Análisis de Fourier
Series y Transformada
Análisis de Fourier
Ortogonalidad: Se dice que dos señales son ortogonales cuando su producto interno es igual a cero. El producto interno en el espacio vectorial de las señales se define por:
𝑔/𝑓 = 𝑔 𝜏 𝑓 𝜏 𝑑𝜏
𝑇
0
= 0
29/01/2015 Alberto Sanchez, PhD 2
Análisis de Fourier
Ortonormalidad: Son señales ortonormales aquellas señales que además de ser ortogonales cumplen con,
𝑔/𝑔 = 𝑔2 𝜏 𝑑𝜏
𝑇
0
= 1
𝑓/𝑓 = 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏
𝑇
0
= 1
29/01/2015 Alberto Sanchez, PhD 3
Análisis de Fourier
Ejemplo:
2
𝑇 cos 𝑚𝑤𝑜𝑡 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑡+𝑇
𝑡
= 1 𝑚 = 𝑛0 𝑚 ≠ 𝑛
2
𝑇 sin 𝑚𝑤𝑜𝑡 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑡+𝑇
𝑡
= 1 𝑚 = 𝑛0 𝑚 ≠ 𝑛
2
𝑇 cos 𝑚𝑤𝑜𝑡 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑡+𝑇
𝑡
= 0 ∀𝑚, 𝑛
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Series de Fourier
Las funciones sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 son una base ortogonal del espacio de señales periódicas
• sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 son ortogonales entre ellas
• Las señales periódicas se pueden expresar como una combinación lineal de estas señales
Series de Fourier
Series de Fourier: Toda señal periódica puede ser representada a través de una serie infinita de sinusoides.
𝑣 𝑡 =𝑎0
2+ 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡
∞
𝑛=1
+ 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡
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Series de Fourier
𝑎0 =2
𝑇 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑇2
−𝑇2
𝑎𝑛 =2
𝑇 𝑣(𝑡) cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑇2
−𝑇2
𝑏𝑛 =2
𝑇 𝑣(𝑡) sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑇2
−𝑇2
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Series de Fourier
Una combinación lineal de sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 se pueden representar también como una suma se cosenos:
𝑣 𝑡 = 𝑐0 + 𝑐𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 + 𝜑𝑛
∞
𝑛=1
𝑐𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛
2
𝜑𝑛 = tan−1𝑏𝑛
𝑎𝑛
Nota: 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒘𝒐𝒕 + 𝝋𝒏 son ortogonales excepto para n=1
Series de Fourier
Una combinación lineal de sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 se pueden representar también como una suma de exponenciales complejas:
𝑣 𝑡 = 𝐶 𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡
𝐶 𝑛 =1
2𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛 =
1
𝑇 𝑣(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡
𝑇2
−𝑇2
𝐶 −𝑛 = 𝐶 𝑛
∗ Nota: Las exponenciales complejas son ortogonales entre ellas
Series de Fourier
Forma Equivalencias 𝑎0
2+ 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡
∞
𝑛=1
+ 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡
𝑐𝑜 + 𝑐𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 + 𝜑𝑛
∞
𝑛=1
𝑐0 =
𝑎0
2
𝑐𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛
2, 𝜑𝑛 = tan−1 𝑏𝑛
𝑎𝑛
𝐶 𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝐶 𝑛 =1
2𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛
𝐶 −𝑛 = 𝐶 𝑛
∗
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Series de Fourier
La serie de una señal para solo tiene componentes pares, es decir a0 y an.
La serie de una señal impar solo tiene componentes impares, es decir, bn
Contenido Espectral de una Señal Periódica
• 𝑎0 y 𝑐0 Componentes DC (Frecuencia cero)
• 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 o 𝑐𝑛 Armónicas (Frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental)
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Contenido Espectral de una Señal Periódica
El espectro se puede representar en gráficas de líneas. (coeficientes vs frecuencia)
1. Espectro par e impar (Serie seno-coseno)
2. Espectro magnitud y fase (Serie coseinodal)
3. Espectro complejo (Serie exponencial)
El espectro de una señal periódica es una señal discreta.
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Series de Fourier
Espectro de Potencia (Teorema de Parseval):
El espectro de potencia consiste en obtener (calcular/dibujar) la contribución de potencia de cada componente de frecuencia
𝑃 = 𝐶 𝑛2
∞
𝑛=−∞
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Series de Fourier
Dibujar el espectro de frecuencia de las señales
29/01/2015 Alberto Sanchez, PhD 15
−𝜏
2
𝜏
2 T -T
A
−𝜏
𝜏
A
T
-A
Series de Fourier
Espectro de un tren de impulsos
T 2T -2T -T 0
𝛿𝑇 𝑡 = 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇
∞
𝑘=−∞
Series de Fourier
Convergencia:
Para que sea posible expandir una señal en series de Fourier basta que las integrales para el calculo de sus coeficientes existan.
Sin embargo, todo esto parte de asumir que efectivamente una función periódica puede ser expandida en una serie trigonométrica.
Series de Fourier
Esta igualdad denota la ¨convergencia¨ de la serie, pero, no debe ser confundida con una convergencia punto a punto. Para ilustrar esta diferencia, considere dos funciones casi idénticas, siendo la única diferencia su valor en un solo punto en el cual difieren en un valor finito. Estas dos señales tendrán exactamente la misma expansión en series de Fourier.
Series de Fourier
Entonces, cuando y a que convergen las series de Fourier? Cuando la primera y segunda derivada son continuas, excepto en un número finito de puntos en los cuales posee discontinuidades finitas. Converge a x(t) excepto en donde existen discontinuidades, en cuyo caso converge al valor medio del valor de la discontinuidad.
Series de Fourier
Dibujar la serie de Fourier de la señal x(t), para valores finitos de n.
−𝜏
2
𝜏
2 T -T
1
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=1
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=3
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=5
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=11
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=51
Series de Fourier
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2n=100
Series de Fourier
La serie converge al punto medio del valor de la discontinuidad
Existen oscilaciones lateral a la discontinuidad. Este fenómeno se conoce como el fenónemo de Gibbs.
Periodo de oscilación lateral: 𝑇 =𝑇0
2𝑁
Amplitud de la oscilación: 𝑎 = 0.09𝐴
TRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada de Fourier La Transformada de Fourier es una generalización de las series para señales aperiódicas (señales de energía).
Consisten en encontrar el límite de las series, cuando el periodo tiende a infinito.
Si 𝑇 → ∞ entonces el espectro tiende a ser continuo.
T=1, N=100
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
nw0
|Cn|2
Espectro de Magnitud de Potencia
T=5, N=50
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
nw0
|Cn|2
Espectro de Magnitud de Potencia
T=10, N=100
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3
nw0
|Cn|2
Espectro de Magnitud de Potencia
T=50, N=500
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-4
nw0
|Cn|2
Espectro de Magnitud de Potencia
Transformada de Fourier En el límite,
𝑣 𝑡 = 𝐶 𝑛𝑒𝑗𝑛𝑤0𝑡
∞
𝑛=−∞
Se transforma en una suma infinitesimal, que a su vez es una integral,
𝑣 𝑡 =1
2𝜋 𝑉(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤
∞
−∞
Transformada de Fourier Donde,
𝑉 𝑤 = ℱ 𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
Se conoce como la Transformada de Fourier
(análisis)
Transformada Inversa de Fourier El término
𝑣 𝑡 = ℱ−1 𝑉(𝑤) =1
2𝜋 𝑉(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤
∞
−∞
Se conoce como la transformada inversa de Fourier (síntesis)
Espectro de Energía
El término 𝑉(𝑤) 2 muestra la distribución de energía de la señal en función de la frecuencia. (Joules/Hz).
La gráfica de 𝑉(𝑤) 2 en función de la frecuencia se conoce como el espectro de energía de la señal.
Espectro de una Compuerta
𝑣 𝑡 = 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡
𝜏2
−𝜏2
𝑣 𝑡 = −1
𝑗𝑤𝑒−𝑗𝑤𝜏 2 − 𝑒𝑗𝑤𝜏 2 = 𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑤𝜏
2𝜋
−𝜏
2
𝜏
2
1
Espectro de un Impulso
ℱ 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 1
𝛿 𝑡 ⇔ 1
Un impulso tiene componentes de frecuencia en todo el espectro
Transformada inversa de un impulso
ℱ−1 𝛿 𝑤 =1
2𝜋 𝛿 𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤
∞
−∞
=1
2𝜋
1
2𝜋⇔ 𝛿 𝑤 o 1 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤
Transformada inversa de 𝛿 𝑤 − 𝑤0
ℱ−1 𝛿 𝑤 − 𝑤0 =1
2𝜋 𝛿 𝑤 − 𝑤0 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤
∞
−∞
=1
2𝜋𝑒𝑗𝑤0𝑡
𝑒𝑗𝑤0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤 − 𝑤0
𝑒−𝑗𝑤0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤 + 𝑤0
Ejercicios
• ℱ cos 𝑤0𝑡
• ℱ 𝑣(𝑡) 𝑣 𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇
• ℱ 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇∞𝑛=−∞
Linealidad
Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,
entonces
𝛼𝑉1 𝑤 + 𝛽𝑉2 𝑤 = ℱ 𝛼𝑣1 𝑡 + 𝛽𝑣2 𝑡
Convolución
Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,
entonces
𝑣1 𝑡 ∗ 𝑣2 𝑡 = 𝑉1(𝑤)𝑉2(𝑤)
Dualidad
Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) ,
entonces
𝑉1 𝑡 = 2𝜋𝑣1 −𝑤
Multiplicación
Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,
entonces
𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡 = 2𝜋𝑉1 𝑤 ∗ 𝑉2(𝑤)
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