ANOVA
Anlisis de la VarianzaEAAA*EXPERIMENTOS FACTORIALES
EAAA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJEEAAA*Comprender la nocin general del anlisis de variancia (ANOVA). Realizar una prueba de hiptesis para determinar si dos variancias muestrales provienen de las mismas poblaciones o de poblaciones iguales. Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA.Realizar una prueba para determinar si existe diferencia entre tres o ms medias de tratamiento.Realizar una prueba de hiptesis para determinar si hay alguna diferencia entre medias de bloques.
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
.EAAA*
EAAA
.EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*La lgica del ANOVAw El contraste de hiptesis del ANOVA se basa en comprobar si las medias de las muestras difieren ms de lo que cabe esperar cuando es cierta, la hiptesis nula.Esta cuestin acerca de las medias se responde analizando las varianzas.
Nos fijamos en las varianzas, porque, cuando queremos saber si algunas medias difieren entre s, tenemos que valorar la varianza entre estas medias.
EAAA
EAAA*Dos Fuentes de VariabilidadEn ANOVA, un estimador de la variabilidad entre grupos se compara con la variabilidad dentro de los grupos
1- La variacin Entre Grupos es la variacion entre las medias de los diferentes tratamientos debidas al azar (error de muestreo ) y al efecto de los tratamientos, si es que existe.
2. La variacin Dentro de los Grupos es la variacion debida al azar (error de muestreo) entre individuos a los que se ha dado el mismo tratamiento.
EAAA
EAAA*Variabilidad Entre Gruposw Hay mucha variabilidad entre las medias.w Las diferencias entre las medias de los grupos sondemasiado grandes para atribuirlas al azar.w Es difcil imaginar que los seis grupos son muestrasaleatorias tomadas de la misma poblacin.w Se rechaza la hiptesis nula, es decir, existe efectodel tratamiento al menos en uno de los grupos.
EAAA
EAAA*
EAAA
.EAAA*
EAAA
Resultados del anlisis de plomo en agua de ro realizado por 5 laboratorios (k indica el n de laboratorio).EAAA*
RESULTADOSLABORAT 1LABORAT 2LABORAT 3LABORAT 4LABORAT 5 12.36.51.72.18.5 24.14.02.73.85.5 34.94.24.14.86.1 42.56.31.62.88.2 53.14.44.14.8-- 63.7--2.83.7-- 7------4.2--VALOR MEDIO x 3.45.12.83.77.1n k 65674suma20.625.417.026.228.3 MediaAritmetica De todos losResultados XX= 4.2
EAAA
.EAAA*
EAAA
EAAA*ANOVA PARA UN FACTORPrueba de hiptesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factorSe trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.), presiones
EAAA
EAAA*CONDICIONES
EAAA
.EAAA*ANOVA Suma de cuadrados total
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*PROCEDIMIENTO DE ANOVAPaso 1: Plantear (H0) y la (H1)H0 expresa que no hay diferencias significativas entre las ventas medias de los tres vendedores; es decir,
Paso 2: Seleccionar el nivel de significacin Se usara el nivel 0.05 o 0.01valores de uso convencional
Paso 3: Proporcionar el estadstico de prueba El estadstico de prueba es la distribucin F.
EAAA
PARA EL PROBLEMA DE LO LABORATORIOS LA SOLUCION SE RESUME EN LA SIGUIENTE TABLAEAAA*.Ftab = 2.80 (a = 0.05, 4, 23, 1 cola)Como Fcal > Ftab, en este caso se podra concluir que al menos uno de loslaboratorios ha producido resultados la media de los cuales difiere de formaestadsticamente significativa del resto de laboratorios. El valor de probabilidad que aparece en la Tabla 3 indica aquel valor de alfa a partir del cual el ANOVA no detectara ninguna diferencia significativa. As pues, a menor valor de probabilidad, mayor seguridad de que existen diferencias significativas.
FuenteSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrado medioFcalpEntrelaboratorio 53.13 413.28 10.300.3Dentro de loslaboratorio 29.64 23 1.29Total 82.77 27
EAAA
EAAA*Ejemplo : Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un frmaco contra la hipertensin arterial, comparndola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningn tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el frmaco a una dosis determinada y al quinto el mismo frmaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistlicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:
Grupo12345180172163158147173158170146152175167158160143182160162171155181175170155160
EAAA
EAAA*Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hiptesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes.Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hiptesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes.
La tabla de anova es:Fuente de variacinGLSSMSFTratamiento42010.64502.6611.24Error20894.4044.72Total242905.04
EAAA
EAAA*Un fabricante de papel para hacer bolsas para comestibles, se encuentra interesado en mejorarla resistencia a la tensin del producto. El departamento de ingeniera del producto piensa que la resistencia a la tensin es una funcin de la concentracin de madera dura en la pulpa y que el rango de las concentraciones de madera dura de inters prctico est entre 5% y 20%. El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar cuatro niveles de concentracin de madera dura: 5%, 10%, 15% y 20%. Deciden hacer seis ejemplares de prueba con cada nivel de concentracin, utilizando una planta piloto. Las 24 muestras se prueban, en orden aleatorio, con una mquina de laboratorio para probar la resistencia. En la tabla 12-1 se muestran los datos de este experimento.
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*HIPOTESIS NULAPuede usarse el anlisis de varianza para probar la hiptesis de que diferentes concentraciones de madera dura no afectan la resistencia a la tensin media del papel. Las hiptesis son; Solucin
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Tabla 12-4 Anlisis de varianza para los datos de la resistencia a la tensinPuesto que el valor P = 3.59 x 10-6 es considerablemente ms pequeo que = 0.01, se cuenta con evidencia slida para concluir que Ho no es verdadera.
Fuente deSuma deGrados deCuadrado1variacincuadradoslibertadmediofoValor PConcentracinde madera dura382.793127.6019.603.59 E-6Error130.17206.51Total512.9623
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
..EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*En la tabla 12-6 se muestran los residuales para el experimento del porcentaje de madera dura. Al utilizar yj. para calcular cada residual en esencia, se elimina el efecto de la concentracin de madera dura de esos datos; por consiguiente, los residuales contienen informacin acerca de la variabilidad no explicada.
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Diseo de experimentos.1. Anlisis de varianza.Suponga que un experimento industrial un ingeniero est interesado en cmo la absorcin media de humedad en concreto vara entre cinco mezclas diferentes de concreto. Las muestras se exponen a la humedad por 48 horas y se decide que se prueben seis muestras para cada mezcla, por lo que se requiere probar un total de 30 muestras. Los datos de este experimento se muestran en la siguiente tabla.Tabla 1
Absorcin de humedad en mezclas de concreto.Mezcla12345551.00595.00639.00417.00563.00457.00580.00615.00449.00631.00450.00508.00511.00517.00522.00731.00583.00573.00438.00613.00499.00633.00648.00415.00656.00632.00517.00677.00555.00679.00
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Formulas para el clculo de sumas de cuadrados.A continuacin presentamos un conjunto de formulas mas simples para calcular la suma de cuadrados
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
ANOVA dosdireccionesLa SSTotales y SSTr (columnas)se determina de la misma forma que para la ANOVA de una direccin o factor
En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (renlgones) ) de forma similar a la de los renglones
La SSE = SSTOTALES SSTr SSBi
EAAA*
EAAA
ANOVA Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor de bloqueo (en columnas)EAAA*
EAAA
ANOVA Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el errorEAAA*
EAAA
ANOVA Clculo del estadstico Fc y FEAAA*
EAAA
Tabla final ANOVA 2direccionesEAAA*
EAAA
ANOVA 1 Factor Webster
P. Reyes / Octubre 2002
CAPTULO 10. ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA O FACTOR
CALCULOSProblema 10.7 Se trata de probar si existe diferencia significativa
CONDICIONES:en el impacto al consumidor de tres campaas publicitarias,
1. Todas las poblaciones involucradas son normales (prueba de normalidad)8582.1428571429a un nivel de alfa = 0.01
2. Todas las poblaciones involucradas tienen la misma varianza7282.1428571429
3. Las muestras se seleccionan en forma independiente8382.1428571429ConsumidorCampaa 1Campaa 2Campaa 3
8082.14285714291504545
HIPOTESIS:8082.14285714292453035
8482.14285714293302520
8182.14285714294453540
7882.14285714295403035
8282.1428571429
8282.1428571429
8082.1428571429
ANOVA DE UN FACTOR: DISEO ALEATORIZADO8582.1428571429
9082.1428571429
Varios sujetos o unidades se asignan aleatoriamente a diferentes niveles8882.1428571429
de un solo factorMedia82.1428571429
Por ejemplo varios empleados se asignan a diferentesSuma Cuadrados =251.7142857143
programas de capacitacin
Ejemplo:Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a
3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Prog. 3.
Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programa
el diseo se denomina DISEO COMPETAMENTE ALEATORIZADO
Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:
TRATAMIENTOS
Ic=1c=2c=3J
Programa 1Programa 2Programa 3
83r=1858082
r=2728480
r=3838185
r=4807890
r=5**8288
Medias80.0081.0085.00XjMedia de medias o media total
82.14
TIPOS1. Variacin total entre los 14 empleados, su puntuacin no fue igual con todos
DE VARIACINVARIACIN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL
2. Variacin entre los diferentes tratamientos o Variacin entre muestras
o variacin entre programa 1, programa 2 y programa 3
EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL
3. Variacin dentro de un tratamiento o muestra o programa dado
No todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los
mismos puntajes. Se denomina Variacin dentro de los tratamientos.
VARIACIN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIN DEL ERROR
CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO
PORVARIACIN TOTAL = VARIACIN DEL TRATAMIENTO + VAR. DEL ERROR
TANTO
*****Xi valores individuales
******
XMedia de medias
****
***
VARIACION TOTAL =
VARIANZA
r = Renglones o empleados por tratamiento
c = Tratamientos o Programas de entrenamiento
SUMA DE CUADRADOS TOTAL =(n -1) * Varianza
VARIACIN TOTAL = VARIACIN DEL TRATAMIENTO + VAR. DEL ERROR
*****Xi valores individuales
Media X3
*
5
SUMA DE CUADRADOS DE LOS TRATAMIENTOS
5
4*
*Media X2
Media X1
rj es el nmero de elementos dentro de cada tratamiento (4, 5, 5)
Programa 1Programa 2Programa 3
854.5796801.2996828.1796
724.5796841.2996808.1796
834.5796811.2996858.1796
804.5796781.2996908.1796
**0821.2996888.1796
80.0018.318481.006.49885.0040.898
MediaSCTR1SCTR2SCTR3
Donde Xj es la media de cada tratamiento
SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2
SCTR = 65.71
SUMA DE CUADRADOS DEL ERROR
** *
XiXi
*** ****
****Xmedia 3
X media 1** *
*Xmedia 2Xi*
*
SCT = SCTR +SCESCE = SCT - SCTR =186
SCE = (85-80)2 + (72-80)2+(83-80)2+(80-80)2 +
+ (80-81)2 + (84-81)+ (81-81)2 + (78-81)2 + (82-81)2 +
+(82-85)2 + (80-85)2 + (85-85)2 + (90-85)2+ (88-85)2 =186
CUADRADOS MEDIOS (CM = Suma Cuadrados/ Grados lib.
Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13
Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2
Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11
gl SCT = gl SCTR + gl SCE
gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c
CMT =Cuadrado medio total = SCT / (n-1)19.4
CMTR =Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1)32.9
CME =Cuadrado medio del error = SCE/ gle.16.9
Para probar la hiptesis de que: Ho: u1 = u2 = u3 =.......= un
Ha: al menos una es diferente
Se utiliza el estadstico F de Fisher como sigue:
F = CMTR / CME=1.94674556212.46
Se compara contra el estadstico de tablas o de Excel
Clculo de F con Excel3.9822979571
=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR)
=DISTR.F.INV(0.05, 2, 11)
gl. CMTR = c-1 =2
gl. CME = n-c = 11
Alfa de 0.05
CONCLUSION: NO HAY SUF. EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO
TABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACINSUMA DEGRADOS DECUADRADOVALOR F
CUADRADOSLIBERTADMEDIO
Entre muestras (tratam.)SSTra-1MSRSSTr/MSR
Entre Bloques (Factor Bl)SSBib-1MSBMSB/MSR
Dentro de muestras (error)SSE(a-1)(b-1)MSE
Variacin totalSSTotaln-1MST
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa
Prueba Tukey y DMS Webster
PRUEBA DE TUKEY
Se utiliza para diseos balanceados (todos los tratamientos tienen
asignado el mismo nmero de elementos)
Se utiliza el estadstico T
Se compara T vs la diferencia en valor absoluto de
cada par de medias, si esta dif. Excede a T, las medias son diferentes
o iguales en caso contrario.n = 16r = 4
c =4Alfa=0.05
Por ejemplo:3.6CME =19.6875T
Mediasq.05,4,12=4.29.31
X1 =145!X1 - X2!=0.25X1=X2
X2=145.25!X1-X3! =12.75X1X3
X3=132.25!X1-X4!=15.75X1X4
X4=129.25!X2-X3!=13X2X3
!X2-X4!=16X2X4
!X3-X4!=3X3=X4
X4 X3 X1 X2DMS =3.41
129.25 132.25 145 145.2
DMS
MEDIASMEDIAS
IGUALESDIFERENTES
9.45
Otro mtodo ms conservador es el la DIFERENCIA MNIMA SIGNIFICATIVA
DMS
r=4
F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME =12)
CME =19.6875
r=4
F.05,1,124.75
187.0312546.75781256.8379684483
Para el caso de diseos no balanceados se utiliza el mtodo DMS
para comparar cada par de muestras
r j es el nmero de elementos asignados al tratamiento j
r k es el nmero de elementos asignados al tratamiento k
Verificar si X1 = X2 y si X2 = X3 en el ejemplo de empleados.
DMS 1,2 ?DMS 2,3 ?
Por ejemplo:3.4
F=3.34
Para comparar X1-X2Alfa =.05
r1 = 5r2=4X1=21.74X2=21.5CME=0.02571
DMS =0.1965X1-X2=0.24
Se concluye que X1 y X2 son diferentes
ANOVA 1 Fact Montg
MODELO PARA ANOVA DE UNA VIA, FACTOR O DIRECCIN - FACTORES FIJOS
Para i = 1, 2, ...., a j = 1, 2, ......n
Con a niveles del tratamiento y
con n tratamientos o factores
La experimentacin en las unidades experimentales debe ser en forma aleatoria
en relacin con los tratamientos, por lo que a este diseo
se le denomina DISEO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
Para probar la Hiptesis nula Ho de que las medias de los tratamientos son iguales,
se supone que los errores del modelo son:
a) Variables aleatorias que siguen una distribucin normal
b) Son independientes unos de otros
c) Su distribucin normal tiene media cero
d) La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor
Por tanto las observaciones:
La media del tratamiento i-simo y su intervalo de confianza es:
Por ejemplo:
La resistencia a la tensin observada en funcin del peso porcentual del algodn en
una fibra sinttica es:
Peso porc.Respuesta
Peso porcentual del algodnde algodnResistencia de la tela
1520253035157715119
171214197201217121818
Resistencia2717182510251418181919
en lb/in231512182211301925221923
4111819191535710111511
5918192311y..
Totales49778810854376
9.815.417.621.610.8y..
15.04
La tabla ANOVA es:(Ver anexo A, para clculos con Minitab):
Fuente deSuma deGrados deCuadrado
variacincuadradoslibertadmedioFoValor P
Peso % alg475.764118.9414.76
EAAA*Tabla de Anlisis de varianza para dos criterios de clasificacinVariacin total Variacin debida Variacin debida Variacin propia de a los tratamientos a los bloques las observaciones SCT SCA SCB SCE
Fuente deSuma de Grados de Cuadrados F calculadavariacinCuadradoslibertadMediosTratamientosSCAt - 1CMA = SCA / t-1CMA / CMEBloquesSCBb -1CMB = SCB / b-1CMB / CMEError ExperimentalSCE(t - 1)(b-1)CME = SCE / (t-1)(b-1)TotalSCTt.b -1
EAAA
ANOVA 2 direcciones. Toma de decisinSi Fc (Tr o Bi) es mayor que F del nivel de confianza se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bi) es menor de Alfa se rechaza Ho
EAAA*
EAAA
EAAA*
Un qumico quiere probar el efecto de 4 agentes qumicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podra haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el qumico decide usar un diseo de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes qumicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuacin se presentan las resistencias a la tencin resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar =0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.
RolloAgente Qumico1234517368747167273677572703756878736847371757569
EAAA
EAAA*Las hiptesis son:Ho: No hay diferencia en las medias del agente qumicoHa: Al menos una media del factor del agente qumico es diferenteHo: No hay diferencia en las medias de la variable de bloque(del agente qumico)Ha: Al menos una media de la variable de bloque del agente qumicoes diferente
EAAA
EAAA*
:
para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los renglones. Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a que rengln y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:
ANOVA en Minitab.Instrucciones: Stat > ANOVA > One two Way Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar ! Display MeansSeleccionar ! Store Residuals ! Store Fits Confidence level 95%Graphs -Seleccionar Normal plot of residuals- OK
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Resultados:La grfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo: Los residuos se aproximan a la distribucin normal por lo cual se concluye que se est utilizando un modelo vlido.
EAAA
EAAA*Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la resistencia.Se seleccionaran en 2 y 5 rollo ya que tienen los valores ms pequeos.
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*TABLA ANOVA
Conclusin: No hay diferencia entre mquinas a pesar de la diferencia en experiencia de los operadores.
SSGLCMFcFalfaSCTR=0.9333332CMTR=0.466667Ftr = 0.094.46SCBL=764.93334CMBL=191.2333Fbl = 37.253.84SCE =41.066678CME=5.133333SCT =806.933314CMT=57.6381
EAAA
EAAA*Tiempo en segundos para el ensamble del productoEjemplo: Para el ensamble de un artculo se considera comparar 4 mquinas diferentes. Como la operacin de las mquinas requiere cierta destreza se anticipa que habr una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirn 6 operarios diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las mquinas.
OperarioMquina123456TotalMedias142,539,339,639,942,943,6247,841,3239,840,140,542,342,543,1248,341,4340,240,541,343,444,945,1255,442,6442,343,244,545,246,943,3265,444,2Total164,8163,1165,9170,8177,2175,11016,9Medias41,240,77541,47542,744,343,775254,22542,4
EAAA
EAAA*
Pero si las mquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, pensaramos que las muestras provienen de poblaciones diferentes, eSi las mquinas no difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, tendran igual velocidad promedio y las curvas se superpondran exactamente. H0 : 1= 2 = 3= 4 H0 = 1=2=3=4=0
H1: algn promedio es distinto de los restantes
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)Yij = + i + j + eij
Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los otros trminos.Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en segundos, e Yij es la observacin perteneciente al j-sima bloque bajo el tratamiento i; las observaciones son independientes. es la media general comn a todas las mquinas y a todos los operarios.i es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada mquina.j es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.eij es la variable aleatoria del error con distribucin normal, con media = 0 y varianza 2 N (0 ; 2 ) e independiente.
EAAA
EAAA*Consideremos que se lleva a cabo un experimento para comparar el tiempo que tardan tres marcas de ordenadores de diferente marca en cargar un mismo sistema operativo. Se toma una muestra de cuatro ordenadores de la marca A, es decir, se mide el tiempo (en segundos) que tardan en cargar el sistema operativo cuatro ordenadores de esta marca. De la marca B se toman seis medidas y cinco de la marca C. La tabla siguiente registra los resultados del experimento:
Marca A 10,7 11,2 12,0 15,5Marca B 13,4 11,5 11,2 15,1 13,3 12,9Marca C 11,5 12,7 15,4 16,1 15,2
EXISTE DIFERENCIA ENTRE LAS MARCAS
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Observando estos resultados, podemos pensar que las muestras de los ordenadores A y B pueden provenir de poblaciones con la misma media, dado que las medias muestrales 12,35 y 12,90, respectivamente, son bastante cercanas. La media muestral de la marca C es 14,18; sta est ms alejada de las otras, pero presenta una mayor dispersin que las anteriores; no es tan fcil, pues, pensar si esta muestra proviene de una poblacin con la misma media que los ordenadores de las marcas A y B.
EAAA
EAAA*Es posible representar esta situacin mediante los diagramas de caja de las tres muestras:
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*
EAAA
EAAA*Un ingeniero qumico est estudiando los efectos de varios reactivos y catalizadores en la produccin de cierto proceso. Esta ltima se expresa como un porcentaje de un mximo terico. Se hicieron cuatro operaciones del proceso para cada combinacin de tres reactivos y cuatro catalizadores. Los resultados se presentan en la tabla 9.2. En este experimento hay dos factores, el catalizador y el reactivo. El primero se llama factor rengln, ya que su valor vara de rengln a rengln en la tabla; el segundo se denomina factor columna. Estas designaciones son arbitrarias, en la tabla se poda haber presentado tan fcilmente como que los renglones representen los reactivos y las columnas, los catalizadores
Producciones para varias operaciones de un proceso qumico con varias combinaciones de reactivos y catalizadores
Catalizador123A86.8 82.4 86.7 83.593.4 85.2 94.8 83.177.9 89.6 89.9 83.7B71.9 72.1 80.0 77.474.5 87.1 71.9 84.187.5 82.7 78.3 90.1C65.5 72.4 76.6 66.766.7 77.1 76.7 86.172.7 77.8 83.5 78.8D63.9 70.4 77.2 81.273.7 81.6 84.2 84.979.8 75.7 80.5 72.9
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EAAA*Para probar si el modelo aditivo vale se prueba la hiptesis nula de que todas las interacciones son iguales a 0:
Si esta hiptesis nula es verdadera, el modelo aditivo vale.
Para probar si la media del resultado es igual para todos los niveles del factor rengln, se prueba la hiptesis nula de que todos los efectos rengln son iguales a 0:
Si esta hiptesis nula es verdadera, entonces la media del resultado es igual para todos los niveles del factor rengln.
Para probar si la media del resultado es igual para todos los niveles del factor columna, se prueba la hiptesis nula de que todos los efectos columna son iguales a 0:
Si esta hiptesis nula es verdadera, entonces la media del resultado es igual para todos los niveles del factor columna
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EAAA*1. (Ejemplo1) Supngase que el administrador de una planta industrial conjetura que el rendimiento (en nmero de artculos producidos por turno de 8 horas) de una lnea de produccin depende de dos variables cualitativas: el supervisor de la lnea (de los cuales hay dos, digamos A1 y A2) y el turno para el cual se mide la produccin. Denotaremos los tres turnos, de 8:00 am a 4:00 pm, de 4:00 pm a 12:00 am y de 12:00 am a 8:00 am, por B1;B2 y B3:El administrador desea establecer si existen diferencias entre las producciones de los distintos turnos, con cada supervisor y si existe interaccin entre los dos factores, para ello efectu r = 3 rplicas de un experimento factorial 23 para investigar el efecto de supervisor.(con dos niveles) y .turno.(con tres niveles). Las observaciones se dan en la tabla a continuacin.
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INGENIERIA QUIMICA*INGENIERIA QUIMICAINGENIERIA QUIMICAINGENIERIA QUIMICA*
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