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APUNTES DE TRIGONOMETRIA

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Mtro. Mario Silvino Ávila Sandoval

a

b

c

B

A

C

H

LEY DE COSENOS

Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde

C = C1 + C2

C1= B cos a y

C2= A cos b

C1

C2

Universidad Autónoma de Ciudad

Juárez

INDICE

1. TRIGONOMETRÍA_________________________________________________3

1.1. MEDIDA DE ÁNGULOS____________________________________________3

MEDIDA DE ÁNGULOS EN RADIANES._______________________________________5

EJERCICIOS___________________________________________________________________9

1.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES_____________________________________11

EJERCICIOS__________________________________________________________________12

1.3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS______________________________13

EJERCICIOS__________________________________________________________________15

1.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS_______________________________16

EJERCICIOS__________________________________________________________________16

1.5. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS____________17

FÓRMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS____________________________________20

FÓRMULAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES________________________________22

OTRAS IDENTIDADES_______________________________________________________24

EJERCICIOS__________________________________________________________________28

APÉNDICE A – LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS_________________________29

2

¨CURSO PROPEDÉUTICO PARA LA MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

1. TRIGONOMETRÍA

1.1. MEDIDA DE ÁNGULOS

Un ángulo está formado por la rotación de una semirrecta,

llamada rayo alrededor de su vértice. Un rayo k, llamado el lado

inicial del ángulo permanece fijo; un segundo rayo l, llamado el

lado Terminal del ángulo, comienza en la posición inicial y rota

alrededor del punto extremo común P en el plano, hasta que

alcanza su posición terminal. El punto extremo común P se

llama vértice. (figura 1).

Figura 1.

Podemos referirnos al ángulo de la figura 1 en cualquiera de las

siguientes formas:

Ángulo , q, Ángulo QPR, QPR, Ángulo P, P

No existe restricción respecto a la cantidad o la dirección de la

rotación sobre un determinado plano. Cuando el lado terminal

se hace rotar en sentido contrario a las manecillas del reloj, el

ángulo formado es positivo; cuando gira en el sentido de las

manecillas del reloj, el ángulo es negativo.

Un ángulo formado por una vuelta completa de un lado Terminal

en dirección contraria a las manecillas del reloj tiene una

medida de 360 grados, lo cual se escribe como 360º. Un ángulo

M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL3

de 1 º, se forma por de una vuelta, en dirección contraria a

las manecillas del reloj.

Un ángulo de 90º se llama recto y representa de vuelta

completa, mientras que un ángulo de 180º se llama ángulo

llano o colineal. Un ángulo agudo tiene una medida que va de

0º a 90º. Un ángulo obtuso ve de 90º a 180º.

Dos ángulos positivos son complementarios si la suma de sus

medidas es 90º; son suplementarios si la suma de sus medidas

es 180º.

ACTIVIDAD 1: Midiendo ángulos en Cabrí.

Un grado se divide usando notación decimal. Por ejemplo,

36.25º, representa un ángulo que mide 36 grados mas una

cuarta parte de grado. Un grado también puede dividirse en

minutos y segundos (igual que una hora). Cada grado se divide

en 60 partes iguales llamadas minutos (expresadas en ‘) y cada

minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos

(expresadas con ‘’). En consecuencia, 5º12’32’’ es una forma

abreviada de escribir 5 grados, 12 minutos y 32 segundos.

EJEMPLO 1: Convierta 12º6’23’’ a la forma de grados decimales.

SOLUCIÓN: Puesto que 6º = y 23’’ = , entonces:

12º6’23’’ = = 12.106º

4


EJEMPLO 2: Convierta 35.413º a la forma grados – minutos –

segundos.

35.413º = 35º (0.413•60)’

= 35º24.78’

= 35º24’(0.78•60)’’

= 35º24’47’’

MEDIDA DE ÁNGULOS EN RADIANES.

De igual forma en que se definió el ángulo correspondiente a

una vuelta completa del lado terminal con una medida de 360º;

podemos definirla también en radianes siendo la medida

equivalente de 2. Esto quiere decir que radianes

corresponde a 180º, radianes a 90º, etc.

EJEMPLO 3. Convierta 75º en radianes.

SOLUCIÓN: Podemos establecer la siguiente relación:

Por otro lado, podemos hacer una conversión inversa:


EJEMPLO 4: Convierta radianes a su equivalente en grados.

SOLUCIÓN: Estableciendo una relación similar:

ACTIVIDAD 2. Interpretando un radian.

ÁNGULOS Y ARCOS: Dado un arco RQ de un círculo con centro

en P, se dice que el ángulo RPQ es el ángulo central que

subtiende el arco RQ. También decimos que el ángulo RPQ

subtiende el arco RQ: (Figura 2).

Figura 2.

En general, para determinar la medida en grados de un ángulo

q subtendido por un arco de s unidades de un círculo con una

6


circunferencia de C unidades, utilizamos la siguiente

proporción. (Figura 3).

q en grados decimales; s y C en las mismas unidades.

Figura 3.

MEDICIÓN APROXIMADA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA:

Los antiguos griegos conocían la proporción que relaciona los

ángulos centrales y los arcos, la cual utilizó Eratóstenes (240

a.C.) para su famoso cálculo de la circunferencia de la tierra.

Razonó de la siguiente forma: es bien conocido que en Siena

(ahora Asuán), durante el solsticio de verano, el sol del mediodía

se refleja en el agua de un pozo profundo (esto significa que sus

rayos inciden verticalmente en el agua del pozo y, por lo tanto,

el sol debe estar exactamente encima de él). Eratóstenes pensó


que si los rayos del sol que entraban al pozo siguieran al interior

de la tierra, pasarían por su centro. El mismo día a la misma

hora, a 5000 estadios al norte (500 millas aproximadamente),

en Alejandría, los rayos del sol cruzaban una pértiga vertical en

un ángulo de 7.5º, como se indica en la figura 4. Puesto que los

rayos del sol son casi paralelos cuando llegan a la tierra,

Eratóstenes concluyo que el ACS medía sólo 7.5º.

Figura 4

A pesar de que el razonamiento era profundo, su cálculo final de

la circunferencia de la tierra requiere sólo álgebra elemental:

El valor calculado hoy en día es de 24,875 millas.

EJEMPLO 5. ¿Cuánto mide el arco subtendido por un ángulo

central de 6.23º sobre un círculo con un radio de 10 cm.?

SOLUCIÓN. Puesto que:

Entonces

DIAMETRO DEL SOL. Si la distancia entre la tierra y el sol es de

93,000,000 millas, determine el diámetro del sol si éste

subtiende un ángulo de 0º31’55’’

8


Figura 5.

SOLUCIÓN: Como

ACTIVIDAD 3. Construcción de engranes.

EJERCICIOS

1.- Indique los grados que mide el ángulo formado por el lado

Terminal que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj

del valor que se indica:

a) revolución b) revolución c) revolución d)

revolución

2.- Clasifique los siguientes ángulos como agudos, rectos,

obtusos o colineales. Si el ángulo no es ninguno de éstos,

indíquelo así.

a) 123 º b) 18 º c) 180 º d) 90 º e) 45 º f)

91 º g) 270 º h) 225 º


3.- Describa el significado de un ángulo de un grado.

4.- Convierta a grados decimales

a) 43 º21’4’’ b) 61 º52’11’’ c) 2 º12’47’’ d)

23 º5’21’’

5.- Convierta a grados – minutos – segundos

a) 13.633º b) 22.767º c) 83.017º d) 74.023º

6.- Explique el significado de un radian

7.- Convierta a radianes los siguientes ángulos dados en grados:

a) 45º b) 15 º c) 125º d) 270º f) 330º

8.- Convierta a grados los siguientes ángulos dados en radianes

a) rad. b) rad. c) 1.264 rad. D)

1 rad.

9.- ¿Cuál de los siguientes ángulos es mayor 47º33’41’’ o

47.572º?. Explique la forma que obtuvo la respuesta

10.- Realice la operación 62º40’15’’ - 47º37’49’’. Exprese la

solución tanto en la forma decimal, como en la forma grados –

minutos –segundos.

11. Observe la figura 3 y calcule el dato que falta usando los que

se proporcionan.

10


a) C = 1000 cm., = 36º, s = ?

b) s = 12 m., C = 108m., = ?

c) r = 5,400,00 mi., = 2.6º , s = ?

d) s = 38,000 cm., = 45.3º , r = ?


1.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES

ACTIVIDAD 4. Triángulos semejantes.

TEOREMA DE EUCLIDES. Si dos triángulos son semejantes

(figura 6) sus lados correspondientes son proporcionales.

Figura 6.

Esto quiere decir que:

Recuerde que dos triángulos son semejantes si dos ángulos de

uno miden lo mismo que dos ángulos del otro.

EJEMPLO 6: Altura de un árbol: Un árbol proyecta una sombra

de 32 pies y, al mismo tiempo, un palo que mide una yarda (3.0

pies) proyecta una sombra de 2.2 pies (Figura 7). ¿Qué altura

tiene el árbol?

12


Figura 7

SOLUCIÓN: Los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo

con el árbol y con el palo. Puesto que ambos triángulos son

rectángulos y tienen un ángulo agudo de la misma medida,

entonces los triángulos son semejantes. Los lados

correspondientes son proporcionales, por ello escribimos:

ACTIVIDAD 5. Altura de un cañón. y/o triángulos semejantes.

EJERCICIOS

1.- Si dos triángulos tienen un par de ángulos iguales, ¿Qué

puede decirse del tercer ángulo de ambos?

2.- Observe la figura 6. Use los datos otorgados y encuentre el

faltante:

a) a = 3, b = 7, a’ = 8, b’ = ?

b) b = 11, c = 7, b’ = 2, c’ =?


3.- En un juego de tenis, se manda un servicio desde el centro

de la línea de fondo de la cancha de tenis. Si la pelota se golpea

9 pies por arriba del piso, viaja en línea recta hacia el centro de

la cancha y la red está a 3 pies de altura ¿qué tan lejos de la

base de la red pegará la pelota en el piso si apenas alcanza a

pasar la parte superior de la red?

4.- Un trozo de espejo se encuentra en el suelo (supóngalo

perfectamente horizontal) entre la base de un árbol y los pies de

una persona. Al mirar ésta al espejo, observa el reflejo de la

punta superior del árbol. Si la distancia entre el espejo y la base

del árbol es de 8 metros y la distancia entre el espejo y los pies

de la persona es 3 metros y la altura de ésta es de 1.75 metros.

Determine la altura del árbol.

1.3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En la figura 8, podemos ver que existen 6 posibles razones entre

los lados de un triángulo rectángulo que pueden calcularse para

cada ángulo .

Figura 8

Dichas razones se conocen como razones trigonométricas, y

debido a su importancia,, cada una tiene un nombre: seno (sen),

coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y

cotangente (cot). Además, cada una se escribe de manera

abreviada como sigue:

14


Observe que senθ y cscθ, cosθ y secθ , así como tanθ y cotθ

son recíprocas, es decir:

Que debemos considerar al momento de usar la calculadora

para calcular cscθ, secθ y cotθ.

EJERCICIO: Use la calculadora para encontrar a) sen20 º b)

cos 14 º15’16’’ c) tan 98.12 º d) ctg 15.24 º e)

csc 338.38 º f) sec 23 º55’36’’ g) halle si sen =

0.8280 h) halle si sec = 2.456.

ACTIVIDAD 6: Razones trigonométricas.

EJEMPLO 7: Un bote está navegando a lo largo de la costa en un

curso recto. Se avizora un punto rocoso en un ángulo de 31º

desde la ruta. Después de seguir 4.8 millas, se hace otra


inspección ocular y se descubre que el punto está a 55º

respecto a la ruta (véase figura 9). ¿cuál será la mas corta

distancia que habrá entre el bote y el punto?

Figura 9

SOLUCIÓN. La distancia más corta a la que pasará el bote del

punto rocoso es y . Podemos establecer la siguiente relación

partiendo del triángulo más pequeño:

Ahora desde el triángulo grande vemos que:

Al sustituir la primer igualdad en la segunda tenemos

16


EJERCICIOS

1.- Una escalera de 8 metros está recargada en la pared

formando un ángulo con respecto al suelo de 61º ¿a qué altura

estará la parte superior de la escalera sobre el edificio?

2.- Para el problema anterior, ¿que tan lejos está la parte inferior

de la escalera de la base de la pared?

3.- Una persona que se encuentra en lo alto de un acantilado de

70 metros de altura, tiene que bajar la vista un ángulo de 20º

con respecto a la horizontal para ver directamente un barco, ¿a

qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?

4.- Del problema anterior, ¿Qué tan lejos se encuentra el barco

de la cima del acantilado?

5.- Determine la longitud de un lado de un polígono regular de

nueve lados inscrito en un círculo de radio igual a 8.32

centímetros.


1.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD 8: formación de las gráficas de las funciones

trigonométricas y criterios de graficación.

EJERCICIOS

Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas

1.- f(x) = sen2x

2.- f(x) = -5cosx

3.- f(x) = -sen(x+b)

etc.

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1.5. IDENTIDADES Y ECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Recordando, las seis razones posibles entre dos lados de un

triángulo rectángulo constituyen las funciones

trigonométricas de uno de los ángulos agudos

Definimos como identidad trigonómetrica a una igualdad

algebraica entre razones de un mismo ángulo, que se verifica

para cualquier valor de dicho ángulo.

Cofunciones: Si tomamos el ángulo α, que es complementario

al ángulo θ. (α=90°-θ), tenemos que

El coseno, la cotangente y la cosecante de un ángulo son

respectivamente iguales al seno, tangente y secante del ángulo

complementario,

Recíprocas:


a

cb

Cociente:

Por el Teorema de Pitágoras sabemos que: c2=a2+b2,

entonces si dividimos la ecuación por c2:

, de donde se

desprenden las identidades:

Dividiendo por a2:

, por lo tanto:

Dividiendo por b2:

, por lo tanto:

Identidades

20


EJERCICIOS

1. Si sen a = .25, calcular las demás funciones del mismo

ángulo.

2. Comprobar las siguientes identidades:

a.

b.

c.


FÓRMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS

Seno y coseno de la suma de dos ángulos:

Tenemos el triángulo

rectángulo BOD con uno de

sus ángulos agudos igual a la

suma de α y β, tal que:

y

A su vez, tambien tenemos

dos triángulos rectángulos

AOC y AOB con ángulos

internos agudos α y β respectivamente y un triángulo ABE semejante a

AOC. Las funciones seno y coseno para α y β quedan de la siguiente manera:

En la figura podemos ver que BD = BE + AC y en las ecuaciones

anteriores que BE = AB cos α , AC = OA sen α , AB = OB sen β y OA

= OB cos β.

Por lo tanto,

para el coseno de α mas β, vemos que , OD = OC – DC

donde DC y AE tienen la misma longitud por lo tanto OD = OC – AE.

OC = OAcos α , AE = ABsen α, OA = OBcos β y AB = OBsen β.

Por lo tanto,

22

O

A

B

D C

E

a


Tenemos entonces que

y

Seno y coseno de la diferencia de dos ángulos:

Recordemos que sen(-A) = -sen(A) y que cos(-A) = cos(A),

entonces la diferencia de los ángulos α y β la podemos tratar

como una suma: α- β α+(-β). De aquí que

y

Tangente y cotangente de la suma o la diferencia de dos

ángulos:

Como ya sabemos,

Entonces, , dividiendo

numerador y denominador por cosα cosβ tenemos

analogamente tenemos para la diferencia de ángulos que :


Para la cotangente usamos la identidad

De manera que ,

si dividimos por senα senβ obtenemos:

para cot(α-β) sustituimos cot(-β) por –cot β:

multiplicando numerador y denominador por (-1 ) se obtiene

Fórmulas de suma o diferencia de dos ángulos

FÓRMULAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES

Funciones de ángulo doble ( 2α ):

Si tomamos el ángulo doble 2α como la suma α + α, tendremos

que:

24


de la segunda identidad: , si sustituimos

tendremos , y

despejando cos α:

ó

tambien, sustituyendo cos2α por 1 – sen2α, obtenemos la ecuación

, y despejando sen α:

ó

y

Funciones del ángulo :

Si tenemos un ángulo A = ó 2A = α, tal que

, y ,

sustituyendo A y 2A por sus equivalentes de α.

Funciones del ángulo α si conocemos las funciones de :


Considerando el ángulo A = ó 2A = α, tenemos:

ó

ó

ó

OTRAS IDENTIDADES

Hemos visto que

sumando y restando término a termino ambas igualdades

tenemos

si hacemos que A=α+β y B=α-β tal que A+B=2α y A-B=2β,

de donde sustituyendo en las

ecuaciones anteriores

haciendo el mismo tratamiento con la función coseno

sumando y restando término a termino ambas igualdades

tenemos

26


sustituyendo para A y B en las ecuaciones anteriores


Ejemplos:

1. Comprobar que y que

2. comprobar que

3. comprobar que

sabemos que

28

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Una ecuación trigonométrica es una igualdad algebraica

entre razones trigonométricas de un mismo ángulo, que se

satisface para determinado valor o valores del ángulo.

Por ejemplo, para encontrar los valores positivos menores de

360° ó 2π rad para la ecuación

Resolvemos para x ( o para una función de x)

sabemos que el período de la función tangente es π radianes,

entonces para . Para ángulos positivos

menores de 2π radianes las soluciones son:

radianes.

Resolver la ecuación 4 sen2x + 8 cos x = 7

Usamos la identidad

Resolvemos para cos x: 4 cos2x -8 cos x + 3 = 0

las soluciones para cos x serían:

30


la primera solución no es posible para ningún valor de x

mientras que cos x = 0.5 en valores de x hasta 2π radianes es

para radianes.

EJERCICIOS

Comprobar las siguientes identidades:

1.

2.

3.

4.

5.

Resuelva las ecuaciones para ángulos positivos menores de 2π

radianes.

1. 2 sen x = sen 2x

2. tan x + tan 2x = tan 3x

3. 3 sen x – cos 2x = 1

4. 3 sen x + 4 cos x = 5

5.

6. resuelva el siguiente sistema:


APÉNDICE A – LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS

a

b

c

B

A

C

H

LEY DE SENOS

Sea el segmento H perpendicular al segmento C, entonces:

H=B sen a como tambien H=A sen b por lo tanto

B sen a = A sen b ó

sen a / A = sen b / B

a

b

c

B

A

C

H

LEY DE COSENOS

Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde

C = C1 + C2

C1= B cos a y

C2= A cos b

C1

C2

Por el teorema de Pitágoras tenemos que y depejando H2 e igualando:

32


como entonces :

resolviendo el siguiente sistema para C1 y C2

, Sumando y restando: ¨

sustituyendo C1 = B cos a y C2 = A cos b de donde

de forma análoga tendremos:
