Ej 1. (2 puntos) Sea 8e2)x(f5x4
+=+
, entonces:
a) La función inversa de f es: 4
5)
2
8x
ln(4
1)x(f
1
+=
Para hallar f -1(x), planteamos
8e2y
5x4
+=+
despejamos x
Entonces 5x4
e2
8y +
= aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y nos
queda
5x4)2
8y
(ln += despejando x obtenemos
x
4
5)2
8y
ln(
= , como x = f -1(y), cambiamos y por x , entonces
4
5)
2
8x
ln(4
1)x(f
1
+=
b) El dominio de f -1 es: ),8( ∞+
ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS
2C 2017
TEMA 1 - 25-10-17
APELLIDO:
SOBRE Nº:
NOMBRES:
Duración del examen: 2 hs
DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº:
CALIFICACIÓN: Apellido del evaluador:
E-MAIL:
TELÉFONOS part: cel:
Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que
02
8x
> entonces
08x >
8x >
Domf = ),8( ∞+
c) La imagen de f -1 es: R
El conjunto Imagen de f -1 es el Domf. Como f es una función exponencial compuesta con
una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f -1 : R
d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x = 5/4 es: 20x8y +=
Para hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 5/4 , calculamos
f(5/4) reemplazando las x en f por 5/4, así obtenemos
108e2)4/5(f5
4
5.4
=+=+
Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f ´(x)
5x45x4
e)8()4(e2)x´(f++
==
Evaluamos la derivada en x = 5/4 y obtenemos que
8e)8()4/5´(fm5
4
54
===+
Como la recta tiene ecuación )4
5x(810y = , entonces
20x8y +=
Ejercicios a desarrollar
Ej 2. (2 puntos) Sea
0 3/2
0 3x
1-cos(2x)
)( 2
xsi
xsixf
Estudiar continuidad y derivabilidad en x = 0.
Para analizar continuidad en x = 0, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad
a) ¿Existe f(0)?
f(0) = -2/3 por definición de f(x)
b) ¿Existe límite cuando x->0?
Para esta función los límites laterales cuando x tiende a cero son iguales, porque la
función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de x = 0, y su comportamiento no
cambia si x tiende a 0 por derecha o por izquierda. Calculamos entonces
20x3x
1-cos(2x)lim → queda una indeterminación del tipo 0/0, podemos, o bien usar
propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L´Hopital
Aplicando Regla de L´Hopital queda:
x6
)x2(sen2
lim3x
1-cos(2x)lim 0x20x = →→ , como vuelve a quedar una indeterminación
del tipo 0/0 ,si aplicamos nuevamente Regla de L´Hopital (también podríamos aplicar
propiedades para límites indeterminados con funciones trigonométricas) y obtenemos
3
2
6
)x2cos(4
limx6
)x2(sen2
lim3x
1-cos(2x)lim 0x0x20x === →→→
Por lo tanto el límite buscado existe y vale -2/3.
c) ¿f(0)= )x(flim 0x→ ?
Como f(0) = -2/3 y )x(flim 0x→ =- 2/3, se cumple esta condición
Por lo tanto f es continua en x = 0
Analicemos derivabilidad de f en x = 0. Para ello calculamos la derivada de f (x) en x = 0
por definición
3
2
0h
2
2
0h
2
0h3h
2h1-cos(2h)lim
h
3h
2h1-cos(2h)
limh
3
2
3h
1-cos(2h)
lim+
=
+
=
+
→→→
Este límite es una indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos regla de L´Hopital nos queda
20h3
2
0hh9
h4)h2(sen2
lim3h
2h1-cos(2h)lim
+
=+
→→
Este límite es una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando Regla de L´Hopital queda:
h18
4)h2cos(4
limh9
h4)h2(sen2
lim 0x20h
+
=
+
→→
Como vuelve a dar indeterminación del tipo 0/0, por L´Hopital da:
018
)h2(sen8lim
h18
4)h2cos(4
lim 0x0x ==
+
→→
Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado,
y el límite existe y es finito, entonces f es derivable en x=0 y f´(0)=0
Ej 3. Sea xx
xf6
52)(
2 . Analizar:
a) (1 punto) Dominio y raíces.
b) (2 puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
c) (2 puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.
d) (1 punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico
aproximado de la función.
a) Para el Dominio de f(x) pedimos que 0x6x2 ≠
Buscamos x / 0x6x2 = y da 0x = y 6x = , por lo tanto
{ }6,0RDomf =
Para hallar las raíces o ceros planteamos f(x)=0
)x6x(252
x6x
50
x6x
52 2
22=⇒=⇒=+
05x12x2 2 =+ , las raíces de esta cuadrática son : 4
10412x 2,1
±=
es decir 45,04
19,1012
x1 ≈= 55,54
19,1012x2 ≈
+=
{ }2
1+3;26
2
1-3= 26C0
b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que
sacamos del Dominio de f
Para x = 0
+∞=+→x6x
52lim
20x
∞=++→
x6x
52lim
20x por lo tanto x = 0 es asíntota vertical
Para x = 6
∞=+→x6x
52lim
26x
∞+=++→
x6x
52lim
26x por lo tanto x = 6 es asíntota vertical.
Para asíntota horizontal calculamos
2=+∞→ x6x
52lim
2x
2=+∞+→x6x
52lim
2x por lo tanto y = 2 es asíntota horizontal
Como hay asíntota horizontal si +∞→x y si ∞→x , entonces no hay asíntota oblicua
c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f´(x) e igualamos
a cero
3=x⇒0==22 )x6x(
)6x2(5
)x´(f , por lo tanto x = 3 es un Punto Crítico
aplicando el Teorema de Bolzano para f´(x) , teniendo en cuenta los puntos que sacamos
del Dominio de f y de f´ , obtenemos:
Si x<0 f´(x)>0 f crece
Si 0<x<3 f´(x)>0 f crece
Si 3<x<6 f´(x)<0 f decrece
Si x>6 f´(x)<0 f decrece
Por lo tanto :
Intervalo de decrecimiento de f: ),6(U)6,3( +∞
Intervalo de crecimiento de f: )3,0(U)0,( ∞
0 3 6
En x = 3 hay un máximo relativo y vale f(3) = 13/9
d)
Ej 1. (2 puntos) Sea 53)( 12 xexf , entonces:
a) La función inversa de f es: 2
1)
3
5x
ln(2
1)x(f
1
+=
Para hallar f -1(x), planteamos
5e3y1x2
+=+
y despejamos x
Entonces 1x2
e3
5y +
= aplicamos logaritmo natural a ambos miembros
1x2)3
5y
(ln += despejando x obtenemos
x
2
1)3
5y
ln(
= , como x = f -1(y), cambiamos y por x , entonces
ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS
2C 2017
TEMA 2 - 25-10-17
APELLIDO:
SOBRE Nº:
NOMBRES:
Duración del examen: 2 hs
DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº:
CALIFICACIÓN: Apellido del evaluador:
E-MAIL:
TELÉFONOS part: cel:
2
1)
3
5x
ln(2
1)x(f
1
+=
b) El dominio de f -1 es: ),5( ∞+
Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que
03
5x
> entonces
05x >
5x >
Domf = ),5( ∞+
c) La imagen de f -1 es: R
El conjunto Imagen de f -1 es el Domf. Como f es una función exponencial compuesta con
una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f -1 : R
d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x = 1/2 es: 11x6y +=
Para hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 1/2 , calculamos
f(1/2) reemplazando x en f por 1/2, así obtenemos
85e3)2/1(f1
2
1.2
=+=+
Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f ´(x)
1x21x2
e)6()2(e3)x´(f++
==
Evaluamos la derivada en x = 1/2 y obtenemos que
6e)6()2/1´(fm1
2
12
===+
Como la recta tiene ecuación )2
1x(68y = , entonces
11x6y +=
Ejercicios a desarrollar
Ej 2. (2 puntos) Sea
0 4/9
0 2x
1-cos(3x)
)( 2
xsi
xsixf Estudiar continuidad y
derivabilidad en x = 0.
Para analizar continuidad en x = 0, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad
a) ¿Existe f(0)?
f(0) = -9/4 por definición de f(x)
b) ¿Existe límite cuando x->0?
Para esta función los límites laterales cuando x tiende a cero son iguales, porque la
función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de x = 0 y su comportamiento no
cambia si x tiende a 0 por derecha o por izquierda. Calculamos entonces
20x2x
1-cos(3x)lim → queda una indeterminación del tipo 0/0, podemos, o bien usar
propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L´Hopital
Aplicando Regla de L´Hopital queda:
x4
)x3(sen3
lim2x
1-cos(3x)lim 0x20x = →→ , como vuelve a quedar una
indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos nuevamente Regla de L´Hopital (podríamos
usar propiedades dle límite para indeterminaciones con funciones trigonométricas)
,obtenemos
4
9
4
)x3cos(9
limx4
)x3(sen3
lim 0x0x == →→
Por lo tanto el límite buscado existe y vale -9/4.
c) ¿f(0)= )x(flim 0x→ ?
Como f(0) = -9/4 y )x(flim 0x→ =- 9/4, se cumple esta condición
Por lo tanto f es continua en x = 0
Analicemos derivabilidad de f en x = 0. Para ello calculamos la derivada de f (x) en x = 0
por definición
3
2
0h
2
2
0h
2
0h4h
9h2-2cos(3h)lim
h
4h
9h2-2cos(3h)
limh
4
9
2h
1-cos(3h)
lim+
=
+
=
+
→→→
Este límite es una indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos regla de L´Hopital nos queda
20h3
2
0hh12
h18)h3(sen6
lim4h
9h2-2cos(3h)lim
+
=+
→→
Este límite es una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando Regla de L´Hopital queda:
h24
18)h3cos(18
limh12
h18)h3(sen6
lim 0x20h
+
=
+
→→
Como vuelve a dar indeterminación del tipo 0/0, por Regla de L´Hopital da:
024
)h3(sen54lim
h24
18)h3cos(18
lim 0x0x ==
+
→→
Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado,
y el límite existe y es finito, entonces f es derivable en x=0 y f´(0)=0
Ej 3. Sea xx
xf4
23)(
2 . Analizar:
a) (1 punto) Dominio y raíces.
b) (2 puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
c) (2 puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.
d) (1 punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico
aproximado de la función.
a) Para el Dominio de f(x) pedimos que 0x4x2 ≠
Buscamos x / 0x4x2 = y da 0x = y 4x = , por lo tanto
{ }4,0RDomf =
Para hallar las raíces o ceros igualamos f(x)=0
)x4x(323
x4x
20
x4x
23 2
22=⇒=⇒=+
02x12x3 2 =+ , las raíces de esta cuadrática son : 6
12012x 2,1
±=
es decir 17,06
95,1012
x1 ≈= 83,36
95,1012x2 ≈
+=
{ }303
12,30
3
1C0 +-2=
b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que
sacamos del Dominio de f
Para x = 0
∞+=+→x4x
23lim
20x
∞=++→
x4x
23lim
20x por lo tanto x = 0 es asíntota vertical
Para x = 4
∞=+→x4x
23lim
24x
∞+=++→
x4x
23lim
24x por lo tanto x = 4 es asíntota vertical.
Para asíntota horizontal calculamos
3=+∞→ x4x
23lim
2x
3=+∞+→x4x
23lim
2x por lo tanto y = 3 es asíntota horizontal
Como hay asíntota horizontal si +∞→x y si ∞→x , entonces no hay asíntota oblicua
c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f´(x) e igualamos
a cero
2=x⇒0==22 )x4x(
)4x2(2
)x´(f , por lo tanto x = 2 es un Punto Crítico
aplicando el Teorema de Bolzano para f´(x) , teniendo en cuenta los puntos que sacamos
del Dominio de f , obtenemos
Si x<0 f´(x)>0 f crece
Si 0<x<2 f´(x)>0 f crece
Si 2<x<4 f´(x)<0 f decrece
Si x>4 f´(x)<0 f decrece
Por lo tanto :
Intervalo de decrecimiento de f: ),4(U)4,2( ∞+
Intervalo de crecimiento de f: )2,0(U)0,( ∞
0 2 4
En x = 2 hay un máximo relativo y vale f(2)= 5/2
d)
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