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ARMÓNICOS

MODELADO Y SIMULACIÓN DE

ARMÓNICOS

MODELADO Y SIMULACIÓN

MODELADO DE FUENTES ARMÓNICAS:

•Fuentes no lineales de tensión y corriente:

Transformadores, lámparas, hornos de arco, etc.

•Compensadores estáticos:

Alta tensión

•Conversores de potencia trifásicos estáticos:

Alta tensión y controladores de velocidad de DC y AC

•Conversores de potencia estáticos monofásicos:

Fuentes de equipos electrónicos

MODELADO Y SIMULACIÓN

RED DE ALTA TENSIÓN

La alternativa más simple es partir de los datos de Potencia de

CortoCircuito:

A partir de ello:

11

33

3

3

IVS

IVS

sis

sis

01

1

1

3

2

3

ZZ

VI

Z

VI

1

1

0

3

21

23

ZI

VZ

I

VZZ

RED DE ALTA

TENSIÓN SISTEMA A

ANALIZAR

MODELOS: RED DE ALTA TENSIÓN

Ejemplo:En una barra de 300kV se conoce Icc3=8,9kA, Icc1=8,1kA,

X/R3=9,1 y X/R1=9,3. Cuanto vale Z1(h) y Z0(h)????

Con lo cual:

º86,83)/(

º73,83)/(

1

1

1

3

1

3

RXtg

RXtg

kAI

kAI

86,831,8

73,839,8

1

3

MVAIVS

MVAIVS

sis

sis

º86,839,42083

º73,836,46243

*

11

*

33

093,25607,23

345,19126,2

12

2

0

*

3

2

1

jZS

VZ

jS

VZ

sis

sis

sis

hjhZ

hjhZhZsis

345,19126,2)(

093,25607,2)()(

1

0

MODELOS: LINEAS Y CABLES

1

2ln

p

pD

skX

Reactancia de un conductor:

Reactancia entre dos conductores:

/unidad de longitud

= 2f,

k = 0,2x10-3 si la unidad de longitud es el km,

s es la longitud del conductor

Ds = r.e-(1/4) Radio Medio Geométrico (RMG), con r siendo el radio del

conductor,

Dm = es la Distancia Media Geométrica entre los conductores.

1

2ln

m

mD

skX


bbz

aaz

ccz

ddz

a

b

c

Va

Vb

Vd=0

Ib

Ia

Ic

adz

bdz

cdz

a`

b`

c`

acz

bcz

abz

d d`

Vc


cbad IIII

d

c

b

a

ddcdbdad

cdccbcac

bdbcbbab

adacabaa

dd

cc

bb

aa

dd

cc

bb

aa

I

I

I

I

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

VV

VV

VV

VV

V

V

V

V

'

'

'

'

'

'

'

'


cacbabaaaa IzIzIzV

0

,0

,0

,0

''

''

''

d

dc

db

da

V

VV

VV

VV

cddcdadac

bddbdadabaddadaadaa

Izzzz

IzzzzIzzzVVV

2''


donde:

y

c

b

a

ccbcac

bcbbab

acabaa

c

b

a

I

I

I

zzz

zzz

zzz

V

V

V

1

2ln1

2ln21

2ln

sd

d

adsa

aaaD

skjr

D

skj

D

skjrz

ab

e

dabD

Dkjrz ln


la resistencia de la tierra, rd ,

/km

Si Dsd=1

Por esta razón se define

frd

410.869,9

1lnln

22

sa

ad

sdsa

ad

D

D

DD

D

sd

ad

eD

DD

2


A partir de esto se puede escribir:

Y se ha encontrado que:

m

es la resistividad del terreno en (m) y,

f es la frecuencia (Hz)

sa

e

daaaD

Dkjrrz ln

fDe

5,658


A partir de esto se puede escribir:

d

abc

DC

BA

d

abc

ddcdbdad

cdccbcac

bdbcbbab

adacabaa

dd

cc

bb

aa

dd

cc

bb

aa

I

I

ZZ

ZZ

V

V

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

VV

VV

VV

VV

V

V

V

V

'

'

'

'

'

'

'

'

abcabcabc

CDBAabc

dDabcCd

dBabcAabc

IZV

ZZZZZ

IZIZV

IZIZV

1

0


Incremento de la resistencia por efecto skin:

Modelos

Efecto skin:

2

2

518,0192

646,01

h

hRR

MODELOS: TRANSFORMADORES

Modelo general:

Rm: Pérdidas en el núcleo, resistencia constante

Ri y Li: Resistencia e inductancia de dispersión del bobinado i

Rpi: representa la resistencia e inductancia de cortocircuito dependiente de

la frecuencia

Im: Fuente de corriente armónica (corriente magnetizante)

N1 N2

L1 R1

RP1

L2 R2

RP2

Rm

Im


A)

B)

jhX50

80X50

R jhX50

R=0,1026 k h X50 (J + h),

J es la relación entre pérdidas por

histéresis y por parásitas (en general 3),

k=1 / ( J + 1 )

En algunos casos se toma un 80% de los

valores de R y X de 50Hz


CONSIDERACIONES GENERALES:

•En general la fuente de corriente originada en la corriente

de magnetización puede despreciarse

•Desplazamiento de fase en tensión y corriente en el

transformador (tipo de conexión)

• Circuitos de secuencia

•El acoplamiento capacitivo entre bobinados y entre

bobinado y tierra


BOBINADOS CONECTADOS EN Y:

BOBINADOS CONECTADOS EN :

º303,º303,0

)º30º30(3

º120º120(

)(

22110

210

21

210210

210210

aabaabab

abababab

aaab

aaaaaaab

bbbaaabaab

VVVVV

VVVV

VVV

VVVVVVV

VVVVVVVVV

º303,º303,0

)º30º30(3

)º120º120(

)(

22110

210

21

210210

210210

abaabaa

aaaa

ababa

ababababababa

cacacaabababcaaba

IIIII

IIII

III

IIIIIII

IIIIIIIII


CORRIENTES Y TENSIONES A TRAVÉS DE TRANSFORMADORES

Transformadores Yd1, corrientes en el secundario:

º301

º901

º1501

º3011

1

110

011

101

3

1

110

011

101

3

1

110

011

101

2

ABCabc

c

b

a

abc

c

b

a

abc

C

B

A

c

b

a

abc

ac

cb

ba

c

b

a

abc

II

I

I

I

I

I

I

a

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I



Transformadores Yd1, tensiones en el primario:

º301

º1501

º901

º3011

1

101

110

011

3

1

101

110

011

3

1

3

1

2

abc

C

B

A

ABC

C

B

A

ABC

c

b

a

C

B

A

ABC

ca

bc

ab

C

B

A

ABC

VV

V

V

V

V

V

a

a

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V



Transformadores Dy1, tensiones en el secundario:

º30

º901

º1501

º301

1

110

011

101

3

110

011

101

3

3

2

ABC

c

b

a

abc

c

b

a

abc

C

B

A

c

b

a

abc

CB

BC

AC

c

b

a

abc

VV

V

V

V

V

V

a

a

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V



Transformadores Dy1, corrientes en el primario:

º30

º1501

º901

º301

1

110

011

101

3

110

011

101

3

110

011

101

2

abc

C

B

A

ABC

C

B

A

ABC

c

b

a

C

B

A

ABC

CB

BA

AC

C

B

A

ABC

II

I

I

I

I

I

a

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I



En general las corrientes y tensiones entre el primario y secundario para

transformadores Y-, -Y, Z-Y y Y-Z se relacionan mediante:

es la relación de transformación entre las tensiones de línea

primario/secundario,

es la división de fases

n es el número de grupo de conexión 1,3,5,7,9 y 11

º30.

.

.1

.1

.

n

II

II

VV

VV

abcABC

ABCabc

abcABC

ABCabc



En término de las matrices de transmisión:

De manera más general:

abcABC

ABCabc

abcABC

ABCabc

ITI

ITI

VTV

VTV

..

..1

..1

..

n PT TP

1 T TT

3 T-TT

TT-T

5 -TT

-T

7 -T -TT

9 TT-T T-T

T

11 TT

T

110

011

101

3

1T

MODELOS: MÁQUINAS ROTANTES

MODELO DE GENERADOR:

ES CLARO QUE LOS PARAMETROS DE REACTANCIA A

FRECUENCIAS ARMÓNICAS NO TIENEN NADA QUE VER CON LOS

PARAMETROS DE REACTANCIA SÍNCRONA

Existen distintos planteamientos respectos del valor de la reactancia para

frecuencias armónicas:

X=1/2(Xd´´+ Xq

´´)=X2

Experimentalmente se observa una disminución de la reactancia a medida

que se incrementa la frecuencia (el monto de flujo que penetra en el

estator sería menor). Se ven correcciones de 0,8 a 1000Hz.

Suele corregirse el valor de resistencia por efecto skin


MOTORES SÍNCRONOS

LA REACTANCIA ES TOMADA COMO LA REACTANCIA DE ROTOR

CALADO

EL VALOR DE LA RESISTENCIA SE VE CONSIDERABLEMENTE

AFECTADO POR EL EFECTO SKIN Y LAS PERDIDAS POR

CORRIENTES PARÁSITAS

Donde: h es el orden del armónico y a toma valores entre 0,5 y 1,5

LOS ESQUEMAS DE CONEXIÓN NORMAL DE ESTAS MÁQUINAS

HACEN QUE LAS MISMAS NO OFREZCAN UN CAMINO DE

CIRCULACIÓN PARA LAS CORRIENTES DE SECUENCIA CERO.

ahR


MOTORES ASÍNCRONOS:

Modelo equivalente monofásico simple

Se supone que la impedancia a cualquier armónico puede determinarse a partir

de la impedancia del motor en el arranque:

ZM=V2/(SM.(Iam/Inm)), (Iam/Inm)=corriente de arranque/corriente nominal

Un motor de 45 MVA, Vn=22kV, con una corriente de arranque 5 veces la

nominal y X/R = 10:

ZM = 2,15; XM =2,05 y RM=0,205

ZM(h) = 0,205 + j2,05h



Donde:

RS XS

RM XM

R`r X`

r

((1-s)R’r)/s

mm

mmm

rr

r

SSS

jXR

jXRZ

jXs

RsZ

jXRZ

.

``

)`(



Las impedancias de secuencia serán:

donde:

En forma matricial de impedancias y/o admitancias:

)`(

)`(.

)`(

)`(.

2

22

1

11

0

sZZ

sZZZZ

sZZ

sZZZZ

Z

rm

rmS

rm

rmS

sn

ns

n

ns

s

s

21

1

2

1

2

1

2

1

1

012012

2

1012

00

00

000

100

010

000

00

00

00

Y

Y

Z

ZZY

Z

ZZ



La matriz de admitancias de fase:

Despreciando Rm, la impedancia del motor a distintos armónicos será:

)(31

)(31

)(31

,..

21

2

2

2

2

11

21

21

12

21

1

012

aYYaY

YaaYY

YYY

YYY

YYY

YYY

AYAY

m

m

M

Mmm

mMm

mmM

abc

`)(`

``

.

)(

`)(`

``

.

)(

,

2

2

2

1

1

1

0

rmr

rr

m

SS

rmr

rr

m

SS

XXjhs

R

jhXs

RjhX

jhXRhZ

XXjhs

R

jhXs

RjhX

jhXRhZ

Z

S

S

hn

ns

hn

ns

1

1

2

1



Un motor 3; 50 Hz; 11kV; 3,2MW; 2970 rpm; 2 polos; Rs=0,253; Xs=3,73 ;

R’r=0,306;X’r=5,5; Rm=6840 y Xm=162.

Para determinar las impedancias de secuencia es necesario calcular los

desplazamientos de secuencia y el correspondiente Z’r:

4,885,55,5154,0``

)´(

º2,101,315,56,30``

)´(

º1,8674,373,3253,0

99,12

01,01

300060

2

2

1

1

12

1

jjXs

RsZ

jjXs

RsZ

jjXRZ

ss

n

ns

rpmp

fn

rr

r

rr

r

SSS

S

S



º5,871104,011,00048,0

1

º5,8705,905,94,0)`(

)`(.

º7,26032,00144,00286,01

º7,2618,31026,14856,27)`(

)`(.

º6,8895,1619,16183,3.

2

2

2

22

1

1

1

11

jZ

Y

jsZZ

sZZZZ

jZ

Y

jsZZ

sZZZZ

jjXR

jXRZ

rm

rmS

rm

rmS

mm

mmm



Por lo tanto la matriz de admitancias de fase será:

Donde:

º1,32026,00139,0022,0)(3

1

º3,1400432,00276,0033,0)(3

1

º75043,00415,00111,0)(3

1

21

2

2

2

2

11

21

jaYYaY

jYaaYY

jYYY

m

m

M

Mmm

mMm

mmM

abc

YYY

YYY

YYY

AYAY

21

12

21

1

012..



Si se desea calcular la impedancia al quinto armónico (Sec. Negativa):

º2,89249,45245,45595,0`

`.

º2,834,8047986,94.

º5,895,275,27255,0``

`

º2,8965,1865,18253,0

198,1.

1

2

2

jZZ

ZZZZ

jjhXR

jhXRZ

jjhXs

RZ

jjhXRZ

nh

ns

rm

rmS

mm

mmm

rr

r

SSS

S



Si se desea calcular la impedancia al séptimo armónico (Sec. Positiva):

º3,89346,63341,63789,0`

`.

º6,807,11187,110398,182.

º5,895,385,38536,0``

`

º4,8911,2611,26253,0

858,0.

1

1

1

jZZ

ZZZZ

jjhXR

jhXRZ

jjhXs

RZ

jjhXRZ

nh

ns

rm

rmS

mm

mmm

rr

r

SSS

S

MODELOS: CARGAS

Nature Type of Load Electrical

Characteristics

Domestic Incandescent

Lamp

Compact

Fluorescent

Small Motors

Computers

Home Electronics

Passive Resistive

Non-linear

Passive Inductive

Non-linear

Non-linear(*)

Commercial Incandescent

Lamp

Air Conditioner

Resistive Heater

Refrigeration

Washing Machine

Fluorescent Lamp

(Std)

ASDs

Fluorescent

(Electronics)

Computers

Other Electronic

Loads

Passive Resistive

Passive Inductive

Passive Resistive

Passive Inductive

Passive Inductive

Non-linear(*)

Non-linear(*)

Non-linear(*)

Non-linear(*)

Non-linear(*)

Small

industrial

Plants

(Low

Voltage)

Fan

Pump

Compressor

Resistive Heater

Arc Furnace

ASDs

Other Electronic

Loads

Passive Inductive

Passive Inductive

Passive Inductive

Passive Resistive

Non-linear(*)

Non-linear(*)

Non-linear(*)

MODELOS: CARGAS

MODELO 1.- SERIE

MODELO 2.- PARALELO

jhX

R

22

2

.QP

VPR

22

2

.QP

VQX

jhX R P

VR

2

Q

VX

2

MODELOS: CARGAS

MODELO 3.- SKIN

MODELO 4.- MOTORES DE INDUCCIÓN

Km es el factor de instalación

XM es el valor pu de la reactancia de rotor calado del

motor expresada en valores nominales del motor (≈0,15-

0,25)

K es la fracción de carga de motores

jhX(h) R(h)

Phm

VhR

).()(

2

Qhm

VhX

).()(

2

9,0.1,0)( hhm

jhX1 R2

Resistiva Motora PK

VR

.1

2

2

PKK

VXX

m

M..

.2

1

MODELOS: CARGAS

MODELO 5.- CIGRE-EDF

jhX1

R2

jhX2

Resistiva Motora

PK

VR

.1

2

2

22 .073,0 RX

74,0)(7,6..

2

1

tgPK

VX

P

Qtg )(

MODELOS: CARGAS

MODELO 6.- INCLUSIÓN DEL TRANSFORMADOR Y DEL

AMORTIGUAMIENTO DEL MOTOR

X1 y R2 como en el modelo 4

K3 factor de calidad efectivo del circuito de motor

(≈8)

R2

jhX2

Resistiva Motora

R1

jhX1

22 .1,0 RX

3

11

K

XR

MODELADO TRIFÁSICO O POR FASE????

El modelado trifásico se requiere cuando:

• Combinación de trafos estrella-estrella y/o triángulo-estrella

dominan la cancelación de armónicos

• Existen bancos de condensadores monofásicos o

desbalanceados

• Existen importantes corrientes residuales o de tierra

• Existe un desbalance significativo en las cargas

El modelo monofásico es suficiente cuando:

• La causa del estudio es una gran fuente armónica trifásica

• El sistema es claramente balanceado

• No existen corrientes de tierra

MODELADO DEL SISTEMA

SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN:


PLANTA INDUSTRIAL:


Cargas

lineales

Variadores de

velocidad

Motores

Iluminación

Sistema

Generación

propia

SISTEMAS DE TRANSMISIÓN:

Tres grandes diferencia con el sistema de distribución:

• Las reactancias capacitivas de las líneas son importantes (y

eventualmente de los trafos)

• La relación X/R es considerablemente mas alta en

transmisión

• Puede presentar varias alternativas de configuración


SISTEMAS DE TRANSMISIÓN:


Red local

Sistemas

remotos

Barra/s

crítica/s

Fuente/s

armónica/s

LOS MÁS CONOCIDOS:

• VARIACIÓN DE FRECUENCIA

• PENETRACIÓN ARMÓNICA

• FLUJO DE POTENCIA ARMÓNICO

Cualquiera de estas técnicas puede emplearse en un análisis por fase o

multifase y en cualquiera de ellas se emplea una matriz de admitancia

del módelo del sistema desarrollada de los componentes individuales y

de la topología del sistema.

MÉTODOS DE ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA

FRECUENCIA

La matriz de admitancias:


FRECUENCIA

+

-

+

-

I1 I2

V1 V2

)()()(

2

1

2221

1211

2

1

hVhYhI

VYI

V

V

yy

yy

I

I



FRECUENCIA

+

Va

+

Vb

+

Vc -

Ib Ib

Ic Ic

Ia Ia +

Va

+

Vb

+

Vc -

BUS I BUS J

Iabc(1

)

Iabc(2

) +

Vabc(2)

-

+

Vabc(1)

-

[Yshunt(1)]

[Yshunt(2)]

[Yseries(12)

]



FRECUENCIA

Red de N puertos Vi+

-

V1+

I1

Ii

VN+

Vj+

IN

Ij


o, matriz de impedancias:


FRECUENCIA

I

I

I

I

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

V

V

V

V

i

j

N

i j N

i ii ij iN

j ji jj jN

N Ni Nj NN

i

j

N

1 11 1 1 1

1

1

1

1

...

...

...

...

~

( ) ( )~

( )I h Y h V h

V

V

V

V

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

I

I

I

I

i

j

N

i j N

i ii ij iN

j ji jj jN

N Ni Nj NN

i

j

N

1 11 1 1 1

1

1

1

1

...

...

...

...

~( ) ( )

~( ) ( )

~( )V h Y h I h Z h I h

1

ANÁLISIS POR VARIACIÓN DE FRECUENCIA

El método caracteriza la respuesta de un sistema en función de

la frecuencia.

Es la solución repetida para cada frecuencia de interés de:


FRECUENCIA

I

I

I

I

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

V

V

V

V

i

j

N

i j N

i ii ij iN

j ji jj jN

N Ni Nj NN

i

j

N

1 11 1 1 1

1

1

1

1

...

...

...

...

ANÁLISIS POR VARIACIÓN DE FRECUENCIA (AVF)

“Calcula la respuesta en frecuencia de una red vista desde un

nudo o barra del sistema”

AVF por inyección de corriente:

Se inyecta un valor 1 (A o p.u.) en una barra y se determinan

las tensiones en los restantes nudos.

Esto significa resolver para los h=n.f0 la ecuación:


FRECUENCIA

~

( ) ( )~

( )I h Y h V h



La matriz Y contiene solamente modelos de elementos

lineales, por lo tanto es posible estimar la tensión armónica

que producirá esa corriente distorsionada en cualquier nudo

del sistema

Mediante la variación de h=n.f0 se obtiene una serie de

impedancia que cubren el espectro de frecuencias de interés


FRECUENCIA




FRECUENCIA



La figura anterior produce una buena indicación de

condiciones resonantes:

Resonancia paralelo alta impedancia al flujo de

corriente picos del plot

Resonancia serie baja impedancia al flujo de

corriente valles del plot


FRECUENCIA


AVF, función de transferencia de tensión:

En un nudo del sistema se conecta una tensión de 1 (V o p.u.)

Las tensiones resultantes representan las funciones de

transferencia resultante a todos los otros nudos en el sistema

De la misma manera puede analizarse tal respuesta en función

de la frecuencia


FRECUENCIA




FRECUENCIA



Para la figura anterior, un pico indica valores de frecuencia

para los cuales las tensiones pueden amplificarse y viceversa.

Ambos métodos son aplicables bajo los conceptos de redes de

secuencia o redes por fase bajo las consideraciones necesarias

sobre las matrices de admitancias.


FRECUENCIA

PENETRACIÓN ARMÓNICA

Su implementación es una “inyección de corriente” donde la

corriente inyectada es un vector vector espectral de corriente

de carga conocida:

1.- Formular la matriz de admitancia del sistema

incluyendo todas las fuentes y cargas lineales

2.- Construir el vector “inyector de corriente” de cada

carga no lineal

3.- Se resuelve, para determinar la tensión en cada barra

de la red, la ecuación:


FRECUENCIA

~( ) ( )

~( ) ( )

~( )V h Y h I h Z h I h

1


Se obtienen un conjunto de vectores de tensiones de distinta

frecuencia y para distintas barras.

En tales condiciones es posible reconstruir la forma de onda

en el dominio del tiempo o observarla como espectro:


FRECUENCIA


En general, para una única carga no lineal en un sistema puede

ser suficiente con considerar solo las magnitudes de cada

armónico

Si existen múltiples fuente de armónicos es necesario considerar

la fase de cada uno de ellos

En el mejor de los casos es necesario contemplar la tensión a

frecuencia fundamental en la barra donde se ubica la fuente

de corriente distorsionada:


FRECUENCIA

)( 11 espectroespectronn n

n, fase del armónico n en el sistema

n-espectro, fase del armónico n en el espectron, orden del armónico

1, fase de la fundamental en el sistema

1, fase de la fundamental en el espectro

FLUJO DE POTENCIA ARMÓNICA(FPA)

“Una combinación de inyección de corriente con flujo de

potencia tradicional”

Variante 1de FPA:

Se ejecuta un flujo de potencia tradicional a frecuencia

fundamental empleando un modelo lineal de los componentes

del sistema.

Las tensiones en las barras, resultados del paso anterior, se

emplean para “ajustar” los vectores de corriente de cargas no

lineales de manera “automática”.


FRECUENCIA

FLUJO DE POTENCIA ARMÓNICA(FPA)

Variante 2de FPA:

Los espectros de corrientes de cargas no lineales se representan

como:

El modelo de carga anterior y el modelo del sistema, en un

proceso iterativo, se vuelcan y resuelven sobre:


FRECUENCIA

~

( ) ( )~

( )I h Y h V h