APUNTES DE REPASO DE MATEMTICASGEOMETRA. Diagonales de un polgono
Las diagonales son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivos Nmero de diagonales de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Nmero de diagonales = n (n 3) : 2 4 (4 3) : 2 = 2
5 (5 3) : 2 = 5 6 (6 3) : 2 = 9
Diagonal del cuadrado
Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.
Diagonal del rectngulo
Calcular la diagonal de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
Apotema
Definicin de apotema La apotema de un polgono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado. Apotema de un tringulo equiltero
Lado de un tringulo equiltero inscrito
Ejemplo Calcular la apotema de un tringulo equiltero de 6 cm de lado.
Apotema de un cuadrado
Apotema de un pentgono regular
Esta frmula permite calcular la apotema de cualquier polgono regular.
Ejemplo Calcular la apotema de un pentgono regular de 6 cm de lado.
Apotema de un hexgono regular
Ejemplo Hallar la apotema de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
Permetro
Definicin de permetro El permetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
Permetro de un triangulo
Tringulo Equiltero Tringulo Issceles Tringulo Escaleno
Permetro de un cuadrado
Ejemplo Calcular el permetro de un cuadrado de 5 cm de lado.
P = 4 5 = 20 cm Permetro de un rectngulo
Ejemplo Calcular el permetro de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
P = 2 (10 + 6) = 32 cm
Permetro de un rombo
Ejemplo Calcular el permetro de un rombo sabiendo que la diagonales miden 30 y 16 cm.
P = 4 17 = 68 cm Permetro del romboide
P = 2 (a + b) Ejemplo Calcular el permetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.
P = 2 (4.5 + 4) = 17 cm
Permetro de un pentgono regular
Permetro de un hexgono regular
Permetro de un polgono regular
n es el nmero de lados Permetro de un crculo
Longitud de una circunferencia
Ejemplo 1 Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro.
1 A partir del dimetro
2 A partir del radio
reas de las figuras geomtricas planas I
Definicin de rea Es la medida de la regin o superficie encerrada por de una figura geomtrica plana. rea de un tringulo
Ejemplo Hallar el rea del siguiente tringulo:
rea de un cuadrado
Ejemplo Calcular el rea de un cuadrado de 5 cm de lado.
A = 52 = 25 cm2 rea de un rectngulo
Ejemplo Calcular el rea de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
A = 10 6 = 60 cm2 rea de un rombo
Ejemplo Calcular el rea de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.
rea del romboide
A=bh Ejemplo Calcular el rea de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.
A = 4 4 = 16 cm2 rea del trapecio
Ejemplo Calcular el rea del siguiente trapecio:
rea de un polgono regular
Ejemplos Calcular el rea de un pentgono regular de 6 cm de lado.
P = 5 6 = 30cm
Calcular el rea de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
P = 6 4 = 24 cm rea de un polgono
El rea se obtiene triangulando el polgono y sumando el rea de dichos tringulos. A = T1+ T2+ T3+ T4
Ejemplo Calcular el rea del siguiente polgono:
AD = BC; AB = DC A = AR+ AT
Romboide A = 11 12 + (12 5 ) : 2 = 162 cm2
reas de las figuras geomtricas planas II Longitud de una circunferencia
Ejemplo Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro. rea de un crculo
Longitud de un arco de circunferencia
Ejemplo Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como mximo un ngulo de 146. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ngulo descrito en su balanceo es el mximo.
rea del sector circular
Ejemplo Hallar el rea del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.
rea de un segmento circular
rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOB Sobre un crculo de 4 cm se traza un ngulo central de 60. Calcular el rea del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
rea de una corona circular
El rea de una corona circular es igual al rea del crculo mayor menos el rea del crculo menor.
Ejemplo En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, tambin de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el rea de la zona de paseo.
rea de un trapecio circular
El rea del trapecio circular es igual al rea del sector circular mayor menos el rea del sector circular menor.
Ejemplo Dadas dos circunferencias concntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ngulo de 60. Calcular el rea del trapecio circular formado.
POLGONO
Definicin de polgono Un polgono es la regin del plano limitada por tres o ms segmentos. Elementos de un polgono
Lados
Son los segmentos que lo limitan. Vrtices
Son los puntos donde concurren dos lados. ngulos interiores de un polgono
Son los determinados por dos lados consecutivos. Suma de ngulos interiores de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Suma de ngulos de un polgono = (n 2) 180 Diagonal Son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivos Nmero de diagonales de un polgono Si n es el nmero de lados de un polgono: Nmero de diagonales = n (n 3) : 2 4 (4 3) : 2 = 2
5 (5 3) : 2 = 5 6 (6 3) : 2 = 9
Permetro de un polgono Es la suma de las longitudes de los lados de un polgono rea de un polgono
Es la medida de la regin o superficie encerrada por de un polgono. Clases de polgonos segn sus ngulos Convexos
Todos sus ngulos menores que 180. Todas sus diagonales son interiores.
Cncavos
Si un ngulo mide ms de 180. Si una de sus diagonales es exterior.
Clases de polgonos segn sus lados Tringulos
Tienen 3 lados.
Cuadrilteros
Tienen 4 lados.
Pentgonos
Tienen 5 lados.
Hexgonos
Tienen 6 lados.
Heptgonos
Tienen 7 lados.
Octgonos
Tienen 8 lados.
Enegono
Tiene los 9 lados.
Decgono
Tiene 10 lados.
Endecgono
Tiene 11 lados.
Dodecgono
Tiene 12 lados.
Tridecgono
Tienen 13 lados.
Tetradecgono
Tiene 14 lados.
Pentadecgono
Tiene 15 lados.
Polgonos regulares Definicin de polgono regular Un polgono regular es el que tiene sus ngulos iguales y sus lados iguales. Los vrtices de un polgono regular estn circunscritos en una circunferencia
Elementos de un polgono regular
Centro Punto interior que equidista de cada vrtice Radio Es el segmento que va del centro a cada vrtice. Apotema Distancia del centro al punto medio de un lado. ngulos de un polgono regular
ngulo central de un polgono regular
Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el nmero de lados de un polgono: ngulo central = 360 : n ngulo central del pentgono regular= 360 : 5 = 72 ngulo interior de un polgono regular Es el formado por dos lados consecutivos. ngulo interior =180 ngulo central ngulo interior del pentgono regular = 180 72 = 108 ngulo exterior de un polgono regular Es el formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo. Los ngulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180. ngulo exterior = ngulo central ngulo exterior del pentgono regular = 72 Permetro de un polgono regular El permetro es igual al nmero de lados por la longitud del lado. P=nl rea de un polgono regular
Polgonos inscritos y circunscritos Polgonos inscritos Un polgono est inscrito en una circunferencia si todos sus vrtices estn contenidos en ella.
Todo polgono inscrito es regular. El centro de un polgono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en l. El radio del polgono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en l. Polgonos circunscritos Un polgono est circunscrito en una circunferencia, si todos los sus lados son tangentes a la circunferencia.
El polgono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita. El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polgono circunscrito. La apotema del polgono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.
Lado de un tringulo equiltero inscrito
Calcular el lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.
Lado de un cuadrado inscrito
Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
Apotema del hexgono inscrito
Calcular la apotema de un hexgono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
Tringulos Defincin de tringulo Un tringulo es un polgono de tres lados. Un tringulo est determinado por:
1. Tres segmentos de recta que se denominan lados.
2. Tres puntos no alineados que se llaman vrtices.
Los vrtices se escriben con letras maysculas. Los lados se escriben en minscula, con la mismas letras de los vrtices opuestos.
Los ngulos se escriben igual que los vrtices.
Propiedades de los tringulos 1 Un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. ab-c
2La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180. A + B + C =180
3 El valor de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. =A+B = 180 - C
4En un tringulo a mayor lado se opone mayor ngulo.
5 Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos tambin son iguales. Tringulos iguales 1Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes. 2Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendido. 3Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
Clases de tringulos segn sus lados Tringulo equiltero
Tres lados iguales.
Tringulo issceles
Dos lados iguales.
Tringulo escaleno
Tres lados desiguales
Clases de tringulos segn sus ngulos Tringulo acutngulo
Tres ngulos agudos
Tringulo rectngulo
Un ngulo recto El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.
Tringulo obtusngulo
Un ngulo obtuso.
Permetro de un triangulo
Tringulo Equiltero Tringulo Issceles Tringulo Escaleno
rea de un tringulo
Ejemplo Hallar el rea del siguiente tringulo:
rea de un tringulo rectngulo El rea de un tringulo rectngulo es igual al producto de los catetos partido por 2.
Ejemplo Hallar el rea del tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
Semipermetro El semipermetro de un tringulo es igual a la suma de sus lados partido por 2. Se denota con la letra p.
Frmula de Hern La frmula de Hern se utiliza para hallar el rea de un tringulo conociendo sus tres lados.
Ejemplo Hallar el rea del tringulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.
Pentgono regular El pentgono regular es una figura geomtrica plana cuyos cinco lados y ngulos son iguales.
ngulos de un pentgono Suma de ngulos interiores de un pentgono = (5 2) 180 = 540 El valor de un ngulo interior del pentgono regular es: 540 : 5 = 108 El ngulo central del pentgono regular mide: 360 : 5 = 72 Diagonales de un pentgono Nmero de diagonales = 5 (5 3) : 2 = 5
Apotema de un pentgono regular
Permetro de un pentgono regular Permetro = 5 l
rea de un pentgono regular
Ejemplo Calcular la apotema, el permetro y el rea de un pentgono regular de 6 cm de lado y cuyo radio mide 5 cm.
P = 5 6 = 30 cm
Hexgono regular El hexgono regular es un polgono de seis lados y seis ngulos iguales. Los tringulos formados, al unir el centro con todos los vrtices, son equilteros.
ngulos de un hexgono Suma de ngulos interiores de un hexgono = (6 2) 180 = 720 El valor de un ngulo interior del hexgono regular es 720/6 = 120 El ngulo central mide: 360 : 6 = 60 Diagonales de un hexgono Nmero de diagonales = 6 (6 3) : 2 = 9
Apotema del hexgono regular
Permetro de un hexgono regular Permetro = 6 l
rea de un hexgono regular
Ejemplos Calcular la apotema, el permetro y el rea de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
P = 6 4 = 24 cm
El rea de un cuadrado es 2304 cm. Calcular el rea del hexgono regular que tiene su mismo permetro.
Tipos de cuadrilteros Los cuadrilteros son polgonos de cuatro lados. La suma de sus ngulos interiores es igual a 360.
Clases de cuadrilteros Paralelogramos Los paralelogramos son los cuadrilteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Tipos de paralelogramos Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ngulos rectos.
Rectngulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ngulos rectos.
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.
Trapecios Los trapecios son los cuadrilteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Tipos de trapecios Trapecio rectngulo
Tiene un ngulo recto.
Trapecio issceles
Tiene dos lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno
No tiene ningn lado igual ni ngulo recto.
Trapezoides
Cuadrilteros que no tiene ningn lado igual ni paralelo. Cuadrado Definicin de cuadrado
El cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales y los 4 ngulos rectos.
Diagonal del cuadrado
Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.
rea de un cuadrado
Permetro del cuadrado
Ejercicios de cuadrados Calcular el rea y el permetro de un cuadrado de 5 cm de lado.
P = 4 5 = 20 cm A = 52 = 25 cm2
Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del crculo mide 3 cm.
Calcular el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
Rectngulo Definicin de rectngulo
El rectngulo es un paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y los 4 ngulos rectos.
Diagonal del rectngulo
Ejemplo Calcular la diagonal de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
rea del rectngulo
Permetro del rectngulo
Ejemplo Calcular el rea y el permetro de un rectngulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
P = 2 (10 + 6) = 32 cm A = 10 6 = 60 cm2 Rombo Definicin de rombo
El rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y ngulos iguales dos a dos. rea de un rombo
Permetro de un rombo
Ejercicios de rombos Calcular el rea y el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.
Calcular el lado de un rombo sabiendo que la diagonales miden 30 y 16 cm.
Romboide Definicin de romboide
El romboide es un paralelogramo que tiene los lados y ngulos iguales dos a dos.
rea del romboide
A=bh Permetro del romboide P = 2 (a + b) Ejemplo Calcular el rea y el permetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.
P = 2 (4.5 + 4) = 17 cm A = 4 4 = 16 cm2 Trapecios Definicin de trapecio Los trapecios son los cuadrilteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Clases de trapecios Trapecio rectngulo
Tiene un ngulo recto.
Trapecio issceles
Tiene dos lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno
No tiene ningn lado igual ni ngulo recto.
Lado oblicuo del trapecio rectngulo
Altura del trapecio issceles
rea del trapecio
Ejercicios de trapecios Calcular el rea del siguiente trapecio:
Calcular el lado oblicuo del siguiente trapecio rectngulo:
Calcular la altura del siguiente trapecio issceles:
El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.
Circunferencia Definicin de circunferencia
Es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Centro de la circunferencia Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Partes de la circunferencia Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Dimetro
Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita. Semicircunferencia
Cada uno de los arcos iguales que abarca un dimetro.
Longitud de una circunferencia
Ejemplo Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro.
Crculo
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia. Semicrculo
Porcin del crculo limitada por un dimetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del crculo. Zona circular
Porcin de crculo limitada por dos cuerdas. rea de un crculo
Ejercicios del crculo La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. Cul es el rea del crculo?
La superficie de una mesa est formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el rea.
Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos miden 2 cm.
En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son crculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar csped. Calcula el rea del csped.
En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.
Diagonales de un poliedro Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vrtices no pertenecientes a la misma cara. Diagonal del cubo
Diagonal del ortoedro
Ejercicios Calcular la diagonal de un cubo de 5 cm de arista.
Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
Generatriz La generatriz es la lnea exterior de una superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a un cuerpo de revolucin como el cilindro o el cono.
Generatriz del cilindro
El cilindro es un cuerpo de revolucin engendrado por un rectngulo al girar en torno a uno de sus lados, que ser la altura del cilidro y el lado opuesto ser la generatriz. Por tanto la altura del cilindro ser igual a la generatriz. h=g Generatriz del cono
El cono es un cuerpo de revolucin engendrado por un tringulo rectngulo al girar en torno a uno de sus catetos, que ser la altura del cono y lal hipotenusa ser la generatriz. Por el teorema de Pitgoras la generatriz del cono ser igual a:
Generatriz del tronco de cono
El tronco de cono es un cuerpo de revolucin engendrado por un trapecio rectngulo al girar en torno al lado perpendicular a las bases, que ser la altura del cono y el otro lado ser la generatriz.
Obtenemos la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
Apotema de la pirmide
La apotema lateral de una pirmide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de una pirmide
Calculamos la apotema lateral de la pirmide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
Clculo de la apotema lateral de un tronco de pirmide
Calculamos la apotema lateral del tronco pirmide, conociendo la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
Clculo de la arista lateral de una pirmide
Calculamos la arista lateral de la pirmide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
reas de cuerpos geomtricos Poliedros regulares
rea del tetraedro
rea del cubo
rea del octaedro
rea del dodecaedro
rea del icosaedro
rea del prisma
rea del ortoedro
rea de la pirmide
rea del tronco de pirmide
rea del cilindro
rea del cono
rea del tronco de cono
rea de la esfera
rea de la semiesfera
Volmenes de cuerpos geomtricos Poliedros regulares Volumen del Tetraedro
Volumen del cubo
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
Volumen del icosaedro
Volumen del prisma
Volumen del ortoedro
Volumen de la pirmide
Volumen del tronco de pirmide
Volumen del cilindro
Volumen del cono
Volumen del tronco de cono
Volumen de la esfera
Volumen de la semiesfera
Poliedros Definicin de poliedro Un poliedro es la regin del espacio limitada por polgonos.
Elementos de un poliedro
Caras Las caras de un poliedro son cada uno de los polgonos que limitan al poliedro. Aristas Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en comn. Vrtices Los vrtices de un poliedro son los vrtices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vrtice. ngulos diedros Los ngulos diedros estn formados por cada dos caras y tienen una arista en comn. ngulos polidricos Los ngulos polidricos estn formados por tres o ms caras del poliedro y tienen un vrtice comn. Diagonales Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vrtices no pertenecientes a la misma cara. Relacin de Euler En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
N de caras + N de vrtices = N de aristas + 2. Cubo o hexaedro Definicin de cubo
Un cubo o hexaedro es un poliedro regular formado por 6 cuadrados iguales. Desarrollo del Cubo
Propiedades del cubo Nmero de caras: 6. Nmero de vrtices: 8. Nmero de aristas: 12. N de aristas concurrentes en un vrtice: 3. rea del cubo
Volumen del cubo
Diagonal del cubo
Octaedro Definicin de octaedro
Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 tringulos equilteros iguales. Se puede considerar formado por la unin, desde sus bases, de dos pirmides cuadrangulares regulares iguales.
Desarrollo del octaedro
Propiedades del octaedro Nmero de caras: 8. Nmero de vrtices: 6. Nmero de aristas: 12. N de aristas concurrentes en un vrtice: 4. rea del octaedro
Volumen del octaedro
Prismas Definicin de prisma Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Desarrollo de un prisma
Elementos de un prisma
Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas bsicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, stas son iguales y paralelas entre s. rea lateral de un prisma
rea total de un prisma
Volumen de un prisma
Ortoedro Definicin de ortoedro
Los ortoedros son paraleleppedos que tienen todas sus caras rectangulares. Desarrollo de un ortoedro
Diagonal de un ortoedro
rea de un ortoedro
Volumen de un ortoedro
Ejercicios de ortoedros Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
Calcula el volumen, en centmetros cbicos, de una habitacin que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razn de 6 el metro cuadrado. 1 Cunto costar pintarla. 2 Cuntos litros de agua sern necesarios para llenarla.
En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. Cuantas cajas podremos almacenar?
Cuntas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
Pirmide Definicin de pirmide Una pirmide es un poliedro, cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras laterales son tringulos con un vrtice comn, que es el vrtice de la pirmide. Desarrollo de una pirmide
Elementos de una pirmide
La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vrtice. Las aristas de la base se llaman aristas bsicas y las aristas que concurren en el vrtice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirmide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de una pirmide
Calculamos la apotema lateral de la pirmide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
Clculo de la arista lateral de una pirmide
Calculamos la arista lateral de la pirmide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el
teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
rea lateral de una pirmide
rea de una pirmide
Volumen de una pirmide
Tronco de pirmide Definicin de tronco de pirmide El tronco de pirmide es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar una pirmide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vrtice. Desarrollo de un tronco de pirmide
Elementos de un tronco de pirmide
La seccin determinada por al corte es la base menor. Las caras laterales son trapecios. La altura del tronco de pirmide es la distancia entre las bases. Pirmide deficiente es la parte de la pirmide determinada por la base menor y el vrtice. La apotema lateral es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clculo de la apotema lateral de un tronco de pirmide
Calculamos la apotema lateral del tronco de pirmide, conociendo la
altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
rea y volumen del tronco de pirmide
Ejercicio de tronco de pirmide Calcular el rea lateral, el rea total y el volumen del tronco de la pirmide cuadrangular de aristas bsicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.
Cilindro Definicin de cilindro Un cilindro es un cuerpo geomtrico engendrado por un rectngulo que gira alrededor de uno de sus lados. Desarrollo del cilindro
Elementos del cilindro
Eje Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectngulo. Bases Son los crculos que engendran los lados perpendiculares al eje. Altura Es la distancia entre las dos bases. Generatriz Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. La generatriz del cilindro es igual a la altura. h=g
rea lateral del cilindro
rea del cilindro
Volumen del cilindro
Cono Definicin de cono Es el cuerpo de revolucin obtenido al hacer girar un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos. Desarrollo del cono
Elementos del cono
Eje Es el cateto fijo alrededor del cual gira el tringulo. Base Es el crculo que forma el otro cateto. Altura Es la distancia del vrtice a la base. Generatriz Es la hipotenusa del tringulo rectngulo.
Por el teorema de Pitgoras la generatriz del cono ser igual a:
rea lateral de un cono
rea de un cono
Volumen de un cono
Tronco de cono Definicin de tronco de cono El tronco de cono o cono truncado es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vrtice. Desarrollo de un tronco de cono
Elementos del tronco de cono
La seccin determinada por al corte es la base menor. La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases Los radios son los radios de sus bases. La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.
Obtenemos la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
rea lateral de un tronco de cono
rea de un tronco de cono
Volumen de un tronco de cono
Esfera
Definicin de superficie esfrica Una superficie esfrica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su dimetro. Definicin de esfera Una esfera es la regin del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esfrica. Elementos de la esfera
Centro Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. Radio Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera. Cuerda Segmento que une dos puntos de la superficie esfrica. Dimetro Cuerda que pasa por el centro. Polos Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esfrica. Clculo del radio de una esfera
Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la seccin, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado:
rea de la superficie esfrica
Volumen de la esfera
Ejercicios de esferas
Calcular el rea del crculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
Semiesfera
Parte de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el dimetro de aquella. rea de la semiesfera
Volumen de la semiesfera
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