Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:1
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene mas de 19 elementos.
b) I tiene a lo mas 19 elementos.
c) B tiene menos de 19 elementos.
d) Si I tiene 18 elementos, entonces I es base.
e) Si D tiene 19 elementos, entonces D es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-
pendiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
3. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
1 10
6 13
9 13
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4. Los vectores
1.
−27
−18
−39
2.
1
1
1
3.
−12
−9
−15
4.
9
6
13
5.
3
3
3
son vectores propios de la matriz
A =
−52 17 33
−24 4 18
−94 37 55
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|2b] es consistente.
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2, 4a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈
Gen {a1,a2}d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈
Gen {a1,a2}e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
2
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
6. Determine la distancia de P (5, 4, 1, 1) al conjunto de so-
luciones a 2 4 4 2
2 4 4 1
6 12 12 5
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
8. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 8 Xs, 11 Ys y 8 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 29 Xs, 40 Ys y 30 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos, por un
ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T gana 15
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
9. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 12 y + 8 z
y′ = −6x− 13 y + 9 z
z′ = −12x− 30 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −126.4
Respuesta:
10. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 5 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4A)−1
ii) A (4B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 417 As, 382 Bs y 477 Cs;
para armar 4 Xs, 2 Ys y 5 Zs se requirieron en total 417
As, 358 Bs y 469 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 226 As, 204 Bs y 258 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 3 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
12. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C31 = −12, C21 = 8
C11 = 10, M33 = 0
M13 = 9, M32 = −12
M23 = 18, C22 = 16
y
a31 = 4, a21 = 3
a11 = 6, a33 = 8
a13 = 8, a32 = 7
a23 = 2, a22 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 1 3
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 2 y + 4 z = 2
3x + y + 4 z = 3
4x + y + z = 4
x + 5 y + 3 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((AX)
TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 17o, Tc = 26o
Td = 34o, Te = 10o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:2
1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3 y + 5 z
y′ = −7 y + 12 z
z′ = 2x− 6 y + 9 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = −60.87
Respuesta:
2. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[0 0
−1 3
]
D =
[3 1
−1 −10
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
3. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = 2, C21 = 8
C12 = 3, M22 = −1
C31 = −8, M33 = 14
C11 = 8, C23 = −13
y
a32 = 4, a21 = 1
a12 = 1, a22 = 3
a31 = 7, a33 = 4
a11 = 5, a23 = 1
Determine |A|.
Respuesta:
4. Determine la distancia de P (3, 5, 2, 5) al conjunto de so-
luciones a 4 2 2 3
1 2 4 2
9 6 8 8
x =
0
0
0
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6a2|4 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 3a3,a2|3b] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 218 As, 290 Bs y 274 Cs;
para armar 2 Xs, 2 Ys y 2 Zs se requirieron en total 166
As, 218 Bs y 206 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 341 As, 451 Bs y 427 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 5 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 2 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
2
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
8. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −1 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3B)T
ii) (−3A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 13 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 13 elementos, entonces D es base.
b) G tiene menos de 13 elementos.
c) B tiene 13 elementos.
d) I tiene a lo mas 13 elementos.
e) Si G tiene 13 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x + y + 4 z = 5
3x + 2 y + z = 4
5x + 3 y + 5 z = 5
3x + 4 y + 3 z = 2
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
MA1010, Examen Final, Tipo: 2 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 12o, Tb = 26o, Tc = 32o
Td = 13o, Te = 31o, Tf = 10o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 9
6 13
7 13
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−179 94 26
−586 309 86
838 −442 −123
de la lista de vectores:
1.
5
16
−23
2.
−14
−46
67
3.
−30
−98
142
4.
1
3
−4
5.
−11
−36
52
6.
−4
−13
19
Respuesta:
14. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
15. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 7 Xs, 8 Ys y 12 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 27 Xs, 28 Ys y 44 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T gana 30
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:3
1. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[3 0
−3 −2
]
D =
[−12 −4
10 7
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 604 As, 760 Bs y 616 Cs;
para armar 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 467
As, 585 Bs y 471 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 664 As, 835 Bs y 676 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 3 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−32 −43 25
106 131 −74
142 170 −95
de la lista de vectores:
1.
4
−13
−17
2.
−9
30
39
3.
−4
12
15
4.
1
−3
−4
5.
−2
4
4
6.
−2
7
9
Respuesta:
4. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un pro-
ducto B requiere 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un
producto C requiere 8 Xs, 11 Ys y 8 Zs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 32 Xs, 39 Ys y 28 Zs.
Por cada ensamble del tipo A la companıa gana 4 pesos,
por un ensamble tipo B gana 8 pesos, y por uno tipo C
gana 12 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del
tipo C se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
5. Determine la distancia de P (2, 1, 1, 2) al conjunto de so-
luciones a 4 4 5 1
4 2 3 1
16 12 16 4
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 3 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2A)−1
ii) A (−2B)T
iii) AB−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT BA−1
2
Respuesta:
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M33 = −13, M21 = −32
C13 = 19, M31 = 13
M22 = −36, M23 = 2
C11 = −31, C12 = 30
y
a33 = 2, a21 = 5
a13 = 6, a31 = 8
a22 = 2, a23 = 5
a11 = 6, a12 = 5
Determine |A|.
Respuesta:
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 15 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene a lo mas 15 elementos.
b) B tiene mas de 15 elementos.
c) D tiene al menos 15 elementos.
d) Si I tiene menos de 15 elementos, entonces I genera
a V .
e) I tiene mas de 15 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 32o, Tb = 24o, Tc = 35o
Td = 32o, Te = 18o, Tf = 30o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 6 y − 6 z = 16
3x + 9 y + 12 z = −30
−2x− 6 y − 8 z = 20
2x + 6 y + 4 z = −12
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 3 3
11. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
12. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 3 y + 7 z
y′ = −20x− 7 y + 16 z
z′ = −20x− 9 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −16.65
Respuesta:
13. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
14. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 11
6 13
9 13
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
15. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2a2|6 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|2 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:4
1. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 1 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4A)−1
ii) A (4B)T
iii) A−1 B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 510 As, 432 Bs y 471 Cs;
para armar 5 Xs, 4 Ys y 3 Zs se requirieron en total 540
As, 466 Bs y 496 Cs; y que para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 468 As, 400 Bs y 430 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 3 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Los vectores
1.
27
−96
3
2.
2
−7
0
3.
−9
32
−1
4.
−6
21
0
5.
−2
8
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−404 −116 −31
1456 418 112
−98 −28 −9
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|4b] es consistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
5. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[0 −2
−1 −2
]
D =
[−2 1
3 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
6. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
2
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
7. Determine la distancia de P (3, 1, 2, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 4 2 2
1 1 2 5
3 6 6 12
x =
0
0
0
Respuesta:
8. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 11 As, 10 Bs y 6 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 39 As, 38 Bs y 22 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z
gana 37 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 11 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 11 elementos.
b) G tiene al menos 11 elementos.
c) B tiene mas de 11 elementos.
d) Si D tiene mas de 11 elementos, entonces D genera a
V .
e) D tiene a lo mas 11 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 21o, Tc = 40o
Td = 16o, Te = 25o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
11. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = −6, C21 = −1
C23 = −17, M13 = 3
M11 = 49, C12 = −44
M22 = 28, M31 = −18
ya32 = 5, a21 = 7
a23 = 3, a13 = 3
a11 = 5, a12 = 2
a22 = 8, a31 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
12. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
MA1010, Examen Final, Tipo: 4 3
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x + 3 y + 2 z = 1
x + 2 y + 4 z = 4
x + 3 y + 2 z = 5
x + 4 y + z = 3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 5 y + 7 z
y′ = −4x− 5 y + 8 z
z′ = −4x− 7 y + 10 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 66.19
Respuesta:
15. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 15
4 16
9 16
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:5
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 35o, Tb = 14o, Tc = 26o
Td = 39o, Te = 19o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
2. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
357 96 −56
−824 −223 128
816 216 −131
de la lista de vectores:
1.
15
−34
36
2.
11
−25
26
3.
5
−11
13
4.
−3
7
−7
5.
1
−2
3
6.
16
−36
39
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 10 As, 11 Bs y 6 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 37 As, 40 Bs y 22 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 285 As, 315 Bs y 405 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 5 Zs se requirieron en total 323
As, 352 Bs y 441 Cs; y que para armar 3 Xs, 2 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 257 As, 284 Bs y 363 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 2 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
5. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x + y + 2 z = 3
2x + y + 3 z = 5
x + 4 y + 2 z = 3
x + 3 y + 4 z = 3
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
2
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
7. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 17 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene al menos 17 elementos.
b) B tiene 17 elementos.
c) Si D tiene 17 elementos, entonces D es base.
d) I tiene menos de 18 elementos.
e) D tiene a lo mas 17 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
8. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 5 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−4B)T
ii) (−4A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
9. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C−B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
10. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = −6, C13 = 26
M11 = 6, M31 = −4
M32 = −20, M22 = 8
M33 = −8, C12 = −44
ya23 = 2, a13 = 4
a11 = 2, a31 = 2
a32 = 5, a22 = 2
a33 = 8, a12 = 2
Determine |A|.Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 5 3
11. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|4 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 15
4 19
8 19
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Determine la distancia de P (3, 5, 5, 2) al conjunto de so-
luciones a 1 2 4 3
3 1 3 2
10 5 13 9
x =
0
0
0
Respuesta:
14. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
15. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 7x− 6 y + 4 z
y′ = 15x− 13 y + 9 z
z′ = 15x− 12 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −0.3012
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:6
1. Determine la distancia de P (2, 4, 3, 4) al conjunto de so-
luciones a 2 1 1 5
1 5 2 2
4 11 5 9
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = −40, M23 = −16
C13 = 3, M32 = 42
C12 = −30, C31 = 47
M11 = 2, M22 = 61
ya33 = 8, a23 = 6
a13 = 1, a32 = 1
a12 = 8, a31 = 3
a11 = 8, a22 = 1
Determine |A|.Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 17 y + 10 z
y′ = 6x− 20 y + 12 z
z′ = 9x− 27 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 116.5
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 35o, Tb = 10o, Tc = 27o
Td = 16o, Te = 24o, Tf = 40o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
5. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y + 2 z = −5
−x− 2 y + z = −2
3x + 6 y − 8 z = 21
2x + 4 y − z = 1
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
2
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
6. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−372 148 −76
−686 273 −140
523 −208 107
de la lista de vectores:
1.
5
9
−7
2.
8
15
−11
3.
8
14
−12
4.
−36
−66
51
5.
−3
−5
5
6.
1
2
−1
Respuesta:
7. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 452 As, 504 Bs y 534 Cs;
para armar 2 Xs, 5 Ys y 2 Zs se requirieron en total 349
As, 392 Bs y 413 Cs; y que para armar 3 Xs, 5 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 462 As, 508 Bs y 544 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 2 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 3 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 2 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 14 elementos, entonces D genera a V .
b) I tiene a lo mas 14 elementos.
c) Si G tiene 14 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
d) D tiene mas de 14 elementos.
e) G tiene menos de 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
MA1010, Examen Final, Tipo: 6 3
t h(t)
0 4
2 13
3 14
7 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
13. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 2 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2A)−1
ii) A (2B)T
iii) AB−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4a2|2 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
15. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 4 As, 2 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 11 As, 8 Bs y 8 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 40 As, 30 Bs y 29 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 4 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 8 pesos, y por uno tipo Z
gana 12 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:7
1. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
3 45 20
0 −50 −24
0 108 52
de la lista de vectores:
1.
1
4
−9
2.
2
0
0
3.
1
3
−7
4.
0
−1
2
5.
1
−1
2
6.
0
4
−9
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 4 Xs, 2 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 10 Xs, 8 Ys y 9 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 36 Xs, 30 Ys y 33 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos, por un
ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T gana 12
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene mas de 9 elementos.
b) D tiene a lo mas 9 elementos.
c) Si I tiene 8 elementos, entonces I es base.
d) Si D tiene menos de 9 elementos, entonces D genera
a V .
e) I tiene al menos 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 3a3,a2|5b] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|4 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2
6. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 25o, Tc = 26o
Td = 17o, Te = 32o, Tf = 28o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −33, C32 = −50
M31 = 28, M13 = −26
C21 = −7, M11 = 0
M23 = −41, M12 = −52
ya22 = 4, a32 = 1
a31 = 7, a13 = 7
a21 = 2, a11 = 8
a23 = 8, a12 = 7
Determine |A|.Respuesta:
8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x− 6 y + 9 z
y′ = −16x− 6 y + 10 z
z′ = −32x− 14 y + 21 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −39.36
Respuesta:
9. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 16
5 18
7 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
10. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
11. Determine la distancia de P (4, 2, 2, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 3 4 2
5 3 4 1
13 15 20 8
x =
0
0
0
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
MA1010, Examen Final, Tipo: 7 3
b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
13. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −5 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4A)−1
ii) A (4B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
14. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 4 y + 13 z = 4
2x + 5 y + 12 z = 5
x + 4 y + 9 z = 1
2x + 3 y + 8 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
15. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 2 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 229 As, 235 Bs y 261 Cs;
para armar 2 Xs, 5 Ys y 3 Zs se requirieron en total 349
As, 355 Bs y 396 Cs; y que para armar 2 Xs, 5 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 320 As, 326 Bs y 365 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 5 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 5 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 3 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:8
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M23 = −17, C21 = −6
M13 = −7, C32 = 13
M33 = −13, M11 = 4
M22 = −15, C12 = −3
ya23 = 2, a21 = 5
a13 = 3, a32 = 1
a33 = 3, a11 = 1
a22 = 2, a12 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|4 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|3b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 2 Rs, 4 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 8 Rs, 8 Ss y 11 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 29 Rs, 30 Ss y 40 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 16 pesos, y por uno tipo Z gana 27
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− y − 3 z = 3
3x + 3 y + 9 z = −9
−x− y − 3 z = 3
−x− y − 3 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
5. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −1 y |B| = −3
2
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2A)−1
ii) A (−2B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
6. Determine la distancia de P (5, 3, 1, 1) al conjunto de so-
luciones a 2 4 1 5
4 5 4 1
14 22 11 17
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 21x− 16 y + 10 z
y′ = 46x− 35 y + 22 z
z′ = 35x− 26 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 264.2
Respuesta:
8. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 31o, Tc = 10o
Td = 37o, Te = 29o, Tf = 26o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
10. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 11
5 14
7 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
11. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 8 3
12. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 281 As, 383 Bs y 426 Cs;
para armar 2 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 180
As, 248 Bs y 276 Cs; y que para armar 4 Xs, 3 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 241 As, 323 Bs y 354 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 2 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 3 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
13. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−453 −102 43
1901 428 −181
−320 −72 30
de la lista de vectores:
1.
−8
34
−4
2.
−3
13
−1
3.
−13
55
−8
4.
1
−4
1
5.
5
−21
3
6.
−12
51
−7
Respuesta:
14. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene menos de 20 elementos.
b) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.
c) B tiene 20 elementos.
d) D tiene mas de 20 elementos.
e) I tiene al menos 20 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
15. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:9
1. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[0 1
−1 0
]
D =
[2 −5
3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 3 y + 5 z
y′ = −12x− 7 y + 12 z
z′ = −12x− 9 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −17.35
Respuesta:
3. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 12
5 15
9 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 360 As, 324 Bs y 248 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 368
As, 334 Bs y 256 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 349 As, 314 Bs y 240 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 3 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
5. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
B requiere 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
C requiere 8 Xs, 9 Ys y 10 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 32 Xs, 33 Ys y 34 Zs. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo B gana 20 pesos, y por uno tipo C gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-
pendiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
2
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 34o, Tb = 16o, Tc = 27o
Td = 37o, Te = 29o, Tf = 20o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 10 elementos, entonces D es base.
b) G tiene mas de 10 elementos.
c) I tiene al menos 10 elementos.
d) Si I tiene 9 elementos, entonces I es base.
e) D tiene menos de 10 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Determine la distancia de P (4, 1, 3, 2) al conjunto de so-
luciones a 1 1 1 4
1 3 1 1
6 12 6 15
x =
0
0
0
Respuesta:
11. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 5 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4A)−1
ii) A (−4B)T
iii) A−1 B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
12. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
72 −22 −8
232 −70 −24
−56 16 4
MA1010, Examen Final, Tipo: 9 3
de la lista de vectores:
1.
−2
−7
2
2.
4
15
−6
3.
24
84
−27
4.
9
32
−11
5.
3
11
−4
6.
1
4
−2
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + y + z = 5
x + 5 y + 4 z = 4
3x + 5 y + z = 3
3x + 4 y + 4 z = 4
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5a2|6 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
15. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C12 = −24, M11 = −24
M31 = 55, M22 = 7
C32 = −4, M23 = −3
C13 = 15, C33 = −27
y
a12 = 7, a11 = 1
a31 = 1, a22 = 1
a32 = 4, a23 = 8
a13 = 1, a33 = 8
Determine |A|.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:10
1. Determine la distancia de P (1, 1, 2, 5) al conjunto de so-
luciones a 2 4 3 4
5 1 5 4
11 13 14 16
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M13 = 31, C32 = 44
C33 = −15, M22 = 1
M31 = 2, M12 = 52
C21 = 10, M11 = −9
ya13 = 6, a32 = 4
a33 = 7, a22 = 1
a31 = 1, a12 = 2
a21 = 8, a11 = 1
Determine |A|.Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 2 y + 3 z = 3
5x + 2 y + 4 z = 2
x + 4 y + 2 z = 1
3x + y + 3 z = 5
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2B)T
ii) (2A)−1
iii) AT B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
5. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 3 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 294 As, 500 Bs y 503 Cs;
para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 304
As, 527 Bs y 529 Cs; y que para armar 3 Xs, 5 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 382 As, 653 Bs y 658 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 4 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 3 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
6. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
2
t h(t)
0 4
1 14
5 15
7 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si 6b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2, 2a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3a2|5 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
8. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 19o, Tc = 25o
Td = 13o, Te = 13o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 10 3
11. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 11 Xs, 8 Ys y 8 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 40 Xs, 29 Ys y 30 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos, por un
ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T gana 15
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
12. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene menos de 9 elementos.
b) D tiene mas de 9 elementos.
c) G tiene a lo mas 9 elementos.
d) Si I tiene 8 elementos, entonces I es base.
e) I tiene menos de 10 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− y + 5 z
y′ = −6x− y + 6 z
z′ = −6x− 3 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 37.66
Respuesta:
14. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
7 6 3
13 4 −1
−44 −24 −6
de la lista de vectores:
1.
1
−2
1
2.
1
−3
3
3.
0
−1
2
4.
2
−5
5
5.
0
1
−3
6.
−1
2
−2
Respuesta:
15. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[1 −2
2 −1
]
D =
[−6 7
−10 4
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:11
1. Los vectores
1.
−3
−12
−12
2.
1
4
4
3.
−6
−22
−28
4.
−5
−19
−21
5.
−3
−11
−14
son vectores propios de la matriz
A =
381 −68 −28
1472 −263 −108
1568 −280 −115
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 2 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 357 As, 331 Bs y 412 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 267
As, 245 Bs y 315 Cs; y que para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 350 As, 325 Bs y 398 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 3 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 5 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x + 4 y + 3 z = 3
5x + 3 y + 3 z = 2
3x + 4 y + 4 z = 5
4x + 3 y + 3 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Determine la distancia de P (5, 5, 4, 2) al conjunto de so-
luciones a 1 4 2 5
3 4 1 5
9 20 8 25
x =
0
0
0
Respuesta:
5. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 9 y + 6 z
y′ = −6x− 12 y + 8 z
z′ = −12x− 28 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −59.01
Respuesta:
2
6. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2, 3a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4a2|2 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 39o, Tc = 37o
Td = 18o, Te = 30o, Tf = 20o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
8. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 11
4 14
9 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
9. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[3 −1
1 −3
]
D =
[−2 −1
−3 7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
10. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 3 As, 2 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 7 As, 10 Bs y 10 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 26 As, 36 Bs y 37 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 11 3
11. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 4 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3B)T
ii) (−3A)−1
iii) AB−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT BA−1
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
13. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 14 elementos, entonces D genera
a V .
b) D tiene mas de 14 elementos.
c) I tiene menos de 15 elementos.
d) Si I tiene menos de 14 elementos, entonces I genera
a V .
e) B tiene 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = 34, M33 = −4
C23 = −7, C21 = −3
C12 = −58, C11 = 6
M31 = 0, C22 = 13
ya13 = 1, a33 = 8
a23 = 2, a21 = 8
a12 = 1, a11 = 2
a31 = 3, a22 = 2
Determine |A|.
Respuesta:
15. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:12
1. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−7 −60 −18
12 71 20
−36 −204 −57
de la lista de vectores:
1.
2
−3
9
2.
−3
2
−5
3.
2
−4
12
4.
4
−4
11
5.
−2
1
−2
6.
1
−1
3
Respuesta:
2. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
1 15
5 16
8 16
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
3. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[−3 −4
1 1
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((AX)
TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene menos de 19 elementos.
b) Si D tiene menos de 19 elementos, entonces D es base.
c) Si G tiene 20 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
d) I tiene menos de 20 elementos.
e) G tiene mas de 19 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 4 Xs, 2 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un pro-
ducto B requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un
producto C requiere 8 Xs, 10 Ys y 9 Zs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 30 Xs, 36 Ys y 33 Zs.
Por cada ensamble del tipo A la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo B gana 16 pesos, y por uno tipo C
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del
tipo C se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M21 = 17, C13 = −14
M11 = −2, M12 = −10
M31 = 14, M22 = 25
C32 = −22, M33 = 26
2
ya21 = 2, a13 = 1
a11 = 6, a12 = 5
a31 = 5, a22 = 6
a32 = 8, a33 = 5
Determine |A|.Respuesta:
7. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x + 4 y + 10 z = 5
4x + 2 y + 8 z = 1
4x + y + 6 z = 2
3x + 2 y + 7 z = 3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
8. Determine la distancia de P (2, 3, 3, 4) al conjunto de so-
luciones a 1 2 1 5
3 3 2 3
12 15 9 24
x =
0
0
0
Respuesta:
9. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
c) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
d) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 40o, Tb = 14o, Tc = 17o
Td = 40o, Te = 32o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
11. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
MA1010, Examen Final, Tipo: 12 3
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
b) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|4b] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
12. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 7 y + 5 z
y′ = −6x− 8 y + 6 z
z′ = −12x− 20 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −66.11
Respuesta:
13. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
d) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
14. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 5 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 372 As, 342 Bs y 278 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 337
As, 311 Bs y 248 Cs; y que para armar 2 Xs, 4 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 294 As, 270 Bs y 220 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 2 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 2 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
15. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 4 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2B)T
ii) (−2A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:13
1. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 5 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2B)T
ii) (−2A)−1
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C11 = −14, M21 = −42
C31 = −28, M33 = 20
M13 = −20, M23 = 20
C12 = 18, C32 = −4
ya11 = 4, a21 = 2
a31 = 6, a33 = 3
a13 = 6, a23 = 4
a12 = 2, a32 = 8
Determine |A|.Respuesta:
3. Los vectores
1.
1
−2
−4
2.
−2
4
8
3.
−3
7
15
4.
−14
32
69
5.
−42
96
207
son vectores propios de la matriz
A =
136 216 −74
−308 −490 168
−666 −1059 363
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x + 4 y − 6 z = −4
−2x + 4 y − 6 z = −4
−2x + 4 y − 6 z = −4
−2x + 4 y − 6 z = −4
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
2
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene al menos 14 elementos.
b) B tiene menos de 14 elementos.
c) G tiene al menos 14 elementos.
d) Si I tiene 13 elementos, entonces I es base.
e) Si D tiene menos de 14 elementos, entonces D genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
7. Determine la distancia de P (3, 5, 3, 3) al conjunto de so-
luciones a 1 3 2 3
5 2 3 4
8 11 9 13
x =
0
0
0
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
9. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 4 As, 2 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 12 As, 8 Bs y 7 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 44 As, 29 Bs y 26 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos,
por un ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T
gana 12 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
10. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 392 As, 458 Bs y 482 Cs;
para armar 2 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 220
As, 252 Bs y 268 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 368 As, 432 Bs y 453 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 2 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 4 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 13 3
12. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4a2|5 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|3b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
13. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 17o, Tc = 30o
Td = 17o, Te = 12o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 6x− 6 y + 5 z
y′ = 13x− 13 y + 11 z
z′ = 14x− 12 y + 9 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −7.765
Respuesta:
15. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 17
5 18
9 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:14
1. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
1 16
3 18
9 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 40o, Tc = 29o
Td = 22o, Te = 38o, Tf = 21o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + 5 y + 11 z = 3
5x + 4 y + 13 z = 4
3x + 4 y + 11 z = 1
5x + 3 y + 11 z = 2
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
2
e) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. Determine la distancia de P (1, 1, 4, 5) al conjunto de so-
luciones a 3 5 3 5
4 2 1 2
15 11 6 11
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
7. Los vectores
1.
−12
−4
−66
2.
6
3
30
3.
−2
−1
−10
4.
1
1
4
5.
−1
−1
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−41 6 8
29 −16 −4
−334 78 61
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 9 elementos.
b) Si D tiene menos de 9 elementos, entonces D genera
a V .
c) D tiene al menos 9 elementos.
d) G tiene a lo mas 9 elementos.
e) B tiene menos de 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
10. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2a2|2 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|5b] es consistente.
MA1010, Examen Final, Tipo: 14 3
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 3x− 6 y + 4 z
y′ = 6x− 13 y + 9 z
z′ = 10x− 18 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 7.348
Respuesta:
12. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 2 As, 3 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 8 As, 11 Bs y 8 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 28 As, 39 Bs y 32 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
13. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −4 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2A)−1
ii) A (−2B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M12 = −40, C22 = 26
M21 = 6, M23 = 5
C31 = 0, M32 = 48
C33 = 48, C11 = 24
ya12 = 2, a22 = 8
a21 = 4, a23 = 8
a31 = 8, a32 = 3
a33 = 6, a11 = 7
Determine |A|.
Respuesta:
15. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 577 As, 583 Bs y 485 Cs;
para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 421
As, 419 Bs y 353 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 634 As, 638 Bs y 532 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 3 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 5 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 4 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:15
1. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 8 As, 11 Bs y 8 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 30 As, 40 Bs y 29 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 16 pesos, y por uno tipo Z
gana 29 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D genera
a V .
b) D tiene menos de 20 elementos.
c) G tiene menos de 20 elementos.
d) I tiene a lo mas 20 elementos.
e) B tiene 20 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)T
B
)T= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
5. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 2x− 10 y + 8 z
y′ = 6x− 23 y + 18 z
z′ = 12x− 30 y + 22 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 119.1
Respuesta:
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y − 3 z = −6
−2x− 4 y − 7 z = −15
2x + 4 y + 9 z = 21
−x− 2 y − z = 0
se puede decir que:
2
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 21o, Tb = 31o, Tc = 14o
Td = 22o, Te = 35o, Tf = 37o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
8. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 326 As, 188 Bs y 290 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 4 Zs se requirieron en total 408
As, 236 Bs y 368 Cs; y que para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 340 As, 196 Bs y 310 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 3 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = −32, C13 = 20
C12 = −16, M22 = −10
M31 = −17, C33 = −11
M23 = 2, C11 = −6
ya32 = 6, a13 = 7
a12 = 4, a22 = 7
a31 = 4, a33 = 6
a23 = 8, a11 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
10. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5a2|2 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2, 2a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
MA1010, Examen Final, Tipo: 15 3
3) Falso
Respuesta:
11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
12. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −5 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4B)T
ii) (4A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
13. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 13
5 16
7 16
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
14. Determine la distancia de P (3, 4, 2, 4) al conjunto de so-
luciones a 2 4 3 3
5 2 1 5
14 12 8 16
x =
0
0
0
Respuesta:
15. Los vectores
1.
−9
−38
−16
2.
2
8
2
3.
1
4
1
4.
9
38
16
5.
3
13
6
son vectores propios de la matriz
A =
261 −72 27
1076 −297 112
412 −114 44
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:16
1. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x + 3 y + z = 5
5x + 5 y + 4 z = 1
3x + 5 y + 2 z = 3
3x + 5 y + z = 5
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
3. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M11 = 10, M33 = 7
M23 = −11, C32 = −35
C13 = −17, M21 = 11
C22 = 22, C31 = 14
ya11 = 7, a33 = 4
a23 = 6, a32 = 1
a13 = 1, a21 = 7
a22 = 4, a31 = 6
Determine |A|.Respuesta:
4. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 16
5 19
7 19
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 3a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
2
b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5a2|5 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
7. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 2 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 380 As, 268 Bs y 324 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 368
As, 277 Bs y 311 Cs; y que para armar 2 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 288 As, 219 Bs y 243 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 3 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
8. Determine la distancia de P (1, 2, 2, 3) al conjunto de so-
luciones a 3 4 3 2
1 1 5 4
5 6 13 10
x =
0
0
0
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 10 elementos, entonces D es base.
b) I tiene menos de 11 elementos.
c) G tiene al menos 10 elementos.
d) Si I tiene 10 elementos, entonces I genera a V .
e) B tiene 10 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Rs, 4 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 10 Rs, 10 Ss y 7 Ts. Suponga que debe uti-
lizarse en su totalidad 38 Rs, 34 Ss y 27 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo B gana 16 pesos, y por uno tipo C gana 30
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
11. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 −3
−1 −3
]
D =
[−13 8
0 8
]
MA1010, Examen Final, Tipo: 16 3
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
12. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −3 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2B)T
ii) (2A)−1
iii) AT B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
13. Los vectores
1.
−6
16
−9
2.
−18
48
−27
3.
−2
5
−2
4.
−4
10
−4
5.
1
−2
−1
son vectores propios de la matriz
A =
−175 −78 −18
498 222 52
−363 −162 −40
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 7 y + 10 z
y′ = −18x− 15 y + 22 z
z′ = −18x− 17 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −34.85
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 36o, Tb = 31o, Tc = 28o
Td = 18o, Te = 14o, Tf = 21o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:17
1. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 464 As, 312 Bs y 260 Cs;
para armar 4 Xs, 3 Ys y 5 Zs se requirieron en total 563
As, 386 Bs y 316 Cs; y que para armar 5 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 459 As, 310 Bs y 258 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 2 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
2. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −2 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3B)T
ii) (3A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT BA−1
Respuesta:
3. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 12
4 14
8 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 26o, Tb = 13o, Tc = 39o
Td = 21o, Te = 33o, Tf = 23o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
5. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 2 y + 4 z
y′ = −12x− 4 y + 9 z
z′ = −12x− 6 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −15.71
Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 16 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
2
b) I tiene mas de 16 elementos.
c) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D genera a
V .
d) G tiene menos de 16 elementos.
e) B tiene mas de 16 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = −3, C32 = −2
M22 = 36, M21 = 30
M13 = 2, C12 = −20
C11 = 14, C23 = −2
ya33 = 6, a32 = 2
a22 = 3, a21 = 4
a13 = 3, a12 = 6
a11 = 7, a23 = 2
Determine |A|.Respuesta:
8. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m > n, entonces, Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes si acaso tiene solucion.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 2 y + 4 z = 1
3x + 4 y + z = 5
3x + 5 y + 4 z = 5
2x + y + 2 z = 3
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
10. Los vectores
1.
−10
−14
−2
2.
12
15
12
3.
−5
−7
−1
4.
1
1
2
5.
4
5
4
son vectores propios de la matriz
A =
68 −44 −12
103 −67 −18
−28 20 4
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 17 3
11. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
13. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 4a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|5b] es consistente.
c) Si 4b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
14. Determine la distancia de P (3, 3, 1, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 5 5 3
1 1 5 5
3 7 15 13
x =
0
0
0
Respuesta:
15. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 4 Rs, 3 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 2 Rs, 3 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 8 Rs, 9 Ss y 10 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 32 Rs, 33 Ss y 34 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:18
1. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 4a3,a2|4b] es consistente.
c) Si [a1,a2, 3a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
3. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
b) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes si acaso tiene solucion.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −2x− 3 y + 6 z
y′ = −4x− 7 y + 14 z
z′ = −6 y + 10 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 6.519
Respuesta:
5. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 13
4 14
7 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
2
6. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = −4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3B)T
ii) (3A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
7. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 1
1 −2
]
D =
[−9 −6
−1 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
8. Determine la distancia de P (2, 2, 2, 4) al conjunto de so-
luciones a 5 1 3 5
3 4 2 4
14 13 9 17
x =
0
0
0
Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 17o, Tc = 33o
Td = 18o, Te = 26o, Tf = 38o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 2 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 330 As, 352 Bs y 325 Cs;
para armar 4 Xs, 4 Ys y 5 Zs se requirieron en total 439
As, 462 Bs y 423 Cs; y que para armar 3 Xs, 5 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 408 As, 424 Bs y 386 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 2 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 3 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
11. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
B requiere 4 Xs, 2 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto
C requiere 10 Xs, 10 Ys y 7 Zs. Suponga que debe uti-
lizarse en su totalidad 37 Xs, 36 Ys y 26 Zs. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo B gana 20 pesos, y por uno tipo C gana 36
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
12. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 3 y + 11 z = 3
4x + 4 y + 12 z = 5
3x + 3 y + 9 z = 1
5x + 3 y + 11 z = 4
se puede decir que:
MA1010, Examen Final, Tipo: 18 3
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
13. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M12 = −8, C22 = 42
C21 = −54, C33 = 16
C31 = 46, C32 = −44
C11 = 32, C13 = −13
ya12 = 7, a22 = 5
a21 = 2, a33 = 8
a31 = 3, a32 = 1
a11 = 6, a13 = 2
Determine |A|.
Respuesta:
14. Los vectores
1.
8
22
−8
2.
−4
−11
4
3.
−3
−9
6
4.
−40
−112
46
5.
1
3
−2
son vectores propios de la matriz
A =
−856 344 88
−2414 970 248
1036 −416 −106
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
15. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 11 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 11 elementos, entonces D genera
a V .
b) D tiene menos de 11 elementos.
c) I tiene mas de 11 elementos.
d) B tiene 11 elementos.
e) Si I tiene 11 elementos, entonces I genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:19
1. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−1 −2
−1 2
]
D =
[0 7
−1 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Determine la distancia de P (3, 3, 4, 1) al conjunto de so-
luciones a 1 3 4 2
4 1 5 3
15 12 27 15
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene mas de 16 elementos.
b) I tiene menos de 17 elementos.
c) G tiene al menos 16 elementos.
d) Si I tiene 16 elementos, entonces I es base.
e) Si D tiene menos de 16 elementos, entonces D genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
d) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-
pendiente.
e) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
2
a) Si [a1,a2, 3a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4a2|5 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
7. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Rs, 4 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 10 Rs, 10 Ss y 7 Ts. Suponga que debe uti-
lizarse en su totalidad 38 Rs, 34 Ss y 27 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 4 pesos, por un
ensamble tipo B gana 8 pesos, y por uno tipo C gana 15
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
8. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 21o, Tb = 11o, Tc = 12o
Td = 22o, Te = 30o, Tf = 11o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = 2, M22 = −10
C32 = −2, M11 = −5
M33 = 12, C23 = −44
M31 = −4, M12 = −4
ya13 = 3, a22 = 2
a32 = 7, a11 = 8
a33 = 1, a23 = 1
a31 = 6, a12 = 2
Determine |A|.Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 6 y + 10 z
y′ = −20x− 13 y + 22 z
z′ = −20x− 15 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −24.9
Respuesta:
11. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 3 y + 11 z = 1
x + 5 y + 11 z = 3
5x + 5 y + 15 z = 2
4x + y + 6 z = 5
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
MA1010, Examen Final, Tipo: 19 3
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 2
2 11
5 14
7 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −5 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−3B)T
ii) (−3A)−1
iii) AB−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
14. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−32 6 −12
102 −20 39
138 −30 55
de la lista de vectores:
1.
−6
20
28
2.
3
−10
−13
3.
−1
4
5
4.
4
−13
−18
5.
1
−3
−4
6.
6
−21
−27
Respuesta:
15. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 352 As, 238 Bs y 296 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 308
As, 218 Bs y 272 Cs; y que para armar 2 Xs, 5 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 407 As, 288 Bs y 357 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 2 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 3 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:20
1. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 10 As, 11 Bs y 6 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 37 As, 40 Bs y 22 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z
gana 36 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
2. Determine la distancia de P (5, 5, 4, 3) al conjunto de so-
luciones a 2 2 1 3
5 1 1 4
16 8 5 17
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = −6, C33 = −6
M21 = −30, C23 = 12
C22 = −26, C12 = 3
C32 = 18, C11 = 0
ya13 = 8, a33 = 3
a21 = 3, a23 = 3
a22 = 6, a12 = 6
a32 = 6, a11 = 2
Determine |A|.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene mas de 9 elementos, entonces D es base.
b) G tiene al menos 9 elementos.
c) B tiene menos de 9 elementos.
d) I tiene mas de 9 elementos.
e) Si I tiene 9 elementos, entonces I genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2a2|2 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
d) Si [a1,a2, 3a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
6. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
c) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
2
3) Cierto
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 34o, Tc = 25o
Td = 36o, Te = 19o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
8. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −4 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3B)T
ii) (3A)−1
iii) AB−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT BA−1
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− y + 5 z
y′ = −12x− y + 6 z
z′ = −24x− 4 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 46.09
Respuesta:
11. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + 4 y + 9 z = 1
x + 3 y + 7 z = 4
4x + 2 y + 8 z = 1
x + 4 y + 9 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
MA1010, Examen Final, Tipo: 20 3
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
12. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−123 46 −38
−148 55 −46
236 −88 73
de la lista de vectores:
1.
−3
−4
5
2.
−8
−10
14
3.
5
6
−9
4.
13
16
−24
5.
1
1
−2
6.
10
12
−19
Respuesta:
13. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 14
5 16
8 16
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
14. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 2 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 286 As, 448 Bs y 292 Cs;
para armar 2 Xs, 4 Ys y 5 Zs se requirieron en total 348
As, 551 Bs y 362 Cs; y que para armar 3 Xs, 2 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 222 As, 346 Bs y 224 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
15. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[0 0
2 1
]
D =
[−3 1
−8 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:21
1. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 14
6 16
8 16
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 37o, Tb = 25o, Tc = 17o
Td = 14o, Te = 28o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 19x− 15 y + 9 z
y′ = 39x− 31 y + 19 z
z′ = 27x− 21 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 13.85
Respuesta:
4. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 2 As, 3 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 6 As, 10 Bs y 11 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 22 As, 37 Bs y 40 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 10 pesos,
por un ensamble tipo S gana 20 pesos, y por uno tipo T
gana 34 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
5. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 20 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
b) D tiene al menos 19 elementos.
c) I tiene a lo mas 19 elementos.
d) Si D tiene menos de 19 elementos, entonces D genera
a V .
e) G tiene al menos 19 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2
6. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −3 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2A)−1
ii) A (2B)T
iii) AT B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = 3, C31 = −1
M32 = 0, M13 = 7
C11 = −2, M12 = 1
C22 = 2, M23 = 16
ya33 = 1, a31 = 2
a32 = 3, a13 = 2
a11 = 6, a12 = 1
a22 = 1, a23 = 1
Determine |A|.
Respuesta:
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|5 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2, 5a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|5b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 318 As, 381 Bs y 255 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 250
As, 300 Bs y 202 Cs; y que para armar 2 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 222 As, 266 Bs y 178 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 2 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 4 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
11. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
12. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + y + 2 z = 2
3x + 4 y + 3 z = 1
4x + 4 y + 3 z = 2
x + y + z = 4
se puede decir que:
MA1010, Examen Final, Tipo: 21 3
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
13. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
14. Determine la distancia de P (4, 4, 3, 1) al conjunto de so-
luciones a 3 4 3 1
5 1 1 1
13 6 5 3
x =
0
0
0
Respuesta:
15. Los vectores
1.
−2
−3
−2
2.
1
1
1
3.
4
2
2
4.
−2
−1
−1
5.
−6
−9
−6
son vectores propios de la matriz
A =
4 12 −18
3 16 −21
3 12 −17
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:22
1. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x− 9 y + 9 z = 0
2x− 6 y + 8 z = −2
2x− 6 y + 5 z = 1
2x− 6 y + 4 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 520 As, 355 Bs y 450 Cs;
para armar 4 Xs, 5 Ys y 2 Zs se requirieron en total 495
As, 340 Bs y 435 Cs; y que para armar 5 Xs, 5 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 542 As, 373 Bs y 476 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 4 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 2 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C11 = −19, C13 = 27
M33 = −22, C12 = 5
C32 = 26, C22 = −14
C31 = −6, C23 = −6
y
a11 = 4, a13 = 6
a33 = 1, a12 = 6
a32 = 6, a22 = 5
a31 = 3, a23 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene a lo mas 8 elementos.
b) Si D tiene 8 elementos, entonces D es base.
c) B tiene mas de 8 elementos.
d) D tiene al menos 8 elementos.
e) G tiene mas de 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2
5. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
6. Los vectores
1.
2
−6
8
2.
−9
24
−42
3.
−6
15
−29
4.
3
−8
14
5.
12
−30
58
son vectores propios de la matriz
A =
137 30 −12
−318 −71 27
694 150 −62
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2, 3a3|2b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 4a3,a2|3b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
8. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
1 16
5 18
7 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente dependiente.
d) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 7 y + 5 z
y′ = −6x− 8 y + 6 z
z′ = −12x− 20 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = 13.79
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 22 3
11. Determine la distancia de P (4, 1, 2, 1) al conjunto de so-
luciones a 5 3 5 2
2 4 2 2
14 14 14 8
x =
0
0
0
Respuesta:
12. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 11 As, 10 Bs y 6 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 40 As, 37 Bs y 22 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 16 pesos, y por uno tipo Z
gana 26 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
13. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 5 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4A)−1
ii) A (−4B)T
iii) AB−1
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 34o, Tb = 35o, Tc = 14o
Td = 29o, Te = 26o, Tf = 22o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:23
1. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 2
1 11
4 14
8 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = x− 6 y + 10 z
y′ = 2x− 13 y + 22 z
z′ = 3x− 9 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −9.759
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 4 Rs, 3 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 12 Rs, 8 Ss y 7 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 44 Rs, 29 Ss y 26 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 16 pesos, y por uno tipo Z gana 27
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 2 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 200 As, 290 Bs y 404 Cs;
para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 266
As, 384 Bs y 536 Cs; y que para armar 3 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 285 As, 410 Bs y 573 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 4 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
5. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[0 −1
−2 0
]
D =
[2 0
7 −1
]
2
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
7. Determine la distancia de P (5, 4, 4, 3) al conjunto de so-
luciones a 1 4 5 3
1 2 1 5
3 10 11 11
x =
0
0
0
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
c) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = −35, M31 = −33
C13 = 21, M23 = 17
M22 = 0, C11 = 14
M21 = −17, C33 = −7
y
a32 = 7, a31 = 4
a13 = 7, a23 = 2
a22 = 7, a11 = 7
a21 = 7, a33 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
102 33 28
−360 −117 −100
72 24 22
de la lista de vectores:
1.
2
−7
1
2.
−5
17
−3
3.
1
−4
1
4.
−18
60
−9
5.
−5
16
−2
6.
0
−1
1
Respuesta:
11. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + y + 3 z = 3
5x + y + 7 z = 5
4x + 5 y + 14 z = 3
5x + 5 y + 15 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 23 3
12. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −1 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2A)−1
ii) A (2B)T
iii) A−1 B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
13. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|3b] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2a2|4 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si 6b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
14. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 12 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 12 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
b) B tiene mas de 12 elementos.
c) I tiene menos de 13 elementos.
d) G tiene a lo mas 12 elementos.
e) Si D tiene mas de 12 elementos, entonces D genera a
V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 22o, Tb = 29o, Tc = 27o
Td = 20o, Te = 12o, Tf = 35o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:24
1. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −11x− 3 y + 6 z
y′ = −14x− 4 y + 8 z
z′ = −27x− 9 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 12.73
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene al menos 20 elementos.
b) G tiene a lo mas 20 elementos.
c) I tiene menos de 21 elementos.
d) B tiene mas de 20 elementos.
e) Si I tiene 20 elementos, entonces I es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
2
6. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−631 168 −44
−2348 625 −164
178 −48 11
de la lista de vectores:
1.
3
11
−1
2.
−1
−3
3
3.
−12
−44
6
4.
4
15
−1
5.
2
7
−2
6.
7
26
−2
Respuesta:
7. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 338 As, 378 Bs y 375 Cs;
para armar 5 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 328
As, 368 Bs y 368 Cs; y que para armar 5 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 294 As, 330 Bs y 331 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 2 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
8. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 4 y − 4 z = −10
−x− 2 y − 4 z = −7
3x + 6 y + 9 z = 18
−x− 2 y + z = −2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 29o, Tb = 35o, Tc = 18o
Td = 33o, Te = 25o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 24 3
10. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 2 Rs, 4 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 8 Rs, 8 Ss y 11 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 29 Rs, 30 Ss y 40 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo B gana 20 pesos, y por uno tipo C gana 36
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
11. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈
Gen {a1,a2}d) Si [a1,a2, 3a3|2b] es inconsistente, entonces b ∈
Gen {a1,a2}e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈
Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
12. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −4 y |B| = 2
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4B)T
ii) (4A)−1
iii) A−1 B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
13. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M13 = 2, M23 = −10
M21 = 29, M12 = 41
M32 = −11, C33 = −20
C31 = 1, C11 = 17
y
a13 = 3, a23 = 2
a21 = 7, a12 = 5
a32 = 2, a33 = 7
a31 = 4, a11 = 5
Determine |A|.
Respuesta:
14. Determine la distancia de P (3, 5, 3, 2) al conjunto de so-
luciones a 2 3 3 5
2 2 5 3
12 15 24 24
x =
0
0
0
Respuesta:
15. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 12
6 13
7 13
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:25
1. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6a2|2 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5a2|2 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 24o, Tb = 32o, Tc = 18o
Td = 35o, Te = 35o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x + y + 2 z = 3
2x + 4 y + z = 5
4x + 3 y + 3 z = 1
5x + y + 4 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[3 −4
1 −1
]
2
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((AX)
TB)C−B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
6. Determine la distancia de P (4, 4, 2, 1) al conjunto de so-
luciones a 1 3 1 4
1 3 3 3
4 12 6 15
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Los vectores
1.
−2
−5
−5
2.
−3
−9
−12
3.
9
23
25
4.
4
10
10
5.
1
3
4
son vectores propios de la matriz
A =
201 −118 38
520 −305 98
580 −340 109
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
9. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = 1 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2B)T
ii) (2A)−1
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 3 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 381 As, 396 Bs y 434 Cs;
para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 390
As, 400 Bs y 440 Cs; y que para armar 5 Xs, 3 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 464 As, 479 Bs y 526 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 4 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 4 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
11. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
MA1010, Examen Final, Tipo: 25 3
t h(t)
0 3
2 14
5 18
7 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
12. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene mas de 19 elementos.
b) B tiene 19 elementos.
c) Si D tiene 19 elementos, entonces D genera a V .
d) D tiene mas de 19 elementos.
e) Si I tiene 19 elementos, entonces I genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 4 y + 10 z
y′ = −9x− 4 y + 11 z
z′ = −9x− 6 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 32.93
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = 0, C21 = −6
M32 = −6, C33 = −22
M13 = 22, M12 = 11
C31 = 2, M11 = 0
ya23 = 1, a21 = 5
a32 = 6, a33 = 3
a13 = 2, a12 = 6
a31 = 4, a11 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
15. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 11 Rs, 6 Ss y 10 Ts. Suponga que debe uti-
lizarse en su totalidad 40 Rs, 22 Ss y 37 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:26
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 19o, Tb = 18o, Tc = 29o
Td = 22o, Te = 21o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
2. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[3 −1
0 −2
]
D =
[−11 0
1 7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −15x− 7 y + 10 z
y′ = −18x− 8 y + 12 z
z′ = −35x− 17 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 22.22
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 217 As, 262 Bs y 292 Cs;
para armar 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 241
As, 293 Bs y 325 Cs; y que para armar 4 Xs, 3 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 328 As, 398 Bs y 430 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 3 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 2 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
5. Determine la distancia de P (3, 1, 3, 5) al conjunto de so-
luciones a 2 3 2 1
2 4 2 3
4 7 4 4
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M13 = 13, C21 = 27
M22 = −35, C12 = −15
M31 = −20, C33 = −4
M32 = −52, M23 = −1
ya13 = 8, a21 = 7
a22 = 3, a12 = 1
a31 = 5, a33 = 5
a32 = 4, a23 = 4
Determine |A|.Respuesta:
2
7. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x + y + 6 z = 1
2x + 5 y + 12 z = 3
2x + y + 4 z = 1
x + y + 3 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
8. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 2 As, 3 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 10 As, 9 Bs y 8 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 36 As, 33 Bs y 30 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 6 pesos,
por un ensamble tipo S gana 12 pesos, y por uno tipo T
gana 22 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
9. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −3 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (3B)T
ii) (3A)−1
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
10. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 11 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 11 elementos, entonces D es base.
b) G tiene al menos 11 elementos.
c) B tiene menos de 11 elementos.
d) D tiene mas de 11 elementos.
e) Si I tiene 10 elementos, entonces I es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
11. Los vectores
1.
1
2
−3
2.
−1
−2
3
3.
2
−2
−2
4.
−3
−9
12
5.
−1
1
1
son vectores propios de la matriz
A =
27 9 14
76 34 46
−99 −39 −56
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 26 3
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
13. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 9
5 13
8 13
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2, 2a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5a2|2 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
15. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:27
1. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
b) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 5 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 224 As, 450 Bs y 370 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 5 Zs se requirieron en total 204
As, 412 Bs y 332 Cs; y que para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 188 As, 382 Bs y 306 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 2 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 2 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 2
1 10
5 14
9 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
B requiere 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
C requiere 8 Xs, 9 Ys y 10 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 32 Xs, 33 Ys y 34 Zs. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo B gana 20 pesos, y por uno tipo C gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
5. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 21o, Tc = 40o
2
Td = 18o, Te = 23o, Tf = 28o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
6. Determine la distancia de P (1, 1, 4, 2) al conjunto de so-
luciones a 1 4 4 4
4 1 1 2
11 14 14 16
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −4 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (2B)T
ii) (2A)−1
iii) A−1 B
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene mas de 19 elementos.
b) Si D tiene 19 elementos, entonces D es base.
c) Si I tiene 19 elementos, entonces I genera a V .
d) G tiene menos de 19 elementos.
e) B tiene mas de 19 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = −8, C33 = −4
C32 = −11, M11 = −26
M13 = 28, C31 = 5
M21 = −1, C22 = 5
ya23 = 6, a33 = 4
a32 = 5, a11 = 3
a13 = 1, a31 = 7
a21 = 7, a22 = 1
Determine |A|.Respuesta:
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 2x− 8 y + 5 z
y′ = 3x− 11 y + 7 z
z′ = 6x− 18 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −42.29
Respuesta:
12. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
c) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
MA1010, Examen Final, Tipo: 27 3
3) No se sabe
Respuesta:
13. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
14. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 6 y + 2 z = −10
2x + 6 y − 4 z = 14
2x + 6 y = 6
−x− 3 y + 4 z = −11
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
15. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−11 8 −8
32 −5 −28
−154 64 23
de la lista de vectores:
1.
5
11
3
2.
−3
−7
−1
3.
−12
−27
−6
4.
−24
−57
−3
5.
9
21
2
6.
1
2
1
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:28
1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 7 y + 10 z
y′ = −18x− 15 y + 22 z
z′ = −18x− 17 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 15.97
Respuesta:
2. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−3 1
−1 1
]
D =
[2 −3
−1 −3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)T − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 5 y + 4 z = 2
5x + 5 y + 4 z = 5
5x + 2 y + z = 3
x + 2 y + 2 z = 4
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 40o, Tb = 36o, Tc = 26o
Td = 14o, Te = 28o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
2
5. Determine la distancia de P (2, 4, 4, 2) al conjunto de so-
luciones a 1 4 1 2
1 4 4 4
4 16 10 12
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|5 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2, 5a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
8. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −5 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4B)T
ii) (4A)−1
iii) AB−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) AT BA−1
Respuesta:
9. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 15
4 19
8 19
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 5 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 655 As, 450 Bs y 567 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 5 Zs se requirieron en total 705
As, 486 Bs y 613 Cs; y que para armar 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 465 As, 314 Bs y 409 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 3 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 2 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0
tiene solucion unica.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
MA1010, Examen Final, Tipo: 28 3
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
12. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = −9, C33 = −31
C22 = 22, M23 = 28
M13 = 51, C11 = 4
C12 = −37, C21 = −14
ya32 = 7, a33 = 5
a22 = 5, a23 = 3
a13 = 3, a11 = 5
a12 = 7, a21 = 8
Determine |A|.Respuesta:
13. Los vectores
1.
−12
33
−3
2.
−24
69
−18
3.
−1
3
−1
4.
4
−11
1
5.
1
−3
1
son vectores propios de la matriz
A =
450 168 52
−1307 −488 −151
369 138 43
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
14. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un pro-
ducto B requiere 4 Xs, 3 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un
producto C requiere 10 Xs, 11 Ys y 6 Zs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 38 Xs, 39 Ys y 22 Zs.
Por cada ensamble del tipo A la companıa gana 4 pesos,
por un ensamble tipo B gana 8 pesos, y por uno tipo C
gana 13 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del
tipo C se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
15. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene menos de 10 elementos.
b) Si D tiene mas de 10 elementos, entonces D genera a
V .
c) B tiene 10 elementos.
d) G tiene menos de 10 elementos.
e) Si G tiene 10 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:29
1. Los vectores
1.
−9
−33
−24
2.
−3
−11
−8
3.
−10
−36
−27
4.
−1
−4
−2
5.
1
4
2
son vectores propios de la matriz
A =
258 −55 −20
900 −193 −68
720 −152 −58
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2, 4a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 4 As, 2 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 10 As, 10 Bs y 7 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 38 As, 34 Bs y 27 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T
gana 29 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
2
Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 12 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si I tiene menos de 12 elementos, entonces I genera
a V .
b) D tiene mas de 12 elementos.
c) Si D tiene mas de 12 elementos, entonces D genera a
V .
d) B tiene menos de 12 elementos.
e) I tiene a lo mas 12 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
7. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 14
6 15
7 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −22, M23 = 10
C11 = −26, C12 = 21
C21 = 31, C31 = −20
M13 = −12, C32 = 4
ya22 = 6, a23 = 4
a11 = 2, a12 = 1
a21 = 3, a31 = 6
a13 = 4, a32 = 8
Determine |A|.Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 18o, Tb = 30o, Tc = 15o
Td = 21o, Te = 21o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
10. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 1 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4A)−1
ii) A (−4B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− 2 y + 5 z
y′ = −12x− 2 y + 6 z
z′ = −24x− 6 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −14.22
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 29 3
12. Determine la distancia de P (1, 5, 4, 1) al conjunto de so-
luciones a 4 2 4 3
3 2 3 3
11 6 11 9
x =
0
0
0
Respuesta:
13. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 252 As, 282 Bs y 272 Cs;
para armar 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs se requirieron en total 282
As, 312 Bs y 300 Cs; y que para armar 3 Xs, 3 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 297 As, 324 Bs y 309 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 5 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 2 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 4 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
14. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x + 6 y − 2 z = 0
−2x− 6 y + 5 z = −6
2x + 6 y = −4
2x + 6 y − 3 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
15. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
((AXT
)TB
)T= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:30
1. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x + 4 y − 6 z = −2
−x + 2 y − 3 z = −1
3x− 6 y + 9 z = 3
2x− 4 y + 6 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6a2|6 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 3a3,a2|3b] es consistente.
e) Si [a1,a2, 4a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
3. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 442 As, 328 Bs y 284 Cs;
para armar 2 Xs, 2 Ys y 3 Zs se requirieron en total 259
As, 190 Bs y 162 Cs; y que para armar 5 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 426 As, 312 Bs y 264 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 3 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 3 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M33 = 11, C23 = −25
C11 = −34, C32 = −14
M13 = 23, C22 = 2
M12 = −8, M31 = −2
ya33 = 2, a23 = 6
a11 = 4, a32 = 7
a13 = 2, a22 = 4
a12 = 1, a31 = 3
Determine |A|.Respuesta:
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
2
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
6. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 13
4 14
7 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
7. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−137 −104 36
228 173 −60
116 88 −31
de la lista de vectores:
1.
−6
10
5
2.
−1
1
−1
3.
1
−2
−2
4.
3
−5
−3
5.
−6
9
3
6.
−24
39
18
Respuesta:
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 15 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
b) Si D tiene 14 elementos, entonces D es base.
c) G tiene a lo mas 14 elementos.
d) B tiene mas de 14 elementos.
e) D tiene al menos 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 5 y + 7 z
y′ = −12x− 10 y + 15 z
z′ = −12x− 12 y + 17 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −40.28
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
MA1010, Examen Final, Tipo: 30 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 34o, Tb = 30o, Tc = 28o
Td = 40o, Te = 22o, Tf = 34o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
11. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 2 Rs, 3 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 7 Rs, 8 Ss y 12 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 26 Rs, 29 Ss y 44 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo B gana 20 pesos, y por uno tipo C gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
12. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−3 1
−3 −3
]
D =
[11 −2
6 8
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
13. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = −1 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−2B)T
ii) (−2A)−1
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
15. Determine la distancia de P (2, 4, 3, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 3 2 1
4 5 4 3
11 19 14 9
x =
0
0
0
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:31
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = 26, C32 = −3
C22 = 9, M12 = 10
C21 = 8, C31 = 2
M11 = −12, C23 = −22
y
a13 = 3, a32 = 4
a22 = 2, a12 = 2
a21 = 7, a31 = 1
a11 = 6, a23 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
3. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −4 y |B| = 1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (2A)−1
ii) A (2B)T
iii) AB−1
iv) BT AT B−1 A−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 39o, Tb = 33o, Tc = 11o
Td = 14o, Te = 12o, Tf = 24o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
5. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− y + 5 z
y′ = −6x− y + 6 z
z′ = −6x− 3 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −9.291
Respuesta:
6. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
1 16
3 19
8 19
2
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
7. Determine la distancia de P (5, 5, 2, 1) al conjunto de so-
luciones a 4 4 1 3
4 5 1 3
8 9 2 6
x =
0
0
0
Respuesta:
8. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 6 y − 4 z = 2
−2x− 6 y − 4 z = 2
−2x− 6 y − 4 z = 2
−2x− 6 y − 4 z = 2
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
9. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
A requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un pro-
ducto B requiere 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un
producto C requiere 8 Xs, 8 Ys y 11 Zs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 28 Xs, 32 Ys y 39 Zs.
Por cada ensamble del tipo A la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo B gana 16 pesos, y por uno tipo C
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del
tipo C se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
10. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|2 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si 2b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 4a3,a2|4b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 3 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 307 As, 319 Bs y 206 Cs;
para armar 2 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 243
As, 254 Bs y 164 Cs; y que para armar 4 Xs, 3 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 309 As, 322 Bs y 208 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 4 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 4 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 31 3
12. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[1 −2
−2 3
]
D =
[−4 5
1 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
13. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
14. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 18 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene menos de 19 elementos.
b) Si I tiene 17 elementos, entonces I es base.
c) Si D tiene 18 elementos, entonces D genera a V .
d) D tiene a lo mas 18 elementos.
e) G tiene a lo mas 18 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
15. Los vectores
1.
3
−8
−4
2.
−2
5
3
3.
−9
24
12
4.
−2
6
4
5.
2
−5
−3
son vectores propios de la matriz
A =
3 −9 15
−4 26 −41
−8 10 −19
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:32
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = 41, C12 = −3
C31 = 22, C11 = −12
C33 = −12, C22 = 21
C21 = −9, M23 = 12
ya32 = 3, a12 = 4
a31 = 3, a11 = 8
a33 = 3, a22 = 2
a21 = 7, a23 = 6
Determine |A|.Respuesta:
2. Determine la distancia de P (2, 3, 5, 5) al conjunto de so-
luciones a 2 2 4 1
4 3 1 1
14 12 14 5
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 2 y + 4 z = 14
−x− y + 5 z = 16
−x− y + z = 4
−x− y + z = 4
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
1
0
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
5. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[0 −2
1 1
]
D =
[−2 1
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2
6. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
X requiere 4 As, 2 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto Y requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto Z requiere 10 As, 10 Bs y 7 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 38 As, 34 Bs y 27 Cs.
Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 6 pesos,
por un ensamble tipo Y gana 12 pesos, y por uno tipo Z
gana 19 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del
tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
7. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 10 elementos, entonces D es base.
b) D tiene menos de 10 elementos.
c) Si I tiene menos de 10 elementos, entonces I genera
a V .
d) G tiene menos de 10 elementos.
e) B tiene mas de 10 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
8. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 36o, Tb = 12o, Tc = 12o
Td = 17o, Te = 18o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 446 As, 538 Bs y 513 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 344
As, 409 Bs y 391 Cs; y que para armar 4 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 352 As, 431 Bs y 411 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 5 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 2 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 3 y + 6 z
y′ = −18x− 7 y + 14 z
z′ = −18x− 9 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 7.144
Respuesta:
11. Los vectores
1.
0
2
−3
2.
0
−2
3
3.
−1
−3
−5
4.
3
12
9
5.
1
4
3
MA1010, Examen Final, Tipo: 32 3
son vectores propios de la matriz
A =
−36 6 4
−218 38 22
−15 0 5
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 14
6 15
9 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
d) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 3 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−3A)−1
ii) A (−3B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
15. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|2b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5a2|4 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:33
1. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 2 Rs, 4 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 10 Rs, 8 Ss y 9 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 34 Rs, 32 Ss y 33 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo B gana 16 pesos, y por uno tipo C gana 27
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 35o, Tb = 21o, Tc = 38o
Td = 37o, Te = 24o, Tf = 10o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
3. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−228 −167 53
520 381 −121
620 454 −144
de la lista de vectores:
1.
5
−11
−13
2.
−3
7
9
3.
1
−2
−2
4.
−15
34
41
5.
−10
23
28
6.
4
−9
−11
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = 11, C23 = −2
C12 = 1, M21 = 3
M13 = −4, M31 = 0
C11 = 3, C32 = −2
ya22 = 1, a23 = 1
a12 = 1, a21 = 1
a13 = 1, a31 = 7
a11 = 3, a32 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
5. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −2 y |B| = 3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−3A)−1
ii) A (−3B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
2
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 3 y + 2 z = −1
2x + 6 y − 4 z = 2
3x + 9 y − 6 z = 3
−2x− 6 y + 4 z = −2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
7. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 2 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 240 As, 252 Bs y 254 Cs;
para armar 5 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 324
As, 337 Bs y 331 Cs; y que para armar 4 Xs, 5 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 336 As, 349 Bs y 336 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 3 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 4 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −15x− 7 y + 10 z
y′ = −18x− 8 y + 12 z
z′ = −35x− 17 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −73.34
Respuesta:
9. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
1 13
5 17
7 17
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
10. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[3 −1
1 −2
]
D =
[−10 1
−5 3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. Determine la distancia de P (1, 3, 2, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 3 2 4
1 2 2 2
5 13 10 16
x =
0
0
0
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 33 3
12. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tiene
solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucion
unica.
c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes si acaso tiene solucion.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
13. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene menos de 16 elementos.
b) G tiene a lo mas 16 elementos.
c) Si D tiene menos de 16 elementos, entonces D es base.
d) Si I tiene 16 elementos, entonces I es base.
e) B tiene menos de 16 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|4 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|2b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
15. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:34
1. Si A y B son matrices 2× 2 tales que
|A| = −3 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2A)−1
ii) A (−2B)T
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
2. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)T
B)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C21 = −17, M23 = −4
C32 = 3, M22 = 1
C12 = −8, M11 = 24
M13 = 0, M31 = −3
ya21 = 2, a23 = 3
a32 = 6, a22 = 6
a12 = 5, a11 = 1
a13 = 3, a31 = 2
Determine |A|.Respuesta:
5. Los vectores
1.
−1
−3
−6
2.
−2
−4
−6
3.
−3
−5
−5
4.
−9
−15
−15
5.
1
2
3
son vectores propios de la matriz
A =
−102 90 −27
−225 195 −57
−360 306 −87
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
6. Determine la distancia de P (1, 5, 1, 2) al conjunto de so-
luciones a 5 2 5 2
3 3 4 4
14 11 17 14
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
2
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 2a3,a2|2b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|6 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
8. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 2 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 369 As, 389 Bs y 391 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 295
As, 314 Bs y 317 Cs; y que para armar 3 Xs, 4 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 381 As, 401 Bs y 402 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 2 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
9. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 14
6 15
7 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
10. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 2 Rs, 3 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 7 Rs, 8 Ss y 12 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 27 Rs, 28 Ss y 44 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z gana 37
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 12 y + 7 z
y′ = −4x− 13 y + 8 z
z′ = −8x− 30 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = −16.06
Respuesta:
12. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + y + 7 z = 5
4x + 3 y + 10 z = 3
3x + 2 y + 7 z = 5
5x + y + 7 z = 1
se puede decir que:
MA1010, Examen Final, Tipo: 34 3
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 24o, Tb = 35o, Tc = 28o
Td = 11o, Te = 34o, Tf = 15o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
15. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene mas de 10 elementos.
b) Si I tiene 10 elementos, entonces I genera a V .
c) D tiene mas de 10 elementos.
d) G tiene al menos 10 elementos.
e) I tiene al menos 10 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:35
1. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2. Determine la distancia de P (3, 3, 5, 3) al conjunto de so-
luciones a 2 3 1 3
3 3 1 5
11 12 4 18
x =
0
0
0
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 14 elementos.
b) B tiene menos de 14 elementos.
c) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a
V .
d) D tiene al menos 14 elementos.
e) G tiene menos de 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[1 −2
3 1
]
D =
[−1 3
−8 −4
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
A requiere 3 Rs, 4 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
B requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto
C requiere 9 Rs, 8 Ss y 10 Ts. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 33 Rs, 32 Ss y 34 Ts. Por cada
ensamble del tipo A la companıa gana 4 pesos, por un
ensamble tipo B gana 8 pesos, y por uno tipo C gana 16
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
6. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
d) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
dentro de las respuestas posibles:
2
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
7. Los vectores
1.
1
1
−2
2.
−12
−15
33
3.
−22
−26
58
4.
2
2
−4
5.
−11
−13
29
son vectores propios de la matriz
A =
37 −152 −56
44 −175 −64
−100 388 141
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
1 15
3 18
7 18
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x + 4 y + 11 z = 2
2x + 3 y + 8 z = 1
5x + 3 y + 11 z = 2
3x + 3 y + 9 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 4x− 6 y + 6 z
y′ = 9x− 13 y + 13 z
z′ = 12x− 12 y + 10 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = −2.515
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
MA1010, Examen Final, Tipo: 35 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 12o, Tb = 36o, Tc = 23o
Td = 35o, Te = 15o, Tf = 27o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
12. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
c) Si [a1,a2, 5a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 3a3,a2|5b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
13. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 4 y |B| = −3
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−2A)−1
ii) A (−2B)T
iii) A−1 B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C22 = 24, C13 = 18
M21 = −40, M11 = −30
M31 = 0, C32 = −24
C33 = 12, C23 = −52
ya22 = 3, a13 = 8
a21 = 3, a11 = 8
a31 = 1, a32 = 7
a33 = 4, a23 = 6
Determine |A|.
Respuesta:
15. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 2 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 291 As, 323 Bs y 353 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 5 Zs se requirieron en total 353
As, 393 Bs y 427 Cs; y que para armar 5 Xs, 3 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 349 As, 388 Bs y 420 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 3 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 4 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 3 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:36
1. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto
X requiere 2 Rs, 4 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto
Y requiere 4 Rs, 3 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto
Z requiere 10 Rs, 10 Ss y 7 Ts. Suponga que debe uti-
lizarse en su totalidad 34 Rs, 38 Ss y 27 Ts. Por cada
ensamble del tipo X la companıa gana 8 pesos, por un
ensamble tipo Y gana 16 pesos, y por uno tipo Z gana 29
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
3. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 517 As, 471 Bs y 330 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 333
As, 303 Bs y 213 Cs; y que para armar 4 Xs, 4 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 418 As, 380 Bs y 268 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 4 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 2 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3 y + 5 z
y′ = −7 y + 12 z
z′ = 2x− 6 y + 9 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 1.914
Respuesta:
5. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 3 y |B| = −1
calcule los determinantes de las matrices:
i) (4A)−1
ii) A (4B)T
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C31 = 10, M11 = −8
C22 = 38, C32 = 10
M23 = 32, C33 = −25
M21 = 16, M12 = 26
ya31 = 3, a11 = 7
a22 = 1, a32 = 8
a23 = 2, a33 = 8
a21 = 4, a12 = 8
Determine |A|.Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 5a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
2
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|4 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si 4b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-
sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
8. Determine la distancia de P (2, 2, 3, 5) al conjunto de so-
luciones a 3 2 4 3
3 1 5 3
15 8 22 15
x =
0
0
0
Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 30o, Tc = 40o
Td = 35o, Te = 23o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
10. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
54 −96 −20
28 −46 −8
−14 12 −3
de la lista de vectores:
1.
−3
−2
2
2.
13
9
−11
3.
12
9
−12
4.
1
1
−2
5.
−36
−24
27
6.
5
4
−6
Respuesta:
11. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
12. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C−B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 36 3
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x− 6 y + 3 z = 3
2x− 4 y + 2 z = 2
−2x + 4 y − 2 z = −2
2x− 4 y + 2 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 11 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 11 elementos.
b) G tiene al menos 11 elementos.
c) Si D tiene 11 elementos, entonces D es base.
d) Si G tiene 11 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
e) B tiene mas de 11 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
15. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 12
4 14
9 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:37
1. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 10
5 12
9 12
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 470 As, 434 Bs y 565 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 3 Zs se requirieron en total 386
As, 357 Bs y 467 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 403 As, 375 Bs y 500 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 2 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 3 As, 2 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 7 As, 10 Bs y 10 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 26 As, 36 Bs y 37 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 8 pesos,
por un ensamble tipo S gana 16 pesos, y por uno tipo T
gana 30 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 12 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene menos de 12 elementos.
b) Si D tiene mas de 12 elementos, entonces D genera a
V .
c) G tiene mas de 12 elementos.
d) Si I tiene menos de 12 elementos, entonces I genera
a V .
e) D tiene mas de 12 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 15o, Tb = 26o, Tc = 36o
2
Td = 31o, Te = 12o, Tf = 26o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6a2|5 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5a2|3 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2, 4a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 4x− 18 y + 12 z
y′ = 5x− 21 y + 14 z
z′ = 8x− 28 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = 46.13
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M31 = 9, C11 = −15
C12 = 10, M32 = 1
C22 = −13, C21 = 17
M13 = 0, M23 = −10
y
a31 = 4, a11 = 3
a12 = 7, a32 = 6
a22 = 3, a21 = 2
a13 = 4, a23 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
10. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[1 1
−3 2
]
D =
[1 −1
2 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-
ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-
tas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si
acaso tiene solucion.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes si acaso tiene solucion.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
MA1010, Examen Final, Tipo: 37 3
Respuesta:
12. Determine la distancia de P (2, 5, 1, 3) al conjunto de so-
luciones a 3 1 1 1
5 4 4 5
11 6 6 7
x =
0
0
0
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x + 3 y + 5 z = 4
5x + 5 y + z = 4
5x + y + 2 z = 3
3x + 2 y + 2 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 4 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (−4B)T
ii) (−4A)−1
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1
Respuesta:
15. Los vectores
1.
−4
5
15
2.
2
−2
−6
3.
1
−1
−3
4.
14
−18
−53
5.
12
−15
−45
son vectores propios de la matriz
A =
−19 −244 76
20 317 −100
60 930 −293
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:38
1. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−472 −172 47
1364 497 −136
198 72 −21
de la lista de vectores:
1.
−6
17
1
2.
−8
22
0
3.
−3
9
2
4.
−3
8
−1
5.
5
−14
−1
6.
1
−3
−1
Respuesta:
2. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 15 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene mas de 15 elementos.
b) Si D tiene 15 elementos, entonces D es base.
c) I tiene menos de 16 elementos.
d) D tiene al menos 15 elementos.
e) Si I tiene 15 elementos, entonces I genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 6 y + 4 z = −2
3x− 9 y + 6 z = −3
2x− 6 y + 4 z = −2
3x− 9 y + 6 z = −3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C−B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
2
5. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 7 Xs, 12 Ys y 8 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 26 Xs, 44 Ys y 29 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 10 pesos, por un
ensamble tipo S gana 20 pesos, y por uno tipo T gana 33
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C32 = −32, C11 = −16
C31 = 16, M22 = 41
M12 = 22, M33 = 0
C23 = −27, M21 = 16
y
a32 = 5, a11 = 6
a31 = 1, a22 = 2
a12 = 3, a33 = 7
a23 = 6, a21 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
e) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-
pendiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 7x− 12 y + 8 z
y′ = 14x− 25 y + 17 z
z′ = 18x− 30 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 31.06
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 356 As, 482 Bs y 479 Cs;
para armar 5 Xs, 5 Ys y 5 Zs se requirieron en total 500
As, 690 Bs y 670 Cs; y que para armar 3 Xs, 3 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 364 As, 494 Bs y 492 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 5 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Determine la distancia de P (2, 5, 1, 3) al conjunto de so-
luciones a 1 1 4 2
4 4 3 1
15 15 21 9
x =
0
0
0
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
MA1010, Examen Final, Tipo: 38 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 11o, Tc = 31o
Td = 20o, Te = 31o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
12. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si 6b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces
[a1, 5a3,a2|2b] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|3 c] es inconsis-
tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4a2|6 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
13. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 13
4 14
9 14
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = −4 y |B| = −5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (3A)−1
ii) A (3B)T
iii) AT B
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
15. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:39
1. Si A y B son matrices 3× 3 tales que
|A| = 2 y |B| = 5
calcule los determinantes de las matrices:
i) (−4A)−1
ii) A (−4B)T
iii) AB−1
iv) BT AT B−1
v) AT BA−1
Respuesta:
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −16x− 2 y + 8 z
y′ = −19x− 3 y + 10 z
z′ = −37x− 7 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 9.197
Respuesta:
3. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
1 14
6 15
7 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
4. Determine la distancia de P (2, 5, 3, 1) al conjunto de so-
luciones a 4 3 5 1
1 1 4 1
7 6 17 4
x =
0
0
0
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|5 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si 4b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2, 2a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene al menos 20 elementos.
b) Si D tiene 20 elementos, entonces D genera a V .
c) D tiene mas de 20 elementos.
d) Si G tiene 21 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
e) B tiene menos de 20 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −26, M11 = −3
M31 = 7, C21 = −2
C23 = 23, M12 = −19
C13 = −9, C33 = −8
y
a22 = 3, a11 = 4
a31 = 7, a21 = 4
a23 = 5, a12 = 5
a13 = 6, a33 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
8. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto
R requiere 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto
S requiere 4 Xs, 2 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto
T requiere 8 Xs, 8 Ys y 11 Zs. Suponga que debe utili-
zarse en su totalidad 30 Xs, 29 Ys y 40 Zs. Por cada
ensamble del tipo R la companıa gana 6 pesos, por un
ensamble tipo S gana 12 pesos, y por uno tipo T gana 19
pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona
una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos
del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se
realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene
solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
10. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[2 0
1 3
]
D =
[−8 −3
−3 −7
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)T − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes
ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces
Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces
Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
Ax = b2 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
MA1010, Examen Final, Tipo: 39 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 13o, Tb = 19o, Tc = 27o
Td = 11o, Te = 26o, Tf = 24o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
13. Los vectores
1.
14
−38
−23
2.
−2
6
4
3.
1
−3
−2
4.
−42
114
69
5.
−9
24
15
son vectores propios de la matriz
A =
25 −8 26
−70 23 −74
−49 11 −44
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
14. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 2 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 372 As, 358 Bs y 340 Cs;
para armar 4 Xs, 5 Ys y 3 Zs se requirieron en total 466
As, 456 Bs y 432 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 329 As, 314 Bs y 302 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 3 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
15. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + 3 y + 4 z = 1
4x + 5 y + 3 z = 3
5x + 3 y + 5 z = 1
2x + y + 2 z = 3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
1
0
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:40
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −10, C32 = −24
C21 = 3, M33 = −2
M12 = −28, M31 = 30
C23 = 15, C13 = −4
ya22 = 2, a32 = 3
a21 = 2, a33 = 1
a12 = 6, a31 = 5
a23 = 6, a13 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
2. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[2 −2
1 0
]
D =
[−2 5
−6 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-
ne solucion unica.
b) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
4. Determine la distancia de P (4, 3, 4, 5) al conjunto de so-
luciones a 1 2 4 3
2 5 2 5
6 14 12 16
x =
0
0
0
Respuesta:
5. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + y + 3 z = 1
x + 3 y + 7 z = 5
3x + 4 y + 11 z = 4
2x + 2 y + 6 z = 4
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
0
+y
3
1
0
+z
4
0
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellas
es x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2
Indique su seleccion y reporte los numeros que completan
la respuesta.
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-
pendiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 21o, Tb = 11o, Tc = 37o
Td = 40o, Te = 28o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
8. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto
R requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-
ducto S requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un
producto T requiere 10 As, 11 Bs y 6 Cs. Suponga que
debe utilizarse en su totalidad 37 As, 40 Bs y 22 Cs.
Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos,
por un ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T
gana 12 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-
porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos
productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo
T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.
Respuesta:
9. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 4x− 12 y + 7 z
y′ = 4x− 13 y + 8 z
z′ = 6x− 18 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = 52.11
Respuesta:
10. Los vectores
1.
2
6
−4
2.
−9
−30
27
3.
3
10
−9
4.
1
3
−2
5.
48
156
−129
son vectores propios de la matriz
A =
−411 171 52
−1298 540 164
982 −408 −123
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA1010, Examen Final, Tipo: 40 3
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 3 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 385 As, 459 Bs y 494 Cs;
para armar 2 Xs, 5 Ys y 4 Zs se requirieron en total 391
As, 469 Bs y 504 Cs; y que para armar 2 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 352 As, 424 Bs y 454 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 3 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor
quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 2
2 12
6 15
7 15
Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadratico:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel
pronosticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 13 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene a lo mas 13 elementos.
b) B tiene menos de 13 elementos.
c) I tiene a lo mas 13 elementos.
d) Si D tiene 13 elementos, entonces D es base.
e) Si I tiene menos de 13 elementos, entonces I genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
14. Si A y B son matrices 4× 4 tales que
|A| = 2 y |B| = 4
calcule los determinantes de las matrices:
i) A (4B)T
ii) (4A)−1
iii) AB−1
iv) AT BA−1
v) BT AT B−1 A−1
Respuesta:
15. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 2a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-
ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
c) Si 5b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-
sistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-
te, entonces [a1,b|c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|6 c] es consis-
tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
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