7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
1/334
UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO __________________________________________CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA
GEOMETRIA
DESCRIPTIVA
HUGO DURAN CANELAS BANEGAS
1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
2/334
UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO __________________________________________CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA
C) 2008Hugo Durn Canelas Banegas
Derechos reservados de autorDepito Legal N 81!1""#
Impreso en Bolivia A mis hios Li!ien" #imena $
H%&oPrin'e( in Bolivia
$rohi%ida la reproduccin total o parcial sin autori&acin por escrito del autor
2
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
3/334
UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO __________________________________________CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA
AGRADECIMIENTOS
'i agradeci(iento alos colegas dedocencia de laa(ilia 'oreniana*sin cu+o apo+o no
hu%iera sido posi%lela reali&acin delpresente tra%a,o- no.uiero (encionarno(%res por no pecarde in,usto anteposi%le o(isin
/
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
4/334
UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO __________________________________________CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA
$L
3na ve& (s .uiero aparecer a la lu& p4%lica ante (is alu(nos +colegas* esta ve& en (i condicin de 5u%ilado* para (ostras unnuevo tra%a,o revisado + au(entado con e6periencias en el ca(poprctico* a o%,eto de %rindar nueva(ente un aporte al procesoense7an&a aprendi&a,e en nuestra .uerida acultad de ecnolog9a +3niversidad a%riel en: 'oreno;
Con :ste* son +a veintiocho a7os cu(plidos en la ense7a(&aininterru(pida de esta her(osa pero dir.uitectura*disciplilnas a(%as en la .ue (e sigo dese(pe7ando co(o docente;
'e he es
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
5/334
I N D I C E
UNIDAD No) *PRO+ECCIONES
1; ipos de pro+eccionesA 1;1; Cnica
1;2; Cil9ndrica1;/; =nclinada1;#; rtogonal
2; %,eto iste(as de epresentacinA2;1; Convenios + notaciones2;2; eglas para el di%u,o
UNIDAD No) ,SISTEMA DIEDRICO O MONGE
1; epresentacin del puntoA
1;1; Diversas posicones
2; epresentacin de la rectaA2;1; $untos nota%les
2;2; $artes vistas + ocultas 2;/; $osiciones particulares
/; epresentacin del planoA /;1; ecta situada en un plano
/;1;1; Hori&ontales +
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
6/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
@;1; 3na recta con un plano dado por dos rectas .ue se cortan
@;2; 3na recta .ue corta a otras tres
@;/; ecta .ue corta a otras dos + es paralela a un plano
@;#; ecta .ue corta a otras dos + es paralela a otra recta
UNIDAD No) /
PARALELISMO + PERPENDICULARIDAD
1; ectas paralelasA
1;1; $aralelis(o entre rectas de per
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
7/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
DISTANCIAS" ABATIMIENTOS + ANGULOS
1; DistanciaA
1;1; ?ntre dos puntos 1;2; De un punto a un plano
1;/; De un punto a una recta 1;#; ?ntre rectas paralelas
1;@; ?ntre planos paralelos 1;!; '9ni(a distancia entre dos rectas .ue se cru&an
2; >%ati(ientosA
2;1; eneralidades 2;2; De un punto 2;/; De una recta 2;#; De un plano
2;@; De una
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
8/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
CAMBIOS DE PLANOS + GIROS
1; Ca(%ios de planosA
1;1; eneralidades 1;2; $ro+ecciones de un punto en el ca(%io de plano 1;/; De dos planos de pro+eccin 1;#; La recta en los ca(%ios de plano 1;@; Nuevas tra&as del plano
2; irosA2;1; eneralidades
2;2; De un punto 2;/; De una recta 2;#; De un plano
UNIDAD No) 2SUPER3ICIES
1; Clasi
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
9/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
#;2; eccin plana
#;2;1; $or un plano vertical
#;/; =nterseccin de recta + pir(ide
@; ConoA
@;1; epresentacin @;2; $ro+ecciones de un punto @;/; $lano tangente al cono
@;/;2; Fue pase por un punto e6terior@;/;2; $aralelo a una recta@;/;/; > dos del (is(o v:rtice + %ases coplanares
@;#; ecciones planasA
@;#;1; $or un plano de canto
@;@; =nterseccin de recta + cono
!; CilindroA
!;1; epresentacin !;2; $ro+ecciones de un punto !;/; $lano tangente al cilindro !;#; ecciones planas
!;#;1; $or un plano de canto
!;@; =nterseccin de recta + cilindro
G; ?s
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
10/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
G;/;1; $or planos paralelos a los pro+eccinG;/;2; $or un plano vertical
G;#; =nterseccin de recta + es
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
11/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
PRIMERA UNIDADPRO+ECCION6SUS CLASES6
La pro+eccin de un punto > del espacio* so%re un plano " desde otro punto odel espacio e6terior a :l es la interseccin del ra$opro$e7'an'e AB con el plano ; ?l punto o* se lla(a 7en'ro (e pro$e77i8n" + el plano so%re el .ue se pro+ecta* plano (e pro$e77i9n;
odos los puntos del ra+o pro+ectante AB*co(o > I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
12/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
>
B
C
Dc
d
>
B
a
%
t
C
r
s
ca %
C c
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
13/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
r
s
B
s
>
a %
D
d
C
c
>
B
C
a
c
%
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
14/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
O:e'o (e la Geome'r;a Des7rip'iva6?l o%,etivo de la (ateria es proporcionar al t:cnico la (anera de representar so%re el plano* lasdiversas
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
15/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
ectas* visi%les* en tra&o cont9nuoA a %
ectas invisi%les* seg(entadasA a %
%J
%
vJ
v
hJ
h
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
16/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a
L9neas au6iliares* con tra&o
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
17/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
SEGUNDA UNIDAD
SISTEMA DIEDRICO O MONGE
GENERALIDADES6Los ele(entos
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
18/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
H
L
===
=== =
L
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
19/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
===
>
aJ1
o aaJ
d
h
B
% o1 %J
%J1
h
aJ
a
%
%J
d
=
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
20/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
perpendicular a L I */? POSICIONES DEL PUNTO6 ?n las
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
21/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
>parte de los consa%idos planos de pro+eccin* vertical + hori&ontal* se crea en este siste(a de pro+ecciones* otro ,uego de planosta(%i:n ortogonales entre s9* pero girados #@K respecto de los originales* previ:ndose para ellos una parte de los consa%idos planos de pro+eccin* vertical + hori&ontal* se crea en este siste(a de pro+ecciones* otro ,uego de planosta(%i:n ortogonales entre s9* pero girados #@K respecto de los originales* previ:ndose para ellos una
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
22/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
==
dJ1
dJ
%J
cJ
=
CcJ1
d
c
%
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
23/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
@) Las partes o7%l'as* de tra&os o l9neas discont9nuas* para distinguirlas de las vis'as* o situadas en el pri(er cuadrante;
!) Las partes vistas + ocultas* a+udan (ucho a ver en el espacio* lo pro+ectado;
G) No %ien se va+a di%u,ando o reali&ando tra&os en la resolucin de pro%le(as* se de%er ir colocando sus respectivos no(%res ose7ales* a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
24/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
REPRESENTACION DE LA RECTA6$ara hallar la prou+eccin de una recta* %asta hallar las pro+ecciones ho(ni(as de dos de suspuntos;
?n la aJ1
a
aJ
B
%J %
%J1
Nn
(
nJ
rr
rJ1
H
'(J1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
25/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
La pro+eccin hori&ontal r* es la interseccin o tra&a con el plano hori&ontal del plano deter(inado por las pro+ectantes Aa + B: del planopro+ectante hori&ontal de la recta; Del (is(o (odo* la pro+eccin vertical r "es el a%ati(iento de la tra&a r *del plano pro+ectante vertical dela recta R;
No connloga(ente* para la tra&a vertical* se deduce la siguiente reglaA
Para hallar la 'ra!a ver'i7al v F v (e %na re7'a" se prolon&a s% pro$e77i8n hori!on'al has'a s% in'erse77i8n v 7on LT" $ por ese p%n'o selevan'a %na perpen(i7%lar a LT has'a s% in'erse77i8n v 7on la o'ra pro$e77i8n)
$ara a(%as tra&as ver la D>B=?L ?N?'?N
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
26/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
%2%J2h
hJ
v
vJ
%J1
%1
>
B
H
C
D
?
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
27/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Las tra&as hori&ontal + vertical de una recta se deno(inan h . h< + v . v
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
28/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
hJs
hJ
h
rJ
r
%J1
%1
vJ
v
%J2 %J
= C
= C
== C
i&),,
30
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
29/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
sJ
vJ
s
v
h
hJ
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
30/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
tJ
t
hJ
h
vJ
v
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
31/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
i
iJ
h
hJv
vJ
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
32/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
tt JsJ
r J
r
st
t JrJ sJ
Bs
0r
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
33/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
0? ecta paralela a la l9nea de tierraA Se 7ara7'eri!a es'a re7'a" por 'ener s%s (os pro$e77iones paralelas a la l;nea(e 'ierra" 7omo s%7e(e 7on la re7'a (e las i&%ras ,1 $ ,2)
odas las rectas situadas en el plano hori&ontal oparalelas a :l* se caracteri&an por pro+ectarse hori&ontal(ente enverdadera (agnitud;
@) Re7'a si'%a(a en el plano ver'i7al6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
34/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
G) Re7'a ver'i7al o perpen(i7%lar al plano hori!on'al6?s el caso de la recta Ten las
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
35/334
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Co(o todas las rectas del plano de per
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
36/334
$ara considerar lo dicho* v:ase lo e6plicado en la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
37/334
>
B
aJ
a
%J
%
aJ
%J
a
%
CvJ
vJ1
>
B
aJ
%J
B1
a
%
>1
Hh
H1
Hh
a
%
Hh
aJ
%J
>
B
h1a1 %1
i&) /* i&) /,
i&)// i&)/0
39
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
38/334
B %J
%
vJJ
aJ >
a1
a
%1 h1
h
aJ
%J
%
a
B
>
C
%1 c1 a1
cJ
c
Ci&)/1 Ci&) /2
aJ>
CcJ
%J B
%
c
aCi&)/4
40
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
39/334
rJ
r
vvJ
hhJ
rJ
r
i&) /5
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
40/334
>aJ1
rJ1
rJ ra
rJ
r
aJ1
vvJ
hhJ
tJ
t
d
d
i&) 0 i&) 0*
e procede co(o se sa%e de acuerdo a los e,e(plos anterioresA se a%ate de B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
41/334
") Re7'a =%e pasa por la l;nea (e 'ierra6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
42/334
vJ
v hJ
h
rJ
r
tJ
t
rJ
sJ
s
r
i&) 00 i&) 01
11) Re7'a si'%a(a en el se&%n(o :ise7'or6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
43/334
1#) Re7'as =%e se 7or'an6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
44/334
Eer7i7ios61) Deter(inar en una recta todos los ele(entos .ue la co(ponen* co(o ser* tra&as* cuadrantes .ue cru&a* partes visi%les +ocultas* intersecciones I tra&as ) con los %isectoresA
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
45/334
% J2 %2
h
h J
===
C
==C
v J
r J
v
r
% J 1
% 1
=
C
i&) 05
1@) eniendo una recta deter(inada por un punto en el hori&ontal anterior + otro en el vertical superior* u%icar un tercer punto .ue seencuentre en el pri(er cuadrante;
1!) ra&ar una recta vertical* con tra&a hori&ontal en el hori&ontal posterior;
1G) Di%u,ar espacial(ente* + en el depurado* una recta paralela a la l9nea de tierra* cu+a pro+eccin hori&ontal esta (s cerca a ella* .ue
al vertical; I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
46/334
1") epresentar una recta de punta* se7alando su tra&a con el pri(er %isector;
20) Di%u,ar una recta hori&ontal de cota 0;
21) ?n una recta .ue tenga su tra&a vertical* en el vertical superior* + la hori&ontal* en el hori&ontal anterior* se7alar su punto .ueest en el segundo cuadrante + segundo %isector;
22) Dada una recta AB* de per
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
47/334
B
A
V . vC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
50/334
>a
H
rJ
r%rJ
NnJ
'(J
nJ
(J
n
(
B%J
i&) 1/ i&) 10
No olvide(os s9 .ue una pro+eccin est sie(pre en la l9nea de tierra* de ah9 .ue para representar un punto del plano* se hace co(o en el casode los puntos a . a< + : . :
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
51/334
las tra&as de la recta C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
52/334
aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
54/334
rJ
r
v
vJ h
hJ
hJ1
sJ
s
v1
vJ1h1
i&) 1
56
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
55/334
Por (os re7'as =%e se 7or'an6 ?s el caso presentado en la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
56/334
aJ
rJ
r
a
h
hJ
vJ
v
vJ1
v1
hJ1
h1i&) 2
sJ
s
De ah9 .ue se dice .ue la pro+eccin hori&ontal de esta recta de%e ser paralela a la tra&a hori&ontal del plano; $or eso la reglaA
To(a hori!on'al (e %n plano 'iene s% pro$e77i8n hori!on'al paralela a la 'ra!a hom8nima (el mismo nom:re (el plano" $ s%pro$e77i8n ver'i7al" paralela a la l;nea (e 'ierra) I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
57/334
R
rB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
58/334
R
r C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
59/334
V *
V
H
R
r
hhC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
?stas dos rectas .ue se aca%an de ver* de
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
61/334
pe d e e de u p a o* de%e e e a p o+ecc o o a * pe pe d cu a a su a a o o a - po a o o* po a a a o o a de a ec a*h* se tra&ar * perpendicular a dicha pro+eccin; Co(o la recta de%e pertenecer al plano* donde corte a la l9nea de tierra* se de%er unircon v< o tra&a vertical de la recta* I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
62/334
e a I g !8 ) s e p a o es ade s p o+ec a e o o a * po co s gu e e
To(os los p%n'os si'%a(os en l" se pro$e7'an hori!on'almen'e so:re s% 'ra!a hori!on'al * co(o se co(prue%a en elpunto a O a- lo (is(o ocurre con la recta r O r I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
63/334
representarn perpendiculares a la l9nea de tierra + ade(s con
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
64/334
i&) 40 i&) 41
@) Plano ron'al o paralelo al ver'i7al6 >nloga(ente al anterior* no tiene tra&a vertical* siendo la hori&ontal* paralela a la l9nea detierra* pudiendo encontrarse de%a,o de ella si est delante* + enci(a* si detrs; I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
65/334
i&)42
!) Plano paralelo a la l;nea (e 'ierra6 >l ha%lar de la recta* se dio a entender .ue no ha+ ninguna .ue sea perpendicular a la ve&* alos dos planos de pro+eccin* pero s9 a su interseccin I L )* .ue es el caso de la recta de perD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
66/334
i&) 44 i&) 45
?n este caso las tra&as del plano no cortarn a la l9nea de tierra; Las (os 'ra!as < $ (el plano" son por 'an'o paralelas a la
l;nea (e 'ierra)odas las rectas hori&ontales + B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
67/334
i&) 4 i&) 5
Plano =%e pasa por la l;nea (e 'ierra6 ?ste es el 4nico caso en .ue el plano no .ueda deter(inado* por tener sus tra&as con
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
68/334
aJ
ai&) 5* i&) 5,
8) Plano perpen(i7%lar a los :ise7'oresA $ara una (e,or co(prensin del presente caso* e6a(inar atenta(ente la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
69/334
>
D
N
'
B
C
i&) 5/
i&) 50
De ah9 .ueA To(o plano perpen(i7%lar al primer :ise7'or" 'iene s%s 'ra!as sim'ri7as respe7'o (e la LT* co(o sucede con el enel .ue se ve .ue a(%as tra&as s9 ocurre con el plano I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
70/334
d
d
i&) 51
?n caso de .ue el plano
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
71/334
aJ %J
a %
cJ
c
vJ
v
dJ
d
hJ
h
%JvJ
v
cJ
c
ahh1
aJhJhJ1
v1vJ1
i&) 52
i&) 54
E#ERCICIOS6
1; Deter(inar las tra&as de un plano del cual se conocen una recta paralela a la l9nea de tierra* + el punto C I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Nos da(os un punto D* en la recta AB* el .ue unido a C* deter(ina la recta CD* con lo .ue al cortarse en D* con la recta AB* nos deter(inar elplano %uscado; De ah9* por las tra&as de CD* pasare(os
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
72/334
%Jd
%dJ
aJc
acJ
e
eJ
hJ2 v2
h2vJ2
vJ1v1
vJv
hhJ
h1hJ1
aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
75/334
: N
Ci&) /
V
H
B
I
Ci&) 0
80
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
$areciera un contrasentido todos estos ca(inos a(pulosos para deter(inar lo .ue a pri(era vista es si(ple- pero no es as9 por.ue los
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
79/334
$areciera un contrasentido todos estos ca(inos a(pulosos para deter(inar lo .ue a pri(era vista es si(ple- pero no es as9* por.ue losplanos au6iliares .ue se to(an* o estn dados* o son
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
80/334
:C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
v E ?CNL=>
Plano pro$e7'an'e 7on o'ro (a(o por (os re7'as6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
86/334
vJ
v hJ
h
iJ
i
vJiJ
v
i
1
1
1
1i&) */
i&) *0
88
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
ecta R con * da 7 . 7C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
119/334
aJ
aJ
sJ
sr
rJ
hJ
h
v
vJ
>
B
C
i&) *00 i&) *01
121
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.--->C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
T
R A
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
120/334
'
R
r
A
T
C
B R.r
i&) *02 i&) *04
Re7'a perpen(i7%lar a %n plano6 I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
i %na re7'a R es perpen(i7%lar a %n plano " la pro$e77i8n or'o&onal r (e la re7'a so:re %n se&%n(o plano " esperpen(i7%lar a la 'ra!a ' (e 7on (i7ho plano )
>hora %ien* si es el plano hori&ontal de pro+eccin* resulta .ue si R es perpendicular a * su pro+eccin hori&ontal r ha deser perpendicular a la tra&a hori&ontal ' del plano; ?l (is(o ra&ona(iento se dar para el plano vertical de pro+eccin; De ah9 la reglaA
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
121/334
t
r
rJ
r
%J
%
vJ
vhJ
h
B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Para =%e %na re7'a sea perpen(i7%lar a %n plano es pre7iso =%e las pro$e77iones (e la re7'a sean perpen(i7%lares a lashom8nimas (el plano)
i se .uiere tra&ar una recta r . r
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
122/334
perpendicular a las pro+ecciones verticales de las
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
123/334
s< a< vB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
rJ
vJ1
iJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
124/334
r
v
vJ
h
hJv1
hJ1
h1
iJ
iaJ
a
i&) *1,
?n el depuradoA < . es el plano* I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
A* es la interseccin entre R e I* coincidente con su tra&a hori&ontal; I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
125/334
3no de los (uchos planos podr9a ser el pro+ectante ; i el plano ade(s de ser perpendicular a * de%iera pasar por unarecta S" I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
126/334
B
C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
rJ
sJ
vJaJ
vJ1
iJ1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
127/334
r
vJ2
v2
h2
hJ2
s
v
vhJ
h
iJ
i
a
v1
hJ1
h1
h/
hJ/
vJ/
v/
a1
aJ1
i1
%J
%
i&) *15
Primer pro7e(imien'o6 ean R + S las rectas .ue se cur&anI D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
?n el depuradoA I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
128/334
@K $or la recta S* pasar un pro+ectante * .ue al cortarse con * nos per(ite encontrar el punto A*;
!K $or aC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
R SR
B
N
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
129/334
C
E B
D
T
N
CR,
M
A S
R*
i&) *1 i&) *2
Sol%7i8n en el (ep%ra(o6 I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
s
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
130/334
rC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
#K La interseccin de + da la recta T" pro+eccin de S so%re ;
@K Desde C perpendicular a * hasta cortar T en el punto D;
!K $or Dparalela a R* hasta encontrar S* deter(inando el punto A;
GK Desde A* paralela a CD* hasta encontrar deter(inando; La recta ABes la solucin;
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
131/334
Ter7er pro7e(imien'o6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
132/334
r
s
aJ
ar1
hJ
h
v
vJ
hJ1
h1
v1
%
% vJ2
v2
h2
hJ2
c
cJ
rJ2
r2(
(J
ni&) *2,
>plicando el segundo procedi(iento* el plano es el vertical de pro+eccin + la pro+eccin ' de s" es la recta ' . '< conD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
ra&a(os la perpendicular 7< (< . 7(* a ' . '< + por el punto de interseccin de a(%as* ( . (
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
133/334
s
r
t d
tJ
rJ cJ %J
c
%
i&) *2/
135
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
134/334
136
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
CUARTA UNIDAD
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
135/334
*). DISTANCIAS
Dis'an7ia en're (os p%n'os6Co(o se sa%e* la distancia entre dos puntos es la recta .ue los une;
$ro+ecta(os AB so%re en a:; I C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
B
AC
:C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
rJ
sJ
vJ1
vJaJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
140/334
>
D B
i&) *4 r
s
v
v1 v
h1
h
hJ1hJ1
a
%J
%
i&) *4*
Dis'an7ia en're planos paralelos6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
141/334
A B
D
i&) *4,
r
r
v1hJ
h
aJ
a
vJ1
vJ
hJ1
h1
%J
%
i&) *4/
M;nima (is'an7ia en're (os re7'as =%e se 7r%!an6I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
142/334
M
R,
C
A
R,
i&) *40
E#ERCICIOS
*). Dis'an7ia (e %n p%n'o =%e se en7%en're en el primer 7%a(ran'e" a %na re7'a) > i&) (* ?
ea la recta I r r )* con tra&as v + h;
144
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
e trata de encontrar la distancia .ue ha+ entre el punto > I a a ) + dicha recta;
La distancia .ue ha+ entre dos ele(entos cuales.uiera* es la perpendicular .ue separa a a(%os; ?s decir .ue setrata de encontrar la recta .ue desde el punto >* sea perpendicular a ;
Co(o entre rectas no ha+ relacin directa de perpendicularidad* Ien el depurado)* ha+ .ue acudir a una de las rectasau6iliares* en este caso una hori&ontal* cu+a pro+eccin no paralela a la l9nea de tierra* sea perpendicular desde a* a r*pasando por a la pro+eccin vertical r; La tra&a vertical de esta recta es la v1;
>hora s9 podre(os pasar el plano perpendicular a la recta * + .ue pase por el punto >* .ue es desde donde se podr >hora s9 podre(os pasar el plano perpendicular a la recta * + .ue pase por el punto >* .ue es desde donde se podrtra&ar la perpendicular o distancia pedida en el presente e,ercicio- este plano es eltra&ar la perpendicular o distancia pedida en el presente e,ercicio- este plano es el . . * cu+a tra&a vertical* cu+a tra&a verticalpasar por vpasar por v11* tra&a vertical de la recta au6iliar .ue pasa por el punto >* perpendicular a r* desde cu+a interseccin* tra&a vertical de la recta au6iliar .ue pasa por el punto >* perpendicular a r* desde cu+a interseccin
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
143/334
p pp p * . p p p * p p * +. p p p p p +con la l9nea de tierra* se pasar la tra&a hori&ontal* perpendicular a la pro+eccin hori&ontal r de la recta;con la l9nea de tierra* se pasar la tra&a hori&ontal* perpendicular a la pro+eccin hori&ontal r de la recta;
eguida(ente d:%ese encontrar la interseccin de la recta con el plano* para lo .ue nos au6ilia(os de un plano eguida(ente d:%ese encontrar la interseccin de la recta con el plano* para lo .ue nos au6ilia(os de un planopro+ectante vertical .ue pase por la recta* procedi(iento este .ue nos per(ite encontrar el punto B* donde la rectapro+ectante vertical .ue pase por la recta* procedi(iento este .ue nos per(ite encontrar el punto B* donde la rectacorta al plano;corta al plano;
La unin de los puntos > + B* nos dar la distancia pedida; La unin de los puntos > + B* nos dar la distancia pedida;
$ara encontrar la verdadera (agnitud de esta distancia* se procede por los (:todos aplica%les al e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
144/334
r
v
vhJ
aJ
a
vJ1
v1
vJ2
v2
h2
hJ2
%J
%
p
. i&) (, ?
146
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Los procedi(ientos a seguir son los (is(os .ue en el e,ercicio anterior* con la salvedad de .ue para encontrar el punto B I % % )*al no cortarse las tra&as hori&ontales + " de%e(os acudir al au6ilio de un plano
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
145/334
%
%J
sJ
s
D
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
146/334
a
aJ
t
v hJ
h
h1
hJ1h2
hJ2
vJ2
v2
%J
%
u
uJ
iJ i
a% T d
aJ%J T dJp
.
D
IB)
BD T distancia
* .ue ser una B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
vJ
h
rJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
147/334
a
aJ
v
hJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
148/334
$or los procedi(ientos enunciados en el e,ercicio anterior* Iutili&ando la recta au6iliar hori&ontal* < < * encontra(os .ue la distanciaes el seg(ento deter(inado por los puntos D + B;
1). En7on'rar la (is'an7ia (e %n p%n'o en el 7%ar'o 7%a(ran'e" a %na re7'a 7on 'ra!as v . h" $ =%e va (el primer 7%a(ran'e al'er7ero" pasan(o por el se&%n(o) > i&) (1 ?
$or ser un e,ercicio si(ilar al anterior* pero con distintos datos* los procedi(ientos para su solucin* son los (is(os* por lotanto %asta seguir los (is(os pasos .ue se utili&aron en a.u:l;
,).ABATIMIENTOS
>%atir es girar un plano so%re otro alrededor de su tra&a E con hasta hacerlo coincidir con :l; ?l e,e se lla(a7harnela) I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
N
R
B
A
(
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
149/334
M
R,C
A
R,
i&) *40
a
mJ >
i&) *41
A:a'imien'o (e %n p%n'o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
uponiendo pues .ue es el hori&ontal de pro+eccin se deduce la reglaA
Para a:a'ir %n p%n'o A so:re el plano hori!on'al " se 'ra!a (es(e s% pro$e77i8n hori!on'al a" laperpen(i7%lar am $ la paralela am< a la 'ra!a hori!on'al (el plano o 7harnela) So:re la paralela" a par'ir (e a" se lleva %nse&men'o i&%al a la 7o'a (el p%n'o > am< @ Aa ? $ se 'ra!a 7on 7en'ro en la in'erse77i8n m (e la perpen(i7%lar 7on la 'ra!a$ ra(io mm
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
150/334
a la 'ra!a hori!on'al (el plano =%e 7on'iene al p%n'o so:re la paralela" $ a par'ir (e a" se lleva %n se&men'o i&%al a la (is'an7ia (es(ela o'ra pro$e77i8n a la l;nea (e 'ierra $ 7on 7en'ro en el p%n'o (e in'erse77i8n (e la perpen(i7%lar 7on la 'ra!a" $ ra(io" la (is'an7ia(e es'e l'imo al eJ'remo (el se&men'o" se 'ra!a %n ar7o =%e 7or'ar a la perpen(i7%lar 7i'a(a en (os p%n'os =%e son losa:a'imien'os pe(i(os)
> veces no se usan los planos de pro+eccin para a%atir* sino otro paralelo a ellos* por e,e(plo el hori&ontal; ?s el caso de la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
151/334
radJ
>
>1
hJ
h
d
i&) *42
153
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
152/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
?so pasa con la recta a: . a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
153/334
a
a
c
%
r
v oo
BC
i&) *45
?n la (is(a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
154/334
h2r
B
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
155/334
v
v hJ
hH
rJ
r
>
C
B
D
aJoJ
%J
a
d
%
h1H1
hJ1
c
cJ
dJ
i&) *5
O:'en7i8n (e las pro$e77iones (e %na i&%ra a:a'i(a (a(a6 I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
DatoA 3n ro(%o situado en el plano de (odo .ue su diagonal (a+or sea igual a l+ la (enor* a ';
?n el plano * u%ica(os la recta o%l9cua con tra&as + H;
$or la pro+eccin hori&ontal v* de la tra&a vertical de la recta* tra&a(os la perpendicular a la charnela * hasta cortar la curva tra&adacon centro el punto de la interseccin de las dos tra&as del plano* + radio el punto v* .ue es donde estar la tra&a vertical a%atida + .ue es pordonde pasar la tra&a vertical a%atida )
. La 'ra!a hori!on'al (e es'a re7'a" por es'ar en la 7harnela" es ia $ 'en(r 7omo nom:re h.H" =%e %ni(a a la 'ra!a
ver'i7al a:a'i(a men7iona(a l;neas arri:a" nos (ar la re7'a a:a'i(a HV)
. En es'a re7'a %:i7amos los p%n'os A" O" $ B" (es(e (on(e 'ra!amos perpen(i7%lares a la 7harnela has'a en7on'rar lapro$e77i8n hori!on'al (e la re7'a men7iona(a" en7on'ran(o a" o $ :)
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
156/334
. Des(e (i7hos p%n'os 'ra!amos perpen(i7%lares a la l;nea (e 'ierra has'a la pro$e77i8n ver'i7al (e la re7'a" %:i7an(o a" o$ :)
. Para en7on'rar las pro$e77iones (e los p%n'os C $ D" prolon&amos s'a has'a la 7harnela" %:i7an(o h*.H*" =%e ser s%'ra!a hori!on'al)
. Como es'a (ia&onal menor (el rom:o pasa por O" =%e $a es' a:a'i(o" (es(e h* $ h*" 'ra!amos l;neas =%e se %nan 7on
o $ o respe7'ivamen'e" hallan(o (e es'a manera s%s (os pro$e77iones). Des(e las pro$e77iones hori!on'ales 7 $ (" lan!amos perpen(i7%lares a la 7harnela has'a la pro$e77i8n hori!on'al h* . o"
hallan(o 7 $ (" (es(e (on(e levan'amos perpen(i7%lares a la l;nea (e 'ierra has'a en7on'rar la pro$e77i8n ver'i7al h*.o" %:i7an(o as;las pro$e77iones ver'i7ales 7 $ ()
. 3inalmen'e %nimos en're s; 'an'o las pro$e77iones hori!on'ales 7omo las ver'i7ales" (einin(ose (e es'a manera laspro$e77iones a:7( $ a:7( (el rom:o)
/). ANGULOS
?l ngulo
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
157/334
B
a
r
i&) *5* i&) *5,
i una recta
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
158/334
B A
D C B
C
A
i&) *5/i&) *50
An&%lo (e (os re7'as6ID >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
i es uno de los planos de pro+eccin* + B+ C son las tra&aUs de las rectas con el plano* a%ati(os so%re a el plano %ati(os entonces A so%re A + se (ide el ngulo ; I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
159/334
r
t
s
s
hJ1v
v1ahJ
h1> B%
i&) *51
u solucin en el depurado es as9 I%ati(os A so%re )
161
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
# Las uniones de B + C con >* nos dan las rectas a%atidas + por lo tanto el ngulo de ellas;
:? Las re7'as se 7r%!an6
i en el caso anterior las rectas
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
160/334
A
B
C
RS
T
i&) *52
1K e halla la interseccin > con el plano (ediante un au6iliar pro+ectante vertical por la recta R;
2K $ro+ecta(os un punto cual.uiera B de R so%re el plano dado* por la recta + halla(os su interseccin con el plano* para locual por se pasa un pro+ectante hori&ontal *.ue se corta con KK seg4n la recta 1H1; La interseccin de v1h1 con s nos da el
punto C %uscado; La pro+eccin de R so%re es pues la unin de > + Cen a7 . a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
161/334
r
h
%
s
c
h#
vJ#
a
th1
h/
i&) *541
la %ni8n (e h, F h/ F h0" 'ra!as ver'i7ales $ hori!on'ales respe7'ivamen'e (e las re7'as R" S" $ T)
#K o%re la charnela* a%atir el punto a . aBC I entre las rectas + Ipro+eccin de so%re?)
163
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
An&%lo (e (os planos6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
162/334
>l igual .ue el caso anterior* va(os a solucionar el pro%le(a paso a paso;
1K Hallar la recta de interseccin de a(%os planos* .ue es la =* u%icando sus tra&as h . h< . v . vB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
R es la recta; $ara (edir su ngulo con el hori&ontal de pro+eccin* %asta a%atir su pro+ectante hori&ontal;
vJh
rJ a
JvJ1
rJ
vJ1
H
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
163/334
v hJ
r
a
v1
>
%B
Cc i&) *5
rJv hJ
r h
H
i&) *I
vJ
vhJ
h
rJ
r
H
i&) *I*
?l punto h est en la charnela- %asta a%atir su tra&a vert ical en W1 + (edir ;
Del (is(o (odo para ver su ngulo con el vertical de pro+eccin* un pro+ectante vertical ; v es D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a(%i:n se puede girar directa(ente so%re su e,e vertical I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
164/334
vhJ
h
v 1
v1hJ1
h1
H
i&) *I,
%s:rvese .ue los lados del rectil9neo del diedro son precisa(ente la recta de (6i(a pendiente AB* con lo .ue el caso se
reduce al anterior* es decir %uscar el ngulo .ue
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
165/334
167
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
166/334
XUINTA UNIDAD
168
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
*). CAMBIO DE PLANOS
?l ca(%io de planos es un su%ter
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
167/334
H + Vson los planos de pro+eccin; 3n punto A del espacio se pro+ecta so%re a(%os en a +a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
168/334
L
T
aa1
aJ1
HH1
L*
T*
aa1
L
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
169/334
i el ca(%io
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
170/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
La regla a seguir para esta conversin esA
Para hallar las n%evas 'ra!as (e %n plano < . al ha7er %n 7am:io (e plano ver'i7al" se 7olo7a a la 'ra!a hori!on'al =%e no var;a" s% n%eva le'ra *" $ se hallan las n%evas pro$e77iones o* . o
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
171/334
173
L aJ
aa1
%%1
LJ1
8J1
%J%J2
aJ1aJ2
L2
i&) *II
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
V
OoJoJ1
V*
8J1
oJ
oJ1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
172/334
?ste procedi(iento no puede aplicarse en los casos en .ue no se corten las l9neas de tierra en el di%u,o;
2K Las l;neas (e 'ierra no se 7or'an en el (i:%o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
1
oJoJ1
1
rJ
vJ rJ
h
1
rJ1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
173/334
HH1
1
LJ18J1
oo1
v1
vJ1h h
r
rJ1
rr1
L
LJ1
8J1v
rr1
h
hvJ1
v1
i&) ,, i&) ,/
Para hallar las n%evas 'ra!as (e %n plano al ee7'%arse %n 7am:io (e plano ver'i7al" se 7olo7a a la 'ra!a hori!on'al
=%e no var;a" s% n%eva le'ra * " $ se 'ra!a %na hori!on'al 7%al=%iera r . r< (el plano (a(o se halla l%e&o las n%evas
175
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
pro$e77iones r* . r
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
174/334
L1o
o1
1
i&) ,0
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
175/334
?sta ve& las pro+ecciones verticales .uedan D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
hJ
vJ1
vJ
hJ1v1L
8J1
oJ
o
oJ1
1
%J
cJaJ
%%1
%J1%J2
L2
%2IB)
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
176/334
h
h1
LJ1
1
cc1
aa1cJ1cJ2
aJ1aJ2
L2
a2I>)
c2IC)
i&) ,2
178
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
,). GIROS
i un punto gira alrededor de un e,e E* descri%e una circun
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
177/334
c) cunto gira
odos los giros se e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
178/334
>
e
a/
a1a2 ai&) ,4
i&) ,5
> (edida .ue el punto gira* va deter(inando una circun
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
179/334
e
h
rs
h1
e
a
r
c
a1
%
%1
c1
r1
i&) ,i&) ,*
181
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
1K La re7'a 7or'a al ee6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
180/334
#K $ara hallar la pro+eccin vertical* to(ar un punto cual.uiera : . :< + la gira(os hasta u%icar :
eJ
< J
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
181/334
ei&) ,** h2
h
c
1
c1
a1
%1
c2 C
a2 A
%2 Bi&) ,*,
1K $or un e,e vertical e . e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
182/334
T* hori&ontal .ue contiene los puntos E + 3;
U*
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
183/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
vJ1
vJ
v1v oJ
o
hJ1
a
aJ
p
pJ
cJvJ2
v2
e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
184/334
h1
1
B
> ? C
D
=
$
pc2 d
gi
i&) ,*0
- Levanta(os la recta .ue contiene los puntos A + C* .ue por pasar por P* %asta con levantar su tra&a vertical V*B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
hJv
vJ1
v1 hJ 2
tJ
rJsJ
aa1%J
cJ
cc1
dJ
< J
L
8J1
1
%J
1
cJ1dJ1
< J1
8J1
a2I>)
c2IC)
d2ID)
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
185/334
1
hvJ
h2 t
s
r
dd1
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Las pro+ecciones de la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
186/334
$or perpendiculares a LC3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
vhJ
vJ
rJ
sJ vJ1
v1
aJ
%J
%
cJ
c
dJ
d
hJ2
h2
tJ
t
< J
g
J
g C
?
D
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
189/334
Desde cada una de las pro+ecciones hori&ontales a* %* c* d* e* .ue sern coincidentes con a1* %1* c1* d1* e1* se tra&anperpendiculares a L1 1* hasta alcan&ar 1* encontrando en ella a1* %1* c1* d1* e1;
e hace un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* paralelo a 1* la L2 2;
?l plano se convirti en hori&ontal* paralelo a 2* coincidente con 1;
Desde las pro+ecciones a1* %1* c1* d1* e1* se tra&an perpendiculares a la nueva l9nea de tierra L2 2* llevando a :stas losale,a(ientos .ue ten9an a1* %1* c1* d1* e1* respecto de su l9nea de tierra L1 1;
?stos puntos as9 o%tenidos* sern los puntos >2* B2* C2* D2* ?2* v:rtices de la D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
oJeJ
%JcJ
hJ1
hJ
rJ
v
dJ
aJ
sJ
vJ t J
L
aa1
18
J1
aJ1dJ
1
eJ1
82
d
2D
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
190/334
o de
s
h
r
t
1
cc1
d1%%1
a a1
h1
LJ1
%J1
cJ1
e 1
L2
a2>
%2B
c2C
e2?
i&) ,*5
192
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
hJ
oJ
Lv
rJ
cJ%J
eJ
vJ
sJ
aJ
dJ
8
t J
B
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
191/334
Ci&),*
h1
a
%
c
r
h
hJ1
edo
t
s
1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
192/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
193/334
195
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
194/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
o7'ae(ro I8 caras)
(o(e7ae(ro I12 caras)
i7osae(ro I20 caras)
Las radiales se dividen en cnicas I pir(ide + cono )* + cil9ndricas I cilindro + pris(a );
?l grupo de las super
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
195/334
Plano normal6 e dice .ue una recta es nor(al a una super
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
196/334
i&) ,,6 Es7o7ia i&) ,,*6 Comp%es'a i&) ,,,
198
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
>
C
HD
?
?
>
D
C
B
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
197/334
Bi&) ,,/
B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
i& ,,2 i& ,,4 i& ,,5
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
198/334
i&) ,,2 i&) ,,4 i&) ,,5
Polie(ros6 ?s un cuerpo li(itado po r superB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Los poliedros regulares son cincoA I tienen todas sus caras + ngulos iguales ) 'e'rae(ro" eJae(ro" o7'ae(ro" (o(e7ae(ro" ei7osae(ro) odos ellos pueden ser circunscritos en una es
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
199/334
S
Co(o sus caras son paralelas* las pro+ecciones de sus lados opuestos de%ern ser paralelas* al igual .ue las %ases + aristas; I D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a
%
%1
aJ eJ%J
dJ cJ
aJ1 eJ1 %J1dJ1cJ1
v J
hJ
v
s J
v1
s
v J1
t J
r J
t
hJ2
h2
r
aJ%J
cJ dJ
eJ
< J
ac d
e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
200/334
c
de a1
%1
c1
d1e1i&) ,,
h
h2%
c d
6
e1
i&) ,/
2K $ara hallar las pro+ecciones del pris(a* tra&a(os tres rectasA una o%l9cua r F r" =%e 7on'iene los p%n'os ( F e" la
hori&ontal s F s *con los puntos % O e* + la D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
#K irar luego e . J alrededor de un e,e vertical .ue pasa por e F e* hasta convertirla en
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
201/334
h
vJr
>
B
C
D
a
%
h1
d
c
6
61
611
%1
a1
c1
d1
i&) ,/ a
Cons'r%ir %n eJae(ro >7%:o? (e la(o l" el mismo =%e se en7%en'ra apo$a(o en %n plano o:l;7%o
?s un caso id:ntico al e,ercicio anterior* slo .ue ha+ .ue tener en cuenta .ue al colocar la verdadera (agnitud de la altura* :sta serigual al lado del cuadrado de la %ase* por ser todas las aristas iguales por ser un poliedro regular; ID >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma por %n plano =%e lo 7or'e6
$ara hallar la interseccin de un plano con un pris(a* %asta hallar la interseccin con sus aristas; I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
202/334
2K $or la arista 7 . (* prolongando hasta la tra&a * se u%ica H* .ue unido con * . * * nos da 2. , ;
/K $rolongando ( . e* u%ica(os el punto H2 + con :l* / . /
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
203/334
B
2
/
#
d e
R
i&) ,/*
S
T
d
e
a1
%1
c1
d1e1
1
h HH1
2H2
H/
/
H2
1
1
2
#
@
i&) ,/,
Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma o:l;7%o por %n plano (e 7an'o6
Co(o el caso es el de un pro+ectante vertical* sus intersecciones con la tra&a vert ical son las cotas con cada arista* .ue luegose reB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a %
c
d
e
aJ eJ %JcJ dJ
aJ1eJ1%J1 cJ1 dJ1
1
c1%1
1J2J /J
#J @J
1
#
/a
e
d
%
aJ %J
e
J cJ
dJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
204/334
a1
e1
d1
1
2
@
i&) ,//
c%
i&) ,/0
Se77i8n pro(%7i(a en %n prisma re7'o por %n plano (e 7an'o6 I B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a
>
%
B
J
H
'
(J
a% c
aJ eJ %J dJ cJ
aJ1eJ1%J1 dJ1 cJ1
rJ
hJhJ1
h1
gJ
6JJ
6J +J
1J
2J
sJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
205/334
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
206/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
e trata de un pris(a o%l9cuo cortado por la recta r . r
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
207/334
?n el plano * (ediante rectas hori&ontales hace(os contener la %ase de una pir(ide a : 7 ( . a< :< 7< (C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
v J
h J v
C
N B
c
%
c J %J
h1
hJ1
n
nJ
d
o
d J
oJ
6 J
61
6J1'
'
aJ1aJ
a
a1
vJ
vhJ
h
rJ
r
>B
aJ
%J
a
% 1
vJ1
v1
co
cJoJ
h2
hJ2
d
dJ
6J
6J1
61
oJ21oJ2
oJ11 oJ1
o21o11
o1
o2
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
208/334
hC
D 6i&) ,0
h
o1
o2
C D
6
i&) ,0*
@K $ara u%icar el cuarto v:rtice* levanta(os la altura desde o . oB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Cons'r%77i8n (e %n o7'ae(ro" 7%$a :ase 7%(ra(a es' 7on'eni(a en el plano I trav:s de los procedi(ientos aplicados en re%ati(ientos* pri(ero deter(ina(os la %ase cuadrada del octaedro* apo+ada en elplano hori&ontal;
3na ve& a%atido el plano* deter(ina(os el centro Odel cuadrado* en la diagonal so%re la re7ta B F V*" + luego laconstruccin de dicho cuadrado
por la aplicacin
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
209/334
misma =%e so:re %n ee ima&inario ver'i7al" (es(e o F o" la &iramos has'a 7onver'irla en ron'al" es'an(o en O[ la al'%ra en ver(a(erama&ni'%()
La altura en verdadera (agnitud del octaedro* se ve so%re la pro+eccin hori&ontal > AD" o BC ?; $ara ello* esteseg(ento es llevado a O[* deter(in(ando o* @ o," los (is(os .ue por giro inverso* lleva(os a las pro+ecciones de la recta O[*encontrando o* $ o,* pro+ecciones de las c4spides opuestas* las (is(as .ue per(itirn ver la pro+eccin de la B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
hJv
vJ
d
dJ
(
e
eJ
c o%
a
cJ
%JaJ
v
vJ
a
%c
de
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
210/334
h
n
c o
pi&) ,0,
%i&) ,0/
vc
d e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
211/334
CONO
uper
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
212/334
% H
i&) ,01
a
d
e
vr
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
CJ
C
D
a n
d
(%
c o
cJ aJ%JoJnJ(J
dJ
vJ
v i&) ,05
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
213/334
D (%
i&) ,04
Represen'a7i8n (el 7onoA I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
214/334
' . ' a la %ase del cono;
2K ?l plano tangente es el deter(inado por la generatri& v : . v< :B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
rJ vJ cJ
c
v
r
o
oJ
%
%J t J
t
aJ
a
i&) ,0
cn
v
d
%1
%2
cJnJ %JdJ
vJ
(J
(
aJ
a
i&) ,1
vJcJ
c
vJ
o%
%JhJ
h
r
rJ
oJaJ
a
i&) ,1*
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
215/334
#K ?l plano tangente est deter(inado por la tangente h : . h< :
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
216/334
i&) ,1/
Se77iones planas (el 7ono6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
217/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
1
2/
#
o
MJ
aJ
M a
HJ
vJ
v
%J
%
< J
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
218/334
@ !c
i&) ,10i&) ,11
In'erse77i8n (e re7'a $ 7ono6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
219/334
vr
h i&) ,12
CILINDRO
iene a ser un cono cu+o v:rtice se encuentra en el inD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Represen'a7i8n6
upong(oslo apo+ado en el plano hori&ontal; I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
220/334
Plano 'an&en'e6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
221/334
( d
a n
cMM1i&) ,14
Apli7a7i8n al sis'ema (i(ri7o en el (ep%ra(o6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
222/334
%a
h
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
223/334
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
224/334
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
225/334
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
226/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
ea o . o< el centro de la es
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
227/334
a (c o
d
%
n
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
i la pro+eccin vertical 7< de un punto de la es
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
228/334
r i&) ,21 r ( n
i conoce(os la pro+eccin hori&ontal (" situada en la circun
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
229/334
tra&ado de :sta* siguiendo el procedi(iento indicado en la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
230/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
por la arista d d- a(%os planos al cortarse* nos dan una recta de interseccin v h* .ue deter(ina el punto 1 en la interseccin de :stacon la arista d;
> partir del punto 1 o%tenido en el paso anterior* se procede a %uscar el segundo 2* para lo .ue prolonga(os la arista d e hasta latra&a hori&ontal " en donde (arca(os el punto I tra&a hori&ontal de dicha recta )* el (is(o .ue unido al punto 1 de la arista d* nosper(ite encontrar el 2 en la arista e;
i(ilar procedi(iento hace(os con la arista de la %ase e
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
231/334
la interseccin de las tra&as del plano con la l9nea de tierra* hasta cortar la perpendicular (encionada* .ue es por dondeto(ar la direccin la tra&a vertical a%atida del plano desde la interseccin antes (enciolnada;
Co(o las tra&as hori&ontales de las rectas .ue deter(inaron la
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
232/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Co(o pri(era (edida* de%ido a .ue el pris(a es de las (is(as caracter9sticas .ue las del e,ercicio anterior* aplicando la le+ deal ser el ca(%io de plano* hori&ontal* son las pro+ecciones verticales las .ue no ca(%ian de no(%re Islo de su%9ndice)* por lo .uedesde ellas se tra&an perpendiculares a la nueva l9nea de tierra* hasta cortar a la nueva tra&a hori&ontal ** en donde se encontrarnlas nuevas pro+ecciones verticales de la seccin resultante en el corte del pris(a por el plano o%licuo;
'ediante un segundo ca(%io de plano I verticalA L2 2 )* paralelo a la tra&a hori&ontal ** o%tendre(os las pro+ecciones
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
233/334
Co(o en los dos e,ercicios anteriores* pri(ero conseguire(os la seccin deter(inada en el pris(a por el plano secante . * la(is(a .ue est deter(inada por los v:rtices encontrados + deno(inados por los n4(eros 1 1* 2 2* / /* # #* @ @ + ! !;
'ediante un pri(er giro* converti(os al plano en pro+ectante vertical* para lo .ue utili&are(os un e,e vertical e2 e2* .ue se cortarpara el eB=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
/J
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
234/334
e1
D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
0
o
h
%
1
e
2
/< B
@
!
d
c
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
235/334
e1
%1
a1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
236/334
La prolongacin de la arista c d* de la %ase* corta a la tra&a hori&ontal * del plano* en el punto * .ue unido con el punto 1 de laarista levantada por c* deter(inar el segundo punto* el 2;
$rolongando la arista d e hasta la tra&a hori&ontal del plano* encontra(os $* .ue unido con 2* deter(inar el tercer punto de laseccin* el /;
La prolongacin de la arista a e de la %ase* encuentra a la tra&a hori&ontal del plano* en el punto * desde donde uni(os con el /*prolongando hasta la arista .ue pasa por a* hallando as9 el cuarto punto * el #;
238
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
a
aJ
%
%J
c
cJ
d
dJ
e
eJ
oJ
o
vJ
v
hJ
1J
1
2J
2
$
/J
/
#J
#
@J
@
/
0
1
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
237/334
h
* ,
C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
?l .uinto punto de la interseccin se encuentra a partir de la prolongacin de la arista a %* hasta la tra&a hori&ontal en el punto *desde donde uniendo con el punto #* de la (is(a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
238/334
deter(inando de esta B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
'ediante un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* coloca(os la nueva l9nea de tierra L2 2* paralela a la tra&a 'ediante un segundo ca(%io de plano* esta ve& hori&ontal* coloca(os la nueva l9nea de tierra L2 2* paralela a la tra&averticalvertical ** tra&ando perpendiculares desde los puntos alineados so%re esta tra&a vertical* + llevando a ellas el ale,a(iento deltra&ando perpendiculares desde los puntos alineados so%re esta tra&a vertical* + llevando a ellas el ale,a(iento delsegundo estado* encontrare(os so%re L2 2* la verdadera (agnitud de la seccinsegundo estado* encontrare(os so%re L2 2* la verdadera (agnitud de la seccin *" ," /" 0" 1)*" ," /" 0" 1)
2). En7on'rar la ver(a(era ma&ni'%( (e la se77i8n (e %na pirmi(e heJa&onal" apo$a(a so:re el plano hori!on'al" 7or'a(a por%n plano o:li7%o" %'ili!an(o el pro7e(imien'o (e &iros) > i&) VM2 ?
$ri(ero .ue nada* al igual .ue en los e,ercicios precedentes* tendre(os .ue encontrar la seccin producida en la pir(ide por el
plano o%licuo . * utili&ando para ello la le+ de a
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
239/334
Desde estas 4lti(as* %a,a(os perpendiculares a la l9nea de tierra* hasta encontrar las paralelas a la l9nea de tierra tra&adas desde laspro+ecciones hori&ontales giradas en el paso anterior;
?n estas intersecciones estarn las posiciones de la seccin de la pir(ide vista en verdadera (agnitud* * . , . / . 0 . 1 . 2)
241
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
vJ
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
240/334
L
*
1
,
0
/
242
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
$
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
241/334
L
oo
J
INTERSECCION DE SUPER3ICIES
243
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
$ara poder encontrar la interseccin de dos super
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
242/334
?n el e,e(plo presentado* un cilindro corta parcial(ente a un pris(a* vi:ndose .ue algunas generatrices I la del arco [+\ )* sone6teriores al pris(a* + viceversa; La curva de interseccin [PN+\MG[* est C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
( 6
+n
i&) ,25
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
243/334
La R*.ue es tangente a C*en la %ase* en D* corta a la %ase en 4+ ** + la R0 .ue es tangente a C** en 0* corta a la %ase C= en > + N;inal(ente la R1* tangente a la %ase del C** en O* .ue es e6terior a la %ase del C*;
$or D* tra&a(os una arista del C** la .ue se cortar con las aristas tra&adas por * + 4 de C,* en D* + D4;
$or C + E* de C** se reali&ar la (is(a operacin* cortando en C2 . C,* + E2 . E,* a las aristas levantadas por 2 + ,"de C,;
245
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
244/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
D
?
'
N
1 2
/
#
@
!G
D1
?2 '
/
N#
C2 B
/
>#
B@
>#
C!DG
?!
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
245/334
1
2
/
#
@
>BC
D
247
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
B
C
D ?
'
F
$
N
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
246/334
,). Pene'ra7i8n
e entiende por penetracin el hecho de .ue un cuerpo atrviesa co(pleta(ente a otro* B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Eemplo (e apli7a7i8n N *6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
247/334
La recta R/corta en / + 4 a la %ase del C, + en 3 + O a la del C*)
Las paralelas por ellos a sus respectivas aristas* lo hacen en 3/* O/* + en 34 + O4)
?n G0* P0* + G2* P2* encontra(os las intersecciones de las paralelas a sus respectivas aristas;
inal(ente R1 .ue es la tangente a la %ase del C,* corta a la del C* en H+X;
?stos puntos se reD >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
12
/#
@
C1C2
12/
#@
!
G8
'N$
F H?
D
D1 ?2
/#
H@!
G?8
'1N2/$#
F@$!G
N8
i&) ,4,
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
248/334
D*.E,.3/.G0.34.E5* ser la curva de penetracin del cilindro C,* en el cilindro C*;
M*.N,.O/.P0.X1.P2.O4.H5* ser la curva de salida del cilindro C,en el C1;
250
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
Eemplo (e apli7a7i8n N ,6 I
B
CD
?
1
2
/
@
!
G
1
2
?/
D#C#
B@
>!
G
!
?@
B/
>2
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
249/334
#
i&) ,4/
ene(os el caso de un pris(a triangular* .ue m%er(ea otro trape&oidal* .ue presenta si(ilitud con el caso anterior* + .ue por
tanto* se sigue en :l los (is(os pasos La recta R** corta a la %ase del P, en los puntos * + 4* + es tangente a la %ase del pris(a ** en el puntoG;
251
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
$asando por el punto*paralelas a sus aristas laterales* se corta a la arista .ue arranca en Gdel pris(a** en los puntos G* + G4)
Haciendo lo (is(o con la recta R,* por los puntos,+2* se corta a las aristas porA* en A,+ A2* + a la paralela por 3 a sus aristaslaterales* en3, + 32;
=de( por R/* encontra(os B/" B1* +E/" E1;
$or 4lti(o con la R0* encontra(osC0+ D0;
inal(ente uniendo ordenada(ente los puntos* se o%tiene la seccin G* . A, . B/ . C0. B1 . A2 . G4 . 32 . E1 . D0 . E/. 3, . G*;
/). Pene'ra7i8n 'an&en7ial
?s el caso en el .ue las rectas au6iliares de los tra&os au6iliares* son tangentes a una de las super
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
250/334
Las rectesR,+ R1* tangentes a la %ase del cono* se encuentran en[;
. La con,uncin de las generatrices del cono I* a 5)* se encuentra en O** .ue al unirse con [* es paralela a las aristas del cilindro;
252
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
251/334
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
252/334
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
La unin sucesiva de los puntos de interseccin da la seccin E1 . 32 . G4 . H5 . +* . H, . G/ . 30 . E1 . D2 . C4 . B5 . A*
. B, . C/ . D0 . E1)
0). Pene'ra7i8n mJima6 I
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
253/334
De la (is(a (anera con la recta R0* encontra(os D1 . D + H0 F H;
Con R1* a trav:s de ! + 8* se encuentran E2 F E5 + G1 . G;
R2 al cortar a la %ase del O* en 4* + a la del O, en 3* deter(inan los puntos Gen las elipses seccin;
La unin sucesiva de los puntos deter(inados* nos per(ite encontrar las dos elipses seccinA A* . B** . C* . D F E5 F 34 FG2 . H2 . H1 . M0 . N/ . A, " por un lado* +A A, F B/ F C0 F D1 FE2 F 34 F G5 F H F M* . N** . A** por otro;
255
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
$
>
D
C
B
?
d
7/24/2019 Arq. Hugo Durn Canelas Geometra Descriptiva
254/334
i&) ,42
256
3N=?=D>D >B=?L ?N? '?N --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.---
>C3L>DAC=?NC=> ?>C> E ?CNL=>
1
2
/
@
2
/
Top Related