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Mario Matiauda, Cristian Kornuta
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Coronel Félix Bogado 2160 | Posadas - Misiones | Tel-Fax: (0376) 4428601
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Página Web:
www.editorial.unam.edu.ar
Colección: Ediciones EspecialesCoordinación de la edición: Claudio O. Zalazar
Hecho el depósito de la Ley Nº 11.723
ISBN: 978-950-579-238-2
Impreso en Argentina
©Editorial Universitaria
Universidad Nacional de Misiones
Posadas, 2012
Matiauda, Mario EugenioIntroducción al álgebra lineal.-1a ed.- Posadas: EdUNaM -Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Misiones, 2012.E-Book.ISBN 978-950-579-238-2
1. Álgebra Lineal. I. TítuloCDD 512.5
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Unidad 1-INTRODUCCION
1.1-INTRODUCCION
1.2-SISTEMAS HOMOGENEOS
1.3-MATRICES
1.3.1- PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS:
Aplicaciones en MATLAB
Unidad 2- ESPACIOS VECTORIALES
2.1-DEFINICION
2.2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONES
2.3-PROPIEDADES EN UN ESPACIO VECTORIAL
2.4-DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES
2.4.1-INTERSECCION DE SUBESPACIOS
2.5-COMBINACIONES LINEALES
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2.6- SUBESPACIO GENERADO
2.6.1-CONJUNTOS EQUIVALENTES DE VECTORES
2.6.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
2.6.3-PROPIEDADES DE LA INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
2.7-CARDINAL DE LAS BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL
2.8-DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
2.8.1- COORDENADAS DE UN VECTOR
2.9-PRODUCTO INTERIOR
2.9.1-PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERNO
2.10- ESPACIO VECTORIAL NORMADO 2.10.1-NORMA INDUCIDA POR UNA PRODUCTO
INTERIOR
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Aplicaciones en MATLAB
Unidad 3- APLICACIONES LINEALES
3.1- DEFINICION
3.2-CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UNA APLICACION LINEAL
3.3-PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES
3.4-NUCLEO DE UNA APLICACION LINEAL
3.5- IMAGEN DE UNA APLICACION LINEAL
3.5.1-RELACION ENTRE LAS DIMENSIONES DEL NUCLEOE IMAGEN
3.6-OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES
3.7-EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONESLINEALES
3.8- COMPOSICION DE APLICACIONES LINEALES
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3.9- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONESLINEALES
3.9.1-VECTOR DE COORDENADAS
3.9.2-ASOCIACION ENTRE MATRICES Y APLICACIONESLINEALES
3.10-SUMA DE MATRICES
3.11-MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
3.12-ISOMORFISMO ENTRE APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
3.13-ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES
3.14-PRODUCTO ENTRE MATRICES
3.15-ALGUNAS MATRICES ESPECIALES
3.16- TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
3.17-MATRIZ INVERSIBLE
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3.18-CAMBIO DE BASE
Aplicaciones en MATLAB
Unidad 4-EL SISTEMA COMO APLICACION LINEAL
4.1- DEFINICION
4.2-NOTACIÓN MATRICIAL
4.3-REDUCCION POR FILAS A FORMAS ESCALONADAS
4.4-ALGORITMO PARA OBTENER UNA MATRIZ TRIANGULAR Y TRIANGULAR REDUCIDA
4.5-CONJUNTO SOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL
4.6-EL SISTEMA COMO UNA APLICACION LINEAL
4.7-CONJUNTO SOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL
Aplicaciones en MATLAB
Unidad 5-DETERMINANTES Y SISTEMAS LINEALES
INTRODUCCION Elementos de Algebra Lineal - 2011 6
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5.1-APLICACIONES BILINEALES
5.1.1-APLICACION BILINEAL ALTERNADA
5.2-DETERMINANTE DE ORDEN 2
5.3-LA PERMUTACION Y SU SIGNO
5.4-APLICACIONES TRILINEALES ALTERNADAS
5.5-DETERMINANTE DE ORDEN 3
5.6- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES DE ORDEN 3
5.7-DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA
5.8-APLICACIONES MULTILINEALES
5.9-APLICACIONES MULTILINEALES ALTERNADAS
5.10-DETERMINANTE DE ORDEN n
5.11-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE Mn(K)
5.12-PROPIEDADES Elementos de Algebra Lineal - 2011 7
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5.13-DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS
ELEMENTOS DE UNA LINEA
5.14- MATRIZ ADJUNTA
5.15-RANGO DE UNA MATRIZ
5.15.1-CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
5.15.2-CALCULO DEL RANGO POR EL METODO DE GAUSS-
JORDAN 5.16- SISTEMA DE CRAMER
5.16.1-SOLUCION DE UN SISTEMA DE CRAMER
5.17- TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS
5.18-SOLUCION DE UN SISTEMA MEDIANTE EL METODO DEGAUSS-JORDAN
Aplicaciones en MATLAB
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Unidad 6- AUTOVALORES - AUTOVECTORES-DIAGONALIZACION
6.1-INTRODUCCIÓN
6.2-MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMETRICA
6.3-SEMEJANZA DE MATRICES
6.4-DIAGONALIZACION
6.5-DIAGONALIZACION ORTOGONAL
6.6-TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON
Aplicaciones en MATLAB
Unidad 7-DESCOMPOSICION EN VALORES SINGULARES.FORMAS CUADRÁTICAS
7.1-INTRODUCCION
7.2-FORMAS CUADRATICAS
7.3-EXPRESION DIAGONAL DE UNA FORMA CUADRATICA
7.3.1- TIPOS DE FORMAS CUADRATICAS Elementos de Algebra Lineal - 2011 9
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7.3.2-ESTUDIO DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA REAL DE n VARIABLES
Apéndice 1- DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS
VECTORES INTRODUCCION
Tipos de vectores
Representación
Gráficamente
Operaciones fundamentales; suma y diferencia de vectores
Forma trinómica y vectores unitarios
Aplicaciones en MATLAB Anexo 1 - Introducción básica sobre MATLAB
¿QUE ES MATLAB?
¿POR QUE ELEGIR MATLAB?
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DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
EL ENTORNO DE MATLAB ARCHIVOS *.m DE MATLAB
EL EDITOR DE MATLAB
EJEMPLO DE FUNCION EN MATLAB
TOOLBOX
ALGUNOS TOOLBOXES
Anexo 2
consec.m
homsoln.m
lincomb.m
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lisub.m
rowcomb.m
rowscale.n rowswap.m
solucion.m
utristep.m
rrefstep.m
dependencia.m
span.m
spanview.m
angulo.m
plano.m
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vector.m
vector3.m
dist.m drawec.m
plotangle
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL CONSULTADA
MAS... BIBLIOGRAFÍA DE INTERES
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INTRODUCCION
El Algebra Lineal es una herramienta básica para casi todas las ramas de lamatemática así como para disciplinas afines tales como la física, la ingeniería y la
computación entre otras, comúnmente esta denominación de Algebra Lineal,simplifica en realidad ‘lo lineal’, que es el concepto central, presente en elcoloquio y actividades más sencillas de la vida diaria, ligado a ‘lo proporcional’.
Existen muchísimos buenos textos de Algebra Lineal ,esta presentación es
sólo una introducción básica al tema, pensada en los contenidos curriculares decursos del tema y, al mismo tiempo, una guía de estudios para los interesados.
En el objetivo de Algebra + Lineal, se propone, iniciar con una secuenciapreliminar de ecuaciones lineales y elementos del cálculo matricial, empleando elconcepto familiar de una columna y una fila, para posteriormente entrar en la‘antipática’ abstracción (estructuras y espacios).
También incluimos la herramienta del software como ayuda complementodel conjunto de operaciones, en su versión elemental.
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1.1-INTRODUCCION
Una ecuación lineal en las variables (o incógnitas) x 1 ;...; x n es una expresiónde la forma a 1 x 1 + …+ a n x n = b
A a 1 ;...; a n € K se les denomina coeficientes de la ecuación, y a b ε K términoindependiente.
Muchas veces los coeficientes a 1 ;...;a n y el término independiente b serán
elementos de un cuerpo K (con K = R ó C). En tal caso se dice que la ecuaciónanterior es una ecuación lineal con coeficientes en K :
Ejemplo
Si n = 2 y a1; a2 ε R, la ecuación lineal a1 x + a2y = b (I) representa una recta en
el plano R2
; es decir, el conjunto de pares ( x; y) que satisfacen la ecuación (I)constituyen una recta.
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Por ejemplo
La ecuación y = 2x + 2 representa la recta que pasa por el punto (0,2) dependiente dos
y
xo
(0,2)
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Es importante observar que las operaciones que afectan a las variables queintervienen en las ecuaciones lineales se reducen a multiplicarlas por loscoeficientes y sumarlas.
Así por ejemplo,
3x + 4y = 16 x1 - x2 + πx4 = 1
son expresiones lineales
Se dice que (α1;…; αn) ε K n es solución de la ecuación
a1 x1 + …+ an xn = b
sia1α1 + … + anαn = b
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Ejemplo (x; y; z) = (3; 2;-1) es solución de x + y + z = 4:
Por otra parte (x; y; z) = (4; 0; 0) también es solución de dicha ecuación.
Un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión finita de ecuacioneslineales. Es usual representar los sistemas de ecuaciones lineales colocando lasucesión de ecuaciones lineales en columna.
Así, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se representaría por
a11 x1 + … + a1n xn = b1 ...
am1 x1 + ::: + amn xn = bm
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Ejemplo: el sistema
x2 + x3 = 12x1 - x3 = 2
x2 + x3 = 4
es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Se dice que ( α1;…; αn) ε K n es solución del sistema de ecuaciones
a11 x1 + … + a1n xn = b1 ...am1 x1 + … + amn xn = bm sia11 α 1 + ... + a1n α n = b1 ...am1 α 1 + … + amn α n = bm
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Es importante tener presente que los sistemas de ecuaciones lineales puedenno tener soluciones o tener más de una.
Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución, como el delejemplo anterior, se denominan sistemas incompatibles.
Los que tienen al menos una solución, esto es, los sistemas compatibles,pueden tener una única solución, en cuyo caso se denominan compatiblesdeterminados, o más de una solución, en cuyo caso, si los coeficientes del sistema
son números reales o complejos, el sistema tiene infinitas soluciones y los sistemascorrespondientes se denominan compatibles indeterminados.
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Si tomamos un caso sencillo, de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a1 x+b1y=c1 a2 x+b2y=c2
según su número de soluciones, tendremos:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Secortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. Notienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas
coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos sonsoluciones.
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1.2-SISTEMAS HOMOGENEOS
Definición: se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si lostérminos independientes de todas las ecuaciones que lo constituyen son iguales a
0.Ejemplo x1 + x3 = 02x1 - x2 + x3 = 0
es un sistema homogéneo de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
Observación : Cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneoa11 x1 + … + a1n xn = 0...a
m1 x
1+ … + a
mn x
n= 0
es compatible, puesto que (0; …; 0) ε K n es siempre una solución de dicho sistema. A esta solución se la conoce como solución trivial. Si un sistema homogéneo tienesoluciones distintas de la trivial, a cualquiera de dichas soluciones ladenominaremos solución no trivial.
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Más adelante se verá que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales concoeficientes en R ó C satisface exactamente una de las siguientes proposiciones:
El sistema homogéneo sólo tiene la solución trivial. El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones además de la trivial.
En particular, se verá que todo sistema homogéneo con coeficientes en R ó Cque tenga más incógnitas que ecuaciones, tiene infinitas soluciones.
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Es práctico trabajar los sistemas de ecuaciones con las matrices ampliadas,apuntando su resolución a aplicar lo que se denominan transformacioneselementales por filas. Estas son las siguientes:
1. Sumar a una la otra multiplicada por un número: F i = F i + λ F j
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero: F i = λ F i
3. Intercambiar dos las: F i ↔ F j
La aplicación sucesiva de transformaciones elementales por filas sobre unsistema de ecuaciones lineales (o sobre su matriz ampliada) permite pasar de unsistema de ecuaciones lineales a otro que, teniendo las mismas soluciones que elplanteado, es más sencillo de resolver. En esta sección demostraremos con tododetalle que esto es efectivamente así. Por otra parte, las transformaciones
elementales son reversibles, es decir, si realizando transformaciones elementalessobre un sistema de ecuaciones lineales S obtenemos un sistema de ecuacioneslineales S’ , recuperándose S a partir de S’ realizando las transformacioneselementales “inversas” en el orden adecuado (el orden inverso del que se haseguido para pasar de S a S ’).
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Se dice que dos sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas son
equivalentes si uno de ellos puede obtenerse a partir del otro realizando sobre elprimero una sucesión finita de transformaciones elementales por filas.
TRAFORMACION TRANSFORMACION INVERSA
λ
λ
λ( λ ≠ 0 ) 1λ ↔ ↔
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1.3-MATRICES
Introducimos algunos conceptos, a costa de aparecer con cierto desorden,sobre las matrices, para valernos de ellas en esta introducción de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales, volviendo a una presentación más rigurosa ensecciones posteriores.
Sean n,m ε N . El conjunto de las matrices de n filas y m columnas concoeficientes en un cuerpo K es
… ⋮ ⋮ …
, ∀ 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤
para definir una matriz en K nxm basta especificar, para cada 1 ≤ i ≤ n y cada1: j ≤ m , qué elemento de K se halla en el lugar ij (correspondiente a laintersección de la fila i y la columna j ) de la matriz.
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Así, sean n,m ε N , y sean 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m . Se define la matriz Ekl ε K nxm
ij =
1 si ik,jl0 si no
Matriz canónica o identidad de K nxm
Sean A,B ε K nxm. Entonces A = B si y sólo si Aij = Bi j para cada 1 ≤i ≤ n; 1 ≤
j ≤ m .
Se definen la suma de matrices y el producto por escalares como
:
×
→ 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤
. : × → , . 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤
Definiremos ahora un producto que, dadas dos matrices A y B concoeficientes en K tales que la cantidad de columnas de A sea igual a la cantidad de filasde B , calcula una nueva matriz C .
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Sean A ε K nxm y B ε K mxr . Se define el producto de A por B como la matriz C ε K nxr tal que
, 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤
=
1. Propiedad asociativa: dadas A ε K nxm B ε K mxr , y C ε K rxs , se tiene que( A.B).C = A.(B.C).
2. Para cada n ε N , sea In ε K nxn definida por
1 0 ≠
Entonces, si A ε K nxm , se verifica: In.A = A.In = A
La matriz In se denomina matriz identidad de K nxn.
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1.3.1- PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
(a) Si A ε K nxm y B, C ε K mxr , entonces A.(B + C) = A.B + A.C.
(b) Si A,Bε
K nxm yC
ε
K mxr , entonces(A + B).C = A.C + B.C
Observemos que, en particular, el producto de matrices está definido paracualquier par de matrices en K nxn. y, por lo tanto, se tiene una operación‘’producto" en K nxn.para cada n ε N , pudiendo entonces inferir que (K nxn,+,.) es unanillo.
Propiedades que difieren , en el producto matricial, de las usuales de números reales,como ser: El producto de matrices no es conmutativo, incluso en el caso de matricescuadradas; el hecho que A.B = 0 no implica que A = 0 o B = 0.
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Incluimos dos nociones de utilidad para la sección de estudio actual
Sea A ε K nxm . Se llama matriz traspuesta de A, y se nota At, a la matriz
At ε K mxn definida por (At ) ij = A ji para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n .
Sea A ε K nxn . Se llama traza de la matriz A, y se nota tr(A) , al escalar
=
Sobre la inversa de una matriz: Una matriz A ε K nxn admite inversa(no singular)si existe una matriz B ε K nxn tal que A.B = B.A = In .
La matriz B de la definición es única. Pues, si A.B = B.A = In y A.C = C.A = In , entonces
B = In.B = (C.A).B = C.(A.B) = C.In = C
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Se puede entonces establecer la siguiente definición:
Si una matriz A’ se obtiene realizando transformaciones elementales por filassobre una matriz A; diremos que las matrices A y A’ son equivalentes por
filas(válido para columnas).
A las transformaciones elementales por filas, realizadas, ya sea directamentesobre las ecuaciones del sistema, bien sobre las filas de su matriz ampliada lasdenotaremos del mismo modo. De manera que estamos en condiciones de
representar un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a través de larepresentación matricial como:
A x= b . La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión m x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz x es una matriz
columna, de dimensión n x 1 , formada por las incógnitas del sistema. Por último,la matriz b es otra matriz columna, de dimensión m x 1 , formada por lostérminos independientes. Es decir: ⋯
x=
y b=
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Además, se llama matriz ampliada del sistema, que representaremos por A*, ala matriz de dimensión m x (n+1) que se obtiene a partir de lamatriz A, añadiéndole la columna formada por los términos independientes
Lema : Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienenexactamente las mismas soluciones. En otras palabras, si S y S’ son equivalentes,(α1; …; αn) es solución de S , (α1; …; αn) es solución de S’
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A plicaciones
en MATLABElementos de Algebra Lineal
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VARIABLES MATRICIALES
GENERALIDADES
La matriz, conceptualmente, como conjunto de vectoresPor ejemplo:>> A=[1 2 3; 1 3 4;-1 2 3] o mat=[1 2 3; 1 3 4;-1 2 3]
A = mat=1 2 3 1 2 31 3 4 1 3 4-1 2 3 -1 2 3
A los elementos de una matriz se accede sin más que escribir el nombre de lamatriz y, entre paréntesis, los respectivos índices:
>>A=(1,3) % Elemento en la primera fila y tercera columna de Aans =
3
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También se puede acceder a un fila o columna completas
>>mat(:,2) % Segunda columna de matans =
232
>>mat(2,:) % Su segunda fila
ans =1 3 4
Existen comandos que permiten crear de forma sencilla matrices.Por ejemplo, dado el vector v
>>v=[ 1 2 3];>>diag(v) % Matriz diagonal cuya diagonal es el vector vans =
1 0 00 2 00 0 3
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>>diag(diag(M)) % Matriz diagonal con la diagonal de M. La sentencia diag(M) dael vector formado por la diagonal de la matriz M
ans =
1 0 00 5 00 0 9
>>diag(ones(1,4),1)+diag(ones(1,4),-1) % Matriz tridiagonal 5x5 con 0 en la
diagonal principal y 1 en la sub y superdiagonal
ans =
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 00 0 1 0 1
0 0 0 1 0
>>tril(M) % Matriz formada por la parte triangular inferior de M
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OPERACIONES CON MATRICES
>> A+B % suma de las matrices A y B (igual dimensiones)
>> A-B % resta de las matrices A y B (igual dimensiones)
>> A*B % producto de matrices, si es posible efectuarla
>> α*A % producto del escalar alfa por la matriz A
>> A^p % eleva la matriz A a la potencia escalar p
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MATRICES ESPECIALES EN MATLAB
>> eye(3) % genera la matriz identidad cuadradaans =
1 0 00 1 00 0 1
>> ones(3,2) % matriz 3x2 de unosans =
1 11 11 1
>> zeros(3,2) % llena de ceros
ans =0 00 00 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 39
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Para generar una matriz formada por números aleatorios uniformementedistribuidos entre 0 y 1, se usa: rand(3,2)
Matrices dispersas (huecas)
Cuando se trabaja con matrices con muchos ceros, Matlab las genera con elcomando sparse empleando menos bytes
Sea la matriz
>> A=[0 0 0 3; 0 0 1 2; 3 0 0 1; 0 0 0 2];
>> s=sparse(A) % la convierte a dispersas =
(3,1) 3(2,3) 1(1,4) 3
(2,4) 2(3,4) 1(4,4) 2
se la recupera con full(s)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 40
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Se pueden generar directamente matrices dispersas con:
>>sparse(i,j,s,m,n) % Donde i, j son los subíndices de los elementos no nulos, s esun vector con los valores de los no nulos, (m, n) el tamaño de la matriz. Así:
>> i=[1 2 2 3 3 3]; % vector >> j=[4 3 4 1 4 4]; % vector >> s=[3 1 2 3 1 2]s =
3 1 2 3 1 2>> m=4; n=4;>> sparse(i,j,s,m,n)ans =
(3,1) 3
(2,3) 1(1,4) 3(2,4) 2(3,4) 3
>> full(s) se recupera
Elementos de Algebra Lineal - 2011 41
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Para acceder a determinados elementos o partes de una matriz dada A
A(m,n) Da el elemento (m,n) de A (fila m y columna n) A(a:b,c:d) Da la submatriz de A formada por las filas que hay entre la
a-ésima y la b-ésima y por las columnas entre la c-ésima y lad-ésima A(a:p:b,c:q:d) Da la submatriz de A formada por las filas que hay entre la
a-ésima y la b-ésima de p en p,y por las columnas entre lac-ésima y la d-ésima tomándolas de q en q
A([a b],[c d]) Da la submatriz de A formada por la intersección de lasfilas a-ésima y la b-ésima y las columnas c-ésima y la d-ésima
A([a b c...],[e f g...d]) Da la submatriz de A formada por la intersección de lasfilas a,b,c... y las columnas e,f,g...
A(:,c:d) Da la submatriz de A formada por todas las filas de A y
las columnas que hay entre la c-ésima y la d-ésima A(:,[c d e...]) Da la submatriz de A formada por todas las filas de A y
las columnas c,d,e... A(a:b,:) Da la submatriz de A formada por todas las columnas de
A y las filas entre la a-ésima y la b-ésima.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 42
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Para acceder a determinados elementos o partes de una matriz dada A
A([a b c...],:) Da la submatriz de A formada por todas las columnas de A y las filas a,b,c...
A(a;: ) Da la fila a-ésima de A A(:;b) Da la columna b-ésima de A A(: ) Da un vector columna cuyos elementos son las columnas
de A en orden una debajo de otra[A,B,C,...] Define la matriz formada por las submatrices A,B,C,...S A
Borra la submatriz de la matriz A,S A
,dando el restodiag(v) Genera una matriz diagonal con el vector v en la diagonaldiag(A) Extrae la diagonal de A como vector columnaeye(m,n) Genera la mxn con unos en la diagonal principal y ceros
en el restozeros(m,n) Genera la nula mxn
ones(mn,n) Genera la mxn de unossize(A) Da el tamaño de A tril(A) Da la parte triangular inferior de A triu(A) Da la parte triangular superior de A
Elementos de Algebra Lineal - 2011 43
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Así, por ejemplo:
>>A=[1 7;3 9;5 0] A =
1 73 90 0
si se genera
>> B=[A eye(3)] % Genera la mxn con unos en la diagonal principal y ceros en elresto
B =1 7 1 0 0
3 9 0 1 05 0 0 0 1
o >> B(1,:)ans =
1 7 1 0 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 44
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Otros ejemplos:
Dadas las matrices A,B,C, hallar:
a)AB –BA
b)A 2+B2+C2
c)ABC d) sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)
e) e A (eB+eC)
>>A=[1 1 0;0 1 1;0 0 1];>>B=[i 1-i 2+i;0 –1 3-i;0 0 –i];>>C=[1 1 1;0 sqrt(2)*i –sqrt(2)*i;1 –1 –1];
a) AB-BA
>>A*B-B*A ans =
0 -1.0000 - 1.0000i 2.00000 0 1.0000 - 1.0000i0 0 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 45
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b) A^2+B^2+C^2
>>A^2+B^2+C^2
ans =
2.0000 2.0000 + 3.4142i 3.0000 - 5.4142i0 - 1.4142i - 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 0.5858i0 2.0000 - 1.4142i 2.0000 + 1.4142i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 46
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c) A*B*C
>>A*B*C
ans =
5.0000 + 1.0000i - 3.5858 + 1.0000i - 6.4142 + 1.0000i3.0000 - 2.0000i - 3.0000 + 0.5858i - 3.0000 + 3.4142i
0 - 1.0000i 0 + 1.0000i 0 + 1.0000i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 47
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d) sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)
>>sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)
ans =
0.7071 + 0.7071i 1.0987 - 0.4551i 0.4553 + 0.3436i0 0.1591 + 0.1591i 1.9144 + 0.5560i
-1.0000 0 - 1.0000i 1.7071 - 1.7071i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 48
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e) expm(A)*(expm(B)+expm(C))
(expm: eleva la cte. e a la potencia matriz)
>> expm(A)*(expm(B)+expm(C))
ans =
14.1906 - 0.0822i 5.4400 + 4.2724i 17.9169 - 9.5842i
4.5854 - 1.4972i 0.6830 + 2.1575i 8.5597 - 7.6573i3.5528 + 0.3560i 0.1008 - 0.7488i 3.2433 - 1.8406i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 49
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MANEJO DE LAS OPERACIONES EN SISTEMAS LINEALES
Tomemos como referencia una matriz A >>A=[ 1 2 3;2 5 4;1 -1 10];
>>A([2 3];:)= A([3 2];:)% Intercambio de renglones: por ejemplo entre dos y tres A =1 2 31 -1 102 5 4
R=[A eye(size(A))]% Supongamos la búsqueda de inversa de AR =
1 2 3 1 0 02 5 4 0 1 01 -1 10 0 0 1
>> R(2,:)=R(2,:)-2*R(1,:); R(3,:)=R(3,:)-R(1,:)
R =1 2 3 1 0 00 1 -2 -2 1 00 -3 7 -1 0 1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 50
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>> R(1,:)=R(1,:)-2*R(2,:);R(3,:)=R(3,:)+3*R(2,:)R =
1 0 7 5 -2 00 1 -2 -2 1 0
0 0 1 -7 3 1
>> R(1,:)=R(1,:)-7*R(3,:);R(2,:)=R(2,:)+2*R(3,:)R =
1 0 0 54 -23 -7
0 1 0 -16 7 20 0 1 -7 3 1
Si queremos verificar
>>B=[ 54 -23 -7;-16 7 2;-7 3 1];A*Bans =1 0 00 0 10 1 0
Para llevar a forma escalonada un sistema lineal procedemos de misma forma
Elementos de Algebra Lineal - 2011 51
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
solve(‘ecuación’,’x’) Resuelve la ecuación en la variable x
syms x,solve(ecu(x),x) Resuelve la ecuación ecu(x) en la variable x
solve(‘ec1,ec2,...,ecn’,’x1,x2,...,xn’) Resuelve las n ecuaciones simultáneasen x1,x2,..., xn
X=A\B (o X=A/B) Resuelve A*X=B (o X*A=B)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 52
l 1
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sea el sistema x+y+z=1, 3x+y=3, x-2y-z=0
solve(‘ec1,ec2,...,ecn’,’x1,x2,...,xn’) Resuelve las n ecuaciones simultáneasen x1,x2,...,xn
>> [x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0','x','y','z') x = 4/5 y =3/5z =-2/5
idénticamente, se podría escribir:
>> [x,y,z]=solve('x+y+z=1, 3*x+y=3, x-2*y-z=0','x','y','z')
X=A\B (o X=A/B) Resuelve A*X=B (o X*A=B)
>>A\B % o sencillamente
ans = 1.1429-0.42860.2857
Elementos de Algebra Lineal - 2011 53
REPRESENTACION GRAFICA SOLUCION DE UN SISTEMAS DE
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REPRESENTACION GRAFICA SOLUCION DE UN SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
- 3 4 06 3 4 06 9 4 0 1 o 3 4 06 3 4 06 9 4 0 1
>> [x,y] = meshgrid(-4:0.5:5)>> z = 3*y/4;>> surf(x,y,z)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 54
S b l l d l f 1
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Se obtiene el plano de la figura 1
-4
-2
0
2
4
6
-5
0
5
-4
-2
0
2
4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 55
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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>> hold on>> z = (6*x - 3*y)/4;>> surf(x,y,z)
Se obtienen los planos de la figura 2 interceptados en una línea recta
-4
-2
0
24
6
-5
0
5
-10
-5
0
5
10
15
Elementos de Algebra Lineal - 2011 56
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>> z = (-6*x + 9*y)/4;>> surf(x,y,z)
Se obtiene los planos de la figura 3 interceptados en una línea recta
-4
-2
0
24
6
-5
0
5
-20
-10
0
10
20
Elementos de Algebra Lineal - 2011 57
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>> z = 1- x - y;>> surf(x,y,z)
Se obtienen los cuatro planos de la figura 4 interceptados en el punto(4/11. 4/11,3/11) de R 3
-4
-2
0
2
4
6
-5
0
5
-20
-10
0
10
20
Elementos de Algebra Lineal - 2011 58
C d
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Comparando
>>A = [0 3 -4; 6 -3 -4; 6 -9 4; 1 1 1]; B = [0; 0; 0; 1]>>X = A\B
X =0.36360.36360.2727
Uso de la forma escalonadaSea por ejemplo
>> R=[2 4 6 18;4 5 6 24;3 1 -2 4];>> R(1,:)=0.5*R(1,:)
R =1 2 3 94 5 6 243 1 -2 4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 59
>> R(2 ) R(2 ) 4*R(1 ) R(3 ) R(3 ) 3*R(1 )
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>> R(2,:)=R(2,:)-4*R(1,:);R(3,:)=R(3,:)-3*R(1,:)R =
1 2 3 90 -3 -6 -12
0 -5 -11 -23
>>R(2,:)=(-1/3)*R(2,:)R =
1 2 3 9
0 1 2 40 -5 -11 -23
>>R(3,:)=R(3,:)+5*R(2,:)R =
1 2 3 90 1 2 40 0 -1 -3
X 3=3;x 2=-2;x 3=4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 60
fun ti n C r d r(n)
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function C=creador(n)
% El comando C=creador(n) genera una matriz C nxn,%cuyas entradas alternan entre 1 y 0.
%%Particularmente C(i,j)=1 si i+j es par, sino C(i,j)=0.%%Asi creador(4) generará la matriz%
% 1 0 1 0% 0 1 0 1% 1 0 1 0% 0 1 0 1
C=ones(5,1)*[1:5]C=rem(C+C'+1,2)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 61
C=ones(n 1)*[1 n]
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C=ones(n,1) [1:n];C=rem(C+C'+1,2);
>>creador(6)
ans =1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 62
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2 1 DEFINICION
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2.1-DEFINICIONTomemos un cuerpo conmutativo K . Llamaremos espacio vectorial sobre el
cuerpo K al objeto formado por un conjunto E , una ley interna en E llamadasuma, denotada por (x,y) x + y , y una ley de composición externa de K . E
en E llamada producto y denotada ( ,x) x . Estas leyes deben cumplir lossiguientes axiomas:
A1) El par (E,+) es un grupo conmutativo.
A2) El producto cumple con las siguientes condiciones:
1.- α(y + x) = αy + αx 2.- (α + β)x = xα + xβ
3.- α(βx) = (αβ) x
4.- 1x = x
Llamaremos escalares a los elementos del cuerpo K y vectores a los elementos de E .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 64
El espacio vectorial Vamos a denotar con al conjunto de las
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El espacio vectorial . Vamos a denotar con al conjunto de lasmatrices columna de dos filas. Por ejemplo:
12 y
dos elementos del conjunto .
Consideremos, por lo tanto, el conjunto
y definamos en él las dos
siguientes leyes:
1. + =
2. α = 11
Elementos de Algebra Lineal - 2011 65
Vamos a demostrar que el conjunto con las leyes así definidas tiene
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Vamos a demostrar que el conjunto , con las leyes así definidas, tieneestructura de espacio vectorial. Para eso probemos, en primer lugar, elcumplimiento del axioma A1; por definición, la operación que hemos definido,es una ley interna; es muy fácil probar que es asociativa, conmutativa y que tiene
elemento neutro que es el vector:
θ = 00
y, por otra parte, el opuesto de
es
. Por consiguiente, el
axioma se satisface y podemos decir que ( ,+) es un grupo conmutativo.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 66
La segunda ley satisface el axioma En efecto es una ley de R x en
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La segunda ley satisface el axioma . En efecto, es una ley de R x . en que, para todo β,α de R, cumple con:
1. α = α = α
α
α α α α +
α α = α + α
2.
=
=
=
+
= α
+
β
3. - α = α =
=
4. -1
=
11=
Elementos de Algebra Lineal - 2011 67
Por consiguiente el axioma se satisface y por ende hemos probado que
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Por consiguiente, el axioma se satisface y, por ende, hemos probado quela cuaterna (R²,+,R,.) tiene estructura de espacio vectorial.
Muchas veces nos convendrá utilizar al vector como una matriz fila para lo
cual nos bastará utilizar la transposición de matrices que hemos definido.
Algunas veces, por conveniencia, consideramos a como el par ordenado( , ), lo cual es absolutamente lícito; por supuesto que u , porque lasmatrices, aunque tengan los mismos elementos, tienen formas distintas.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 68
En general, para n N, el conjunto R" de las n-uplas ordenadas de números
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En general, para n ∈ N, el conjunto R de las n uplas ordenadas de númerosreales es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, .) conla suma de n-uplas y el producto de un número real por una n-upla.
En símbolos:
= × × × …× ={( , , … , ) / ∈ , ∀ 1,2, … , }
La suma de n-uplas es una ley de composición interna
: x →
(u, v) → u + v
definida del siguiente modo,
Si u=(
, , … , )
∈
, ( ,, … , )
∈
, se define
u+v = (
, , … , ) ( , , … , ) ( +
,
+
, … , +
)
El producto de un escalar por una n-upla es una ley de composición externa∴ × → ( α , u) → α u
Elementos de Algebra Lineal - 2011 69
definida como sigue
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definida como sigue
Si α R, u= (
, , … , )
∈R, α u = α (
, , … , )
( α
,α
, … ,α
)
Es claro que para n=1, ES un espacio vectorial, es el espacio vectorial delconjunto de los reales sobre el cuerpo de los números reales. Geométricamentelos vectores de este espacio vectorial se representan en la recta real.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 70
2 2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONES
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2.2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONESDenotemos con F(A,R) al conjunto de funciones con dominio en un
conjunto A R no vacío y codominio en el cuerpo conmutativo R. Es decir:
F(A,R) = { f / f : A R}
Vamos a definir las dos leyes que siguen:
i) Una ley interna en F(A,R) llamada suma, denotada mediante
(g, f ) g + f y definida mediante la regla:
(g + f )(x) = g(x) + f (x), x A
ii) Una ley de composición externa de Rx F(A,R) en F(A,R) llamada
producto, denotada (α ,f ) αf y definida mediante la regla:( α f )(x) = α f (x), x A
Elementos de Algebra Lineal - 2011 71
Vamos a demostrar que la cuaterna (F(A,R),+,R,.) es un espacio vectorial.
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( ( ) )Para ello tendremos que probar el cumplimiento de los axiomas y quedefinen la estructura.
Comencemos con el primer axioma, que exige que el par (F(A,R),+) seaun grupo conmutativo. En tal sentido, la suma, que por definición, es una ley interna en F(A,R), es asociativa. En efecto:
( f , g F(A,R))
((f+g)+h)(x) = (f+g)(x) + h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g+h)(x) = (f+(g+h))(x)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 72
Existe un elemento neutro para la suma; dicho elemento es la función e
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definida por:
e(x) = 0, x A
En efecto, si f F(A,R), tendremos:
(f + e)(x) = f (x) + e(x) = f (x) + 0 = f (x)
Es fácil probar que la función es también un elemento neutro por laizquierda.
Cada función f F(A,R) tiene un opuesto, que es la función – f F(A,R) definida por:
(−f )(x) = −f (x)
En efecto:
(f + (−f ))(x) = f (x) + (−f )(x) = 0 = e(x)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 73
Resta probar que – f es opuesto por la izquierda, demostración que esll d l l l f
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sencilla de realizar. Por último, la suma es conmutativa; en efecto:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)
y, por consiguiente, terminamos de probar que el par (F(A,R),+) es un grupoconmutativo.
Nos resta comprobar el cumplimiento de segundo axioma que define laestructura de espacio vectorial, que se refiere a la ley de composición externa.
Por definición, el producto de un escalar por una función es una ley decomposición externa. Además:
1. ( α (f+g))(x)= α (f+g)(x)= α (f(x)+g(x))=( α f)(x)+( α g)(x)=( α f+ α g)(x)
2. (( α + β )f)(x)=( α + β )f(x)= α f(x)+ β f(x)=( α f)(x)+( β f)(x)=( α f+ β f)(x)
3. ( α ( β f))(x)= α (( β f)(x))= α ( β f(x))=( αβ ) f(x)
4. (1f)(x)=1f(x)=f(x)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 74
Por lo tanto, queda probado que la cuaterna (F(A,R),+,R,.) es un espaciol E l f l l d (A )
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vectorial. En este caso, las funciones, que son los elementos de F(A,R),constituyen los vectores de este espacio. Es obvio decir que, si en vez del cuerpoconmutativo R utilizáramos cualquier otro cuerpo K , todas las demostracionesanteriores serían válidas.
2.3-PROPIEDADES EN UN ESPACIO VECTORIAL
Sea un espacio vectorial (E+,K,.); entonces, x E; α, β K se cumplenlas siguientes propiedades:
1. 0x= θ
2. αθ =0
3. α x= θ α =0 ó x= θ
4. (- α )x=-( α x)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 75
2.4-DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOS
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2.4 DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOSSUBESPACIOS VECTORIALESDEFINICIÓN: Tomemos un espacio vectorial (E,+,K,.) y un subconjunto
S de E . Decimos que S es un subespacio de E si la cuaterna (S,+,K,.) es unespacio vectorial.
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE: Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial E . Para que S sea subespacio de E es necesario y suficiente que:
( α ,β K) u S v S αu + βv S
Elementos de Algebra Lineal - 2011 76
Las condiciones son necesarias.
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S
→V
→ ) , ∈ → ∈ ) ∈ ^ ∈ → ∈
Por hipótesis S es subespacio vectorial de V , entonces por Definición lresulta que S es un espacio vectorial. Por lo tanto
1. la suma es ley de composición interna en S . es decir que se verifica i). 2. el producto por escalares es ley de composición externa en S conescalares en F . por lo tanto se verifica ii).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 77
Las condiciones son suficientes.
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Hipótesis ∁ ≠ ∅) , ∈ → ∈ ) ∈ ∈ → ∈
Tesis S → V =
1) ∁ 2) ≠ ∅3) , 4) ∀ ∈ , ∀ ∈ ; ∈ 5)∀ ∈ , ∀ , ∈ ; 6) ∀ , ∈ , ∀ ∈ ; 7) ∀ , ∈ , ∀ ∈ ; 8) ∀ ∈ ; 1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 78
En efecto
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1) S ∁ V, por hipótesis
2) S
≠ ∅,por hipótesis
3) (S, +) es grupo abeliano. En efecto
La condición i) nos indica que + es ley de composición interna en S.
+ es asociativa, ya que se verifica por herencia puesto que S∁ . ∃ ∈ ∶ ∀ ∈ ;
En efecto, por hipótesis ii)∝∈ ∈ → ∈ , Entonces para ∝ ∈ se tiene
∈ → .
∀ ∈ ; ∃ ∈ :
Por hipótesis ii)∝ ∈ ∈ →
Luego tomando ∝ 1 ∈ , resulta
Elementos de Algebra Lineal - 2011 79
(−1) u ∈ ∈
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∈ ∈ .+ es conmutativa en S . Se verifica por herencia, pues S ∁ V .
4),5),6),7) y 8) se verifican por herencia, pues S ∁ V .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 80
Ejemplo: Sea el espacio vectorial (F(A,R),+,R,.) ya definido.T l j t P(A R) d l f i d fi id d l i i t
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Tomemos el conjunto P(A,R) de las funciones pares, definido de la siguientemanera:
P(A,R) = { f / f F(A,R) y f (x) = f (-x)}
Probar que P(A,R) es un subespacio de F(A,R).
Solución
Debemos demostrar, en este problema, que:
( α ,β R) f P(A,R) g P(A,R) α f + β g P(A,R)
El hecho de que αf + βg P(A,R) implica el cumplimiento de la condición:
( α f + β g)(x) = ( α f + β g)(- x), x A
de acuerdo a la definición de función par. Tomemos entonces dos funciones f y g deP(A,R); las mismas deben cumplir:
f (x) = f (-x) y g(x) = g(-x)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 81
Multiplicando la primera igualdad por α y la segunda por β y luegod b b b
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sumando miembro a miembro, obtenemos:
αf (x) + βg(x) = αf (-x) + βg( -x)
o sea:
( αf )(x) + (βg)(x) = (αf )(-x) + (βg)( -x)
y entonces:
( α f + β g)(x) = ( α f + β g)(-x)
Por lo tanto, queda probado que αf + βg P(A,R) y, por consiguiente,
P(A,R) es un subespacio de F(A,R).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 82
Sea el espacio vectorial Son subespacios vectoriales de :
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. :Los conjuntos {(0,0)} y .
Toda recta que contiene al origen. Por ejemplo:
El eje OX , que viene representado analíticamente por
S O X { X , Y ∈ R / y =0}
El eje OY, que viene representado analíticamente por T= OY= { , ∈ / x =0}
La primera bisectriz, que esta representada analíticamente por
H= { , ∈ / y =x}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 83
2.4.1-INTERSECCION DE SUBESPACIOS
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TEOREMA: Una intersección cualquiera de subespacios de un espacio vectorial E también es un subespacio de E . La suma de subespacios también esun subespacio
La unión de subespacios , en general, no es un subespacio
Elementos de Algebra Lineal - 2011 84
Sea el espacio vectorial y sean los subespacios vectoriales
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, { ( , ) ∈ /y=x} y , ∈ / 0 , Entonces la unión de estos dos subespacios es el conjunto
∪ { ( , ) ∈ / y=x ˅ y=0}
Es claro que,
∪ ∁ , por definición de ∪ ∪ ≠ ∅, pues (0,0)∈ ∪ Pero
∪ no es cerrado para la suma de vectores, ya que
(1,1) ∈ ∪ ^ (1,0) ∈ ∪ sin embargo (1,1)+(1,0) (2,1)∄ ∪
Por lo tanto ∪ no es un subespacio vectorial de
Elementos de Algebra Lineal - 2011 85
2.5-COMBINACIONES LINEALES
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Definición: Sean un espacio vectorial (E,+,K,.) y un subconjunto finito
, , … , de E . Un vector v de E es combinación lineal de los vectores
de A si existen escalares
, , … tales que:
v ⋯
A los escalares
, , … , los llamaremos coeficientes de la combinación
lineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 86
2.6- SUBESPACIO GENERADO
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Sea , , … , un subconjunto no vacío de un espacio vectorial E .
A partir de ese conjunto podemos formar otro, que denotaremos Gen(A),cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales posibles de hacer con los vectores de A. Es decir:
Gen(A) =
{ α=
, i
∈
}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 87
Sea el espacio y el conjunto A={(1,1)}. El subespacio generado por el conjuntoA
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A es
A={(x, y)
∈ /(x, y)=a(1,1)}
Es decir todo vector de A tiene la forma
(x, y)= a(1,1) con a ∈
(x, y)=(a, a)
Luego, (x, y) ∈ x=y
es decir A={(x, y)
∈ / y=x}
La representación geométrica de A es la recta de ecuación y=x (es la primerabisectriz). Para generar este subespacio vectorial basta solo un vector el (1,1)
y
xo
(1,1)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 88
Ejemplo Sea el espacio vectorial (F(A,),+,R,.), con A = R−{ 1}. Caracterizarl ub p i Gen(B) i nd B ={ f g} un ub njunt d F(A R) n
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el subespacio Gen(B), siendo B ={ f ,g} es un subconjunto de F(A,R), con:
F(x)=
+y g(x)=
−
Elementos de Algebra Lineal - 2011 89
Solución
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Por definición, si y son elementos de R , tendremos:
Gen(B ) = { h
R (A,F) / h = α 1 f + α 2 g}
Por lo tanto:
h(x)=
+ − − + ++ −=
+ +−−
Si hacemos + = α y - = β , entonces podemos decir que:
Gen (B) =
{h F(A,R) / h (x) =
+− , x
∈A,
∀α,β R
Elementos de Algebra Lineal - 2011 90
2.6.1-CONJUNTOS EQUIVALENTES DE VECTORES
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Sean , , … , y , , … , dos conjuntos de vectoresde un espacio
. Se dice que A y B son dos conjuntos de vectores equivalentes
si y sólo si Gen(A) = Gen(B). Esta relación, como es fácil probarlo, es una
relación de equivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.
2.6.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
DEFINICIÓN Sea un conjunto finito , , … , de un espacio(E,+,K,.) Decimos que A es linealmente independiente si y sólo si:
α α ⋯ α θ → α α ⋯ α 0
DEFINICIÓN Si un conjunto finito , , … , de un espacio vectorial (E,+,K,.) no es linealmente independiente, se dice que es linealmente
dependiente.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 91
Ejemplo: En el espacio tomemos el conjunto
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A=
20 ,
01 ,
12
Determinar si A es linealmente independiente.
Solución
De manera similar a la utilizada en el ejemplo anterior, tendremos:
α 20
+ α 01
+ α 12
00
Elementos de Algebra Lineal - 2011 92
y, por lo tanto:
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2α α 0
3α 2α 0
Resolviendo el sistema, obtenemos:
α=
α y
α=( − )
α
Quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, una para cada valorque le asignemos a α 3 y todas ellas satisfacen la condición exigida. El conjuntoA, por consiguiente, es linealmente dependiente.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 93
2.6.3-PROPIEDADES DE LA INDEPENDENCIAY DEPENDENCIA LINEAL
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LINEAL
1. Sea A un conjunto unitario. Solo si el único elemento de A es el vectornulo, entonces A es un conjunto linealmente independiente. Por el contrario, siel único elemento de A es el vector nulo, entonces A es linealmentedependiente.
2. Un conjunto cualquiera que contenga al vector nulo es linealmentedependiente.
3. Un conjunto A no vacío y finito de vectores de un espacio vectorial E eslinealmente dependiente si y sólo si algún vector de A es combinación lineal delos demás.
4. Un conjunto , , … , es linealmente independiente si y sólosi todo vector v del subespacio Gen(A) generado por los vectores de A se puedeexpresar mediante una única combinación lineal de los vectores de A.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 94
DEFINICIÓN: Un espacio vectorial (E,+,K,.) se dice que es finito si estágenerado por un conjunto finito de vectores Si E es un espacio vectorial finito
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generado por un conjunto finito de vectores. Si E es un espacio vectorial finito,decimos que un conjunto , , … , es una base de E si A genera a E y, además, es linealmente independiente.
TEOREMA: Todo conjunto generador de un espacio vectorial de tipofinito E ≠ Φ incluye una base de E . Por lo tanto, todo espacio vectorial E ≠ Φ tiene base.
2.7-CARDINAL DE LAS BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL
TEOREMA: Si
,
, … , es una base de un espacio E, entonces,
para todo conjunto linealmente independiente B de E se cumple que card B ≤
n .
TEOREMA: En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las basestienen el mismo cardinal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 95
2.8-DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
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Si un espacio vectorial E tiene una base de n elementos, el número naturaln se llama dimensión de E . Dicho de otro modo, llamamos dimensión de unespacio al cardinal de cada una de sus bases. En tal caso escribiremos que n = dim E.
2.8.1- CCOORDENADAS DE UN VECTOR
TEOREMA: Sea , , … , una base de un espacio vectorial E.Para cada v de E , existe un único conjunto de escalares , , … , tales que:
⋯
Un cambio en el orden de los vectores v 1,…, vn da por resultado un cambiocorrespondiente en el orden de los coeficientes del vector v: Esta situaciónjustifica la definición de base ordenada: una base ordenada B = (v 1,…, vn) de un K espacio vectorial de E. es un sistema de vectores libre, generador y ordenado
Elementos de Algebra Lineal - 2011 96
El sistema { (1, 0, … , 0); … ; (0,… , 0, 1) } de vectores de K n que hemos vistoque es un sistema generador de Kn también es libre puesto que si (α α ) ε Kn
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que es un sistema generador de K n también es libre, puesto que si (α1;…; αn) ε K n es tal que α 1 (1, 0,…, 0) + …+ α n(0,… , 0, 1) = (0,…, 0); tendremos que (α 1;…, αn)=(0,…, 0); Por consiguiente, Bn = ((1, 0,…, 0); … ; (0,… , 0, 1)) es una base
ordenada de K n
: A esta base se la conoce con el nombre de base canónica de K n
y se la denota como Bn: Como caso particular, resulta que B1 = (1) es una basedel K espacio vectorial de K
Elementos de Algebra Lineal - 2011 97
Definición: Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpoK. Si una base de E, entonces para cada vector v de E
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K. Si , , … , una base de E , entonces para cada vector v de E existen escalares , , … , únicos, tales que ⋯ .Decimos que los escalares
, , … , son las coordenadas del vector v en la
base A y, en tal caso, el vector
=
α.
..α
es el vector de coordenadas de v en la base A. A la función v lallamaremos función de coordenadas.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 98
TEOREMA: Sea , , … , una base del espacio vectorial E . Lafunción v cumple con las propiedades:
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, , ,función v cumple con las propiedades:
i )
) y, además, es biyectiva.
Ejemplo: Obtener una base del subespacio S de
, siendo:
S=
ε / 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 99
SoluciónSi
S entonces y por lo tanto:
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Si S entonces y, por lo tanto:
=
= 00 + 00 + 00= 1100 + 1010 + 1001
O sea que, una cuaterna de S se obtuvo mediante una combinación lineal
de las cuaternas del conjunto:
A=
1100 ,
1010 ,
1001
lo que quiere decir que A genera al subespacio S . ¿Es A un conjunto linealmenteindependiente? Se puede comprobar fácilmente que lo es. Por lo tanto, hemoshallado en A una base del subespacio S .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 100
Ejemplo: Dado el conjunto
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A=
123 , 246, 011de R3 . i) Encontrar el subespacio Gen(A). ii) Hallar una base para Gen(A).
Solución
Como siempre, planteemos, en primer lugar, la combinación lineal: ( , , , K)
xxx = α 123 + α 246 + α 011
Elementos de Algebra Lineal - 2011 101
De la misma surge:
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213
2
4 6
Resolviendo el sistema, obtenemos que = 5+ . Por lo tanto:
G en (A)= ε / = 5 +
Elementos de Algebra Lineal - 2011 102
ii) Como es obvio, ya sabemos que A genera al subespacio Gen(A) . Resta,por consiguiente, probar que A es linealmente independiente. Es fácil
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p g , p q pdemostrar que no lo es y , por lo tanto no es base de Gen(A) . Pero si lequitamos vectores a un conjunto linealmente dependiente hasta lograr unconjunto linealmente independiente, no le quitamos la propiedad
generadora del mismo subespacio Gen(A) , y, de tal forma, podemos obteneruna base a expensas del conjunto original. Por lo tanto, sacándole a alconjunto A, por ejemplo, al vector 1 2 3 , podemos probar fácilmenteque el conjunto resultante:
A’= 246 , 011
es linealmente independiente y, por lo tanto, se constituye en una base deGen(A). Por consiguiente, dim Gen(A) = 2 .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 103
En esta situación las siguientes expresiones son equivalentes
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A es un generador de V
El espacio vectorial V es generado por el conjunto A
A genera a V
Elementos de Algebra Lineal - 2011 104
2.9-PRODUCTO INTERIOR
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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DefiniciónSea V espacio vectorial real y sea la función . que a cada par ordenado de
vectores de V le hace corresponder un único escalar real, esto es
•: V × V →R
(u. v) → u • v La función • es un producto interior si y sólo si se verifican los siguientes
axiomas:
Ax.1.
∀ , ∈ ; • • Ax.2. ∀ , , ∈ ; • • •
Ax.3. ∀ ∈ , ∀ , ∈ ; • ( • )
Ax.4. ∀ ∈ ; • ≥ 0 ^
• 0 ↔ 0 Definición
Se llamará espacio euclideo a todo espacio vectorial real de dimensiónfinita dotado de un producto interior.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 105
En el espacio vectorial real (n ∈ ), es un producto interior la función
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•: × →R definida por
(, ,…, )•(, ,…, )= ⋯ = =
Luego es un espacio vectorial euclídeo
Cualquier sea n
∈ ,el producto interior definido precedentemente se
suele denominar Producto escalar o Producto punto.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 106
2.9.1-PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERNO
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Sea V un espacio vectorial euclídeo. Entonces:
∀ ∈ , ∀ , ∈ ; • ( • )
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Entonces:
∀ ∈ ; • • =0
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Entonces:
∀ , ∈ ; • ≤ • •
Elementos de Algebra Lineal - 2011 107
Sea v un espacio vectorial euclídeo, y sea la función (doble barra)
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: →
u
→
La función es una norma si y solo si verifica los siguientes axiomas:
Ax.1. ∀ ∈ ; ≥ 0
=0↔u0
Ax.2. ∀ ∈ , ∀ ∈ ;
Ax.3.
∀ , ∈ ; ≤
Elementos de Algebra Lineal - 2011 108
2.10- ESPACIO VECTORIAL NORMADO
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Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que seencuentra definida una norma .
Todo espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial normado, ya quela norma es inducida por el producto interior definido en V como veremosahora.
2.10.1-NORMA INDUCIDA POR UNA PRODUCTO INTERIOR
Proposición
Sea V un espacio vectorial euclideo, la función definida por
: →
u → = •
es una norma.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 109
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A plicacionesen MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
Sea n los vectores x,z realizar la combinación lineal – x+z.
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>> x=[-0.5 0 .5]>> z=[0.4 -0.81 0.4]
>> w = lincomb({1,-1},{x,z})
w =-0.9000 0.8100 0.1000
Dadas las matrices A1=(2 4 3 ;0 3 2;0 1 4) y A2=[2 1 1 ;0 3 2;0 0 4], realizar lacombinación lineal 1.A1-2.A2, usando lincomb( las matrices ingresar comoceldas) se tiene.
>>A1=[2 4 3 ;0 3 2;0 1 4];A2= [2 1 1 ;0 3 2;0 0 4];A= A={A1 A2};c= {1,-2};lincomb(c,A)
ans =-2 2 10 -3 -20 1 -4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 111
Estudiar si los vectores u=(2,0,0)t; v=(1,3,0)t y w=(1,2,4)t presentandependencia o independencia lineal
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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p p
El archivo dependence determina si un conjunto de vectores columnas es
linealmente independiente o dependiente
>> A=[2 1 1 ;0 3 2;0 0 4] A =
2 1 10 3 20 0 4
>> [d]=Dependence(A)
Los vectores son linealmente independientes
Elementos de Algebra Lineal - 2011 112
Los conjuntos de vectores
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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G1={(-1,1,0),(-1,0,1)} y G2={(-1,1,0),(-1,0,1),(-2,1,1)}
Serán generadores de W?Si formamos las ecuaciones para la definición de W
x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[0 0 0], o sea-x-y=0;x=0;y=0
Con
>>[x,y,z]=solve('-x-y=0', 'x=0', 'y=0','x','y')x=0,y=0
para G2
x[-1 1 0]+y[-1 0 1]+z[-2 1 1]=[0 0 0]-x-y-2z=0;x+z=;y+z=0
>>[x,y,z]=solve(-x-y-2z=0;x+z=;y+z=0,’x’,’y’,’z’)
es linealmente dependiente
Elementos de Algebra Lineal - 2011 113
Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podráexpresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto.
Por ejemplo el vector (3,0,-3) .podrá ser expresado como combinación deG1?
x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3]
entoncesx[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] que nos da
-x-y=3;x=0;y=-3
Pruebe para G2; observe el resultado y se tendrá
-x-y-2z=3;x+z=0;y+z=-3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 114
-Sea el espacio generado por la matrices A = pascal(4);B = rand(4), estudiarsi el vector v = ones(4) está en tal espacio, usando archivo span( verifica si un
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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vector determinado está en el espacio generado por un conjunto de vectores)
>>v = ones(4); A = pascal(4); B = rand(4); span(v, A, B)
vector dado no está en el espacio.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 115
Otra manera>> clear, syms x y
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>> eq1='0.5=(200+3*x+4*y)^2/(20+2*x+3*y)^2/x'>> eq2='10=(20+2*x+3*y)*y/x'
>> [x y]=solve(eq1,eq2,x,y)
Ejercicios de base
- Calcular una base del subespacio engendrado por los vectores de
R 4, {v 1; v 2; v 3; v 4; v 5},donde
v1 = (1; 3; 2; 1), v2 = (1; 1; 1; 1), v3 = (0; 2; 1; 0), v4 = (2; 4; 3; 1), v5 = (1; 1; 1;2).
Usamos el base.m
>> A=[1 3 2 1 ; 1 1 1 1 ; 0 2 1 0; 2 4 3 1 ; 1 1 1 2];>> base
Elementos de Algebra Lineal - 2011 116
Matriz cuyas filas son los vectores del sistema:
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A
3
La base del subespacio son las columnas de la matriz
1 0 0
0 1 01/2 1/2 0
conocidos los generadores de dos subespacios V1 y V2 nos devuelva ladimensión y una base del subespacio suma.
V1 ={ (1; 2; 5; 3; 2); (3; 1; 5; ¡6; 6); (1; 1; 3; 2; 0) }
V2 ={ (2; 1; 4; ¡3; 4); (3; 1; 3;-¡2; 2); (9; 2; 3; -1;-¡2)}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 117
Dados dos subespacios vectoriales V1 y V2 sabemos que la unión de dossistemas generadores de ambos nos proporciona un sistema generador del
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subespacio suma V1 + V2.
Usar el archivo suma.m
>> suma
Matriz cuyas filas engendran V1, A1= [1 2 5 3 2;3 1 5 -6 6;1 1 3 2 0];Matriz cuyas filas engendran V2, A2= [2 1 4 -3 4;3 1 3 -2 2;9 2 3 -1 -2];
La dimensión es
4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 118
La base del subespacio son las columnas de la matriz B
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1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-1 3 0 -1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 119
Expresar el vector a de R 3 respecto de la base { v 1,v 2,v 3} si respecto de la base{u1,u2,u3} tiene la siguiente expresión a =2u1 +3u2 − 2u3, y los vectores v j están
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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definidos por:
v 1 = u1 +3u2 −
u3, v 2 = u1 −
u2 −
u3, v 3 = u2 −
u3a =[u1 u2 u3]X, siendo XT==(2, 3,−2),[ v 1 v 2 v 3]=[u1 u2 u3] P, siendo P=[1 1 0;3 -1 1;-1 -1 1-]
Es decir [v 1 v 2 v 3]=[u1 u2 u3] P, siendo P-1 regular
Reemplazando :a =[v 1 v 2 v 3] P−1 X =[v 1 v 2 v 3] X-
>> p = [1 1 0;3 -1 1;-1 -1 -1];>> x = [2 3 -2]';>> xb = inv(p)*x
xb =1.25000.7500
0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 120
Ejemplo: 24
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Demostrar que el vector b=4
34 se encuentra en el subespacio generado
por los vectores
2014
y
2102
Si b esta en el subespacio generado por los dos vectores dados entonces b esuna combinación lineal de tales vectores, es decir, existen escalares
y
tales
que
2014 2102 2434
Elementos de Algebra Lineal - 2011 121
Lo que es equivalente a resolver la ecuación matricial
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2 20 11 04 2
2434
Mediante MATLAB sean
A 2 2; 0 1; 1 0; 4 2 2; 4; 3; 4
y c , . Usando el comando U=ref(C) obtenemos la forma escalonadareducida de la matriz C.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 122
U=
1 0 3
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0 3
0 1 -4
0 0 0
0 0 0
Lo que indica que la ecuación matricial es consistente y tiene solución
única 3 y 4. Por lo tanto el valor b 2434 se encuentra en el
subespacio generado por los valores 201 y 210
Elementos de Algebra Lineal - 2011 123
Sea a1=[1 -2 3]t , a2=[5 -13 -3]t y b=[-3 8-1], estará b en el plano generadopor a1 y a2? Desde la geometría Gen[a1,a2] es un plano que pasa por el origen
R3 d l l d b d l
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en R3, entonces estudiamos la solución de x1a1+ x2a2 =b, generando la matrizampliada [a1 a2 b].
Con Matlab>> A=[1 5 -3;-2 13 8;3 -3 1];
>> rrefstep(A)
Llegamos a
Upper Triangular Form STEP-BY-STEP <><><><>
The current matrix is:
1 5 -3
0 -3 2
0 0 -2
Elimination complete in column 2.
De este resultado vemos que 0x 2=-2, sistema sin solución, entonces b noestá en Gen[a1,a2]
Elementos de Algebra Lineal - 2011 124
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Es tal vez el tema fundamental en el Álgebra Lineal porque puedenutilizarse para introducir, asociar y explicar prácticamente todos los
temas del Álgebra Lineal. Sus propiedades, bien utilizadas, abrevian eltrabajo en las demostraciones.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 126
3.1- DEFINICION
S E F d i t i l b l i K S ll
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Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K . Se llamaaplicación lineal a toda función f de E en F que cumple con las siguientescondiciones:
(x, y E; α K )
i) f (x + y ) = f (x ) +f ( y )
ii) f (α x ) α f (x )
Las aplicaciones lineales también se llaman homomorfismos, y, como surgede la definición, estas funciones asocian dos espacios vectoriales E y F transformando una suma de elementos de E en una suma de sus imágenes en F y el producto de un escalar por un elemento de E en el producto del escalar porla imagen de dicho elemento en F .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 127
3.2-CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UNA APLICACIÓN LINEAL
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Sean dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo K . Una función
f de E en F es una aplicación lineal si y sólo si se cumple que:
( α,β K; x,y E)
f (α x + β y ) = αf ( x ) + βf ( y )
Ejemplo: Sea el espacio (R 2 ,+,R,.). Demostrar que la función f en R 2
definida por
f es una aplicación lineal en R 2 .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 128
Solución
La condición necesaria y suficiente, traducida a la situación dada en elj l di
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ejemplo, dice:
Desarrollando el primer miembro, y siempre teniendo presente la regla de
definición de f , tendremos:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 129
Haciendo lo mismo con el segundo miembro de la igualdad:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Ambos miembros, como se ve, coinciden. Por lo tanto, f es una aplicaciónlineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 130
3.3-PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES
Si f es una aplicación lineal de E en F entonces:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Si f es una aplicación lineal de E en F , entonces:
1. La imagen del vector nulo de E es el vector nulo de F .2. La imagen del opuesto de cualquier vector de E es igual al opuesto de su
imagen.
Si E y E’ son espacios vectoriales sobre el mismo K y f : E→ E’ es lineal,entonces se verifica que
1. f (0) = 0;
∀ u ε
E,f(u )=-f(u )
Vemos que ∀ε E ; f (0) = f (0 . u) = 0 . f (u) = 0:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 131
Por otra parte
f( ) + f( ) = f( + ( )) = f( ) = ;
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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f (u) + f (-u) = f (u + (-u)) = f (0) = 0;
por lo que podemos concluir que f(-u) es el opuesto de f(u) o, lo que es lomismo, que f(-u) = -f(u); puesto que (E’ ; +) es un grupo.
Si E es un espacio vectorial sobre K y u 0 un vector fijo no nulo en E , latransformación
∀ ε E ,f(u) = u + u 0 (la traslación por el vector u 0 ) no es
lineal, ya que f(0) = u 0 ≠ 0 .
El siguiente resultado nos permite asegurar que la función suma de dosfunciones lineales es una función lineal y que, si multiplicamos una funciónlineal por un escalar, la función así obtenida es también una función lineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 132
3.4-NUCLEO DE UNA APLICACION LINEAL
DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F. Se llama núcleo de f
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DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F . Se llama núcleo de f y se denota N(f ),al subconjunto de E formado por todos los vectores que tienencomo imagen al vector nulo de F . O sea:
N(f ) = { x E / f ( x ) = 0 }
3.5- IMAGEN DE UNA APLICACION LINEAL
DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F . El conjunto imagende f , al que denotaremos I (f ), es el subconjunto de F formado por todos loselementos que son imagen de algún elemento de E . O sea:
I(f ) = {y F / x E y = f ( x )}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 133
Sean E y E’ espacios vectoriales sobre K ,f : E → E’ una función lineal.
Entonces a la dimensión del imagen de f se denomina rango de f y a la
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Entonces a la dimensión del imagen de f se denomina rango de f y a ladimensión del núcleo de f se denomina nulidad de f
Sean E y E’ espacios vectoriales sobre K .Entonces, el núcleo de la funciónidentidad Id : E → E es el subespacio {0} y su imagen es el espacio E ; el núcleode la función cero f : E → E’ es el espacio E y su imagen es el subespacio {0}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 134
3.5.1-RELACION ENTRE LAS DIMENSIONES DEL NUCLEO EIMAGEN
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Sean E y
E’ espacios vectoriales sobre K f :
E→
E’ una función lineal. Se
verifica que
1. f es inyectiva ↔ Ker(f) = {0};
2. f es sobreyectiva ↔, Im(f) = E’ En el sentido →puesto que f es lineal, f(0) = 0 y en consecuencia:
0 ε Ker(f) o, lo que es lo mismo, {0} está en Ker(f): Por otra parte si u ε Ees tal que u ε Ker ( f ); resulta que f(u) = 0 y f(0) = 0; y, puesto que por hipótesis f es inyectiva, concluimos que u = 0; con lo que Ker(f) está en el conjunto {0}:
En definitiva, Ker(f) = {0}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 135
En el sentido ← Supongamos que Ker(f) ={0} y que u, v ε E son tales quef(u) = f(v). En ese caso f(u) + (-f(v)) = 0 y, puesto que f es lineal,
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f(u) + (-f(v)) = f(u) + f (-v) = f(u + (-v)):
En consecuencia f(u + (-v)) = 0; o lo que es lo mismo, u + (-v) ε
Ker(f) = {0}; es decir, u + (-v) = 0; de donde u = v.
2. Por definición, f es sobreyectiva si y sólo si Im(f) =
E’:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 136
Comprobar que si f : E → E’ es un isomorfismo, entonces (,…, ) en E es libre si y sólo si {(),…,()} es libre.
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Ejemplo Las funciones IC :K n → Mnx1(K)
(;...; ) → …
e
IF : K n→ M1xn(K )
( … ) →(; …; )
son isomorfismos. A IC le denominaremos isomorfismo columna y a IFisomorfismo fila.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 137
3.6-OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES
Conjunto de las aplicaciones lineales:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Conjunto de las aplicaciones lineales:
Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Vamos a
denotar con L(E,K) al conjunto de todas las aplicaciones lineales que tienen a E y F como dominio y codominio, respectivamente. De otra forma:
L(E,K) ={ f / f es una aplicación lineal de E en F}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 138
Nuestro objetivo es dotar a L(E,K) de una estructura de espacio vectorial;para ello definiremos, en primer lugar, la suma de aplicaciones lineales y luegoel producto de escalares por dichas aplicaciones
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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el producto de escalares por dichas aplicaciones.
Suma de aplicaciones lineales:
DEFINICIÓN: Sean f y g dos elementos de L(E,K). Llamaremos suma de f
y g (f ,g) f + g a la ley definida por:
(f + g)(x) = f (x) + g (x), x E
PROPIEDAD: La suma de dos aplicaciones lineales es una aplicaciónlineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 139
Producto de escalares por aplicaciones lineales:
DEFINICIÓN S f l d K L(E K) i
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DEFINICIÓN: Sean µ y f elementos de K y L(E,K) respectivamente.Llamaremos producto de escalares por aplicaciones lineales a la ley (µ,f ) µf
definida por:
(µf )(x) = µf (x), x E
PROPIEDAD: El producto de un escalar por una aplicación lineal es unaaplicación lineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 140
3.7-EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONESLINEALES
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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El par (L(E,K),+) es un grupo conmutativo La suma es una ley interna en
L(E,K), tal como lo hemos probado. Además es asociativa y conmutativa, porserlo la suma en F ; tiene elemento neutro, que es la aplicación lineal nula e(x)
= 0 y, por último, toda f de L(E,K) admite un opuesto -f definido por(f )(x) = f (x). Por lo tanto, el par (L(E,K),+) es un grupoconmutativo.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 141
Ley de composición externa Por definición, el producto de escalares poraplicaciones lineales es una ley de composición externa, tal como lo hemosprobado. Se puede demostrar, sin dificultad, que:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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probado. Se puede demostrar, sin dificultad, que:
(f,g L(E ,F);α,β K)
1. (α + β)f = αf + βf 2. α(f + g) = αf + αg
3.
α(βf ) =
(αβ)f
4. 1f = f
La cuaterna (L(E,K),+,K,.) es un espacio vectorial De las dos secciones
anteriores podemos afirmar que la cuaterna (L(E,K),+,K,.) es un espacio vectorial. En dicho espacio, los vectores son las aplicaciones lineales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 142
3.8- COMPOSICION DE APLICACIONES LINEALES
Es evidente que, como toda función, una aplicación lineal se puede
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q , , p pcomponer con otra, bajo las condiciones adecuadas, que por otra parte, sonconocidas. Pero, el resultado de componer dos aplicaciones lineales, ¿es unaaplicación lineal?. Es fácil probar que la respuesta a esta pregunta es afirmativa.En efecto, sean f L(E,G) y g L(G,F). Vamos a probar que la composiciónde g con f, definida por:
(g o f )(x) = g(f (x))
es una aplicación lineal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 143
Teniendo en cuenta la condición necesaria y suficiente para la existencia deuna aplicación lineal, tendremos que probar que:
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(x,y E;
α,β K)
(g o f )(αx + βy) = α(g o f )(x) + β(g o f )(y)
Veamos:
(g o f )(αxβy) = g(f (αxβy)) = g(αf (x)βf (y))
= αg (f (x))βg (f (y)) = α(g o f )(x)β(g o f )(y)
lo que prueba que si f L(E,G) y g L(G,F), entonces g o f L(E,F).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 144
3.9- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONES LINEALES
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TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.
Sea A = {, , … , } una base de E. Tomemos el conjuntoB = {, , … , } incluido en F. Existe una única aplicación lineal f de E
en F que cumple que:
f (
) =
, f (
) =
,..., f (
) =
Nota: en las secciones siguientes de la unidad se denotan losvectores8 en negrita) con el supraíndice →
Elementos de Algebra Lineal - 2011 145
a-Existencia
Cada se escribe como combinación lineal de la base ∝ ⋯
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Como f es lineal
() ∝ ()+
⋯+
∝ () y considerando que
buscamos (),∀ 1 , … , ,
Se tendrá:
()∝ +
⋯+
∝
b-Unicidad
Supongamos existe otra aplicación : → /() , ∀ 1 , … ,
Entonces de
, c/
,
∝
⋯
() ∝ ()+⋯+∝ () ∝ ()+⋯+∝ () = ∝ ⋯ () De donde
Elementos de Algebra Lineal - 2011 146
3.9.1-VECTOR DE COORDENADAS
Sea E espacio vectorial, ,…, base ordenada de E, si , se∝
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define el vector de coordenadas de
respecto de B como:
[] ∝
…∝siempre
que se cumpla ∝ ⋯
O sea, el vector de coordenadas de es la n-ada que se forma con loscoeficientes de los vectores de la base, al escribir a
como combinación lineal
de éstas.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 147
Si ahora tenemos ,…, y ,…, bases de E y F ,respectivamente, con : → lineal, para cada se puede calcular el vectorde coordenadas de f ( ) respecto a la base C, formándose una matriz con estos
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f( ) p , vectores coordenadas como columnas, es decir:
⋯ , ∀ 1 , . . ,
…
…
…
Elementos de Algebra Lineal - 2011 148
3.9.2-ASOCIACION ENTRE MATRICES Y APLICACIONESLINEALES
L l l l l d d
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La relación que existe entre matrices y aplicaciones lineales, evidenciada enla sección anterior, tiene mucha importancia y merece que la formalicemos con
mayor rigor.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 149
Denotemos con M m,n (K) al conjunto de matrices de m filas y n columnas,cuyos elementos pertenecen al cuerpo K. Elegida la base A de E y B de F,espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, existe, en relación con
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dichas bases, una única función biyectiva f M(f ) de L (E,F ) en M m,n (K ) y además, por ser M una función biyectiva (como es fácil probarlo), existe tambiénuna única función M(f ) f de M m,n (K) en L(E,F). Esta relación biunívocaentre aplicaciones y matrices nos permitirá analizar a éstas utilizando conceptos ya estudiados para aplicaciones lineales, en beneficio de una economía en lasdemostraciones.
Ejemplo: Dada la aplicación lineal f de R 3 en R 2 definida por
Encontrar la matriz asociada a f, M(f ), respecto de las bases
111 , 110 , 100 y 20 , 01
de R 3 y R2 respectivamente.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 150
Solución
Obtenemos las imágenes de las vectores de la base A y las expresamos comocombinación lineal de los vectores de la base B:
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111 20 1 20 0 01
110 21 1 20 1 01
1 1 1 / 20 1 0
Como las coordenadas de las imágenes de los vectores de A son la primera,segunda y tercer columna de la matriz M(f ), respectivamente, se tiene:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 151
3.10-SUMA DE MATRICES
DEFINICIÓN: La suma de matrices es una función que asocia a todo par
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[a ij ] y [b ij ] de M m,n (K ), otra matriz [a ij ] + [b ij ] del mismo conjunto, y que estádefinida como sigue:
[a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ]
3.11-MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
DEFINICIÓN: El producto de un escalar α por una matriz [a ij ] delconjunto M m,n ( K ) es otra matriz de M m,n (K ) que se obtiene mediante lasiguiente regla:
α[a ij ] = [αa ij ]
Elementos de Algebra Lineal - 2011 152
3.12-ISOMORFISMO ENTRE APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
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Lo analizado en las dos últimas secciones nos permite sacar una conclusión
muy importante.En efecto, la función f M (f ) de L(E,F) en M m,n (K) cumple con las
propiedades:
M(f +g) = M(f ) + M(g) M( α f ) = α M(f )
y, por consiguiente, M es una aplicación lineal; las operaciones de adición y multiplicación por escalares se conservan a través de esa correspondencia.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 153
3.13-ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES
El hecho de que la función f M(f ) de L(E,F) en M m,n (K) conserva la
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( ) ( ) m,n ( )suma y el producto por escalares, nos permite considerar a los conjuntos L(E,F)
y M m,n (K) "como si fueran iguales". O sea que, como a través del isomorfismose conserva la estructura, entonces podemos asegurar que también la cuaterna(M m,n (K),+,K,.) tiene estructura de espacio vectorial.
En dicho espacio los vectores son las matrices de m filas y n columnas.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 154
3.14-PRODUCTO ENTRE MATRICES
DEFINICIÓN: Al par de matrices [b ik ] de M m,p (K) y [a kj ] de M p,n (K) [ ] d ( ) ll d d d l d
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asociamos otra matriz [c ij ] de M m,n (K) llamada producto de las dos primeras, y definida como sigue:
[cij] = [bik ] [akj] = bik akj K=1
p
Elementos de Algebra Lineal - 2011 155
Sean las aplicaciones t, u sobre los espacios V,W,Z
: →
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: →
En términos de la composición se podrá escribir
: →
Definida como
()() , ∀, al ser u y t lineales lo será ut
Ahora si , , ( ,), con B,C,D bases ordenadas de V,W, Zrespectivamente
.
,…, , ,…, , ,…,
Elementos de Algebra Lineal - 2011 156
Entonces
⋯ , ∀ 1 , . . ,
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, ∀ 1 , . . ,
⋯ , ∀ 1 , . . ,
∴ ∀ 1 , . .
⋯ () ⋯ ()
( ⋯ ) ⋯ ( ⋯ )
( ⋯ ) ⋯ ( ⋯ ))
Elementos de Algebra Lineal 2011 157
Utilizando sumatorias
( = )+…( = ), quedando la matriz
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asociada como
= ⋯
= ⋮ ⋱ ⋮ = ⋯ =
⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
(pxm) (mxn)
Elementos de Algebra Lineal 2011 158
3.15-ALGUNAS MATRICES ESPECIALES
Matriz identidad Sea la aplicación lineal en E definida por i ( x) = x
(Recuérdese de que se trata de la homotecia de razón 1)
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(Recuérdese de que se trata de la homotecia de razón 1).
Si A = {v1,v2,...,vn} es cualquier base de E, entonces la matriz asociada a i es:
1 0 … 0
0 1 … 0… … … …0 0 … 1
A esta matriz, asociada a la aplicación lineal identidad, se la denominamatriz identidad, a la cual denotaremos In , donde n es el número de filas ocolumnas que dicha matriz posee. En particular, para todo número natural n
>1 , vamos a denotar Mn (K) al conjunto de las matrices cuadradas de n filas y n columnas.
Elementos de Algebra Lineal 2011 159
Es fácil probar que, cualquiera sea M M n (K ), se verifica que:
MI n = I n M = M
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o sea que la matriz I n es el elemento neutro para el producto de matrices
pertenecientes a M n (K).Muchos autores utilizan el conocido "símbolo de Kronecker" o "delta de
Kronecker".
Recibe este nombre todo elemento
δ ji del cuerpo K, con 1 < i,
j < n que cumple con la condición:
i = j δ ji =1
i
≠j
δ ji = 0
Utilizando este símbolo, la matriz identidad I n se denota directamente [ δ ji ].
Elementos de Algebra Lineal 2011 160
Matriz escalar Una matriz de M n (K) se llama escalar si se la puede escribirde la forma α I n , donde α es un escalar cualquiera. De otra manera, una matriz esescalar si tiene la forma:
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0 … 00 … 0… … … …0 0 …
Es fácil probar que, si dim E = n , entonces la matriz escalar está asociada ala homotecia de razón α, o sea a la aplicación lineal f en E definida por la regla f ( x ) = α x, para todo x de E .
Es importante llamar la atención sobre un detalle que seguramente ha
pasado inadvertido: cuando hablamos de la matriz asociada a una homotecia,no hemos fijado una base para E. En realidad, la matriz asociada a unahomotecia (que es un endomorfismo) es independiente de la base elegida y, másaún, las homotecias son los únicos endomorfismos que tienen esa propiedad.
Elementos de Algebra Lineal 2011 161
Matriz diagonal Una matriz perteneciente a M n (K ) se llama diagonal sitodos sus elementos que no se encuentran sobre la diagonal principal son nulos,es decir, si i ≠ j , entonces a ij = 0. Por consiguiente, dicha matriz tiene la forma:
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0 … 00 … 0… … … …0 0 …
donde algunos de los elementos de la diagonal principal pueden ser nulos.
Quiere decir que la matriz escalar también es una matriz diagonal.
Elementos de Algebra Lineal 2011 162
Matriz triangular Una matriz cuadrada [a ij ] se llama triangular si tiene nulostodos los elementos debajo de la diagonal principal, es decir, si a ij = 0 siempreque i > j. Por lo tanto, la matriz triangular tiene la forma:
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… 0 … … … … …0 0 …
3.16- TRASPUESTA DE UNA MATRIZSea una matriz M = [a ij ] de M m,n (K). Se llama traspuesta de M a la matriz
M T de M m,n (K) obtenida a partir de M cambiando filas por columnas. Es decirque, si M = [a ij ] , con m 1 < i < m y 1 < j < n, entonces M T = [b ji ] , con b ji =a ij .
Elementos de Algebra Lineal 2011 163
3.17-MATRIZ INVERSIBLE
Se dice que una matriz M de M n (K) es inversible si existe una matriz M1
tal que
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tal que:
MM − 1 = M − 1 M = I n
3.18-CAMBIO DE BASE
La matriz A de M n (K), cuyas columnas son las coordinas de los vectores dela base A en la base B , o sea:
…
…
… … … … …
se llama matriz de paso o matriz de transición de la base A a la base B .
Elementos de Algebra Lineal 2011 164
TEOREMA Sea un espacio vectorial E y sean A y B dos bases de dichoespacio. Si P es la matriz de paso de A a B , entonces, para todo v de E , secumple que:
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[v] B = P[v] A
Ejemplo: Sea el espacio R 3 y elijamos para dicho espacio las bases:
100 , 010 , 001 y 102 , 310 , 012
Si x = [x 1 x 2 x 3 ]T es un vector de R 3 , exprese x en términos de los
vectores de la base B.
Elementos de Algebra Lineal 2011 165
Solución
Estudiando el problema, surge inmediatamente que la matriz de paso de B a A, es:
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1 3 00 1 12 0 2
Antes de seguir, el alumno debería investigar el porqué de la afirmación
anterior. Una vez hecho esto, hagamos el siguiente análisis: si P es la matriz depaso de A a B, entonces, para todo x de R 3 se tendrá que [x] B = P[x] A , por lotanto
[x] A = P −1 [x] B
Elementos de Algebra Lineal 2011 166
Necesitamos, por lo tanto, calcular P 1 ; es fácil comprobar que:
1 4 3 4 3 8
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− 4 4 8
1 4 1 4 1 81 4 3 4 1 8
Entonces, si por ejemplo, [x] A = [1 −2 4] T , entonces:
1 4 3 4 3 81 4 1 4 1 814
34
18
124 1 41 474
¿De que forma podría el alumno verificar la solución hallada?
Elementos de Algebra Lineal 2011 167
Todo lo que hemos explicado acerca del cambio de base para un dadoespacio vectorial, se comprenderá mejor a partir del diagrama que sigue:
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v(en E)
(
)
( )
Elementos de Algebra Lineal 2011 168
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A plicacionesen MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
Matriz asociada a una transformación lineal
Uso de tranf.3
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Se plantea para la aplicación lineal T(x,y,z)=(x+y,x-z,y+2z), siendo lasrespectivas bases
A=[0,-3,3;-3,3,0;-2,2,3] y B=[1,2,4; 2,1,-1; 0.5,-1,2].
>>tranf.3
En todos los casos los vectores deben ser ingresados como una matriz filaIngrese el 1er vector de la 1er base en R 3: [0 -3 3]Ingrese el 2do vector de la 1er base en R 3: [-3 3 0]Ingrese el 3ro vector de la 1er base en R 3: [-2 2 3]
B =0 -3 -2-3 3 23 0 3
Elementos de Algebra Lineal 2011 170
Ingrese el 1er vector de la 2da base en R^3: [1 2 4]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^3: [2 1 -1]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^3: [0.5 -1 2]
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B1 =1.0000 2.0000 0.50002.0000 1.0000 -1.00004.0000 -1.0000 2.0000
M =
Columns 1 through 5
1.0000 2.0000 0.5000 -3.0000 02.0000 1.0000 -1.0000 -3.0000 -3.00004.0000 -1.0000 2.0000 6.0000 3.0000
Column 60
-5.000011.0000
Elementos de Algebra Lineal 2011 171
La matriz asociada a la transformación lineal es:
Masoc =0 0 2500 -0 3333
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0 0.2500 -0.33330 -2.0000 -0.3333
1.0000 1.5000 2.0000
Con el archivo tranlineal se puede practicar para R 3en R 2: T(x,y,z)=(x+y,x-z)
>> En todos los casos los vectores deben ser ingresados como una matriz fila
Ingrese el 1er vector de la 1er base en R^3: [1 1 1]Ingrese el 2do vector de la 1er base en R^3: [1 1 0]Ingrese el 3ro vector de la 1er base en R^3: [1 0 0]
B =1 1 11 1 01 0 0
Elementos de Algebra Lineal 2011 172
Ingrese el 1er vector de la 2da base en R^2: [2 0]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^2: [0 1]
B1 =
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B1 2 00 1
M =2 0 2 2 10 1 0 1 1
La matriz asociada a la transformación lineal es:
Masoc =1.0000 1.0000 0.5000
0 1.0000 1.0000
Elementos de Algebra Lineal 2011 173
Hallar inversa de una matriz por gauss jordan
Sea la matriz A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6], encontrar su inversa.Se crea la matrizaumentada B con A seguida de la identidad I del mismo tamaño que A
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aumentada B con A seguida de la identidad I del mismo tamaño que A
>> A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]; B = [A eye(size(A))]
B =1 1 1 1 0 01 2 3 0 1 0
1 3 6 0 0 1
>> B = rref([A eye(size(A))])
B =
1 0 0 3 -3 10 1 0 -3 5 -20 0 1 1 -2 1
El t d Al b a Li al 2011 174
Entonces
>>B = B(:, 4:6)
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B =
3 -3 1-3 5 -21 -2 1
Verificando
>> A*B
ans =1 0 0
0 1 00 0 1
El t d Al b a Li al 2011 175
Idéntico resultado a
>>inv(A)
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ans =
3.0000 -3.0000 1.0000-3.0000 5.0000 -2.00001.0000 -2.0000 1.0000
El t d Al b a Li al 2011 176
Hallar las bases fundamentales a una matriz asociada A
El espacio fila de A(rs) es ortogonal al espacio nulo de A(ns) y el espaciocolumna de A(cs) es ortogonal al espacio nulo izquierdo de A(nls); se usa fourb.m
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columna de A(cs) es ortogonal al espacio nulo izquierdo de A(nls); se usa fourb.m
>> A = randn(3,5)
A =0.5377 0.8622 -0.4336 2.7694 0.72541.8339 0.3188 0.3426 -1.3499 -0.0631
-2.2588 -1.3077 3.5784 3.0349 0.7147
Se crea una matriz de ceros y unos de la matriz random A
>> A = A >= 0
A =1 1 0 1 11 1 1 0 00 0 1 1 1
El t d Al b a Li al 2011 177
Las bases de los cuatro espacios serán[cs, ns, rs, lns] = fourb(A)
cs =
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cs 1 1 1
1 0 01 1 0
ns =-1 0
0 -11 00 00 1
El t d Al b Li l 2011 178
rs =1 0 00 1 01 0 0
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0 0 1
0 1 0
lns =Empty matrix: 3-by-0
El t d Al b Li l 2011 179
Hallar la matriz de transición de un espacio vectorial a otro espacio,supondremos que las bases ordenadas se almacenan en columnas de las matrices T y S, respectivamente, usando el archivo transmat.m
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>> T = [1 2;3 4]; S = [0 1;1 0];
>> V = transmat(T, S)
V =3 41 2
Con V calculamos un vector de coordenadas en la base S:así para el x=[1 1]T
>> xs = V*[1;1] xs =
73
-filmina 321 desde cambio de base hasta 329(inclusive)
El t d Al b Li l 2011 180
Cambio de base
Se consideran la matriz P =(1 -3 4;2 -5 6;-1 0 1) y los vectores de R 3 :
v1 = (-2, 2, 3); v2 = (-8, 5, 2); v3 = (-7, 2, 6)
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v1 ( 2, 2, 3); v2 ( 8, 5, 2); v3 ( 7, 2, 6)
Encuéntrese una base B1={u1, u2, u3 } para R 3 tal que P sea la matriz delcambio de base de B1 a B2 ={v1, v2, v3 }
Calcúlense las coordenadas en la base B2 del vector v cuyas coordenadas en
la base B1 son (1, 2, 3).
El t d Al b Li l 2011 181
>> cambio de base1
punto1
Respecto de la base canónica:
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u1 =
28
-9
-3
u2 =38
-13
2
u3 =
21
-7
3
El t d Al b Li l 2011 182
Punto2
X2 =
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36-22
-9
El d Al b Li l 2011 183
En el espacio vectorial R 4 se consideran las bases: B1 = {u1, u2, u3; u4 } y
B2 = {v1, v2, v3,v4 } donde
(1 1 1 1)
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u1 = (1, 1, 1, 1)
u2 = (0, 1, 1, 1)u3 = (0, 0, 1, 1)
u4 = (0, 0, 0, 1)
v 1 = (1, 3, 2,-3)
v 2 = (1,-2, 0, 2) v 3 = (-3,-1;-3, 0)
v 4 = (3, 4, 4,-3)
El d Al b Li l 2011 184
Calcúlese la matriz P que realiza el cambio de base de B2 a B1. Calcúlense lascoordenadas en B1 del vector cuyas coordenadas en la base B2 son (1, 1, 1, 1).
>>cambiobase2
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La matriz P buscada es
-4.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000
-1.0000 -4.0000 -4.0000 -1.00001.0000 -3.0000 -5.0000 0
3.0000 -1.0000 -4.0000 1.0000
Las coordenadas pedidas en la base {B1} son:
2.0000
2.0000-1.0000-7.0000
El d Al b Li l 2011 185
-Considerando la transformación lineal, cuya matriz está conformada por lafamilia de vectores {(0,-3,-1,3), (-3,3,-1,0), (-2,2,1,3)}
Hallar una base de su núcleo.
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>>A=[0,-3,-1,3;-3,3,-1,0;-2,2,1,3;]
A =0 -3 -1 3-3 3 -1 0-2 2 1 3
>> null(A)
ans =0.6448
0.4690-0.52760.2931
El d Al b Li l 2011 186
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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4.1- DEFINICION
Dado el cuerpo R , llamaremos sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas con coeficientes reales o complejos a todo conjunto de relaciones del
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tipo:
… … … … … … … … … … … …
donde:
i) Los elementos a ij , con 1 < i < m y 1 < j < n son números reales ocomplejos a los que llamaremos coeficientes del sistema.
ii) los elementos b i , son elementos de R que llamaremos términosindependientes del sistema.
iii) los elementos x j , que también son elementos de R, y representan lasincógnitas del sistema.
El d Al b Li l 2011 188
¿Qué significa resolver un sistema?. Es encontrar un conjunto de números(s 1,s 2,..., s n ) que, reemplazados por x 1,x 2,...,x n en el sistema, lo satisfacen,Obviamente, tales números pueden no existir; en tal caso se dice que el sistemacarece de solución.
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Cuando un sistema tiene solución, lo llamaremos sistema consistente; en casocontrario, estaremos ante un sistema inconsistente. Un sistema consistente puedetener una solución única o un conjunto de infinitas soluciones. Al conjunto detodas las soluciones lo denominaremos conjunto solución del sistema.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 189
4.2-NOTACION MATRICIAL
Si nos detenemos un poco a analizar los elementos que componen un sistemalineal, nos daremos cuenta que la información básica que contiene puede
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presentarse en una matriz.
Si tomamos, por ejemplo, el sistema:
2 1
5 3 4 2
entonces, las matrices que siguen resumen sus datos fundamentales del sistemaanterior:
1 2 10 1 1 1 3 4 y 1 2 1 10 1 1 5 1 3 4 2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 190
La primera se llama matriz de los coeficientes y la segunda matrizaumentada del sistema. Como vemos, la matriz aumentada consiste en la matrizde coeficientes a la que se le agrega una columna que consiste de los elementosdel lado derecho del sistema. La utilización de las matrices simplificará la
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búsqueda del conjunto solución pero, para que la utilización de esta
herramienta sea más fructífera deberemos dedicar un poco de nuestro tiempopara estudiarla.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 191
4.3-REDUCCION POR FILAS A FORMASESCALONADAS
Una matriz rectangular está en forma escalonada si tiene las siguientes
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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propiedades:
i) Todas las filas distintas de cero deben estar arriba de cualquier fila contodos ceros.
ii) Cada elemento principal de una fila debe estar a la derecha del elementoprincipal de la fila inmediatamente anterior.
iii) Todos los elementos de una columna que están debajo del elementoprincipal, deben ser ceros.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 192
Una matriz está en forma escalonada reducida si, además, cumple lascondiciones:
i) El elemento principal de cada fila diferente de cero es 1.
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ii) Cada 1 que es elemento principal es el único elemento no nulo en sucolumna.
Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas y de una matrizescalonada reducida:
1 2 1 30 1 4 60 0 5 1 y 1 0 0 80 1 0 30 0 1 9
Elementos de Algebra Lineal - 2011 193
Ejemplo:
Sea la matriz:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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1 1 2 0 12 1 1 1 23 0 2 1 11 2 0 0 3
Transformar dicha matriz en su forma escalonada y su forma escalonadareducida.
Solución
→ → → →
Elementos de Algebra Lineal - 2011 194
→ → 31 1 2 0 10 3 3 1 00 0 1 2 40 0 9 1 12 → → 9
1 1 2 0 10 3 3 1 00 0 1 2 40 0 0 17 24
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Hemos terminado ya que la última matriz es triangular; a menudo esconveniente transformar los pivotes en unos, mediante el producto de toda lafila por un número adecuado.
Esta última transformación facilita los cálculos cuando se trata de encontrarel conjunto solución de sistemas lineales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 195
4.4-ALGORITMO PARA OBTENER UNA MATRIZTRIANGULAR Y TRIANGULAR REDUCIDA
i) Elija la primer columna diferente de cero y, en ella, un elemento no nulo
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que será el pivote.
ii) Si el pivote no está en la primera fila, colóquelo en esa posiciónmediante un intercambio de filas.
iii) Utilice operaciones entre filas para transformar en ceros todos loselementos que están debajo del pivote.
iv) Tome la submatriz que quedaría al eliminar la primer fila y la primercolumna y realice nuevamente los pasos i) , ii) y iii). Repita este proceso hastaque no queden filas diferentes de cero para modificar.
v) Para obtener la forma escalonada reducida, comenzando con el pivote
que está más a la derecha, cree ceros arriba de cada pivote. Transforme cadapivote en 1 mediante una división por el número adecuado.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 196
4.5-CONJUNTO SOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL
El sistema lineal y su expresión matricial
Haciendo uso de nuestro conocimiento acerca de las matrices, podemos
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p
presentar el sistema en forma matricial. En efecto, sean:
… …
… … … … …
…
…
donde A es una matriz de M m,n (R) llamada matriz de los coeficientes delsistema, X es una matriz de M n,1 (R) llamada matriz de las incógnitas del sistema
y B es una matriz de M m,1 (R) que recibe el nombre de matriz de los términos
independientes del sistema.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 197
Como se puede apreciar, el sistema se puede poner de la siguiente manera:
AX = B
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que es la traducción matricial del sistema mencionado.
Estamos aquí, pues, ante una ecuación matricial, cuya solución, si la hay,estará dada por el conjunto de todas las matrices X que, reemplazadas en larelación, la satisfacen.
4.6-EL SISTEMA COMO UNA APLICACION LINEAL
Prosiguiendo nuestro camino, cuya meta es transformar el sistema en unaexpresión que sea más fácil de estudiar, tomemos dos espacios vectoriales E y F ,ambos definidos sobre el cuerpo R , cuyas dimensiones sean n y m
respectivamente.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 198
Introduzcamos ahora una aplicación lineal f de E en F que tenga a A comomatriz asociada, en relación a la base canónica de ambos espacios; además,denotemos con b al vector de F , cuyas coordenadas sean b1,b2,...,bm en la basecanónica de F .
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Sabemos, por lo visto en el capítulo anterior, que la forma matricial esabsolutamente equivalente a la aplicación lineal f : E → F definida por:
f (x) = b
Es evidente que, en esas condiciones, el conjunto solución del sistema (A) noes otra cosa que el conjunto cuyos elementos son todos los vectores xT = [x1, x2,...,
xn] de Rn que verifican la relación f ( x ) = b. La utilización de una aplicaciónlineal como algo equivalente a un sistema de ecuaciones lineales nos permitirá
caracterizar, con mayor facilidad, al conjunto solución del sistema.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 199
4.7-CONJUNTO SOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL
Denotemos con S al conjunto solución del sistema, cuyos elementos serán,por lo tanto, todos los vectores x de Rn que satisfacen la relación. Puedenpresentarse dos situaciones:
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presentarse dos situaciones:
i) Sistema inconsistente. En este caso el vector b no pertenece al conjunto I (f ) . Lógicamente, entonces, no habrá ningún x en E , tal que f ( x ) = b. Elsistema, por lo tanto, carece de solución, y :
S = Φ
ii) Sistema consistente. En este caso el vector b es un elemento de I (f ) . Porlo tanto, habrá un x de E , por ejemplo x0, de tal manera que:
f ( x0 ) = b
Elementos de Algebra Lineal - 2011 200
Cualquier otra solución x que hubiera, cumplirá también con:
f ( x ) = b
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Restando miembro a miembro la relación, y teniendo en cuenta que f esuna aplicación lineal, obtenemos:
f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x − x0 ) = 0
Hagamos x − x0 = y; dicho vector, como su imagen a través de f es 0, y pertenece a N (f ) . Por consiguiente, todo vector
x = x0 + y es una solución del sistema o, dicho de otro modo, dada unasolución particular cualquiera x0 del sistema, el conjunto solución del mismoes:
S = { x E / y I(f ), x = x0 + y}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 201
Por lo tanto, el conjunto S estará formado por cualquier solución particulardel sistema más los elementos de N(f ) . En N(f ) estarán aquellos vectores queson solución del sistema homogéneo deducido del (A), entendiéndose comosistema homogéneo como aquel que tiene sus lados derechos nulos.
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El sistema homogéneo deducido del (A) tiene por ecuación la expresión A X = 0; Un sistema como éste siempre tiene, al menos, la solución trivial X =
0; la pregunta importante que nos tenemos que hacer es si existe o no unasolución no trivial, o sea, una solución distinta de X = 0. Cuando un sistemalineal no homogéneo es consistente indeterminado (o sea, cuando tiene muchas
soluciones), el conjunto solución consta de todos los vectores que se puedanexpresar como una suma entre una solución particular cualquiera y unacombinación lineal arbitraria de vectores que satisfaga el sistema homogéneo.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 202
Supongamos que un sistema se cambia a uno nuevo mediante la
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p g q
transformación anterior. Considerando cada operación de fila, es fácil ver quecualquier solución del sistema original sigue siendo una solución del sistemanuevo. Recíprocamente, ya que el sistema original se puede producir por mediode operaciones de fila en el sistema nuevo (las operaciones de fila soninvertibles), cada solución del sistema nuevo también es solución del sistemaoriginal. Por lo tanto: si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales sonequivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjuntosolución.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 203
Ejemplo
Resolver el sistema, utilizando la forma escalonada de la matriz ampliada, elsistema:
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3 12 32 2 0
Solución
1 3 12 1 32 2 0 → → 2 → 2 1 3 10 5 50 4 2 →
→ 5
4
1 3 10 5 50 0 10
Observamos que una de las ecuaciones que se obtiene es inconsistente yaque 0 ≠ 10.
El sistema es, por lo tanto, inconsistente, o sea que carece de soluciones.Elementos de Algebra Lineal - 2011 204
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A plicacionesen MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
-Veamos ejemplos sencillos de sistemas
a)igual número de ecuaciones que incógnitas
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] b=ones(3 1);
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>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10],b=ones(3,1);
>>x = A\b x =
-1.00001.00000.0000
Si se calcula el vector de error residual (debe ser cero)
>> b - A*x
1.0e-015 *
0.11100.66610.2220
Elementos de Algebra Lineal - 2011 206
b)mayor número de ecuaciones que incógnitas(sobre determinado), con el demínimos cuadrados sería
>>A = [2 –1; 1 10; 1 2];>> x = A\b
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>> x = A\b
x =0.5849
0.0491
>>b - A*x
-0.1208-0.07550.3170
Elementos de Algebra Lineal - 2011 207
c) mayor número de incógnitas que ecuaciones, Matlab nos da una soluciónparticular si el sistema es consistente
>> A = [1 2 3; 4 5 6];b = ones(2,1);x = A\b
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x =-0.5000
00.5000
Una solución general se obtiene generando una combinación lineal de x conlas columnas del espacio nulo de A
>>t= null(A)
t =0.4082-0.81650.4082
Elementos de Algebra Lineal - 2011 208
Si los coeficientes son 1 y -1 de la combinación lineal:
>>z = lincomb({1,-1},{x,t})
z =
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z
-0.90820.81650.0918
>> r = b - A*z
r =1.0e-015 *
0.8882
0.1110
Elementos de Algebra Lineal - 2011 209
-Uso de rref
Sea el sistema de coeficientes y el vector de lado derecho, respectivamente:
>>A = magic(3); b = ones(3,1);
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>>A magic(3); b ones(3,1);
>> [x, pivot] = rref([A b])
x =1.0000 0 0 0.0667
0 1.0000 0 0.0667
0 0 1.0000 0.0667
pivot =
1 2 3 %índices de las columnas pivotes
Elementos de Algebra Lineal - 2011 210
>> x = x(:,4) x =
0.06670.06670.0667
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0.0667
>> b - A*x
ans =00
0Uso del solve de matlab>>[x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0','x','y','z') x =4/5 y =3/5z =-2/5
Elementos de Algebra Lineal - 2011 211
O con la sintaxis
>>[x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0')
x =
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x
4/5
y =3/5
z =-2/5
Elementos de Algebra Lineal - 2011 212
-empleando el symbolic toolbox Sea un sistema x+2*y-u, 4*x+5*y-v >> syms u v x y;>> S = solve(x+2*y-u, 4*x+5*y-v);>> sol = [S.x;S.y]
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sol [S.x;S.y]
sol =
(2*v)/3 - (5*u)/3(4*u)/3 - v/3
Ahora
A = [1 2; 4 5];b = [u; v];z = A\bz =(2*v)/3 - (5*u)/3
(4*u)/3 - v/3
Sol y z producen la misma solución, aunque los resultados se asignan a variables diferentes
Elementos de Algebra Lineal - 2011 213
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INTRODUCCION
En este capítulo desarrollaremos la teoría de los determinantes. En el fondo,se trata de un número real que se asocia con una matriz al cual podemos
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introducirlo de dos maneras: una de ellas se basa en definirlo y deducir suspropiedades a partir de esa definición; la otra consiste, por el contrario, enencontrar su regla de definición a partir de las propiedades de las aplicacionesmultilineales alternadas. Elegimos la segunda posibilidad, ya que, por una parte,introduce al determinante de una manera más natural para nosotros, teniendo encuenta los conocimientos que ya poseemos de las aplicaciones lineales.
De todos modos, cualquiera sea la opción elegida, nos encontraremos anteuna teoría difícil, la cual, por los objetivos de la materia que nos ocupa, serásimplificada en gran medida.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 215
5.1-APLICACIONES BILINEALES
DEFINICION: Sean E , L y F tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoK . Una aplicación ( x ,y ) f ( x ,y ) de E ×L en F se llama bilineal si cumple conlas siguientes condiciones:
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i) f (α x,y ) = f ( x,α y ) = αf ( x,y )
ii) f ( x +x′ ,y ) = f ( x,y ) + f ( x′ ,y )
iii) f ( x ,y+ y′) = f ( x,y ) + f ( x ,y ′ )
5.1.1-APLICACION BILINEAL ALTERNADA
DEFINICION: Una aplicación bilineal ( x ,y ) f ( x ,y ) de E ×E en F sellama alternada si f ( x,x ) = 0
PROPIEDAD: Si f es una aplicación bilineal alternada, entonces se cumple:
f ( x,y ) = −f ( y,x )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 216
Ejemplo: Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 sobre el cuerpo K y sea
A ={ v1, v2, v3} una base de E . Si:
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Definimos una función f de E 2 en E mediante la regla:
, ( ) Demostrar que f es una aplicación bilineal alternada.
SoluciónProbemos que se cumple. En efecto:
, (,) Elementos de Algebra Lineal - 2011 217
con lo que queda probada la mencionada condición. Por otra parte, six′ = x ′1v1 + x ′2v2 + x ′3v3 entonces:
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, ′
′ ′ ′ ′ ′ ′ , ( , )
De manera semejante se puede probar que f (x ,y+ y′) = f (x,y) + f (x ,y′),
demostrando con ello que f es bilineal. Además:
, 0
y, por lo tanto, f es alternada. Esta aplicación bilineal alternada que terminamosde definir se llama producto vectorial entre los vectores x e y.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 218
5.2-DETERMINANTE DE ORDEN 2
TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y
sea dim E = 2. Cualquiera sea A ={ v1, v2} elegida como base de E , y para todo
vector de F existe una única aplicación bilineal alternada ( f ( ) de
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vector w de F , existe una única aplicación bilineal alternada ( x ,y) f ( x ,y ) de
E 2 en F tal que f (v1,v2) = w.
DEFINICION: En el Teorema anterior tomemos F = K y w = 1. En talcaso, el mismo nos dice que existe una y solamente una aplicación bilineal
alternada ( x ,y )
f ( x ,y ) de E 2
en K , tal que f (v1,v2) = 1. Dicha aplicación sellama determinante de los vectores x e y con relación a la base A elegida.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 219
Determinante de una matriz cuadrada de dos filas
Sea la matriz:
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Se llama determinante de M , y se denota d (M) , al escalar:
En virtud de esta definición, podemos ver que d (A) = d (AT). Además,intercambiando las filas o columnas, d (A) cambia de signo, propiedad ésta quesurge como una consecuencia lógica de su condición de forma bilineal alternada.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 220
5.3-LA PERMUTACION Y SU SIGNO
Introducción: Para poder desarrollar la teoría de los determinantes de ordenmayor que dos, necesitamos utilizar nuestros conocimientos de laspermutaciones. Por ello, comenzaremos esta sección haciendo una rápida
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revisión de dicho tema.
a-Permutación
DEFINICION: Sea el conjunto I n = {1 ,2 ,...,n }. Denotemos con F n al
conjunto de todas las funciones biyectivas en I n. Llamaremos permutación p atoda función biyectiva perteneciente a F n. La misma queda caracterizada por elconjunto de las imágenes:
p =( p (1) , p (2) ,..., p (n) )
donde, por ejemplo, p(2) es la imagen de 2 a través de p .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 221
Así, si consideramos el conjunto I 4= {1 ,2 ,3 ,4}, entonces la permutación p = (1,3,4,2) significa que p es una función biyectiva en I 4 que asocia loselementos de la siguiente manera:
1 1
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2 3 3 4 4 2
Por otra parte, sabemos que componiendo dos funciones biyectivas,
obtenemos otra función biyectiva; por consiguiente, la composición de dospermutaciones es una nueva permutación.
El número de elementos de F n es n! , o, dicho de otro modo, dado elconjunto I n = {1 ,2 ,...,n }, entonces es factible efectuar n! permutaciones distintasde los n elementos de I
n.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 222
b-INVERSION
DEFINICION: Tomemos nuevamente el conjunto I n = {1 ,2 ,...,n }. Decimosque el par (a ,b ) de elementos de I n presenta inversión para la permutación p de
F n si:
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a < b p(a) > p(b)
Por ejemplo, dado el conjunto I 5= {1,2,3,4,5} y la permutación p = (3,1,4,5,2), analicemos qué pares (a ,b) de elementos de I 5 presentan
inversión; para ello escribamos dichos pares con sus correspondientes imágenes:
(1,2)→ 3 , 1 (2,3)→(1,4)
(1,3)→ 3 , 4 (2,5)→(1,2)
(1,4)→ 3 , 5 (3,4)→(4,5)
(1,5)
→ 3 , 2(3,5)
→(4,2)
(4,5)→(5,2)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 223
Como se puede apreciar, los pares (1,2), (1,5), (3,5) y (4,5) presentaninversión. Una manera más práctica de conocer el número de inversiones quehay en una permutación es la siguiente: sea la permutación p = (p(1),p(2),...,p(n)) ; para cada p(i), con i [1,n], se cuentan los términos de lasucesión p que son posteriores a p(i) y menores que él mismo. En el ejemplo
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anterior, cuando
p = (3,1,4,5,2), este número es la suma:
2+0+1+1 = 4
y, entonces, diremos que inv (p) = 4.
Conociendo el número inv (p) de una permutación p F n, decimos que pes par o impar si se produce un número par o impar de inversiones. A partir deallí se define el signo de p , que denotaremos Sgn (p) , de la manera siguiente:
Sgn(p)= 1, 1,
Elementos de Algebra Lineal - 2011 224
Ejemplo: A partir del conjunto I 7 = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7}se define la permutación p =
(1,3,5,7,2,4,6) . Determinar el número de inversiones de p y su signatura.
Solución
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Para esta permutación, el número de inversiones es:
inv(p) = 0 + 1 + 2 + 3 + 0 + 0 + 0 = 6
y, por lo tanto, Sgn (p) = 1.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 225
5.4-APLICACIONES TRILINEALES ALTERNADASDEFINICION: Sean dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo
K . Una aplicación ( x,y,z ) f ( x,y,z) de E 2 en F es trilineal alternada si:
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i) es lineal en cada uno de los vectores x, y , z.
ii) es nula si coinciden dos de los tres vectores.
Propiedades
1. Si se intercambian dos de los tres vectores de ( x,y,z) , f ( x,y,z ) cambiade signo.
2. Si uno de los tres vectores de ( x,y,z ) es combinación lineal de los
otros, entonces f ( x,y,z) = 0.
3. Si a uno de los tres vectores de ( x,y,z ) se le suma una combinaciónlineal de los otros dos, f ( x,y,z ) no cambia.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 226
5.5-DETERMINANTE DE ORDEN 3TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y
sea dim E = 3 . Cualquiera sea la base A = {v 1,v
2,v
3} de E que se elija y para todo
vector w de F , existe una y sólo una aplicación trilineal alternada f de E3 en F tal
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que f (v 1,v 2,v 3) = w
Demostración: Sean x ,y y z tres vectores de E . Siendo A una base de E ,podemos decir:
=
=
=
Elementos de Algebra Lineal - 2011 227
Suponiendo la existencia de una aplicación trilineal f de E 3 en F , entonces:
, , , , ( , , )
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===donde la suma se extiende para todos los subíndices i , j , k tomados en I 3 =
{1 ,2 ,3} de manera arbitraria. Estaríamos, por lo tanto, ante una permutacióncon repetición del conjunto I 3, que como bien sabemos, tiene 27 términos. Ahora bien, como f es alternada, se anularán todas aquellas imágenes f (vi ,v j ,vk )
que no tengan los subíndices i , j , k distintos entre sí, o dicho de otra manera,donde el conjunto (i , j , k ) sea la imagen de {1,2,3} a través de unapermutación. Para nuestra suerte, de los 27 términos de la suma que teníamosoriginalmente, quedará solamente 3!=6 , los cuales serán los siguientes:
, , , , , , , , , , , , (, , )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 228
Observemos los subíndices de los vectores de la base de A. Evidentementeque los mismos son las permutaciones de {1,2,3} , a saber:
1 , 2 , 3 (1,3,2)
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2 , 1 , 3 (2,3,1) 3 , 1 , 2 (3,2,1)
Fácilmente podemos ver que la signatura de p 1, p 4 y p 5 es + 1 y la de p 2 , p 3 y p 6 es -1 y, por consiguiente, podemos decir:
, , , , = , , = , , , , , ,
Agrupando los términos por su signo y extrayendo factor común f (v 1,v2,v3), tendremos:
, ,
donde, como sabemos, w = f (v 1,v2,v3).
La relación establece la unicidad de f, cuya existencia hemos supuesto.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 229
Existencia: Probemos que la función definida es lineal en x , suponiendoconstantes los otros dos vectores. Si: ′ ′ ( ′)
entonces, aplicando la regla dada, tendremos:
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, , ( ′ - ) , ,
Por otra parte, es fácil demostrar que f (α x,y,z) = αf (x,y,z), siendo, por lo
tanto, la aplicación f lineal en x . De manera similar se prueba la linealidad en losotros dos vectores. Además, como:
′ ′ ′ ′ ′ ′ , , ( ′ , , )
entonces f es alternada, lo que demuestra que la función que hemos supuestoque es una aplicación trilineal alternada, realmente lo es. De esta manera, elTeorema queda demostrado. , , 0 θ
Elementos de Algebra Lineal - 2011 230
Definición del Determinante de Orden 3: En el enunciado del Teoremaanterior, si F = K y eligiendo, además, w = 1 , la forma trilineal alternada f
( x,y,z ) se llama determinante de los vectores x, y , z con relación a la base A elegida.
Determinante de una matriz de M 3(K ).
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 232/489
3( )
Sea la matriz:
una matriz de M 3(K ). Recibe el nombre de determinante de M , y se denota d (M) , al escalar:
()
++---
Elementos de Algebra Lineal - 2011 231
Observemos los subíndices de cada uno de los términos de la suma: lossegundos son siempre 1, 2 y 3 (los hemos ubicado ex-profeso de esa manera) y los primeros son las permutaciones de {1,2,3} con su correspondiente signatura.Teniendo en cuenta eso, la suma anterior puede expresarse de la siguientemanera:
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()
siendo p un elemento de P 3 (conjunto de las permutaciones de los elementos
{1,2,3}).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 232
5.6- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES DEORDEN 3
1. El determinante de una matriz M es igual al determinante de sutraspuesta.
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2. En un determinante se puede extraer como factor a todo escalar quemultiplique a una línea (llamamos línea a una fila o columna). O sea:
α
α α α
3. Si los elementos de una línea son combinaciones lineales, eldeterminante se puede descomponer en una suma de determinantes.
α ′ α ′ α ′ α ′ ′ ′
Elementos de Algebra Lineal - 2011 233
4. Si a una línea de un determinante se le suma una combinación lineal delas otras dos, el determinante no varía.
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α α α 5. Si una línea del determinante es combinación lineal de las otras dos, el
determinante es cero.
α α α 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 234
5.7-DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA
Extraigamos en el desarrollo, como factores, a los elementos de una líneacualquiera, por ejemplo la segunda fila:
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(
)
(
)
(
)
Esta forma de expresar el determinante se denomina desarrollo por loselementos de la segunda fila. Para ver el lado práctico del método, expresemos laigualdad anterior de la siguiente manera:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 235
Los coeficientes de a 21 , a 22 y a 23 se llaman cofactores de los mismos. Elcofactor de un elemento es, por consiguiente, el determinante que se obtienesuprimiendo en el determinante original la fila y la columna del elementoconsiderado y el signo es positivo o negativo según que la suma de los subíndicesdel elemento sea par o impar respectivamente.
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Así como hemos tomado la segunda fila como base para el desarrollo,hubiéramos podido utilizar cualquier línea distinta.
5.8-APLICACIONES MULTILINEALES
DEFINICION: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo
K . Una aplicación (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,..., xn)) de E n en F es multilineal si eslineal en cada uno de los vectores x1,x2,...,xn.
PROPIEDAD: Cualesquiera que sean los escalares α1 ,α2 ,...,αn se cumple:f
(αx1,
αx2,...,
αx n) =
α1 ,
α2 ,...,
αn f (x1,x2,...,xn)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 236
5.9-APLICACIONES MULTILINEALES ALTERNADASDEFINICION: Una aplicación multilineal (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de
E n en F es alternada si f (x1,x2,...,xn) = 0 siempre que existan dos índices i y j distintos, tales que xi = x j.
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PROPIEDADES:
1. Si en una aplicación multilineal alternada (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de E n en F se intercambian de posición dos de los n
vectores x1,x2,...,xn entonces f (x1,x2,...,xn) cambia de signo. Dicho deotra manera, si permutamos los vectores x i y x j , con i < j, entonces:
, , … , , … , , … , (, , … , , … , , … , )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 237
2. Si p es una permutación de In = {1,2,...,n} cuya signatura es Sgn ( p ) ,entonces, para toda aplicación multilineal alternada (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) se cumple:
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(), (), … , () ( , , … , )3. Si cada uno de los vectores x1,x2,...,xn es una combinación lineal de los vectores de {v1,v2,...,vn} de la siguiente manera:
⋯
⋯ … ⋯ entonces para toda aplicación multilineal alternada ( x1,x2,...,xn ) f ( x1,x2,...,xn ) se cumple:
, , … , … (, , … , )
donde la suma se realiza sobre el conjunto F n de las permutaciones p de
{1,2,...,n} con su correspondiente signatura Sgn(p).Elementos de Algebra Lineal - 2011 238
5.10-DETERMINANTE DE ORDEN n
TEOREMA: Dados los espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo K . Seadim E = n. Cualquiera sea la base A = {v1,v2,...,vn} de E elegida y para todo vectorw de F, existe una única aplicación multiplicación multilineal alternada
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 240/489
(x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de E n en F tal que f (x1,x2,...,xn) = w .
DEFINICION: Tomemos el enunciado del Teorema y hagamos F = K . Siademás consideramos w = 1, entonces queda f (v1,v2,...,vn) = 1 y, en tal caso, f (x1,x2,...,xn) se llama determinante de los vectores x1,x2,...,xn en la base A elegida.
Por lo tanto, si:∀ ∈ 1 , ⋯ donde A = { v1,v2,...,vn } es la base de E , entonces:
, , … , … (, , … , )
donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones p de los índices {1,2,...,n}.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 239
5.11-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE MN(K)
DEFINICION
Sea la matriz:
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… … … … … … …
Llamamos determinante de A al escalar:
…
donde la suma se realiza sobre las permutaciones p de los índices {1,2,...,n}.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 240
5.12-PROPIEDADES
1. Si A Mn (K), entonces se cumple que d(A) = d(AT).
2. Sea una matriz A de M n (K ). Si en A se intercambia la posición de doslíneas paralelas, el determinante de A cambia de signo.
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3. Si una matriz A de M n (K) tiene dos o mas líneas iguales, entonces d(A) = 0.
4. Si una matriz A de M n (K) tiene una línea que es combinación lineal deotras, entonces d(A) = 0.
5. Si a una línea de una matriz A de M n (K) se le suma una combinaciónlineal de las otras, el determinante de A no varía.
6. Si una línea de una matriz A de M n (K) se multiplica por un escalar,entonces el determinante de A queda multiplicado por dicho escalar.
7. Cualesquiera sean las matrices A y B de Mn (K), se cumple que d(AB) = d(A)d(B), siempre que el producto AB esté definido.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 241
5.13-DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA
Matriz menor complementaria de un elemento
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DEFINICION: Dada una matriz A de M n (K ) , con n ≥ 2 , la matrizcuadrada de orden n-1 obtenida suprimiendo la fila i y la columna j de A se
llama menor complementaria del elemento aij de A y se denota A′ij .
Cofactor de un elemento de una matriz
DEFINICION: Sea A una matriz de M n (K ). Se llama cofactor de un
elemento aij de A al número denotado Aij y definido por:
Aij = (1)I + j
d(A′ij )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 242
El cofactor y el cálculo de un determinante
Es posible utilizar el cofactor para calcular el determinante de cualquier
matriz A de M n (K ). En tal sentido, se puede demostrar que:
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⋯ =
Observemos que d(A) se ha calculado sumando los productos de cada
elemento de la fila i por su respectivo cofactor. Diremos, por ello, que se hacalculado el determinante de A por los elementos de la fila i . Es importante
completar lo expuesto aclarando que, así como hemos utilizado una fila i cualquiera como base del cálculo, hubiéramos podido utilizar cualquier columnade la matriz.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 243
5.14- MATRIZ ADJUNTA DEFINICION: Sea A una matriz de Mn (K) . Llamaremos adjunta de A a la
traspuesta de la matriz que resulta de reemplazar cada elemento de A por surespectivo cofactor.
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Producto de una matriz por su adjuntaPROPIEDAD: Para toda matriz A de M n (K ) se cumple que:
× × () ×
donde I n es la matriz identidad de M n (K ).
Inversa de una matriz por la adjuntaTEOREMA: Una matriz A de M n (K ) es invertible si y sólo si d(A) no es
cero. En tal caso se cumple que:
− ()()
Elementos de Algebra Lineal - 2011 244
5.15-RANGO DE UNA MATRIZEl estudio del rango de una matriz es, tal vez, una de las principales
aplicaciones de la teoría de los determinantes. Además, una vez definido elconcepto, nos servirá de importante herramienta en el análisis de los sistemas
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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lineales.Nosotros, en realidad, ya hemos utilizado este concepto, sin mencionarloen forma explícita. Así, dado un conjunto A = {v 1 ,v 2 ,...,v n } incluido en unespacio vectorial E , se define el rango de A a la dimensión del subespacio de E generado por A. Asimismo, dada una aplicación lineal f de E en F , se llamarango de f , y se denota r(f) , a la dimensión de I(f) . O sea:
r(f) = dim f(E) = dim I(f)
En la sección que sigue, ampliaremos este concepto mediante la definicióndel rango de una matriz.
DEFINICION: Dada la matriz A M m,n (K ) , siendo A = [a ij ]. Llamamosrango de A , al que denotaremos r (A), al número de columnas linealmenteindependientes que tiene A.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 245
5.15.1-CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
Introducción: Sea A la matriz [a ij ] de M n (K ). De dicha matriz podemosextraer matrices cuadradas, de tal forma que las filas y columnas de las mismas
sean parte de las filas y columnas de A. Es obvio que, si p es el orden de
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cualquier matriz cuadrada extraída de A, entonces p = min{m,n}.
Si llamamos Ap a una matriz cuadrada de orden p extraída de A, y
teniendo en cuenta que Ap será inversible si d(Ap) ≠ 0 , entonces toda matriz A no nula contiene al menos una matriz inversible, cuyo determinante sea, por lo
tanto, distinto de cero. Si llamamos r al mayor orden de una matriz extraída deA tal de que d(A) ≠ 0, en el Teorema que enunciaremos a continuación, serelacionará el número r con el rango de la matriz A.
TEOREMA: Sea A Mm,n (K) la matriz [a ij ]. El rango de A es el entero
mayor r, tal que pueda extraerse de A una matriz de orden r, cuyo determinantesea no nulo.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 246
5.15.2-CALCULO DEL RANGO POR EL METODO DE GAUSS- JORDAN
El método de Gauss-Jordan permite, mediante un determinado número deoperaciones muy sencillas, calcular el rango de una matriz, obtener la inversa de
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una matriz inversible y, como veremos más adelante, hallar la solución de unsistema lineal compatible.
El método utiliza las mismas operaciones que las usadas en el método deGauss, con la única diferencia de que las mismas están sistematizadas de tal
forma que es posible aplicarlo de manera automática. Mediante las operacionesmencionadas, se trata de formar el mayor número posible de vectores canónicoscomo columnas de la matriz.
Dicho número será, precisamente, el rango de la matriz.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 247
Se procede de la siguiente manera: en la matriz … …
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… … … … … se elige un elemento no nulo como pivote, por ejemplo el a 11 , y se divide laprimera fila por dicho número, para obtener la matriz:
1 … … … … … … … …
Elementos de Algebra Lineal - 2011 248
Luego se reducen a cero los demás elementos de la primer columna; paraello, a la segunda fila, por ejemplo, se debe sumar la primera multiplicada por −
a 21/a 11. Así, los elementos de la segunda fila de A se transforman de lasiguiente manera:
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→ 0 →
→ … … … … … … … … … … …
→
Elementos de Algebra Lineal - 2011 249
De la misma manera se procede para todos los elementos de A.Observemos que queda formado un rectángulo; por ejemplo, si transformamosel a 22, tendremos:
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… … … … … … … …
Llamando diagonal principal del rectángulo a la que una los vértices del
pivote y del elemento a transformar y simplemente diagonal a la otra, eltransformado de cada elemento que no se encuentre en la fila y columna delpivote es igual a la diferencia entre dicho elemento y el producto de loselementos de la diagonal dividido por el pivote. El proceso continúa con laelección de un nuevo pivote, que se encuentra en filas y columnas distintas a lasde los anteriores, y termina cuando no se puede elegir ningún pivote en esascondiciones. Como hemos dicho, el número de vectores canónicos queaparecen nos indicará el rango de la matriz.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 250
5.16- SISTEMA DE CRAMER Dado el sistema:
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… … … … … … … … … … …
Si dicho sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones y
además la matriz de los coeficientes es invertible, entonces recibe el nombre desistema de Cramer. Ello hace de que el sistema de Cramer siempre seacompatible determinado.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 251
5.16.1-SOLUCION DE UN SISTEMA DE CRAMER Tomemos el sistema anterior en su forma matricial:AX = B
Por ser A una matriz invertible, podemos multiplicar ambos miembros por
A 1 l b
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A −1, con lo que obtenemos:
X = A− 1B
La matriz X es la solución única que tiene el sistema. Además, teniendo en
cuenta que: − ()()
entonces queda:
()() ×
Elementos de Algebra Lineal - 2011 252
Desarrollando todas las matrices, tendremos:… … … … … … …
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… 1() … … … … … … …Por lo tanto, cualquier incógnita, xi por ejemplo, vale:
=()
donde la sumatoria va desde k = 1 hasta k = n . Ahora bien; si analizamos másdetenidamente el numerador, veremos que éste no es otra cosa que el desarrollo
del determinante que se obtiene sustituyendo la columna i de M por lostérminos independientes del sistema, que son b 1, b 2,…, b n .
Elementos de Algebra Lineal - 2011 253
O sea que queda:
… − + …
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… … … … … … … … − + … … … … … …
Esta expresión hay que calcularla para cada una de las incógnitas. El
método propuesto de encontrar la solución de un sistema de Cramer esinteresante desde el punto de vista teórico, pero a la hora de aplicarlo resultapoco práctico, por la gran cantidad de cálculos que es necesario realizar. Existenmétodos más fuertes para solucionar un sistema de esas características; unejemplo es el ya utilizado método de Gauss.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 254
5.17- TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUSEste Teorema nos permite determinar si un sistema lineal dado es
consistente o no, y en caso afirmativo, si es determinado o indeterminado. Paraello se utilizan dos matrices:
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i) La matriz de los coeficientes del sistema, a la que hemos denotado A.
ii) La matriz ampliada, que denotaremos Ab , que es la matriz A a laque se le ha agregado una columna formada con los términos independientes
del sistema. O sea que:
… … … … … …
Elementos de Algebra Lineal - 2011 255
Definidas ambas matrices, y siendo r (A) y r (Ab) los rangos de ambas,estamos en condiciones de enunciar el Teorema:
TEOREMA: Un sistema dado de m ecuaciones y n incógnitas es consistentesí y sólo si r(A) = r(Ab). En tal caso:
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i) Si r(A) = r(Ab) = n , entonces el sistema es determinado.
ii) Si r(A) = r(Ab) < n entonces el sistema es indeterminado.
En este caso, a la diferencia h = r (A) −n se la llama grado de libertad delsistema. Fijando el valor de h incógnitas, el sistema se convierte en determinado.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 256
5.18-SOLUCION DE UN SISTEMA MEDIANTE EL METODO DE GAUSS-JORDAN
Introducción: Hemos introducido el método de Gauss-Jordan para elcálculo del rango de una matriz dada. Por el mismo método, que no es otra cosa
d i ió d l d li i ió d G d tili d
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que una derivación del de eliminación de Gauss, puede ser utilizado paraencontrar la inversa de una matriz invertible y para hallar la solución de unsistema compatible determinado.
Método de Gauss-Jordan
Un alumno que ha estudiado con atención el análisis de la consistencia deun sistema, se habrá percatado que, para sistemas consistentes determinados, elmétodo de Gauss-Jordan proporciona de manera automática, la solución delmismo. La mejor manera de comprobar esta afirmación es resolviendo un caso
práctico, tal como lo haremos en el ejemplo que sigue.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 257
EjemploDado el sistema:
2 1
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22 3 1 2Estudiar la compatibilidad del mismo y, en caso de que sea posible, hallar
su solución mediante el método de Gauss-Jordan.
Solución Aplicamos el método de Gauss-Jordan para estudiar la compatibilidad del
sistema:
Elementos de Algebra Lineal - 2011 258
1 0 1 2 1
-1 1 -1 -1 2
2 -3 0 1 -1
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2 -3 0 1 -1
0 1 1 -1 2
1 0 1 2 1
0 1 0 1 3
0 -3 -2 -3 -30 1 1 -1 2
1 0 1 2 1
0 1 0 1 3
0 0 -2 0 60 0 1 -2 -1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 259
1 0 0 4 2
0 1 0 1 3
0 0 0 -4 4
0 0 1 -2 -1
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http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 261/489
Por lo tanto, r (A) = r (Ab ); quiere decir que el sistema es compatible.Como además, dicho rango común coincide con el número de incógnitas, elsistema es determinado. Como se puede apreciar en el último paso,reconstruyendo el sistema, la solución es
x1 = 6, x2 = 4, x3 = − 3 y x4 = − 1.
0 0 1 -2 -11 0 0 0 6
0 1 0 0 4
0 0 0 1 -1
0 0 1 0 -3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 260
A li i
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A plicacionesen MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
Demostrar que el conjunto de vectores 1110, 2101 es linealmente
independiente.
Si tales vectores son linealmente independiente entonces la ecuación vectorial
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Si tales vectores son linealmente independiente entonces la ecuación vectorial 1110
2101
0000
tiene solución trivial única. Tal ecuación vectorial es equivalente a la ecuación
matricial 1 21 11 00 1
0000
Construimos en MATLAB la matriz A=[1 2;1 1;1 0;0 1].El comandoB=null(A)
Determina el conjunto solución de la ecuación matricial Ax=0 y lo guardaen la variable B. En el caso anterior tenemos que MATLAB retorna la salida
Elementos de Algebra Lineal - 2011 262
Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}
Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podráexpresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto.
Por ejemplo el vector (3 0 3) podrá ser expresado como combinación de
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Por ejemplo el vector (3,0,-3).podrá ser expresado como combinación deG1?
x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] entonces
x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] que nos da
-x-y=3;x=0;y=-3
Pruebe para G2; observe el resultado y se tendrá
-x-y-2z=3;x+z=0;y+z=-3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 263
B=null(A)
B=Empty matrix:2-by-0
Lo que indica que la única solución de la ecuación Ax=0 es la solucióntrivial. Por lo tanto, los dos vectores dados son linealmente independientes.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Haciendo A=[1 2 0 -1;0 3 1 5] y mediante B=null(A) se obtiene como salidala matriz
B =0.0975 0.9072
-0.1129 -0.3412
0.9804 -0.1001
-0.1283 0.2248
Elementos de Algebra Lineal - 2011 264
Dado que no se obtuvo como resultado ‘Empty matrix ’ concluimos que elconjunto de vectores es efectivamente linealmente dependiente. Analicemos lamatriz B proporcionada por MATLAB. Cada columna de la Matriz B puede ser vista como un vector en . Todo
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vector no cero combinación lineal de los vectores 0,09750,11290,98040,1283
y 0,90720,34120,10010,2248
es
una solución
Elementos de Algebra Lineal - 2011 265
Demostrar que el conjunto de vectores 10 , 23 , 01 , 15 es
linealmente dependiente.
Haciendo A=[1 2 0 -1; 0 3 1 5] y mediante B=null(A) se obtiene como
salida la matriz
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 267/489
salida la matriz
B =
0.0975 0.9072
-0.1129 -0.3412
0.9804 -0.1001
-0.1283 0.2248
Elementos de Algebra Lineal - 2011 266
Dados los espacios vectoriales R 3, R 4 y R 5, determinar si los siguientesconjuntos de vectores son L.I. o L.D.
a) {(3,2,-1), (1,0,0), (0,1,2)}
>> A = [3 2 1; 1 0 0; 0 1 2]
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 268/489
>> A = [3 2 -1; 1 0 0; 0 1 2]
>> det(A)
ans =-5
Puesto que, el determinante es diferente de cero, la familia de vectores esL.I
Elementos de Algebra Lineal - 2011 267
b) {(2,1,-3,4), (-1,3,2,1),(-5,1,8,-7), (3,2,1,-1)}
>> B = [2 1 -3 4;-1 3 2 1;-5 1 8 -7;3 2 1 -1]
>>det(B)
0
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ans =0
Puesto que, el determinante es igual a cero, la familia de vectores es L.D.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 268
c) (c) {(1,2,-1,5,3), (1,-1,4,-2,0), (1,1,-1,3,12), (0,4,3,1,-1)}
>> C = [1,2,-1,5,3;1,-1,4,-2,0;1,1,-1,3,12;0,4,3,1,-1]
>> rank(C)
4
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ans =4
Puesto que, los 4 vectores pertenecen al espacio R 5, no es posible aplicar eldeterminante, sin embargo son L.I., ya que el rango de la matriz, que
conforman, es 4. Si es menor que 4 es L.D.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 269
Estudiar si los vectores constituyen una base en R 3
Se calcula el determinante de la matriz cuyas filas(columnas) sean lascoordenadas de vectores dados.
>>det([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])
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>>det([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])
ans=4
como es distinto de cero, el conjunto es linealmente independiente, formandouna base sabiendo que la dimensión del espacio es 3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 270
Alternativamente se puede estudiar el rango de la matriz de coordenadas
>>rank([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])
ans=3
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recordemos que alternativamente si se calcula la forma reducida escalonada porfilas (Jordan) de la matriz de coordenadas:
>>rref([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])
se ve que el conjunto es linealmente independiente y base.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 271
Analizar si el conjunto de vectores en R 4 es linealmente independiente ono.
Se calcula el rango
>>rank([1 2 2 1;3 4 4 3;1 0 0 1])
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>>rank([1 2 2 1;3 4 4 3;1 0 0 1])
ans=2
al ser dos el rango, el conjunto es ligado
Elementos de Algebra Lineal - 2011 272
Sea el espacio vectorial en R 5; considerando el subespacio en R 5 dado por ,obtener la dimensión de V y una base del subespacio; estudiar si el vectorpertenece al subespacio V?
>> format rat
>>A=[2 3 4 -1 1;3 4 7 -2 -1;1 3 -1 1 8;0 5 5 -1 4];
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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>>A [2 3 4 1 1;3 4 7 2 1;1 3 1 1 8;0 5 5 1 4];
se calcula forma escalonada
>> rref.(A)ans =
1 0 0 0 0
0 1 0 1/5 11/5
0 0 1 -2/5 -7/5
0 0 0 0 0
de su análisis se ve que la dimensión de V es tres, siendo una base para V elconjunto
Elementos de Algebra Lineal - 2011 273
C={(1 0 0 0 0); (0 1 0 1/5 11/5);( 0 0 1 -2/5 -7/5)}
Uno de los métodos clásicos para calcular determinantes es emplear laexpansión de cofactores , aunque no es recomendable para grandes matrices,por su complejidad de cálculo, de cualquier se incluyen ejemplos, arrancando
por su vinculación, con el menor de una matriz
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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por su vinculación, con el menor de una matriz
>> A=rand(5)
A =0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575
0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407
0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543
0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143
0.1626 0.5853 0.6991 0.1493 0.2435
Elementos de Algebra Lineal - 2011 274
>> minor(A,5,3)
la submatriz es
0.7547 0.1190 0.8909 0.2575
0.2760 0.4984 0.9593 0.8407
0 6797 0 9597 0 5472 0 2543
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0.6797 0.9597 0.5472 0.2543
0.6551 0.3404 0.1386 0.8143
el menor es
-0.5559
>> cofact(A,5,3)
ans =-0.5559
Elementos de Algebra Lineal - 2011 275
Con el manejo de cofactores se puede calcular la adjunta de una matriz
>> adj(A)
ans =
-0 2760 0 2955 0 0050 -0 1918 -0 0922
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-0.2760 0.2955 0.0050 -0.1918 -0.0922
0.2490 -0.0598 -0.3335 0.0707 0.0551
-0.2128 0.1098 0.2988 0.0268 -0.5559
-0.1205 -0.1985 -0.0213 0.2195 0.1007
0.2707 -0.2472 -0.0467 -0.2534 0.3794
Elementos de Algebra Lineal - 2011 276
Y teniendo en cuenta A -1 = adj(A)/det(A), se puede hallar la inversa de A
>>det(A)
>>inv(A)=adj(A)/det(A)
ans =
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ans
1.0456 -1.1196 -0.0191 0.7267 0.3494
-0.9435 0.2266 1.2635 -0.2678 -0.2088
0.8064 -0.4161 -1.1323 -0.1017 2.1063
0.4566 0.7520 0.0807 -0.8318 -0.3817-1.0256 0.9365 0.1770 0.9601 -1.4376
Elementos de Algebra Lineal - 2011 277
REGLA DE CRAMER Sea el sistema: x1 + 2 x2 - 2 x3 = - 1; x1 - x3 = - 1; 2 x1 - x2 + x3 = 3,
cuadrado
>>cramer(A,B')
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( , )
toda la información? y/n: n
ans =
1 1 2
>> cramer(A,B')
Elementos de Algebra Lineal - 2011 278
toda la información? y/n: y
det_matriz_coeffs =
-5
variable =
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variable
1
Matriz =
-1 2 -2-1 0 -1
3 -1 1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 279
determinante =-5
variable =
2
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Matriz =
1 -1 -2
1 -1 -1
2 3 1
determinante =
-5
variable =
3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 280
Matriz =1 2 -1
1 0 -1
2 -1 3
determinante =
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determinante
-10
ans =
1 1 2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 281
Resolviendo con MatlabSerán infinitas las posibles combinaciones lineales, ya que
Un vector de un subespacio vectorial W se genera de FORMA ÚNICA porsistemas de generadores de W que sean L.I.; y por el contrario existen infinitasformas de generar un vector del subespacio W mediante sistemas de generadores
de W que sean L.D.
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q
Dado que no se obtuvo como resultado ‘Empty matrix ’ concluimos que
el conjunto de vectores es efectivamente linealmente independiente.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 282
sistemas lineales
>>[L,U,P]=lu(A); % Este es el comando que calcula las matrices L, U, P
>>B=P*b;
>>y=L\B;
>>x=U\y
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x U\y
Graficar sistemas lineales con MATLAB
>>X = -20 : 20;>>[x1, x2] = meshgrid(X,X);
>>f = 0.5*x1 - x2 + 9.5;
>>g = 1.02*x1 - 2*x2 + 18.8;
>>surf(x1, x2, f)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 283
40
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-20
-10
0
10
20
-20
-10
0
10
20
-40
-20
0
20
Elementos de Algebra Lineal - 2011 284
>>hold on>>surf(x1, x2, g)
100
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-20
-10
0
10
20
-20
-10
0
10
20
-50
0
50
Elementos de Algebra Lineal - 2011 285
Otra manera>> clear, syms x y
>> eq1='0.5=(200+3*x+4*y)^2/(20+2*x+3*y)^2/x'
>> eq2='10=(20+2*x+3*y)*y/x'
>> [x y]=solve(eq1,eq2,x,y)
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 286
Estudiar si los vectores {(2,3,-1),(0,0,1),(2,1,0)} forman una base del espacio vectorial R 3
>> det([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =
4
El determinante es no nulo, los vectores son linealmente independientes,formando base, sabiendo que la dimensión del espacio es 3
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formando base, sabiendo que la dimensión del espacio es 3Si calculamos el rango de la matriz de coordenadas>> rank([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =
3El conjunto es linealmente independiente formando baseEquivalente a calcular la forma escalonada>>rref([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =
1 0 0
0 1 00 0 1
Conjunto libre y base
Elementos de Algebra Lineal - 2011 287
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6.1-INTRODUCCION Vemos algunos conceptos antes de entrar directamente en el núcleo centralUna matriz U εCn_n es unitaria si sus columnas forman una base ortonormal
de vectores de Cn. Una matriz Pε R nxn es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal
de vectores de Rn
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Equivalentemente, para U Cnxn se puede considerar
U es unitaria.
U es no singular y U *= U _1. (recordemos que U * es la traspuestaconjugada)
UU*= In.
U* es unitaria.
Las filas de U forman un sistema ortonormal de vectores de Cn.
Para todo x ε Cn se tiene 2= 2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 289
Cómo hallarlos?
Sea AεMn(R), para encontrar los autovalores de A debemos encontrarescalares λ tales que Ax = λx , Ax λx = 0 (A λI)x = 0
Para que el sistema )x = 0 tenga soluciones no triviales ha de verificarse que det(A )=0.
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(AλIq ( λI)El polinomio PA(λ)det (AλI) recibe el nombre de polinomio
característico de A, y sus raíces son los autovalores de A.
PA(λ) es un polinomio
de grado n y por tanto A tiene a lo sumo n autovalores distintos.
Una vez obtenidos los autovalores de la matriz, para cada uno de ellos seobtienen los autovectores resolviendo el sistema (A λI)x =0, pues V (λ) N(A
λI)= {x
εRn :(A
λI)x = 0}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 290
Ejemplo: obtener los subespacios propios de
1 2 11 0 1 Del polinomio característico λ3 6λ2+11λ 6=0
los autovalores de A son: 1 =1 2 =2 3 =3.Para cada uno de ellos debemoscalcular el correspondiente subespacio propio, así para
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4 4 5 λ ,λ ,λλ1 =1 : V (1) = N(A − I)= {x ε Rn :(A − I) x = 0}. (A − I) x = 0
0 2 11 1 14 4 4 000 , llevando a la forma escalonada la matriz de
coeficientes
Elementos de Algebra Lineal - 2011 291
Se tendrá 1 1 10 2 10 0 0 ,x1 x2 = x3 y 2x2 = x3 de donde
x 1 = −x 3 /2 y x 2 = x 3 /2 x 1 = α, x 2 =α/ 2 ,x 3 =α
entonces, V (1) = L{(− 1/2 ,1/2 , 1)} = L{(− 1, 1, 2)}.
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→
Elementos de Algebra Lineal - 2011 292
Dada la matriz A =[ 2 2;2 -1] los vectores u = (2 ; 1) y v = (1; -2) sonautovectores de A, siendo los respectivos autovalores λ= 3 y λ= -2. Puede verificarhaciendo A.u=λu,
igual para v.
Los vectores u y v determinan la dirección de dos rectas r1
y r2
respectivamente, que pasan por el origen.
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p , q p p g
Geométricamente, A.x es la transformación lineal que dilata a cualquier vector u de r1 en un factor λ=3 , en tanto que los vectores v a lo largo de r2 sereflejan respecto al origen de coordenadas y luego sufren un dilatamiento en unfactor λ= 2.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 293
6.2-MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMETRICA Se llama multiplicidad algebraica de un autovalor λ 0 al número de veces que
aparece λ − λ 0 como factor en el polinomio característico de A.
b) Se llama multiplicidad geométrica de un autovalor λ 0 a la dimensión del
subespacio propio V ( λ0)
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La dimV ( λ0)=dimN(A − λ0I)= n − r(A − λ0I).
Para un autovalor λ , la multiplicidad algebraica se denota por m ( λ), la
geométrica se denota por µ ( λ).
En el ejemplo se verifica que µ = m =1 para los tres autovalores.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 294
Para cada autovalor, el valor de la multiplicidad geométrica está acotado porel valor de la multiplicidad algebraica., es decir: si λ es un autovalor de A, 1 ≤ m( λ)≤ μ( λ).
Lema: sea λ autovalor de A y x ε V A( λ),x ≠ 0.
i λ l d A V ( λ)
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i- αλ es un autovalor de α A y x ε V α A( αλ).
ii- λp es un autovalor de Ap y x V Ap( λp)
iii- A es singular,si y sólo si λ =0 es un autovalor de A.
iv- Si A es regular, entonces λ ≠0 y λ −1 es un autovalor de A −1 y x V A −1 (λ −1).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 295
Veamos:i-λ autovalor de A y x ε VA( λ),x ≠ 0, entonces Ax = λ x α Ax = αλx (α A)x =(αλ)x
luego αλ es un autovalor de α A y x ε V α A( αλ).
ii-Por inducción sobre p :Se verifica para p =2:
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-Se verifica para p =2:
A 2x = AA x = A(λ x )= λ (A x )= λ (λ x )= λ 2x luego λ 2es un autovalor de A2 y x ε VA2 ( λ2)
Se supone cierto para p − 1, es decir λ p−1 es un autovalor de Ap−1 y x ,quedaanalizar si se cumple para p:
x= AAp−1x= A( λp−1x)= λp−1(Ax )= λp−1( λx )= λpx.
Finalmente luego λp es un autovalor de Ap y x
Por tanto, para todo p se cumple: λp es un autovalor de Ap y x
Elementos de Algebra Lineal - 2011 296
iii- A es singular det(A)=0 det(A − 0I)=0 λ =0 es un autovalor de A.
iv-Si A es regular, entonces sus autovalores son no nulos.
Por tanto, si λ es un autovalor cualquiera de A, se verifica:
Ax = λx A−1Ax = A−1λx x = λA−1x A−1x = (1/λ)x
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Ax = λ x A 1 Ax = A 1 λx x = λ A 1x A 1x = (1/λ )x
Significando 1/ λ es un autovalor de A−1 y . x Lema: Si v 1, ..., v k sonautovectores correspondientes a autovalores distintos λ1, ..., λk, de una matriz A
entonces {v 1 ,...,v k } es un conjunto linealmente independiente.
Nota: Si A tiene n autovalores distintos podemos obtener una base de Rn formada por n autovectores { v 1,...,v n} tales que v iε V ( λi),i =1, ..., n.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 297
En la matriz ejemplo, sus tres autovalores distintos: λ 1 =1,λ 2 =2 y λ 3 =3, y quesus subespacios propios son:
V (1) = L{( −1, 1, 2)},V (2) = L{( −2, 1, 4)} y V (3) = L{( −1, 1, 4)}
Para obtener una base C de R
3
formada por autovectores de A, basta unir lasbases de los subespacios propios de A:
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C = {(−1, 1, 2), (−2, 1, 4), (−1, 1, 4)}
Elementos de Algebra Lineal - 2011 298
6.3-SEMEJANZA DE MATRICESDos matrices A, B ∈ Mn(R) son semejantes si existe una matriz P ∈ Mn(R)
regular tal que B = P −1 AP .
Lema: Si A y B son dos matrices semejantes, con B = P −1 AP , entonces:
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i- PA( λ) = PB( λ).
ii- det(A) = det(B).
iii- tr(A) = tr(B).
iv Si x ∈ VA( λ), x ≠ 0, entonces P −1x ∈ VB( λ).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 299
Ejemplo: sean las matrices
A=1 2 11 0 1 , D =
1 0 00 2 0 ,P =1 2 11 1 1
Mediante el méto de Gauss-Jordan se puede hallar
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4 4 5 0 0 3 2 4 4P − 1 =
0 2 1/21 1 01 0 1/2
Haciendo D = P −1 AP , nos da:
D=1 0 00 2 00 0 3
Elementos de Algebra Lineal - 2011 300
PA(λ ) = det(A − λI ) = 1 2 11 14 4 1 =−λ 3 + 6 λ 2 − 11 λ + 6.
El polinomio característico de D es:
PD(λ) = det(D − λI) = (1 (2 (3
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PD(λ ) = det(D λI ) = 1 0 00 2 00 0 3 (1 λ) (2 λ) (3 λ)
=
λ3 + 6
λ2
11
λ+ 6
Elementos de Algebra Lineal - 2011 301
Igual procedimiento seguimos para demostrar iii e iv en el ejemplo
Con el concepto de semejanza podemos introducir una definición:
Una matriz A ∈ Mn(R) es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
Lema: Una matriz A es diagonalizable sí y sólo si existe una base de Rn formada por
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autovectores de A.
Sea B = { v1, ..., vn } una base de Rn formada por n autovectores de A, con v i ∈ V ( λi), siendo los autovalores λi iguales o distintos.
Se verifica:
AP=A[ v1 | · · · |v n] = [Av1 | · · · |Avn ] = [ λ1v1| · · · | λnvn] =
[ v 1 | · · · |v n ] ⋱ =P D
Elementos de Algebra Lineal - 2011 302
En consecuencia D = P −1 AP , siendo P = [ v 1 | · · · |v n ] una matriz regular puessus columnas son linealmente independientes.al ser B una base.
El razonamiento recíproco es inmediato, pues si D = P −1 AP , entoncesB = { v 1 , ..., v n } es una base de Rn formada por autovectores de A.
E l L A l d λ1
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Ejemplo: La matriz A = 1 2 11 0 14 4 5 tiene tres autovalores distintos: λ1 =
1, λ2 = 2 y λ3 = 3.
Los subespacios propios de A son:
V (1) = L{( −1, 1, 2)}, V (2) = L{( −2, 1, 4)} y V (3) = L{( −1, 1, 4)}.
Uniendo las bases de estos subespacios se tiene una base de R 3 formada por
autovectores:
B = { v 1 , v 2 , v 3 } siendo v 1 = (−1, 1, 2), v 2 = (−2, 1, 4) y v 3 = (−1, 1, 4).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 303
La matriz de paso P se obtiene escribiendo por columnas los vectores de B.
P = [ v 1|v 2|v 3] =1 2 11 1 1 verificándose D = P −1 AP =
1 0 00 2 0
Las columnas de P están determinadas según el orden de escritura de losautovalores Así si se hubieran ordenado los autovalores como:
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2 4 4 0 0 3autovalores. Así, si se hubieran ordenado los autovalores como:
λ1 = 3, λ2 = 2 y λ3 = 1., los subespacios serían:V ( λ1) = V (3) = L{( −1, 1, 4)}, V ( λ2) = V (2) = L{( −2, 1, 4)} y
V ( λ3) =V (1) = L{( −1, 1, 2)}.
En consecuencia, la base B formada por autovectores de A, y las matrices D y P serían:
B = {( −1, 1, 4), ( −2, 1, 4), ( −1, 1, 2)},D= 1 0 00 2 00 0 3 P= 1 2 11 1 14 4 2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 304
6.4-DIGONALIZACIONUn criterio para la diagonalización de matrices se establece a través del lema:Una matriz A ∈ Mn(R ) es diagonalizable si y sólo si posee n autovalores
(iguales o distintos) y sus multiplicidades verifican las siguientes condiciones:
a) m1 + · · · + mp = n.b) para todo autovalor λ i = 1 p
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b) , para todo autovalor λi, i = 1, ..., p.
Una matriz A con n autovalores distintos siempre verifica las dos condicionesanteriores.
Entonces para una matriz A ∈ Mn(R), para diagonalizar se fectúan los pasos:
a) Se calculan los autovalores de A, y ha de verificarse que:m1 + · · · + mp = n. Es decir, ha de haber n raíces de PA( λ); μi = mi, para todo
autovalor λi, i = 1, ..., p.
b) Para cada autovalor λi, i = 1, ..., p., se determina una base de cadasubespacio propio V ( λi).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 305
3) Se obtiene la base B = { v 1 , ..., v n } uniendo las bases de los subespaciospropios de A.
Una vez obtenida la base B, disponiendo las componentes de sus vectores porcolumnas se obtiene la matriz de paso P .
La matriz diagonal viene determinada por los autovalores, escritos en el
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mismo orden que los vectores correspondientes de la base B, o sea:,
P = [ v 1 | · · · |v n ] D =
0 00 ⋱ 00 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 306
6.5-DIAGONALIZACION ORTOGONAL Una matriz A ∈ Mn(R ) es ortogonalmente diagonalizable si existe una
matriz Q ortogonal, tal que D = Q t AQ es una matriz diagonal.
Quiere decir que diagonalizar ortogonalmente una matriz A equivale a
encontrar una base ortonormal de R n formada por autovectores.
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Las matrices reales simétricas son matrices, que tienen todos los autovaloresreales, y que se pueden diagonalizar ortogonalmente. Además sus autovalores y autovectores tiene propiedades como las que se mencionan seguidamente:
P1- Si A ∈ Mn(R) una matriz simétrica, entonces los autovectores correspondientes aautovalores distintos son ortogonales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 307
Dados x , y ∈ R n
, se verifica: (Ax)·y = yt
Ax = (At
y)t
x = x·(At
y) =
Sean ahora v 1 ∈ VA( λ1) y v 2 ∈ VA( λ2), cualesquiera, entonces:
Av1 = 1v1 y Av2 = λ 2 v2 , veamos que v1 · v2 = 0.
1(v1 · v2) = (λ1v1) · v2 = (Av1) · v2 =v1 · (Av2) = v1 · 2v2) = λ 2(v1 · v2)
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λλ (λluego, λ 1(v1 · v2) = λ 2(v1 · v2) (λ 1 λ 2)(v1 · v2) =0 v1 · v2 = 0
v1⊥v2.
Se desprende: Si A ∈ Mn(R) es simétrica, los subespacios propios de A sonortogonales.
Y el lema: Una matriz A ∈Mn(R) es ortogonalmente diagonalizable si y sólosi es simétrica.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 308
Veamos en un sentido: Si A es ortogonalmente diagonalizable, entoncesexiste una matriz Q ortogonal y una matriz D diagonal, tales que Q t AQ = D . Se verifica que A = Qt DQ,y At = (Qt DQ)t = Qt DQ = A A = At .
Si partimos de la condición simétrica: Si A es simétrica los subespaciospropios de A son ortogonales. Si hallamos una base ortonomal para cada uno deellos y reunimos las bases obtendremos una base ortonormal B = { w 1, ..., w n} de Rn f d t t d A t t A á di g li bl t g l t
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formada por autovectores de A , y por tanto A será diagonalizable ortogonalmentesiendo Q = [w1| · · · |wn] la matriz de paso
El procedimiento , para hallar la base ortonormal de autovectores, constaráde los pasos:
a-Dada una matriz simétrica A ∈ Mn(Rn) se calculan los autovalores de A,debiendo cumplirse m1 + · · · + mp = n., ha de haber n raíces de PA( λ).
μi = mi, para todo autovalor λ i , i = 1, ..., p .
b- Para cada autovalor λ i , i = 1, ..., p ., se determina una base ortonormal de
cada subespacio propio V ( λi).
c- Se obtiene la base B = {w1, ..., wn} uniendo las bases ortonormales de lossubespacios propios de A.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 309
Una vez obtenida la base B, disponiendo las componentes de sus vectores porcolumnas se obtiene la matriz de paso Q ortogonal. La matriz diagonal vienedeterminada por los autovalores, escritos en el mismo orden que los vectorescorrespondientes de la base B, o sea:
Q = [ w 1| · · · | w n], D =
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0 00 ⋱ 00 0 Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la matriz
A = 1 2 02 2 20 2 3 ,
det(A−λI )= −λ 3 +6 λ 2 − 3 λ− 10 = − (λ − 5) (λ − 2) (λ + 1); losautovalores son: λ
1
=
1, λ
2
= 2 y λ 3
= 5.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 310
Cálculo de los subespacios propios:Para λ 1 = 1:V ( − 1) = N(A + I) = { x ∈ R n : (A + I) x = 0}. (A + I)x = 0
2 2 02 3 20 2 4 000
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2 2 02 3 20 2 4 000Reduciendo por filas la matriz de coeficientes llegamos al sistema:2 2 0 2
De donde x 1 = 2 α ;x 2 = 2 α ; x 3 = α
De aquí V ( −1) = L{(2, 2, 1)} = L{( 2/3 , 2/3 , 1/3 ), ya dividido por la normadel vector (2, 2, 1), ya que deber unitario.
Repitiendo el proceso para los otros dos autovectores, se llega a:-V (2) = L{( −1, 1/2 , 1)} = L{( −2/3 , 1/3 , 2/3 )} -V (5) = L{(1, −2, 2)} = L{( 1/3 , −2/3 , 2/3 )}.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 311
Ya se disponen los tres subespacios propios a través de una base ortonormal
V ( −1) = L{(2, 2, 1)} = L{( 2/3 , 2/3 , 1/3 ) V (2) = L{( −1, 1/2 , 1)} = L{( −2/3 , 1/3 , 2/3 )} V (5) = L{(1, −2, 2)} = L{( 1/3 , −2/3 , 2/3 )}.
Uniendo estas bases de los subespacios propios se tiene una base ortonormalde R3 formada por autovectores:
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de R3 formada por autovectores:
B = {w 1, w 2, w 3} siendo w 1 = (2/3 , 2/3 , 1/3 ), w 2 = (−2/3 , 1/3 , 2/3 ) y w 3 =(1/3 , −2/3 , 2/3 ).
Q = [ w 1|w 2|w 3 ] =2/3 2/3 1/32/3 1/3 2/31/3 2/3 2/3 y
D=Qt AQ= 1 0 00 2 00 0 5
Elementos de Algebra Lineal - 2011 312
6.6-TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTONToda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p( ) =
0 es la ecuación característica de A, entonces p(A) = 0 , es decir el polinomiocaracterístico de A anula A.
Se tiene
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a 11 - a 12 . . . a 1n
P( ) = det (A - I) = a 21 a 22 - . . . a 2n
: : : a n1 a n2 . . . a nm -
Elementos de Algebra Lineal - 2011 313
Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p( ) = 0 es la ecuación característica de A, entonces p(A) = 0 , es decir elpolinomio característico de A anula a A.
Se tiene
a 11 - a 12 . . . a 1n
P() = det (A I) = a a a
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P( ) = det (A - I) = a 21 a 22 - . . . a 2n
: : : a n1 a n2 . . . a nm -
Es claro que cualquier cofactor de (A - I) en un polinomio en . Así, laadjunta de A - I es una matriz de n * n en la que cada componente es unpolinomio en . Es decir,
p 11 ( ) p 12 ( ) . . . p 1n ( )
Adj (A - I) = p 21 ( ) p 22 ( ) . . . p 2n ( ) : : :
p n1 ( ) p n2 ( ) . . . p nm ( )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 314
Entonces podemos ver la adj (A - I ) como en un polinomio, Q( ) , en cuyos coeficientes son matrices de n * n . Para entender esto, se ve lo siguiente:
-2 - 2+ 1 22 - 7 - 4 = -1 2 2 + -2 -7 + 1 -4
42
+ 5
-2 -32
-
+ 3 4 -3 5 -1 -2 3
En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la
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En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular lainversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0 . Veamos, si
p( ) = n + a n-1 n-1 + ... + a 1 + a 0 , entonces
P(A) = An + a n-1 An-1 + ... + a 1 A + a 0 I = 0 y
A-1 p(A) = An-1 + a n-1 An-2 + ... + a 2 A + a 1 I + a 0 A
-1 = 0
Así
A-1 = 1/a 0 (-An-1 – a n-1 An-2 - ... – a 2 A – a 1 I)
Ver que que a 0 0 porque a 0 = det A y se supuso que A era invertible.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 315
AplicacionesMATLAB
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A plicacionesen MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
eig(A) Da los valores propios de A cuadrada[V,D]=eig(A) Da la matriz diagonal D de valores propios de A y una
matriz V cuyas columnas son los vectores propioscorrespondientes/A*V=V*D
eig(A,B) Da un vector con los valores propios generalizados de A y B cuadradas(raíces de det(λ *B-A))
[V D]=eig(A B) Da la matri diagonal D de alores propios generali ados
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[V,D]=eig(A,B) Da la matriz diagonal D de valores propios generalizadosde A y B y una matriz V cuyas columnas son los vectorespropios correspondientes/A*V=B*V*D
[AA,BB,Q,Z,V]=qz(A,B) Da las triangulares superiores AA y BB y las matrices Q y Z/Q*A*Z=AA y Q*B*Z=BB, y da la matriz V de vectoresgeneralizados de A y B, cumpliéndose
A*V*diag(BB)=B*V*diag(AA)
balance(A) Da la matriz B balanceada de A, útil para aproximar los valores propios de A cuando son difíciles de hallar,cumpliéndose eig(A)=eig(balance(A))
Elementos de Algebra Lineal - 2011 317
[U,T]=schur(A) Da una matriz T y una unitaria U/A=U*T*Ut
y Ut
*U=eye(U); si aes compleja, T es una triang. sup con los valores propios de A en ladiagonal, si es real, T tiene los valores propios en la diagonal.
[L,U]=lu(A) Factoriza A en A=L*U, U es triang sup. y L una pseudotriang.
inferior
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[L,U,P]=lu(A) Factoriza A en P*A=L*U, U es triang sup. y L una triang. Inferior, Pmatriz de permutación
R=chol(A) Da R(triang. Sup)/R t*R=A, pero A debe ser definida positiva
[Q,R]=qr(A) Da la triang. sup. R de igual dimensión que A y la ortogonalQ/A=Q*R( para matrices no cuadradas)
[Q,R,E]=qr(A) Da la triang. sup. R de igual dimensión que A, la de permutación E y la ortogonal Q/A*E=Q*R( para matrices no cuadradas)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 318
jordan(A) Da la matriz canónica J de A( J tiene los valores propios de A en la diagonal)[V,J]=jordan(A) Da la matriz canónica J de A y la matriz de paso V cuyas
columnas son los autovectores de A/V -1*A*V=J
condeig(A) Vector con los números de condición para los valores propiosde A h (A) D l t i d H b H
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hess(A) Da la matriz de Hessenberg Hpoly(A) Da el polinomio característico de A poly(v) Da un vector cuyas componentes son los coeficientes del
polinomio, cuyas raíces son los elementos del vector v
Elementos de Algebra Lineal - 2011 319
Ejemplos:
>>[ V,D]=eig(A,B) V =
-1.0000 0.2500 - 0.7500i -0.5833 - 0.4167i0 -0.5000 -0.5000 + 0.5000i0 0 0 + 0.3333i
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D =0 - 1.0000i 0 00 -1.0000 0
0 0 0 + 1.0000i
Sea A=[-0,4326 0.2877 1.1892; -1,6656 –1.1465 –0.0376; 0.1253 1.19090.3273] y B la matriz de Hesenberg de A, dada por B=[ -0.4326 -0.1976 1.2074;1.6703 -1.2245 0.1544; 0 -1.0741 0.4053]
Elementos de Algebra Lineal - 2011 320
>> [V,D]=eig(A) V =0.2827 0.4094 - 0.3992i 0.4094 + 0.3992i0.8191 -0.0950 + 0.5569i -0.0950 - 0.5569i
-0.4991 0.5948 0.5948D =-1.6984 0 0
0 0.2233 + 1.0309i 0
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90 0 0.2233 - 1.0309i
>> [V,D]=cdf2rdf(V,D)
V =0.2827 0.4094 -0.39920.8191 -0.0950 0.5569
-0.4991 0.5948 0
D =-1.6984 0 00 0.2233 1.03090 -1.0309 0.2233
Elementos de Algebra Lineal - 2011 321
>> [U,T]=schur(A)
U =0.2827 0.2924 0.91360.8191 -0.5691 -0.0713
-0.4991 -0.7685 0.4004T =-1 6984 0 2644 -1 2548
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 323/489
-1.6984 0.2644 -1.25480 0.2233 0.72230 -1.4713 0.2233
>> [Q,R,E]=qr(A)
Q =-0.2507 0.4556 -0.8542-0.9653 -0.0514 0.2559
0.0726 0.8887 0.4527
Elementos de Algebra Lineal - 2011 322
R =1.7254 1.1211 -0.23800 1.2484 0.83460 0 -0.8772
E =1 0 00 1 00 0 1
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 324/489
Tomando A= [1 5 -2; -7 3 1;2 2 -2];
>> [L,U,P]=lu(A)
L =1.0000 0 0
-0.1429 1.0000 0-0.2857 0.5263 1.0000
U =-7.0000 3.0000 1.00000 5.4286 -1.85710 0 -0.7368
Elementos de Algebra Lineal - 2011 323
P =0 1 01 0 00 0 1
>> [Q,R,E]=qr(A)Q =
-0.1361 -0.8785 -0.45790.9526 -0.2430 0.1831
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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-0.2722 -0.4112 0.8700R =
-7.3485 1.6330 1.7691
0 -5.9442 2.33660 0 -0.6410
E =1 0 00 1 0
0 0 1>> R=chol(A)??? Error using ==> cholMatrix must be positive definite.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 324
>> X=pinv(A)
X =0.2857 -0.2143 -0.39290.4286 -0.0714 -0.46430.7143 -0.2857 -1.3571
>>jordan(A)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 326/489
j
ans =-0.8163 0 0
0 1.4082 - 5.6847i 00 0 1.4082 + 5.6847i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 325
Estudiamos la diagonalización de una matriz a través del archivodiagonalización
>>A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6];>>diagonalizacion(A)
analizamos la primera propiedad de diagonalizaciónla cual nos dice que A esdiagonalizable si A tiene n valores propios distintos, los valores propios son:
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g p p p p Vp =
0.12701.0000
7.8730la matriz A es diagonalizable por ser todos los valores propios distintos
La matriz diagonal semejante a "A"es D=
D =
0.1270 0 00 1.0000 00 0 7.8730
matriz que contiene en su diagonal los valores propios de A Elementos de Algebra Lineal - 2011 326
>> X=pinv(A) X =0.2857 -0.2143 -0.39290.4286 -0.0714 -0.46430.7143 -0.2857 -1.3571
>>jordan(A)ans =-0.8163 0 0
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0 1.4082 - 5.6847i 00 0 1.4082 + 5.6847i
-El teorema de Cayley Hamilton establece que pol(A)=poly(A)=0, es decir quecada matriz satisfice su ecuación característica , usando el archivo lincomb
>>Q = lincomb(num2cell(pol), {A^3, A^2, A, eye(size(A))})Q =
1.0e-012 *-0.2842 -0.4547 -0.4547-0.4547 -0.2842 -0.4547-0.4547 -0.4547 -0.2842
Elementos de Algebra Lineal - 2011 327
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7.1-INTRODUCCIONSea A Mn(R), el número real λ es un autovalor de A (o valor propio) si existe
un vector x ≠0, tal que A x = λ x. Todo vector no nulo que satisfaga esta relación sedenomina autovector de A (o vector propio) asociado al autovalor λ .
Un autovector sólo está asociado a un autovalor: En efecto , si x es unautovalor de A asociado a λ 1 y λ 2, entonces: A x = λ 1x = λ 2x (x≠0) λ 1 = λ 2.
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Ahora, un autovalor tiene asociados infinitos autovectores.
Es decir, si x es un autovector correspondiente a λ también µx es unautovector correspondiente a λ . De hecho todos los vectores del subespacioN(A−λI ),excepto el vector nulo, son autovectores correspondientes a λ .
Se puede esbozar la definición: si λ es un autovalor de una matriz A Mn(R), el
subespacio N(A−λI ) se denomina subespacio propio de A asociado al autovalorλ ,y se denota por VA(λ) o V (λ ).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 329
Una norma . 2 en Cmxn
se dice que es unitariamente invariantes si∀ y para todo par de matrices unitarias U ε C mxm y V ε C nxn se cumple que = los valores singulares son el resultado de la búsqueda de una formade reducir las formas cuadráticas a forma diagonal mediante cambios de baseortonormales.
Una hiperelipse es la generalización a m dimensiones de una elipse.
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Podríamos definirla como la superficie que se obtiene al estirar o comprimirla esfera unidad en m direcciones ortogonales por factores σ1, σ 2,. . . , σ m (posiblemente cero). Es decir, si se fijan m vectores ortonormales u1, . . . , um ε Fm,
los vectores σ 1u1,. . . , σ mum son los semiejes de la hiperelipse con longitudes σ1, σ 2,. . . , σ m.
Si − / 1 es la esfera unidad y A ε F mn_ entonces A(Sn-1) es una hiperelipse. La Figura representa el caso n = m=2 y F= R
Elementos de Algebra Lineal - 2011 330
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Las matrices transforman esferas en elipses
Qué significa esto términos de matrices. Supongamos que la matriz de laaplicación lineal es A ε F mxn y que, por sencillez, r(A)=n≤ m. Notemos que, comoaplicación lineal, A : F n → F m.
Como hemos mencionado, la hiperelipse queda determinada, en principio,por m vectores ortonormales {u1, . . . , um } y las correspondientes longitudes de los
semiejes σ1, σ 2,. . . , σ m que los vamos a suponer ordenados de forma que σ 1≥ σ 2 ≥. . . ≥ σ m
Elementos de Algebra Lineal - 2011 331
Así σ iui es el i-ésimo semieje más largo de A(S n-1
) . Entonces, para i=1,..,mσiuiε A(Sn-1) pero como los vectores {u 1 , . . . , u m } son ortonormales, y por lo tantoson linealmente independientes, si r(A)=r debe haber como máximo r vectores σ iui linealmente independientes.
De todo ello se sigue que hay r de los σ i
que son distintos de cero. Es decir, sila hiperelipse es la imagen por A de la esfera unidad, debe estar en ImA de formaque sólo puede contener r vectores linealmente independientes. Finalmente sean
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{v 1 , . . . , v n } de Sn-1, las anteimágenes de los semiejes no nulos de la hiperelipse:Av i = σ i u i , i=1,… , r.
Por ahora admitamos que los vectores vi son ortogonales (y, por lo tanto,ortonormales porque estan en la esfera unidad).
La condición Av i = σ i u i , i=1,… , r , se puede escribir en forma matricial:
Si escribimos 1, . . . , y , … , tenemos que =⅀ con⅀=diag(σ1, σ 2,. . . , σ r ) siendo y matrices cuyas columnas son vectores ortonormales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 332
Si escogemos base ortonormal de KerA y que sean ortogonales a los depodemos formar una matrix unitaria V=[ ] que es unitaria y AV = [⅀ 0],
entonces: A= [⅀ 0]V *=⅀*
A esta factorización de A se le llama Descomposición en Valores Singulares
Reducida de A, SVD reducida de A.
Definimos: Sea m, n enteros positivos y A ε Cmxn. Una descomposición en valores
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, p y psingulares (completa) de A es una factorización A=U⅀ V * donde: U ε C mxm y V ε C nxn
son unitarias y
⅀ es diagonal. Además,
, … , 0−∗ , … , 0∗− si m ≧ nsi n ≧
Elementos de Algebra Lineal - 2011 333
En cualquier caso, σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ p ≥0, p=mín{m.n} son números realesno negativos ordenados de mayor a menor y se llaman valores singulares de A.
Además, a los vectores u 1 , . . . , u m y v 1 , . . . , v n que forman las columnas de U y V se les llama vectores singulares de A por la izquierda y por la derecha,respectivamente.
Si A ε R mxn sólo cambia “matriz unitaria” por “matriz ortogonal”.
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Quedando establecido de manera rigurosa que tal descomposición es siempreposible y que los valores singulares están determinados de forma única por A.
Lema : Toda matriz A ε F mxn admite una descomposición en valores singulares. Además, los valores singulares están determinados de forma única, y, si A es cuadrada y susvalores singulares son todos distintos, entonces los vectores singulares están tambiéndeterminados de forma única excepto producto por un número complejo de módulo 1.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 334
7.2-FORMAS CUADRATICASSe había visto que una matriz A es simétrica si At=A, necesariamente
cuadrada
De la condición de simetría de A, también se mencionó que implicaba que
cualesquiera dos vectores propios de espacios propios son ortogonales, y lacondición de simetría de A(nxn) era indispensable para la diagonalización
t g l
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ortogonal.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 335
Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n
→ R que a cada vector x =(x 1 , x 2 , · · · , x n ) ∈ R n le hace corresponder un número real dado por: q (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = a 11x 21+a 22x 22 +· · · +a nn x 2n +2a 12x 1x 2+· ·
· +2a 1n x 1x n +· · · +2a n- 1n x n - 1n x n
con aij ∈ R , ∀ i, j = 1, 2, · · · , n, y que corresponde a un polinomio homogéneo desegundo grado en las n variables x
1 , x
2 , · · · x
n .
Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de
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la forma:
, , … . , , , … . , … … … … … … X t A X
donde la matriz A asociada a la forma cuadrática, es una matriz simétrica de ordenn cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los términoscuadráticos de la expresión polinómica, y los restantes elementos de la matriz son
la mitad de los coeficientes de los términos no cuadráticos de dicha expresión.Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la formacuadrática, permite obtener facilmente cada una de ellas a partir de la otra.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 336
Ejemplo La forma cuadráticaq
: R
2
→
R cuya expresión polinómica esq( x, y
)= 3 x2 − 6 xy + y2 tiene por expresión matricial: , ( , ) 3 33 1
7.3-EXPRESION DIAGONAL DE UNA FORMA CUADRATICA
Una expresión diagonal o canónica de una forma cuadrática q : R n → R vienedada por: 0
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, , … . , ⋯ , , … . , … 0… … …0 …
…
es decir, la expresión polinómica sólo contiene términos cuadráticos y la matrizasociada es diagonal.
Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que esla que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas
condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 337
Lema: Para toda forma cuadrática q : R n
−→ R , con A su matriz asociada, y λ1, λ2, · · · , λn los autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por q( x1, x2, · · · , xn) = λ1 x
211 + λ2 x
22 + · · · + λn x
2n.
Ejemplo. Sea la forma cuadrática q : R 3 → R dada por:
q( x, y, z) = 3 x2 + 3y2 + 5z2 − 4 xy = ( x, y, z) 3 2 02 3 00 0 5
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0 0 5 La matriz asociada A tiene los autovalores λ1 = 1, λ2 = λ3 = 5 por lo que una
expresión diagonal de q es q( x, y, z) = x2
+ 5y2
+ 5z2
.
Lema de Jacobi: Sea una forma cuadrática q : R n → R , A su matriz asociada,D1,D2, · · · ,Dn los menores principales de A(los formados con las i primeras filas y las iprimeras columnas) y r ( A) = r ≤ n. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadráticaq viene dada por:
q( x1, x2, · · · , xn) = D1 x21 +(D2/D1) x2
2 + · · · +(Dr/Dr- 1) x2r ,siempre que D1 = 0,
D2 = 0, · · · ,Dr = 0.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 338
Ejemplo: Sea q la forma cuadrática del ejemplo anterior: Los menoresprincipales son D1 = 3,
2 3 2
2 3 , 3 3 2 0
2 3 00 0 5=25
Como r ( A) = 3 y los tres menores principales son distintos de cero, laexpresión diagonal de Jacobi es:
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,expresión diagonal de Jacobi es:
q( x, y, z) = 3 x2 +(5/3)y2 +(25/5)z2 = 3 x2 +5/3y2 + 5z2.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 339
7.3.1- TIPOS DE FORMAS CUADRATICASSea q : R n→ R una forma cuadrática y x = ( x1, x2, · · · , x n) ∈ R n. Se dice que:
q( x) es definida positiva si q( x) > 0, ∀ x ∈ R n, x = 0.
q( x) es definida negativa si q( x) < 0, ∀ x ∈ R n, x = 0.
q(x) es semidefinida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn y ∃u = 0 : q(u) = 0
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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q( x) es semidefinida positiva si q( x) ≥ 0, ∀ x ∈ R , y ∃ u = 0 : q( u) = 0.
q( x) es semidefinida negativa si q( x) ≤ 0, ∀ x ∈ R n, y ∃ u = 0 : q( u) = 0.
q( x) es indefinida si ∃ u, v ∈ R n
: q( u) > 0, q( v) < 0.
Por ejemplo ,la forma cuadrática q( x, y) = ( x − y)2 es semidefinida positiva puesq( x, y) ≥ 0 ∀ ( x, y) ∈ R 2 y q( x, x) = 0.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 340
En término de autovaloresSea q : Rn → R una forma cuadrática y λ1, λ2, · · · , λn los autovalores de su
matriz asociada. Se verifica:
q( x) es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos.
q( x) es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos.
q(x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos
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q( x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos.
q( x) es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos ynulos.
q( x) es indefinida si y sólo si los autovalores de A son positivos y negativos.
O de la forma:
Sea q : Rn → R una forma cuadrática, A su matriz asociada,
Di : 1 ≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = r(A).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 341
7.3.2-ESTUDIO DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRATICA REAL DE N VARIABLES
Es común que éstas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o loque es lo mismo, que el vectorx pertenezca a algún subespacio de R n. Por tanto,interesa clasificar la forma cuadrática en el subespacio en el que están restringidas
las variables.
Sean q : Rn → R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de Rn.
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Sean q : Rn R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de R .
q restringida a E es definida positiva si q(
x) > 0,
∀ x
∈E,
x =
0.
q restringida a E es definida negativa si q( x) < 0, ∀ x ∈ E, x = 0.
q restringida a E es semidefinida positiva si q( x) ≥ 0, ∀ x ∈ E, y ∃u ∈ E,u = 0 : q(u) = 0.
q restringida a E es semidefinida negativa si q(
x) ≤ 0,
∀ x
∈E, y
∃u
∈E,
u = 0 : q(u) = 0..
q( x) es indefinida si ∃u, v ∈ E : q(u) > 0, q( v) < 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 342
Veremos como nos ayudamos con Matlab para una aplicación de las formascuadráticas.
Una forma cuadrática en Rn es una aplicación q : R nx R n → R ; cuyos valores seobtienen mediante una fórmula del tipo q( X ) = XT AX; siendo X = (x1,
…, xn)T y
A Ɛ M n
, una matriz simétrica, es decir, A cumple la condición A = AT
O sea debemos hallar un cambio de variable o de baseX PY ( )T l l PT AP D d
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X = PY , Y = (y 1 ; ; y n ) T, para el cual se tenga que PT AP = D, siendo matrizdiagonal
La nueva forma cuadrática Y T DY no tendrá productos cruzados, (, 0 , ≠ ) y será una suma que sólo tiene términos cuadrados, ∝ , la diagonal principal de D serán los coeficientes ∝, … , ∝
Elementos de Algebra Lineal - 2011 343
Sea X=(x 1 ,… ,x 4 ) t
, nos piden clasificar la forma cuadrática 2 6 9 9 4 4 4
empleando diagonalización ortogonal y transformaciones elementales.
Escriba la nueva forma cuadrática.
L i i d A [ 2 2 2 2 2 6 0 0 2 0 9 3 2 0 3 9)
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La matriz asociada a q es A=[- 2 2 2 2;2 -6 0 0;2 0 -9 3;2 0 3 -9)
Si
,es el producto cruzado
, entonces las entradas
(i,j) y (j,i) de A= (a i,j )son ∝,∝, , /2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 344
Calculamos autovalores y autovectores aplicando el comando eig>>A=[-2 2 2 2; 2 -6 0 0;2 0 -9 3;2 0 3 -9];
>>format rat
>>[P,D]=eig(A)P =
Columns 1 through 3* -1/2 *
/ /
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* 1/2 881/1079
985/1393 1/2 -881/2158
-985/1393 1/2 -881/2158
Column 4
-1170/1351
-390/1351-390/1351
-390/1351
Elementos de Algebra Lineal - 2011 345
D =Columns 1 through 3
-12 0 0
0 -8 0
0 0 -60 0 0
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Column 4
0
0
0*
Elementos de Algebra Lineal - 2011 346
el asterisco * signica que se trata de números muy pequeños,menores que < 1:0e– 15/2, que pueden ser considerados iguales a cero y que el formato
RATIONAL no les encuentra una representación adecuada como cociente de
enteros.
La matriz P es ortogonal hasta donde la precisión lo permite. En efecto P P T =
P T P = I 4 , tal como lo muestra Matlab
P*P‘
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>>P*P‘
ans =
Columns 1 through 3
1 0 *
0 1 *
* * 1* * 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 347
Column 4
*
*
0
1
>> P'*P
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>> P'*P ans =
Columns 1 through 3
1 * *
* 1 *
* * 1* * *
Elementos de Algebra Lineal - 2011 348
Column 4
*
*
*
1
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 349
Las columnas de P forman una base ortonormal de autovectores de A
La matriz P es la matriz del cambio de variable X = P Y, que permite obteneruna representación de q como suma de cuadrados.
8 6 12
La forma cuadrática es semidefinida negativa, conclusión a la cual tambiénpodemos llegar con solo mirar a la matriz diagonal D
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podemos llegar con solo mirar a la matriz diagonal D
Las coordenadas ( y1; … , y4 ) son las correspondientes a la base formada por
las columnas de P = [C1; …; C4 ]. Cuando escribimos q(Y) estamos significandoque evaluamos q en el vector V
V = y1C1 + … + Y4c4
Hemos utilizado una de las formas de obtener una suma de cuadrados, através de la diagonalización ortogonal de A, siendo las otras alternativasmeediante transformaciones elementales por filas y columnas manteniendo lasimetría y/o completando cuadrados perfectos (Lagrange)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 350
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INTRODUCCIONUn vector (en Geometría) es un ente geométrico definido por un segmento
orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadasmagnitudes vectoriales. Otra definición (ligada a la Mecánica) es la de unacantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Desde la visión matemática,elemento de un espacio vectorial (como se ve en el capítulo de Espacios vectoriales). Entonces, en Mecánica, una magnitud es vectorial cuando quedad fi id did ( ód l ) di ió id
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definida por su medida (módulo), dirección y un sentido.
Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos limitados
en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud delsegmento; su dirección por la recta a que pertenece y su sentido por la punta dela flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 352
Tipos de vectoresLos vectores en general pueden ser:
Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puedetrasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo
y sentido y mantenga paralela su dirección.
Ej. momento de un par.
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Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un
vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación.Ej. la fuerza aplicada a un sólido
Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campogravitatorio en un punto dado.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 353
Comparativamente pueden ser:
Vectores equipolentes.- Son los que tienen igual módulo, la misma direccióno direcciones paralelas y el mismo sentido. La equipolencia es una relación deequivalencia, que establece una partición del conjunto de los vectores en clases deequivalencia.
Vectores iguales.- Son los que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 354
Atendiendo a lo que representan pueden ser:
Vectores polares.- Son los que representan magnitudes físicas relacionadascon una traslación, como la velocidad lineal por ejemplo.
Vectores axiales.- Son los que representa magnitudes físicas ligadas a una
rotación, como el vector velocidad angular.
Fijado un sistema de referencia, se denominan componentes de un vector V
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Fijado un sistema de referencia, se denominan componentes de un vector V los valores de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de referencia,por ejemplo; Vx,Vy,Vz.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 355
RepresentaciónPara el estudio de cualquier fenómeno físico necesitamos un sistema de
referencia, la forma más simple empleada, es el de coordenadas cartesianasortogonales .
Inicialmente, podemos asociar un conjunto de puntos X con el conjunto delos números reales, lo que constituiría un sistema coordenado del espaciounidireccional formado por los puntos de X. Podemos enunciar que el par de
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números(x,y) que representen las coordenadas de un punto P en el plano, y lacorrespondencia biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de
puntos del plano XY es el sistema coordenado ortogonal del espacio bidimensionalconstituido por los puntos del plano. Por tanto, la terna ordenada de números
(x,y,z) que representan las coordenadas de un punto P en el espacio, y lacorrespondencia biunívoca de ternas ordenadas de números con el conjunto depuntos del espacio XYZ es el sistema coordenado ortogonal del espacio tridimensional delos puntos del espacio
Elementos de Algebra Lineal - 2011 356
P(x,y,z)
N
R Z
Gráficamente
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y
O
X
M
Elementos de Algebra Lineal - 2011 357
Convenimos llamar triedro trirrectangulo positivo o dextrogiro elrepresentado en la figura.
Operaciones fundamentales; suma y diferencia de vectores
Adición de vectores
Sumar o componer dos o más vectores es hallar otro vector resultante cuyascomponentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectores
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componentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectoressumados.
Gráficamente se pueden sumar vectores usando la ley del paralelogramo.
Propiedades de la suma de vectores Conmutativa: a + b = b + a
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Sustracción de vectores
Se cambia de sentido uno de ellos y se suman.a - b = a + (-b)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 358
Por el Teorema de los cosenos deducimos:
2. . . cos 180 2..cos 2...
O también sumando las componentes cartesianas, situando el eje x en b tendremos:
A C
D B O
a
y
x
1 8 0
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2 2 , 2 2 , , .
2
2
2
2 . . luego;
2 2 2 2 . . 2 2...
( )
El ángulo
será:
O aplicando el teorema de los senos: 90 . 1 ( )
Elementos de Algebra Lineal - 2011 359
Forma trinómica y vectores unitariosEn el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas
(x,y,z).
Definimos lo mismo mediante un vector r = r (x,y,z) llamado vector de
posición, a la terna ordenada de números (x,y,z) los llamamos componentescoordenados del vector. Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tresnúmeros cambian a(x´,y´,z´), sin embargo, el vector r es el mismo en ambos
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números cambian a(x ,y ,z ), sin embargo, el vector r es el mismo en ambossistemas, es decir la definición de vector permanece invariable o independiente delsistema de coordenadas elegido.
En un sistema coordenado ortogonal X, Y, Z como en el de la figura, y dándole carácter vectorial a las proyecciones ortogonales, x, y, z; de r sobre losejes, se escribe.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 360
Forma trinómica y vectores unitarios.
r=x + y + z
Las componentes x, y, z, tienen de modulo:
Los cosenos de ángulos que forma r con cada uno de los ejes se les
x=r cos x y=r cos x=r cos y
P(x,y,z) y
Z
O
X
r= x+ y + z
y
z
x
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Los cosenos de ángulos ,,, que forma r con cada uno de los ejes se lesllama cosenos directores.
El modulo de r (diagonal del paralelepipedo construido con x, y, z comolados) es:
Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos:
. >
r=
1
Elementos de Algebra Lineal - 2011 361
Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A (x,y,z) y de suextremo B(x´,y´,z´), entonces las componentes coordenadas del vector AB serán:
Z
B(x’, y’ ,z’)
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X
O Y
A(x, y ,z)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 362
(x´- x, y´- y, z´- z).
Tendremos:X = x´- x
Y = y´- y escribiremos: AB = X + Y + Z
Z = z´- z
Como vector unitario (o versor)se significa todo vector de módulo unidad,por tanto; el vector unitario en una dirección se obtiene dividiendo cualquier vector en esa dirección por su módulo.
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Si las componentes de un vector v son x , y , z, su ecuación vectorial será:
v = x + y + z
Llamando i, j, k, a los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes,se verificará:
x = x i, y = y j, z = z k;siendo
x, y, z ,los módulos de
x, y, z.Sustituyendo en la
ecuación vectorial tendremos: v = x i + y j + z k
Elementos de Algebra Lineal - 2011 363
Al ser los cosenos directores:
cos = x/v, cos = y/v, cos = z/v,
el vector unitario en la dirección de v será:
Z
v=x i+y j+z k
( )
z
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e = x/v i + y/v j v + z/v k = cos i + cos j + cos k
Y
X
i
x
f
k
o y
v (x, y, z)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 364
A plicacionesen MATLAB
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en MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
Variables vectoriales
Para el ingreso de vectores desde la ventana de comandos
V=[v1,v2,v3,…, vn] o V=[v1 v2 v3 … vn]
Así >>vector1=[1,4,9,3,1/2]
vector1 =
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1.0000 4.0000 9.0000 3.0000 0.5000
la raíz cuadrada de tal vector se calcula como:
>>sqrt(vector1)ans =
1.0000 2.0000 3.0000 1.7321 0.7071
Elementos de Algebra Lineal - 2011 366
formas de definir una variable vectorial en forma comprensiva: Variable=[a,b] Define el vector cuyos primeros y últimos
elementos son a y b, los intermedios sediferencian en una unidad
Variable=[a.s:b] Primer y último elementos a y b, los intermediosse diferencian en s
Variable=linespace[a,b,n] Primer y último elementos a y b, y tiene en total
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 368/489
n elementos igualmente espaciados entre sí
Variable=logespace[a,b,n] Primer y último elementos a y b, y tiene en totaln elementos en escala logarítmica igualmenteespaciados entre sí
Elementos de Algebra Lineal - 2011 367
>>vector3=[10:30]
vector3 =
Columns 1 through 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
Columns 20 through 21
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 369/489
30
Elementos de Algebra Lineal - 2011 368
–representar vector columna: separar sus elementos por punto y coma,
>>a=[10;14;21;15]a =
1014
2115
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 370/489
o transponiendo
>>a=(10:14);b=a ’ b =
101112
1314
Elementos de Algebra Lineal - 2011 369
- Cómo seleccionar un elemento de un vector o un subconjunto de elementos?
x(n) Da el enésimo elemento de x
x(a:b) Da los elementos ubicados entre el a-esimo y el be-simo,incluyendo ambos
x(a:p:b) Da los elementos ubicados entre el a-simo y el b-simo, incluyendo
ambos, separados de p en p unidades
x(b:-p:a) Da los elementos ubicados entre el b-simo y el a-simo,incluyéndolos, separados de p en p empezando por el b-simo(b>a)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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>>vector1=(2:3:9)
vector1 =2 5 8(puede ir o no el paréntesis)Equivalentemente, si lo que conocemos del vector es que la primera coordenada vale 0, la última 20 y que tiene 11 en total, se escribe:
>>vect2=linspace(0,20,11) vect2 =0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
incluyéndolos, separados de p en p empezando por el b simo(b>a)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 370
A las coordenadas de un vector se accede sin más que escribir el nombre del vector y, entre paréntesis, su índice:
>>vect2(3)ans =
4
y se pueden extraer subvectores, por ejemplo:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 372/489
>>vect2(2:5)ans= % linea de (-1, 1, 1) a (0, 0, 0)
a = -1 : .1 : 0;b = 1 : -.1 : 0;c = b;
plot3(a, b, c)
2 4 6 8
Graficar un vector(falta hacer)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 371
Productos
Un vector fila y un vector columna de igual dimensión se pueden multiplicaren cualquier orden dando un escalar (producto interno) o una matriz (exterior),así:
>>u = [3; 1; 4];>>v = [2 0 -1];>>x = v*ux = 2
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 373/489
x = 2
o
>>X = u*v
>>X =6 0 -3
2 0 -18 0 -4
Elementos de Algebra Lineal - 2011 372
El ángulo entre ellos:
theta = acos(dot(a,b)/(norm(a)*norm(b)))theta =
0.2257
>> 360*theta/(2*pi)ans =
12.9332
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 374/489
Para obtener el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores
a y b.
>> area = norm(a)*norm(b)*(sin(theta))^2area =
1.6447
Elementos de Algebra Lineal - 2011 373
El producto cruz se obtiene de la forma:
>>a = [1 2 3];>>b = [4 5 6];>>c = cross(a,b)
c =
-3 6 -3
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 375/489
Con ambos productos se puede calcular el producto mixto
>> a=[ 1 2 3];>> b=[1 -1 4];>> (cross(a,b)*(a'*b))
ans =
0 0 0
Elementos de Algebra Lineal - 2011 374
Para vectores complejos, los dos productos escalares x'*y and y'*x sonconjugados complejos de cada uno y el producto x'*x es un real (x’ es eltranspuesto).
Para complejos:
>>z = [1+2i 3+4i]>>z’ 1-2i
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3-4i y
>>z %' es1+2i3+4i
Elementos de Algebra Lineal - 2011 375
Anexo 1 -
Introducción básica sobreMATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 377/489
MATLAB
Elementos de Algebra Lineal
¿QUE ES MATLAB?
MATLAB es un lenguaje de programación funcional, específicamente
diseñado para el Cálculo Numérico, representando en la práctica por un
conjunto de herramientas.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 378/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 377
¿QUE ES MATLAB?
Matlab = Matrix Laboratory .
Programa comercial de The Mathworks Inc
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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(Natick, MA). http://www.mathworks.com
Creado en California por Jack Little and Cleve Moler en 1984, pararealizar cálculo matricial en ordenadores sin necesidad deconocimientos de programación.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 378
¿QUE ES MATLAB?
Sistemas operativos donde MATLAB corre
Unix
Linux
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 380/489
Solaris
MacOS Windows
Elementos de Algebra Lineal - 2011 379
¿POR QUE ELEGIR MATLAB?
Existe un uso generalizado de MATLAB en Ingeniería, es una herramienta de gran
popularidad y es útil para una carrera profesional. Esto lo ha convertido en unestándar de-facto para la escritura de pequeños programas de simulación.
“De facto: Se usa en la expresión latina de facto que significa 'por hechos‘”
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 381/489
De -facto: Se usa en la expresión latina de facto, que significa por hechos
Elementos de Algebra Lineal - 2011 380
¿POR QUE ELEGIR MATLAB?
MATLAB cuenta con una extensa biblioteca de funciones que cubren
casi todas las disciplinas de la Ciencia y la Ingeniería extensamentedocumentada y de fácil uso.
Por lo general los programas de alto nivel no ofrecen acceso fácil para la
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 382/489
Por lo general, los programas de alto nivel no ofrecen acceso fácil para la
graficación, que es una aplicación en la que destaca MATLAB.
MATLAB es óptimo para cálculos matriciales.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 381
DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN
‰ Teoría de control
‰ Tratamiento de señales
‰ Inteligencia artificial
‰ D d d
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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‰ Diseño de sistemas de potencia
‰ Control de procesos mecánicos, de aviación, automoción
‰ Financiero
‰ Mapeo y tratamiento de imágenes
‰ Instrumentación y adquisición de datos
‰ Identificación de sistemas
Elementos de Algebra Lineal - 2011 382
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 383
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 384
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 385
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 386
ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 387
EL ENTORNO DE MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 389/489
Ventana de comandos
Ventana del área de trabajo
Historial de comandos
Directorio de trabajo
Elementos de Algebra Lineal - 2011 388
VENTANA DE COMANDOS (COMMAND WINDOW)
El empleo de la ventana de
comandos le permite guardar los
valores que calcule, mas no los
comandos que usó para generarlos.
Si desea guardar la secuencia de
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 390/489
Si desea guardar la secuencia de
comandos, necesitará emplear la
ventana de edición para crear un
archivo-m (m-file).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 389
VENTANA DE HISTORIA DE COMANDOS(COMMAND HISTORY)
La ventana de historia de
comandos registra los comandosque se escriben en la ventana de
comandos. Cuando sale de
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 391/489
MATLAB, o cuando escribe el
comando clc (clear), la ventana decomandos se limpia.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 390
CONSIDERACIONES DE LA VENTANA HISTORIA DECOMANDOS
La ventana de historia de comandos conserva una lista de todos sus
comandos. También puede limpiar la historia de comandos con el menúedit. Si trabaja en una computadora pública, entonces, como medida de
seguridad, las opciones de MATLAB por defecto se pueden establecer de
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 392/489
modo que limpie la historia cuando salga del programa.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 391
IMPORTANCIA DE LA VENTANA HISTORIA DECOMANDOS
Porque permite revisar sesiones anteriores de MATLAB
Para la transferencia de comandos a la ventana de comandos.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 392
VENTANA DEL ÁREA DE TRABAJO (WORKSPACE)
La ventana del área de trabajo le
mantiene informado de las variablesque usted define conforme ejecuta
comandos en la ventana de
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 394/489
comandos.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 393
VENTANA DE DOCUMENTO (DOCUMENT WINDOW)
Hacer doble clic sobre cualquier variable mencionada en la ventana del área
de trabajo lanza automáticamente una ventana de documento que contiene el
Array Editor (editor de arreglos).
L l l l i bl d li f d
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Los valores que se almacenan en la variable se despliegan en un formato de
hoja de cálculo.
Puede cambiar los valores en el editor de arreglos o puede agregar nuevos
valores.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 394
VENTANA DE DOCUMENTO (DOCUMENT WINDOW)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 395
VENTANA DE DIRECTORIO ACTUAL (CURRENTDIRECTORY)
La ventana de directorio actual
lista todos los archivos en unacarpeta de la computadora llamada
directorio actual.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 397/489
El directorio actual se puede
cambiar al seleccionar otrodirectorio de la lista desplegable
que se ubica junto a la lista de
directorio o al navegar entre los
archivos de su computadora.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 396
VENTANA DE DIRECTORIO ACTUAL (CURRENTDIRECTORY)
La ventana de directorio actual
lista todos los archivos en unacarpeta de la computadora llamada
directorio actual.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 398/489
El directorio actual se puede
cambiar al seleccionar otrodirectorio de la lista desplegable
que se ubica junto a la lista de
directorio o al navegar entre los
archivos de su computadora.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 397
ARCHIVOS *.m DE MATLAB
Un archivo *.m de MATLAB, no es más que un archivos de texto ASCII, conla extensión *.m, que contienen definiciones de funciones o conjuntos de
comandos que MATLAB puede interpretarlos y ejecutarlos; similar a losarchivos de código fuente de C o Pascal.
( )
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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nro = input('Ingrese un número positivo: ');
if nro==1 disp('Ud. ingreso 1');
elseif nro==2 disp('Ud. ingreso 2');
else disp('El número es mayor que 2');
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 398
ARCHIVOS *.m DE MATLAB
MATLAB permite que utilicemos cualquier editor (edit de DOS, Word,
Notepad, etc.), para la creación de estos archivos *.m y su posterior ejecución
en MATLAB, ya que los archivos *.m son sólo de archivos de texto con
extensión *.m como lo dijimos anteriormente.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 400/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 399
EL EDITOR DE MATLAB
El editor de MATLAB permite crear, modificar archivos *.m, conjuntamente
como ejecutarlos, ejecutarlos paso a paso; con el fin de realizar el proceso de
Debug o depuración. De la misma manera que otras características que
iremos viendo.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 401/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 400
EL EDITOR DE MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 402/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 401
El editor muestra con diferentes colores los diferentes tipos o elementos de la
sintaxis. (en verde los comentarios, en azul las cadenas de caracteres, etc.). El
editor además indica que las comillas o paréntesis que se abren se cierren
correctamente
EL EDITOR DE MATLAB
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 402
LA BARRA DE HERRAMIENTAS ESTANDAR
Abrir nuevo M-file archivo Abrir nuevo M-file existente
Guardar M-file existentePegar
Copiar Cortar
Paso, ejecuta la linea actual
Paso a paso, ejecutar la línea actual del M-archivo Paso salida, ejecuta las llamadas a funciones osubrutinas
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Deshacer
Ir a una funcionImprimir Rehacer
Buscar
Sale del modo depuracion
Continue, Reanuda la ejecución del M-archivo hasta lafinalización o hasta un punto de interrupción.
Asigna/Limpia un punto de interrrupcion
Depurar , Limpiar puntos de interrupción en todos los archivos
Elementos de Algebra Lineal - 2011 403
DECLARACION DE VARIABLES
En MATLAB , una variable consiste en una matriz de unas dimensionesdadas. En cuanto al tipo de variables a utilizar puede ser: entero, real,
complejo, carácter, etc.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 405/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 404
En MATLAB no se requiere ningún tipo de declaración de variables sino que, una vezque se utiliza una variable, MATLAB crea la respectiva variable reservando el espacio
de memoria necesario y declarando su tipo de dato a partir del dato asignado. Por tanto, si la variable ya existe, MATLAB únicamente cambia su contenido.
syms x
DECLARACION DE VARIABLES
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 406/489
syms x
Elementos de Algebra Lineal - 2011 405
DECLARACION DE VARIABLES
Una variable de MATLAB puede cambiar su tipo de dato varias veces en una mismasesión de MATLAB o en su ejecución, la forma de cambiar su tipo es simplemente
cambiándole el valor asignado a la variable.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 406
DECLARACION DE VARIABLES
En lo que se refiere a la nomenclatura de las variables. MATLAB distingueentre mayúsculas y minúsculas
(“Variable” es distinto de “variable”) permitiendo nombres de variables quecontengan al menos una letra.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 407
DECLARACION DE VARIABLES
Los cálculos que no se asignan a una variable en concreto se asignan a la variable derespuesta por defecto que es ans (del inglés, answer):
>>2+3 ans =
5
Sin embargo si el cálculo se asigna a una variable el resultado queda guardado en
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 409/489
Sin embargo, si el cálculo se asigna a una variable, el resultado queda guardado enella:
>>x=2+3
x=5
Elementos de Algebra Lineal - 2011 408
DECLARACION DE VARIABLES
Para conocer el valor de una variable, basta teclear su nombre:
>>x
x=5
Si se añade un punto y coma (;) al final de la instrucción, la máquina no muestra larespuesta
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 410/489
respuesta...
>>y=5*4;
Pero no por ello deja de realizarse el cálculo, lo que sucede es que no muestra suresultado.
>>y
y =
20
Elementos de Algebra Lineal - 2011 409
DECLARACION DE VARIABLES
Para obtener información sobre variables que se están usando y sus dimensiones (si sonmatrices) en Workspace teclee
>> who>> whos (da más información)
Para eliminar alguna variable se ejecuta>> clear variable1 variable2
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http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 411/489
Si se quieren borrar todas las variables:
>> clear
Constantes características:
pi= , Inf= .
Números complejos: i=sqrt(-1) (sólo se puede usar i o j), z=2+i*4, z=2+4i
Cuidado con no usar luego ‘i’ como contador en un bucle trabajando con complejos.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 410
ALGUNOS TIPOS DE DATOS
FLOAT
LOGICAL
INTEGER
INT8
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INT8
INT16
INT32
INT64
Elementos de Algebra Lineal - 2011 411
ALGUNOS TIPOS DE DATOS
ENTEROS SIN SIGNOS
UINT8
UINT16
UINT32
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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UINT32
UINT64
BOOLEAN
STRING
Elementos de Algebra Lineal - 2011 412
CLASE DE DATOS ESTRUCTURAS
Una estructura (struct) es una agrupación de datos de tipo diferente bajo un
mismo nombre. Estos datos se llaman miembros (members) o campos(fields).
Por ejemplo, la estructura cliente puede contener los campos nombre (una
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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cadena de caracteres) y DNI (un número).
Elementos de Algebra Lineal - 2011 413
CLASE DE DATOS ESTRUCTURAS
En MATLAB, por ejemplo la estructura Cliente se crea creando un objeto de
dicha estructura. Para lo cual, no hace falta definir previamente el modelo opatrón de la estructura, sino una posible forma de hacerlo es crear uno a
uno los distintos campos, como en el ejemplo siguiente:
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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>>Cliente.Nombre=‘ Andres’
Cliente =
Nombre: ‘ Andres’
Elementos de Algebra Lineal - 2011 414
VARIABLES GLOBALES Y LOCALES
El ámbito de una variable puede ser:
Local: cuando la variable sólo puede ser accedida por un subconjuntode instrucciones del programa como ser:
Un bloque condicional
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 416/489
q
Un bucle
Una función
Global: cuando la variable puede ser accedida por cualquier
instrucción del programa
Elementos de Algebra Lineal - 2011 415
IMPLEMENTACION DE UNA FUNCION
Una cualidad de MATLAB es la de permitir generar nuestras propiasfunciones para un problema específico que queramos resolver. De esta
forma ampliamos la potencia de MATLAB ya que estas nuevas funcionesadaptadas a nuestras necesidades se pueden utilizar del mismo modo quelas que ya tiene MATLAB predefinidas, como son por ejemplo, det, rank,sum
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 416
EJEMPLO DE FUNCION EN MATLAB
function x=diagonal(A)% x=diagonal(A)
% Devuelve un vector con la diagonal de A en orden inverso
% A : matriz
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 418/489
z
% x : vector de la diagonal de A reordenada
n=size(A,1); % # filas de A
x=diag(A);
x=x(n:-1:1); % reordenamos
Elementos de Algebra Lineal - 2011 417
TOOLBOX
Librerías de funciones MATLAB asociadas a diferentes áreas como ser:
Inteligencia artificial
Financieras
P d
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 419/489
Procesamiento de imágenes
Procesamiento de señales
Elementos de Algebra Lineal - 2011 418
TOOLBOX
En MATLAB: Start->Toolboxes
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 419
ALGUNOS TOOLBOXES
Frequency Domain System Identification Toolbox
Fuzzy Logic Toolbox
Higher Order Spectral Analisys Toolbox
Image Processing Toolbox
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Model Predective Control Toolbox
Mu Analisis and Synthesis Toolbox
NAG Foundation Toolbox
Neural Network Toolbox
Elementos de Algebra Lineal - 2011 420
ALGUNOS TOOLBOXES
Nonlinear Control Design Toolbox
Optimization Toolbox
Quantitative Feedback Theory Toolbox
Signal Processing Toolbox
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Spline Toolbox
Statistics Toolbox
Symbolic Math Toolbox
System Identification Toolbox.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 421
ALGUNOS TOOLBOX
IMAGE PROCESSING TOOLBOX
Es un amplio conjunto de algoritmos estándar y herramientas gráficas
para el procesamiento de imágenes, análisis, visualización y desarrollo
de algoritmos.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Se puede realizar la mejora de la imagen, reducción de ruido, la
segmentación de imágenes, transformaciones espaciales etc.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 422
ALGUNOS TOOLBOX
IMAGE PROCESSING TOOLBOX
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 424/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 423
ALGUNOS TOOLBOX
NEURAL NETWORK TOOLBOX
Proporciona herramientas para el diseño, implementación, visualización
y simulación de redes neuronales.
Las redes neuronales se utilizan para aplicaciones en el análisis
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 425/489
p p
formal, como reconocimiento de patrones y la identificación de sistemas no
lineales y control.
Ejemplo reconocimientos de rostros, matriculas, controles de calidad etc.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 424
ALGUNOS TOOLBOX
NEURAL NETWORK TOOLBOX
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 425
ALGUNOS TOOLBOX
STATISTICS TOOLBOX
Proporciona un conjunto completo de herramientas para evaluar y
entender los datos. Incluye funciones y herramientas interactivas para el
modelado de datos, análisis de tendencias históricas, la simulación de
sistemas desarrollo de algoritmos estadísticos el aprendizaje y la enseñanza
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 427/489
sistemas, desarrollo de algoritmos estadísticos; el aprendizaje y la enseñanza
de la estadística.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 426
ALGUNOS TOOLBOX
STATISTICS TOOLBOX
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 428/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 427
Anexo 2
Elementos de Algebra Lineal
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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consec.m
function A=consec(n)
% El comando A=consec(n) genera una matriz nxn cuyas entradas son los %enteros
consecutivos de 1 a n^2.%La primera fila será [1, 2, ..., n], la segunda [n+1, n+2, ..., 2n], etc.
%Así consec(3) generará
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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( ) g
%% 1 2 3
% 4 5 6
% 7 8 9
A=reshape([1:n^2],n,n)';
Elementos de Algebra Lineal - 2011 429
homsoln.m
HOMSOLN encuentra la solución general de un sistema homogéneo deecuaciones.
Devuelve un conjunto de vectores básicos para el espacio nulo de Ax = 0.
Se emplea
--> ns = homsoln(A) <--
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Si hay un segundo argumento se muestra la solución generalSe emplea la forma
--> homsoln(A,1) <--
Esta opción supone que la solución general tiene como máximo constantesarbitrarias.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 430
lincomb.m
Combinación lineal m de varias matrices del mismo tamaño.
Coeficientes v = {v 1 ,v 2 ,… ,v m } de la combinación lineal y las matrices
A = {A1 ,A2 ,...,Am } deben ingresarse como celdas.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 431
lincomb.m
function M = lincomb(v,A)
% Combinación lineal M de varias matrices del mismo %tamaño.
% Coeficientes v = {v1,v2,…,vm} de la combinación %lineal y las
% matrices A = {A1,A2,...,Am} deben ingresarse como %celdas.
m = length(v);
[k, l] = size(A{1});
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 433/489
[k, l] size(A{1});
M = zeros(k, l);for i = 1:m
M = M + v{i}*A{i};
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 432
lisub.m
Halla un subconjunto linealmente independientes de vectores.
Si code = 'r' los vectores son filas de A.
Si code = 'c' los vectores son las columnas de A.
La rutina devuelve un subconjunto linealmente independientes delconjunto original.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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j g
Usar --> S = lisub(A,'r') o lisub(A,'c') <--
Elementos de Algebra Lineal - 2011 433
lisub.m
function S = lisub(A,code)
%LISUB halla un subconjunto de vectores linealmente independientes.
% si code = 'r' los vectores son las filas de A.
% si code = 'c' los vectores son las columnas de A.
% Retorna% un subconjunto de vectores linealmente independientes
% del conjunto original.
%
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%
% se llama --> S = lisub(A,'r') o lisub(A,'c') <--%
Elementos de Algebra Lineal - 2011 434
lisub.m
err='ERROR: code no adecuado; segundo argumento debe ser ''r'' o ''c''';
if code=='r'
B=A';
elseif code == 'c'
B=A;else
disp(err)
return
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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end[m,n]=size(B);
B=rref(B);
l1=[];
Elementos de Algebra Lineal - 2011 435
lisub.m
for ki=1:m
z=find(B(ki,:)>0);
if isempty(z)==0,
l1=[l1 z(1)];
endend % l1 contiene la columna #s con ppal 1's
if length(l1)~=0
if code=='r'
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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S=A(l1,:); %filas de S son un subconjunto L.I.else
S=A(:,l1); %columnas de S son un subconjunto L.I.
end
else
S=[]; %devuelve matriz vacía sólo si A es la matriz cero
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 436
rowcomb.m
rowcomb(A,i,j,c) forma una matriz a partir de A sumando c veces la fila
i-ésima de A a la la fila j-ésima.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 437
rowcomb.m
function B=rowcomb(A,i,j,c)
% rowcomb(A,i,j,c) forma una matriz
% a partir de A sumando c veces la fila ith de A
% a la fila jth .
[m,n]=size(A);
if i<1|i>m|j<1|j>m
error('Indice fuera de rango')
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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( g )
endif i==j
error('operación de fila no permitida')
end
B=A;
B(j,:)=c*A(i,:)+A(j,:);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 438
rowscale.n
rowscale(A,i,c) multiplica la fila i de la matriz A por el escalar c y su salidaes la matriz resultante.
function B=rowscale(A,i,c)
% rowscale(A,i,c) multiplica% la fila i de matriz A por el escalar c
% y la salida de la matriz resultante.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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[m,n]=size(A);if i<1|i>m
error('Indice fuera de rango')
end
B=A;
B(i,:)=c*A(i,:);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 439
rowswap.m
rowswap(A,i,j) intercambia filas i y j de la matriz A mostrando la matrizresultante.
function B=rowswap(A,i,j)
% rowswap(A,i,j) intercambia% filas i y j de la matriz A devolviendo la matriz
% resultante.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 441/489
[m,n]=size(A);if i<1|i>m|j<1|j>m
error('Indice fuera de rango')
end
B=A;
B(i,:)=A(j,:);B(j,:)=A(i,:);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 440
solucion.m
solucion(A,b) usa el archivo rref de [A,b] para hallar una solución x de Ax = b como si se realizara manualmente.
function x = solution(A,b)
% SOLUTION(A,b) usa el archivo rref de [A,b] para hallar una solución x
% de Ax = b como si se realizara manualmente.
[R,jp] = rref([A,b]);
[m,n] = size(A);
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 442/489
r = length(jp);if jp(r) == n+1
x = [];
else
x = zeros(n,1);
x(jp) = R(1:r,n+1);end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 441
utristep.mfunction A = utristep(A,swcode,pivcode)
% Halla paso a paso la matriz triangular superior de
A.
% En cada paso se muestra un mensaje que describe la
%acción a tomar. Usted puede realizar la acción y
%ver el resultado o solicitar una explicación de la
% misma.
% Esta rutina es para matrices pequeñas y se
%utilizan para el desarrollo de habilidades en la
% bt ió d l f t i l i d
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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%obtención de la forma triangular superior de una
%matriz. Formato de pantalla racional o real, se
%puede elegir, así como una opción para forzar a
%los pivotes que sean 1.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 442
Acceso al archivo en cuestiónutristep.m
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 444/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 443
rrefstep.mfunction rrefstep(A)
% Halla la matriz en forma escalonada reducida de A
% En cada paso se muestra un mensaje que describe la
% acción que se debe tomar. Usted puede realizar la
% acción y ver el resultado o solicitar una
% explicación de la misma.
% Esta rutina es para matrices pequeñas y se utiliza
% para el desarrollo de habilidades en la obtención
% de la forma escalonada reducida por filas
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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% de una matriz.% El formato de visualización racional o real, se
% puede elegir.
Elementos de Algebra Lineal - 2011 444
Acceso al archivo en cuestiónrrefstep.m
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 446/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 445
dependencia.m
Dependence(A) determina si un conjunto de vectores columnas eslinealmente independiente o dependiente. Recibe una matriz "A" devolviendoun número la respuesta si las columnas de A son LI o LD
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 446
dependencia.m
Dependencia(A) determina si un conjunto de vectores columnas eslinealmente independiente o dependiente.
Recibe una matriz "A" devolviendo un número "c" igual a 1 si las columnas
de A son LI y 0 si ellas son LD
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 448/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 447
dependencia.m
%este programa determina si un conjunto de vectores
%columnas es linealmente
%independiente o dependiente. Recibe una matriz
%"A" devolviendo un número la respuesta si las
%columnas de A son LI o LD.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 448
dependencia.m
function [d]=Dependence(A)
C=rref(A);
m=length(diag(A(:,1)));
n=length(A(1,:));
if n>md=0;
else
s=sum(diag(C));
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 450/489
if n>sdisp('Los vectores son linealmente dependientes ')
else
disp('Los vectores son linealmente independientes ')
end
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 449
span.m
Span(v) prueba si el vector v está en el espacio generado por un conjunto de vectores. Debe ingresar la matriz del conjunto de vectores y luego averiguar si el vector deseado v está o no en el espacio generado por A,ej: span(v)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 450
span.m
function span(v, varargin)
% prueba si el vector v está en el espacio generado por un conjunto de
% vectores. Debe ingresar la matriz del conjunto de vectores y luego
% averiguar si el vector deseado v está o no en el espacio generado por A
A = [];
n = length(varargin);
for i=1:n
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 452/489
u = varargin{i};u = u';
A = [A u(:)];
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 451
span.m
v = v';
v = v(:);
if rank(A) == rank([A v])
disp(' vector dado está en el espacio.')
elsedisp(' vector dado no está en el espacio.')
end
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 452
spanview.m
SPANVIEW es un utilitario para visualizar la generación de un conjuntode vectores en el spacio3-d.
El comando spanview(x,n) graficará n múltiplos aleatorios del vector x, cada
uno de estos vectores se representa por un punto.
El usuario debe ingresar un segundo vector y se calcula n combinacioneslineales aleatorias de los dos vectores de entrada.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Seguirá pidiendo más vectores hasta que se hayan ingresado tres vectoreslinealmente independientes; ej. s=[ 1 2 -4]; spanview(s,2)
Suma,cambiodebase1,sumacambiodebase2
Elementos de Algebra Lineal - 2011 453
spanview.m
function spanview(s,numvec)
% SPANVIEW es un utilitario para visualizar la generación
% de un conjunto de vectores en el espacio3-d. El comando
% spanview(x,n) graficará n múltiplos aleatorios del
% vector x, cada uno de estos vectores se representa por un punto% El usuario debe ingresarun segundo vector y se calcula
% n combinaciones lineales aleatorias de los dos vectores de entrada
% Seguira pidiendo más vectores hasta que se hayan
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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% ingresado tres vectores linealmente independientes
Elementos de Algebra Lineal - 2011 454
spanview.m
if size(s)==[3,1]
s=reshape(s,1,3);
end
whitebg('w')
A=[]; x=[0,0]';
y=x;
z=x;
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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r=0;n=0;
colors='brgmc';
close
Elementos de Algebra Lineal - 2011 455
spanview.m
while r<3n=n+1;if n>1
s=input('Agregue otro vector a S. Entre como un triple [x y z]: ');delete(t)hold off
end A=[A s'];c=randn(n,numvec);
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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v=A*c;axiscale=3*max(max(abs(A)))+1; x(:,n)=[0;A(1,n)]; y(:,n)=[0;A(2,n)];z(:,n)=[0;A(3,n)];
r=fix(rank(A));
Elementos de Algebra Lineal - 2011 456
spanview.m
color=[colors(mod(n,5)+1),'.'];
plot3(x(:,n),y(:,n),z(:,n),'k')
hold on
plot3([-axiscale axiscale],[0 0 ],[0 0],'k',[0 0],[-axiscale axiscale],[0 0],'k',[0 0],[0
0],[-axiscale axiscale],'k')plot3(v(1,:),v(2,:),v(3,:),color)
t=title(['generador de S ' 'Dimension = ' sprintf('%4.0f',r)]);
figure(1)
d
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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end
hold off
Elementos de Algebra Lineal - 2011 457
angulo.m
Para hallar el ángulo entre dos vectores
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 458
angulo.m
function a=Angulo(X,Y)
%Angulo
%el ángulo entre dos vectores, X e Y,en grados.
%llamar como: a = Angle(X,Y)
temp = X*Y';
normX = sqrt(X*X');
normY = sqrt(Y*Y');
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 460/489
a = acos(temp/(normX*normY));a = a*180/pi;
if (a < 1.0e-10)
a = 0;
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 459
plano.m
El archivo grafica un plano en 3D. se puede llamar como
plano(P,N,width, height)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 461/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 460
plano.m
% El archivo grafica un plano en 3D. se puede llamar
% como plano(P,N,width, height)
% P = [x0,y0,z0] es un punto del plano,
% N = [a,b,c] es uno normal(usar cross para hallarlo), tercer y cuarto
% argumentos opcionales; al llamar plano(P,N),% la porción del plano es un cuadrado de lado 2, centrado en P.
% Si se llama plano(P,N,a,b) produce una porción del plano 2b por 2b centradaen P.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 462/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 461
plano.m
function z = plano(P,N, width, height)
if nargin < 3
width = 1; height= 1;
end x0 = P(1);
y0 = P(2);
z0 = P(3);
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 463/489
N = N/norm(N);a = N(1); b = N(2); c = N(3);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 462
plano.m
s = - width: .1*width : width; t = -height: .1*height: height;
[S,T] = meshgrid(s,t);
hhchek = ishold;arrow3(P,N,'r')
hold on
arrow3(P-.3*N,.3*N,'r')
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 464/489
r = sqrt(a^2 +b^2);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 463
plano.m
if r > 0 v = [b/r, -a/r, 0]; w = [-a*c/r, -b*c/r, r];
else v = [1 0 0]; w = [0 -1 0];
end
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 465/489
X = x0 + v(1)*S +w(1)*T; Y = y0 + v(2)*S +w(2)*T;Z = z0 + v(3)*S +w(3)*T;
low = min(min(Z));
high = max(max(Z));
Elementos de Algebra Lineal - 2011 464
plano.m
surf(X,Y,Z);
colormap(gray);
caxis([low-6, high]);
axis equal
if hhchek == 0
hold off
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 466/489
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 465
plano.m
function out = arrow3(P,V,color)
x0 =P(1); y0 = P(2); z0 = P(3);
a = V(1); b = V(2); c = V(3);
l = max(norm(V), eps);
x = [x0 x0+a]; y = [y0 y0+b]; z = [z0 z0+c];
hchek = ishold;
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 467/489
plot3(x,y,z,color)hold on
h = l - min(.2*l, .2) ;
v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );
Elementos de Algebra Lineal - 2011 466
plano.m
upper = [h, v*tan(pi/6), 0]';
lower = [h, -v*tan(pi/6), 0]';
r = sqrt(a^2 +b^2);
if r > 0
col1 = [a b c]/l;
col2 = [-b/r, a/r, 0];
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 468/489
col3 = [-a*c/(l*r), -b*c/(l*r), r/l];
Q = [col1; col2; col3]' ;
Elementos de Algebra Lineal - 2011 467
plano.m
else
if c > 0
Q = [0 0 -1; 0 1 0; 1 0 0];
else
Q = [0 0 1; 0 1 0; -1 0 0];end
end
p = Q*upper; q = Q*lower;
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 469/489
plot3([x0+p(1), x0+a], [y0+p(2), y0+b], [z0+p(3), z0+c], color)plot3([x0+q(1), x0+a], [y0+q(2), y0+b], [z0+q(3), z0+c], color)
if hchek == 0
hold off
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 468
vector.m
Permite graficar un vector con origen (x0, y0) y extremo (x0+a, y0+b).Escribiendo P = [x0, y0] y V = [a,b], debe llamarse arrow(P,V, color), el tercerargumento, color, es opcional,por dfecto es azul.
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 470/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 469
vector.m
% permite graficar un vector con origen (x0, y0) y extremo
% (x0+a, y0+b). Escribiendo P = [x0, y0] y
% V = [a,b], debe llamarse arrow(P,V, color), el tercer argumento,
% color, es opcional,por dfecto es azul.
% Para uno rojo, arrow(P,V, 'r').function y = vector(P,V,color)
if nargin < 3
color = 'b';
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 471/489
end x0 = P(1); y0 = P(2);
a = V(1); b = V(2);
l = max(norm(V), eps);
u = [x0 x0+a]; v = [y0 y0+b];
hchek = ishold;
Elementos de Algebra Lineal - 2011 470
vector.m
plot(u,v,color)
hold on
h = l - min(.2*l, .2) ; v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );
a1 = (a*h -b*v)/l;
b1 = (b*h +a*v)/l;plot([x0+a1, x0+a], [y0+b1, y0+b], color)
a2 = (a*h +b*v)/l;
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 472/489
b2 = (b*h -a*v)/l;
plot([x0+a2, x0+a], [y0+b2, y0+b], color)
if hchek == 0
hold off
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 471
vector3.m
Grafica un vector 3D con origen (x0, y0, z0) y extremo (x0+a, y0+b, z0+c).Escribir P = [x0, y0, z0] y V = [a,b,c], se llama vector3(P,V, color). El tercerargumento, color, es opcional, por defecto es azul,
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 473/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 472
vector3.m
% grafica un vector 3D con origen (x0, y0, z0)y % extremo (x0+a, y0+b, z0+c). Escribir P = [x0, y0, z0]y
% V = [a,b,c], se llama vector3(P,V, color). El tercer argumento,
% color, es opcional., por defecto es azul, si se desea rojo, llamar
% llamar vector3(P,V, 'r').
function out = vector3(P,V,color)
if nargin < 3
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 474/489
color = 'b';end
x0 =P(1); y0 = P(2); z0 = P(3);
a = V(1); b = V(2); c = V(3);l = max(norm(V), eps);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 473
vector3.m
x = [x0 x0+a]; y = [y0 y0+b];
z = [z0 z0+c];
hchek = ishold;
plot3(x,y,z,color)
hold on
h = l - min(.2*l, .2) ;
v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 475/489
upper = [h, v*tan(pi/6), 0]';lower = [h, -v*tan(pi/6), 0]';
r = sqrt(a^2 +b^2);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 474
vector3.m
if r > 0col1 = [a b c]/l;
col2 = [-b/r, a/r, 0];
col3 = [-a*c/(l*r), -b*c/(l*r), r/l];
Q = [col1; col2; col3]' ;
else
if c > 0
Q = [0 0 -1; 0 1 0; 1 0 0];
else
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 476/489
Q = [0 0 1; 0 1 0; -1 0 0];end
end
p = Q*upper; q = Q*lower;
plot3([x0+p(1), x0+a], [y0+p(2), y0+b], [z0+p(3), z0+c], color)plot3([x0+q(1), x0+a], [y0+q(2), y0+b], [z0+q(3), z0+c], color)
Elementos de Algebra Lineal - 2011 475
dist.m
Distancia entre puntos X e Y en Rn. Lllamar como: Dist(X,Y)
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 476
dist.m
function d = Dist(X,Y)
%Dist
%Distancia entre puntos X e Y en Rn.
%Llamar como: Dist(X,Y)
Z=X-Y;
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d=sqrt(Z*Z');
Elementos de Algebra Lineal - 2011 477
drawec.m
drawvec(v,color,s) grafica el vector v empleando el color definido comosegundo argumento de entrada (por defecto es rojo).El punto inicial del dibujoes el origen; una flecha se dibuja en el extremo
Los ejes se establecen como [-s,s,-s,s]. Si s no se especifica por default es 5
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 478
drawec.m
function[ handle ] = drawvec(v,color,s);
% DRAWVEC(v,color,s) grafica el vector v empleando
% el color definido como segundo argumento de entrada
% (por defecto es rojo).El punto inicial del dibujo es
% el origen; una flecha se dibuja en el extremo% Los ejes se establecen como [-s,s,-s,s]. Si s no se
% especifica por default es 5
if nargin==1
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http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 480/489
g
color = 'r';
end
if nargin < 3
s=5;
end
Elementos de Algebra Lineal - 2011 479
drawec.m
handle = plot([0,v(1)],[0,v(2)],color);
axis([-s,s,-s,s])
axis('square')
hold on
[m,n]=size(v);if n==1 % Change to row vector
v=v';
end
atip=tip(v,s);
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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p p( , );
fill(atip(1,:),atip(2,:),color)
hold off
Elementos de Algebra Lineal - 2011 480
plotangle
s = plotangle(x,y) dará el ángulo s(radianes)entre vectores no nulos x, y. Siestán en espacio bidimensional, el ángulo será graficado( en rojo, y el unitarioen azul)
Si se usa [s,t] = plotangle(x,y) s en radianes y t en grados
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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Elementos de Algebra Lineal - 2011 481
plotangle
function [s,t]=plotangle(x,y)
% s = plotangle(x,y) dará el ángulo s(radianes)entre
% vectores no nulos x, y. Si están en espacio bidimensional,
% el ángulo será graficado( en rojo y el unitario en azul)
% Si se usa [s,t] = plotangle(x,y)% s en radianes y t en grados
%
[m,n]=size(x);
if m==1
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 483/489
x=x';
end
[j,k]=size(y);
Elementos de Algebra Lineal - 2011 482
plotangle
if j==1
y=y';
end
if ([m,n]~=[j,k])
error('Vectores tienen distinto tamaño')end
if (norm(x)==0)|(norm(y)==0)
error('Ingrese vectores no nulos')
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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end nx=norm(x);
ny=norm(y);
aa=max(nx,ny)+1;
u=x/nx;
v=y/ny;
Elementos de Algebra Lineal - 2011 483
plotangle
s=acos(u'*v);t=s*180/pi;anglestr=sprintf( '%6.3f', t);if max([m,n])>2 x=[nx;0];u=[1;0]; v=[cos(s);sin(s)]; y=norm(y)*v;
end
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
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drawvec(x,'r'); hold ondrawvec(y,'r'); hold ondrawvec(u,'b'); hold ondrawvec(v,'b'); hold on A=u;
mm=max(abs(v-[cos(s),-sin(s);sin(s),cos(s)]*u));
Elementos de Algebra Lineal - 2011 484
plotangle
if mm<100*eps
ss=1;
else
ss=-1;
end for w=.1:.1:1
z=[cos(w*s),-ss*sin(w*s);ss*sin(w*s),cos(w*s)]*u;
A=[A z];
end
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 486/489
plot(A(1,:),A(2,:))
hold off
axis([-aa,aa,-aa,aa])
xlabel(['el ángulo entre los vectores es ' anglestr ' grados'])
Elementos de Algebra Lineal - 2011 485
plotangle
s=acos(u'*v);t=s*180/pi;anglestr=sprintf( '%6.3f', t);if max([m,n])>2
x=[nx;0];u=[1;0]; v=[cos(s);sin(s)]; y=norm(y)*v;
end
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 487/489
drawvec(x,'r'); hold ondrawvec(y,'r'); hold ondrawvec(u,'b'); hold ondrawvec(v,'b'); hold on A=u;
mm=max(abs(v-[cos(s),-sin(s);sin(s),cos(s)]*u));
Elementos de Algebra Lineal - 2011 486
ENLACES DE INTERES
Curso Matlab 1 - Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=715nqD8Fhhs -
consultado el 1 de abril del 2011.
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http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 488/489
Elementos de Algebra Lineal - 2011 487
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL CONSULTADA
Lay,D -Algebra Lineal y sus aplicaciones-3º edición-Pearson Educacion
Grossman,S-Algebra Lineal-6t. edición Mac Graw Hill
Pita Ruiz,J-Algebra Lineal-Mac Graw Hill
Anton,H.- INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL-2da. Edición-Edit Limusa
8/22/2019 Algebra Lineal Unam
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-lineal-unam 489/489
PEREZ,C-MATLAB Y SuS aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería-Pearson-
Prentice Hall
Elementos de Algebra Lineal - 2011 488
MAS... BIBLIOGRAFÍA DE INTERES
Mario Matiauda – 2010 - Editorial Universitaria - Cálculo con MATLAB.