BIENVENIDO A NUESTRA CLASE DE
MATEMATICA
PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451
20101
ECUACIONES CUADRATICAS
• Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.
2
• EJEMPLO:EJEMPLO:
02 cbxaxDonde a,b,c, son números reales, a 0 y x es
la variable. Esta es la forma estándar de la ecuación cuadrática
• En esta ecuación: ax2 es el termino cuadrático; bx es el termino lineal y c es el termino constante
0 xentonces R .1 2 xSi
07)-(3x R; 7)-(3x R; x Si
02)-(x R; 2)-(x R; x Si
0(3x) R; (3x) R; x Si
2
2
2
3
Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones
PROPIEDADES
Esta propiedad nos dice que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o cero; nunca negativo.
Por ejemplo, si estamos trabajando en R y nos dijeran que ( 4x – 9 )2 = - 5 ; si aplicamos la propiedad, afirmamos que es FALSA. No existe ningún valor real para x que haga que se cumpla la igualdad
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• Entonces su conjunto solución es : {12; -12}
b- x b x entonces x.2 2 bSi
12- x 12 x 144- x 144 x entonces 144 xa) 2
95)-(x b) 2
95
95
x
x
35
35
x
x 2;8cs
257)(x c) 2 12;2 cs
21)-(3x d) 2
321
;3
21cs
109)-(7x d) 2 cs
5
• En la ecuación cuadrática:
xx
x
xx
825x 755x 03
0273x 082x 02
02 x 09 x 0
222
222
222
02 cbxax• a) Si b = 0 y c = 0, tenemos la ecuación : ax2 =
0• b) Si b = 0 , tenemos la ecuación: ax2 + c
= 0• c) Si c = 0 , tenemos la ecuación : ax2 +
bx = 0Son ecuaciones cuadráticas incompletas : ax2 = 0 ; ax2 + c = 0; ax2 + bx = 0Son ecuaciones cuadráticas incompletas
• d) Si b 0 y c 0, tenemos la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Las ecuaciones que tienen esta forma estándar se llaman ecuaciones cuadráticas completas• Son ecuaciones cuadráticas completas:
• x2 + 7x + 10 = 0. • 5x2 – x – 6 = 0• x2 + 6x = -8• 3x2 = - 7x + 10; etc
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cero alsolución conjunto comotienen
0; x2 0;x4
3 ; 02x ;0 2222 x
Ejemplo x ax 0 222
ac
ccax
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETASa) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 = 0; Puesto que a 0; el único número que multiplicado por «a» da cero ; entonces x = 0
b) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + c = 0; una forma sencilla de resolver estas ecuaciones es por el método de raíces cuadradas
0483 ) 2 xa 483 2 x 162 x
16x -4 x4 x
{4;-4}s c
0182 ) 2 xb 182 2 x
92 x 9x
cs
7
Ejemplos
3)-5(x4)-4)(3x(3x )1 2
15-5169 22 xx
161559 22 xx
41x
}21
;-21
{s c
2
1 xpara
14 2 x
2
1x
Verificación
3)-5(x4)-4)(3x(3x 2
3)-4
15(4)-
2
34)(
2
3(
15-4
516
4
9
460-5
464-9
4
55-
4
55-
verifica)( 2
1 xpara
8
15
3
25
13 )2
2
xx
x
)5)(5(
13
xx
x
)5)(5(
)5(313
xx
xx
Resolver
1)5(
3 -
x
252x )5)(5( xx
)5( 5 xx
)5)(5(.. xxmcn
)5)(5(
)5)(5(
xx
xx
)5)(5()5(313 xxxx
2515313 2 xxx
2516 2 x29 x
9x 3- xo 3 x }3;3{ cs
9
5
9
5
9
x
20 )7 x
Resolver
53
52x-3 x)11
2
x
x
023 )2 2 x
0)253( )4 2 x
0102 )3 2 x
14x1)4x(x )5
42
1
4 )6
2
x
036 )1 2 x
2)1)(1( )8 xx
50105)-(x )9 2 x
3515
35
)10 x
x
6;-6 Rpta
23;23- Rpta
5;-5 Rpta
5;-5 Rpta
2
1;
2
-1 Rpta
23;23 Rpta
-10;10 Rpta
3;3- Rpta
-5;5 Rpta
53;53- Rpta
6;6- Rpta
10
c) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0.- El método practico para resolver ecuaciones de esta forma es por factorización
0a 2 bxx 0)( baxx donde 0bax o 0 x
Ejemplos
xxxx 342 1) 22
0342 22 xxxx
042 2 xx
022 xx
022 xx
0)2( xx
0)2( o 0 xx
}2;0{cs
2 o 0 xx
32-x10-2x
-2 x2)
2
)2(3
2-x
10)-(2x-2)2)(x-(x
x
x
)2(310)-(2x-2)2)(x-(x x
)2(310)-(2x-4)-(x2 x
104632x-x2 x
63102x-4-x2 x
0x2 x
01)x(x 01 xo 0x
}1;0{ cs
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EJERCICIOS
02 )1 2 xx
0122 )2 2 xx
xx 45)-2x(x )3 2
)1(6)(x4 )4 2 xxx
03
7 x)5 2 x
3
2
26
x )6
2 xx
06
5
12
5
4
x )7
2
2
x
x
x
x
322
6x )8
2
x
x
)82(2)(x2)-2)(x(x )9 22 x
032 x)10 2 x
0;2 Rpta
6;0- Rpta
0;6 Rpta
0;5 Rpta
3
70; Rpta
0;1 Rpta
3
1 Rpta
0;8 Rpta
0;2 Rpta
32 ; 0 Rpta
12
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