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1. Desigualdes.
Simboliza las siguientes proposiciones:
Lenguaje verbal Simbolizacin
Mayor que >es mas que
menor que 5
3. Conjunto solucinEst formado por los valores de la variable (Nmeros)
que satisfacen la desigualdad.
a) x
ZZ + y x 7: C.S. = {4; 5; 6; 7; ...}
4. Resolucin de una Inecuacin:
Resolver una inecuacin es encontrar un conjunto
solucin.
Hay que tener cuidado cuando un nmero negativomultiplique o divida a los trminos de una desigualdad
ya que cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:
Resolver:
a) 4 + 3x < 13 b) 7 - 2x < 193x < 13 4 -2x < 19 - 7
3x < 9 -2x < 122x > -12
x < 3
x > -6
5. Resolucin de un problema de texto:Enunciado: "El doble de la edad de Antonio ms 5 es
menor que 8". Qu edad tiene Antonio?
Solucin:
1. Comprender el problema:
Cul es la incgnita del problema?La edad de Antonio: x
LGEBRA.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 01 PRIMER GRADO
INECUACIONES DE PRIMER GRADO.
1
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1. Expresar de manera simblica:
a) Un nmero "x" menor que 6.
b) El duplo de "x" mayor o igual que 24.
c) La sexta parte de "x" menor o igual que 5.
d) Los dos tercios de un nmero "y" es mayor que 16.
2. Expresar el conjunto solucin de cada caso del
problema 1.
3. Resolver cada caso:
a) Si: x IN; x + 4 < 6
b) Si: x ZZ +; 2x - 4 8
c) Si: x IN; -2x > -8
d) Si: x ZZ -; 10x > -30
4. Resolver cada caso:
a) 2(x + 3) + 5(x + 9) < 6x + 100
b) 3(x - 2) + 2(x - 3) < 2(2x + 8)
c) 5(x - 4) - 3(x + 1) < x + 5
d) 2(3x + 4) - 5(x + 6) < 20
5. Resolver:
6. Resolver: e indicar el mayor valor entero
que toma "x"
7. Resolver:
3x15
4
5(x 3)10
2
x 4 2x 5 x
3 4 12
TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO.
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1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones.
a) "n" es un nmero natural mayor que 7.b) "x" es un nmero natural menor que 11.
c) Un nmero natural sumado con 3 es mayor o igualque 12.
d) "x" es un entero negativo menor que o igual a 10.
2. Encuentra el conjunto solucin de cada una de las
inecuaciones del ejercicio 1.
3. Si: x
Z , resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 3x + 4 < 7
b) -2 - 5x 3
c) 3 - 4x 11
d) 3x + 4 > 13
4. Si: x
Z +, resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 5 < 4x - 9
b)
c) -7 + 3x < -2x + 4
d) -13x + 9 > 5x - 18
5. Simboliza y encuentra el conjunto solucin de los
siguientes enunciados:
a) La suma de un nmero natural y 15 es mayor o igual
a 23.
b) La diferencia entre un nmero natural y 13 es
menor que o igual a 48.c) El doble de un nmero entero ms 9 es menor que
33.
d) El triple de un nmero natural disminuido en 15 esmayor 47.
6. Hallar el mayor valor Z de "x" en:
7. Dar la suma de valores enteros y positivos de "x" que
verifican la inecuacin:
8. Indique el menor valor entero al resolver la siguiente
inecuacin.
9. Resolver:
; x Z
10. Resolver:
; x Z
11. Resolver:
; x Z
12. Resolver:
; x Z
13. Se desea saber el menor nmero de alumnos que hay
en un aula, si al triple de dicho nmero se le disminuye
en 7, el resultado es mayor que 21.
14. Determinar el mnimo nmero entero, cuyo triple
disminuido en 6 sea mayor que su mitad aumentada en
4.
15. Cuntos nmeros naturales pares cumplen con la
condicin de que la tercera parte del nmero
aumentado en 15 sea mayor que su mitad ms 1?
16. Una fbrica de lapiceros quiere rematar un saldo de
lapiceros que le sobr de la produccin anterior; el
costo de fabricar un lapicero es S/. 500 y l desea
venderlo en S/. 800 c/u. Cuntos lapiceros se deben
vender para garantizar una ganancia mnima de S/.
1500?
17. Un libro de matemtica tiene el cudruple de hojas que
uno de Biologa y entre los dos tienen menos de 180
7-x58x
2
x
4
7
4
3x
x2
1-15x
3
19
3-x3
29x
2
3
13
x-2-
5
1x2
3
1x5
10
13-3x-
4
1-x5
7
x-1
2
1x-
5
1-x3
12
2x
10
3-1
3
x
PROBLEMAS PARA LA CLASE.
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hojas. Si el libro de Biologa tiene el mayor nmero de
hojas posible, cuntas hojas tiene el libro de
matemtica?
1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones:
a) "p" es un nmero natural menor que 7.
b) "x" es un nmero natural menor que o igual a 18.
c) El doble de un nmero entero disminuido en 11 esmayor que 27.
d) La cuarta parte de un nmero aumentado en 3 es
mayor que o igual a 7.
2. Encuentra el conjunto solucin de cada una de las
inecuaciones del ejercicio 1.
3. Si: x
IN, resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 8 < 21b)
c) 5x + 8 > 85
d)
4. Si: x Z, resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3(x - 1) - 4(x - 2) > 6(x - 3) - (x - 4)x - 1) - 4(x - 2)
b)
c) 2(3x - 5) - 3(4x + 8) < 17 - 3x
d) 4(2x + 1) - 3(3x + 1) < 6(x + 5) + 2(2x - 3)
5. Simboliza y encuentra el conjunto solucin de lossiguientes enunciados:
a) La suma de un nmero natural y 13 es menor que
45.b) La diferencia entre un nmero natural y 15 es
menor que o igual a 12.c) El triple de un nmero entero ms 15 es mayor que
37.
d) La diferencia de cinco veces un nmero entero es
mayor que o igual a 4.
6. Hallar el mayor valor entero de "x" luego de reducir:
7. Hallar la suma de valores enteros y positivos, luego de
resolver la siguiente inecuacin.
8. Hallar el menor valor entero de "x" luego de resolver:
9. Resolver:
; x Z
10. Resolver:
; x Z
11. Resolver:
; x Z
12. Resolver:
; x Z
13. Se desea saber el mayor nmero de alumnos que hay
en un aula, si al quntuple de dicho nmero se le
aumenta 13, el resultado es menor que 97.
14. Cuntos nmeros naturales impares cumplen con la
condicin de que la cuarta parte del nmero disminuido
en 3 sea mayor que su mitad disminuida en 13?
15. Calcular el menor nmero que cumpla lo siguiente:
"Cinco veces este nmero aumentado en 20 no esmenor que el triple del mismo aumentado en 78".
16. Katia tiene una cierta cantidad de dinero. Si al triple
de esta cantidad se le disminuye S/. 75, le quedan
menos de los tres cuartos de su dinero aumentado en
S/. 13. Podr Katia comprar una blusa que cuesta S/.
42? (Justifique su respuesta).
17. Un libro de Literatura cuesta cuatro veces lo que
cuesta un libro de Historia y entre los dos cuestanmenos de 240 soles. Si el libro de Historia cuesta lo
mximo posible, cunto cuesta el libro de Literatura?
137x4
283-x5
3)-(x2-1-2x2)-x(5)3x(2
4
x7
3
11
3
1-x2
2)1x2(
3
2
2
1-x3x
)x25(3
1
2
x
3
x
4
5
2
3-x2
6
5x
3
1-3x-
4
1x2
63-2x-
51-x
3x4
2x3
36
x
4
2x-
3
x2
15
3-x2
6
1x
3
x2-
5
3-x4
TAREA DOMICILIARIA.
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18. Para aprobar un examen de eleccin mltiple queconsta de 20 preguntas, debe obtenerse por lo menos
60 puntos. Cada pregunta respondida correctamente
vale 4 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta
1 punto. Pablo respondi todas las preguntas. Cuntasrespuestas correctas debe tener como mnimo para
aprobar?
1. Definicin.
Un sistema de inecuaciones con una variedad est
conformado por dos o ms inecuaciones lineales.
Ejemplos:
2. Resolucin de un sistema.
Para encontrar el conjunto solucin de un sistema, se
resuelve cada una de las inecuaciones que lo conforman
y luego se interceptan los conjuntos solucin
encontrados.
Ejemplos: Si x
Z , resolver:
En () el m.c.m. de los denominadores es 6, luego:
3(x - 1) + 2(2x - 3) < 6 3x - 3 + 4x - 6 < 6
7x < 15
C.S(a) = {... -1; 0; 1; 2}
En (el m.c.m. de los denominadores es 4, luego:
2(7x) + 3x > 5(4)
14x + 3x > 20
7x > 20
C.S () = {2; 3; 4; ...}
Intersectando se tiene que el conjunto solucin del
sistema es: C. S. = {2}
3. Un problema de texto.Antonio tena "x" kg de tocino y medita "Si vendiera
de tocino a S/. 100 el kg; recaudara entre
S/. 900 y S/. 960; si oferta a S/. 50 el kg de tocino y
al mismo precio el kg de jamn, obtendra entre S/.900 y S/. 1000". Cuntos kilogramos de tocino y
cuntos kilogramos de jamn se tienen sabiendo que
son nmeros enteros?
Comprender la solucin del problema:
1 La incgnita del problema son:
- nmero de kilogramos de tocino: x
- nmero de kilogramos de jamn: y
2 Desarrollar el plan. En la venta de tocino se
recauda: S/. 100.
Entonces: 900 < 100 < 960... ()
Al ofertar el tocino, en la venta de tocino y de
jamn se recauda 50 (x + y); entonces:
900 < 50 (x + y) < 1000... ().
Debemos resolver (y ()
3 Llevar a cabo el plan.
4 Verificar.Venta de tocino:
2x 3 3x - 5
2x - 5 x - 7
2x x 53 2
3x - 5 x1
2 3
)...(54
x3
2
x7
)...(13
3x2
2
1x
7
12x
17
31x
kg2
12x
2
12x
2
12x
9625x1090
10
96
2
5x9
9602
5x100900:)(
65 10x 71
5 65 716 x 710 10 10
1 16 x 72 10
x 7
( ) : 900 50(7 y) 1000
18 7 y 20
7 y 19
y 12
SISTEMAS DE INECUACIONES DE
PRIMER GRADO
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100 = 950; 900 < 950 < 960
Venta de tocino y jamn:
Respuesta:
Se tiene 7kg de tocino y 12kg de jamn.
1. Calcular los valores enteros que cumplen:
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver:
5. Resolver:
6. Resolver:
7. Sabiendo que x ZZ , resolver:
2
57
2x 3 5
3x 9 21
4x 16
2x0
3
3(x 4) 2(x 10)
3x 45
4x 6 x 33
2x 24
13 13
12x2
16)1x(3)1x(5
2x 3 x 1
6 2
x 2
x 13(2x 1)
2 32(x 1) 20
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8. Resolver el sistema:
1. Hallar que valores de "x" satisfacen las inecuaciones:
2. Resuelve el siguiente sistema, si: x Z
- 3 < 2x - 5 < 7
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen las
inecuaciones:
4. Resolver el sistema; si: x Z
5. Resolver el sistema; x Z
6. Resolver el sistema: (xZ )
7. Resolver el sistema: (x Z )
8. Resolver el sistema: (xZ )
9. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit
y Celsius se relacionan mediante la frmula.
Qu valores impares de "F" corresponde
a los valores de "C" tales que
10. Segn la Ley de Hooke, la fuerza F, en kilogramos,
necesaria para entrar "x" centmetros en determinado
resorte respecto a su longitud natural, es
(Vase figura). Si , cules son los valores
enteros que corresponde a "x"?
11. Se desea saber el mayor nmero de alumnos que hay
en una aula, si al doble del nmero de stos se ledisminuye en 9, el resultado es mayor que 31 y si al
triple se le disminuye en 7, el resultado es menor que
el doble del nmero aumentado en 16.
12. Un padre dispone de 320 soles para ir a un concierto
con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta
dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. Cules el nmero de hijos?
13. Antonio vende 100 libros y le quedan ms de la mitadde los que tena. Si luego vende 48 libros le quedan
menos de 54. Cuntos libros tena?
14. Hallar el nmero natural que sumado con 11 sea menorque la diferencia entre su triple y 7, y que sumando
con 8,5; resulte mayor que la diferencia entre su doble
y 2.
15. Para elaborar un determinado nmero de problemas, seduplic este nmero, eliminando 40 de ellos por ser
muy fciles, quedaron menos de 60. Si se hubiera
2(5x 1) 4(2x 3)
x1
3
Z)(x;7-4x53x
64-x2
x 13(2x 1)
2 3
2(x 1) 20
75
3-x23
2x - 3 0
3x 2 0
3x - 7 5
4x 5 2x 17
63-x917x5
5
6-
3
x2
3
7x
5
2
210
1x
4
2x-
5
1-x4
56
x
4
1-x
3
x2
32)-F(9
5C
?40C30
x2F
8F2
14
x
Longitud natural
Alargamiento de"x" centmetros
PROBLEMAS PARTA LA CLASE.
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triplicado el nmero original de problemas y aumentado
20, habran ms de 164. Cuntos problemas habaninicialmente?
16. Para aprobar una prueba de eleccin mltiple que
consta de 50 preguntas, deben obtenerse por lo menos
100 puntos. Cada pregunta respondida correctamentevale 4 puntos. Por cada respuesta incorrecta se resta
2 puntos.
a) Marco respondi todas las preguntas, cuntas
respuestas correctas debe tener como mnimo,para aprobar?
b) Pablo respondi 35 preguntas. Podr aprobar con
menos respuestas correctas que Marco?
17. Dos hermanos gemelos discuten sobre su edad, el
primero dice: "Si a la edad que tengo le resto la cuarta
parte de la diferencia de mi edad y 3, a lo ms se
obtienen 15 aos"; respondiendo el segundo "Si a mi
edad le resto la quinta parte de la diferencia de mi
edad y 4, se obtiene no menos de 16 aos". Qu edad
tienen?
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1. Hallar que valores enteros de "x" satisfacen las inecuaciones:
2. Resolver el sistema. (x Z )
2x - 5 < x + 3 < 3 x - 7
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen el sistema de inecuaciones:
4. Resolver el sistema: (x Z )
5. Resolver el sistema: (x
Z )
6. Resolver el sistema: (x Z )
7. Resolver el sistema: (x Z )
8. Resolver el sistema: (x Z )
9. Se compra un nmero par de naranjas, si se vende la cuarta parte, quedan menos de 118 por
vender, y si se vendiera la sexta parte, quedara ms de 129 por vender. Cuntas naranjas se
compraron?
10. Se tiene un cierto nmero de monedas, si se forman montones de a 7, no se pueden completar 8 de
aquellos, y si se forman montones de a 6, se completa 9 y queda una sobrante. Cul es el nmero
de monedas?
11. Tres supervisores cuentan el nmero de piezas que por minuto fbrica una mquina. El primero
cont la mitad menos 3, el segundo cont la sexta parte y 7 piezas, y el tercero cont la cuarta
parte y 5 piezas. Si el primero cont ms piezas que el segundo, pero menos que el tercero, qu
nmero de piezas arroja la mquina por minuto?
752x
53-x
5x-147x-8
18-x74x5
3x 4 2x 10
3x 6 5x - 10
2x 5 5x - 9
5x 14 3x - 2
3x-109-x7
3
2x-1
2
1-x3
x - 3 2 - x
2 4
x - 23x - 1
3
x 1 1 - 2x x + 1
2 -5 3 4
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12. Hallar un nmero entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en
una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es
menor que 29.
13. En una granja haba cierto nmero de gallinas, si al triplicar dicho nmero se vendieron 95 gallinas,quedaron menos de 87, pero si se hubiera duplicado dicho nmero, al vender 40, quedaran ms de
79 gallinas. Cuntas gallinas habra en la granja?
14. Miguel tiene "x" monedas dentro de una bolsa, el cudruplo de dicho nmero disminuido en 8 es
menor que o igual a 30, y que el quntuplo de dicho nmero, aumentado en 7, es mayor que o igual a
50. Hallar el total de monedas.
15. Se compr un nmero impar y mltiplo de 3 de manzanas. Si se vende la cuarta parte, quedara por
vender menos de 120; pero si se vendiera la sexta parte, quedaran por vender ms de 129
manzanas. Cuntas manzanas se compraron?
16. "Luis tiene por lo menos 8 primos", dice -Antonio.
"No, tienen menos de 8"- corrige Francisco "Tal vez tengas razn, pero lo que yo s, es que tienen
ms de 2 primos"- Agrega Manuel. Si slo uno de los chicos dice la verdad, cul es el mayor
nmero de primos que tiene Luis?
17. Un carpintero hizo un cierto nmero de mesas. Vende 49 y le quedan por vender ms de la mitad.
Hace despus 9 mesas y vende 20, quedndole menos de 41 mesas que vender. Cuntas mesas ha
hecho sabiendo que inicialmente fabrica un nmero par de mesas?
18. Un comerciante adquiri cierto nmero de artculos de los que vendi 70 y le quedaron ms de la
mitad; al da siguiente le devolvieron 6; pero logr vender 36, despus de los cual le quedaronmenos de 42. Cuntos artculos formaban el lote?
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