`tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5.4.5 Criteri dStolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.4.6 Mitjanes aritme`tiques i geome`triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.4.7 Arrel n-e`sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    5.4.8 Successions recurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    6 Nombres complexos 39

    6.1 El cos dels nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    6.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.3 Conjugacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.4 Mo`dul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2

  • 6.5 Representacio geome`trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.6 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    6.7 Pote`ncies i arrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    6.8 Formules dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    6.9 Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6.10 Arrels de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6.11 Teorema fonamental de la`lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    6.12 Factoritzacio de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    II Funcions reals. Ca`lcul duna variable 48

    7 Funcions a R 49

    7.1 Funcio real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.2 Domini duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.3 Funcions injectives, exhaustives i bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    7.4 Funcio inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    7.5 Gra`fica duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.6 Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.7 Altres funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7.8 Operacions entre funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7.9 Simetries duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    8 Lmit i continutat de funcions 58

    8.1 Definicio de lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.2 Teorema (lmit per successions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.3 Lmits infinits i en linfinit. Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.4 Propietats del lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    8.5 Lmits laterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.6 Teorema dels lmits laterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.7 A`lgebra de lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.8 Resolucio dindeterminacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8.8.1 Expressions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8.8.2 Resta darrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    8.8.3 Resta de logaritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    8.8.4 Indeterminacio 1. El nombre e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.9 Continutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.10 Teorema (caracteritzacio de la continutat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.11 Tipus de discontinutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    8.12 Propietats de les funcions contnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3

  • 8.13 Continutat de les funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    8.14 Fites, ma`xim i mnim duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8.15 Teorema del ma`xim i el mnim (Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8.16 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    8.17 Teorema del valor mitja` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    9 Derivacio 69

    9.1 Derivada duna funcio en un punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    9.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    9.3 Ca`lcul dalgunes derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    9.4 Derivades de les funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    9.5 Recta tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    9.6 Propietats de les funcions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    9.7 Teorema. (Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    9.8 Derivada logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    9.9 Teorema. (Funcio inversa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    9.10 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    9.11 Teorema del valor mitja` (Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    9.12 Teorema del valor mitja` (Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    9.13 Regla de lHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    9.14 Teorema de lHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    9.15 Infinite`sims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    9.16 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    9.17 Ca`lcul de lmits amb infinite`sims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    9.18 Infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    9.19 Ordres dinfinitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    9.20 Me`tode de Newton per a la resolucio nume`rica dequacions . . . . . . . . . . . . . . 79

    10 Teorema de Taylor 81

    10.1 Ordre de contacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    10.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    10.3 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    10.4 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    10.5 Teorema. Forma del residu de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    10.6 Polinomi de Taylor de les funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    10.7 Propietats del polinomi de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    10.8 Ca`lculs aproximats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    10.9 Aplicacio al ca`lcul de lmits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    10.10Estudi local de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4

  • 10.10.1Creixement i decreixement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    10.10.2Concavitat i convexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    10.10.3Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    10.10.4Asmptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    10.11Obtencio de la gra`fica duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    11 Ca`lcul de primitives 92

    11.1 Primitives duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    11.2 Integrals immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    11.3 Integracio per canvi de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    11.4 Integracio per parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    11.5 Integracio de funcions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    11.5.1 Reduccio del grau del numerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    11.5.2 Canvi de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    11.5.3 Casos ba`sics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    11.5.4 Descomposicio en fraccions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    11.5.5 Arrels complexes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    11.5.6 Me`tode dHermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    11.6 Integracio de funcions racionals trigonome`triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    11.6.1 Canvi general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    11.6.2 Formes particulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    11.7 Integrals irracionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    12 Integral de Riemann 103

    12.1 Sumes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    12.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    12.3 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    12.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    12.5 Teorema (Condicions suficients dintegrabilitat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    12.6 Teorema (Integral com lmit de sumes de Riemann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    12.7 Propietats de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    12.8 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    12.9 Teorema fonamental del ca`lcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    12.10Teorema (Integral de la derivada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    12.11Teorema (Integracio per parts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    12.12Teorema (Canvi de variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    12.13Teorema del valor mitja` per a integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    12.14Aplicacions de la integracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    12.14.1Ca`lcul da`rees planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5

  • 12.14.2Ca`lcul de la longitud duna corba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    12.14.3Ca`lcul da`rees i volums de revolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    12.15Me`todes nume`rics dintegracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    12.15.1Me`tode dels trapezis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    12.15.2Me`tode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    13 Integracio impro`pia 113

    13.1 Funcions localment integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    13.2 Integrals impro`pies de primera espe`cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    13.3 Integrals impro`pies de segona espe`cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    13.4 Teorema (criteri de comparacio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    13.5 Teorema (comparacio amb x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    13.6 Integrals absolutament convergents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    13.7 Teorema (converge`ncia absoluta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    14 Se`ries nume`riques i de pote`ncies 119

    14.1 Se`ries nume`riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    14.2 Teorema (condicio necessa`ria de converge`ncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    14.3 Criteri de comparacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    14.4 Comparacio per quocient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    14.5 Criteri de larrel (Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    14.6 Criteri del quocient (DAlembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    14.7 Criteri integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    14.8 Se`ries alternades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    14.9 Converge`ncia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    14.10Se`ries de pote`ncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    14.11Radi de converge`ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    14.12Derivacio i integracio de se`ries de pote`ncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    14.13Se`ries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    14.14Exponencial complexa. Formules dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    III Transformacio de Laplace 128

    15 La transformacio de Laplace 129

    15.1 Funcions objecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    15.2 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    15.3 Propietats de la transformacio de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    15.4 Funcions definides a trossos. Funcio de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    15.5 Inversio de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6

  • 15.6 Aplicacio a la resolucio dequacions diferencials lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    15.7 Funcions generalitzades. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    15.8 Producte de convolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    15.9 Funcio de resposta impulsional. Funcio de transfere`ncia . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    15.10Taula de transformades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    15.11Resum de propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    IV Ape`ndixs 142

    A Binomi de Newton 143

    A.1 Variacions i permutacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    A.2 Combinacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    A.3 Demostracio de la formula del binomi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    B Formules trigonome`triques 146

    C Fites trigonome`triques 148

    D Funcions hiperbo`liques 150

    7

  • Notacio

    Final dexemple.DEM: Inici de demostracio.

    Final de demostracio.

    Bibliografia

    Llibres de teoria

    1 Bartle, R.G., Shebert, D.R. (1996) Introduccion al Analisis Matematico de una variable. 2a

    ed. Limusa. ISBN: 978-968-18-5191-0.

    2 Piskunov N. (2004) Calculo Diferencial e Integral - Tomo I y II. Limusa. ISBN: 9681839854.

    3 Ortega Aramburu, J.M. (2002) Introduccio a lAna`lisi Matema`tica. 2a ed. Manuals de laUniversitat Auto`noma de Barcelona.

    4 E. Jarauta Bragulat. (2001). Ana`lisi Matema`tica duna variable. Fonaments i aplicacions. 1ed. Barcelona: Edicions UPC. ISBN: 84-8301-516-1.

    Llibres de problemes

    1 Demidovich, B. (1993) Problemas y ejercicios de analisis matematico. 11a ed. Paraninfo.ISBN: 978-84-283-0049-0.

    2 Aguilo, F., Barguilla, J., Garriga, E., Miralles, A. (2002) Aprenentatge de ca`lcul. EdicionsUPC. ISBN: 848301629X.

    Llibres de formules

    Es imprescindible un llibre de formules i taules matema`tiques, per consultar propietats de funcionscom les trigonome`triques, gra`fiques, taules, primitives, etc.

    1 Spiegel, M., Liu, J., Abellanas, L. (2005)Manual de formulas y tablas de Matematica aplicada.

    3a ed. Col.leccio Shaum, McGraw-Hill. ISBN: 8448198409.

    2 Vodnev, V., Naumovich, A., Naumovich, N. (1995) Formulas matematicas fundamentales.

    Rubinos-1860. ISBN: 84-8041-063-9.

    8

  • Part I

    Fonaments: conjunts nume`rics isuccessions

    9

  • Captol 1

    Me`todes de demostracio

    1.1 Lo`gica, axiomes i teoremes

    La matema`tica es un llenguatge formal que funciona amb les regles del me`tode axioma`tic. Aixo` es,treballem amb uns objectes primitius (que tenen un sentit intutiu, que no cal definir) i uns axiomes

    que son enunciats o regles referits a aquests objectes. Els axiomes son enunciats que donem per certsi que, per tant, no cal demostrar. A partir daqu ens podem plantejar si una proposicio donadaes certa o falsa. Si es certa podem, en principi, demostrar-la fent servir els axiomes establerts i les

    regles de la deduccio lo`gica.

    Per fixar un marc que ens serveixi dexemple treballarem amb laritme`tica dels nombres enters

    i dels nombres racionals. La base axioma`tica son les propietats de les operacions suma i producteque tots coneixem. En un captol posterior es detallaran mes aquestes questions. Ara nomes ens

    interessa tenir un material ba`sic per plantejar exemples del proces de demostracio.

    Els enunciats amb que treballem son enunciats simples p com per exemple existeixen infinitsnombres primers o predicats p(x), es a dir, enunciats que contenen variables. Els enunciats els

    anomenem tambe proposicions. Notem que un enunciat simple ha de ser cert o fals pero` el valorde veritat dun predicat depe`n del que valgui la variable. Per exemple, p(x) =x es un nombre

    primer. Tenim que p(11) es cert, pero` p(9) es fals. Els predicats son importants perque` a travesdels quantificadors permeten construir enunciats del primer tipus. El primer quantificador es ies llegeix com existeix. Lenunciat x|p(x) es llegeix existeix algun x tal que p(x) es cert(la barra vertical es un smbol que denota tal que). Per exemple, lenunciat x|x es primer escert, ja que veient que x = 5 es primer ho tenim demostrat. El segon quantificador es i es llegeixcom per a tot. Lenunciat x, p(x) es llegeix per a tot x es verifica p(x). Per exemple, x,x es primer es fals ja que hi ha nombres que no son primers. En canvi, x, x2 0 es cert.

    Sovint, es formen enunciats combinant els dos quantificadors. Per exemple, dins dels nombresenters, x|(y, y2 2y > x) es cert, ja que es pot veure que x = 2 ho verifica. Lenunciatx, (y|y > x) tambe es cert (prenent, per exemple y = x+ 1).

    Un altre tipus denunciats molt corrents son les implicacions. Lenunciat p q on p i q sonenunciats es llegeix p implica q o si p llavors q. Sovint, la implicacio es dona entre predicats:p(x) q(x), entenent que es va`lida x. Per demostrar que la implicacio es certa hem de demostrarq suposant que p es certa. Ens referim a p com la hipo`tesi. Per exemple, x divisible per 6 xdivisible per 2 es un enunciat cert. Quan tenim que p q i q p escrivim p q, es a dir, psi i nomes si q. En aquest cas diem que les proposicions p i q son equivalents, o que p es condicionecessa`ria (q p) i suficient (p q) per a q. Per exemple, es fals que x divisible per 6 xdivisible per 2 ja que x divisible per 2 no implica x divisible per 6 (8 es divisible per 2 pero` no

    10

  • per 6).

    Un enunciat que sarriba a demostrar dins de certa axioma`tica sanomena proposicio o teorema.

    El terme lema sol fer refere`ncia a un enunciat senzill que es demostra per utilitzar-lo despres en lademostracio mes complexa dun altre enunciat.

    No hi ha un procediment establert per demostrar teoremes. Normalment, intum que cert

    enunciat es cert. En aquest cas tenim una conjectura que es convertira` en teorema si demostremque es certa (o sera` refutada si demostrem que es falsa). El proces de demostracio es mes un art que

    una cie`ncia pero` les regles son implacables: nomes podem utilitzar, els axiomes, altres enunciatsque hagin estat demostrats i els procediments de la lo`gica. En el que segueix farem una petita

    classificacio de tipus de demostracio centrant-nos en exemples dintere`s pel ca`lcul infinitesimal.

    1.2 Demostracio directa

    Volem demostrar un enunciat del tipus A B. Comencem per A i anem fent ca`lculs o passos finsarribar a B.

    Exemple 1.1 Si x i y son nombres enters llavors (x+y)2 = x2+y2+2xy i x2y2 = (x+y)(xy).DEM: Apliquem les propietats de la suma i producte de nombres enters. Utilitzant les propi-

    etats distributiva, associativa i commutativa (veure el captol sobre conjunts nume`rics):

    (x+ y)2 = (x+ y)(x+ y) = x(x+ y) + y(x+ y) = (x2 + xy) + (yx+ y2) = x2 + y2 + 2xy.

    (x+ y)(x y) = x(x y) + y(x y) = (x2 xy) + (yx y2) = x2 y2.El resultat es va`lid tambe quan es tracta de nombres racionals o reals. De fet, val per qualsevolanell commutatiu.

    Exemple 1.2 a, b, c son catets i hipotenusa dun triangle rectangle c a+ b.DEM: Segons la hipo`tesi, pel teorema de Pita`gores, c =

    a2 + b2. Llavors

    c2 = a2 + b2 a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 c a+ b.

    (notem que sha utilitzat un resultat que es pot demostrar com exercici: per nombres positiusx > y x2 > y2.)

    Exemple 1.3 x parell x2 parell.DEM: Segons la hipo`tesi, x es divisible per 2. Aix, existeix un enter k tal que x = 2k. Ara

    considerem x2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) amb el que veiem que x2 tambe es multiple de 2 i queda

    demostrada la proposicio.

    1.3 Demostracio per contrarecproc

    Els enunciats A B i no B no A son equivalents. Aix, si volem demostrar A B tenimlopcio de demostrar en el seu lloc no B no A.

    Exemple 1.4 x2 parell x parell.DEM: Demostrarem la proposicio equivalent: x senar x2 senar.

    11

  • Notem que un nombre es parell si es exactament divisible per 2 (llavors x = 2k) i es senar encas contrari. En aquest segon cas el residu de la divisio nomes pot ser 1 i podem escriure x = 2k+1

    (dividend igual a divisor per quocient mes residu).

    Per hipo`tesi, existeix un enter k tal que x = 2k+1. Ara tenim que x2 = (2k+1)2 = 4k2+4k+1 =

    2(2k2 + 2k) + 1. Efectivament, x2 es senar.

    1.4 Demostracio per reduccio a labsurd

    Per demostrar la proposicio A suposem que no A es certa i arribem a una contradiccio. Es a dir,demostrem no A B on B es una proposicio falsa.

    Exemple 1.5 No existeix cap nombre racional x tal que x2 = 2.

    DEM: Suposem que existeix x racional tal que x2 = 2. Si x es racional, es pot escriure x =p

    qon p i q son enters primers entre si (sense factors comuns). Es a dir, triem la fraccio de manera que

    ja no es pugui simplificar. Ara tenim:

    2 = x2 =

    (p

    q

    )2=p2

    q2 p2 = 2q2 p2 parell p parell p = 2p1

    (2p1)2 = 2q2 q2 = 2p21 q parell q = 2q1.Hem arribat a concloure que p i q son parells en contradiccio amb la hipo`tesi que no tenem factors

    comuns. Per tant, la proposicio inicial es certa.2 no es un nombre racional.

    Exemple 1.6 Si un nombre real x verifica |x| < per a tot > 0, llavors x = 0.DEM: Per la definicio de valor absolut sabem que |x| 0. Suposem |x| > 0. Llavors prenent

    = |x|2 > 0 hauria de ser |x| < |x|2 que es impossible. Aix, la suposicio es falsa i ha de ser |x| = 0,es a dir x = 0.

    1.5 Demostracio per induccio

    Tenim un predicat P (n) que depe`n dun ndex natural n i volem demostrar que es cert per a tot

    n n0 (tpicament n0 val 0 o 1). Es pot comprovar que lenunciat n n0, P (n) equival a:

    (1) P (n0).

    (2) P (n) P (n+ 1).

    Es a dir, hem de veure que el predicat es cert pel primer valor de lndex (condicio inicial) i que, si

    val per un ndex n (hipo`tesi dinduccio) llavors val pel seguent, n+ 1 (pas dinduccio).

    Exemple 1.7 Per a tot n 1: 1 + 2 + 3 + + n = n(n+ 1)2

    .

    DEM:

    (1) P (1) es cert ja que 1 =1(1+1)

    2 .

    (2) Suposem ara que 1 + 2 + + n = n(n+1)2 . llavors

    1+2+ +(n+1) = (1+2+ +n)+(n+1) = n(n+ 1)2

    +(n+1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

    2.

    12

  • Notem que per proposicions de demostracio complicada pot ser necessari combinar diferents

    me`todes de demostracio. Tambe podem tenir maneres alternatives de fer una demostracio.

    Exemple 1.8 La demostracio de lexemple 1.7, com totes les dinduccio, requereix cone`ixer elresultat, es a dir, la formula que volem demostrar. Que` passa si no coneixem aquest resultat? En

    aquest cas hem de trobar un procediment directe per arribar-hi. Veiem que aixo` es possible enlanterior exemple:

    DEM: Anomenem S = 1 + 2 + 3 + + n. Ara tenim

    2S = S + S = (1 + 2 + 3+ + n) + (1 + 2 + 3 + + n)= (1 + 2 + 3 + + (n 1) + n) + (n+ (n 1) + + 2 + 1)

    = (1 + n) + (2 + (n 1)) + ((n 1) + 2) + (n+ 1)= (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) = n(n + 1)

    don allem S i tenim el resultat.

    13

  • Captol 2

    Conjunts

    2.1 Conjunts

    Les matema`tiques es formulen en el llenguatge de la teoria de conjunts. Els conceptes de conjunt ielement son primitius. No es defineixen sino que que sestableixen les regles formals per utilitzar-

    los. Aquestes regles responen a la idea: un conjunt es una col.leccio delements. Aix, introdumel smbol de pertinenca per indicar que un element pertany a un conjunt: x A, es a dir, xpertany a A o x es un element del conjunt A.

    Si A te un nombre finit delements podem representar A simbo`licament escrivint els seus ele-ments separats per comes i entre claus. Per exemple, A = {1, 2, 3} es el conjunt els unics elementsdel qual son els nombres 1, 2 i 3. Podem escriure 1 A, 2 A, etc. Quan un element no pertanya un conjunt escrivim x 6 A. Per exemple, pel conjunt anterior, 4 6 A.

    De manera mes general podem descriure un conjunt a traves de les propietats dels seus elements:A = {x|p(x)}, es a dir, A esta` format pels x tals que es verifica la propietat p(x) (el smbol |, barravertical, es llegeix com tal que). Sovint, una de les propietats que verifiquen els elements dun

    conjunt A es que tambe son elements dun altre conjunt ja conegut B. En aquest cas escrivimA = {x B|p(x)}, es a dir, A esta` format pels elements de B que verifiquen la propietat p(x). Perexemple, si B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} i A = {x B|x es parell} llavors A = {2, 4, 6, 8, 10}.

    Es convenient, tambe, lus dun conjunt que no te cap element. Lanomenem conjunt buit i

    el representem pel smbol . Es defineix dient que, per a tot x, x 6 .Entre conjunts podem considerar la relacio dinclusio quan tots els elements dun primer conjunt

    son tambe elements dun segon conjunt. Escrivim A B, A esta` inclo`s en B o A es un subconjuntde B. Per exemple, {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Diem que dos conjunts son iguals, A = B,si A B i B A, es a dir, si tenen els mateixos elements.

    2.2 Operacions entre conjunts

    Hi ha algunes operacions que permeten obtenir un conjunt a partir de dos conjunts donats. Launio:

    A B = {x | x A o x B}, (2.1)la interseccio:

    A B = {x | x A i x B}, (2.2)la difere`ncia:

    A B = {x | x A i x 6 B}. (2.3)

    14

  • Per exemple, si A = {1, 2, 3} i B = {1, 3, 5}, llavorsAB = {1, 2, 3, 5},AB = {1, 3} i AB = {2}.

    2.3 Producte cartesia`

    Un parell ordenat es una col.leccio ordenada de dos elements: (x, y). Dos parells ordenats son iguals

    si tenen el mateix primer element i el mateix segon element, es a dir, (x1, y1) = (x2, y2) si i nomessi x1 = x2 i y1 = y2. El conjunt de tots els possibles parells ordenats (x, y) on x A i y Blanomenem producte cartesia` dels conjunts A i B, i el denotem AB (A per B). Per exemple,si A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3, 4} llavors:

    A B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}.

    2.4 Relacions

    El producte cartesia` serveix per definir relacions entre els elements dun mateix conjunt o de dosconjunts diferents. Entenem que el parell (x, y) representa x esta` relacionat amb y i determinem

    un cert tipus de relacio quedant-nos amb nomes els parells delements relacionats. Aix, de formageneral, definim una relacio R entre elements de A i elements de B com un subconjunt R AB.

    Exemple 2.1 Per exemple, si A = {1, 2, 3}, una possible relacio entre els seus elements es consid-erar x1 relacionat amb x2 si x1 x2. En aquest cas R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)},subconjunt del conjunt AA.

    2.5 Relacions dordre

    Una relacio dordre en un conjunt A es una relacio R AA (si (x, y) R escriurem x y) queverifica les seguents propietats:

    (o1) Per a tot x A, x x (reflexiva.)(o2) x y i y x x = y (antisime`trica.)(o3) x y i y z x z (transitiva.)(o4) Per a tot x, y A, x y o y x (total.)

    La relacio de lexemple anterior es dordre. Una relacio dordre diferent al mateix conjunt pot

    ser R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}.

    2.6 Funcions

    De especial intere`s es com a traves de les relacions podem definir el que es una funcio. Intutivament,

    una funcio es una transformacio, es a dir, una especificacio que quines operacions hem de fer sobreun element per obtenir-ne un de nou. Per exemple podem trobar-nos havent delevar nombres al

    quadrat. En aquest cas, considerem la transformacio elevar al quadrat. Per posar situacionscom aquesta en el marc de la teoria de conjunts, comencem per fixar quins valors pot prendre la

    variable que transformem i anomenem A aquest conjunt. Igualment, considerem un conjunt B tal

    15

  • que tots els possibles resultats de la transformacio hi pertanyin. Ara, si x es transforma en y podemconsiderar aixo` com que hi ha un cert tipus de relacio R A B i (x, y) R.

    Per que una relacio R AB representi una funcio cal que per a tot x A hi hagi un i nomesun y B tal que (x, y) R ja que hem de poder transformar tots els elements de A i el resultatha de ser unic.

    Direm que A es el conjunt de sortida (o conjunt original) i B el conjunt darribada (o conjuntfinal). Si (x, y) R, escriurem y = f(x), on la lletra f representa la nostra funcio. x lanomenemelement original i y element darribada. Escriurem tambe f :A B per indicar que f es una funcioque transforma elements de A i dona resultats a B.

    Per exemple, si A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} podem considerar f :A B ambf(x) = x2. En aquest cas, R = {(1, 1), (2, 4), (3, 9)}. Aix, 1 = f(1), 4 = f(2), etc.

    Diem, tambe, que A es el domini de la funcio (A = Dom(f)) i definim el recorregut o imatge dela funcio Img(f) com el subconjunt de B format pels elements y tals que hi ha algun x A amby = f(x). En lexemple anterior Img(f) = {1, 4, 9}.

    Podem distingir diferents tipus de funcio:

    Diem que f es injectiva si y = f(x1) i y = f(x2) implica x1 = x2. Es a dir no hi ha dos elements

    amb la mateixa imatge. Laplicacio de lexemple anterior es injectiva.

    Diem que f es exhaustiva si per a tot y B hi ha algun x A tal que y = f(x). Es a dir,tot element del conjunt darribada te algun original al conjunt de sortida. Per tant, en aquest cas

    Img(f) = B. Laplicacio de lexemple anterior no es exhaustiva ja que, per exemple, 2 B no esimatge de cap element de A.

    Diem que f es bijectiva si per a tot y B hi ha un unic x A tal que y = f(x). Es a dir, quanf es injectiva i exhaustiva a la vegada. En aquest cas, la funcio es pot invertir, es a dir, existeix

    una funcio f1 :B A que anomenem funcio inversa de f , tal que x = f1(y) si y = f(x).El terme aplicacio es sino`nim de funcio. Normalment, sutilitza funcio quan es tracta de

    conjunts nume`rics, i aplicacio en els altres casos.

    Exemple 2.2 Amb A = {1, 2, 3} considerem f : A A definida per f(x) = 7x 3 2x2. Es fa`cilveure que esta` ben definida ja que f(1) = 2, f(2) = 3 i f(3) = 1. Es bijectiva i la seva inversa es

    la funcio definida f1(1) = 3, f1(2) = 1 i f1(3) = 2.

    2.7 Operacions

    Una operacio interna en un conjunt A consisteix en lassignacio dun element de A a cada parell

    delements de A. Formalment ho descrivim com una aplicacio ? :A A A. Si el parell ordenat(x, y) va a parar a z, escrivim z = x ? y.

    Amb aixo` en fem una abstraccio i generalitzem les operacions tpiques com la suma o el productede nombres. En el context nume`ric fer servir smbols com + o en lloc del smbol gene`ric ?.

    Escriurem A = (A, ?) per denotar que tenim una estructura A formada pel conjunt A ambloperacio ?. La`lgebra abstracta socupa de lestudi i classificacio de les estructures, a partir de lespropietats de les operacions. De forma general, senyalem algunes propietats dintere`s que pot tenir

    una operacio:

    Associativa: (x ? y) ? z = x ? (y ? z), per a tot x, y, z A.Commutativa: x ? y = y ? x, per a tot x, y A.

    16

  • Element neutre: Existeix un element e A tal que x ? e = e ? x = x, per a tot x A.Element invers: Per a tot x A existeix un element x1 A, tal que x ? x1 = x1 ? x = e.

    Si loperacio es associativa podem escriure x ? y ? z ja que no importa com posem els pare`ntesi.

    En un context nume`ric lelement neutre se sol simbolitzar 0 o 1.

    En ocasions un conjunt te definida mes duna operacio. En aquest cas poden haver noves

    propietats que relacionin les diverses operacions.

    17

  • Captol 3

    Conjunts nume`rics

    Els nombres son el principal objecte per representar la informacio amb que descrivim la realitat.En matema`tiques les diferents classes de nombres es formalitzen a traves de la teoria de conjunts.

    A mes, les operacions definides en aquests conjunts (les que fem habitualment entre nombres,com la suma o el producte) donen lloc a estructures. Una estructura es un conjunt amb una o

    va`ries operacions definides, verificant-se certes propietats. La`lgebra fa una abstraccio daquestasituacio i estudia les caracterstiques de les estructures a partir de les propietats que verifiquen les

    operacions. Daquesta manera podem deduir resultats comuns per tots els conjunts que tinguin lamateixa estructura.

    Anomenem conjunts nume`rics als conjunts N (nombres naturals), Z (nombres enterss),Q (nom-bres racionals), R (nombres reals) i C (nombres complexos). Podem pensar que cadascun es unaextensio que resol alguna limitacio de lanterior. Aix tenim:

    N Z Q R C (3.1)

    En la disciplina que ens ocupa, que es el ca`lcul infinitesimal duna variable real, el conjuntcentral es R. Un tema ba`sic es entendre la necessitat de i la manera com es fa el pas de Q a R.

    Aixo` sera` el contingut del proper captol. En aquest revisem les definicions i estructures de N, Z iQ. Els nombres complexos els tractarem en un tema posterior.

    En llibres da`lgebra ba`sica es poden trobar construccions rigoroses daquests conjunts. Aqu

    ens acontentarem amb una descripcio informal, ate`s que ja son coneguts.

    3.1 Els nombres naturals

    Els nombres naturals son els que serveixen per comptar el nombre delements dels conjunts finits.

    N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} (3.2)

    En ocasions, no sinclou el 0 en N. En qualsevol cas, podem descriure N dient que te un primerelement i que per cada element hi ha un element seguent.

    N es un conjunt ordenat. Te infinits elements. En aquest cas diem que es un infinit numerable

    ja que els seus elements poden ser enumerats.

    A N tenim dues operacions que son la suma i el producte. Ambdues son associatives i com-

    mutatives amb elements neutres donats per 0 i 1 respectivament. Labse`ncia delement invers (capnombre natural n verifica 2 + n = 0 o 2 n = 1) fa que no tinguem cap estructura interessant.

    18

  • 3.2 Els nombres enters

    A N, labse`ncia dinvers per la suma fa que no puguem restar dos naturals qualsevol. Aquesta idea,

    pero`, te sentit. Ja que, per exemple, el fet de deure una quantitat el podrem avaluar amb unnombre que sumat a aquesta quantitat dones 0. Aixo` ens porta a la construccio dels enters. El que

    fem es afegir als naturals linvers per la suma de cada nombre n 6= 0 representant-lo com n. Aix:

    Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}. (3.3)

    Les operacions suma (+) i producte () sestenen de forma consistent amb les que tenem a N.Per exemple, definim n (m) = (n m), etc. Amb aixo` apareix una estructura bastant rica.

    (Z,+) es un grup commutatiu. Es un grup perque`:

    (a1) (x+ y) + z = x+ (y + z), per a tot x, y, z Z (la suma es associativa).(a2) Existeix 0 Z tal que x+0 = 0+ x = x, per a tot x Z (la suma te element neutre o zero).(a3) Per a tot x Z existeix un element x Z, tal que x + (x) = (x) + x = 0. (la suma te

    element invers o sime`tric).

    Es un grup commutatiu perque` a mes es verifica:

    (a4) x+ y = y + x, per a tot x, y Z (la suma es commutativa).

    En general, quan tenim un conjunt amb una operacio que es associativa, te element neutre i elementinvers diem que el conjunt amb loperacio te estructura de grup. Si, a mes, es compleix a4 diem

    que el grup es commutatiu o abelia`.

    A mes, es verifiquen les seguents propietats:

    (a5) (xy)z = x(yz), per a tot x, y, z Z (el producte es associatiu).(a6) x(y + z) = xy + xz, (x+ y)z = xz + yz, per a tot x, y, z Z (propietat distributiva).

    Diem, llavors, que (Z,+, ) es un anell. Un anell es un conjunt amb dues operacions internesque verifiquen les propietats a1 fins a6. En el nostre cas es tracta dun anell commutatiu i unitarija que:

    (a7) 1 Z, tal que x 1 = 1 x = x (el producte te element unitat).(a8) x y = y x, per a tot x, y Z (el producte es commutatiu).

    A Z sempre esta` definida la resta que entenem com x y = x + (y). Lequacio x + a = bsempre te solucio ja que x+a = b (x+a)+(a) = b+(a) x+(a+(a)) = ba x = ba.

    Z es un conjunt ordenat. La relacio es defineix dient que x y si yx 0 (entenent que z 0equival a z N). Es una relacio dordre total (verifica les propietats de la seccio 2.5).

    Es tambe un conjunt infinit numerable, es a dir, podem enumerar tots els seus elements. Aixo`

    vol dir que es possible donar una successio x1, x2, x3, . . . que recorre tots els valors del conjunt. Perexemple, podem prendre x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 2, x5 = 2 . . .. Notem que lenumeraciono te per que ser consistent amb lordre, nomes dona la mesura de la infinitud del conjunt que, enaquest cas, es equivalent a la de N.

    19

  • 3.3 Els nombres racionals

    Amb Z hem resolt el problema de la resta pero` hi ha un problema addicional que es el de la divisio.

    Es a dir, en general no existeix un element invers pel producte. No hi ha cap nombre enter quemultiplicat per 2 doni 1, lequacio 2x = 1 no te solucio a Z. Aixo` fa el conjunt Z insuficient per

    mesurar distancies a lespai. Podem considerar tots els multiples de la unitat de longitud pero`tambe voldrem representar nume`ricament les seves fraccions. Mitja unitat de mesura, etc. Aixo`ens porta a estendre el conjunt i definir els nombres racionals:

    Q =

    {p

    q| p, q Z, q 6= 0

    }. (3.4)

    En aquest conjunt hi tenim una relacio dequivale`ncia:

    p

    q p

    qsi pq qp = 0.

    Es a dir, entenem que dues fraccions verificant lanterior relacio representen el mateix nombre. Perexemple, 23 i

    46 . Podem elegir un representant cano`nic prenent p, q primers entre si (es a dir, no

    tenen factors comuns, o la fraccio no es pot simplificar) i amb q > 0. Notem que Q conte Z ja quepodem identificar p Z amb el racional p1 .

    A Q hi tenim les operacions + i consistents amb les de Z, definides:p

    q+p

    q=

    pq + pqqq

    ,p

    q p

    q=

    p pq q .

    (Q,+, ) verifica les propietats a1 fins a8. A mes es compleix:

    (a9) Si x 6= 0, x1 Q, tal que x x1 = x1 x = 1 (el producte te element invers).

    Notem que en un anell el 0 no pot tenir mai invers pel producte ja que 0 x = 0 per a tot x (enefecte, per la propietat distributiva, (0+ 0) x = 0 x+0 x 0 x = 0 x+0 x i, restant 0 x alsdos costats arribem a 0 = 0 x). El ma`xim a que podem aspirar es a que tot element no nul tinguiinvers pel producte. En el cas de Q aixo` passa ja que qp es linvers de

    pq si p 6= 0.

    Quan un conjunt verifica les propietats a1 fins a7 i a9 es diu que te estructura de cos. Si, a mes,es dona a8 diem que es un cos commutatiu.

    Q es, a mes, un cos ordenat. Hi ha una relacio dordre definida pq p

    q si pq pq 0, amb els

    representants triats de manera que q, q > 0. I aquesta relacio es compatible amb lestructura decos. Aixo` vol dir que a mes de les propietats o1 a o4 es verifiquen:

    (o5) x y x+ z y + z.(o6) x 0, y 0 xy 0.

    Aquesta relacio dordre ens permet veure els elements de Q com disposats sobre una recta. En

    aquesta recta hi podem mesurar dista`ncies fent servir el valor absolut. Es a dir, mesurem lamagnitud de cada nombre racional amb el valor positiu:

    |x| ={

    x si x 0x si x < 0

    Ara podem considerar com dista`ncia entre dos racionals d(x, y) = |x y|. Notem que per a totparell de racionals r1 < r2 a dista`ncia d el racional s =

    r1+r22 verifica r1 < s < r2 i queda a dista`ncia

    20

  • d2 de cadascun dells. Aix, repetint aquest procediment, veiem que entre dos racionals diferents hiha sempre infinits racionals i que les dista`ncies entre ells poden ser arbitra`riament petites. Aixo`

    ens porta a visualitzar Q com omplint la recta de manera densa.

    La visio anterior te algunes limitacions. Ja els deixebles de Pita`gores sabien que algunes

    dista`ncies no es podem mesurar amb nombres racionals. En efecte, si considerem la diagonaldun quadrat de costat 1, tenim que la seva longitud verifica d2 = 12 + 12 = 2 pero`, com hem vistal primer captol (exemple 1.5), no hi ha cap racional que elevat al quadrat doni 2. Pot semblar

    paradoxal que en Q puguem afinar tant com vulguem i en canvi hi hagi longituds que no espuguin mesurar. Aquest fet te a veure amb el pas al lmit i requereix nous conceptes per poder-lo

    analitzar.

    Aixo` ens situa en el problema de la incompletesa de Q i la necessitat de trobar un conjunt mes

    gran que ho resolgui. Aquest conjunt sera` el dels nombres reals, que tractarem al proper captol.

    21

  • Captol 4

    El cos dels nombres reals

    Al captol anterior arriba`vem al conjunt Q com a representacio de la recta nume`rica pero` veiemque alguns punts daquesta recta no eren representables per nombres racionals. En aquest captol

    tractem la superacio daquest problema a traves del conjunt dels nombres reals R. Lestructuraba`sica que tenim es la de cos ordenat que ja es va descriure al parlar dels nombres racionals. Ara

    comencarem recordant aquesta definicio, veurem les propietats ba`siques que te i explicarem que` calafegir-li per tenir completesa. Lestructura abstracta la referim a un cos gene`ric K. Com veurem,

    K ha de contenir els racionals de manera que Q es lexemple mnim daquesta estructura.

    4.1 Estructura de cos ordenat

    4.1.1 Estructura de cos

    Considerem un conjunt K amb dues operacions internes + (suma) i (producte). Aixo` vol dir queper a cada parell delements x, y de K hi ha definits en K dos elements que representem com x+ y

    i x y. Quan no hi hagi possibilitat de confusio escriurem xy en lloc de x y. (K,+, ) es un coscommutatiu totalment ordenat (cos ordenat) si es verifiquen les seguents propietats:

    (c1) (x+ y) + z = x+ (y + z), x, y, z K (la suma es associativa).(c2) 0 K, tal que 0 + x = x+ 0 = x, x K (la suma te element neutre).(c3) x K, (x) K, tal que x+ (x) = (x) + x = 0 (la suma te element sime`tric).(c4) x+ y = y + x, x, y K (la suma es commutativa).(c5) x(y + z) = xy + xz, (x+ y)z = xz + yz, x, y, z K (distributiva).(c6) (xy)z = x(yz), x, y, z K (el producte es associatiu).(c7) 1 K, tal que x 1 = 1 x = x, x K (el producte te element unitat).(c8) Si x 6= 0, x1 K, tal que x x1 = x1 x = 1 (el producte te element invers).(c9) xy = yx, x, y K (el producte es commutatiu).

    Notem que c1 a c3 diem que (K,+) te estructura de grup. Per c4, aquest grup es abelia`. c6

    a c8 diuem que (K {0}, ) te estructura de grup. Per c9, aquest grup es abelia` (o commutatiu).La propietat distributiva c5 vincula les dues operacions. Amb totes les propietats tenim un cos. El

    cos es commutatiu degut a c9.

    22

  • 4.1.2 Relacio dordre total

    Una relacio en un conjunt es la seleccio duna famlia de parells ordenats. El fet de triar el parell

    (x, y) sente`n com representacio del fet x esta` relacionat amb y. Aix, una relacio dordre en Kes R K K. Si (x, y) R escriurem x y. La relacio ha de verificar:

    (o1) x x (reflexiva).(o2) x y i y x x = y (antisime`trica).(o3) x y i y z x z (transitiva).(o4) x y o y x (total).

    Compatibilitat amb lestructura de cos:

    (o5) x y x+ z y + z.(o6) 0 x, 0 y 0 xy.

    Escriurem x < y per a indicar x y i x 6= y. Podem dividir el conjunt K en nombres positiusK+ = {x | x > 0}, nombres negatius K = {x | x < 0} i zero. Es a dir K = K+ K {0}.

    4.2 Propietats dun cos ordenat

    A partir dels axiomes anterior es fa`cil veure que tot cos ordenat verifica certes propietats (escriuremx y x + (y)):

    1. x 0 = 0, x K.2. x(y z) = xy xz, x, y, z K.3. x(y) = (x)y = xy, x, y K.4. Regla dels signes: (+) (+) = +, (+) () = () (+) = , () () = +.5. x y, 0 z xz yz.6. x K, x2 0.7. 1 > 0.

    8. x1 te el mateix signe que x.

    9. Si x, y > 0, x2 < y2 x < y.10. x < y x < x+y2 < y.

    DEM:

    1. x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0, restant x 0 als dos costats queda demostrat.2. xy = x(y z + z) = x(y z) + xz i restem xz als dos costats.3. x(y) = x(0 y) = x 0 xy = xy, (x)y = (0 x)y = 0 y xy = xy.4. Per o6, x > 0, y > 0 xy > 0. x > 0, y < 0 yx < 0 x = 0. x < 0, y < 0 x > 0 y(x) < 0 (x) =

    0 xy < 0 xy > 0.

    23

  • 5. y x 0 don, per o6, (y x)z 0, es a dir yz xz 0.6. Immediat a partir de la regla dels signes.

    7. Ja que 1 = 12.

    8. Ja que x x1 = 1 > 0.9. Contrarecproc: x y x2 xy i xy y2 x2 y2.10. x < y x+ x < y + x, x+ y < y + y i multipliquem els dos costats per 1

    2.

    4.2.1 Valor absolut

    Donat un cos ordenat K, el valor absolut es una funcio | | : K K+ {0} que verifica:

    (a1) |x| = 0 x = 0.(a2) |xy| = |x| |y|.(a3) |x+ y| |x|+ |y| (desigualtat triangular).(a4) |x| y y x y.

    Podem prendre |x| = max{x,x}, es a dir: |x| ={

    x si x 0x si x < 0

    4.2.2 Intervals

    Donat un cos ordenat, els intervals son els seguents subconjunts de K:

    Interval obert: (a, b) = {x K | a < x < b}.Interval tancat: [a, b] = {x K | a x b}.Intervals mixtes. (a, b] = {x K | a < x b}, [a, b) = {x K | a x < b}.Tambe definim les semirectes: (a,) = {x K | x > a}, [a,) = {x K | x a},

    (, a) = {x K | x < a}, (, a] = {x K | x a}.Lentorn de centre a i radi > 0 es linterval (a , a+ ). Notem que es pot escriure com el

    conjunt {x K | |x a| < }, es a dir, els punts que estan a dista`ncia de a menor que .

    4.2.3 Nombres racionals

    El conjunt dels nombres racionals Q, definit al captol anterior, es un cos ordenat. Es el mnim cos

    ordenat en el seguent sentit:

    Tot cos ordenat conte Q (i, per tant, N i Z). Sigui 1 la unitat del producte en un cos ordenat

    K. Com 1 > 0, 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0, . . .. Definim n1 = 1 + 1 + + 1 (n)

    i identifiquem aquest

    nombre de K amb el natural n. Com n1 > 0, n11. Llavors identifiquem el nombre racional mnamb lelement de K (m1) (n1)1.

    Ara, sabem que a Q no hi ha cap element tal que x2 = 2 tot i que voldrem poder representar

    nume`ricament la longitud2.

    Lanterior fet indica la insuficie`ncia del conjunt Q. Hi ha tres maneres equivalents de manifestarmes formalment la incompletesa de Q:

    i) No tot conjunt fitat superiorment te suprem.

    24

  • ii) No tota successio de Cauchy convergeix.

    iii) No tota seque`ncia dintervals encaixats te un punt comu.

    En el que segueix, explicarem aquests nous conceptes i arribarem al cos ordent R.

    4.3 Definicions

    Si K es un conjunt ordenat i A K un subconjunt seu diem que:

    M K es una fita superior de A si x M, x A. m K es una fita inferior de A si x m, x A. A es fitat superiorment si admet alguna fita superior. A es fitat inferiorment si admet alguna fita inferior. A es fitat si ho es superiorment i inferiorment. M es ma`xim de A si M es fita superior i M A. m es mnim de A si m es fita inferior i m A. El suprem de A es el mnim (si existeix) del conjunt de les fites superiors de A. Lnfim de A es el ma`xim (si existeix) del conjunt de les fites inferiors de A.

    Els denotarem maxA,minA, supA, infA. Si existeixen, son unics. Si M = maxA, llavorssupA =M . Si m = minA, llavors inf A = m.

    Als seguents exemples K = Q.

    Exemple 4.1 A = {x Q | x 1}.A es fitat superiorment ja que, per exemple, 2 es una fita superior. maxA = 1 ja que 1 nes

    fita superior i 1 A. El conjunt de les fites superiors es {x Q | x 1}. Aquest conjunt te unelement mnim que es 1. Aix, supA = 1. De fet, havent vist que A te ma`xim ja podem concloure

    que te suprem i aquest coincideix amb el ma`xim.

    Exemple 4.2 A = {x Q | x < 1}.A es fitat superiorment ja que, per exemple, 2 es una fita superior. El conjunt de les fites

    superiors es {x Q | x 1}. Aquest conjunt te un element mnim que es 1. Aix, supA = 1.Notem que A no te ma`xim. En efecte, si hagues un ma`ximM , per ser M A es verificariaM < 1.Llavors tenim (propietat 9 de lapartat 4.2) M < M+12 < 1 amb el que lelement

    M+12 A i es

    major que M en contradiccio amb la suposicio que M es ma`xim.

    Dels dos exemples anteriors semblaria concloures que els conjunts fitats superiorment poden tenirma`xim o no, pero` sempre tenen suprem. La idea es que si un conjunt es fitat superiorment, sha

    dacabar en algun punt i aquest punt el dona el suprem. El seguent exemple mostra que aixo` noes aix.

    25

  • Exemple 4.3 B = {x Q | x > 0, x2 < 2}.B es fitat superiorment. Per la propietat 8 de lapartat 4.2, x2 < 2 x2 < 4 x < 2. Aix, 2

    es fita superior. Pero` B no te suprem:

    DEM: El conjunt de les fites superiors es F = {x Q | x > 0, x2 > 2}. Demostrem que no te mnimcomprovant que si m F , es possible trobar > 0 tal que m F . Aix, suposem m2 > 2 i intentem trobar talque (m )2 > 2. Tenim m2 2m + 2 > 2 don cal que < m22

    2m. Nomes hem de prendre 0 < < m

    222m

    ja quem222m

    < m22

    2m.

    Aquest exemple mostra que a Q hi ha conjunts fitats superiorment que no tenen suprem. Hemarribat a la primera versio de la incompletesa:

    A Q no tot conjunt fitat superiorment te suprem.

    4.4 Successions

    Si K es un conjunt, una successio a K es una aplicacio N K. A la imatge de n la denotem an(terme general o n-e`sim terme de la successio). Podem representar la successio com {an}nN o,mes simplement {an}.

    Exemple 4.4 A Q, { 1n} es la successio 1, 12 , 13 , . . ..La successio 12 ,

    14 ,

    18 , . . . te terme general an =

    12n .

    4.4.1 Lmit

    Sigui {an} una successio a Q. Diem que te lmit l si

    > 0 n0 N tal que n > n0 |an l| < .

    Notem que el conjunt de x tals que |x l| < es linterval (l , l+ ). Notem tambe que Q.La definicio de lmit formalitza la idea que els punts de la successio es van acumulant al voltant

    del seu lmit. Aix, per petit que sigui hem de trobar un valor de lndex n a partir del qual tots

    els termes de la successio cauen dins linterval (l , l+ ).Escriurem liman = l o an l i direm que la successio es convergent. Tambe sescriu lim

    n an = l.

    Exemple 4.5 Demostrem que lim 1n = 0. Donat > 0 volem trobar un n0 a partir del qual1n < .

    Es suficient prendre n0 >1 . En efecte, si n > n0 llavors n >

    1 , don

    1n < .

    4.4.2 Successions de Cauchy

    Una successio {an} es de Cauchy si

    > 0 n0 N tal que n,m > n0 |an am| < .

    Successio de Cauchy es aquella on la dista`ncia entre els elements es va reduint. Aixo` dona unaidea de converge`ncia sense fer refere`ncia al lmit de la successio.

    26

  • 4.4.3 Proposicio

    {an} convergent {an} es de Cauchy.

    DEM: Suposem liman = l. Llavors, per a tot > 0 hi ha un ndex n0 a partir del qual |an l| < 2 . Ara tenimque |an am| = |an l+ l am| |an l| + |am l| < 2 + 2 = , si prenem n,m > n0.

    Resulta que a Q el recproc no es cert. Considerem an igual a laproximacio a2 amb n

    decimals. Es a dir, a1 = 1,4, a2 = 1,41, a3 = 1,414, etc. Es de Cauchy ja que, per n < m,|anam| < 10n < per n prou gran. No pot tenir lmit ja que hauria de ser (liman)2 = lima2n = 2,(ate`s que |a2n 2| < 10(n1) < ) fet que cap nombre racional verifica. Hem arribat, doncs, a lasegona versio de la incompletesa de Q:

    A Q no tota successio de Cauchy convergeix.

    4.5 Intervals encaixats

    Si a, b Q, definim linterval tancat [a, b] = {x Q | a x b}.Una successio dintervals encaixats es {In}nN, In = [an, bn], bn an, verificant In+1 In i, si

    ln = bn an, llavors lim ln = 0.Com ln 0 esperarem que els intervals tanquin un punt de Q. Per exemple, si In = [ 1n , 1n ] hi

    ha un element comu a tots que es 0. No sempre es aix. Si prenem an i bn iguals a les aproximacions

    per exces i per defecte a2 amb n decimals, tenim que no hi ha cap racional comu a tots ells.

    Aquesta es la tercera versio de la incompletesa de Q.

    A Q no tota seque`ncia dintervals encaixats te un punt comu.

    4.6 Definicio axioma`tica de R

    Com sha vist anteriorment, un cos ordenat es un conjuntK amb dues operacions + i que verifiquenc1 a c9, i una relacio dordre que verifica o1 a o6. (Aixo` implica lexiste`ncia del valor absolutverificant a1 a a4.) Tot cos ordenat conte Q.

    Les definicions donades a Q (successions, etc.) valen per un cos ordenat. Ara els pertanyen

    al cos.

    Definicio: R es un cos ordenat que verifica el seguent axioma de completesa: Totsubconjunt no buit de R fitat superiorment te suprem.

    (Es pot donar una definicio constructiva de R, per exemple, a partir de les successions de Cauchydels racionals. En aquest cas, laxioma de completesa es converteix en una propietat demostrable.)

    4.6.1 Propietat arquimediana

    Un cos ordenat es arquimedia` si N no hi es fitat. Es a dir, a K, n N, n > a. Aixo` implicaque una successio de nombres racionals convergent ho segueix sent, considerada com successio a K.

    DEM: Considerem una successio de nombres racionals tal que lim an = l Q. Aixo` vol dir que per a tot racional positiu podem trobar un ndex n0 a partir del qual |an l| < . Ara volem demostrar que la successio

    27

  • segueix sent convergent considerada dins de K , es a dir, es verifica lanterior relacio per tot K positiu. Si K esarquimedia`, per a tot K , > 0 podem trobar un nombre natural > 1

    . Ara, com 1

    Q podem assegurar que a

    partir de cert ndex |an l| < 1 < . Per tant, la successio tambe es convergent a K .

    4.6.2 Teorema

    R es arquimedia`.

    DEM: Si no fos arquimedia`, N hi seria fitat superiorment i, per tant, existiria el suprem S = supN. Ara,

    com S es la mnima fita superior, S 1 no pot ser fita superior i hi ha dhaver algun enter n > S 1 don veiemS < n+ 1 N en contradiccio amb que S sigui el suprem.

    Aix, R es una extensio de Q consistent respecte els lmits de successions. A mes, R es un coscomplet, en el sentit que es superen les propietats de incompletesa de Q. La propietat del suprem

    es resol perque` lhem utilitzat com axioma en la definicio de R. Les altres propietats es resolen talcom mostren els seguents teoremes.

    4.6.3 Teorema

    Tota successio creixent de nombres reals fitada superiorment te lmit.

    (Tota successio decreixent de nombres reals fitada inferiorment te lmit.)

    DEM: Considerem an creixent i fitada superiorment. El conjunt de nombres {an} te un suprem S. Veiemque S = liman. Donat > 0, S no pot ser fita superior, amb el que hi ha algun element de la successio tal queS < an0 S. Ara, com la successio es creixent |an S| < per n > n0.

    4.6.4 Teorema

    A R tota successio de Cauchy es convergent (R es complet per successions).

    DEM: Es pot demostrar directament a partir de laxioma del suprem, pero` hi ha una manera alternativa a

    partir del teorema de Bolzano-Weierstrass que veurem mes endavant.

    4.6.5 Teorema

    A R tota successio dintervals encaixats {In}nN te un unic punt comu,n

    In = x0 R.

    DEM: Si In = [an, bn], considerem les successions {an} i {bn}:{an} es creixent i fitada superiorment, ja que an b1,n.{bn} es decreixent i fitada inferiorment, ja que a1 bn,n.Aix, existeixen els lmits a = liman i b = lim bn. Ara, com la longitud dels intervals tendeix a zero: 0 =

    lim(bnan) = lim bn liman = ba. Llavors a = b i denotem x0 = a = b aquest lmit comu. Ate`s que an x0 bn,x0 pertany a tots els intervals In i, per tant, a la seva interseccio. Veiem que es lunic punt amb aquesta propietat ja

    que si an x bn, prenent lmits arribem a x = x0.

    28

  • 4.7 Subsuccessions

    Una subsuccessio de {an} es una de la forma {ani}iN on n1 < n2 < Una subsuccessio tambesanomena successio parcial.

    Per exemple, la successio bn =1

    2nes una subsuccessio de an =

    1

    n. Correspon a prendre ni = 2

    i.

    4.7.1 Teorema

    Si {an} convergeix a l, llavors tota successio parcial seva convergeix a l.DEM: Sigui bi = ani la successio parcial. Donat > 0, per hipo`tesi, existeix m0 tal que n > m0 |an l| < .

    Ara notem quei > m0 ni > m0 |bi l| = |ani l| <

    (la primera implicacio sobte a partir de ni i per a tot i.) Hem vist doncs que lim bi = l.

    Aquest resultat es pot utilitzar per demostrar que algunes successions no tenen lmit. Aixo` es

    fa trobant dues successions parcials amb lmit diferent.

    Exemple 4.6 La successio an = (1)n no te lmit. En efecte, considerem les dues subsuccessionsbn = a2n i cn = a2n+1. Com, per tot n, bn = 1 i cn = 1, tenim que lim bn = 1 i lim cn = 1. Aix,an no te lmit ja que si en tingues totes les seves subsuccessions convergirien a aquest valor comu.

    4.7.2 Teorema de Bolzano-Weierstrass

    Tota successio fitada de nombres reals te una successio parcial convergent.

    DEM: Si es fitada tindrem a an b. Anomenem I1 = [a, b] i el dividim en dos subintervals [a, a+b2 ] i[ a+b

    2, b]. Algun dells, diguem-li I2, contindra` infinits termes de la successio (es a dir, hi ha infinits valors de n tals

    que an I2). Repetim aquest procediment obtenint una seque`ncia dintervals encaixats I1 I2 I3 on lalongitud de In val

    ba2n1

    que te lmit 0.

    Ara prenem an1 I1, an2 I2, (n2 > n1) etc. Sigui l el punt comu a tots els intervals que ens assegura elteorema 4.6.5. Llavors la successio parcial bi = ani convergeix a l ja que, ate`s que tant ani com l pertanyen a Ii,

    |ani l| < ba2i que podem fer menor que qualsevol > 0 prenen i prou gran.

    Aquest teorema permet una demostracio alternativa de la completesa dels nombres reals:

    Demostracio del teorema 4.6.4

    Sigui an de Cauchy.

    Veiem primer que es fitada. Prenent = 1 tenim que existeix n0 tal que n,m > n0 |an am| < 1. Posemm = n0+1 don, per n > n0, |anan0+1| < 1. Per la desigualtat triangular |an| |anan0+1|+|an0+1| < 1+|an0+1|.Llavors, n, |an| < max{|a1|, , |an0 |, 1 + |an0+1|}.

    Al ser fitada admet una subsuccessio convergent: ani l. Per tant, existeix i0 tal que |ani l| < 2 per i > i0.Al ser de Cauchy, tambe existeix n0 tal que |an am| < 2 per m,n > n0. Ara, prenent N = max{n0, ni0} tenimque, per n > N , |an l| |an ani | + |ani l| < 2 + 2 = .

    4.8 Representacio decimal dels nombres reals

    El irracionals es representen com lmit de successions. Tota successio convergent es pot considerar

    com una representacio del seu lmit. Per tenir una representacio mes esta`ndard triem una successio

    29

  • determinada, la que correspon a lexpansio decimal del nombre.

    Les expressions b-naries son seque`ncies de nombres naturals

    a0a1 ak,ak+1ak+2

    on 0 ai < b, que representen la successio de Cauchy

    An = bk(a0 + a1b

    1 + a2b2 + + anbn).

    (Per nombres negatius afegirem el signe menys a lanterior expressio.) El nombre x queda repre-sentat per la successio An, x = limAn. Normalment treballem amb b = 10 (base 10). La notacio

    es unica si evitem ai = b 1, i > n0 (per exemple, 0,9=1).

    Exemple 4.7 Pel nombre pi. k = 0, a0 = 3, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 1, etc. A0 = 3, A1 = 3,1,A2 = 3,14, A3 = 3,141, A4 = 3,1415, etc.

    pi = limAn = 3,1415926535897932385 . . .

    Exemple 4.8 Tot i que solem treballar en base 10, cal tenir en compte que els ordinadors operenen base 2 a nivell de hardware. Igualment, la memo`ria dels ordinadors sestructura en bytes (1 byte

    = 8 bits) de manera que la base 8 (sistema octal) i la base 16 (sistema hexadecimal) son habitualsen contextos de programacio.

    Lexpressio 1,1 en base 2 seria 1 + 1 21 = 32 que es 1,5 en base 10.El nombre decimal 12 es 14 al sistema octal (14 = 1 8 + 4).El sistema hexadecimal requereix smbols addicionals per representar les xifres entre 0 i 15.

    Sutilitza A = 10, B = 114, C = 12, D = 13, E = 14 i F = 15. El nombre hexadecimal 3B es eldecimal 59 (3 16 + 11).

    4.9 Numerabilitat

    Els conjunts Q i R son conjunts infinits. Notem que donats dos racionals diferents r1 < r2, el seu

    punt mitja` s = r1+r22 es un racional tal que r1 < s < r2. Similarment, t = r1 +22 (r2 r1) es

    un irracional tal que r1 < t < r2. Amb aixo` veiem que entre dos racionals hi ha infinits racionals

    i irracionals. Tambe, a partir de les aproximacions decimals, podem trobar racionals a dista`nciaarbitra`riament petita de qualsevol nombre real. Aix dedum que tot interval de R per petit que

    sigui conte infinits punts racionals (i infinits punts irracionals), de manera que Q es dens en R.

    Tot i ocupar la recta real de manera densa, Q es numerable. En efecte, el nombre de racionalspq amb |p| + |q| = n es finit. Llavors podem enumerar tots els racionals numerant primer aquellsamb n = 1, despres aquells amb n = 2, etc.

    El conjunt de nombres reals no es numerable ja que les seque`ncies decimals no ho son. Si

    ho fossin, sigui la k-e`sima seque`ncia, rk = (a(k)0 , a

    (k)1 , . . .), k = 1, , . . .. Ara podem construir una

    successio s = (b0, b2, . . .) on bk 6= a(k)k , k. Resulta que s es diferent de totes les rk en contradiccioamb el fet que les havem numerat totes. Una conseque`ncia daquest fet es que els reals no soncodificables (no hi ha una representacio simbo`lica que abasti tots els nombres reals).

    30

  • Captol 5

    Ca`lcul de lmits de successions

    En aquest tema ens concentrarem en els aspectes pra`ctics del ca`lcul de lmits. Les propietats sontambe va`lides quan treballem a Q pero` aqu considerem ja que som a R de manera que tenim

    assegurat que una successio mono`tona (creixent o decreixent) fitada te lmit i que una successio deCauchy es convergent.

    Recordem que una successio {an} te lmit l si > 0 n0 N tal que n > n0 |an l| < . (5.1)

    5.1 Propietats del lmit

    (1) Si existeix, el lmit es unic.

    (2) Diem que una successio esta` fitada si el conjunt {an} ho esta`. Si {an} te lmit, llavors esta`fitada.

    (3) A`lgebra de lmits.

    A partir dunes successions sen poden construir daltres fent certes operacions. Definim elproducte per un escalar ( R): {an} = {an}, la suma de successions: {an} + {bn} ={an + bn} i el producte de successions: {an} {bn} = {anbn}. Llavors, si existeixen els lmitsde {an} i {bn}:a) lim {an} = lim{an}.b) lim({an}+ {bn}) = lim{an}+ lim{bn}.c) lim({an} {bn}) = lim{an} lim{bn}.d) Si an 6= 0 i liman 6= 0, llavors lim 1

    an=

    1

    liman.

    (4) Si, per a n > n0, R < an < S i existeix l = liman, llavors R l S.(5) an a, bn b i an bn n > n0 a b.(6) an bn cn n > n0 i existeixen liman = lim cn lim bn existeix i val el mateix.

    DEM:

    (1) Suposem an l i an l. Per tant, > 0 existeixen n0, n0 tals que |an l| < 2 per a n > n0 i |an l| < 2per a n > n0. Aix, si prenem n > max(n0, n

    0) tenim que |l l| |l an| + |an l| < 2 + 2 = . Com |l l| <

    per a tot > 0, ha de ser l = l (veure exemple 1.6).

    31

  • (2) Si an l, prenent = 1 tenim que existeix n0 tal que, per n > n0, |an l| < 1. Llavors, per n > n0|an| |an l|+ |l| < 1+ |l|. Aix, M = max{|a1|, |a2|, . . . , |an0 |,1+ |l|} es una fita del conjunt de tots els valors |an|.

    (3)

    a) Si = 0 la igualtat es clarament certa. Si 6= 0, per a tot > 0 existeix n0 tal que, per n > n0, |an l| < || .Llavors, passant || a lesquerra, |an l| < amb el que veiem que an tendeix a l = liman.

    b) Suposem an a i bn b. Per tant, > 0 existeixen n0, n0 tals que |ana| < 2 per a n > n0 i |bnb| < 2 pera n > n0. Si prenem n > max(n0, n

    0) tenim que |(an+bn)(a+b)| = |(ana)+(bnb)| |ana|+|bnb| < 2+ 2 = .

    Per tant, an + bn tendeix a a+ b.

    c) an a i bn b. Aplicant la propietat (2) trobem una constant M tal que |an| < M per a tot n. Ara,donat > 0 podem trobar n0 tal que, per a n > n0, |an a| < M+|b| i |bn b| < M+|b| . Finalment, |anbn ab| =|anbn anb+ anb ab| |an||bn b| + |b||an a| < M M+|b| + |b| M+|b| = . Per tant, anbn tendeix a ab.

    d) an a 6= 0. Prenent = |a|2 , per a n prou gran sempre es |an a| < |a|2 . Ara apliquem la desigualtattriangular |a| |a an|+ |an| i, denotant m = |a|2 , tenim que |an| > m a partir de cert valor de n. Ara triem n0 talque per n > n0, |an a| < |a|m. Llavors, | 1an

    1a| = |ana|

    |an||a|< |a|m

    m|a|= . Aix, 1

    antendeix a 1

    a.

    (4) an l. Si fos l > S, prenem = l S i tenim que per n > n0 |an a| < l S. Llavors, an = l (l an) l |l an| > l (l S) = S en contradiccio amb la fita inicial. De la mateixa manera es veu l R.

    (5) Apliquem la propietat (4) a la successio an bn i la fita S = 0.(6) liman = lim cn = l. Donat > 0, a partir de cert valor de n es verifica l < an i cn < l + , don

    l < bn < l + amb el que bn l.

    Exemple 5.1 Ja hem vist que lim 1n = 0. Tambe es molt fa`cil demostrar que per una successioconstant (an = c, n), liman = c.

    Ara, podem calcular altres lmits com:

    lim1

    n2= lim

    1

    n 1n= lim

    1

    n lim 1

    n= 0.

    De fet, de manera similar a com demostra`vem que 1n 0 podem demostrar que si > 0 es unnombre real:

    lim1

    n= 0. (5.2)

    (Nomes cal prendre n0 > 1/1 .) Aix, per exemple:

    lim1n= 0. (5.3)

    A vegades conve reescriure lexpressio per tal de fer apare`ixer termes amb lmit conegut:

    lim3 + 2n

    3n+ 5= lim

    3n + 2

    3 + 5n=

    3 lim 1n + 2

    3 + 5 lim 1n=

    2

    3.

    Els lmits coneguts es poden utilitzar per establir fites:

    limsinn

    n= 0 (5.4)

    ja que 1 sinn 1, don 1n sinnn 1n i les successions dels extrems tendeixen a 0.

    5.2 Lmits infinits

    El concepte de lmit sesten per incloure alguns casos on no hi ha converge`ncia pero` aixo` passa

    perque` la magnitud dels termes de la successio va prenent valors arbitra`riament grans. En aquests

    32

  • casos direm que la successio tendeix a + o a . Es tracta de successions que no tenen lmit jaque no estan fitades pero` les distingim daquelles on la diverge`ncia es deguda a oscil.lacions o altres

    comportaments.

    Diem que liman = + si

    K > 0 n0 tal que n > n0 an > K. (5.5)

    Diem que liman = si an +.Quan no hi hagi possibilitat de confusio escriurem en lloc de +.

    Exemple 5.2 limn = ja que per a tot K R hi ha algun enter n0 > K. Si prenem n > n0llavors els termes de la successio son efectivament majors que K.

    Similarment es demostra que si > 0 es un nombre real:

    limn =.

    5.3 A`lgebra de lmits infinits

    El smbol infinit es pot manipular de manera similar a un nombre entenent que aquestes relacions

    expressen el resultat de prendre lmits. Per exemple, quan escrivim a + = volem dir que siuna successio an tendeix a un nombre a i una successio bn tendeix a + llavors la successio an+bntendeix a +. Amb la definicio de lmit i de lmit infinit es demostren les seguents propietats:

    (1) + =.

    (2) a+ =, a = , a = 0,a

    = 0. (Tambe son va`lides si en lloc de an a es te{an} fitada.)

    (3) Si a > 0, a =, a() = .(4) Si a < 0, a = , a() =.(5) =, () = , ()() =.(6) 10+ = on 0+ indica una successio que tendeix a 0, tal que a partir dalgun valor de lndex

    els seus termes son positius.

    (7) Si a > 0, a =. Si b > 1, b =.(8) log =.

    Exemple 5.3 Es pot veure que, degut al cara`cter oscil.lant de la funcio sinus, lim sinn no existeix.Tot i aixo`, el sinus es fitat (| sinn| 1) i podem donar els seguents lmits:

    limsinn

    n= 0,

    lim(sinn+ n) =.

    33

  • En ocasions saber que les parts duna expressio tenen un lmit (finits o infinits) coneguts esinsuficient per determinar el lmit de tota lexpressio. Per exemple, les successions an = n

    2, bn = n

    i cn = n 1 tendeixen totes a . Ara, an bn = n(n 1), bn cn = 1 1, de manera queno es pot assignar un valor definit a . Si haguessim escrit directament an bn = n2 nno podrem assignar un resultat ja que estem restant dues successions que tendeixen a . Hacalgut transformar la resta en un producte per trobar el resultat. La majoria de lmits que hemde resoldre a la pra`ctica son expressions indeterminades sobre les que sha de treballar per poder

    determinar-ne el lmit. A aixo` ho anomenem resoldre la indeterminacio.

    Les principals indeterminacions son:

    , , 0 (),0

    0, 1, 0, 00, . . .

    A continuacio veiem com es resolen algunes indeterminacions tpiques.

    5.4 Resolucio dindeterminacions

    5.4.1 Expressions racionals

    Un polinomi en n, es a dir, una expressio del tipus pknk + pk1nk1 + + p1n + p0 on pi son

    nombres reals tendeix a segons el signe del coeficient del terme de grau mes alt pk. Per ferel lmit dun quocient de polinomis (determinacio ) dividim el numerador i denominador per lapote`ncia mes alta de n present a lexpressio. Aix queden tot de termes amb lmit constant.

    Exemple 5.4

    limn2 2n+ 35 2n2 = lim

    n22n+3n2

    52n2n2

    = lim1 2n + 3n2

    5n2 2 =

    1 0 + 00 2 =

    1

    2.

    limn3 4n n5 = lim

    n34n5

    nn5n5

    = lim1n2 4n51n4 1 =

    0 00 1 = 0.

    De manera mes general, es fa`cil veure que el lmit

    limpkn

    k + pk1nk1 + + p1n + p0qlnl + ql1nl1 + + q1n + q0 (5.6)

    val 0 si k < l, val si k > l i val pkqk si k = l.

    Exemple 5.5 Lana`lisi anterior es pot utilitzar en casos on apareixen arrels. Novament es tracta

    de detectar la pote`ncia dominant i dividir numerador i denominador.

    lim

    n3 + 1 + n

    2n+ 1= lim

    n3+1+nn3/2

    2n+1n3/2

    = lim

    1 + 1

    n3+ 1

    n1/2

    2n1/2

    + 1n3/2

    = lim1 + 0

    0 + 0=.

    limn +

    n2 + 1

    3n + 8n3

    = limn+

    n2+1n

    3n+8n3n

    = lim1 +

    1 + 1n2

    3

    1n2

    + 8= lim

    1 + 138

    = 1.

    34

  • 5.4.2 Resta darrels

    Algunes indeterminacions del tipus es resolen racionalitzant les expressions. Notem queA

    B = (

    A

    B)

    A+

    B

    A+B

    =

    A2 B2A +

    B

    =A BA+

    B. (5.7)

    Exemple 5.6 Lana`lisi anterior es pot utilitzar en casos on apareixen arrels. Novament es tractade detectar la pote`ncia dominant i dividir numerador i denominador.

    lim(n2 + 5n

    n2 3n+ 2) = lim n

    2 + 5n (n2 3n + 2)n2 + 5n+

    n2 3n+ 2 = lim

    8n 2n2 + 5n+

    n2 3n+ 2 =

    lim8 2n

    1 + 5n +1 3n + 2n2

    = 4.

    Altres arrels es poden tractar tenint en compte que:

    Xk Y kX Y = X

    k1 +Xk2Y +Xk3Y 2 + +XY k2 + Y k1. (5.8)

    Aix, donat A B, prenem k com el mnim comu multiple de i i posem:

    A

    B =

    Ak B k

    Ak1 +A

    k2 B

    1 + +B k1

    (5.9)

    Exemple 5.7 Prenent = = 3 tenim que 3A 3B = AB3

    A2+ 3A 3B+

    3B2

    .

    lim(3n3 + 2n2 3

    n3 + n2) = lim

    n3 + 2n2n (n3 + n2)(n3 + 2n2)

    23 + (n3 + 2n2)

    13 (n3 + n2)

    13 + (n3 + n2)

    23

    =

    limn2

    n2((1 + 2n

    ) 23 +

    (1 + 2n

    )13(1 + 1n

    ) 13 +

    (1 + 1n

    ) 23

    ) = 13.

    5.4.3 Indeterminacio 1. El nombre e.

    Considerem la successio xn =(1 + 1n

    )n. Es una successio creixent, fitada superiorment.

    DEM: Notem que, utilitzant el binomi de Newton

    xn =

    1 +

    1

    n

    n=

    nXk=0

    n

    k

    !1

    nk=

    nXk=0

    1

    k!

    n(n 1) (n k + 1)nk

    = 1 +nX

    k=1

    1

    k!

    1 1

    n

    1 2

    n

    1 k 1

    n

    .

    Per tant xn 1+Pn

    k=11k!. Ara utilitzem que, per k 1, k! 2k1 (per induccio: si k = 1, queda 1 1; si k! 2k1

    llavors (k + 1)! = (k + 1)k! 2k! 2 2k1 = 2k).

    xn 1 +nX

    k=1

    1

    2k1= 1 +

    1 12n

    1 12= 3 1

    2n1 3.

    on sha fet servir la suma geome`trica (1 + x+ x2 + + xn = 1xn+11x

    ).

    Aix, 3 es fita superior de la successio. Per veure que es creixent cal demostrar que xn+1 xn 0:

    xn+1 xn = 1 +n+1Xk=1

    1

    k!

    (n+ 1)n(n 1) (n k + 2)(n+ 1)k

    1 +

    nXk=1

    1

    k!

    n(n 1) (n k + 1)nk

    !

    35

  • nX

    k=1

    1

    k!

    (n+ 1)n(n 1) (n k + 2)

    (n+ 1)k n(n 1) (n k + 1)

    nk

    =nX

    k=1

    n(n 1) (n k + 2)k!(n+ 1)k1nk

    (nk (n+ 1)k1(n k + 1)).

    Nomes falta veure que el terme de lultim pare`ntesi es positiu:

    nk (n+ 1)k1(n k + 1) = nk (n+ 1)k + k(n+ 1)k1 = nk

    kXl=0

    k

    l

    !nl + k

    k1Xl=0

    k 1l

    !nl =

    k1Xl=0

    k

    k 1l

    ! k

    l

    !!nl = k!

    k1Xl=0

    nl

    l!(k l)! (k 1 l) 0.

    Per tant, la successio xn te lmit i anomenem e a aquest nombre:

    lim

    (1 +

    1

    n

    )n= e (5.10)

    on e = 2,718281 . . . es un nombre irracional.

    Ara, es fa`cil demostrar que donada una successio tal que liman =:

    lim

    (1 +

    1

    an

    )an= e. (5.11)

    Es pot demostrar tambe que, per a tot R

    lim(1 +

    n

    )n= e. (5.12)

    De manera mes general, observant que abnn =

    ((1 + 1

    (an1)1)(an1)1)bn(an1)

    , tenim que, si

    liman = 1 i lim bn =,limabnn = e

    lim bn(an1). (5.13)

    Exemple 5.8

    lim

    (n+ 3

    n+ 5

    )n2= elim((n2)(

    n+3n+5

    1)) = elim(2n+2n+5 ) = e2.

    5.4.4 Un lmit trigonome`tric

    Per qualsevol R:limn sin

    n= . (5.14)

    DEM: Degut a la paritat del sinus, es suficient considerar el cas > 0. Per n prou gran, langle = n es

    troba entre 0 i pi2. Es fa`cil veure que sin tan (ape`ndix C). Aix, tenim dues relacions:

    sin

    n

    ntan

    n

    n

    don traiem la relacio: cos

    n n sin

    n .

    Com els extrems tendeixen a , queda demostrat.

    36

  • 5.4.5 Criteri dStolz

    Considerem el ca`lcul de lim anbn on bn es una successio creixent amb lim bn =.

    Si existeix l = liman+1 anbn+1 bn , llavors lim

    anbn

    = l.

    Exemple 5.9 Si a > 1

    limn

    an= 0. (5.15)

    En efecte, an i:lim

    (n+ 1) nan+1 an = lim

    1

    (a 1)an = 0.

    Exemple 5.10

    limlnn

    n= 0. (5.16)

    En efecte,

    limln(n+ 1) lnn(n+ 1) n = lim ln

    n+ 1

    n= ln 1 = 0.

    Exemple 5.11 El criteri dStolz sutilitza especialment quan el numerador consisteix en un suma-

    tori. En aquest cas an+1 an val el terme n+ 1 del sumatori.

    lim12 + 22 + + n2

    n3= lim

    (12 + 22 + + (n+ 1)2) (12 + 22 + + n2)(n+ 1)3 n3 =

    lim(n+ 1)2

    3n2 + 3n+ 1=

    1

    3.

    Exemple 5.12

    lim1 + 12 + + 1n

    lnn= lim

    1n+1

    ln(n+ 1) lnn = lim1

    ln(n+1n

    )n+1 = 1ja que

    (n+1n

    )n+1 e i ln e = 1. 5.4.6 Mitjanes aritme`tiques i geome`triques

    A partir duna successio an podem construir la successio de les seves mitjanes aritme`tiques:

    An =a1 + a2 + + an

    n(5.17)

    i, si an > 0, la successio de les seves mitjanes geome`triques:

    Gn = na1a2 an. (5.18)

    Si an es convergent amb liman = l, aquestes successions son convergents amb limAn = l i limGn =l.

    DEM: Pel cas de An apliquem el criteri dStolz i el resultat surt immediatament. Pel cas de Gn posen

    limGn = lim elnGn = lime

    ln a1+ln a2++ln ann

    i apliquem Stolz a lexponent.

    37

  • 5.4.7 Arrel n-e`sima

    Considerem el ca`lcul de lim nan on an es una successio de termes positius.

    Si lim anan1 = l, llavors limnan = l.

    DEM: Donada la successio definida b1 = a1 i bn = anan1 per n 2, la successio de les seves mitjanesgeome`triques val n

    b1b2 bn = nan. Ara apliquem lapartat anterior

    Exemple 5.13

    lim nn = 1 (5.19)

    ja que nn1 1.

    5.4.8 Successions recurrents

    Son aquelles que es defineixen donant el primer terme i una regla per obtenir cada terme a partirde lanterior:

    x1 = a, xn+1 = f(xn), per n 1. (5.20)on f es una funcio donada, que suposarem contnua.

    Si existeix l = limxn, prenent lmits als dos costats de la relacio recursiva trobem:

    l = f(l). (5.21)

    Es a dir, el lmit de xn, si existeix, es un punt fix de la funcio f . El procediment es calcular aquestspunts fixos i assegurar-se que la successio es convergent (per exemple, si es creixent i fitada, etc).

    Exemple 5.14 Considerem la successio definida per x1 = 1 i xn+1 =1+xn3 , per n 1. Si es

    convergent, el seu lmit sera` solucio de

    l =1+ l

    3.

    Aquesta equacio te nomes la solucio l = 12 . Podem afirmar ara que limxn =12? S, ja que la

    successio es fitada inferiorment i decreixent:

    En efecte, xn > 0 per a tot n i

    xn+1 xn = 1 + xn3

    1 + xn13

    =xn xn1

    3

    de manera que el signe de les difere`ncies entre termes consecutius es mante. Com x2x1 = 23 1 =13 < 0 sera` sempre xn+1 xn < 0.

    Exemple 5.15 Per la successio definida per x1 = 2 i xn+1 = 2xn1, per n 1, lequacio del puntfix es l = 2l 1 que te la solucio l = 1. Es limxn = 1? No, ja que la successio es divergent:

    x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 9, x4 = 17, . . .

    38

  • Captol 6

    Nombres complexos

    6.1 El cos dels nombres complexos

    Ja hem vist que R es un cos ordenat que verifica laxioma de completesa. Molts ca`lculs requereixentrobar arrels de polinomis, es a dir, resoldre equacions com, per exemple, x2 + 5x + 4 = 0. Com

    sabem, a vegades trobem dues solucions (1 i 4 en lexemple anterior) pero` a vegades no nexisteixcap (per exemple, x2 + 4 = 0). Lorigen del problema esta` en lexiste`ncia darrels quadrades. Jasabem que si a < 0, no existeix cap nombre real x tal que x2 = a (ja que un quadrat sempre es no

    negatiu).

    Ens proposem trobar un cos commutatiu que contingui R, on tot element admeti alguna arrel

    quadrada. Si es aix, existira` alguna arrel de 1. Es a dir, hi haura` un element j tal que j2 = 1.Com hem dit, j 6 R. j es el que anomenem unitat imagina`ria1.

    Si hem darribar a un cos que contingui R i lelement j, necessa`riament tindrem tots els elementsde la forma a + bj on a, b R. Notem que per aquests elements, assumint les propietats delestructura de cos, la suma i producte son tancades (no donen lloc a elements de tipus diferent):

    i) (a+ bj) + (a + bj) = (a+ a) + (b+ b)j,

    ii) (a+ bj) (a + bj) = (aa bb) + (ab + ba)j.

    A mes, resulta que tot element no nul te invers. Veiem primer que a + bj = 0 a = b = 0 . Enefecte, b = 0 ja que si no, j = ab R, i a partir daqu, a = 0.

    Notem ara que, per un complex no nul, (a+ bj)(a bj) = a2 + b2 es real i diferent de 0. Aix,podem obtenir:

    1

    a+ bj=

    1

    a+ bj a bja bj =

    a bja2 + b2

    =a

    a2 + b2 ba2 + b2

    j.

    Hem vist que tot element no nul te invers pel producte. Llavors el conjunt delements que es-

    tem considerant te estructura de cos. Passem a donar una definicio formal del cos dels nombrescomplexos, C.

    Definicio: Cos dels nombres complexos

    C consisteix en el conjunt R2 amb dues operacions, suma (+) i producte () definides:1Moltes vegades sanomena i en lloc de j, si be en el context denginyeria es prefereix la j ja que els complexos

    sutilitzen per representar senyals ele`ctrics i i sol designar la intensitat ele`ctrica.

    39

  • (1) (a, b) + (a, b) = (a+ a, b+ b),

    (2) (a, b) (a, b) = (aa bb, ab+ ba).

    A partir de les anteriors definicions podem verificar que (C,+) es un grup commutatiu amb ele-

    ment neutre (0, 0) (zero) i sime`tric(a, b) = (a,b). En quant al producte, es associatiu, commu-tatiu, hi ha element unitat, (1, 0) i tot element diferent de zero te invers (a, b)1 = ( a

    a2+b2, b

    a2+b2).

    A mes, es verifica la propietat distributiva. Tenim, doncs, un cos commutatiu.

    Ate`s que (a, 0) (a, 0) = (aa, 0) podem identificar