Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y
polinomios ortogonales
B. de la Calle Ysern
Dpto. de Matematica Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales,
Universidad Politecnica de Madrid
Encuentro Iberoamericano – p. 1/26
Aproximantes de Pade
Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjuntode polinomios de grado menor o igual que n.
• El polinomio de Taylor Tn(f) de f en z0 es el elemento de Pn
que tiene mayor orden de contacto con f en z0.
Encuentro Iberoamericano – p. 2/26
Aproximantes de Pade
Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjuntode polinomios de grado menor o igual que n.
• El polinomio de Taylor Tn(f) de f en z0 es el elemento de Pn
que tiene mayor orden de contacto con f en z0.
Sea Rn = {P/Q : gr P,Q ≤ n} el conjunto de cocientes depolinomios de grado menor o igual que n.
• El aproximante de Padé diagonal Πn(f) de f en z0 es elelemento de Rn que tiene mayor orden de contacto con f en z0.
Encuentro Iberoamericano – p. 2/26
Convergencia
Sea f(z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn(f) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
Encuentro Iberoamericano – p. 3/26
Convergencia
Sea f(z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn(f) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn(f) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞,−1].
Encuentro Iberoamericano – p. 3/26
Convergencia
Sea f(z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn(f) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn(f) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞,−1].
Información global de datos locales:
• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir delos coeficientes de Taylor.
Encuentro Iberoamericano – p. 3/26
Convergencia
Sea f(z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn(f) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn(f) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞,−1].
Información global de datos locales:
• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir delos coeficientes de Taylor.
• Si en un entorno de z0
(i) f se aproxima rápidamente por polinomios =⇒ f es entera.
(ii) f se aproxima rápidamente por funciones racionales =⇒ fes univaluada.
Encuentro Iberoamericano – p. 3/26
Divergencia
• Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.
f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.
Encuentro Iberoamericano – p. 4/26
Divergencia
• Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.
f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.
Existen funciones enteras cuyos aproximantes dePadé divergen en todo punto del plano complejo
Encuentro Iberoamericano – p. 4/26
Divergencia
• Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.
f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.
Existen funciones enteras cuyos aproximantes dePadé divergen en todo punto del plano complejo
• No hay resultados generales de convergencia debido a laposible aparición de polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 4/26
Divergencia
Gonchar (1982)
Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.Si, para todo n ≥ N ,
• Πn(f) es holomorfa en el dominio D,
• no hay defecto de interpolación,
Entonces
Πn(f) converge a f uniformemente en compactos de D.
Encuentro Iberoamericano – p. 5/26
Divergencia
Gonchar (1982)
Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.Si, para todo n ≥ N ,
• Πn(f) es holomorfa en el dominio D,
• no hay defecto de interpolación,
Entonces
Πn(f) converge a f uniformemente en compactos de D.
• Obstáculos para converger:
{Defecto de interpolación.Polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 5/26
Estrategias
• Debilitar la sucesión Πn(f): tomar subsucesiones.
Encuentro Iberoamericano – p. 6/26
Estrategias
• Debilitar la sucesión Πn(f): tomar subsucesiones.
• Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
Encuentro Iberoamericano – p. 6/26
Estrategias
• Debilitar la sucesión Πn(f): tomar subsucesiones.
• Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:funciones de Markov, Stieltjes,...
Encuentro Iberoamericano – p. 6/26
Estrategias
• Debilitar la sucesión Πn(f): tomar subsucesiones.
• Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:funciones de Markov, Stieltjes,...
• Dejar fijo el grado del denominador: sea m ∈ N fijo,
¿Cuándo limn→+∞
pn
qmes convergente?
Encuentro Iberoamericano – p. 6/26
Filas de aproximantes de Pade
Sean polinomios pn,m, gr pn,m ≤ n, y qn,m, gr qn,m ≤ m, elegidosde modo que
qn,m(z)f(z) − pn,m(z) = o(zn+m
), z → 0
y Πn,m(f) = pn,m/qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m)de f en 0.
Encuentro Iberoamericano – p. 7/26
Filas de aproximantes de Pade
Sean polinomios pn,m, gr pn,m ≤ n, y qn,m, gr qn,m ≤ m, elegidosde modo que
qn,m(z)f(z) − pn,m(z) = o(zn+m
), z → 0
y Πn,m(f) = pn,m/qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m)de f en 0.
• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la filam-ésima de la tabla de Padé.
Encuentro Iberoamericano – p. 7/26
Filas de aproximantes de Pade
Sean polinomios pn,m, gr pn,m ≤ n, y qn,m, gr qn,m ≤ m, elegidosde modo que
qn,m(z)f(z) − pn,m(z) = o(zn+m
), z → 0
y Πn,m(f) = pn,m/qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m)de f en 0.
• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la filam-ésima de la tabla de Padé.
Teoría de convergencia similara la de los polinomios de Taylor
Encuentro Iberoamericano – p. 7/26
Filas de aproximantes de Pade
Teorema de De Montessus de Ballore (1902)
• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa conm polos y Rm su radio.• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .
• Sea ρ(K) = maxz∈K
|z|.
Encuentro Iberoamericano – p. 8/26
Filas de aproximantes de Pade
Teorema de De Montessus de Ballore (1902)
• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa conm polos y Rm su radio.• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .
• Sea ρ(K) = maxz∈K
|z|.
Entonces
lim supn→∞
‖f − Πn,m‖1/nK =
ρ(K)
Rm
Encuentro Iberoamericano – p. 8/26
Filas de aproximantes de Pade
Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe unpolinomio qm de grado m tal que
lim supn→∞
‖qn,m − qm‖1/n = r < 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 8/26
Filas de aproximantes de Pade
Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe unpolinomio qm de grado m tal que
lim supn→∞
‖qn,m − qm‖1/n = r < 1.
Entonces
f admite extensión meromorfa con m polos (precisamente losceros de qm) al disco de radio
Rm =
maxqm(zi)=0
|zi|
r
Encuentro Iberoamericano – p. 8/26
Conjetura de Pade
• Siempre hay subsucesiones de Πn(f) sin defecto deinterpolación.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/26
Conjetura de Pade
• Siempre hay subsucesiones de Πn(f) sin defecto deinterpolación.
• En muchos ejemplos Πn(f) admite subsucesiones queconvergen a f uniformemente en compactos del dominio.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/26
Conjetura de Pade
• Siempre hay subsucesiones de Πn(f) sin defecto deinterpolación.
• En muchos ejemplos Πn(f) admite subsucesiones queconvergen a f uniformemente en compactos del dominio.
Conjetura de Baker-Gammel-Wills (1961)
Si f es meromorfa en el disco abierto U , entonces existe unasubsucesión Γ ⊂ N tal que Πn(f), n ∈ Γ, converge a funiformemente en compactos de U en la métrica de la esfera deRiemann.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/26
Conjetura de Pade
• Variantes:
Convergencia en capacidad (se verá más adelante).f es algebraica y el dominio es extremal (idem).Acotación uniforme del número de polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/26
Conjetura de Pade
• Variantes:
Convergencia en capacidad (se verá más adelante).f es algebraica y el dominio es extremal (idem).Acotación uniforme del número de polos espurios.
• Avances:
Funciones hiperelípticas (Stahl): f = r1 + r2√
p,
con restricciones sobre polos y ceros de r1 y r2.
Funciones enteras de crecimiento lento (Lubinski).
Encuentro Iberoamericano – p. 10/26
Conjetura de Pade
Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró uncontraejemplo con una función hiperelíptica.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/26
Conjetura de Pade
Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró uncontraejemplo con una función hiperelíptica.
Recientemente el propio Baker ha propuesto una nuevaconjetura, the patchwork convergence:
afirma que utilizando un número finito de subsucesiones esposible lograr convergencia.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/26
Capacidad logarıtmica
• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):
P (σ; z) =
∫
Klog
1
|z − ζ| dσ(ζ) .
Encuentro Iberoamericano – p. 11/26
Capacidad logarıtmica
• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):
P (σ; z) =
∫
Klog
1
|z − ζ| dσ(ζ) .
• Energía de σ:
I(σ) =
∫
KP (σ; z) dσ(z) .
Encuentro Iberoamericano – p. 11/26
Capacidad logarıtmica
• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):
P (σ; z) =
∫
Klog
1
|z − ζ| dσ(ζ) .
• Energía de σ:
I(σ) =
∫
KP (σ; z) dσ(z) .
• Energía mínima sobre K: I(K) = infσ I(σ).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/26
Capacidad logarıtmica
• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):
P (σ; z) =
∫
Klog
1
|z − ζ| dσ(ζ) .
• Energía de σ:
I(σ) =
∫
KP (σ; z) dσ(z) .
• Energía mínima sobre K: I(K) = infσ I(σ).
• Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/26
Capacidad logarıtmica
• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):
P (σ; z) =
∫
Klog
1
|z − ζ| dσ(ζ) .
• Energía de σ:
I(σ) =
∫
KP (σ; z) dσ(z) .
• Energía mínima sobre K: I(K) = infσ I(σ).
• Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ).
• Capacidad logarítmica de K: cap (K) = exp(−I(K)).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/26
Diametro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es elvalor
δn(K) = maxa1,...,an∈K
∏
j,k:j<k
|aj − ak|2
n(n−1)
Encuentro Iberoamericano – p. 12/26
Diametro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es elvalor
δn(K) = maxa1,...,an∈K
∏
j,k:j<k
|aj − ak|2
n(n−1)
limn→∞
δn(K) = cap (K).
Encuentro Iberoamericano – p. 12/26
Diametro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es elvalor
δn(K) = maxa1,...,an∈K
∏
j,k:j<k
|aj − ak|2
n(n−1)
limn→∞
δn(K) = cap (K).
Ejemplos:
• Si K es un disco de radio r, cap (K) = r.
• Si K es un intervalo de longitud h, cap (K) = h/4.
Encuentro Iberoamericano – p. 12/26
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica yacotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admiteextensión armónica a todo G.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/26
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica yacotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admiteextensión armónica a todo G.
• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y delprincipio del máximo de las funciones armónicas.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/26
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica yacotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admiteextensión armónica a todo G.
• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y delprincipio del máximo de las funciones armónicas.
Convergencia en capacidad
∀ ǫ > 0, ∀K ⊂ D limn→∞
cap {z ∈ K : |f(z) − fn(z)| > ǫ} = 0.
Notación: fnC−→ f en D
.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/26
Convergencia en capacidad
Lema de Gonchar (1975)
Supongamos que fnC−→ f en el dominio D.
1. Si fn ∈ H(D), entonces {fn}n∈N converge uniformementeen subconjuntos compactos de D.
2. Si fn ∈ M(D) y tiene como mucho k < +∞ polos en D yf ∈ M(D) y tiene exactamente k polos en D, entoncestodas las funciones fn, n ≥ N , tienen también k polos en Dy la sucesión {fn} tiende a f uniformemente ensubconjuntos compactos de D en la métrica de la esfera deRiemann.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/26
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea fanalítica en C \ K. Entonces ,
Πn(f)C−→ f en C.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/26
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea fanalítica en C \ K. Entonces ,
Πn(f)C−→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 esnecesaria.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/26
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea fanalítica en C \ K. Entonces ,
Πn(f)C−→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 esnecesaria.
Previamente Gonchar había extendido el teorema a funcionesque se aproximan rápidamente por funciones racionales.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/26
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea fanalítica en C \ K. Entonces ,
Πn(f)C−→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 esnecesaria.
Previamente Gonchar había extendido el teorema a funcionesque se aproximan rápidamente por funciones racionales.
¿Qué se puede afirmar cuando f tiene puntos de ramificación?
Encuentro Iberoamericano – p. 14/26
Convergencia en capacidad
Teorema del dominio extremal (Stahl 1997)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K. Entonces ,
Πn(f)C−→ f en un dominio D que verifica:
• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a laconvergencia de Πn(f).
• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a lacontinuación analítica univaluada de f .
• C \ D es esencialmente unión de arcos analíticos que unenlos puntos de ramificación.
Encuentro Iberoamericano – p. 15/26
Convergencia en capacidad
Polos espurios
Polos de Πn(f) en regiones de analiticidad de f ( o demeromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,haya convergencia en capacidad.
Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn(f).
Encuentro Iberoamericano – p. 15/26
Convergencia en capacidad
Polos espurios
Polos de Πn(f) en regiones de analiticidad de f ( o demeromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,haya convergencia en capacidad.
Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn(f).
La convergencia en capacidad permite entenderel comportamiento global de los aproximantes de Padé,
Encuentro Iberoamericano – p. 15/26
Ortogonalidad
Sea f(z) =∞∑
m=0
cm
zm+1analítica en un entorno de z = ∞.
qn(z)f(z) − pn(z) = O(1
zn+1), z → ∞.
⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 16/26
Ortogonalidad
Sea f(z) =∞∑
m=0
cm
zm+1analítica en un entorno de z = ∞.
qn(z)f(z) − pn(z) = O(1
zn+1), z → ∞.
⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.
Por el teorema de Cauchy
0 =
∫
γzk qn(z) f(z) dz, k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 16/26
Ortogonalidad
Sea f(z) =∞∑
m=0
cm
zm+1analítica en un entorno de z = ∞.
qn(z)f(z) − pn(z) = O(1
zn+1), z → ∞.
⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.
Por la fórmula integral de Cauchy
f(z) − Πn(f)(z) =1
qn(z)
1
2πi
∫
γ
qn(ζ)
z − ζf(ζ) dζ.
Encuentro Iberoamericano – p. 16/26
Funciones de Markov
Sea µ(z) =
∫ 1
−1
dµ(x)
z − x; µ medida con soporte en [−1, 1].
0 =
∫ 1
−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 17/26
Funciones de Markov
Sea µ(z) =
∫ 1
−1
dµ(x)
z − x; µ medida con soporte en [−1, 1].
0 =
∫ 1
−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.
• Πn(µ)(z) =pn(z)
qn(z)=
n∑
i=1
λn,i
z − xn,i
• Fórmula de cuadratura Gauss-Jacobi: Si gr P < 2n entonces
∫P (x) dµ(x) =
n∑
i=1
λn,i P (xn,i).
Encuentro Iberoamericano – p. 17/26
Funciones de Markov
Sea µ(z) =
∫ 1
−1
dµ(x)
z − x; µ medida con soporte en [−1, 1].
0 =
∫ 1
−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.
Teorema de Markov (1895)
Sea K compacto de C \ [−1, 1]. Entonces
lim supn→∞
‖µ − Πn(µ)‖1/2nK ≤ ‖z −
√z2 − 1‖K
Encuentro Iberoamericano – p. 17/26
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0,+∞) definida por
f(z) =
∫∞
0
e−t
1 − ztdt.
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0,+∞) definida por
f(z) =
∫∞
0
e−t
1 − ztdt.
Integrando por partes repetidamente se obtiene
f(z) = 1 + z
∫∞
0
e−t
(1 − zt)2dt = 1 + z + z2
∫∞
0
2 e−t
(1 − zt)3dt
= 1 + 1! z + 2! z2 + · · · + n! zn + zn+1
∫∞
0
(n + 1)! e−t
(1 − zt)n+2dt.
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0,+∞) definida por
f(z) =
∫∞
0
e−t
1 − ztdt.
El aproximante de Padé Πn(f) en z0 = 0 construído usando laserie divergente converge a f uniformemente en compactos deC \ [0,+∞).
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t,
donde µ es una medida con soporte en [0,+∞) y
cn =
∫∞
0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t,
donde µ es una medida con soporte en [0,+∞) y
cn =
∫∞
0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
Toda función de Stieltjes tiene un desarrollo asintótico dado por
f(z) ≈∞∑
n=0
cn
zn+1.
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t,
donde µ es una medida con soporte en [0,+∞) y
cn =
∫∞
0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
Teorema de Stieltjes (1895)
Si los números cn, n = 0, 1, . . . determinan unívocamente lamedida µ, entonces {Πn(f)} en z0 = ∞ converge a funiformemente en compactos de C \ [0,+∞).
Encuentro Iberoamericano – p. 18/26
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional defunciones analíticas.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/26
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional defunciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertasrelaciones de ortogonalidad.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/26
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional defunciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertasrelaciones de ortogonalidad.
• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico depolinomios ortogonales.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/26
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional defunciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertasrelaciones de ortogonalidad.
• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico depolinomios ortogonales.
• Se prueba convergencia de los aproximantes racionales a lafunción.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t+
s(z)
t(z), donde los d polos de t están fuera
de [0,+∞).
Encuentro Iberoamericano – p. 20/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t+
s(z)
t(z), donde los d polos de t están fuera
de [0,+∞).
¿Los aproximantes de Padé diagonales Πn(f)
convergen a f?
Encuentro Iberoamericano – p. 20/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t+
s(z)
t(z), donde los d polos de t están fuera
de [0,+∞).
Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximantesatisface las relaciones de ortogonalidad
∫ 1
−1xj qn(x) t(x)
dν(x)
(1 − x)2n= 0, j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.
Encuentro Iberoamericano – p. 20/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f(z) =
∫∞
0
dµ(t)
z − t+
s(z)
t(z), donde los d polos de t están fuera
de [0,+∞).
Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximantesatisface las relaciones de ortogonalidad
∫ 1
−1xj qn(x) t(x)
dν(x)
(1 − x)2n= 0, j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.
Se consideran los polinomios ortogonales {ln,m}m∈N respecto
de la medida variantedν(x)
(1 − x)2n.
Encuentro Iberoamericano – p. 20/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d∑
k=−d
λk ln,n+k
Encuentro Iberoamericano – p. 21/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d∑
k=−d
λk ln,n+k
Bajo condiciones generales
limn→∞
ln,n+k+1(z)
ln,n+k(z)= z +
√z2 − 1, k ∈ Z.
Encuentro Iberoamericano – p. 21/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d∑
k=−d
λk ln,n+k
Bajo condiciones generales
limn→∞
ln,n+k+1(z)
ln,n+k(z)= z +
√z2 − 1, k ∈ Z.
Entonces los polinomios qn tienen como mucho d ceros lejos delsoporte =⇒ hay convergencia en capacidad =⇒ hayconvergencia uniforme.
Encuentro Iberoamericano – p. 21/26
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d∑
k=−d
λk ln,n+k
Bajo condiciones generales
limn→∞
ln,n+k+1(z)
ln,n+k(z)= z +
√z2 − 1, k ∈ Z.
Lagomasino (1989)
Encuentro Iberoamericano – p. 21/26
Ademas
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en unatabla de puntos con una cierta distribución límite.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/26
Ademas
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en unatabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de losaproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce lageometría del conjunto de singularidades de la función.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/26
Ademas
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en unatabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de losaproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce lageometría del conjunto de singularidades de la función.
• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea defunciones.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/26
Ademas
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en unatabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de losaproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce lageometría del conjunto de singularidades de la función.
• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea defunciones.
• Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollosortogonales y se busca el aproximante racional que tenga elmayor orden de contacto según este desarrollo.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Euler (1748/1755). Probó las fórmulas
∞∑
n=1
1
n2k= (−1)k−1 4k b2k
2(2k)!π2k
donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli. Es decir
x
ex − 1=
∞∑
n=0
bn
n!xn ⇒ b0 = 1,
n−1∑
j=0
(nj
)bj = 0.
Encuentro Iberoamericano – p. 23/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Euler (1748/1755). Probó las fórmulas
∞∑
n=1
1
n2k= (−1)k−1 4k b2k
2(2k)!π2k
donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli.
¿Qué ocurre con las sumas de exponente impar?
¿∞∑
n=1
1
n2k+1= q π2k+1, q ∈ Q ?
Encuentro Iberoamericano – p. 23/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
La función zeta de Riemann se define como
ζ(z) =
∞∑
n=1
1
nz, si Re z > 1
y mediante continuación analítica en C \ {1}.
Encuentro Iberoamericano – p. 23/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
La función zeta de Riemann se define como
ζ(z) =
∞∑
n=1
1
nz, si Re z > 1
y mediante continuación analítica en C \ {1}.
Problema abierto:
Demostrar que los números ζ(2k + 1), k ∈ N, son irracionales
Encuentro Iberoamericano – p. 23/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula
ζ(3) =5
2
∞∑
n=1
(−1)n−1
n3
[(2n
n
)]−1
La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).
Encuentro Iberoamericano – p. 24/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula
ζ(3) =5
2
∞∑
n=1
(−1)n−1
n3
[(2n
n
)]−1
La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).
Beukers (1981). Muestra que la sucesión de aproximantesracionales de Apéry puede obtenerse a partir de un problemageneralizado de aproximación de Padé simultánea.
Encuentro Iberoamericano – p. 24/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
fk(z) =∞∑
n=1
zn
nk, k ∈ N
Encuentro Iberoamericano – p. 24/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
fk(z) =∞∑
n=1
zn
nk, k ∈ N
Encontrar polinomios pn, tn, qn y qn de grado n tales que
qn(z) f1(z) + qn(z) f2(z) − pn(z) = o(z2n), z → 0,
qn(z) f2(z) + 2 qn(z) f3(z) − tn(z) = o(z2n), z → 0,
qn(1) = 0.
Encuentro Iberoamericano – p. 24/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del términode error en el desarrollo de ζ(3).
Encuentro Iberoamericano – p. 25/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del términode error en el desarrollo de ζ(3).
ζ(3) =n∑
k=1
1
k3+
1
2Ψ(1/n),
donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica
Ψ(z) =
∞∑
n=0
(n + 1)bn zn+2.
Encuentro Iberoamericano – p. 25/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del términode error en el desarrollo de ζ(3).
ζ(3) =n∑
k=1
1
k3+
1
2Ψ(1/n),
donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica
Ψ(z) =
∞∑
n=0
(n + 1)bn zn+2.
Prévost-Rivoal (2007) Este principio puede ser general alaparecer en otro tipo de funciones como la exponencial.
Encuentro Iberoamericano – p. 25/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitosnúmeros irracionales.
Encuentro Iberoamericano – p. 26/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitosnúmeros irracionales.
Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,
Lip(z) =
∞∑
n=0
zn
(n + 1)p
Encuentro Iberoamericano – p. 26/26
Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitosnúmeros irracionales.
Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,
Lip(z) =
∞∑
n=0
zn
(n + 1)p
Zudilin (2001) Al menos uno de los siguientes números
ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)
es irracional.
Encuentro Iberoamericano – p. 26/26
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