Download - Aplicación de modelado comportamental analógico al ... · Modeling an analog circuit is an important step in analog circuit design. Its prin- cipal purpose consists of generating

Aplicación de modelado comportamental

analógico al análisis de circuitos

Por

Carlos Manuel Hernández Mejía

Tesis sometido como requisito parcial para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en la Especialidad de Electrónica

en el

Instituto Nacional de Astrofísica

Óptica y Electrónica.

Agosto 2007. Tonantzintla, Puebla

Supervisada por:

Dr. Arturo Sarmiento Reyes

Investigador Titular del INAOE

©INAOE 2007 Derechos Reservados

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes.

Resumen

El modelado de circuitos analogicos es un importante paso en el proceso de diseno

analogico. Su principal proposito consiste en generar un equivalente (circuital,

funcional o comportamental) que permita llevar a cabo las tareas de analisis y

sıntesis a nivel sistema, circuito o dispositivo.

En particular, un modelo comportamental describe un dispositivo, circuito o sis-

tema en terminos de ecuaciones matematicas tratando de capturar la mayor fun-

cionalidad con menos detalles de implementacion. El objetivo principal del mod-

elado comportamental es la representacion de uno o varios parametros medidos,

los cuales puede estar en funcion de multiples variables independientes ortogonales

que simultaneamente controlan su comportamiento.

Para llevar a cabo la codificacion de los modelos comportamentales analogicos

en este trabajo, se recurre a la utilizacion de lenguajes descriptivos de alto nivel

(HDLs), en particular Verilog-A y Analog Insydes. En este trabajo se presentan

las aplicaciones al analisis de circuitos analogicos en el dominio de la frecuencia

y el dominio del tiempo utilizando modelos comportamentales analogicos. Las

aplicaciones en el dominio de la frecuencia se ejemplifican mediante estructuras de

filtros activos Sallen&Key. Mientras por otro lado, las aplicaciones en el dominio

del tiempo se enfocan a determinar el analisis del comportamiento caotico de varios

circuitos dinamicos.

Finalmente, se ilustra que el modelado comportamental analogico puede ser exten-

i

ii

dido a dispositivos nanoelectronicos, al aplicarlo a la caracterizacion del transistor

de un electron (SET).

Abstract

Modeling an analog circuit is an important step in analog circuit design. Its prin-

cipal purpose consists of generating an equivalent (circuital, functional or behav-

ioral) that allow to carry out the level system, circuit or device tasks of analysis

and synthesis.

Particularly, a behavioral model describes a device, circuit or system based on

mathematical equations expressing functionality with less implementation details.

The behavioral modeling objective is to represent one or various parameter mea-

sured, which might be a function of multiple orthogonal independent variables that

simultaneously control its behavior.

The analog behavioral models codification is carried out through high-level hard-

ware description languages (HDL) like Verilog-A and AnalogInsydes. In this work

applications for frequency-domain and time-domain circuits analysis using analog

behavioral models are presented. Frequency-domain applications employing active

filters Sallen&Key are exemplified. On the other hand, time-domain applications

are focused to determine the chaotic behavior analysis in dynamic circuits.

Finally, analog behavioral modeling is used in nanoelectronic devices, characteriz-

ing a single-electron transistor (SET).

iii

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Diseno Top-Down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Modelado comportamental analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Lenguajes descriptivos de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Verilog-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. AnalogInsydes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Objetivo de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Generacion de modelos comportamentales 11

2.1. Tipos de modelos comportamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Modelos comportamentales basados

en circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


en subcircuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3. Modelos comportamentales en el dominio

de la frecuencia y en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . 18

2.2. Modelos basados en ecuaciones

constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Metodologıa de modelado 27

3.1. Metodologıa por reconstruccion de senal . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

vi INDICE GENERAL

3.2. Metodologıa por aproximacion de senal . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Funciones contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Funciones piecewise linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3. Aproximaciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Metodologıa por variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Casos de estudio 37

4.1. Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Analisis con el modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . 41

4.1.2. Analisis con el modelo Piecewise linear . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3. Analisis con el modelo de Aproximacion polinomial . . . . . 52

4.2. Oscilador Colpitts clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1. Analisis con transistor 2n2222a . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2. Analisis con modelo simple del transistor . . . . . . . . . . . 57

4.2.3. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal . . . . . 59

4.2.4. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . 61

4.2.5. Analisis con transistor 2n3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Oscilador Colpitts de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1. Analisis con modelo simple del transistor . . . . . . . . . . . 65

4.3.2. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal . . . . . 67

4.3.3. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . 68

4.4. Filtros Sallen & Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1. ABM en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.2. ABM de la parte activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5. Transistor de un electron (SET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Conclusiones 83

INDICE GENERAL vii

A. Modelos en Analog Insydes 85

A.1. Modelos de la funcion i=-arctan·voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2. Modelos para la funcion Piecewise linear . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.3. Modelos para la Aproximacion polinomial . . . . . . . . . . . . . . 92

B. Modulos en Verilog-A 95

B.1. Modulos para los osciladores Colpitts . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.2. Modulos utilizados en los filtros Sallen & Key . . . . . . . . . . . . 97

B.3. Modulo utilizado para el transistor de un electron (SET) . . . . . . 100

viii INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. Jerarquıa de los niveles de abstraccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Tipos de modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Ecuacion comportamental y las variables que la controlan. . . . . . . . 6

1.4. Tipos de HDLs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Modulos conectados a un nodo a traves de puertos . . . . . . . . . . . 8

2.1. Circuito electrico compuesto de dos amplificadores en emisor comun. . . 12

2.2. Modelo hibrido π a pequena senal, en dos secciones, con la resistencia ro

incluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Modelo hibrido π de alta frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Modelo comportamental basado en circuitos electricos. . . . . . . . . . 15

2.5. Amplificador operacional con retroalimentacion en corriente (CFOA). . . 16

2.6. CFOA compuesto por un current conveyor y un seguidor de voltaje. . . 17

2.7. CFOA compuesto por dos seguidores de voltaje y un espejo de corriente. 17

2.8. Modelo comportamental basado en subcircuitos electricos. . . . . . . . . 18

2.9. Establecimiento de la matriz MNA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.10. Modelo comportamental en los dominios de frecuencia y tiempo. . . . . 22

2.11. Redes de (a) dos terminales, (b) tres terminales y (c) n-terminales. . . . 23

2.12. (a) Transistor npn, (b) su modelo π de pequena senal y (c) su modelo de

gran senal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ix

x INDICE DE FIGURAS

3.1. Curva caracterıstica I-V de un NR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Zonas de la curva caracterıstica I-V de un NR . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Prolongacion de rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5 . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Funcion contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5. Funcion discontınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6. (a) Curva caracterıstica I-V del diodo tunel y (b) su aproximacion piece-

wise linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.7. Curvas provenientes de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8. Circuito simple RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1. Circuito de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Funcion i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3. Funcion piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4. Aproximacion polinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Respuesta del circuito Chua usando funcion i=-arctan·voltaje. . . . . . . 40

4.6. Respuesta del circuito Chua usando funcion Piecewise linear. . . . . . . 40

4.7. Respuesta del circuito Chua usando aproximacion polinomial. . . . . . . 40

4.8. Zona de analisis del modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . 41

4.9. Analisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u). . . . . . . . . . . 41


4.11. Zona de analisis del modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . 43



4.14. Zona de analisis del modelo Piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . 45

4.15. Analisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 46


4.17. Acercamiento a la zona de analisis del modelo Piecewise linear. . . . . . 47


INDICE DE FIGURAS xi






4.24. Zona de analisis del modelo Aproximacion polinomial. . . . . . . . . . . 52

4.25. Analisis del modelo comportamental Aproximacion polinomial. . . . . . 53

4.26. Analisis del modelo comportamental Aproximacion polinomial. . . . . . 54

4.27. Oscilador Colpitts BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.28. Analisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2 . . 56

4.29. Analisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1 . . . 57

4.30. Modelo simple del BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.31. Analisis con modelo simple. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2 . . . . 58

4.32. Analisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1 . . . . . 59

4.33. Modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.34. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC1;

eje vertical: VC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.35. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL;

eje vertical: VC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.36. Modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.37. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC1; eje

vertical: VC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.38. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje

vertical: VC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.39. Analisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: VC2; eje vertical: VC1 . . . 63

4.40. Analisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC2 . . . 63

4.41. Oscilador Colpitts BJT de dos estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

xii INDICE DE FIGURAS

4.42. Analisis con modelo simple. Eje horizontal: VC ; eje vertical: VE . . . . . 66

4.43. Analisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC . . . . . 66

4.44. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC ;

eje vertical: VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.45. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL;

eje vertical: VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.46. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC ; eje

vertical: VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.47. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje

vertical: VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.48. Filtro Pasa Bajas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.49. Filtro Pasa Altas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.50. Filtro Pasa Bandas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.51. Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 72

4.52. Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 72

4.53. Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . 73










4.63. Circuito esquematico de un SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.64. Circuito electrico de un SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

INDICE DE FIGURAS xiii

4.65. Curvas de salida del SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

xiv INDICE DE FIGURAS

Prefacio

La automatizacion del diseno analogico es un campo de creciente interes en la

industria, debido a que los circuitos analogicos poseen una gran demanda tanto

en interfases como en aplicaciones de alto rendimiento. Sin embargo la ausencia

de herramientas CAD analogicas resulta en prolongados tiempos de verificacion

y en costosos errores de diseno. Es por lo anterior que se requiren mejoras en

las metodologıas de diseno, siendo los modelos comportamentales analogicos una

opcion para lograrlas.

Este trabajo de tesis esta constituido por cinco capıtulos, donde se han abordado

los siguientes topicos:

En el capıtulo 1 se presenta una introduccion enfocada hacia tres aspectos fun-

damentales como la metodologıa de diseno top-down, los principios basicos del

modelado comportamental analogico (ABM) y los lenguajes descriptivos de alto

nıvel utilizados en los ABMs. Asimismo, en este capıtulo se plantea el objetivo de

la tesis.

El capıtulo 2 aborda los tipos de modelos comportamentales existentes ası como

los modelos basados en ecuaciones constitutivas de rama, los cuales son usados en

este trabajo.

El capıtulo 3 estudia tres metodologıas de modelado: metodologıa por reconstruc-

cion de senal, metodologıa por aproximacion de senal y metodologıa por variables

de estado. Las dos primeras son utilizadas en la presente tesis.

xv

xvi INDICE DE FIGURAS

El capıtulo 4 analiza mediante modelos comportamentales analogicos cinco casos

de estudio: en el dominio de la frecuencia se ejemplifica con estructuras de filtros

activos Sallen&Key, mientras que en el dominio del tiempo se analiza el compor-

tamiento caotico de varios circuitos dinamicos. Por ultimo, se presenta la apli-

cacion del modelado comportamental analogico en dispositivos nanoelectronicos,

ilustrandolo a traves del analisis del transistor de un electron (SET).

Finalmente en el capıtulo 5 se resumen las conclusiones de esta tesis.

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Diseno Top-Down

La aproximacion tradicional para disenar es conocida con el nombre de diseno

bottom-up. Su proceso de diseno comienza con el diseno de bloques individuales,

los cuales son combinados para formar el sistema. El diseno de los bloques es

basado en el conjunto de especificaciones y se concluye hasta la implementacion a

nivel transistor. Cada bloque es verificado asumiendolo como una unidad autonoma

y comparandolo contra las especificaciones, es decir, cada bloque es considerado

individual y no en el contexto de un sistema general. Una vez que los bloques han

sido verificados individualmente, son combinados y verificados en conjunto. Tal

verificacion del sistema completo es realizada a nivel transistor.

El anterior estilo de diseno es efectivo para disenos pequenos, mientras que para

disenos extensos y complicados presenta varios problemas importantes:

Emplea demasiado tiempo en la simulacion de los bloques combinados y por

lo tanto una verificacion muy difıcil.

No existe retroalimentacion para la correccion de errores en el nivel arqui-

tectura del diseno.

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

La necesidad de llevar a cabo un rediseno de los bloques debido a cualquier

error o problema encontrado una vez que el sistema es ensamblado.

Falta de comunicacion entre los disenadores de los diferentes bloques.

Escasez en la verificacion a nivel sistema y en el desarrollo de pruebas.

Para vencer los anteriores inconvenientes se necesita una metodologıa de diseno

que mejore la comunicacion entre los disenadores, elimine la discontinuidad en el

flujo del diseno, mejore la verificacion, reorganice las tareas de diseno y reduzca la

necesidad de una extensa verificacion final a nivel transistor.

La metodologıa del diseno debe ser estructurada sobre varios niveles de jerarquıa.

Cada nivel de jerarquıa corresponde a un nivel diferente de abstraccion y por lo tan-

to poseen diferentes primitivas de diseno para ser manipuladas. La metodologıa

debe ser flexible para el diseno automatizado (DA) de modulos analogicos fun-

cionales.

El aspecto clave de tal metodologıa [1] es el uso de simulacion simbolica y ma-

nipulacion de ecuaciones de diseno como una solucion para construir un sistema

de sıntesis analogico abierto; en el cual la incorporacion de nuevas estructuras y

conocimientos de diseno sea mas simple.

La metodologıa de diseno que reune tales caracterısticas es la llamada top-down. El

proceso de diseno top-down avanza metodicamente desde el diseno a nivel arquitec-

tura hasta el nivel transistor. Cada nivel se disena por completo antes de avanzar

al siguiente, ademas son particionados en bloques pequenos bien definidos lo cual

permite que mas disenadores trabajen juntos. Esto hace posible la reduccion en el

tiempo total requerido para finalizar el diseno.

Un proceso de diseno top-down mejora la comunicacion entre los disenadores, pro-

duciendo ası una disminucion en el numero de errores que podrıa arrastrar el diseno

debido a la falta de comunicacion. Ademas, reduce el impacto de los cambios tanto

1.1. DISENO TOP-DOWN 3

repentinos como tardıos en el ciclo de diseno. Los modelos pueden ser actualiza-

dos y el impacto sobre el resto del sistema puede ser rapidamente evaluado. El

plan de simulacion y la infraestructura para simulaciones de nivel mezclado estan

disponibles en la metodologıa y pueden ser rapidamente aplicados para verificar

cualquier cambio.

Un diseno top-down exitoso se logra con el cumplimiento de los siguiente principios

basicos[2]:

Representacion comun en el diseno

Cada variacion o cambio es verificado

Verificacion planeada

Multiples actualizaciones

Modelos ejecutables de planes y especificaciones.

En la figura 1.1 se muestran los diferentes niveles de abstraccion que existen den-

tro de una metodologıa de diseno top-down. Como se puede observar el flujo de

diseno comienza en una descripcion del comportamiento (Nivel Comportamiento),

en donde la meta es encontrar un algoritmo que represente una idea general del

sistema. Una vez concluido el anterior nivel, el flujo de diseno debe separarse en

pequenas subtareas contenidas en bloques los cuales estan situados dentro de un

mismo nivel de jerarquıa (Nivel Circuito). La traslacion desde una descripcion de

comportamiento hacia una descripcion de circuito involucra la generacion de una

arquitectura o varias, la(s) cual(es) debe(n) tanto alcanzar el funcionamiento ade-

cuado como cumplir con las especificaciones del sistema. Los lımites impuestos por

las especificaciones sobre la(s) arquitectura(s) generada(s) son propagadas hacia

el nivel mas bajo de la jerarquıa de diseno (Nivel Transistor) en el cual se lleva a

cabo la implementacion fısica de cada bloque.


Figura 1.1: Jerarquıa de los niveles de abstraccion.

Se puede concluir de la figura 1.1 que un elemento necesario para un proceso

de diseno top-down es una descripcion de comportamiento, bien definida, de la

funcion analogica del sistema. Una caracterizacion de comportamiento adecuada

esta compuesta no solo de la funcion que desarrolla el circuito sino tambien de

las no idealidades intrınsecas de segundo orden, ya que los errores en el diseno

analogico regularmente son resultado del comportamiento no ideal y no de una

inadecuada funcionalidad seleccionada.

1.2. Modelado comportamental analogico

Existen diferentes tipos de modelos para evaluar la funcion general de un circuito

o sistema. La figura 1.2 muestra la variedad de modelos por medio de los cuales

puede ser representado el sistema o circuito bajo estudio.

Los modelos electricos se basan en un analisis electrico de los nodos o ramas que

conforman el circuito o sistema. Debido al analisis empleado, se obtienen modelos

muy detallados lo cual resulta en un amplio numero de variables y de ecuaciones

1.2. MODELADO COMPORTAMENTAL ANALOGICO 5

Figura 1.2: Tipos de modelos.

lineales (KVL, KCL) y por lo tanto en matrices MNA dramaticamente extensas

en donde el tiempo de computo es muy grande.

Los modelos de subcircuitos tambien emplean un analisis electrico pero sus ma-

trices MNA son menos extensas y su tiempo de computo es menor. Su principal

desventaja radica en que su analisis solo abarca un subcircuito o bloque del sistema

general.

Los modelos de retardos son diagramas de bloques que ilustran los retardos a traves

de sus dispositivos o elementos [3]. Su principal limitacion es la poca exactitud que

poseen.

Por otra parte, los modelos comportamentales describen bloques, circuitos o sis-

temas de manera funcional con un menor numero de variables provocando ası sim-

ulaciones mucho mas rapidas [4]. A causa de la anterior caracterıstica, la cual

implica un menor tiempo de computo, el presente trabajo se enfoca en el analisis

del modelado analogico de comportamiento.

El modelado comportamental analogico es el proceso de desarrollar un modelo para

un componente de un circuito o sistema, siendo lineal o no lineal, mediante ecua-


ciones generadas facilmente. El objetivo del modelado comportamental analogico

es [5] formular una ecuacion de forma sencilla que represente un parametro medi-

do, el cual puede ser una funcion de multiples variables independientes ortogonales

que simultaneamente controlen el comportamiento del sistema, como se muestra

en la figura 1.3.

Figura 1.3: Ecuacion comportamental y las variables que la controlan.

El modelado comportamental posee dos importantes aplicaciones en el dominio

de la simulacion analogica: el modelado de nuevos dispositivos y el modelado de

sistemas complejos mediante cajas negras. Ambas aplicaciones pueden ser usadas

para disenar sistemas en un nivel abstracto para posteriormente avanzar hacia el

diseno detallado a nivel circuito. El detallado de los modelos corresponde con los

efectos que deben ser considerados, tales como:

Comportamiento en pequena y gran senal.

Comportamiento en baja y alta frecuencia.

Comportamiento dinamico.

Consumo de potencia.

1.3. LENGUAJES DESCRIPTIVOS DE ALTO NIVEL 7

Ruido, etc.

Por lo tanto, el modelado comportamental analogico es una tecnica de modelado

de alto nivel en el cual se desarrolla el comportamiento general de un sistema,

explorando la posibilidad de nuevas arquitecturas de alto nivel.

1.3. Lenguajes descriptivos de alto nivel

Los lenguajes descriptivos de hardware (HDLs) [6] son lenguajes de programacion

disenados para describir el comportamiento de dispositivos y procesos fısicos, una

tarea comunmente llamada modelado. Los modelos escritos en HDL son usados

como entrada hacia un simulador para analizar el comportamiento de los disposi-

tivos.

Los HDLs tienen dos principales aplicaciones [7]: simulacion y sıntesis. La finalidad

de usar HDLs en la simulacion es la expresividad: deben ser capaces de describir

facilmente una amplia variedad de comportamientos. La finalidad de usar HDLs

en la sıntesis es el ser realizables: solo deben permitir los comportamientos que

pueden ser implementados.

Los HDLs pueden ser divididos en digital, analogico y de senal mixta, como se

muestra en la figura 1.4.

Figura 1.4: Tipos de HDLs.


El presente trabajo esta enfocado en utilizar herramientas HDLs analogicas.

1.3.1. Verilog-A

Verilog-A HDL permite a los disenadores de sistemas analogicos y circuitos integra-

dos [8] la creacion y uso de modulos los cuales encapsulan descripciones comporta-

mentales de alto nivel ası como descripciones estructurales de sistemas, circuitos y

componentes. El comportamiento de cada modulo puede ser descrito matematica-

mente en terminos de sus terminales y parametros externos aplicados al modulo.

Los sistemas pueden ser construidos mediante la conexion de modulos a nodos

mediante puertos como se muestra en la figura 1.5.

Figura 1.5: Modulos conectados a un nodo a traves de puertos

1.3.2. AnalogInsydes

Analog Insydes [9] es una herramienta HDL para el modelado, analisis y diseno

de circuitos electronicos analogicos, hecha especıficamente para aplicaciones indus-

triales. Basado en un lenguaje de descripcion jerarquico, Analog Insydes describe

tanto circuitos lineales y no lineales ası como tambien sistemas de control, y au-

tomaticamente establece sistemas de ecuaciones en el dominio de la frecuencia y

en el dominio del tiempo.

1.4. OBJETIVO DE LA TESIS 9

1.4. Objetivo de la tesis

El objetivo de la tesis es generar modelos analogicos comportamentales orientados a

funciones o ecuaciones constitutivas de ramas, lo que permite llevar a cabo analisis

tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Todo esto en el

contexto de una metodologıa de diseno top-down usando Verilog-A y AnalogInsydes

como herramientas HDL para la creacion de modulos que formaran parte de los

modelos construidos.

Capıtulo 2

Generacion de modelos

comportamentales

2.1. Tipos de modelos comportamentales

Un modelo comportamental trata de capturar la mayor funcionalidad que posee

un dispositivo, circuito o sistema, con menos detalles de implementacion [10]. Lo

cual implica un sacrificio entre precision y complejidad (numero de componentes)

del modelo comportamental.


en circuitos electricos

Los modelos comportamentales basados en circuitos electricos se realizan mediante

el establecimiento de la matriz de analisis nodal modificado (MNA) del circuito

completo.

Dependiendo del dominio de analisis y el numero de elementos involucardos en el

modelado, varıan los tamanos de las matrices y vectores involucrados en la matriz

MNA.

11

12 CAPITULO 2. GENERACION DE MODELOS COMPORTAMENTALES

El circuito de la figura 2.1 muestra un amplificador compuesto de dos amplifi-

cadores identicos (Q1, Q2) de emisor comun conectados en cascada.

Las partes activas del circuito pueden ser analizadas con modelos de pequena

senal, los cuales solo presentan fenomenos fısicos basicos, o con modelos de alta

frecuencia, los cuales contienen ademas fenomenos producidos en alta frecuencia.

Figura 2.1: Circuito electrico compuesto de dos amplificadores en emisor comun.

Para realizar un analisis de pequena senal se emplea el modelo hibrido π con

resistencia ro incluida [11] para la parte activa del circuito (Q1, Q2), el cual es

mostrado en la figura 2.2. Siendo (a) su representacion como un amplificador de

transconductancia y (b) su representacion como un amplificador de corriente.

2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 13

Figura 2.2: Modelo hibrido π a pequena senal, en dos secciones, con la resistencia ro

incluida.

Al realizar la sustitucion del modelo en las partes activas del circuito, se obtiene

la siguiente matriz MNA:

R1 + R2 + rπ1 0 0

gm1 R3 + R4 + R5 + rπ2 + ro1 0

0 gm2 R6 + ro2

La matriz MNA resultante es de 3x3 con 12 variables.

Por el contrario, al realizar un analisis de alta frecuencia al circuito de la figura

2.1 mediante el modelo hibrido π de alta frecuencia [11], el cual se muestra en

la figura 2.3, y sustituirlo en la(s) parte(s) activa(s) del circuito, se obtiene la

siguiente matriz MNA:


Figura 2.3: Modelo hibrido π de alta frecuencia.

R1 + R2 + rx1 −rx1 0 0 0

−rx1 rx1 + rπ1 −sCµ1 0 0

+sCπ1 + sCµ1

0 −sCµ1 + gm1 sCµ1 + ro1 + R3 −rx2 0

+R4 + R5 + rx2

0 0 −rx2 rx2 + rπ2 −sCµ2

+sCπ2 + sCµ2

0 0 0 −sCµ2 + gm2 sCµ2 + R6 + ro2

La matriz MNA resultante es de 5x5 con 18 variables.

Como se observa, un cambio en la complejidad de los modelos ocasiona un cambio

en las dimensiones de la representacion MNA. En el anterior ejemplo, el cambio de

modelo en las partes activas provoca un aumento en el tamano de la matriz MNA,

de 3x3 a 5x5, lo cual involucra un incremento en el tiempo de computo, como se

menciono en el capıtulo anterior.


Para circuitos grandes y a medida que se descienda en el nivel de jerarquıa, las

matrices involucradas creceran en tamano lo que implicara un aumento en tiempo

de computo y complejidad de calculo.

Se requiere entonces de modelos alternativos que permitan llevar a cabo el analisis

de forma mas eficiente. Un enfoque esta basado en el modelado comportamental.

La figura 2.4 describe de manera general como obtener un modelo comportamental

basado en un circuito electrico.

Figura 2.4: Modelo comportamental basado en circuitos electricos.

Partiendo del circuito electrico se establece la matriz MNA, la cual indica la influ-

encia electrica de cada componente en todo el sistema. Posteriormente, de la matriz

obtenida se genera un modelo comportamental que contenga todos los fenomenos

electricos ha considerarse de acuerdo al dominio de analisis elegido. Finalmente,

se lleva a cabo una simulacion del circuito para lograr una verificacion del modelo


comportamental generado.


en subcircuitos electricos

Los modelos comportamentales basados en subcircuitos electricos se realizan me-

diante el establecimiento de la matriz de analisis nodal modificado (MNA) del

subcircuito seleccionado, el cual pertenece a una etapa o seccion de un circuito

electrico completo.

El circuito de la figura 2.5 es un amplificador operacional con retroalimentacion

en corriente (CFOA)[12].

Figura 2.5: Amplificador operacional con retroalimentacion en corriente (CFOA).

El CFOA de la figura 2.5 puede ser sintetizado en dos subcircuitos, un current

conveyor de segunda generacion (CCII) y un seguidor de voltaje (VF), como se

muestra en la figura 2.6.

Otra alternativa para sintetizar el CFOA de la figura 2.5 se observa en la figura 2.7,

en donde el circuito esta compuesto de tres subcircuitos: un seguidor de voltaje,

posteriormente un espejo de corriente (CM) y finalmente otro seguidor de voltaje.


Figura 2.6: CFOA compuesto por un current conveyor y un seguidor de voltaje.

Figura 2.7: CFOA compuesto por dos seguidores de voltaje y un espejo de corriente.

La eleccion de la topologıa del current conveyor de segunda generacion (CCII),

el seguidores de voltaje (VF) y el espejo de corriente (CM) depende de las carac-

terısticas requeridas de acuerdo a la aplicacion, tales como: impedancia de entrada,

impedancia de salida, ganancia unitaria, ancho de banda de ganancia unitaria, etc.

La figura 2.8 describe de manera general como obtener un modelo comportamental

basado en un subcircuito electrico.

Partiendo del circuito electrico se establecen los subcircuitos del sistema, para cada

subcircuito se consideran las especificaciones que se deben cumplir de acuerdo a

la aplicacion. Posteriormente se establecen las matrices MNA de cada subcircuito,

las cuales sirven para la generacion de los modelos comportamentales. Finalmente,

los subcircuitos son simulados de manera independiente para comprobar su fun-


Figura 2.8: Modelo comportamental basado en subcircuitos electricos.

cionamiento y tambien son interconectados para realizar una verificacion general

del comportamiento de todo el sistema.

2.1.3. Modelos comportamentales en el dominio

de la frecuencia y en el dominio del tiempo

Dominio del tiempo

Los modelos comportamentales en el dominio del tiempo son realizados mediante

ecuaciones diferenciales y caracterizados por la evolucion de sus variables en el

tiempo. Su respuesta en el tiempo es tipicamente caracterizada en terminos como:

Steady state gain, amplificacion o atenuacion de una senal constante despues


del transiente.

Rise time, tiempo de reaccion a un cambio en la entrada.

Settling time, tiempo en el cual el transiente alcanza un nivel asintotico.

Overshoot, distancia entre el valor final y el maximo crecimiento en la re-

spuesta durante el transiente.

Uno de sus usos se ha visto en [13], donde se determinan los parametros de bloques

analogicos RF, los cuales solo puedan ser derivados de simulaciones en el dominio

del tiempo.

Dominio de la frecuencia

Los modelos comportamentales en el dominio de la frecuencia son realizados medi-

ante funciones de transferencia [14], las cuales capturan el comportamiento como

una funcion de la variable compleja s. Estos modelos pueden ser manipulados por

reglas algebraicas simples; por lo tanto, funciones de tranferencia de arquitecturas

paralelas, series y de retroalimentacion pueden ser computadas de manera directa.

La funcion de transferencia esta dada por una razon de polinomios:

T (s) =bmsm + bm−1s

m−1 + ...b1s + b0

ansn + an−1sn−1 + ...a1s + a0

(2.1)

siendo n > m, donde cada coeficiente esta expresado como:

bi = fb1(C) (2.2)

ai = fa1(C) (2.3)


donde C representa el conjunto de valores de los componentes. Ademas, los valores

de los componentes pueden ser separados en valores de dispositivos activos (A) y

valores de dispositivos pasivos (P), lo cual produce:

bi = fb1(A,P) (2.4)

ai = fa1(A,P) (2.5)

Componentes activos y pasivos son simulados por medio de una correcta repre-

sentacion del analisis nodal modificado (MNA), como se muestra en la figura 2.9.

Figura 2.9: Establecimiento de la matriz MNA.

La respuesta en frecuencia es tıpicamente caracterizada en terminos como:

Frequency response, representacion general del comportamiento del sistema

como una funcion de frecuencia.


Poles, raices del denominador polinomial de la funcion de transferencia, las

cuales determinan la estabilidad y, junto con los zeros, las caracterısticas

transitorias.

Zeros, raices del numerador polinomial de la funcion de transferencia, las

cuales determinan la estabilidad inversa y, junto con los poles, las carac-

terısticas transitorias.

Relative degree, numero de poles menos el numero de zeros ; determina si un

sistema es strictly proper, biproper o improper.

Strictly proper, el sistema tiene mas poles que zeros, es implementable y posee

una ganacia cero en alta frecuencia.

Biproper, el sistema tiene igual numero de poles y zeros, es implementable y

posee una ganacia finita en alta frecuencia.

Improper, el sistema tiene mas zeros que poles, no es implementable y posee

una ganacia infinita en alta frecuencia.

En general, un modelo comportamental en el dominio de la frecuencia describe la

relacion entre las componentes espectrales de las senales de entrada y salida en los

puertos de un dispositivo bajo prueba (DUT)[15].

La figura 2.10 describe de manera general como obtener un modelo comportamen-

tal en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo.


Figura 2.10: Modelo comportamental en los dominios de frecuencia y tiempo.

2.2. Modelos basados en ecuaciones

constitutivas

Los modelos basados en ecuaciones constitutivas [16] provienen de la sıntesis de

redes ya sean de dos terminales, tres terminales o n-terminales, como se muestra

en la figura 2.11, usando solo un conjunto basico de elementos como: resistores,

capacitores, inductores, fuentes de voltage-corriente independientes y fuentes de

voltaje-corriente dependientes. Desafortunadamente, el anterior requerimiento no

es satisfecho cuando se usan dispositivos practicos como diodos, transistores, etc.

Sin embargo, tales dispositivos pueden ser reemplazados por un circuito equivalente

aproximado.

2.2. MODELOS BASADOS EN ECUACIONES CONSTITUTIVAS 23

Figura 2.11: Redes de (a) dos terminales, (b) tres terminales y (c) n-terminales.

Cada dispositivo puede tener distintos circuitos equivalentes aproximados. La ha-

bilidad de seleccionar el mas adecuado depende del entendimiento de su aplicacion,

ası como dos importantes cualidades de una senal: el rango de amplitud y el ancho

de banda.

El rango de amplitud corresponde al maximo y al mınimo swing de voltaje y

corriente al cual el dispositivo estara sujeto. El ancho de banda correspode a las

mas bajas y a las mas altas componentes de frecuencia de las senales.

La figura 2.12 muestra (a) un transistor npn, (b) su modelo π de pequena senal

y (c) su modelo de alta frecuencia. Cualquiera que sea su dominio de analısis, ya

sea DC, lineal AC o transistorio, siempre las caracterısticas de sus elementos de

ramas podran ser expresados en una sistema de matrices de la forma

i1

i2...

ib

=

y11 y12 . . . y1b

y21 y22 . . . y2b

......

. . ....

yb1 yb2 . . . ybb

v1

v2

...

vb


La cual puede ser escrita de manera compacta como

i = Ybv (2.6)

donde Yb es llamada la matriz de admitancias de ramas.

Figura 2.12: (a) Transistor npn, (b) su modelo π de pequena senal y (c) su modelo de

gran senal.

Redes topologicas de dos terminales, tres terminales o n-terminales, tanto lineales

como no lineales, pueden ser modeladas como una interconexion de elementos

con caracterısticas especıficas. Una descripcion completa del modelado de redes

topologicas debe contener la siguiente informacion:

2.2. MODELOS BASADOS EN ECUACIONES CONSTITUTIVAS 25

La forma de interconexion de puertos o ramas de los elementos que integran

la red topologica.

La direccion de las senales de corriente y voltaje de los puertos o ramas de

cada elemento.

Caracterısticas de los puertos o ramas.

En general, los modelos basados en ecuaciones constitutivas se pueden formar me-

diante la formulacion de ecuaciones que provienen de la ley de voltajes de Kirchhoff

(KVL) y de la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL) ası tambien mediante la formu-

lacion de ecuaciones nodales y mediante la formulacion de ecuaciones de estado.

Capıtulo 3

Metodologıa de modelado

3.1. Metodologıa por reconstruccion de senal

Una metodologıa por reconstruccion de senal construye modelos para dispositivos,

subcircuitos o circuitos mediante la adquisicion de datos provenientes de graficas

de salida de las variables a modelar, ya sea en un instante de tiempo especıfico o

en rango de frecuencia en particular.

Figura 3.1: Curva caracterıstica I-V de un NR

27

28 CAPITULO 3. METODOLOGIA DE MODELADO

La figura 3.1 muestra la curva caracterıstica corriente contra voltaje I-V de un

resistor no lineal llamado diodo de Chua (NR) [17].

Inicialmente se observa que la curva caracterıstica I-V de la figura 3.1 puede ser

seccionada en 5 zonas como se muestra en la figura 3.2, en donde cada zona posee

un rango de operacion en especifico ası como una pendiente constante, ya sea

positiva o negativa.

Figura 3.2: Zonas de la curva caracterıstica I-V de un NR

La zona 1 trabaja en un rango de voltaje menor a -400mV y con una pendiente

positiva aproximada de 8.39x10−4, con un desfase positivo de valor con respesto al

eje vertical de 0.53x10−3. La zona 2 trabaja en un rango de voltaje mayor o igual a

-400mV y menor a -114mV, con una pendiente negativa aproximada de 4.05x10−4

y un desfase positivo de valor con respecto al eje vertical de 38x10−6. La zona 3

trabaja en un rango de voltaje mayor o igual a -114mV y menor o igual a 114mV,

con una pendiente negativa aproximada de 8.39x10−4. La zona 4 trabaja en un

rango de voltaje mayor a 114mV y menor o igual a 400mV, con una pendiente

negativa aproximada de 4.05x10−4 y un desfase negativo de valor con respecto al

3.1. METODOLOGIA POR RECONSTRUCCION DE SENAL 29

eje vertical de 38x10−6. La zona 5 trabaja en un rango de voltaje mayor a 400mV

y con una pendiente positiva aproximada de 8.39x10−4, con un desfase positivo de

valor con respesto al eje vertical de 0.53x10−3.

Los valores de las pendientes se obtienen seleccionando dos puntos que pertenecen

a la recta y posteriormente utilizando la siguiente formula:

m =y2 − y1

x2 − x1

(3.1)

en donde x1 y y1 son las coordenadas en los ejes horizontal y vertical respectiva-

mente del punto 1, x2 y y2 son las coordenadas en los ejes horizontal y vertical

respectivamente del punto 2 y, m es la pendiente resultante entre los dos puntos

seleccionados.

Figura 3.3: Prolongacion de rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5


El desfase de valor con respecto al eje vertical se calcula mediante la prolongacion

de la recta hasta topar con el eje. En la figura 3.3 se muestra el procedimiento para

obtener los valores de desfase de las rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5 de la figura 3.1.

Finalmente se puede concluir que para llevar a cabo una metodologıa por recon-

struccion de senal se deben seguir los siguientes pasos:

1. Seccionar la curva caracterıstica en zonas.

2. Calcular las pendientes de las rectas de cada zona.

3. Obtener los desfases de valor con respecto a los ejes de las zonas que no

pasan por el origen.

3.2. Metodologıa por aproximacion de senal

Una metodologıa por aproximacion de senal construye modelos para dispositivos,

subcircuitos o circuitos mediante la utilizacion de funciones contınuas, funciones

piece-wise linear (PWL) o aproximaciones polinomiales, ya sea en un instante de

tiempo especıfico o en una frecuencia en particular.

3.2.1. Funciones contınuas

Una funcion f definida sobre un intervalo I es contınua si la curva que la representa,

es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, esta constituida por un

trazo contınuo, como en la figura 3.4 y no como en la figura 3.5.

El intervalo I de x es el dominio de definicion de f , definido como el conjunto de

los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el codominio

(tambien conocido como contradominio, rango o imagen) de f , el conjunto de

valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I).

3.2. METODOLOGIA POR APROXIMACION DE SENAL 31

Figura 3.4: Funcion contınua

Figura 3.5: Funcion discontınua

El mayor elemento de J se llama el maximo absoluto de f en I, y el menor valor

de J es su mınimo absoluto en el dominio I.

3.2.2. Funciones piecewise linear

Una funcion piecewise linear [18] es la aproximacion de un comportamiento no-

lineal utilizando un mapeo de descripciones lineales por segmentos, donde cada

segmento puede ser visto como una ecuacion de recta. El problema basico es trans-

formar una ecuacion no lineal a un sistema de ecuaciones lineales.


La figura 3.6 muestra a) la curva caracterıstica I-V del diodo tunel y b) su aprox-

imacion piecewise linear.

Figura 3.6: (a) Curva caracterıstica I-V del diodo tunel y (b) su aproximacion piecewise

linear

3.2.3. Aproximaciones polinomiales

Un polinomio es una expresion que esta construida a partir de una o varias vari-

ables y constantes, usando solo las operaciones de suma, resta, multiplicacion y

exponentes de numeros enteros positivos constantes. Ejemplo de un polinomio es

x2 − 4x + 8 (3.2)

3.2. METODOLOGIA POR APROXIMACION DE SENAL 33

Una funcion polinomial es una funcion definida por la evaluacion de un polinomio.

Por ejemplo, la funcion f definida por

f(x) = x3 + 6x (3.3)

es una funcion polinomial. Las funciones polinomiales son una clase importante de

funciones “suaves”. El adjetivo “suave” proviene de calculo. Significa que siempre

es posible tomar las derivadas sucesivas de una funcion polinomial, repetidamente,

hasta el orden del polinomio.

Figura 3.7: Curvas provenientes de polinomios

La figura 3.7 muestra algunas curvas provenientes de polinomios. La curva de la

figura 3.7 a) proviene de un polinomio de segundo grado de la forma


f(x) = x2 − x− 2 = (x− 1)(x− 2) (3.4)

La curva de la figura 3.7 b) proviene de un polinomio de tercer grado de la forma

f(x) =x3

5+

4x2

5− 7x

5− 2 (3.5)

La curva de la figura 3.7 c) proviene de un polinomio de cuarto grado de la forma

f(x) =1

14(x + 4)(x + 1)(x− 1)(x− 3) + 0,5 (3.6)

La curva de la figura 3.7 d) proviene de un polinomio de quinto grado de la forma

f(x) =1

20(x + 4)(x + 2)(x + 1)(x− 1)(x− 3) + 2 (3.7)

3.3. Metodologıa por variables de estado

La representacion o modelado mediante variables de estado consiste en relacionar

matematicamente las salidas con las entradas a traves de las variables de estado

como paso intermedio.

Cualquier red concentrada obedece tres leyes basicas: la ley de voltajes de Kirch-

hoff, la ley de corrientes de Kirchhoff y las leyes de elementos (caracterısticas

de ramas). Si se parte de la tres anteriores leyes, entonces se pueden reducir las

ecuaciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden linealmente

independientes

x = f(x, t) (3.8)

3.3. METODOLOGIA POR VARIABLES DE ESTADO 35

donde x es un conjunto de n variables auxiliares independientes, conocidas como

estados.

Figura 3.8: Circuito simple RLC

La figura 3.8 muestra un circuito simple RLC, en el cual para encontrar un mod-

elo por variables de estado debemos primeramente considerar que el numero de

variables de estado es igual al numero de almacenadores de energıa que hay en el

sistema, es decir la cantidad de capacitores o inductores que tiene el circuito. La

eleccion comun de variables de estado en el circuito de la figura 3.8 son la tension

en el capacitor Vc y la corriente electrica a traves del inductor IL. Considerando IR

como la corriente a traves de la resistencia R y u = u(t), las ecuaciones de estado

pueden obtenerse mediante leyes de Kirchhoff:

u = R · IR + Vc

C · dVc

dt= IR − IL (3.9)

L · dIL

dt= Vc

Despejando IR de la primera ecuacion y sustituyendola en la segunda, se obtiene


dVc

dt=

u

CR− Vc

CR− IL

CdIL

dt=

1

L· Vc (3.10)

La ecuacion 3.10 define totalmente el comportamiento del circuito y puede ser

resuelta en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

Uno de los problemas mas importantes para llevar a cabo el modelado mediante

variables de estado reside en el hecho de identificar estados (voltajes de capacitores

y corrientes de inductores) que sean linealmente independientes [19].

Capıtulo 4

Casos de estudio

En el presente capıtulo se aborda la aplicacion al analisis de circuitos de modelos

comportamentales analogicos que se orientan a funciones constitutivas de rama.

Estos modelos se han codificado en Verilog-A y verificado mediante simulacion

circuital en HSPICE.

Adicionalmente, se usa otra herramienta llamada Analog Insydes la cual permite la

generacion de modelos comportamentales con enfasis en la manipulacion simbolica.

4.1. Circuito de Chua

El circuito de Chua es un claro ejemplo de un circuito oscilador simple autonomo

no-lineal, el cual exhibe comportamiento caotico. Consiste de un resistor R, dos

capacitores C1 y C2, un inductor L y una conductancia activa no-lineal NL. La

figura 4.1 muestra los elementos del circuito Chua, ası como sus interconexiones.

Los valores de los elementos del circuito son asumidos como: R = 1.43Ω, C1 =

111mF , C2 = 1F , L = 143mH [20].

37

38 CAPITULO 4. CASOS DE ESTUDIO

Figura 4.1: Circuito de Chua.

La conductancia activa no-lineal NL posee una relacion corriente-voltaje como

funcion constitutiva de rama. En este ejemplo para observar oscilaciones caoticas

se utilizan funciones que tienen una relacion voltaje-corriente cualitativamente,

como: -arctan, funciones piecewise linear (PWL) y aproximaciones polinomiales.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.2: Funcion i=-arctan·voltaje.

4.1. CIRCUITO DE CHUA 39

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.3: Funcion piecewise linear.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.4: Aproximacion polinomial.

Posteriormente se implementan las diferentes relaciones voltaje-corriente, mostradas

en las figuras 4.2, 4.3 y 4.4, de la conductancia no lineal NL mediante modelos

analogicos comportamentales generados en Analog Insydes. Finalmente se estruc-

tura un modelo general del circuito mostrado en la figura 4.1 el cual contiene los

modelos analogicos comportamentales de las tres diferentes funciones y se obtienen

mediante analisis en transitorio las graficas mostradas en las figuras 4.5, 4.6 y 4.7.


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

Figura 4.5: Respuesta del circuito Chua usando funcion i=-arctan·voltaje.

-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

Figura 4.6: Respuesta del circuito Chua usando funcion Piecewise linear.

-4 -2 2 4V$1@tD

-4

-2

2

4

I$L@tD

Figura 4.7: Respuesta del circuito Chua usando aproximacion polinomial.


4.1.1. Analisis con el modelo i=-arctan·voltaje.

El modelo i=-arctan·voltaje cuya funcion se muestra en la figura 4.2 se modifica

dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.8. Los valores

implican escalamientos de la funcion i=-arctan·voltaje por un coeficiente llamado

α. El coeficiente α toma valores de 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.05 y 2.06, como se muestra

en las figuras 4.9 y 4.10. El objetivo es analizar el comportamiento de los atractores

cuando la funcion del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.8: Zona de analisis del modelo i=-arctan·voltaje.

-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

-2 -1 1 2V$1@tD

-3

-2

-1

1

2

3

I$L@tD

(a) α=1.25 (b) α=1.5

Figura 4.9: Analisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u).


-2 -1 1 2V$1@tD

-3

-2

-1

1

2

3

I$L@tD

-2 -1 1 2 3V$1@tD

-4

-3

-2

-1

1

2

3

I$L@tD

(c) α=1.75 (d) α=2

-2 -1 1 2 3V$1@tD

-4

-3

-2

-1

1

2

3I$L@tD

-2 -1 1 2 3V$1@tD

-4

-3

-2

-1

1

2

I$L@tD

(e) α=2.05 (f) α=2.06



En un segundo experimento la funcion del modelo i=-arctan·voltaje se modifica

dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.11. El coefi-

ciente α toma valores de 0.82, 0.81, 0.8, 0.78, 0.76, 0.75, 0.74, 0.72 y 0.71, como

se muestra en las figuras 4.12 y 4.13. El objetivo es analizar el comportamiento de

los atractores cuando la funcion del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 4.11: Zona de analisis del modelo i=-arctan·voltaje.

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(a) α=0.82



-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(b) α=0.81 (c) α=0.8

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(d) α=0.78 (e) α=0.76

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(f) α=0.75 (g) α=0.74

-0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(h) α=0.72 (i) α=0.71



Conclusiones

Se observa que mientras el coeficiente α incremente su valor por encima de la

unidad, es decir la funcion del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje y,

uno de los atractores presente en el circuito dinamico comenzara a desaparecer

paulatinamente hasta el instante en el cual exista un solo atractor. Por otra parte,

mientras el coeficiente α decremente su valor por debajo de la unidad, es decir

la funcion del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje x, los dos atractores

comenzaran a desaparecer paulatinamente hasta formar un sistema oscilatorio sin

atractores.

4.1.2. Analisis con el modelo Piecewise linear

El modelo piecewise linear cuya funcion se muestra en la figura 4.3 se modifica

dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.14. Los valores

implican angulos de la pendiente central de la funcion piecewise linear represen-

tados por φ. El angulo φ toma valores de 48.36, 41.18, 14.03 y 3.57, como

se muestra en la figura 4.15. El objetivo es analizar el comportamiento de los

atractores cuando el angulo φ se aproxima a 0 con respecto al eje y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.14: Zona de analisis del modelo Piecewise linear.


-2 -1 1 2V$1@tD

-3

-2

-1

1

2

3I$L@tD

-3 -2 -1 1 2 3V$1@tD

-4

-2

2

4

I$L@tD

(a) φ=48.36 (b) φ=41.18

-4 -2 2 4V$1@tD

-6

-4

-2

2

4

6

I$L@tD

-4 -2 2 4V$1@tD

-6

-4

-2

2

4

6

I$L@tD

(c) φ=14.06 (d) φ=3.57

Figura 4.15: Analisis del modelo comportamental Piecewise linear.


En un siguiente experimento la funcion del modelo Piecewise linear se modifica

dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.16. La figura

4.17 brinda un acercamiento a la zona de analisis. Los valores implican angulos de

la pendiente central de la funcion piecewise linear representados por φ. El angulo

φ toma valores de 38.1, 37.3 y 36, como se muestra en la figura 4.18. El objetivo

es analizar el comportamiento de los atractores cuando el angulo φ se aproxima a

0 con respecto al eje x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e


−1.5 −1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.17: Acercamiento a la zona de analisis del modelo Piecewise linear.


-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

(a) φ=38.1

0.5 1 1.5V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5I$L@tD

0.5 1 1.5V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

I$L@tD

(b) φ=37.3 (c) φ=36



Un tercer experimento consiste en modificar la funcion del modelo Piecewise lin-

ear dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.19. Los

valores implican angulos de las pendientes laterales de la funcion piecewise linear

representados por φ. El angulo φ toma valores de 62.24, 60.23 y 59.9, como se

muestra en las figuras 4.20 y 4.21. El objetivo es analizar el comportamiento de

los atractores cuando el angulo φ se aproxima a 0 con respecto al eje y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e


-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

(a) φ=62.24



-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5V$1@tD

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

I$L@tD

(b) φ=60.23 (c) φ=59.9


El ultimo experimento consiste en modificar la funcion del modelo Piecewise lin-

ear dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.22. Los

valores implican angulos de las pendientes laterales de la funcion piecewise linear

representados por φ. El angulo φ toma valores de 23.96, 15.94 y 12.52, como

se muestra en la figura 4.23. El objetivo es analizar el comportamiento de los

atractores cuando el angulo φ se aproxima a 0 con respecto al eje x.

−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

Voltaje

Cor

rient

e



-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

(a) φ=23.96

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

I$L@tD

-0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

I$L@tD

(b) φ=15.94 (c) φ=12.52



Conclusiones

Se observa que mientras el angulo φ de la pendiente interna se aproxime al eje

y, los atractores presentes en el circuito dinamico empezaran a acercarse uno con

otro hasta formar un sistema oscilatorio alrededor de ellos. Por el contrario, si

el angulo φ de la pendiente interna se aproxima al eje x, uno de los atractores

desaparecera rapidamente mientras el otro sufrira deformaciones en su anchura.

Tambıen se puede observar que la aproximacion de las pendientes laterales ya sea

hacia el eje x o hacia el eje y ocasionara que uno de los atractores desaparezca

mientras el otro se deforma.

4.1.3. Analisis con el modelo de Aproximacion polinomial

El modelo de aproximacion polinomial cuya funcion se muestra en la figura 4.4 se

modifica dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.24.

Los valores implican escalamientos en la variable de tercer grado de la aproximacion

polinomial por un coeficiente llamado β.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Voltaje

Cor

rient

e

Figura 4.24: Zona de analisis del modelo Aproximacion polinomial.

El coeficiente β toma valores de 0.03, 0.04, 0.05, 0.08, 0.15, 0.2, 0.25 y 0.3, como

se muestra en las figuras 4.25 y 4.26. El objetivo es analizar el comportamiento


de los atractores cuando la pendiente negativa de la aproximacion polinomial se

reduce en su rango de operacion.

-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2

I$L@tD

(a) β=0.03 (b) β=0.04

-2 -1 1 2V$1@tD

-2

-1

1

2I$L@tD

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5V$1@tD

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

I$L@tD

(c) β=0.05 (d) β=0.08

Figura 4.25: Analisis del modelo comportamental Aproximacion polinomial.


-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-1 -0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(e) β=0.15 (f) β=0.2

-0.5 0.5 1V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

-0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75V$1@tD

-1

-0.5

0.5

1

I$L@tD

(g) β=0.25 (h) β=0.3

Figura 4.26: Analisis del modelo comportamental Aproximacion polinomial.

Conclusiones

Se observa que mientras el coeficiente β incremente su valor y por la tanto la

pendiente negativa de la aproximacion polinomial reduzca su rango de operacion,

los atractores presentes en el circuito dinamico empezaran a deformarse en su

anchura y ademas se formara un sistema oscilatorio alrededor de ellos.

4.2. OSCILADOR COLPITTS CLASICO 55

4.2. Oscilador Colpitts clasico

El oscilador Colpitts bajo estudio se muestra en la figura 4.27. Trabajos anteriores

[21, 22] han establecido que el oscilador Colpitts BJT puede exhibir comportamien-

to caotico y ademas que tal comportamiento caotico no es un efecto parasıtico. El

circuito consiste de un transistor Q de union bipolar (BJT), el cual es polarizado

en su region activa por medio de VEE, REE y VCC . El lazo de retroalimentacion

consiste en un inductor L con una resistencia en serie RL, y un divisor capacitivo

compuesto por C1 y C2.

Figura 4.27: Oscilador Colpitts BJT.

La parte activa del circuito es sustituida por el transistor 2n2222a, un modelo

simple del transistor como un elemento puramente resistivo, el modelo Ebers-Moll

hıbrido-π no lineal [23], el modelo Ebers-Moll de transpote [23] y finalmente por


el transistor 2n3904. Los tres modelos son codificados en modulos Verilog-A para

posteriormente ser insertados en la parte activa del circuito.

La frecuencia fundamental (ω = 2πf) para el oscilador Colpitts BJT puede ser

calculada mediante la siguiente expresion

ω =

√C1 + C2

LC1C2

(4.1)

4.2.1. Analisis con transistor 2n2222a

Mediante el uso del transistor 2n2222a para la parte activa del circuito y el es-

tablecimiento de los siguientes parametros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω,

RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las graficas de

salida mostradas en las figuras 4.28 y 4.29.

VC

2

−2.0

−1.0

0.0

1.0

VC1

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Figura 4.28: Analisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2


VC

1

0.0

2.0

4.0

6.0

IL

−60.0m −50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

Figura 4.29: Analisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1

4.2.2. Analisis con modelo simple del transistor

Se asume que el transistor BJT en el oscilador Colpitts actua como un elemento

puramente resistivo, por lo cual se modela como un resistor NR de dos segmentos

lineal a trozos controlado por voltaje y una fuente de corriente lineal controlada

por corriente, como se muestra en la figura 4.30.

Figura 4.30: Modelo simple del BJT

Tal modelo opera en dos regiones: activo y corte. Por lo tanto, se establecen las

siguientes condiciones de operacion


IB =

0 si VBE ≤ VTH

VBE−VTH

RONsi VBE > VTH

IC = βF IB

donde VTH es el voltaje de umbral, RON es la resistencia de pequena senal de la

union base-emisor y βF es la ganancia de corriente.

Mediante el uso del modelo simple, codificado en un modulo Verilog-A, para

la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes parametros:

VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pF

y C2 = 330pF , se obtienen las graficas de salida mostradas en las figuras 4.31 y

4.32.

VC

2

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

VC1

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Figura 4.31: Analisis con modelo simple. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2


VC

1

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

IL

−50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

Figura 4.32: Analisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1

4.2.3. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal

El modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal es mostrado en la figura 4.33. Donde

Figura 4.33: Modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal

ICC

βF

=IS

βF

[eqVBE

KT − 1] (4.2)

IEC

βR

=IS

βR

[eqVBC

KT − 1] (4.3)


ICT = ICC − IEC = IS[eqVBE

KT − 1]− [eqVBC

KT − 1] (4.4)

IS es la corriente de saturacion del transistor, BF es la ganancia de corriente de

gran senal en emisor comun y BR es la ganancia de corriente inversa de gran senal

en emisor comun.

Mediante el uso del modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal, codificado en un modu-

lo Verilog-A, para la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes

parametros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH,

C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las graficas de salida mostradas en las

figuras 4.34 y 4.35.

VC

2

−3.0

−2.0

−1.0

0.0

1.0

VC1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Figura 4.34: Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC1;

eje vertical: VC2


VC

1

0.0

2.0

4.0

6.0

IL

−0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m

Figura 4.35: Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL; eje

vertical: VC1

4.2.4. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte

El modelo Ebers-Moll de transporte se conforma ya sea por las corrientes con las

flechas apuntando hacia arriba o por las corrientes con las flechas apuntando hacia

abajo presentadas en la figura 4.36.

Figura 4.36: Modelo Ebers-Moll de transporte

Mediante el uso del modelo Ebers-Moll de transporte, codificado en un modulo

Verilog-A, para la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes

parametros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH,


C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las graficas de salida mostradas en las

figuras 4.37 y 4.38.

VC

2

−3.0

−2.0

−1.0

0.0

1.0

VC1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Figura 4.37: Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC1; eje

vertical: VC2

VC

1

0.0

2.0

4.0

6.0

IL

−0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m

Figura 4.38: Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje ver-

tical: VC1


4.2.5. Analisis con transistor 2n3904

Mediante el uso del transistor 2n3904 para la parte activa del circuito y el es-

tablecimiento de los siguientes parametros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω,

RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las graficas de

salida mostradas en las figuras 4.32 y 4.40. V

C2

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

VC1

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Figura 4.39: Analisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: VC2; eje vertical: VC1

VC

1

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

IL

−50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

Figura 4.40: Analisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC2


Conclusiones

Se observa que al emplear el modelo simple del transistor, el modelo Ebers-Moll

hıbrido-π no lineal y el modelo Ebers-Moll de transporte para la parte activa del os-

cilador Colpitts BJT, el comportameinto caotico se presenta de manera semejante

al observado con los transistores 2n2222a y 2n3904.

4.3. Oscilador Colpitts de dos estados

Una version novedosa del oscilador Colpitts caotico [24] se muestra en la figura

4.41, el cual posee dos transistores de union bipolar acoplados en serie y su lazo

de resonancia consiste de un inductor y tres capacitores. En comparacion con el

oscilador Colpitts clasico, contiene un transistor extra Q2 acoplado en serie con el

transistor Q1 y ademas un capacitor extra C3. El capacitor CO aterriza las senales

de corriente alterna y el inductor LO juega el rol de estrangulador.

Las partes activas del circuito, Q1 y Q2, son sustituidas por transistores 2n2222a,

modelos simples del transistor como un elemento puramente resistivo, modelos

Ebers-Moll hıbrido-π no lineal, y modelos Ebers-Moll de transporte. Los tres mod-

elos son codificados en modulos Verilog-A para posteriormente ser insertados en

las partes activas del circuito.

La frecuencia fundamental (ω = 2πf) para el oscilador Colpitts BJT mostrado en

la figura 4.41, puede ser calculada mediante la siguiente expresion

ω =

√C1C2 + C1C3 + C2C3

LC1C2C3

(4.5)

4.3. OSCILADOR COLPITTS DE DOS ESTADOS 65

Figura 4.41: Oscilador Colpitts BJT de dos estados.

4.3.1. Analisis con modelo simple del transistor

Mediante el uso del modelo simple del transistor, codificado en un modulo Verilog-

A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes paramet-

ros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 = C3 =

150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

obtienen las graficas de salida mostradas en las figuras 4.42 y 4.43.


Ve

5.0

10.0

15.0

Vc

−20.0 −10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

Figura 4.42: Analisis con modelo simple. Eje horizontal: VC ; eje vertical: VE

Vc

−20.0

0.0

20.0

40.0

IL

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

Figura 4.43: Analisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC

4.3. OSCILADOR COLPITTS DE DOS ESTADOS 67

4.3.2. Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal

Mediante el uso del modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal, codificado en un modulo

Verilog-A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes

parametros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 =

C3 = 150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

obtienen las graficas de salida mostradas en las figuras 4.44 y 4.45. V

e

4.0

5.0

6.0

7.0

Vc

4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

Figura 4.44: Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC ; eje

vertical: VE

IL

−0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m 50.0m 75.0m

Vc

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

Figura 4.45: Analisis con modelo Ebers-Moll hıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL; eje

vertical: VC


4.3.3. Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte

Mediante el uso del modelo Ebers-Moll de transporte, codificado en un modulo

Verilog-A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes

parametros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 =

C3 = 150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

obtienen las graficas de salida mostradas en las figuras 4.46 y 4.47.

Ve

0.0

10.0

20.0

30.0

Vc

−75.0 −50.0 −25.0 0.0 25.0 50.0 75.0

Figura 4.46: Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC ; eje

vertical: VE

Vc

−100.0

−50.0

0.0

50.0

100.0

IL

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Figura 4.47: Analisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje ver-

tical: VC

4.4. FILTROS SALLEN & KEY 69

Conclusiones

Se observa que al emplear el modelo simple del transistor, el modelo Ebers-Moll

hıbrido-π no lineal y el modelo Ebers-Moll de transporte para las partes activas

del oscilador Colpitts BJT de dos estados, el comportameinto caotico se presenta

de manera semejante al observado con tecnicas de simulacion simbolica.

4.4. Filtros Sallen & Key

Para ilustrar la aplicacion de modelos comportamentales analogicos en el dominio

de la frecuencia se analiza la conocida estructura Sallen&Key [25] determinandose

funciones de transferencia y respuesta en frecuencia.

La funcion bicuadratica de transferencia de un filtro general de segundo orden se

expresa de la forma estandar

T (s) =a2s

2 + a1s + a0

s2 + ω0

Qs + ω2

0

(4.6)

donde ω0 y Q determinan los polos, segun la ecuacion

p1, p2 = − ω0

2Q± jω0

√1− (

1

4Q2) (4.7)

El parametro Q determina la distancia de los polos desde el eje jω; cuanto mas

alto es el valor de Q, mas cerca estan los polos al eje jω lo cual ocasiona una

respuesta mas selectiva del filtro. Un valor infinito de Q ubica a los polos sobre el

eje jω. El paramtro Q recibe el nombre de factor calidad de polo, o simplemente

Q de polo.

Los ceros de transmision de un filtro de segundo orden son determinados por los

coeficientes del numerador a0, a1 y a1. Los coeficientes del numerador determinan


el tipo de funcion del filtro de segundo orden (es decir, Filtro Pasa Bajas, Filtros

Pasa Altas, Filtros Pasa Bandas, etc.)

Figura 4.48: Filtro Pasa Bajas de segundo orden

Figura 4.49: Filtro Pasa Altas de segundo orden

Figura 4.50: Filtro Pasa Bandas de segundo orden

Las figuras 4.48, 4.49 y 4.50 muestran los filtro de segundo orden Pasa Bajas,

Pasa Altas y Pasa Bandas respectivamente, en una topologıa llamada Sallen&Key,

donde se emplean amplificadores operacionales en forma de VCVS (fuente de volta-

je controlada por voltaje) con ganancia K. Sus funciones de transferencia son


H(s) =K

C1C2R1R2

s2 + ( 1R1C1

+ 1R2C2

+ 1−KR2C2

)s + 1C1C2R1R2

(4.8)

H(s) =Ks2

s2 + ( 1R2C2

+ 1R2C1

+ 1−KR1C1

)s + 1C1C2R1R2

(4.9)

H(s) =1+KR1C2

s

s2 + ( C2+C1

R2C2C1−K 1

R1C2)s + 1

C1C2R1R2

(4.10)

las cuales se comparan con sus funciones de transferencia general para obtener los

valores de Q y ω0

T (s) =a0

s2 + sω0

Q+ ω2

0

(4.11)

T (s) =a2s

2

s2 + sω0

Q+ ω2

0

(4.12)

T (s) =a1s

s2 + sω0

Q+ ω2

0

(4.13)

4.4.1. ABM en el dominio de la frecuencia

El uso de modelos analogico comportamentales (ABM) en el dominio de la frecuen-

cia se encuentra enfocado en aspectos considerados por las funciones de transfer-

encia o los parametros de estabilidad que definen el comportamiento de sistemas

lineales como los filtros de segundo orden Sallen & Key, mostrados en las figuras

4.48, 4.49 y 4.50.

Mediante la creacion de modelos comportamentales ideales, los cuales parten de

las funciones de transferencia, se implementan los filtros Sallen&Key de segundo

orden Pasa Bajas, Pasa Altas y Pasa Bandas. Las respuestas en la frecuencia de

los filtros son mostradas de la figuras 4.51 a la figura 4.56, donde los filtros de las


figuras 4.51, 4.52 y 4.53 tiene una frecuencia de corte fc de 10KHz con una Q=10

y los filtros de las figuras 4.54, 4.55 y 4.56 tienen una frecuencia de corte fc de

10KHz con una Q=50. Todos los filtros poseen una ganancia de 0dB.

f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0

Figura 4.51: Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10

f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−200.0

−100.0

0.0

Figura 4.52: Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10


f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0

Figura 4.53: Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10

f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0



f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−200.0

−100.0

0.0

100.0


f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−200.0

−100.0

0.0

100.0



4.4.2. ABM de la parte activa

El uso de modelos analogico comportamentales (ABM) en la parte activa de los

filtros Sallen&Key parte de la definicion de modelos comportamentales orientados

hacia el amplificador operacional, los cuales incluyen efectos tales como ganancia

alta, polo sencillo y ancho de banda de ganancia unitaria.

La ganancia del amplificador operacional (A) puede ser expresada por las siguientes

variantes

Ganancia alta

A = A0 (4.14)

donde A0 representa un valor de ganancia alta (tıpicamente de 2x105).Lo cual hace

que no exista una dependencia de frecuencia.

Polo sencillo

A =A0

1 + sωp

(4.15)

donde el polo esta localizado en ωp.

Ancho de banda de ganancia unitaria

A =s

ωt

(4.16)

donde ωt es el ancho de banda de ganancia unitaria del amplificador operacional.

Mediante la creacion de modelos comportamentales orientados hacia el amplifi-

cador operacional, se implementan los filtros Sallen&Key de segundo orden Pasa


Bajas, Pasa Altas y Pasa Bandas. Las respuestas en la frecuencia de los filtros son

mostradas de la figuras 4.57 a la figura 4.62, donde los filtros de las figuras 4.57,

4.58 y 4.59 tiene una frecuencia de corte fc de 10KHz con una Q=10 y los filtros

de las figuras 4.60, 4.61 y 4.62 tienen una frecuencia de corte fc de 10KHz con una

Q=50.

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0

f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg


V(d

B)

−200.0

−100.0

0.0

100.0

f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg



f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0


f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0



f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−200.0

−100.0

0.0

100.0


f(Hz)

1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

V(d

B)

−100.0

−50.0

0.0

50.0


4.5. TRANSISTOR DE UN ELECTRON (SET) 79

Conclusiones

Se observa que los modelos comportamentales analogicos en el dominio de la fre-

cuencia pueden ser enfocados hacia aspectos relativos a la sıntesis de la funcion

de transferencia o parametros de estabilidad que definen el comportamiento de

sistemas lineales.

4.5. Transistor de un electron (SET)

Con la idea de ilustrar las posibilidades de modelado comportamental analogico en

dispositivos nanoelectronicos, la presente seccion se dedica al analisis del transistor

de un electron (SET).

Las herramientas de diseno asistido por computadora (CAD) para el diseno y

simulacion de circuitos electronicos han sido uno de los principales factores que

han contribuido al crecimiento de la industria microelectronica. Debido a que la

complejidad de los sistemas electronicos modernos incrementa, la necesidad de

mas herramientas CAD es crıtica [26]. Por lo tanto, la implementacion exitosa de

SETs en sistemas VLSI tambien demanda software competente para el diseno y la

simulacion de grandes circuitos.

El transistor de un electron (SET) es un dispositivo de ”switcheo”que utiliza un

”tuneleo” controlado de electron para amplificar corriente. Un SET esta hecho a

partir de dos uniones tunel que comparten un electrodo comun. Una union tunel

consiste de dos piezas de metal separadas por un aislante muy delgado (∼1nm).

El unico camino para los electrones que se transportan de un electrodo metalico

a otro es un tunel a traves del aislante. Debido a que el ”tuneleo” es un proceso

discreto, la carga electrica que fluye a traves de la union tunel fluye en multiplos

de e, la carga de un electron sencillo.

El circuito esquematico de un SET es mostrado en la figura 4.63. Las uniones tunel


son representadas por una combinacion de capacitancia y resistencia para capturar

su comportamiento. Los parametros principales del dispositivo son: la capacitancia

de compuerta (CG), la resistencia y capacitancia de fuente de la union tunel (RTS

y CTS), y la resistencia y capacitancia de drenaje (RTD y CTD).

Figura 4.63: Circuito esquematico de un SET

Un macromodelo del SET [27] se muestra en la figura 4.64 el cual modela el

comportamiento del SET usando circuitos equivalentes basados en componentes

microelectronicos convencionales (fuentes de voltaje, fuentes de corriente, diodos

y resistores).

Figura 4.64: Circuito electrico de un SET

4.5. TRANSISTOR DE UN ELECTRON (SET) 81

Partiendo de las curvas de salida VDS contra IDS del macromodelo de la figura 4.64,

se construye un modelo codificado en Verilog-A el cual simula el comportamiento

de las curvas para valores especıficos de VGS.

VDS

−50.0m −25.0m 0.0 25.0m 50.0m

ID

S

−0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 4.65: Curvas de salida del SET

La figura 4.65 muestra las curvas de salida del modelo Verilog-A, generado a partir

de las curvas VDS contra IDS del macromodelo de la figura 4.64.

Conclusiones

Se ha logrado generar las curvas de salida del SET a traves de un modelo Verilog-A,

las cuales concuerdan con el macromodelo de [27].

Capıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo se presentaron las aplicaciones al analisis de circuitos analogicos en

el dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo utilizando modelos analogicos

comportamentales. A continuacion se presentan algunas de las conclusiones mas

importantes obtenidas.

El beneficio de los modelos comportamentales analogicos no solo radica en

reducir el tiempo de computo sino tambien en permitir un amplio rango de

valores de los componentes que determinan el comportamiento del sistema o

circuito.

Se comprueba que el empleo de modelos analogicos comportamentales en los

circuitos mostrados como casos de estudio, brinda resultados semejantes a

los obtenidos mediante la tecnica de analisis circuital puro.

En particular el modelado de la parte activa por metodos comportamentales

permite seguir una trayectoria jerarquica que concuerda con la metodologıa

de diseno top-down.

La aplicacion del modelado comportamental ha sido ilustrada con varios

casos de estudio.

83

84 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Por un lado, en el dominio de la frecuencia se ejemplifico esta tecnica con la

conocida estructura de filtros activos Sallen&Key.

Por otro lado, en el dominio del tiempo, el trabajo se enfoco a determinar el

analisis del comportamiento caotico de varios circuitos dinamicos.

Se recurrio a Verilog-A y Analog Insydes para llevar a cabo la codificacion

de los modelos comportamentales.

Por ultimo, pero no menos importante se ilustro que el modelado compor-

tamental analogico puede ser extendido a dispositivos nanoelectronicos, al

aplicarlo a la caracterizacion del transistor de un electron (SET). Sin duda,

este hecho abre nuevas perspectivas al modelado comportamental analogico

en nuevas tecnologıas.

Claramente el modelado comportamental analogico no adolece de desventajas. Al

termino de la presente tesis se puede establecer como principal desventaja que el

dominio de analisis significa el mayor obstaculo, es decir, los modelos comporta-

mentales analogicos son diferentes para AC, DC y analisis transitorio.

Trabajo futuro

Entre otros aspectos, se puede mencionar

La jerarquizacion de los modelos comportamentales analogicos en los domin-

ios del tiempo y la frecuencia.

Asımismo, aplicar el modelado comportamental analogico a nuevas metodologıas

de diseno, tal como el diseno estructurado.

Por ultimo, en las aplicaciones nanoelectronicas, permitir una mayor y mas

clara interaccion de los parametros del SET y ademas abarcar otros dispos-

itivos como los nanotubos.

Apendice A

Modelos en Analog Insydes

A.1. Modelos de la funcion i=-arctan·voltajeModelo de la funcion i=-arctan·voltaje original.

Model[ Name->ChuaNL, Selector->ArcTan, Scope->Global, Ports->"A",

"B", Variables->Current["A", "B"], Voltage["A", "B"],

Definition->Current["A", "B"] == -ArcTan[Voltage["A", "B"]]]

Modelo de la funcion i=-arctan·voltaje con un α=1.25.



Definition->Current["A", "B"] == -ArcTan[1.25*Voltage["A", "B"]]]





85

86 APENDICE A. MODELOS EN ANALOG INSYDES





Modelo de la funcion i=-arctan·voltaje con un α=2.



Definition->Current["A", "B"] == -ArcTan[2*Voltage["A", "B"]]]


Model[ Name->ChuaNL, Selector->ArcTan, Scope-> Global, Ports->"A",











A.1. MODELOS DE LA FUNCION I=-ARCTAN·VOLTAJE 87


































A.2. Modelos para la funcion Piecewise linear

Modelo de la funcion piecewise linear original.

Model[ Name->ChuaNL, Selector->PWLInterpolation, Scope->Global,

Ports->"A", "B", Variables->Current["A", "B"], Voltage["A",

"B"], Definition->Current["A", "B"] == Interpolation[-6., 2.8,

-5., 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,

InterpolationOrder -> 1] [Voltage["A", "B"]]]

Modelo de la funcion piecewise linear con un φ=48.36.



A.2. MODELOS PARA LA FUNCION PIECEWISE LINEAR 89


-5., 2.8, -0.9, 0.8, 0.9, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,






-5., 2.8, -0.7, 0.8, 0.7, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,






-5., 2.8, -0.2, 0.8, 0.2, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,






-5., 2.8, -0.05, 0.8, 0.05, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,







-5., 2.8, -1.02, 0.8, 1.02, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,






-5., 2.8, -1.05, 0.8, 1.05, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,


Modelo de la funcion piecewise linear con un φ=36.




-5., 2.8, -1.1, 0.8, 1.1, -0.8, 5,-2.8, 6, -2.8,






-4.8, 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 4.8,-2.8, 6, -2.8,


A.2. MODELOS PARA LA FUNCION PIECEWISE LINEAR 91





-4.5, 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 4.5,-2.8, 6, -2.8,






-4.46, 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 4.46,-2.8, 6, -2.8,






-5.5, 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 5.5,-2.8, 6, -2.8,






-7.5, 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 7.5,-2.8, 6, -2.8,







-10., 2.8, -1., 0.8, 1, -0.8, 10,-2.8, 11, -2.8,


A.3. Modelos para la Aproximacion polinomial

Modelo de la aproximacion polinomial original.

Model[ Name->ChuaNL, Selector->Polynomial, Scope->Global, Ports->

"A", "B", Variables->Current["A", "B"], Voltage["A", "B"],

Definition->Current["A", "B"] == -0.81*Voltage["A", "B"] +

0.01*Voltage["A", "B"]^3]

Modelo de la aproximacion polinomial con un β=0.03.




0.03*Voltage["A", "B"]^3]





0.04*Voltage["A", "B"]^3]

A.3. MODELOS PARA LA APROXIMACION POLINOMIAL 93





0.05*Voltage["A", "B"]^3]





0.08*Voltage["A", "B"]^3]





0.15*Voltage["A", "B"]^3]





0.2*Voltage["A", "B"]^3]





0.25*Voltage["A", "B"]^3]






0.3*Voltage["A", "B"]^3]

Apendice B

Modulos en Verilog-A

B.1. Modulos para los osciladores Colpitts

Modulo del modelo simple para las partes activas de los osciladores Colpitts.

‘include “std.va”

‘include “const.va”

module modelo transistor simple(c,b,e);

inout c,b,e; electrical c,b,e;

parameter real Vth = 0.75;

parameter real Ron = 100;

parameter real Bf = 200;

analog begin

if (V(b,e) <= Vth)

I(b,e) < + 0;

else if (V(b,e) > Vth)

I(b,e) < + ((V(b,e)-Vth)/(Ron));

I(c,e) < + ((Bf)*I(b,e));

end endmodule

95

96 APENDICE B. MODULOS EN VERILOG-A

Modulo del modelo Ebers-Moll no lineal hidrido-π para las partes activas de los

osciladores Colpitts.



module modelo ebersmoll ian(c,b,e);



parameter real Cs = 1.63e-14;

parameter real Bf = 153.40;

parameter real Br = 40;

analog begin

I(b,c) < + ((Cs/Br)*(exp((V(b,c)/Vth))-1));

I(b,e) < + ((Cs/Bf)*(exp((V(b,e)/Vth))-1));

I(c,e) < + Cs*((exp((V(b,e)/Vth))-1)-(exp((V(b,c)/Vth))-1));

end

endmodule

Modulo del modelo Ebers-Moll de transporte para las partes activas de los os-

ciladores Colpitts.



module modelo ebersmoll medio(c,b,e);



parameter real Af = 0.975;

B.2. MODULOS UTILIZADOS EN LOS FILTROS SALLEN & KEY 97

parameter real Cs = 1.63e-14;

analog begin

I(c,b) < + ((Cs)*(exp((V(b,e)/Vth))-1));

I(b,e) < + ((Cs/Af)*(exp((V(b,e)/Vth))-1));

end

endmodule

B.2. Modulos utilizados en los filtros Sallen &

Key



module lowpass filtro Q10(a,b);

input a; output b; electrical a,b;

analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),3.94786e9,0.0,0.0,3.94786e9,6283.2,1);end

endmodule




module lowpass filtro Q50(a,b);


analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),3.94786e9,0.0,0.0,3.94786e9,1256.64,1);end endmodule



module highpass filtro Q10(a,b);


analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),0.0,0.0,1,3.94786e9,6283.2,1);end endmodule



module highpass filtro Q50(a,b);


analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),0.0,0.0,1,3.94786e9,1256.64,1);end endmodule

B.2. MODULOS UTILIZADOS EN LOS FILTROS SALLEN & KEY 99



module bandpass filtro Q10(a,b);


analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),0.0,6283.2,3.94786e9,6283.2,1);end endmodule



module bandpass filtro Q50(a,b);


analog begin

V(b) < + laplace nd

(V(a),0.0,1256.64,3.94786e9,1256.64,1);end endmodule



module opamp ideal(p,n,out);

inout p,n,out; electrical p,n,out;

parameter real g = 1;

analog

V(out) < + g*((V(p))-(V(n)));

endmodule


B.3. Modulo utilizado para el transistor de un

electron (SET)



module set(gate,drain,source);

inout gate,drain,source;

electrical gate,drain,source;

parameter real p1 = 8.333;




parameter real p5 = 8;

parameter real p6 = 6;

parameter real p7 =5.75;

analog begin

if (V(gate,source) == 0.05)

if(V(drain,source) >= -0.05 && V(drain,source) <= -0.02)

I(drain,source) < + (p1*(V(drain,source))+0.415);

else if (V(drain,source) > -0.02 && V(drain,source) <= 0.02)


else if (V(drain,source) > 0.02)


else

I(drain,source) < + 0;

else


B.3. MODULO UTILIZADO PARA EL TRANSISTOR DE UN ELECTRON (SET)101







else


else



else



else



else




else if (V(drain,source) ¿-0.02 && V(drain,source) <= 0.02)



I(drain,source) < + (p1*(V(drain,source))-0.0685);

else



else








else


else


end

endmodule

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