P bl d l t i lProblema del potencial
Antonio González FernándezDpto de Física Aplicada IIIDpto. de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
Definición y propiedades del equilibrio electrostáticoelectrostático
Es un estado en el que las cargas de los Es un estado en el que las cargas de los conductores se encuentran en reposoEllo implica queEllo implica que
El campo eléctrico es nulo en los conductoresLa superficie de cada uno es equipotencial
ez
La superficie de cada uno es equipotencialLa única carga es superficialEl campo eléctrico exterior es normal a cada
ález
Fer
nánd
e El campo eléctrico exterior es normal a cada superficieNo hay líneas de campo que vayan de un conductor a
nton
io G
onzá No hay líneas de campo que vayan de un conductor a sí mismo
© 2
008,
A
Ecuaciones del problema del potencialdel potencial
El cálculo del campo entre conductores se reduce a resolver la ecuación de Poisson en el espacio entre conductores
ρ
Sobre cada superficie conductora, Sk, el
2
0
ρ∇ φ = −
ε
ez
Sobre cada superficie conductora, Sk, el potencial tiene un valor constante, Vk
( )V Sφ
ález
Fer
nánd
e
En el infinito el potencial se anula
( )k kV Sφ = ∈r
nton
io G
onzá
p
( )0 rφ→ →∞
© 2
008,
A
Diferencias entre conductores a carga constante y a potencial constanteconstante y a potencial constante
Un conductor puede estar tener fijado su p jpotencial o su carga total, pero no ambas magnitudes a la vezgSi el conductor está aislado (no conectado a nada) tiene carga constante La carga se
ez
nada) tiene carga constante. La carga se redistribuye pero el total no cambia. El potencial puede variar
ález
Fer
nánd
e potencial puede variarUn conductor conectado a una fuente de tensión ideal mantiene constante su potencial
nton
io G
onzá tensión ideal mantiene constante su potencial.
La fuente añade o quita carga para que no varíe el potencial
© 2
008,
A el potencial
Ejemplo de conductoresa carga constantea carga constante
A un conductor circular con carga constante se acerca otro conductor descargado
La distribución de campo La distribución de campo cambia al introducir el segundo conductor
ez
g
En el conductor descargado entran y salen líneas de
Q2=0
ález
Fer
nánd
e entran y salen líneas de campo
� La densidad de carga
nton
io G
onzá
Q1>0
� La densidad de carga superficial σs no es nula, aunque sea nula la carga
© 2
008,
A total
Ejemplo de conductoresa carga constantea carga constanteEl potencial de cada conductor va cambiando:V di i l di i i d V tV1 disminuye al disminuir d;V2 aumenta.
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
V1 como función de d V2 como función de d
Ejemplo de conductoresa potencial constantea potencial constante
A un conductor circular a potencial constante se acerca otro conductor puesto a tierra
La distribución de campo cambia de forma diferente al caso de
ez
cargas constantes
La carga del conductor V2=0
ález
Fer
nánd
e La carga del conductor 2 es siempre negativa.
nton
io G
onzá
V1>0Q2=0 no implica V2=0.
V 0 i li Q 0
© 2
008,
A V2=0 no implica Q2=0.
Ejemplo de conductoresa potencial constantea potencial constante
La carga de cada conductor va cambiando:Q1 aumenta, Q2 se hace más negativa al disminuir d.
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
Q1 como función de d Q2 como función de d
Teorema de unicidad para el problema del potencialpotencial
El problema del potencial, cuando los El problema del potencial, cuando los diferentes conductores están a potencial constante o a carga constante, posee solución constante o a carga constante, posee solución única.Ello permite emplear diferentes métodos o
ez
Ello permite emplear diferentes métodos o hipótesis para resolverlo. Dada una posible solución sólo hay que
ález
Fer
nánd
e Dada una posible solución, sólo hay que verificar que se satisfacen la ecuación y las condiciones de contorno
nton
io G
onzá condiciones de contorno
© 2
008,
A
Ejemplo de una esfera conductora
Sea una esfera metálica a Sea una esfera metálica a potencial V0. No hay más carga ni más conductores en el sistema
ez
Debe resolverse la ecuación de Laplace
( )2 0 R∇ φ ( ) ( )0V Rφ φ
ález
Fer
nánd
e
Por la simetría del sistema, podemos suponer que
( )2 0 r R∇ φ = > ( ) ( )0 0V r R rφ = = φ→ →∞
nton
io G
onzá
( )r⇒ φ = φ0 0∂φ ∂φ
= =∂θ ∂ϕ
© 2
008,
A siendo r la distancia al centro de la esfera
Solución del potencial para una esfera conductora con V conocidoconductora, con V conocido
La ecuación de Laplace se d reduce a
22
1 d d0
d dr
φ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Integrando dos veces
2 d dr r r⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
B
ez Imponiendo las condiciones de contorno queda
BA
rφ = +
ález
Fer
nánd
e Imponiendo las condiciones de contorno queda
0
0
( )
( )
V r R
V RR
<⎧⎪φ = ⎨⎪
0
( )
( )
r R
V RR
<⎧⎪= −∇φ = ⎨⎪
0E
nton
io G
onzá
0 ( )r Rr
>⎪⎩0
2( )r r R
r>⎪⎩
u
Resulta una V R Vε⎛ ⎞
© 2
008,
A distribución superficial uniforme de carga
[ ] 0 0 00 0 2
· ·s r r
V R V
R R
ε⎛ ⎞σ = ε = ε − =⎜ ⎟⎝ ⎠
n E u u 0
¿Cómo se calcula la carga almacenada en la esfera?la esfera?
Si V está fijado, no podemos l Q d conocer la carga Q de
antemanoUna vez resuelto el Una vez resuelto el problema del potencial sí podemos hallar Q...
ez
podemos hallar Q...1. Empleando la ley
de Gauss para una 3. Comparando su
comportamiento 2. Calculando la
densidad de
ález
Fer
nánd
e
superficie que envuelva la esfera
∫ V
para r >> R con el desarrollo m ltipolar
carga superficial e integrando
nton
io G
onzá
0
02
·d
d
SQ
V RS
= ε =
= ε =
∫
∫
E S 0 00 ·[ ]s
V
R
εσ = ε =n E
multipolar
∫
03
0 0
·
4 4
V R Q
r r r+
πε πεp r∼
© 2
008,
A 2
0 0
d
4
SS
rRV
ε
= πε
∫0d 4sQ S RV= σ = πε∫ 0 0
0 04Q RV⇒ = πε
¿Y si lo que se conoce es la carga de la esfera?esfera?
Por estar en equilibrio, su superficie es i t i lequipotencial
NO hay que suponer nada sobre la distribución de la carga en la superficiedistribución de la carga en la superficieHay que suponer un potencial V, que se determinará más tarde
ez
determinará más tarde
Supuesto el potencial, la solución es idéntica a la
Conocida la carga se halla el potencial
ález
Fer
nánd
e solución es idéntica a la anterior
( )V r R<⎧⎪
potencial
Q( )
4
Qr R
R⎧ <⎪ πε⎪
nton
io G
onzá
( )
( )
V r R
VRr R
r
<⎧⎪φ = ⎨
>⎪⎩04
QV
R=
πε0
0
4
( )4
R
Qr R
r
⎪ πε⎪φ = ⎨⎪ >⎪ πε⎩
© 2
008,
A
0 0· 4S
Q d RV= ε = πε∫ E S04 r⎪ πε⎩
Comentarios sobre el caso de un solo conductor esféricoconductor esférico
Para un solo conductor esférico resulta una distribución de carga uniforme
Esto NO ocurre si hay más conductores o más cargas en el sistema
Podemos comparar el caso de conductor
ez
esférico con carga Q y una esfera cargada en volumen con la misma carga
ález
Fer
nánd
e
En el primer caso no hay campo en el interior. El volumen es equipotencial
nton
io G
onzá En el segundo caso el volumen no es equipotencial y hay campo en el interior
© 2
008,
A
Comparación de equipotenciales para una esfera cargada y un conductor cargadoesfera cargada y un conductor cargado
Las figuras
ez
Las figuras representan el
potencial sobre un semiplano φ cte
ález
Fer
nánd
e semiplano φ = cte.
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
Esfera cargada en volumen Esfera conductora cargada
Comparación del campo eléctrico para una esfera cargada y un conductor cargadoesfera cargada y un conductor cargado
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
Esfera cargada en volumen Esfera conductora cargada
Comparación de dos esferas conductoras con dos esferas cargadas en volumencon dos esferas cargadas en volumen
Las diferencias entre volúmenes conductores y no d t á id t l d t conductores son más evidentes en el caso de que tengamos
dos esferas a una cierta distancia, tanto si tienen cargas del mismo signo como si son de signo opuestomismo signo como si son de signo opuesto
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
Conductoras Cargadas en volumen
Efecto punta: incremento del campo en las puntas de los conductoreslas puntas de los conductores
Cuando se tiene un conductor cuya curvatura varía de t t l d id d d ti d un punto a otro, la densidad de carga tiende a ser
mayor donde es mayor la curvaturaEsta concentración del campo eléctrico es el principio Esta concentración del campo eléctrico es el principio del pararrayos:
Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona
ez
Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona próximaSi el campo es lo bastante intenso puede ionizar el aire de l d d
ález
Fer
nánd
e alrededorUn medio ionizado conduce mejor la corriente eléctricaCuando cae el rayo sigue el camino de menor resistencia,
nton
io G
onzá
Cuando cae el rayo sigue el camino de menor resistencia, impactando en el pararrayosEsta corriente es luego desviada a tierra por un cable de cone ión
© 2
008,
A conexión
Ejemplo: potencial en dos esferas de distinto radio conectadas por un hilodistinto radio conectadas por un hilo
Si está alejadas y R1 > R2j y 1 2
1 0 1 01 2
2 0 2 0
4
4
Q RVQ Q
Q R V
πε ⎫>⎬πε ⎭
La densidad es mayor en la esfera pequeña
ez
0 011 2
1 14
VQ
R R
ε ⎫σ = = ⎪π ⎪⎬
esfera pequeña
ález
Fer
nánd
e 1 11 2
0 022 2
2 24
VQ
R R
⎪ σ < σ⎬ε ⎪σ = =⎪π ⎭
nton
io G
onzá
El campo es más intenso cerca d l f ñ 1 2E E
σ σ
© 2
008,
A de la esfera pequeña (equipotenciales más próximas)
1 21 2
0 0
E E= < =ε ε
Ejemplo de un pararrayos en barra y de una zanjauna zanja
El mismo principio se puede aplicar a una barra cilíndrica o a un hueco, aunque se necesite la solución numérica
ezál
ez F
erná
nde
En el caso de una barra el En el caso de un hueco o
nton
io G
onzá
campo se concentra en su extremo superior y a los
zanja, prácticamente no hay campo en el interior (lugar
á
© 2
008,
A lados de la barra más seguro)
Apantallamiento y jaulas de Faraday
Cuando tenemos un conductor con un hueco y el yconductor está a potencial constante, se dice que tenemos una Jaula de Faraday
Dado que el potencial queda determinado por su valor en la frontera
ez
su valor en la frontera de una región y la densidad de carga
ρ1
Vρ2
ález
Fer
nánd
e densidad de carga dentro, el potencial en el hueco no depende de
Del mismo modo el
nton
io G
onzá qué hay fueraDel mismo modo, el
potencial fuera no depende de qué hay Los dos problemas están
© 2
008,
A
depende de qué hay dentro del hueco desacoplados
Conductor con densidades de carga interior: equipotenciales y campointerior: equipotenciales y campo
ez Si la carga exterior es nula el único campo es el
ález
Fer
nánd
e Si la carga exterior es nula, el único campo es el interior al hueco. Todas las líneas de campo van a parar a la superficie interior del conductor.
nton
io G
onzá
a la superficie interior del conductor. Dado que el campo en el material conductor es nulo, en la superficie del hueco hay la misma carga que en su
© 2
008,
A
p y g qinterior, pero de signo contrario.
Conductor con densidades de carga exterior: equipotenciales y campoexterior: equipotenciales y campo
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
Si la carga es exterior, no hay campo en el hueco
© 2
008,
A El potencial en el hueco es nulo si el conductor está a tierra
Conductor hueco a potencial fijado
Incluso cuando el conductor no está a tierra, sino a potencial fij d l fijado, el campo en un hueco vacío es nulo
ez
Todos los puntos del
ález
Fer
nánd
e
hueco se encuentran al mismo potencial que el conductor
nton
io G
onzá conductor
© 2
008,
A
Conductor hueco con carga exterior e interiorinterior
Cuando hay carga a ambos y glados la solución es la superposición de soluciones i d diindependientes
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
El problema del potencial y el principio de superposiciónsuperposición
En un sistema de conductores, la introducción de un conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo de los conductores previos
ezál
ez F
erná
nde
nton
io G
onzá
© 2
008,
A El campo total NO es la suma de los que crean cada conductor por separado, como si no estuvieran los demás
¿Puede aplicarse algún tipo de superposición al problema del potencial?superposición al problema del potencial?
La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de solucionesEl problema general consiste en resolver
2
0
ρ∇ φ = −
ε
ez
suponiendo φ = Vk en cada superficie conductora Sk
La solución es una combinación lineal de soluciones base
ález
Fer
nánd
e
donde0 k k
k
Vφ = φ + φ∑
nton
io G
onzá
( )20
0
ρ∇ φ = − ∈τ
εr ( )
( ) ( )2 0k∇ φ = ∈τr
© 2
008,
A ( )0 0 jSφ = ∈r ( ) ( )1 0 ,k k k jS S j kφ = ∈ φ = ∈ ≠r r
Ejemplo de superposición: Cuatro conductores y una cargaconductores y una carga.
Para ilustrar el significado de la superposición de soluciones veremos soluciones, veremos el ejemplo de cuatro conductores y una 2
3
ez
conductores y una distribución uniforme de carga de forma
1
2
ález
Fer
nánd
e
irregular.
4
ρ
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
El término independiente: la función φ0
La función φ0 verifica
( )20
0
ρ∇ φ = − ∈τ
εr
( )( )
0
0
0
0
kS
r
φ = ∈
φ → →∞
r
2
3
ez
Esta es la distribución de potencial que habría
( )0φ1
2
ρ
ález
Fer
nánd
e
si estuviera la carga frente a todos los conductores puestos a
4ρ
nton
io G
onzá conductores puestos a
tierra, no la que habría si estuviera la carga y
© 2
008,
A
s estuv e a la ca ga y no los conductores.
Funciones base: la función φ1
La función φ1 verifica
( )2 0φ ( )( )
21
1 1
0
1 S
∇ φ = ∈τ
φ = ∈⎧⎪
r
r
( )( )
1 0 , 1
0
kS k
r
⎪φ = ∈ ≠⎨⎪φ → →∞⎩
r2
3
ez
Ésta es la distribución de t i l h b í i
( )1 0 rφ → →∞⎩1
ález
Fer
nánd
e potencial que habría si no hubiera carga, el conductor 1 estuviera a
4
nton
io G
onzá conductor 1 estuviera a
potencial unidad, y el resto a tierra
© 2
008,
A
Por estar en una jaula de Faraday, sólo hay campo en el hueco
Funciones base: las funciones φ2, φ3 y φ4ez
ález
Fer
nánd
e
D l i d d i l f i b
φ2 φ3φ4
nton
io G
onzá Del mismo modo se pueden construir las funciones base
φ2, φ3 y φ4.Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los
© 2
008,
A Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los conductores estuviera a potencial y el resto a tierra.
Combinación lineal de funciones base. Ejemplo numéricoEjemplo numérico
Supongamos el caso p gparticular
ρ = 0
V1=10 V
V2 = –3V
Queremos hallar el potencial
V3 = 2 V
V4 = – 2V•P
ez
Queremos hallar el potencial en el punto P
C bi d l f i b
ález
Fer
nánd
e
El valor calculado
Combinando las funciones base0 0.0000V
0 0000
φ =
φ =
0.0000V
10 0 0000V+ × La ventaja es que
nton
io G
onzá
numéricamente es
( ) 1.8123VPφ = −
1
2
3
0.0000
0.5927
0.2157
φ =φ =φ =
10 0.0000V
3 0.5927 V
2 0.2157V
+ ×− ×+ ×
si cambiamos los Vk no hay que recalcular los φk
© 2
008,
A
( ) 1.8123VPφ4 0.1866φ = 2 0.1866V
1.8363V
− ×recalcular los φk
Un ejemplo analítico del problema del potencial: esferas concéntricaspotencial: esferas concéntricas
Dos esferas: una maciza de di fi t d radio a y una fina corteza de
radio b (b>a)Entre ellas y fuera se cumple Entre ellas y fuera se cumple la ecuación de Laplace
2 0∇ φ
ez
Con las condiciones de contorno
0∇ φ =
ález
Fer
nánd
e contornoEl problema se separa en dos:( ) ( )
( )1 2r a V r b Vφ = = φ = =
φ
nton
io G
onzá
La corteza funciona como
Uno entre r = a y r = b
Otro para r > b
Para r < a la solución
( ) 0rφ →∞ →
© 2
008,
A La corteza funciona como Jaula de Faraday
Para r < a la solución es trivial, φ = V1
Dos esferas concéntricas: solución del problema exteriorproblema exterior
Para r > b tenemos la ió d L lecuación de Laplace
C l di i
2 0∇ φ =Con las condiciones
( ) ( )2 0r b V rφ = = φ → ∞ →
ez
É l i bl i
ález
Fer
nánd
e
Éste es exactamente el mismo problema que si tenemos una sola esfera de radio b puesta a potencial V2
La solución exterior es
nton
io G
onzá La solución exterior es
( )2V br bφ = >
Esta solución no nos dice nada de qué ocurre entre las
© 2
008,
A
( )br
φ nada de qué ocurre entre las dos esferas
Dos esferas concéntricas: solución del problema interiorproblema interior
Para a < r < b tenemos la ió d L lecuación de Laplace
C l di i
2 0∇ φ =Con las condiciones
( ) ( )1 2r a V r b Vφ = = φ = =
ez
Suponemos simetría de revolución φ = φ(r)
ález
Fer
nánd
e de revolución, φ φ(r)
La solución es de la forma
Imponiendo las c.c.
BV A= +
BV A= +
nton
io G
onzá
formaB
Ar
φ = + La solución interior es
1V Aa
= + 2V Ab
= +
( )ab V VbV V
© 2
008,
A
r ( )( )
1 22 1ab V VbV aV
b a b a r
−−φ = +
− −
Dos esferas concéntricas: solución completacompleta
Combinando los resultados⎧
( )
( )1V r a
ab V VbV aV
⎧⎪ <⎪⎪ −⎪ ( )
( ) ( )
( )
1 22 1
2
ab V VbV aVa r b
b a b a r
V bb
⎪ −−⎪φ = + < <⎨ − −⎪⎪⎪
ez
( )2V br b
r⎪ >⎪⎩
Esta solución se puede escribir como c l V Vφ = φ + φ
ález
Fer
nánd
e Esta solución se puede escribir como c.l. 1 1 2 2V Vφ = φ + φ
( )1 r a⎧ <⎪
( )0 r a⎧⎪ <⎪
nton
io G
onzá
( )1
1 1aba r b
b a r b
⎪⎪ ⎛ ⎞φ = − < <⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪⎪
( )2
1 1aba r b
b a a r
⎪⎪⎪ ⎛ ⎞φ = − < <⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪⎪
© 2
008,
A ( )0 r b⎪ >⎩ ( )b
r br
⎪⎪ >⎪⎩
Cálculo de las funciones base por separado Función φ1separado. Función φ1
Si V1 = V0, V2=0
Entre ellas y fuera se cumple la ecuación de Laplace, con las c clas c.c.
( ) ( )( )
1 0 1 0
0
r a V r bφ = = φ = =
φ
ez En el exterior, el potencial es
( )1 0rφ → ∞ →Imponiendo las c.c.
B B
ález
Fer
nánd
e , pnulo.
( )1 0 r bφ = >Resulta
0 0B B
V A Aa b
= + = +
nton
io G
onzá
En el interior es de la forma
( )BA bφ + < <
( )Resulta
( )01
1 1V aba r b⎛ ⎞φ = − < <⎜ ⎟
© 2
008,
A ( )1 A a r br
φ = + < < ( )1 a r bb a r b
φ < <⎜ ⎟− ⎝ ⎠
Cálculo de las funciones base por separado Función φ2separado. Función φ2
Si V1 = 0, V2=V0, entre ellas y f l l ió fuera se cumple la ecuación de Laplace, con las c.c.( ) ( )0r a r b Vφ = = φ = =( ) ( )( )
2 2 0
2
0
0
r a r b V
r
φ = = φ = =
φ → ∞ →
ez
En el exterior, es como el de una sola esfera. Imponiendo las c.c.
ález
Fer
nánd
e
( )02
V br b
rφ = > 00
B BA V A
a b= + = +
nton
io G
onzá
Entre las dos, es de la forma
( )BA a r bφ = + < <
Resulta
( )0 1 1V aba r b⎛ ⎞φ = < <⎜ ⎟
© 2
008,
A ( )2 A a r br
φ = + < < ( )2 a r bb a a r
φ = − < <⎜ ⎟− ⎝ ⎠
Apéndice: Listado de algunos programas
Todas las gráficas de esta presentación han sido obtenidas con FlexPDE 5, un programa para la solución de ecuaciones diferenciales por el método de elementos finitos (www.pdesolutions.com).
ez
A continuación se incluyen algunos de los listados, que puede ser de interés para los que
ález
Fer
nánd
e , q p p qvayan a usar este programa.
nton
io G
onzá
© 2
008,
A
Una esfera conductora
TITLE 'Una esfera conductora 'COORDINATESYcylinder {Hace que sea un sistema de
FEATURE 2 {La superficie de la esfera cargada}start "Esfera"(0,a)y { q
revolucion}SELECT {Fija la precision}errlim=1e-5
VARIABLESphi {Potencial electrico}
DEFINITIONS {Parametros}
( , )arc(center=0,0) to (a,0) to (0,-a)
PLOTS grid(r,z) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a)contour(phi) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Equipotenciales"DEFINITIONS {Parametros}
Rext=10 {Radio de la esfera exterior}a=1 {Radio de la esfera conductora}V=1 {Voltaje de la esfera}Q = Sintegral(normal(grad(phi)),"Esfera")
{Carga de la esfera}EQUATIONS
Equipotencialesreport(V) {Informa del potencial y de la carga}report(Q)vector(-grad(phi)) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Campo electrico"report(V) {Informa del potencial y de la
ez
EQUATIONSphi: div(grad(phi))=0 {Ecuacion de Laplace}
BOUNDARIES {Frontera}REGION 1 {Todo el contorno}START(0,-Rext) {Abajo del todo}value(phi)=0 {El potencial se anula en el "i fi i "}
report(V) {Informa del potencial y de la carga}report(Q)
END
ález
Fer
nánd
e "infinito"}arc(center=0,0) to (Rext,0) to (0,Rext)natural(phi)=0 {El eje es una linea de campo}line to (0,a)value(phi)=V {Voltaje de la esfera}arc(center=0,0) to (a,0) to (0,-a)
nton
io G
onzá natural(phi)=0 {El eje es una linea de campo}
line to close
© 2
008,
A
Una esfera cargada
TITLE 'Una esfera cargada '
COORDINATES
li d { i
region 2 {La esfera cargada}rho=rho1 {Lo que vale la densidad en la esfera}
Ycylinder {Hace que sea un sistema con simetria de revolucion}
SELECT {Criterio para fijar la precision}
errlim=1e-4
VARIABLES
start(0,-a)arc(center=0,0) to (a,0) to (0,a)line to close
PLOTS {Graficas}grid(r z) zoom(-2*a -2*a 4*a 4*a) {Malla}
phi {Potencial electrico}
DEFINITIONS {Parametros}
Rext=10 {Radio de la circunferencia exterior}
a=1 {Radio de la esfera}
grid(r,z) zoom( 2 a, 2 a,4 a,4 a) {Malla}contour(phi) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Equipotenciales"vector(-grad(phi)) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Campo electrico"elevation(phi,-Dr(phi)) from (0,0) to (3*a,0) {Variacion del potencial y el campo con r}
ez
rho=0 {Densidad de carga en general}
rho1=1 {Densidad de carga en la esfera}
EQUATIONS
div(grad(phi))=-rho {Ecuacion de Poisson en unidades adecuadas}
{ p y p }END
ález
Fer
nánd
e
BOUNDARIES {Frontera}
REGION 1 {El dominio completo}
START(0,-Rext) {Comenzamos abajo del todo}
value(phi)=0 {En el "infinito" el potencial es cero}
nton
io G
onzá
es cero}
arc(center=0,0) to (Rext,0) to (0,Rext) {Circunferencia exterior}
natural(phi)=0 {Esto implica que el eje Z es una linea de campo}
line to close
© 2
008,
A
Cuatro conductores y una distribución de carga (I)(I)
TITLE '4 Conductores ' BOUNDARIESREGION 1START "Exterior" (Rext,0) {Circunferencia
SELECT
errlim=1e-5 {Precisión}
VARIABLES
u {Potencial eléctrico}
( , ) {del infinito}value(u)=0 {El potencial se anula en el infinito}arc(center=0,0) to (0,Rext) to (-Rext,0) to (0,-Rext) to close
DEFINITIONS
{Fuentes}
rho1=0 {Densidad de carga uniforme en la mancha}
start "Conductor 3" (1,1) {Triángulo}value(u)=V3 {Potencial igual a V3}line to (2, 2.6) to(3,1) to close
start "Conductor 4" (2,-1) {Círculo
ez
rho=0
V1=0 {Potencial del círculo interior}
V2=-3 {Cuadrado}
V3=2 {Triángulo}
V4=-2 {Círculo exterior}
( , ) {exterior}value(u)=V4arc (center=2,-2) to (3,-2) to (2,-3) to (1,-2) to finish
start "Conductor 2 ext" (-1,-3) {Borde de
ález
Fer
nánd
e V4=-2 {Círculo exterior}
{Dimensiones}
Rext=15 {distancia al "infinito}
xc=.3 {Centro de la esfera interior}
yc=.3
,fuera del cuadrado}value(u)=V2line to (-7,-3) to (-7,3) to (-1,3) to close
start "Conductor 2 int" (-2,2) {Borde de dentro}
nton
io G
onzá xr=0 {Posición de la carga}
yr=-2
phi = VAL(u,0,0)
EQUATIONS
value(u)=V2line to (-6,2) to (-6,-2) to (-2,-2) to close
© 2
008,
A div(grad(u))=-rho {Ecuación de Poisson con eps0=1}
Cuatro conductores y una distribución de carga (II)(II)
start "Conductor 1" (-3+xc,0+yc) {Círculo interio}value(u)=V1
contour(u) zoom(-8.5,-6,12,12) painted {Curvas de potencial rellenas}report(V1) as "V1" {Valores
arc(center=-4+xc,0+yc) to (-4+xc,-1+yc)to (-5+xc,yc) to (-4+xc,1+yc) to close
Region 2 {Región cargada}rho=rho1 {Densidad uniforme de carga}
de los potenciales}report(V2) as "V2"report(V3) as "V3"report(V4) as "V4"report(rho1) as "rho"
vector(-grad(u)) zoom(-8.5,-6,12,12) {Campo g }start "Carga" (xr,-0.5+yr)arc(center = xr,yr) to (0.5+xr,+yr) to (0+xr,0.5+yr)line to (xr-0.5,yr+0.5) to (xr-0.5,yr-0.5) to close
( g ( )) ( , , , ) { peléctrico}report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 1")) as "Q1" {Cargas en cada conductor}report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 2 ext")+sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 2 int")) as "Q2"
( i l( l( d( )) d
ez
PLOTS { save result displays }grid(x,y) zoom(-8.5,-6,12,12) {Malla, con los conductores}
contour(u) zoom(-8.5,-6,12,12) {Curvas de potencial}report(V1) as "V1" {Valores
report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 3")) as "Q3"report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 4")) as "Q4"
END
ález
Fer
nánd
e pde los potenciales}report(V2) as "V2"report(V3) as "V3"report(V4) as "V4"report(rho1) as "rho"report(phi) as "phi"
nton
io G
onzá
report(phi) as phi
© 2
008,
A
Sevilla diciembre de 2008Sevilla, diciembre de 2008
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