APRENDER MATEMÁTICAS
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TEMA 4
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Números Racionales
Los números racionales son los números que pueden expresarse como cociente de números enteros.
Los números enteros son también racionales, pues pueden ser expresados en forma de fracción.
Ejemplo:
Cuando el numerador es menor que el denominador la fracción representa parte de un objeto, diremos entonces
que la fracción es propia. Si ocurre al revés, la fracción representa más de un objeto, decimos entonces que la
fracción es impropia. ( cuando el numerador es mayor que el denominador )
4282
24
−=−+
+=++
Fracciones equivalentes:
Si tomamos como unidad una figura cualquiera, por ejemplo un cuadrado, y representamos las fracciones
Puedes observar que estas tres fracciones representan la misma porción del cuadrado, decimos que estas fraccio-
nes son equivalentes.
12
24
48
, ,
12
24
48
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Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas resulta de multiplicar o dividir los dos términos de la otra por
un mismo número.
Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por un mismo número, la fracción no varía.
Ejemplos:
.......4•34•2
3•33•2
2•32•2
=======128
96
64
32
..........5:1405:120
4:1404:120
2:1402:120
=======2824
3530
7060
140120
Representación de los números racionale
Si la fracción que queremos representar es una fracción propia ( el numerador es menor que el denomina-
dor ), su representación estará siempre entre 0 y 1 si la fracción es positiva, y entre 0 y - 1 si la fracción es negati-
va. A la hora de representarla, dividiremos la unidad en tantas partes como nos indique el denominador, y tomaremos
tantas como nos indique el numerador. Siempre representaremos la fracción irreducible de la fracción dada.
Ejemplo:
Representar gráficamente las fracciones siguientes: 32,
64,
53
−
El primer paso que tenemos que dar, es comprobar si las fracciones son irreducibles, caso de que no lo sean, las
simplificaremos hasta que lo sean.
En nuestro caso la única que no s irreducible es
Una vez simplificada la fracción, nos quedarán para representar, las siguientes fracciones:
4
6
32,
32,
53
−
Ahora procederemos a su representación gráfica
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- 1 0 1
35
35
- 1 0 1
23
23
- 1 0 1
23
23
-
-
Si queremos representar fracciones impropias ( el numerador es mayor que el denominador), tendremos que averi-
guar a partir de qué unidad debemos representarlas, para ello la transformaremos en suma de un número entero más
una fracción propia, representando ésta como ya hemos explicado a partir del número entero que obtengamos.
Ejemplo:
Representar gráficamente las siguientes fracciones:
Transformamos ahora las fracciones en suma de un número entero más una fracción impropia:
7
2
11
3
23
5, y −
tendremos que representar partir del 3 la fracción
7 231
7
2
2 3 12
31
2=
+= +
•
21
- 3 - 2 - 1 0 1 32 4
12
= 72
3 +
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Representa gráficamente las siguientes fracciones
4
15,27,
31,
21,
417,
211,
43,
45,
41,
31,
21
−−−−
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Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es obtener otra fracción equivalente cuyos términos sean lo más pequeño posible.
Esto se puede hacer cuando el numerador y el denominador se pueden dividir por el mismo número. Cuando una
fracción no se puede simplificar más, se dice que es Irreducible.
Ejemplos:
24
36
24 2
36 2
12
18
12 2
18 2
6
9
6 3
9 3= = = = = =
:
:
:
:
:
:
2
3
80
96
80 2
96 2
40
48
40 2
48 2
20
24
20 2
24 2
10
12
10 2
12 2= = = = = = = =
:
:
:
:
:
:
:
:
5
6
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EJERCICIOS NIVEL 1 Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:
129)e
96)d
105)c
128)b
1510)a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
147)j
64)i
2010)h
1815)g
86)f
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EJERCICIOS NIVEL 2 Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:
=
=
=
=
=
18056
)f
16842
)d
16599
)c
6424
)b
9680
)a
=
=
=
=
=
18072)j
6336)i
9054)h
4527)g
12654)f
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EJERCICIOS NIVEL 3 Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:
=
=
=
=
24201200)d
660435)c
650540)b
155105)a
=
=
=
=
645465
)h
20201008
)g
188156
)f
945840
)e
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Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras fracciones equiva-
lentes a las dadas, todas con el mismo denominador.
Para ello, se comienza por determinar el denominador común, que puede ser cualquier múltiplo común de
todos los denominadores, siendo aconsejable tomar siempre el mínimo común múltiplo de los denominadores. A
continuación, este denominador común se divide por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes
obtenidos por los numeradores correspondientes.
Ejemplo:
Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
En principio, se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores
m.c.m ( 5, 6, 4, 18 ) = 180
El valor que resulta se toma como denominador común. A continuación, para hallar los numeradores de las
fracciones, se divide el denominador común por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes por
los numeradores correspondientes:
Numerador de la primera fracción = ( 180 : 5 )·4 = 36·4 = 144
Numerador de la segunda fracción = ( 180 : 6 )·5 = 30·5 = 150
Numerador de la tercera fracción = ( 180 : 4 )·1 = 45·1 = 45
Numerador de la cuarta fracción = ( 180 : 18 )·5 = 10·5 = 50
Como consecuencia, las fracciones una vez reducidas a denominador común, quedan de la siguiente forma:
4
5
5
6
1
4
5
18, , ,
144
180
150
180
45
180
50
180, , ,
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Ejercicios NIVEL 1
1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
65y
32)d
85y
43)c
43y
31)b
53y
32)a
31y
72)h
106y
157)g
52y
31)f
107y
53)e
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Ejercicios NIVEL 2
1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
145y
21,
76)d
107y
53,
21)c
154y
107,
53)b
87y
65,
43)a
43y
61,
1210)h
32y
65,
103)g
65y
32,
97)f
127y
85,
41)e
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Ejercicios NIVEL 3
1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
3023y
2017;
65;
1512)c
2512y
109;
157;
203)b
53y
32;
159;
65)a
54y
3014;
159;
107)f
53y
97;
159;
65)e
2423y
1211;
87;
1615)d
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Comparación de fracciones Hay tres caso de comparación de fracciones:
1.- Si las fracciones tienen el mismo denominador, será mayor la fracción cuyo numerador sea mayor.
2.- Si las fracciones tienen el mismo numerador, será mayor la fracción cuyo denominador sea menor.
3.- Si las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos, se reducen a denominador común y
se aplica el caso 1.
Ejemplo:
Ordenar, de menor a mayor las siguientes fracciones:
m.c.m (2, 8 y 12 ) = 24
Las fracciones equivalentes a las dadas son:
Y, a continuación, tomando como base de comparación los numeradores, se procede a ordenar las fracciones
de igual denominador:
Y, por último las fracciones iniciales equivalentes a éstas:
83
85
>
93
75
>
125y
83,
21
125y
83,
21
2410y
249,
2412
⇒
2412
2410
249
<<
21
125
83
<<
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Ejercicios NIVEL 1
1.- Compara las siguientes fracciones:
85y
95)g
1411y
1413)f
43y
53)e
73y
72)d
511y
611)c
98y
78)b
113y
1164)a
1210y
65)n
1211y
98)m
43y
54)l
154y
52)k
65y
96)j
65y
32)i
149y
74)h
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Ejercicios NIVEL 2
1.- Compara las siguientes fracciones:
145y
21,
76)d
53y
95,
127)c
154y
107,
53)b
87y
65,
43)a
43y
61,
1210)h
32y
65,
103)g
65y
32,
97)f
127y
85,
41)e
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Ejercicios NIVEL 3
1.- Compara las siguientes fracciones:
3023y
2017;
65;
1512)c
2512y
109;
157;
203)b
53y
32;
159;
65)a
54y
3014;
159;
107)f
53y
97;
159;
65)e
2423y
1211;
87;
1615)d
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Suma de números racionales:
Para poder sumar números racionales debemos seguir las siguientes reglas:
* Si los sumandos tienen el mismo denominador, el resultado tiene el mismo denominador y como nu-
merador la suma de los numeradores.
Ejemplos:
1.-
2.-
* Si los sumandos tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se
procede como en el apartado anterior.
Ejemplos:
1.-
2.-
5
13
4
13+ =
9
13
1125
725
+ =1825
3
8
7
20
15
40
14
40+ = + =
29
40
54
7
5
1
4
7
35
7
4
7+ = + = + =
39
7
Resta de números racionales:
Para restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto al sustraendo, siguiendo las reglas ante-
riores para la suma.
Ejemplos:
1.-
2.-
9
13
5
13
9
13
5
13
9 5
13− = +
−=
−=
4
13
( )7
12
9
16
7
12
9
16
28
48
27
48
28 27
48
28 27
48− = +
−= +
−=
+ −=
−=
1
48
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Multiplicación de números racionales:
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por
denominador el producto de los denominadores.
Ejemplos:
1.-
2.-
División de números racionales:
Para dividir dos números racionales, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor.
O también:
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la pri-
mera por el denominador de la segunda y por denominador el producto del denominador de la primera por el
numerador de la segunda.
Ejemplos:
1.-
2.-
5
8
3
7
5 3
8 7•
•
•= =
15
56
4
15
5
12
4 5
15 12
20
180•
•
•= = =
1
9
5
8
3
758
73
5 7
8 3:
35
24= = =•
•
•
4
15
5
124
15125
4 12
15 5
48
75:
16
25= = = =•
•
•
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FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD
Para obtener la fracción de un número entero de unidades, multiplicaremos la fracción que queremos obtener
por dicho número.
Tendremos en cuenta que cualquier número puede ser expresado como fracción: 25 =
Ejemplo:
Obtener los de 120: 80 son los de 120
EJERCICIOS
Obtener los de 84:
Obtener los de 112:
Obtener los de 91:
Obtener los de135:
Obtener los de 242:
Obtener los de 168:
125
32 ⇒===⇒ 80
3240
1·3120·2
1120·
32
32
73
85
74
97
116
143
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Ejercicios NIVEL 1 Resolver los siguientes ejercicios:
=+−
=+−
=−−
=+−
=−−
=+−
=−−
=+−
54
32.8
53
21.7
207
3011.6
65
45.5
52
53.4
135
136.3
112
118.2
71
75.1
=−−
=+−
=+−
=+−
=−−
=−−
307
1511.14
125
65.13
152
53.12
127
85.11
32
65.10
123
87.9
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=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
54:
116.22
32·
116.21
32:
45.20
32·
45.19
52:
41.18
52·
41.17
65:
43.16
56·
43.15
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
64:
94.30
32·
76.29
54:
1512.28
31·
21.27
62:
87.26
73·
43.25
32:
98.24
53·
72.23
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Ejercicios NIVEL 2
35:
43
51.5
101
41
·54.4
32·
95
97.3
32
61
41.2
83
43·
54.1
−−
=−−
=+−
=+−
=+−
:
43:
51
52.10
64
21·
54.9
103·
52
74.8
65·
21
32.7
83
21·
43.6
−−
=−−
=+−
=+−
=+−
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64:
91
95.15
103
21
·156.14
43·
65
1211.13
32
65
75.12
43·
52
54.11
−−
=−−
=+−
=+−
=−−
:
43:
51
52.20
85
43·
54.19
103:
52
74.18
65·
21
32.17
83
21
43.16
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=+−−
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Ejercicios NIVEL 3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
126
512
29•
278)d
43
23•
31
21)c
125
210
65
21)b
31
21•
21
43)a
::
:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+−
107
23
57
52)h
107
23:
57
52)g
53
21•
310
95)f
45
34•
23
52)e
:
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32:
64
433•
41
85)c
32:
1217
37
85
43•
62)j
73:
43
31
34•
54)i
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+
32:
51
41•
21
31)n
53
21•
310
95)m
35
41
21•
21
31)l
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
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PROBLEMAS NIVEL 1 1.- De una caja de 50 bombones Celia comido la quinta parte. ¿Cuántos bombones le quedan?
2.- Manuel tiene 98 € y se gasta los dos séptimos en un juego de la play. ¿Cuánto dinero le queda?
3.- Si debemos estar seis horas en el instituto y ya llevamos los dos tercios del tiempo. ¿Cuántas horas nos que-
dan para salir?
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4.- Si en la compra de una camiseta que cuesta 20€ te descuentan los dos quintos de su precio. ¿Cuánto tienes
que pagar por la camiseta?
5.- Si Lucía se come dos quintos de una tarta y Antonio se come un cuarto. ¿Qué fracción de tarta se han comido
entre los dos?
6.- En una clase de 1º de eso de 28 alumnos, han aprobado un examen de matemáticas los tres cuartos de los
alumnos. ¿Cuántos alumnos han suspendido?
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7.- Si Andrea se come tres octavos de pizza y Marta se come un cuarto. ¿Qué fracción de pizza queda para Pau-
la?
8.- Si Samuel tiene una paga de 25€ y ya se ha gastado los tres quintos. ¿Cuánto dinero le queda?
9.- En una clase hay 10 chicas y 14 chicos. ¿Qué fracción de la clase representan las chicas? ¿Y los chicos?
10.- De una tarta que pesaba 2400 gramos se han consumido 3/8. ¿Cuánto pesa el trozo que queda?
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PROBLEMAS NIVEL 2 1.- Una huerta tiene una extensión de 8 000 m2 de los que 3/5 están sembrados de maíz, y el resto, de alfalfa.
¿Cuántos metros cuadrados se han dedicado a cada cultivo?
2.- Un agricultor riega por la mañana 2/5 de un campo. ¿Qué fracción riega por la tarde? Si el terreno mide 6600
m2. ¿Cuántos m2 riega por la mañana? ¿Y por la tarde?
3.- Se ha vendido por 12 000 € una parcela que ocupaba los 3/7 de un terreno. ¿Cuánto costaba el terreno
completo?
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4.- Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luis se come el resto.
¿Cuánto come Luis?
5.- En la calle donde vive Alberto hay 20 tiendas, de las que 3/5 son papelerías. ¿Cuántas papelerías hay?
6.- Marta ha comprado una bicicleta y ha pagado al contado 3/4 de su importe, entregando 90 euros. ¿Cuál es el pre-
cio de la bicicleta?
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7.- ¿Qué fracción del libro ha estudiado Sara, si está en la página 64 de un libro que tiene 256 páginas?
8.- Paola recibe 1/5 de las manzanas de una caja y Fernando recibe 1/6 de las mismas. ¿Quién recibe mayor canti-
dad? Si la caja contiene 30 manzanas, ¿cuántas recibe cada uno?
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PROBLEMAS NIVEL 3
1.- Jorge emprende un viaje de 30 Km. En la primera hora recorre 1/4 del trayecto, y en la segunda, 1/3. ¿Qué parte
del camino ha recorrido en las dos primeras horas del viaje? ¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar al final del
trayecto?
2.- Un sexto de los 2/3 de la estatura de Sandra es igual a 17 cm. ¿Cuál es su estatura?
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