2 PARCIALECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas que
cuentan con la siguiente estructura:
(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0
Para comprobar la existencia de una ecuacin
diferencial exacta se debe cumplir la siguiente
condicin:
aM / ay = aN / ax
Algoritmo:
1.- Comprobar que la ecuacin es exacta
2.- Integrar a la funcin M con respecto a la funcin
ax y sustituir a la constante c por la funcin h (y)
3.- Derivar a la funcin encontrada con respecto a y y
se iguala con la funcin m (x, y)
af / ay = N (x, y)
4.- Integrar a la funcin con respecto a y y se despeja
h (y)
[af / ay = N (x, y) ] desp. h (y)
5.- Se encuentra la solucin general con la ecuacin
del paso 2 sustituyendo el valor h / (y) e igualarla con
una constante de integracin.
Ejercicio:
(2y2x - 3) + (2yx2 +4) y = 0
aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx
(2y2x - 3) dx
f (x, y) = 2y2x2 / 2 3x + h (y)
af / ay = 2y2x2 + h (y) = 2yx2 + 4
h (y) = 4 dy
h (y) = 4y
R= y 2 x 2 3x + 4y + c Sol. General
Sol. Particular (3, 2)
(2)2 (3)2 3 (3) + 4 (2)
(4) (9) 9+ 8
36 1
= 35
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Para resolver una ecuacin diferencial homognea se
utiliza un cambio de variables utilizando la variable u
para dicho proceso con los siguientes valores:
U = y/x
Y = ux
Dy = u*dx + x * du
Algoritmo:
1.- Sustituir y y dy en la ecuacin simplificando los
trminos iguales o semejantes.
2.- Separar las variables en cada miembro de la
ecuacin
3.- Se procede a resolver la integral en cada miembro
para encontrar la solucin general.
4.- Se calcula el valor de la constante
5.- Posteriormente ser usada para el clculo de las
soluciones particulares
Ejemplo:
(x2 xy y2) dx xydy = 0 (-3,2)
(x2 x (ux) (ux)2) dx x (ux) (udx + xdu) = 0
(x2 ux2 u2x2) dx ux2 (udx + xdu) = 0
X2dx ux2dx u2x2dx u2x2dx ux3du = 0
X2dx ux2dx 2u2x2dx ux3du = 0
X2dx (-u -2u2) = ux3du
X2dx / x3 = udu / -2u2 u
dx / x = udu / -2u2 u
e(ln x = ln -2u -1 + c)
x = c * e -2u -1 Ec. General
Sol. Particular
X = c * e -2(2/-3) -1
C = -3 / e -2(2/-3) -1
C = -1.7909
X = -1.7909 * e -2(2/-3) -1
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Es aquella en donde las derivadas disminuyen en
forma proporcional y se representan de la siguiente
forma:
y + p (x) y q (x) = 0
y + p (x) y = q (x)
Algoritmo:
1.- Identificar el factor integrante M = e p (x) dx
2.- Multiplicar la ecuacin diferencial por el factor
integrante
3.- Sustituir en el primer miembro la derivada de
producto de la funcin por el factor integrante
d / dx y * M
4.- Integrar la ecuacin y despejar la variable
independiente
Ejemplo:
y + 2xy = x3
p (x) = 2x
M = e 2xdx = e x2
e x2 y + 2xy e x2 = x3 e x2
d / dx y * e x2 = x2 e x2 xdx
y * e x2 = x2 / 2 e x2 x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2 + c
y = (x2 / 2 e x2 x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2 + c) / ex2
y = x 2 / 2 x / 2 + 1 / 4 + c / e x2 Sol. General
(1, 3)
C = y e x2 x2 / 2 e x2 + x / 2 e x2 1 / 4 e x2
C = e x2 (y x2 / 2 + x / 2 1 / 4)
C = e 1 (3 1 / 2 + 1 / 2 1 / 4)
C = e 1 (11 / 4)
C = 7.4752 Sol. Particular